2020年普特南数学竞赛题

普特南数学竞赛试题这是一道普特南数学竞赛试题，附带答案和解析。

题目：设正整数m的最后两位数字是17，求整数m的百位数字。

答案及解析：由题意可知，整数m的最后两位数字是17，即m = 100a + 17，其中a为整数。

首先，我们可以列举出满足条件的m的一些可能值：当a = 0时，m = 17；当a = 1时，m = 117；当a = 2时，m = 217；当a = 3时，m = 317；当a = 9时，m = 917；当a = 10时，m = 1017；可以发现，满足条件的m的百位数字都是1，因此答案为1。

解析：这道题涉及到整数的位数表示和规律分析。

我们可以通过列举一些满足条件的m的值，观察其规律，找到合理的解决方法。

首先，我们可以看到m是一个三位数，其百位数记为a，十位数记为b，个位数记为c，那么可以表示为m = 100a + 10b + c。

根据题意，最后两位数字是17，即b = 1，c = 7，所以m = 100a + 10 + 7 = 100a + 17。

接下来，我们分析一下m可能的取值范围。

百位数a可以从0到9取值，所以整数m的可能取值是：17, 117, 217, 317, , 917, 1017, ,我们可以发现，满足条件的m的百位数字都是1。

为什么满足条件的m的百位数字都是1呢？我们可以细致地观察一下。

当a < 10时，十位数b只能取1，个位数c只能取7，这样才能满足最后两位数字为17。

当a = 10时，十位数b为0，个位数c为7，同样可以满足最后两位数字为17。

所以，不管a的取值如何，最后两位数字都是17，满足题意。

因此，整数m的百位数字是1。

这道题目通过对整数位数表示和规律分析的探索，可以得到答案为1。

同时，这道题目也考察了对数字规律的观察和分析能力，以及对基本数学概念的掌握。

普特南高中数学竞赛试题一、选择题（每题5分，共30分）1. 若\( a \)和\( b \)是正整数，且\( a^3 + b^3 = 27 \)，求\( a + b \)的值。

A. 1B. 2C. 3D. 4E. 52. 在直角三角形中，若两直角边长度分别为3和4，求斜边的长度。

A. 5B. 6C. 7D. 8E. 93. 一个圆的半径是5，求其面积。

A. 25B. 50C. 75D. 100E. 1254. 一个数列的前三项为1, 1, 2，从第四项开始，每一项是前三项的和。

求第10项的值。

A. 143B. 144C. 145D. 146E. 1475. 若\( x \)满足方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)，求\( x \)的值。

A. 2, 3B. 1, 4C. 2, 4D. 3, 4E. 4, 66. 一个正六边形的内角和是多少？A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°E. 900°二、填空题（每题5分，共20分）7. 一个数的平方根是4，这个数是_________。

8. 将\( \frac{1}{2} \)和\( \frac{1}{3} \)相加，结果是_________。

9. 一个等差数列的首项是2，公差是3，第5项是_________。

10. 一个正方体的体积是27立方单位，其表面积是_________平方单位。

三、解答题（每题15分，共50分）11. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( n^3 - n \)总是3的倍数。

