2019普特南数学竞赛原题

普特南数学竞赛试题这是一道普特南数学竞赛试题，附带答案和解析。

题目：设正整数m的最后两位数字是17，求整数m的百位数字。

答案及解析：由题意可知，整数m的最后两位数字是17，即m = 100a + 17，其中a为整数。

首先，我们可以列举出满足条件的m的一些可能值：当a = 0时，m = 17；当a = 1时，m = 117；当a = 2时，m = 217；当a = 3时，m = 317；当a = 9时，m = 917；当a = 10时，m = 1017；可以发现，满足条件的m的百位数字都是1，因此答案为1。

解析：这道题涉及到整数的位数表示和规律分析。

我们可以通过列举一些满足条件的m的值，观察其规律，找到合理的解决方法。

首先，我们可以看到m是一个三位数，其百位数记为a，十位数记为b，个位数记为c，那么可以表示为m = 100a + 10b + c。

根据题意，最后两位数字是17，即b = 1，c = 7，所以m = 100a + 10 + 7 = 100a + 17。

接下来，我们分析一下m可能的取值范围。

百位数a可以从0到9取值，所以整数m的可能取值是：17, 117, 217, 317, , 917, 1017, ,我们可以发现，满足条件的m的百位数字都是1。

为什么满足条件的m的百位数字都是1呢？我们可以细致地观察一下。

当a < 10时，十位数b只能取1，个位数c只能取7，这样才能满足最后两位数字为17。

当a = 10时，十位数b为0，个位数c为7，同样可以满足最后两位数字为17。

所以，不管a的取值如何，最后两位数字都是17，满足题意。

因此，整数m的百位数字是1。

这道题目通过对整数位数表示和规律分析的探索，可以得到答案为1。

同时，这道题目也考察了对数字规律的观察和分析能力，以及对基本数学概念的掌握。

2019年南昌市高中数学竞赛试卷6月29日上午8:30 — 11:00【说明】：凡是题号下标志有“高一”的，为高一考生试题；题号下标志有“高二”的，为高二考生试题；凡未作这种标志的，则为全体考生试题一、填空题（每小题10分，共80分）1、将全体正整数自小到大一个接一个地顺次写成一排，则从左至右的第2013个数字是 ．2、（高一）设等比数列{}n a 的前n 项和315nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则其公比q = ． （高二）若自椭圆中心到焦点、长轴顶点、以及到准线的距离之长可以组成一个直角三角形，则该椭圆的离心率是 ．3、（高一）等差数列1,5,9,,2013L 与3,8,13,,2013L 的相同的项之和为 ． （高二）正四棱锥P ABCD -中，5,6PA AB ==，M 是PAD ∆的重心，则四面体MPBC 的体积是 ．4、（高一）满足24312x x x -+=-的实数x 的集合是 { }．（高二）函数4sin 3cos xy x-=-的最大值是 ．5、若a 为正数，[]a 表示a 的整数部分，而{}[]a a a =-，如果,[],{}a a a 顺次组成等比数列，则a = ．6、（高一）,,a b c 是不同的正整数，若集合{}{}222,,,(1),(2)a b b c c a n n n +++=++， n 为正整数，则222a b c ++的最小值是 ．7、函数20131()k f x x k ==-∑的最小值是 ．8、若sin sin sin αβγ+=，cos cos cos αβγ+=-，则二、解答题（共70分）9、（20分）如图，过ABC ∆的三个顶点,,A B C 各作其外接圆的切线，分别与相应顶点的对边所在直线相交，证明：三个交点,,D E F 共线．10、（25分）数列{}n a 满足：11111,1nn k k a a a n +===+∑， (1)、写出数列前7个项的值； (2)、对任意正整数n ，求n a 的表达式．11、（25分）盒中装有红色和蓝色纸牌各100张，每色纸牌都含标数为2991,3,3,,3L 的牌各一张，两色纸牌的标数总和记为S ；对于给定的正整数n ，若能从盒中取出若干张牌，使其标数之和恰为n ，便称为一种取牌_n 方案，不同的_n 方案种数记为()f n ；试求(1)(2)()f f f S +++L 之值．2019年南昌市高中数学竞赛试题解答【说明】：凡是题号下标志有“高一”的，为高一考生试题；题号下标志有“高二”的，为高二考生试题；凡未作这种标志的，则为全体考生试题一、填空题（每小题10分，共80分）1、将全体正整数自小到大一个接一个地顺次写成一排，则从左至右的第2013个数字是 ．答案：7．解：全体一位数共占据9个数位，全体两位数共占据290180⨯=个数位，接下来是顺次排列的三位数，由于201391801824--=，而18246083=，因60899707+=，所以第2013个数字是三位数707的末位数字，即为7．2、（高一）设等比数列{}n a 的前n 项和315nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则其公比q = ． 答案：35． 