8-3全微分及其应用 (2)

多练出技巧 巧思出硕果

第三节 全微分及其应用

教学目的：理解全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件。

教学重点：全微分的计算

教学难点：全微分形式的不变性；

教学时数：2

教学内容：

一、全微分

1．全微分的定义

设(,)zfxy在点(,)xy的某邻域内有定义，如果(,)zfxy在点(,)xy的全增量(,)(,)zfxxyyfxy可以表示成

22(()())zAxByoxy，其中,AB与,xy都无关，

则称(,)zfxy在点(,)xy处可微，而全增量的线性主部AxBy称为函数(,)zfxy在(,)xy处的全微分，记作dz，即dzAdxBdy．

说明： 如果函数在区域D内各点处都可微分 那么称这函数在D内可微分

2．可微与连续关系

命题：如果(,)zfxy在点00(,)xy可微，则(,)zfxy在点00(,)xy处连续．

事实上这是因为 如果(,)zfxy在点00(,)xy可微则

0000(,)(,)()zfxxyyfxyAxByo于是 0lim0z

从而 000000(,)(0,0)0lim(,)lim[(,)](,)xyfxxyyfxyzfxy

因此函数(,)zfxy在点00(,)xy处连续。

3．可微与偏导数的关系

定理：如果(,)zfxy在点00(,)xy可微，则(,)zfxy在点00(,)xy处的两个偏导数

0000(,),(,)xyfxyfxy都存在，并且全微分表达式中的,AB为

0000(,),(,)xyAfxyBfxy

证： 设函数(,)zfxy在点00(,)Pxy可微分 于是有()zAxByo 特别当多练出技巧 巧思出硕果

- 1 - 全微分性质

定义1：全微分：微分学中指在局部的邻域内|定义2：全微分：在某点，函数值可以取得无限精确的变量称为全微分。

2。概念1：函数在任一开区间内的图像都是对该开区间上的邻域而言，故可称为开区间的函数值；对一切连续函数而言，在任一开区间上的图像都是唯一确定的，因此有无穷个不同点；

4。类型1：可微，不可导。 3。概念2：微分和导数是互逆的两种变换，且他们都能用来研究函数。我们也称微分为“高阶”的导数。

5。应用：函数在开区间上的单调性判别式为可求出它在该开区间内的单调区间。 6。总结：单调性的判别主要用于：单调性证明；判断在某个范围内是否可导（直接求导或积分即可）。 7。应用：在极值问题中我们通常会遇到函数在开区间上的极值点的分布问题，我们可以利用全微分计算出函数在这些区间上的最值点。因此可根据全微分的性质来解决问题。

8。应用：函数在开区间上的最值问题。 9。分类1：全微分=拉格朗日乘数=partial^2 partial^2是微分的逆运算。 2。总结：微分的应用其实就是拉格朗日乘数的应用，分类1中包含的大多数问题，我们都可以用微分来解决。 10。推论：函数在某点的斜率是该点在所在直线上的截距，斜率是曲线在原点处的切线与该直线之间的夹角。

11。推论：如果微分中的某项系数为零，则该函数在该点取得负斜率。

12。推论：若函数在某点取得斜率为负的切线，则该点一定在该直线上，即该点到原点的距离等于其斜率的绝对值。 13。反例：函数在 - 2 - 0处取得切线，但不存在斜率为正的切线。 14。类型2：无界，不可导。 15。简单应用：常见的无界函数的拉格朗日乘数是正数，无界函数为复变函数的重要概念。 16。分类2：无界，不可导。 17。总结：无界函数的拉格朗日乘数是负数，无界函数为复变函数的重要概念。 18。应用：复变函数在开区间内定义域扩大后的极值问题。 19。分类3：无界，不可导。 20。简单应用：最值问题。 21。分类4：无界，不可导。 22。简单应用：二重积分的应用。 23。分类5：无界，可导。 24。简单应用：一阶微分求导法。 25。总结：无界函数的拉格朗日乘数是正数，无界函数为复变函数的重要概念。 26。应用：开区间内的函数值求导。 27。反例：函数在0处取得切线。 28。

Ｖ０Ｊ．２９　

２００８年６月　高等学校化学学报　

ＣＨＥＭＩＣＡＬ　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＣＨＩＮＥＳＥ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＩＥＳ　Ｎｏ．６　