12. 解不等式：\( |x - 2| + |x + 3| > 8 \)。

13. 一个圆的直径是10，求其内接正方形的面积。

结束语本试题旨在考察学生的数学基础知识和解题能力。

希望同学们能够通过解答这些题目，提高自己的数学素养和解决问题的能力。

祝大家取得好成绩！请注意，以上内容是虚构的，仅作为示例。

DAB2020年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答2016年6月5日上午8:3011:00--一、填空题（每小题7分，共56分）1、若()22016log 65y x ax =-+的值域为R +，那么a 的取值范围是 ．答案：1616a -<<．解：由值域y R +∈，2651x ax ∴-+>，2640x ax ⇒-+>24640a ∴∆=-⋅<，∴1616a -<<.2、四面体ABCD 中，ABC ∆是一个正三角形，2AD BD ==，AD BD ⊥， AD CD ⊥，则D 到面ABC 的距离为．答案：．解：如图，据题意得，AB ==于是BC CA AB ===2CD ==，因222BC BD CD =+，得BD CD ⊥，从而以D 为顶点的三面角是三直三面角， 四面体体积1433BCD V AD S ∆=⋅=，而2ABC S AB ∆== 若设D 到面ABC 的距离为h，则133ABC V h S h ∆=⋅=，由433h =，得到3h =． 3、若对于所有的正数,x y ，≤，则实数a 的最小值是 ．答．解：由221+=≤，当x y =时取等号．4、已知P 是正方形ABCD 内切圆上的一点，记,APC BPD αβ∠=∠=，则22tan tan αβ+= ．答案：8．解：如图建立直角坐标系，设圆方程为222x y r +=， 则正方形顶点坐标为(,),(,),(,),(,)A r r B r r C r r D r r ----若点P 的坐标为(cos ,sin )P r r θθ，于是直线,,,PA PB PC PD 的斜率分别为1sin 1sin ,1cos 1cos PA PB k k θθθθ++==-+-，1sin 1sin ,1cos 1cos PC PD k k θθθθ--==--+， 所以222tan 4(cos sin )1PC PA PA PC k k k k αθθ⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭，222tan 4(cos sin )1PD PB PB PD k k k k βθθ⎛⎫-==+ ⎪+⎝⎭，由此立得22tan tan 8αβ+=．解2：取特例，P 在坐标轴上，则αβ=， 这时，2tan cot 2tan 1αγβ====，2222tan tan 228αβ∴+=+= 5、等差数列2,5,8,,2015L 与4,9,14,,2014L 的公共项（具有相同数值的项）的个数是 ．答案：134．解：将两个数列中的各项都加1，则问题等价于求等差数列3,6,9,,2016L 与等差数列5,10,15,,2015L 的公共项个数；前者是{}1,2,3,,2016M =L 中的全体能被3整除的数，后者是M 中的全体能被5整除的数，故公共项是M 中的全体能被15整除的数，这种数有201613415⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个．9876543216、设x 为锐角，则函数sin sin 2y x x =的最大值是．答案：9． 解：由22sin cos y x x =，得2422224sin cos 2(1cos )(1cos )2cos y x x x x x ==--⋅33222(1cos )(1cos )2cos 216223327x x x ⎛⎫-+-+⎛⎫≤=⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以9y ≤．当21cos 3x =时取得等号． 7、若将前九个正整数1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填写于一张33⨯方格表的九个格子中，使得每行三数的和，每列三数的和皆为质数，你的填法是解答：（答案有多种）8、把从1到n (1)n >这n 个连续正整数按适当顺序排成一个数列，使得数列中每相邻两项的和为平方数，则正整数n 的最小值是 ．答案：15．例如，排出的一个数列为(8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9)．解：这是一个操作问题，若用文字表达较为繁琐，故适宜作为填空题直接操作． 记这n 个连续正整数的集合为{}1,2,,M n =L ，由于1n >，则M 中必有2，而279+=，所以7n ≥，当7n =时，从1到7这7个数可以搭配成满足条件的三个数段：(1,3,6),(2,7),(4,5)，但它们不能连接成一个7项的数列，故应增加后续的数，增加8可使得第一段扩充成(8,1,3,6)，增加9可使得第二段扩充成(2,7,9)，但新的三段也不能连接，还需增加新数，即10n ≥，而之前的数若与8,9,10邻接，只有819,9716,+=+=10616+=，这三段扩充为(8,1,3,6,10)，(2,7,9)，(4,5)，仍旧不能连接，应当借助新的平方数25，从1到10这10个数能搭配成和为25的最小数是15，则15n ≥，而当{}1,2,,15M =L 时，可排出上面的情形：(8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9)．二、解答题（共64分）9、（14分）如图，CD 是椭圆22221x y a b+=过椭圆长轴的左顶点A 作CD 另一点N ，交椭圆短轴所在直线于M ， 证明：AM AN CO CD ⋅=⋅． 证1：椭圆方程为cos ,sin x a y b θθ==，点,A N 的坐标为(,0),(cos ,sin )A a N a b θθ-，则直线AN 方程为cos sin x a t y t θθ=-+⎧⎨=⎩， ……3' 代入椭圆方程得到222222(cos sin )2cos 0b a t ab t θθθ+-=，222222cos cos sin ab AN t b a θθθ==+，()cos 2a AM πθθ=≠，……6' 因此2222222cos sin a b AM AN b a θθ⋅=+，……9'又据AN ∥CD ，则点,C D 坐标为：(cos ,sin )C OD OD θθ--，(cos ,sin )D OD OD θθ，……12'因为,C D 在椭圆上，则2222222cos sin a b CO b a θθ=+，而，222222222cos sin a b CO CD CO b a θθ⋅==+，因此AM AN CO CD ⋅=⋅．……14' 证2：易知CD 的斜率k 存在，不妨令:CD y kx =，与椭圆方程联系， 解得222222222222C D b a k b a k b a k b a k ⎛⎫⎛⎫++++⎝、 ……3' ()()222222222222141k a bk a b CO CD b a kb a k++∴==++,()22222221k a b CO CD b a k+∴⋅=+……6'AN 方程为： ()(),0,y k x a M ka =+∴.将AN 方程与椭圆方程联立，得()222232222220b a k x a k x k a a b +++-=322322222222,A N N a k ab a k x x x b a k b a k -∴+=-∴=++ ……9'222222,1N kab y AM a k b a k=∴=++ ……12' ()2232224222222222421ab a k k a b ab k AN a b a k b a k ⎛⎫-+=++= ⎪+⎝⎭+， ()22222221a b k AM AN CO CD b a k+∴⋅==⋅+ …14'10、（15分）如图，D 是ABC ∆的旁心，点A 关于直线DC 的对称点为E ．证明： (1)、,,B C E 三点共线；(2)、,,,A B D E四点共圆．证：1、延长DC 到M ，延长AC 到N ,连CE ，D Q 为旁心，CD ∴平分BCN ∠，……2'又A E 、关于DC 对称，CM ∴平分ACE ∠DCN ACM ∴∠=∠,BCD MCE ⇒∠=∠ BCN ACE ∴∠=∠,B ∴、C 、E 三点共线。

第六十八届普特南数学竞赛答案1、8．数轴上一个数到原点距离是8，则这个数表示为多少（）[单选题] *A．8或﹣8(正确答案)B．4或﹣4C．8D．﹣42、2005°角是（）[单选题] *A、第二象限角B、第二象限角(正确答案)C、第二或第三象限角D、第二或第四象限角3、14、在等腰中，如果的长是的2倍，且三角形周长为40，那么的长是（）[单选题] * A．10B．16 (正确答案)C．10D．16或204、下列计算正确是（）[单选题] *A. 3x﹣2x=1B. 3x+2x=5x2C. 3x?2x=6xD. 3x﹣2x=x(正确答案)5、40．若x+y＝2，xy＝﹣1，则（1﹣2x）（1﹣2y）的值是（）[单选题] * A．﹣7(正确答案)B．﹣3C．1D．96、37．若x2+2（m﹣1）x+16是完全平方式，则m的值为（）[单选题] * A．±8(正确答案)B．﹣3或5C．﹣3D．57、若a＝－3 ?2，b＝－3?2，c＝(－)?2，d＝(－)?，则( ) [单选题] *A. a＜d＜c＜bB. b＜a＜d＜cC. a＜d＜c＜bD. a＜b＜d＜c(正确答案)8、二次函数y=3x2-4x+5的二次项系数是（）。

