梯形、三角形中位线

梯形、三角形中位线

一.梯形、三角形中位线在证明平行、线段相等及线段的倍、半问题中起了重要的作用，对此我们应给予足够的重视。

二.知识要点：

1.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。

推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰。

推论2：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边。

2.三角形中位线：

（1）定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（2）三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

3.梯形中位线：

（1）定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线。

（2）梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

三.例题

例1.如图，△ABC中，D是AB中点，E是AC上的点，且3AE=2AC，CD、BE交于O点。

求证：OE=BE。

分析：已知D是AB中点，遇到中点我们应当考虑到可能要用中位线，有中位线就可以得到线段的一半，同样可能再得到线段的一半，从而可以得到某线段的；又已知3AE=2AC，得AE=AC，如果取AE中点F，连结DF就可得到△ABE的一条中位线。

证明：取AE中点F，连结DF，∵ D是AB中点，∴ DF是△ABE的中位线

∴ DF=BE且DF//BE（三角形中位线定理） ∵ 3AE=2AC，

∴ AE=AC

∴ AF=FE=EC=AC

在△CFD中，

∵ EF=EC且DF//BE即OE//DF，

∴ CO=DO（过三角形一边中点，与另一边平行的直线，必平分第三边）

∴ OE是△CDF的中位线

∴ OE=DF

∴ OE=BE。

说明：本题我们做了一条中位线，使得在两个三角形中可使用中位线定理。遇中点，作中位线是常见的辅助线。

例2如图，在梯形ABCD中AD//BC，E、F分别是AB、CD的中点，EF分别与BD、AC相交于M、N。且AD=20cm，BC=36cm。求MN的长。

分析：因为EF是中位线，所以EF//AD//BC，EF=(AD+BC)如果能求出EM和NF的长，就可以求出MN的长。

解：梯形ABCD中，∵ E、F分别是AB、CD的中点，

∴ EF=(BC+AD)，∵ AD=20cm，BC=36cm

∴ EF=(20+36)cm=28cm

∴ EF//AD//BC（梯形中位线定理）

∵ EF//AD，在△BAD中得

M为BD中点（过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边）

∴ EM=AD=10cm（三角形中位线定理）

同理可证NF=10cm

∴ MN=EF-EM-NF=28-10-10=8（cm） 说明：这里用到梯形中位线平行于两底的性质。又由平行线等分线段定理的推论2，得到BD的中点M，从而又得到三角形中位线，又用到了三角形中位线的性质。

例3.已知如图，梯形ABCD中，AD//BC，M、N分别为BD、AC的中点。

求证：MN=(BC-AD)

分析：题目中有中点M、N，又是求线段的一半的问题，如果MN是某三角形的中位线就会使问题明朗化，因此需要创造使用中位线的环境。利用一个中点M，加上AD//BC，易构造全等三角形，得到另一对相等线段。

证明：连结AM并延长交BC于E

∴ ∠3=∠4，∵ AD//BC，∴ ∠1=∠2

∵ M为BD中点，∴ MD=MB

在△AMD和△EMB中

∴ △AMD≌△EMB（ASA）

∴ AM=ME，∴ BE=AD

又∵ N为AC中点，∴ MN为△AEC的中位线

∴ MN=EC=(BC-BE)，

∴ MN=(BC-AD)。

例4.已知：如图，△ABC中，E、F分别是AB、CB的中点，G、H为AC上两点，且AG=GH=HC，延长EG、FH交于点D。求证：四边形ABCD是平行四边形。

分析：图中有两个中点，两个三等分点，联想到：若分别连结BG，BH可分别构造两个三角形中位线的环境，从而得到EG//BH即GD//BH，同理BG//DH，得到□BHDG，它与四边形ABCD共对角线BD，那么用对角线互相平分来判定平行四边形成为可能。

证明：分别连结BG，BH，BD交AC于O

∵ E是AB中点，AG=GH

∴ EG是△ABH的一条中位线

∴ EG//BH，即GD//BH

同理可证BG//DH

∴ 四边形BHDG是平行四边形。 ∴ BO=OD，GO=OH。

又∵ AG=HC ∴ AG+GO=HC+OH

即AO=OC 又BO=OD（已证）

∴ 四边形ABCD是平行四边形。

例5.已知：如图，在△ABC中AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，E为AB的中点。求证：CD=2CE。

分析：这是证明线段的倍半问题。证明一条线段等于另一条线段的二倍或一半时，常常是先找出短线段的二倍，或者取长线段的一半，设法把线段的倍半问题转化为证线段的相等问题。这就是通常所说的“加倍”，“折半”的方法。下面我们就把问题转化成证明线段的相等。

方法1：找出CE的2倍，然后证明CE的2倍和CD相等，因此要延长CE到F使EF=CE。证CF=CD。

证明：延长CE至F使EF=CE，连结FB。

∴ CF=2CE，∠1=∠2

∵ E为AB中点，∴ AE=BE

在△AEC和△BEF中

∴ △AEC≌△BEF（SAS）

∴ AC=BF，∠3=∠F

∴ AC//BF

∴ ∠FBC+∠ACB=180º

∵ ∠CBD+∠ABC=180º

∵ AB=AC，∴ ∠ABC=∠ACB

∴ ∠FBC=∠DBC

∵ AC=AB，AB=BD，AC=BF。

∴ BF=BD。

在△CBF和△CBD中

∴ △CBF≌△CBD（SAS）

∴ CD=CF

∵ CF=2CE

∴ CD=2CE

方法2：找出CD的一半，然后证明CD的一半和CE相等，因此要取CD中点F，证CF=CE。

证明：取CD的中点F，连结BF

∴ CD=2CF

∵ AB=BD

∴ BF是△ADC的一条中位线

BF//AC，BF=AC

∴ ∠2=∠ACB

∵ AB=AC，∴ ∠1=∠ACB

∴ ∠1=∠2

∵ E是AB中点，∴ BE=AB

∵ BF=AC，且AB=AC

∴ BE=BF

△BCE和△BCF中

∴ △BCE≌△BCF（SAS）

∴ CE=CF

∵ CD=2CF ∴ CD=2CE。

此题还有其它证法，如图，辅助线可采取下列几种添法，请同学们思考：

取AC中点F连结BF

延长AC至F使CF=AC连结BF

取BD中点N取BC中点M分别连结ME、MN

四.练习：

1.填空：

（1）顺次连结任意四边形各边中点所得的图形是______。

（2）顺次连结矩形各边中点所得图形是______。

（3）顺次连结等腰梯形各边中点所得的图形是______。

（4）顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的图形是_____。

（5）顺次连结菱形各边中点所得的图形是_______。

（6）顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点所得的图形是_____。

（7）顺次连结正方形各边中点所得的图形是______。

2.已知：梯形ABCD中，AB//CD，BC=AD，AC⊥BD，CE⊥AB于E，CE=m，FG是梯形中位线，求：FG的长。

3.已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC=BD，E、F分别为AB、DC中点，点O为AC、BD的交点。求证：OM=ON。

练习参考答案：

1.填空：

（1）平行四边形 （2）菱形

（3）菱形 （4）菱形 （5）矩形

（6）矩形 （7）正方形

2.FG=m（提示：平移一条对角线）

3.提示：取AD中点P，分别连结PE，PF。