１１３３一Ｉ１３６　

新型荧光试剂１・（８・喹啉）・３・（２－吡啶）．三氮烯的　

合成及其分析应用　

王诚　，冯　锋　，陈泽忠　，卢　珍　，白云峰　，孟双明　，林　森　

（１．大同大学化学系，大同０３７００９；２．南昌大学化学系，南昌３３００４７）　

摘要将具有荧光特性的８一氨基喹啉和吡啶类试剂结合，并引入杂环三氮烯结构，合成了新型荧光试剂１．　（８－喹啉）一３一（２－吡啶）一三氮烯（ＱＰｙＴ）．其结构经元素分析、红外光谱和核磁共振谱证实．研究结果表明，在　碱性介质中，该试剂在Ａ…／Ａ　＝２１６　ｎｍ／３４３　ｎｍ处产生强荧光，并且能被Ｐｂ（Ⅱ）猝灭．据此建立了ＱＰｙＴ测　

定Ｐｂ（１／）的新型荧光分析法．该方法的线性范围为１．６×１０一　～１．２×１０　ｍｏｌ／Ｌ，检测限为９．０×１０　ｍｏＬ／Ｌ．将其应用于水中Ｐｂ（Ⅱ）的测定，结果令人满意．　关键词　１一（８－喹啉）一３一（２－吡啶）一三氮烯；铅离子检测；荧光猝灭　中图分类号０６２６；０６５７　文献标识码Ａ　文章编号０２５１－０７９０（２００８）０６—１　１３３－０４　

铅（１Ｉ）是一种常见的环境污染物质，由于其不可降解性、生物累积效应以及在较低浓度下就有较　大毒性等特点…，已成为环境监测的重要指标之一．因此发展快速简便检测微量铅（１Ｉ）的分析方法具　

有重要意义．目前，测定微量铅的分析方法主要有原子吸收法　ｊ、伏安法　和原子荧光法　等．荧光　

分析法具有灵敏度高、选择性好、取样量少、简便快速等特点　ｊ，是重要的光谱化学分析方法．　

８．氨基喹啉衍生物的荧光特性良好　’　，具有较高的选择性　和较低的灵敏度　ｊ．去质子化的三　

氮烯基团易与过渡金属离子配合　，具有较高的灵敏度和较低的选择性．８．氨基喹啉基团和三氮烯基　团的衍生物则可能兼具二者的优点．三氮烯的衍生物是镉、汞、铜、镍和银等金属离子的优良显色　剂¨　］，也作为银和铜等离子检测的荧光试剂　１４］．本文将８一氨基喹啉和２．氨基吡啶结合，并引入三　

考研数学二（微分中值定理及其应用）模拟试卷8 (题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． 设f(x)在x=a处连续，且=2，则f(x)在x=a处

A．不可导．

B．可导且f’(a)≠0．

C．有极大值．

D．有极小值．

正确答案：D

解析：由f(x)在x=a连续=f(a)．又根据极限的保号性，即f(x)-f(a)＞0．因此f(a)为极小值．故选(D)． 知识模块：微分中值定理及其应用

2． 若xf’’(x)+3x[f’(x)]2=1-ex且f’(0)=0，f’’(x)在x=0连续，则下列正确的是

A．(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点．

B．f(0)是f(x)的极小值．

C．f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))也不是y=f(x)的拐点．

D．f(0)是f(x)的极大值．

正确答案：D

解析：由f’(0)=0知x=0是f(x)的驻点．为求f’’(0)，把方程改写为f’’(x)+3[f’(x)]2=令x→0，得f’’(0)=为极大值．故选(D)． 知识模块：微分中值定理及其应用

3． 设f(x))在(a，b)定义，x0∈(a，b)，则下列命题中正确的是

A．若f(x)在(a，b)单调增加且可导，则f’(x)＞0(x∈(a，b))．

B．若(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点，则f’’(x0)=0．

C．若f’(x0)=0，f’’(x0)=0，f’’’(x0)≠0，则x0一定不是f(x)的极值点．

D．若f(x)在x=x0处取极值，则f’(x0)=0．

正确答案：C

解析：(A)，(B)，(D)涉及到一些基本事实．若f(x)在(a，b)可导且单调增加f’(x)≥0(x∈(a，b))．若(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点，则f’’(x0)可能不存在．若x=x0是f(x)的极值点，则f’(x0)可能不存在．因此(A)，(B)，(D)均不正确(如图4．1所示)．选(C)． 知识模块：微分中值定理及其应用