绝对值知识点及练习

绝对值知识点及练习

1、定义：1几何定义：一般地;数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值;记作｜a｜;读作“绝对值a”..

2代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 实 数a的绝对值是：|a|

①a为正数时;|a|=a不变

②a为0时; |a|=0

③a为负数时;|a|= -a为a的绝对值

任何数的绝对值都大于或等于0;因为距离没有负的..

2、实数的绝对值具有以下性质：

1|a|大于等于0实数的绝对值是非负实数;

2|-a|=|a|互为相反数的两实数绝对值相等;

3-|a|小于等于a小于等于|a|;

4|a|>b可以推出a<-b或a>b;a<-b或a>b可以推出|a|>b;

5|a·b|=|a|·|b|;

6|a|/|b|=|a/b|b≠0;

7|a+b|小于等于|a|+|b|;当且仅当a、b同号时;等式成立;

8|a-b|大于等于||a|-|b||;当且仅当a、b同号时;等式成立;

9a属于R时;|a|的平方等于|a|的平方..

特别提醒：1绝对值具有非负性;即|a|≥0；

2绝对值相等的两个数;它们相等或互为相反数；

30是绝对值最小的有理数..

3、利用绝对值比较大小 1利用绝对值比较两个负数的大小

两个负数比较大小;绝对值大的反而小．

比较的具体步骤：

①先求两个负数的绝对值；

②比较绝对值的大小；

③根据“两个负数;绝对值大的反而小”作出判断．

2几个有 理数的大小比 较

①同号两数;可以根据它们的绝对值来比较：a.两个正数;绝对值大的数较大；b.两个负数;绝对值大的反而小．

②多个有理数的大小比较;需要先将它们按照正数、0、负数分类比较;然后利用各数的绝对值或借助于数轴来进一步比较．

4、利用绝对值解决实际问题

绝对值的产生来源于实际问题的需要;反过来又可以运用它解决一些实际问题;主要有以下两类：

1判断物体或产品质量的好坏

可以用绝对值判断物体或产品偏离标准的程度;绝对值越小;越接近标准;质量就越好．

方法：

①求每个数的绝对值；

②比较所求绝对值的大小；

③根据“绝对值越小;越接近标准”作出判断．

2利用绝对值求距离 路程问题中;当出现用“＋”、“－”号表示的带方向的路程;求最后的总路程时;实际上就是求绝对值的和．

方法：

①求每个数的绝对值；

②求所有数的绝对值的和；

③写出答案．

5、去绝对值符号的几种常用方法：

1利用定义法去掉绝对值符号

根据实数含绝对值的意义;即|x|=(0)(0)xxxx;有|x|c(0)0(0)(0)xcxccxcxRc或

2利用不等式的性质去掉绝对值符号

利用不等式的性质转化|x|cc>0来解;如|axb|>cc>0可为axb>c或axb<－c；|axb|

对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解;也可利用结论“a≤|x|≤ba≤x≤b或－b≤x≤－a”来求解;这是种典型的转化与化归的数学思想方法..

3利用平方法去掉绝对值符号

对于两边都含有“单项”绝对值的不等式;利用|x|2=2x可在两边脱去绝对值符号来解;这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷;解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围;如果没有明确不等式两边均为非负数;需要进行分类讨论;只有不等式两边均为非负数式时;才可以直接用两边平方去掉绝对值;尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点..

4利用零点分段法去掉绝对值符号

所谓零点分段法;是指：若数1x;2x;……;nx分别使含有|x－1x|;|x－2x|;……;|x－nx|的代数式中相应绝对值为零;称1x;2x;……;nx为相应绝对值的零点;零点1x;2x;……;nx将数轴分为m+1段;利用绝对值的意义化去绝对值符号;得到代数式在各段上的简化式;从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解;即令每项等于零;得到的值作为讨论的分区点;然后再分区间讨论绝对值不等式;最后应求出解集的并集..零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法;这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法;它可以把求解条理化、思路直观化..

5利用数形结合去掉绝对值符号

解绝对值不等式有时要利用数形结合;利用绝对值的几何意义画出数轴;将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解..数形结合法较为形象、直观;可以使复杂问题简单化;此解法适用于||||xaxbm或||||xaxbmm为正常数类型不等式..对||||axbcxdm或

1、对于形如︱a︱的一类问题

只要根据绝对值的3个性质;判断出a的3种情况;便能快速去掉绝对值符号..

当a>0时;︱a︱=a 性质1;正数的绝对值是它本身 ； 当a=0 时︱a︱=0 性质2;0的绝对值是0 ；

当 a<0 时；︱a︱=–a 性质3;负数的绝对值是它的相反数 ..

2、对于形如︱a+b︱的一类问题

我们只要把a+b看作是一个整体;判断出a+b的3种情况;根据绝对值的3个性质;便能快速去掉绝对值符号;正确进行化简..