[单选题] *3(正确答案)4519、39、在平面直角坐标系中，将点A（m，m+9）向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点B，若点B在第二象限，则m的取值范围是（）[单选题] *A．﹣11＜m＜﹣4B．﹣7＜m＜﹣4(正确答案)C．m＜﹣7D．m＞﹣410、3．(2020·新高考Ⅰ，1,5分)设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=( ) [单选题] * A．{x|2<x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4}(正确答案)D．{x|1<x<4}11、已知2x=8,2y=4,则2x+y=（）[单选题] *A 、32(正确答案)B 、33C、16D、412、35、下列判断错误的是（）[单选题] *A在第三象限，那么点A关于原点O对称的点在第一象限.B在第二象限，那么它关于直线y=0对称的点在第一象限.(正确答案) C在第四象限，那么它关于x轴对称的点在第一象限.D在第一象限，那么它关于直线x=0的对称点在第二象限.13、20．下列说法正确的是（）[单选题] *A．符号相反的两个数互为相反数B．一个数的相反数一定是正数C．一个数的相反数一定比这个数本身小D．一个数的相反数的相反数等于原数(正确答案)14、下列各角中，是界限角的是（）[单选题] *A. 1200°B. -1140°C. -1350°(正确答案)D. 1850°15、y=k/x（k是不为0的常数）是（）。

普特南大学数学竞赛试题及答案问题一：证明对于任意正整数\( n \)，\( 1^2 + 1 + 2^2 + 2 + \ldots +n^2 + n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)。

答案一：我们可以使用数学归纳法来证明这个等式。

首先，当\( n = 1 \)时，左边等于1，右边等于1，等式成立。

假设对于某个正整数\( k \)，等式成立，即：\[ 1^2 + 1 + 2^2 + 2 + \ldots + k^2 + k =\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} \]我们需要证明对于\( n = k + 1 \)时，等式也成立：\[ 1^2 + 1 + 2^2 + 2 + \ldots + k^2 + k + (k+1)^2 + (k+1) \] \[ = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 + (k+1) \]\[ = \frac{k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)^2 + 6(k+1)}{6} \]\[ = \frac{(k+1)(2k^2 + k + 6k + 6 + 6)}{6} \]\[ = \frac{(k+1)(2k^2 + 7k + 12)}{6} \]\[ = \frac{(k+1)(2(k+1)(k+3) + 6)}{6} \]\[ = \frac{(k+1)(k+1)(2(k+1) + 3)}{6} \]\[ = \frac{(k+1)(k+1)(2(k+1) + 1)}{6} \]这证明了当\( n = k + 1 \)时等式也成立。

因此，对于所有正整数\( n \)，等式成立。

问题二：给定一个圆的半径为\( r \)，求圆内接正六边形的边长。

答案二：圆内接正六边形的边长等于半径\( r \)。

这是因为正六边形可以被划分为六个等边三角形，每个等边三角形的边长都是\( r \)。

问题三：如果\( a \)和\( b \)是两个正整数，且\( a^2 - b^2 = 1 \)，证明\( a \)和\( b \)中至少有一个是偶数。

六年级下学期期末数学竞赛试题一、填空：（每空1分，共24分）1、43吨＝（ ）千克 15分＝（ ）时 2、（ ）和0.3互为倒数3、比16千克多21 是（ ）千克；（ ）米比36米少32米 4、女生有25人，男生有20人，男生比女生少（ ）%5、（ ）÷8 = （ ）4= 0.5 =( )% = ( ):( )=（ ）折 6、将5.4：0.3化简为最简单的整数比是（ ），比值是（ ）7、一件衣服原价400元，先降价51，再提价41，现在这件衣服需要（ ）元 8、把圆剪开，拼成一个近似的长方形，长方形的长为12.56cm ，这个圆的周长是（ ）cm ，面积是（ ）2cm9、把一个圆柱的直径扩大3倍后，高不变，它的侧面积为原来的（ ）倍，它的体积为原来的（ ）倍.10、把一个直径为2分米，高为3分米的圆柱形木料，如果沿高切开得到两个几何体，表面积增加的最大值是（ ）平方分米；如果削为一个最大的圆锥，圆锥的体积是（ ）立方分米11、从一个长是10分米，宽是6分米的长方形纸里剪出一个最大的圆，这个圆面积是（ ）平方分米，剩下部分的面积约占长方形总面积的（ ）%二、判断下面各题，对的在括号里画“√”，错的画“×”（5分）1、甲比乙多 15 米，也就是乙比甲少 15米 （ ） 2、 某班男、女生人数的比是7：8，男生占全班人数的157 （ ） 3、 半径是2厘米的圆，它的周长与面积相等 （ ）4、 某商品打“七五折”出售，就是降价85%出售 （ ）5、一个圆柱和一个圆锥的高相等，体积也相等，圆柱的底面积是15平方厘米，则圆锥的底面积是5平方厘米 （ ）三、选择正确的答案，把答案的序号填在括号里 （5分）1、下面的算式中结果最小的是（ ）A 、683÷B 、 836÷ C 、 836⨯ 2、甲数是乙数的54,乙数比甲数少（ ）% A 、25 B 、75 C 、203、某校七年级有500名学生，在一次视力检查中，近视的的有200人，绘制成扇形统计图，代表“视力近视”的扇形圆心角是 （ ）A 、144°B 、162°C 、216°4、一件工程，甲队单独做需5天完成，乙队单独做需4天完成，甲乙两队的工效的比是（ ）A 、5 :4B 、4 ：5C 、41：51 5、一个圆锥与一个圆柱体的底面周长的比是1：2，圆锥的高是圆柱的6倍，圆柱体的体积是圆锥的（ ）A 、 2 倍B 、32C 、61 四、计算下面各题（40分）1、直接写出得数（每式1分，共8分）34 ×8 = 23 ÷2 = 910 ÷ 35 = 16 × 38= 103×125= 1÷115= 21÷60%= 6.8÷10%= 2、怎样算简便就怎样算（每式3分，共15分）49 × 15 ÷ 45 81×58＋42÷8 36×（23 ＋ 16 － 75%） 81×[21÷（53×910）] （21＋41）÷（80%÷4－101）3、解方程（9分）x ÷43＝54 1－85x ＝34 ×23 41x ＝31:30％4、看图计算（每题4分，共8分）（1）求下面图形中阴影部分的面积.(单位：cm)（2）把一个棱长6分米的正方体木块，削成一个最大的一圆柱体，这个圆柱的体积是多少立方分米？四、应用题：（每题共26分，第1、2、3、5、6题每题4分，第4题6分）1、鹅的孵化期是30天，鸭的孵化期是鹅的1514，鸡的孵化期是鸭的43。