解：1125a S ==-，当2n ≥时，112355n n n n a S S --⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭，（高二）若自椭圆中心到焦点、长轴顶点、以及到准线的距离之长可以组成一个直角三角形，则该椭圆的离心率是 ．解：由2222a c a c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得2c ab =，又据222c b a +=，得22ab b a +=，所以12a b +=，则2212a a ab c b =⋅=⋅，所以c e a==． 3、（高一）等差数列1,5,9,,2013L 与3,8,13,,2013L 的相同的项之和为 ． 答案：102313．解：等差数列(1,5,9,,2013)A =L ，(3,8,13,,2013)B =L 的第一个相同项是13，最后一个相同项是2013，而A 以4为公差，B 以5为公差，所以，A B I 构成以13为首项，2013为末项，且公差为20的等差数列，公共项个数为201313110120n -=+=，所以公共项的和为S =101(132013)1023132+=．（高二）正四棱锥P ABCD -中，5,6PA AB ==，M 是PAD ∆的重心，则四面体MPBC 的体积是 ．答案：．解：设PM 交AD 于N ，则222162AD PN PA ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以4PN =；若PH 是四棱锥的高，则22272AB PH PN ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，PH =ABCD 面积为36，所以，NBC ∆的面积为18，故四面体P NBC -体积为1183PNBC V =⨯=，又由13MN PN =，所以四面体M NBC -体积为13MNBC PNBC V V ==，于是四面体MPBC的体积为：MPBC PMBC MNBC V V V =-=．4、（高一）满足24312xx x -+=-的实数x 的集合是 { }．答案：⎪⎪⎩⎭． 解：数形结合，将其视为求243y x x =-+ 与12xy =-交点的横坐标，如图；由于 243(1)(3)x x x x -+=--，仅当2x >时，102xy =->，此时方有交点， 当23x <<，2243(43)x x x x -+=--+，由2(43)12xx x --+=-得74x +=， 当3x >，224343x x x x -+=-+，24312xx x -+=-，得94x +=． （高二）函数4sin 3cos xy x-=-的最大值是 ．答案：64+． 解：将函数式看作定点(3,4)与动点(cos ,sin )x x 连线的斜率；而动点(cos ,sin )x x 的轨迹是一个单位圆，设过点(3,4)的直线方程为4(3)y k x -=-，即(34)0y kx k -+-=， 当斜率取最大值时，该直线应是单位圆的一条切线，于是原点到该直线距离为1，即有2341k k -=+，所以64k ±=，因此最大值为64+． 5、若a 为正数，[]a 表示a 的整数部分，而{}[]a a a =-，如果,[],{}a a a 顺次组成等比数列，则a = ．． 解：改记{},[]a a k θ==，由等比，2{}[]a a a =，而{}[]a a a =-，所以2()k k θθ+⋅=，220k k θθ+-=，k θ=，由于01θ<<，则k 为正整数，且只有1k =，从而θ=，所以a k θ=+=． 6、（高一）,,a b c 是不同的正整数，若集合{}{}222,,,(1),(2)a b b c c a n n n +++=++， n 为正整数，则222a b c ++的最小值是 ．答案：1297．解：由222(1)(2)2()n n n a b c ++++=++=偶数，所以,1,2n n n ++两奇一偶；即n 为奇数，显然1n >，不妨设a b c <<，如果3n =，则由9,16,25a b a c b c +=+=+=得25a b c ++=，此时导致0a =，矛盾！所以5n ≥，当5n =时，由25,36,49a b a c b c +=+=+=，解得6,19,30a b c ===， 这时，2221297a b c ++=．7、函数20131()k f x x k ==-∑的最小值是 ．解：由于1,2,,2013L 的中间一数为1007，当1007x =时，函数取得最小值8、若sin sin sin αβγ+=，cos cos cos αβγ+=-，则答案：32． 解：将条件式平方得，两式相加得1cos()2αβ-=-；两式相减得：cos 2cos 2cos 22cos()γαβαβ=+++ 因此，()22231cos cos cos cos 2cos 2cos 222αβγαβγ++=+++二、解答题（共70分）9、（20分）如图，过ABC ∆的三个顶点,,A B C 各作其外接圆的切线，分别与相应顶点的对边所在直线相交，证明：三个交点,,D E F 共线．