当a+b>0时;︱a+b︱=a +b性质1;正数的绝对值是它本身 ；

当a+b=0 时;︱a+b︱=0 性质2;0的绝对值是0 ；

当 a+b<0 时;︱a+b︱=–a+b=–a-b 性质3;负数的绝对值是它的相反数

3、对于形如︱a-b︱的一类问题

同样;按上面的方法;我们仍然把a-b看作一个整体;判断出a-b 的3种情况;根据绝对值的3个性质;去掉绝对值符号..

但在去括号时最容易出现错误..如何快速去掉绝对值符号;条件非常简单;只要你能判断出a与b的大小即可..因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小;所以当a>b时;︱a-b︱=a-b;︱b-a︱=a-b.请记住口诀：无论是大减小;还是小减大;去掉绝对值;都是大减小..

4、对于数轴型的一类问题;

根据3的口诀来化简;更快捷有效..如︱a-b︱的一类问题;只要判断出a在b的右边;便可得到︱a-b︱=a-b;︱b-a︱=a-b..

5、对于绝对值号里有三个数或者三个以上数的运算

万变不离其宗;还是把绝对值号里的式子看成一个整体;把它与0比较;大于0直接去绝对值号;小于0的整体前面加负号..

练习 一、选择

1、绝对值为4的有理数是 A. ±4 B. 4 C. -4 D. 2

2、两个数的绝对值相等;那么 A.这两个数一定是互为相反数；B.这两个数一定相等；

C.这两个数一定是互为相反数或相等；D.这两个数没有一定的关系

3、绝对值小于4的整数有 A.3个 B.5个 C.7个 D.8个

4、绝对值与相反数都是它的本身 A.1个 B.2个 C.3个 D.不存在

5、若m为有理数;且 那么m是 A.非整数 B.非负数 C.负数 D.不为零的数

6、下列说法中;错误的是

A、一个数的绝对值一定是正数 B、互为相反数的两个数的绝对值相等

C、绝对值最小的数是0 D、绝对值等于它本身的数是非负数

7、下列结论中;正确的有

①符号相反且绝对值相等的数互为相反数；②一个数的绝对值越大;表示它的点在数轴上离原点越远；③两个负数;绝对值大的它本身反而小；④正数大于一切负数；⑤在数轴上;右边的数总大于左边的数.

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

8、一个数的绝对值是它本身;那么这个数是

A正数 B正数或零 C零 D有理数

9、如果一个数的绝对值是5.2;那么这个数是

A5.2 B－5.2 C5.2或－5.2 D以上都不对 10、任何有理数的绝对值都是

A正数 B负数 C有理数 D正数或零

11、在－－8;|－1|;－|0|;－0 .0001这四个有理数中;负数共有

A4个 B3个 C2个 D1个

12、在数轴上和表示－3的点的距离等于5的点所表示的数是

A－8 B2 C－8和2 D1

13、9与－1 3的绝对值的和是

A22 B－4 C4 D－22

14、数－|－3 |的相反数是

A－3 B C3 D3

15、设a是最小的正整数;b是最大的负整数;c是绝对值最小的有理数;则

a + b + c 等于 A －1 B 0 C 1 D 2

二、填空

1正数的绝对值是____;负 数的绝对值是_____;零的绝对值是_____;绝对值等于1 的有理数是____________．

2从数轴上看;一个数的绝对值就是表示这个数离开原点的_______．

349是___ ___的相反数;它是______的绝对值．

4|－5|的相反数是________．

5如果一个数的绝对值等于 那么这个数是___________．

6绝 对值小于3.14的所有整数是________．

7-3的绝对值是_______;绝对值是3的数是________.

8一个数a在数轴上的对应点在原点的左侧;且 ;则︱a︱=__________. 9绝对值最小的数是_____；最大的负整数是_____．

10绝对值小于3的所有自然数是____．

11一个有理数的相反数小于原数;这个数是____．

12已知︱x︱－︱y︱=2;且y =－4;则 x = ____..

13已知︱x︱=2 ;︱y︱=3;则x +y = ____..

14已知 ︱x +1 ︱与 ︱y －2︱互为相反数;则︱x ︱+︱y︱= ____..

15 式子︱x +1 ︱的最小值是 ;这时;x值为____..

三、拓展提高：

1．如果a ; b互为相反数;c; d 互为倒数;m 的绝对值为2;求式子a+b+ m－cd 的值..

2、．某司机在东西路上开车接送乘客;他早晨从A地出发;去向东的方向正方向;到晚上送走最后一位客人为止;他一天行驶的的里程记录如下单位：㎞

+10 ;— 5; —15 ;+ 30 ;—20 ;—16 ;+ 14

1 若该车每百公里耗油 3 L ;则这车今天共耗油 多少升

2 据记录的情况;你能否知道该车送完最后一个乘客是;他在A地的什么方向 距A地多远