2020年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1．在等比数列{}n a 中，91313,1a a ==，则1log 13a 的值为________．2．在椭圆Γ中，A 为长轴的一个端点，B 为短轴的一个端点，12,F F 为两个焦点．若12120AF AF BF BF ⋅+⋅=，则12||AB F F 的值为________． 3．设0a >，函数100()f x x x=+在区间(0,]a 上的最小值为1m ，在区间[,)a +∞上的最小值为2m ，若122020m m =，则a 的值为______． 4．设z 为复数．若2z z i--为实数（i 为虚数单位），则|3|z +的最小值为______． 5．在ABC 中，6,4AB BC ==，边AC66sin cos 22A A+的值为_______．6．正三棱锥P ABC -的所有棱长均为1，L ，M ，N 分别为棱,,PA PB PC 的中点，则该正三棱锥的外接球被平面LMN 所截的截面面积为________．7．设,0a b >，满足：关于xb =恰有三个不同的实数解123,,x x x ，且123x x x b <<=，则a b +的值为_____．8．现有10张卡片，每张卡片上写有1，2，3，4，5中两个不同的数，且任意两张卡片上的数不完全相同．将这10张卡片放入标号为1，2，3，4，5的五个盒子中，规定写有i ，j 的卡片只能放在i 号或j 号盒子中．一种放法称为“好的”，如果1号盒子中的卡片数多于其他每个盒子中的卡片数．则“好的”放法共有________种． 二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分16分）在ABC中，sin 2A =．求cos B C +的取值范围． 10．（本题满分20分）对正整数n 及实数(0)x x n ≤<，定义[][]1(,)(1{})C {}C x x n n f n x x x +=-⋅+⋅，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，{}[]x x x =-．若整数,2m n ≥满足121,,,123mn f m f m f m n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求121,,,mn f n f n f n m m m -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．11．（本题满分20分）在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 在双曲线1xy =上， 满足ABC 为等腰直角三角形．求ABC 的面积的最小值．2020年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）一．（本题满分40分）如图，在等腰ABC 中，AB BC =，I 为内心，M 为BI 的中点，P 为边AC 上一点，满足3AP PC =，PI 延长线上一点H 满足MH PH ⊥，Q 为ABC 的外接圆上劣弧AB 的中点．证明：BH QH ⊥．二．（本题满分40分）给定整数3n ≥．设122122,,,,,,,n n a a a b b b 是4n 个负实数，满足1221220n n a a a b b b +++=+++>，且对任意1,2,,2i n =，有21i i i i a a b b ++≥+（这里211222211,,n n n a a a a b b +++===）．求122n a a a +++的最小值．三．（本题满分50分）设12121,2,2,3,4,n n n a a a a a n --===+=证明：对整数5n ≥，n a ，必有一个模4余1的素因子．四．（本题满分50分）给定凸20边形P ．用P 的17条在内部不相交的对角线将P 分割成18个三角形，所得图形称为P 的一个三角剖分图．对P 的任意一个三角剖分图T ，P 的20条边以及添加的17条对角线均称为T 的边．T 的任意10条两两无公共端点的边的集合称为T 的一个完美匹配．当T 取遍P 的所有三角剖分图时，求T 的完美匹配个数的最大值．2020年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．答案13．解：由等比数列的性质知219913a a a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故339121313a a a ==．所以11log 133a =．2．答案：2解：不妨设Γ的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，(,0),(0,)A a B b ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，其中c a b =-．由条件知()222221212()()20AF AF BF BF c a c a c b a b c ⋅+⋅=---+-+=+-=．所以12||222AB F F c c ===． 3．答案：1或100．解：注意到()f x 在(0,10]上单调减，在[10,)+∞上单调增．当(0,10]a ∈时，12(),(10)m f a m f ==；当[10,)a ∈+∞时，12(10),()m f m f a ==．因此总有 12()(10)2020f a f m m ==，即100202010120a a +==，解得1a =或100a =． 4解法1：设(,)z a bi a b =+∈R ，由条件知22222(2)i (2)(1)22Im Im 0i (1)i (1)(1)z a b a b ab a b z ab a b a b ⎛⎫--+---++-⎛⎫==== ⎪ ⎪-+-+-+-⎝⎭⎝⎭， 故22a b +=．从而3||(3)2|5z a b +=≥++=，即|3|z +≥．当2,2a b =-=时，|3|z +． 解法2：由2z z i-∈-R 及复数除法的几何意义，可知复平面中z 所对应的点在2与i 所对应的点的连线上（i 所对应的点除外），故|3|z +的最小值即为平面直角坐标系xOy中的点(3,0)-到直线220x y +-==5．答案：211256． 解：记M 为AC 的中点，由中线长公式得()222242BM AC AB BC +=+，可8AC ==．