证：据梅尼劳斯逆定理，只要证1BD CE AFDC EA FB⋅⋅=；由弦切角关系， 由BAD ∆∽ACD ∆，得2BD ABD BA DC ADC AC ∆⎛⎫== ⎪∆⎝⎭；同理，由CEB∆∽BEA∆，得2CE BCE BC EA BEA AB ∆⎛⎫== ⎪∆⎝⎭， 由CFA ∆∽BFC ∆，得2AF CAF CA FB CFB BC ∆⎛⎫== ⎪∆⎝⎭所以1BD CE AF ABD BCE CAFDC EA FB ADC BEA CFB∆∆∆⋅⋅=⋅⋅=∆∆∆，因此,,D E F 共线． 10、（25分）数列{}n a 满足：11111,1nn k k a a a n +===+∑， (1)、写出数列前7个项的值； (2)、对任意正整数n ，求n a 的表达式．解：(1)、顺次算出：1234567517371972071,2,,,,,26126060a a a a a a a =======； (2)、因为12111n n n a a a a a n -+++++=+L ，12111n n a a a a n -+++=+-L ，所以12112111n n n n n a a a a a a a a a n n --++++++++-=--L L所以，111n n a a n --=- ，D相加得，11111231n a n ⎛⎫=+++++ ⎪-⎝⎭L ． 11、（25分）盒中装有红色和蓝色纸牌各100张，每色纸牌都含标数为2991,3,3,,3L 的牌各一张，两色纸牌的标数总和记为S ；对于给定的正整数n ，若能从盒中取出若干张牌，使其标数之和恰为n ，便称为一种取牌_n 方案，不同的_n 方案种数记为()f n ；试求(1)(2)()f f f S +++L 之值．解一、将盒中的纸牌按标数自小到大的顺序排成一列：2299991,1,3,3,3,3,,3,3L ，值相等的两个项不同色，对于每个()1100k k ≤≤，数列前2k 项之和小于3k，故形如3n的项必须从两个3n 中选出，（任何其它项的和不等于3n ），于是选出一个3n有两种方法，同时选出两个3n只有一种方法．对于集合{}0,1,2,,A S =L 中的每个数m ，可将其表为含有一百个数位的三进制形式：即 29901299333m a a a a =+⋅+⋅++⋅L ，其中{0,1,2},0,1,2,,99i a i ∈=L ；若在01299,,,,a a a a L 中恰有k 个为1（其余100k -个数为0或2），则()2kf m =（这是由于，每个1有红蓝两种选取方案）．现将集A 分解为012100A A A A A =U U UL U ，其中k A 中的每个数m 在表成上述三进制形式后，其系数01299,,,,a a a a L 恰有k 个为1（其余100k -个数为0或2），因此集k A 中，共有1001002kkC -⋅个数，（这是由于，从01299,,,,a a a a L 中选取k 个为1，有100kC 种选法，其余100k -个数，每个可取作0或2，有1002k-种方法）；这样，k A 中各数的f 值之和为100100100100()222kk k k km A f m C C -∈=⋅⋅=⋅∑， 由于集合012100,,,,A A A A L 两两不相交，从而注意到29900030303=+⋅+⋅++⋅L ，即数列中的每个数都不选，其方案数(0)1f =， 所以200(1)(2)()21f f f S +++=-L ．解二、采用数学归纳法，为此，将问题一般化，将具体数99改为非负整数k ， 考虑数列221,1,3,3,3,3,,3,3kkL ，其和为k S ，今计算(0)(1)()k k F f f f S =+++L 的值．对k 归纳，0k =时数列有两项：1,1，则0112S =+=；由于(0)1,(1)2,(2)1f f f ===，所以0(0)(1)(2)4F f f f =++=；1k =时数列有四项：1,1,3,3，则18S =，而(0)1,(1)2,(2)1,(3)2f f f f ====，于是21(0)(1)(8)164F f f f =+++==L ；据此猜想，对于数列221,1,3,3,3,3,,3,3k kL （其和为k S ），有 此式在0,1k =时已验证，今假定对于k 成立，考虑1k +情况，数列22111,1,3,3,3,3,,3,3,3,3k k k k ++L 的和为1k S +，将集合{}10,1,2,,k A S +=L 中的每个数n 表成三进制形式：其中21012333,{0,1,2}kk j n a a a a a =+⋅+⋅++⋅∈L ，若10k a +=，这时1n n =，利用归纳假设，有14k k F +=种选法；若11k a +=时，113k n n +=+ 从两个13k +中取其一，有两种取法，对前段表达式1n 用归纳假设，有1224k k F +=⋅种选法；当11k a +=时，1123k n n +=+⋅ 两个13k +全取，有一种取法，对前段表达式1n 用归纳假设，有14k k F +=种选法；所以21244k k k k k k F F F F F ++=++==，即211(0)(1)()4k k k F f f f S +++=+++=L ，即①式对于任何非负整数k 成立；11(1)()4(0)41k k k f f S f ++++=-=-L ；取99k =，得200(1)(2)()21f f f S +++=-L ．。

普特南高中数学竞赛试题一、选择题（每题5分，共30分）1. 若\( a \)和\( b \)是正整数，且\( a^3 + b^3 = 27 \)，求\( a + b \)的值。

A. 1B. 2C. 3D. 4E. 52. 在直角三角形中，若两直角边长度分别为3和4，求斜边的长度。

A. 5B. 6C. 7D. 8E. 93. 一个圆的半径是5，求其面积。

A. 25B. 50C. 75D. 100E. 1254. 一个数列的前三项为1, 1, 2，从第四项开始，每一项是前三项的和。

求第10项的值。

A. 143B. 144C. 145D. 146E. 1475. 若\( x \)满足方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)，求\( x \)的值。

A. 2, 3B. 1, 4C. 2, 4D. 3, 4E. 4, 66. 一个正六边形的内角和是多少？A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°E. 900°二、填空题（每题5分，共20分）7. 一个数的平方根是4，这个数是_________。

8. 将\( \frac{1}{2} \)和\( \frac{1}{3} \)相加，结果是_________。

9. 一个等差数列的首项是2，公差是3，第5项是_________。

10. 一个正方体的体积是27立方单位，其表面积是_________平方单位。

三、解答题（每题15分，共50分）11. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( n^3 - n \)总是3的倍数。

12. 解不等式：\( |x - 2| + |x + 3| > 8 \)。

13. 一个圆的直径是10，求其内接正方形的面积。

结束语本试题旨在考察学生的数学基础知识和解题能力。

希望同学们能够通过解答这些题目，提高自己的数学素养和解决问题的能力。

祝大家取得好成绩！请注意，以上内容是虚构的，仅作为示例。

2019普特南数学竞赛原题（最新版）目录1.普特南数学竞赛简介2.2019 年普特南数学竞赛的题目类型3.2019 年普特南数学竞赛的部分题目解析4.2019 年普特南数学竞赛的获奖情况5.结语正文【普特南数学竞赛简介】普特南数学竞赛是由美国普特南大学举办的一项国际性数学竞赛，旨在发现和培养全球范围内的优秀数学人才。

该竞赛自 1938 年创办以来，已经成为全球范围内最具影响力的数学竞赛之一，吸引了来自世界各地的众多优秀中学生参加。

【2019 年普特南数学竞赛的题目类型】2019 年普特南数学竞赛共分为两个级别：A 组和 B 组。

A 组题目主要针对高中生，共有 6 道题目，涉及代数、几何、组合等领域；B 组题目主要针对初中生，共有 6 道题目，涉及算术、代数、几何等领域。

【2019 年普特南数学竞赛的部分题目解析】以下是 2019 年普特南数学竞赛 A 组中的一道题目及其解析：题目：已知函数$f(x)$满足：$f(x+1) + f(x-1) = 2f(x)$，且$0 < f(1) < frac{1}{2}$，$f(1) + f(2) + f(3) + cdots + f(2019) = 1009$。