由余弦定理得2222228647cos 22868CA AB BC A CA AB +-+-===⋅⋅⋅，所以 66224224sin cos sin cos sin sin cos cos 22222222A A A A A A A A ⎛⎫⎛⎫+=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22222sin cos 3sin cos 2222A A A A ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭231sin 4A =-213211cos 44256A =+=． 6．答案：3π． 解：由条件知平面LMN 与平面ABC 平行，且点P 到平面,LMN ABC 的距离之比为1:2．设H 为正三棱锥P ABC -的面ABC 的中心，PH 与平面LMN 交于点K ，则PH ⊥平面ABC ，PK ⊥平面LMN ，故12PK PH =．正三棱锥P ABC -可视为正四面体，设O 为其中心（即外接球球心），则O 在PH 上，且由正四面体的性质知14OH PH =．结合12PK PH =可知OK OH =，即点O 到平面,LMN ABC 等距．这表明正三棱锥的外接球被平面,LMN ABC 所截得的截面圆大小相等．从而所求截面的面积等于ABC 的外接圆面积，即23ππ⋅=．7．答案：144．解：令2a t x =+，则关于t b +=恰有三个不同的实数解(1,2,3)2i i at x i =+=．由于()f t =为偶函数，故方程()f t b =的三个实数解关于数轴原点对称分布，从而必有(0)b f ==()f t =当||2a t ≤时，()2f t a =+=≤，等号成立当且仅当0t =；当2at >时，()f t 单调增，且当58a t =时()f t =2a t <-时，()f t 单调减，且当58at =-时()f t =从而方程()f t =12355,0,88t a t t a =-==．由条件知3328a ab x t ==-=，结合b =得128a =． 于是91448aa b +==． 8．答案：120．解：用{,}i j 表示写有i ，j 的卡片．易知这10张卡片恰为{,}(15)i j i j ≤<≤． 考虑“好的”卡片放法．五个盒子一共放有10张卡片，故1号盒至少有3张卡片，能放入1号盒的卡片仅有{1,2},{1,3},{1,4},{1,5}．情况一：这4张卡片都在1号盒中，此时其余每个盒中已经不可能达到4张卡片，故剩下6张卡片无论怎样放都符合要求，有6264=种好的放法．情况二：这4张卡片恰有3张在1号盒中，且其余每盒最多仅有2张卡片． 考虑{1,2},{1,3},{1,4}在1号盒，且{1,5}在5号盒的放法数N ．卡片{2,3},{2,4},{3,4}的放法有8种可能，其中6种是在2，3，4号的某个盒中放两张，其余2种则是在2，3，4号盒中各放一张．若{2,3},{2,4},{3,4}有两张在一个盒中，不妨设{2,3},{2,4}在2号盒，则{2,5}只能在5号盒，这样5号盒已有{1,5},{2,5}，故{3,5},{4,5}分别在3号与4号盒，即{2,5},{3,5},{4,5}的放法唯一；若{{2,3},{2,4},{3,4}在2，3，4号盒中各一张，则2，3，4号盒均至多有2张卡片，仅需再使5号盒中不超过2张卡片，即{2,5},{3,5},{4,5}有0张或1张在5号盒中，对应0133C C 4+=种放法．因此612414N =⨯+⨯=．由对称性，在情况二下有456N =种好的放法． 综上，好的放法共有6456120+=种．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．解：记cos f B C =+． 由条件知4A π=或34A π=． 4分 当4A π=时，34B C π=-，其中304C π<<，此时3cos sin (0,1]44f C C C C C ππ⎛⎫⎛⎫=-+=+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 8分当34A π=时，4B C π=-，其中04C π<<，此时cos sin )422f C C C C C πϕ⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭，其中arctan3ϕ=． 12分注意到,42ππϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数())g x x ϕ=+在0,2πϕ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调增，在,24ππϕ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调减，又(0)2,42g g g ππϕ⎛⎫⎛⎫=>=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f ∈．综上所述，cos f B C =+的取值范围是(0,1]⋃． 16分 10．解：对0,1,,1k m =-，有111111111,C 1C C C 2n n n k k k k m m m m i i i i i i n f m k n n n---++===-⎛⎫⎛⎫+=⋅-+⋅=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑． 5分 所以111101121,,,C ,m m n j m j k i mn i f m f m f m f m k n n n n ---===-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑11100122C C 2m m mk k m m k k n --+==-⎛⎫=-+⋅+ ⎪⎝⎭∑∑()12221212112m mm m n n -=-+⋅-+-=--． 10分同理得()121,,,211nmn f n f n f n m m m m -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 由条件知()211123m n --=，即()21124m n -=，故()21|124m -．又2m ≥，所以21{3,7,15,31,63,127,}m -∈，仅当5m =时，2131m -=为124的约数，进而有124431n ==．