求$f(1)$的值。

解析：将$x$从$1$到$2019$代入题目中的等式，可以得到：$f(2) + f(0) = 2f(1)$$f(3) + f(1) = 2f(2)$$cdots$$f(2019) + f(2018) = 2f(2017)$将上述等式相加，得到：$f(2) + f(0) + cdots + f(2018) + f(2017) = 2(f(1) + f(2) + cdots + f(2017))$因为$f(x+1) + f(x-1) = 2f(x)$，所以$f(x+2) + f(x) = 2f(x+1)$，故：$f(2) + f(0) = 2f(1)$$f(4) + f(2) = 2f(3)$$cdots$$f(2018) + f(2016) = 2f(2017)$将上述等式相加，得到：$f(2) + f(0) + cdots + f(2018) + f(2017) = 2(f(1) + f(3) + cdots + f(2017))$因此，$f(1) + f(3) + cdots + f(2017) = frac{1}{2}(f(1) + f(2) + cdots + f(2017)) = frac{1}{2} times 1009 = 504.5$又因为$f(1) + f(2) + cdots + f(2019) = 1009$，所以$f(2018) + f(2017) = 504.5$由$f(2) + f(0) = 2f(1)$和$f(2018) + f(2017) = 504.5$，可得$f(1) = frac{1}{2} - frac{f(2018) + f(2017)}{2} = frac{1}{2} -frac{504.5}{2} = boxed{0.0001}$【2019 年普特南数学竞赛的获奖情况】2019 年普特南数学竞赛的获奖情况尚未公布，敬请期待。

普特南大学数学竞赛试题及答案问题一：证明对于任意正整数\( n \)，\( 1^2 + 1 + 2^2 + 2 + \ldots +n^2 + n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)。

答案一：我们可以使用数学归纳法来证明这个等式。

首先，当\( n = 1 \)时，左边等于1，右边等于1，等式成立。

假设对于某个正整数\( k \)，等式成立，即：\[ 1^2 + 1 + 2^2 + 2 + \ldots + k^2 + k =\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} \]我们需要证明对于\( n = k + 1 \)时，等式也成立：\[ 1^2 + 1 + 2^2 + 2 + \ldots + k^2 + k + (k+1)^2 + (k+1) \] \[ = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 + (k+1) \]\[ = \frac{k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)^2 + 6(k+1)}{6} \]\[ = \frac{(k+1)(2k^2 + k + 6k + 6 + 6)}{6} \]\[ = \frac{(k+1)(2k^2 + 7k + 12)}{6} \]\[ = \frac{(k+1)(2(k+1)(k+3) + 6)}{6} \]\[ = \frac{(k+1)(k+1)(2(k+1) + 3)}{6} \]\[ = \frac{(k+1)(k+1)(2(k+1) + 1)}{6} \]这证明了当\( n = k + 1 \)时等式也成立。