进而 ()4121,,,215174mn f n f n f n m m m -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 20分11．解：不妨设等腰直角ABC 的顶点A ，B ，C 逆时针排列，A 为直角顶点． 设(,)AB s t =，则(,)AC t s =-，且ABC 的面积2221||22ABCs t SAB +== 5分注意到A 在双曲线1xy =上，设1,A a a ⎛⎫⎪⎝⎭，则11,,,B a s t C a t s a a ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由B ，C 在双曲线1xy =上，可知11()()1a s t a t s a a ⎛⎫⎛⎫++=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，这等价于sat st a+=-， ① tas st a-+=． ② 由①、②相加，得()0s ta t s a-++=，即 2t sa t s-=+． ③由①、②相乘，并利用③，得2222221s t s t at as a st s t a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222224t s t s st st s t st s t t s t s s t -+⎛⎫=-⋅+-=⋅+- ⎪+--⎝⎭()22222s t s t +=-． 10分所以由基本不等式得()()()4222222222222221224s t s t s t s t s t s t +=--=⋅⋅⋅-()()3262222222222143108s t s t s t s t ⎛⎫++-+ ⎪≤⋅= ⎪⎝⎭， ④故22s t +≥= 15分以下取一组满足条件的实数(,,)s t a ，使得22s t +=,,s t a 可确定一个满足条件的ABC ，使得222ABCs t S+==．考虑④的取等条件，有()222222s t s t =-，即222s t=±不妨要求0s t <<，结合22s t +=s t ==由①知0a <，故由③得a=t s ==，从而有a =综上，ABC 的面积的最小值为 20分2020年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次． 一．证明：取AC 的中点N ．由3AP PC =，可知P 为NC 的中点．易知B ，I ，N 共线，90INC ∠=︒．由I 为ABC 的内心，可知CI 经过点Q ，且QIB IBC ICB ABI ACQ ABI ABQ QBI ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠， 又M 为BI 的中点，所以QM BI ⊥．进而//QM CN ． 10分考虑HMQ 与HIB ．由于MH PH ⊥，故90HMQ HMI HIB ∠=︒-∠=∠． 又90IHM INP ∠=∠=︒，故HM NP HI NI =，于是1122HM NP NC MQ MQHI NI NI MI IB==⋅=⋅=． 所以HMQ HIB ∽，得HQM HBI ∠=∠． 30分从而H ，M ，B ，Q 四点共圆．于是有90BHQ BMQ ∠=∠=︒，即BH QH ⊥． 40分二．解：记122122n n S a a a b b b =+++=+++．不失一般性，设13212n ST a a a -=+++≤． 当3n =时，因为()()()32222212113355111302k k k T a a a a a a a a -+=-⋅=-+-+-≥∑， 故结合条件可知()23322121212113334k k k k k k S T a a b b S -+-==≥≥⋅≥⋅+=∑∑． 又0S >，所以12S ≥．当2(16)i i a b i ==≤≤时，S 取到最小值12． 10分 当4n ≥时，一方面有()212121211nnk k k k k k aab b S -+-==≥+=∑∑．另一方面，若n 为偶数，则()()221211523372114nk k n n k T aaa a a a a a -+--=≤++++++≤∑，其中第一个不等式是因为()()15233721n n a a a a a a --++++++展开后每一项均非负，且包含2121(1)k k a a k n -+≤≤这些项，第二个不等式利用了基本不等式． 20分若n 为奇数，不妨设13a a ≤，则12121212121311nn k k k k n k k a a a a a a --+-+-==⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭∑∑ ()()2152137234n n T a a a a a a --≤++++++≤．从而总有2221211416nk k k T S S a a -+=≤≤≤∑．又0S >，所以16S ≥． 30分 当1234124,0(52),0,16,0(32)i i a a a a a i n b b b i n =====≤≤===≤≤时，S 取到最小值16．综上，当3n =时，S 的最小值为12；当4n ≥时，S 的最小值为16． 40分三．证明：记11αβ=+=-n nn a αβαβ-=-．记2n nn b αβ+=，则数列{}n b 满足122(3)n n n b b b n --=+≥ ①因121,3b b ==均为整数，故由①及数学归纳法，可知{}n b 每项均为整数． 10分由222()22n nn nn αβαβαβαβαβ⎛⎫⎛⎫+--⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可知 222(1)(1)n n n b a n -=-≥ ② 20分当1n >为奇数时，由于1a 为奇数，故由{}n a 的递推式及数学归纳法，可知n a 为大于1的奇数，所以n a 有奇素因子p ．由②得21(mod )nb p ≡-，故 112(1)(mod )p p nbp --≡-．又上式表明(),1n p b =，故由费马小定理得11(mod )p n b p -≡，从而12(1)1(mod )p p --≡．因2p >，故必须12(1)1p --=，因此1(mod 4)p ≡． 30分另一方面，对正整数m ，n ，若|m n ，设n km =，则()(1)(2)(2)(1)n n m mk m k m m m k m k m n a αβαβααβαββαβαβ------==⋅++++--()()1(212)(212)01(22)(22)0(),2,()(),2 1.l im l i m l i m m i l im l i m l i m lm m i a k l a k l αβαβαβαβαβ-----=---=⎧⋅+=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⋅++=+ ⎪⎪⎝⎭⎩∑∑ 因2s s s b αβ+=为整数（对正整数s ），1αβ=-为整数，故由上式知n a 等于m a 与一个整数的乘积，从而|m n a a ．因此，若n 有大于1的奇因子m ，则由前面已证得的结论知m a 有素因子1(mod 4)p ≡，而|m n a a ，故|n p a ，即n a 也有模4余1的素因子． 40分 最后，若n 没有大于1的奇因子，则n 是2的方幂．设2(3)l n l =≥，因84082417a ==⨯有模4余1的素因子17，对于4l ≥，由8|2l 知82|l a a ，从而2l a 也有素因子17．证毕． 50分四．解：将20边形换成2n 边形，考虑一般的问题．对凸2n 边形P 的一条对角线，若其两侧各有奇数个P 的顶点，称其为奇弦，否则称为偶弦．首先注意下述基本事实：对P 的任意三角剖分图T ，T 的完美匹配不含奇弦．（*）如果完美匹配中有一条奇弦1e ，因为T 的一个完美匹配给出了P 的顶点集的一个配对划分，而1e 两侧各有奇数个顶点，故该完美匹配中必有T 的另一条边2e ，端点分别在1e 的两侧，又P 是凸多边形，故1e 与2e 在P 的内部相交，这与T 是三角剖分图矛盾． 10分记()f T 为T 的完美匹配的个数．设121,2F F ==，对212,k k k k F F F ++≥=+，是Fibonacci 数列．下面对n 归纳证明：若T 是凸2n 边形的任意一个三角剖分图，则()n f T F ≤． 设122n P A A A =是凸2n 边形．从P 的2n 条边中选n 条边构成完美匹配，恰有两种方法，1234212,,,n n A A A A A A -或2345222121,,,,n n n A A A A A A A A --．当2n =时，凸四边形P 的三角剖分图T 没有偶弦，因此T 的完美匹配只能用P 的边，故2()2f T F ==．当3n =时，凸六边形P 的三角剖分图T 至多有一条偶弦．若T 没有偶弦，同上可知()2f T =．若T 含有偶弦，不妨设是14A A ，选用14A A 的完美匹配是唯一的，另两条边只能是2356,A A A A ，此时()3f T =．总之3()3f T F ≤=．结论在2,3n =时成立．假设4n ≥，且结论在小于n 时均成立．考虑凸2n 边形122n P A A A =的一个三角剖分图T ．若T 没有偶弦，则同上可知()2f T =．对于偶弦e ，记e 两侧中P 的顶点个数的较小值为()w e ．若T 含有偶弦，取其中一条偶弦e 使()w e 达到最小，设()2w e k =，不妨设e 为221n k A A +，则每个(1,2,,2)i A i k =不能引出偶弦．事实上，假设i j A A 是偶弦，若{22,23,,21}j k k n ∈++-，则i j A A 与e 在P 的内部相交，矛盾．若{1,2,,21,2}j k n ∈+，则()2i j w A A k <，与()w e 的最小性矛盾．又由（*）知完美匹配中没有奇弦，故122,,,k A A A 只能与其相邻顶点配对，特别地，1A 只能与2A 或2n A 配对．下面分两种情况．情形1：选用边12A A ．则必须选用边34212,,k k A A A A -．注意到221n k A A +的两侧分别有2,222k n k --个顶点，()2212222n k n k w A A k +--≥=，而4n ≥，因此226n k -≥，在凸22n k -边形121222k k n P A A A ++=上，T 的边给出了1P 的三角剖分图1T ，在T 中再选取n k -条边，12,,,n k e e e -，与1234212,,,k k A A A A A A -一起构成T 的完美匹配，当且仅当12,,,n k e e e -是1T 的完美匹配．故情形1中的T 的完美匹配个数等于()1f T ． 20分情形2：选用边12n A A ．则必须选用边23221,,k k A A A A +．在凸222n k --边形2222321k k n P A A A ++-=中构造如下的三角剖分图2:T 对2221k i j n +≤<≤-，若线段i j A A 是T 的边，则也将其作为2T 的边，由于这些边在内部互不相交，因此可再适当地添加一些2P 的对角线，得到一个2P 的三角剖分图2T ，它包含了T 的所有在顶点222321,,,k k n A A A ++-之间的边．因此每个包含边2123221,,,n k k A A A A A A +的T 的完美匹配，其余的边必定是2T 的完美匹配．故情形2中的T 的完美匹配个数不超过()2f T ． 由归纳假设得()1n k f T F -≤，()21n k f T F --≤，结合上面两种情形以及1k ≥，有()()1211()n k n k n k n f T f T f T F F F F ----+≤+≤+=≤． 40分下面说明等号可以成立．考虑凸2n 边形122n A A A 的三角剖分图:n ∆添加对角线222332121442232,,,,,,,n n n n n n n n n A A A A A A A A A A A A A A ---++．重复前面的论证过程，()22f ∆=，()33f ∆=．对n ∆，4n ≥，考虑偶弦3n A A ．情形1，用12A A ，由于在凸22n -边形342n A A A 中的三角剖分图恰是1n -∆，此时有()1n f -∆个T 的完美匹配．情形2，用12n A A ，由于在凸24n -边形4521n A A A -中T 的边恰构成三角剖分图2n -∆，不用添加任何对角线，故这一情形下T 的完美匹配个数恰为()2n f -∆．从而对4n ≥，有()()()12n n n f f f --∆=∆+∆．由数学归纳法即得()n n f F ∆=，结论得证．因此，对凸20边形P ，()f T 的最大值等于1089F =． 50分。