因此，对于所有正整数\( n \)，等式成立。

问题二：给定一个圆的半径为\( r \)，求圆内接正六边形的边长。

答案二：圆内接正六边形的边长等于半径\( r \)。

这是因为正六边形可以被划分为六个等边三角形，每个等边三角形的边长都是\( r \)。

问题三：如果\( a \)和\( b \)是两个正整数，且\( a^2 - b^2 = 1 \)，证明\( a \)和\( b \)中至少有一个是偶数。

高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号填在答题卡的相应位置．）1．集合{0,4,}A a =，4{1,}B a =，若{0,1,2,4,16}A B ⋃=，则a 的值为A ．0B ．1C ．2D ．2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能．．． 是．①长方形；②正方形；③圆；④菱形. 其中正确的是 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 3．设0.50.320.5,log 0.4,cos3a b c π-===，则A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b c a <<4. 平面上三条直线210,10,0x y x x ky -+=-=-=，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的值为A . 1B . 2C . 0或2D . 0，1或2 5．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到()cos 2g x x =的图像，则只要将()f x 的图像A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度6. 在棱长为1的正四面体1234A A A A 中，记12(,1,2,3,4,)i j i j a A A A A i j i j =⋅=≠，则i j a 不同取值的个数为A ．6B ．5C ．3D ．2二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答 案填在答题卡相应题的横线上．） 7．已知)1,(-=m a ，)2,1(-=b ，若)()(b a b a -⊥+，则m = .8．如图，执行右图的程序框图，输出的T= . 9. 已知奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 则不等式0)()1(<⋅-x f x 的解集为 ．10.求值：=+250sin 3170cos 1 ． 11．对任意实数y x ,，函数)(x f 都满足等式)(2)()(22y f x f y x f +=+，且0)1(≠f ，则（第5题图）（第8题图）3侧视图正视图2222=)2011(f .12.在坐标平面内，对任意非零实数m ，不在抛物线()()22132y mx m x m =++-+上但在直线1y x =-+ 上的点的坐标为 .答 题 卡一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）7． 8． 9． 10． 11． 12．三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 13.（本小题满分12分）为预防(若疫苗有效已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率是0.375. （1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，问应在C 组中抽取多少个？ （3）已知465≥y ,25≥z ,求该疫苗不能通过测试的概率.已知函数x x x f 2sin )12(cos 2)(2++=π．（1）求)(x f 的最小正周期及单调增区间； （2）若),0(,1)(παα∈=f ，求α的值． 15．（本题满分13分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，21===AA BC AC ，︒=∠90ACB ，G F E ,,分别是AB AA AC ,,1的中点．（1）求证：//11C B 平面EFG ； （2）求证：1AC FG ⊥；（3）求三棱锥EFG B -1的体积.ACBB 1A 1C 1FGE已知函数t t x x x f 32)(22+--=.当∈x ),[∞+t 时，记)(x f 的最小值为)(t q . (1)求)(t q 的表达式；(2)是否存在0<t ，使得)1()(tq t q =？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由.已知圆22:228810M x y x y +---=和直线:90l x y +-=，点C 在圆M 上，过直线l 上一点A 作MAC ∆.（1）当点A 的横坐标为4且45=∠MAC 时，求直线AC 的方程； （2）求存在点C 使得45=∠MAC 成立的点A 的横坐标的取值范围.18．（本题满分14分）在区间D 上，若函数)(x g y =为增函数，而函数)(1x g xy =为减函数，则称函数)(x g y =为区间D 上的“弱增”函数．已知函数()1f x =-． （1）判断函数()f x 在区间(0,1]上是否为“弱增”函数，并说明理由； （2）设[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠，证明21211()()2f x f x x x -<-； （3）当[]0,1x ∈时，不等式xax +≥-111恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题：C B A D D C二、填空题：7. 2± 8．29 9. ),2()1,0()2,(+∞--∞10.3 11．2201112. 31(,),(1,0),(3,4)22-- 三、解答题：13. （本题满分12分） 解：（1）因为在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率0.375，所以375.0200090=+x ， ………………2分 即660x =. ………………3分（2）C 组样本个数为y ＋z ＝2000－（673＋77＋660＋90）＝500， ………………4分 现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，则应在C 组中抽取个数为360500902000⨯=个. ………………7分 （3）设事件“疫苗不能通过测试”为事件M.由（2）知 500y z +=，且,y z N ∈,所以C 组的测试结果中疫苗有效与无效的可能的情况有： （465，35）、（466，34）、（467，33）、……（475，25）共11个. ……………… 9分 由于疫苗有效的概率小于90%时认为测试没有通过，所以疫苗不能通过测试时，必须有9.02000660673<++y， …………………10分即1800660673<++y ， 解得467<y ，所以事件M 包含的基本事件有：（465，35）、（466，34）共2个. …………………11分所以112)(=M P ， 故该疫苗不能通过测试的概率为211. …………………12分14. （本小题满分12分） 解：x x x f 2sin )62cos(1)(+++=π…………………1分x x x 2sin 6sin2sin 6cos 2cos 1+-+=ππx x 2sin 212cos 231++= ………………… 2分 1)32sin(++=πx . …………………4分（1）)(x f 的最小正周期为ππ==22T ； …………………5分 又由]22,22[32πππππ+-∈+k k x ， …………………6分得)](12,125[Z k k k x ∈+-∈ππππ， …………………7分 从而)(x f 的单调增区间为)](12,125[Z k k k ∈+-ππππ． …………………8分 （2）由11)32sin()(=++=πααf 得0)32sin(=+πα， …………………9分所以ππαk =+32，62ππα-=k )(Z k ∈． …………………10分又因为),0(πα∈，所以3πα=或65π． …………………12分15. （本题满分13分） 解：（1）因为E G 、分别是AC AB 、的中点，所以BC GE //；……1分 又BC C B //11，所以GE C B //11； …………2分又⊆GE 平面EFG ，⊄11C B 平面EFG ，所以//11C B 平面EFG ． …………3分 （2）直三棱柱111C B A ABC -中，因为︒=∠90ACB ，所以⊥BC 平面C C AA 11； ……………4分 又BC GE //，所以⊥GE 平面C C AA 11，即1AC GE ⊥； ……………5分 又因为21==AA AC ，所以四边形11A ACC 是正方形，即11AC C A ⊥； ……………6分 又F E ,分别是1,AA AC 的中点，所以C A EF 1//，从而有1AC EF ⊥， ……………7分 由E GE EF =⋂，所以⊥1AC 平面EFG ，即1AC FG ⊥． ……………8分 （3）因为//11C B 平面EFG ，所以111EFC G EFG C EFG B V V V ---==． ……………10分由于⊥GE 平面C C AA 11，所以GE S V EFC EFC G ⋅=∆-1131，且121==BC GE ．…………11分 又由于2321114111111=---=---=∆∆∆∆ECC FC A AEF A ACC EFC S S S S S 正方形，……………12分所以21123313111=⋅⋅=⋅=∆-GE S V EFC EFC G ，即211=-EFG B V ． ……………13分16. （本题满分13分）解：（1）t t x x x f 32)(22+--=13)1(22-+--=t t x ． ……………1分①当1≥t 时，)(x f 在∈x ),[∞+t 时为增函数，所以)(x f 在∈x ),[∞+t 时的最小值为t t f t q ==)()(；……………3分②当1<t 时，13)1()(2-+-==t t f t q ； ……………5分 综上所述，2(1)()31(1)t t q t t t t ≥⎧=⎨-+-<⎩． ……………6分ACBB 1A 1C 1FGE（2）由（1）知，当0<t 时，13)(2-+-=t t t q ，所以当0<t 时，131)1(2-+-=tt tq ． ……………7分 由)1()(t q t q =得：1311322-+-=-+-tt t t ， ……………8分即013334=-+-t t t ， ……………9分 整理得0)13)(1(22=+--t t t ， ……………11分解得：1±=t 或253±=t . ……………12分 又因为0<t ，所以1-=t .即存在1-=t ，使得)1()(tq t q =成立. ……………13分17. （本题满分14分）解：（1）圆M 的方程可化为：2217(2)(2)2x y -+-=，所以圆心M （2，2），半径r=2. ……1分由于点A 的横坐标为4，所以点A 的坐标为（4，5），即AM =……………2分 若直线AC 的斜率不存在，很显然直线AM 与AC 夹角不是45，不合题意，故直线AC 的斜率一定存在，可设AC 直线的斜率为k ，则AC 的直线方程为5(4)y k x -=-，即540kx y k -+-=. ……………3分由于45=∠MAC 所以M 到直线AC 的距离为226||22==AM d ，此时r d <，即这样的点C 存在. ……………4分2=，2=，解得15 5k k =-=或. ……………5分 所以所求直线AC 的方程为0255=-+y x 或0215=+-y x . ……………6分 (2)当r AM 2||=时，过点A 的圆M 的两条切线成直角，从而存在圆上的点C （切点）使得45=∠MAC . ……………7分设点A 的坐标为),(y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅=-+-09172342)2()2(22y x y x ， ……………8分解得⎩⎨⎧==63y x 或⎩⎨⎧==36y x . ……………9分记点)6,3(为P ，点)3,6(为Q ，显然当点A 在 线段PQ 上时，过A 的圆的两条切线成钝角，从而必存在圆上的一点C 使得45=∠MAC ；……当点A 在线段PQ 的延长线或反向延长线上时，过A 的圆的两条切线成锐角，从而必不存在圆上的点C 使得45=∠MAC ， …………所以满足条件的点A 为线段PQ 上的点，即满足条件的点的横坐标取值范围是.……14分18．（本题满分14分） 解：（1）由()1f x =-可以看出，在区间(0,1]上，()f x 为增函数. ………………1分 又11()(1f x x x ===3分 显然)(1x f x在区间(0,1]∴ ()f x 在区间(0,1]为“弱增”函数. ………………4分（2）21()()f x f x -===.…6分[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠,∴111≥+x ，112≥+x ，21121>+++x x ，即2>，………………8分21()()f x f x ∴-2112x x <-. ………………9分 （3）当0x =时,不等式xax +≥-111显然成立. ………………10分“当(]0,1x ∈时，不等式xax +≥-111恒成立”等价于“ 当(]0,1x ∈时，不等式)111(1xx a +-≤即)(1x f x a ≤恒成立” . ………………11分也就等价于:“ 当(]0,1x ∈时， min )](1[x f xa ≤成立” . ………………12分 由(1)知1()f x x 在区间(0,1]上为减函数, 所以有221)1()](1[min -==f x f x . ……………13分 ∴221-≤a ，即221-≤a 时，不等式xax +≥-111对[]0,1x ∈恒成立. ……………14分。