2020 年全国高中数学联赛试题及详细解析说明：1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。

选择题只设6 分和 0 分两档，填空题只设9 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。

2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分， 5 分为一个档次，不要再增加其他中间档次。

一、选择题（本题满分36 分，每小题 6 分）本题共有 6 小题，每小题均给出 A ， B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。

请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。

每小题选对得 6 分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得 0 分。

1．使关于 x 的不等式 x 36 x k 有解的实数 k 的最大值是（）A ． 63B． 3C． 63D ． 62．空间四点 A 、 B 、 C 、 D 满足 | AB | 3, | BC | 7 , | CD | 11 , | DA | 9 , 则 AC BD 的取值（）A ．只有一个B ．有二个C ．有四个D ．有无穷多个a 1 a 2 a 3a 4| a iT , i 1,2,3,4}, 将 M 中的元素按从大到小的6. 记集合 T { 0,1,2,3,4,5,6}, M {7 27 3747序排列， 第2020 个数是（）A ． 5 5 6 3B ． 55 6 2 7 7273 74 772 73 7 4 C ．11 0 4 D ．11 0 3 7 72737477273 7 4二、填空 （本 分54 分，每小 9 分） 本 共有 6 小 ，要求直接将答案写在横 上。

7. 将关于 x 的多 式 f ( x)1 x x2 x 3x 19x 20 表 关于 y 的多 式 g( y)a 0 a 1 y a 2 y 2 a 19 y 19 a 20 y 20, 其中 y x 4. a 0a 1a20.8. 已知 f (x) 是定 在 ( 0,) 上的减函数， 若 f (2a 2a1) f (3a 24a 1) 成立， a 的取 范是。

2020年全国高中数学联赛江苏赛区复赛一、填空题(每题8分，满分64分，将答案填在答题纸上)2.____________ 若函数/(Λ)=(X2-1)(X2+^+⅛)对于任意XeR都满足/(X) = /(4-x),则f(x)的最小值是_____ .3•在正三棱柱ABC-A I B I C l中，D,E分别是侧棱BQ,CG上的点，EC=BC = 2BD,则截而ADE与底面ABC所成的二而角的大小是______________ ・4.若SinXSill2xsin3x+cosxcos2xcos3x = 1,则X = __________ ・5.设儿V是实数，则"+ ⑺•的最大值是2X4+4∕+9---------6.设Cl n =l + 2 + --+π,π∈∕V∖S m =q+①+…+ ©”，〃? = 123,…，则S1,52√-∙,52017中能被2整除但不能被4整除的数的个数是__________ •27.在直角平面坐标系XOy中，耳，▲分别是双曲线x2--^ = l(^>0)的左、右焦点，过点Fl作圆x2 + y2 = 1的切线，与双曲线左、右两支分别交于点A.B.若F l B = AB .则方的8.从正1680边形的顶点中任取若干个，顺次相连成多边形，英中正多边形的个数1•若数列仏｝满足则吆存的值为2 3 色+2/! + 1为 _________ ・二、解答题V-10 •在平而直角坐标系XOy 中，椭圆C:-+ y 2= 1的上顶点为A ∙不经过点A 的直线/与 椭圆C 交于P,Q 两点，且AP AQ=0.(1) 直线/是否过泄点？若是，求岀左点坐标；若不是，说明理由.(2) 过P,0两点分别作椭圆的切线，两条切线交于点3,求^BPQ 而积的取值范羽. 11.设函数 Λ(AT )=1+ X+丄X 2+••• + 丄x".2! n↑ (1)求证：当 XW(O,*o),时，e x > ∕r (x):2020年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准加试1.已知圆O 的内接五边形ABCDE 中AD 与BE 相交于点F, CF 的延长线交圆O 于点 P 、且 AB eD = BC ED求证：OPdAE.2•设X 」是非负实数，α=低+Qe=Jr 巨+j τ巨，若""是两个不相邻的整数, 求°丄的值，9•已知x,ye∕?,且X 2+ y 2=2,∣Λ∣≠∣y∣求点+G ⅛的最小值•(2)设x>0y neN ∖若存在ywR 使得Q=九W+一:一严 RS + l)!求证: OVyV X.3.平而上2〃个点（〃>1 MWN）,无三点共线，任意两点间连线段，将其中任意用+ 1条线段染成红色.求证：三边都为红色的三角形至少有”个•4•设”为正整数，I + - + -+ - +—=— >2 3 H h n其中a ll,bιι为互素的正整数，对素数”，令集合证明：对每一个素数p≥5,集合SP中至少有三个元素.1. 1试卷答案2. -163. 45°4. kπ.k∈Z3026 15盲二.解答题6. 2527 1 + √J8. 34329•解：因为X2 + y2 = 2.所以(χ + y)'+(χ-y)2 =4,所以点+FyVfc⅛+洁⅜+h+(-b) ≥1(1 + 1)2 =1.4v ,当X = λ∕2,y = O时，-__ + = 1.(兀+井(―井所以λ1x. + Z1的最小值为1.(χ+y)- (χ-γy10•解：(1)因为AP AQ = O f所以乔丄廷直线AP.AQ与X轴平行时，P或0与A重合，不合题意.设PA: y = kx+1,则QA:y = x + ∖.k将y = kx+l代入宀3b =3, w(l + 3∕r2}v2+6H = 0.所以XP =6k、— 21 + 3疋宀_] + 3疋_同理XQ=6k I6 Λ2+3°ek 2+3化简得/：〉，= -丄.4k 2直细纵截距是常数弓故直线,过定点所以P^=36(l÷^)∙ 宀 +宀 十(")•兽窖峠IL(l + 3∕)依2+3)」 (1 + 3/) ∖k 2+3f_36(1 + 疋*& + 15疋+15∕ + 1)(3^ + 10/+3)2^不妨设k>0,令f = £ +丄，贝∣J∕≥2,可化得PQ 2=k 即P-嘤乎.3r +4设B(X (P y o ),则切点弦PQ 的方程是X O X + 3y°y = 3 ,k _] 1又EQ 在l:y = —-—x--上，所以y 0 = -2 ,4k 2（2）由 (1)6∣Zr∣√l+P 1 + 3X同理, AQ = 6y ∣∖ +k 2k 2+336∕%2+ 12) (3r+4)2从而⅞ =3(2-1)2k因此的而积gxdxP 皆卜爲f x 寧晋9t i2(3/$+4)所以B 到P0的距离〃=3尸 2√r 2+1 9令“=一，则 O —,化得 S= 一~r ------ ・t2 2(4M 3+3W )当O VHS 丄时，4M 3+3M 递增，2O1所以OV4∕+3"S2,即S≥-,当且仅当U=-,即∕ = 2,k = 1时，等号成立，42故ABPQ 的而积S 的取值范困是冷11.解：(1)用数学归纳法证明如下：(i )当” =1 时，令/(X ) = ^-∕1(Λ) = ^-X -1,则/'(x) = e'-l>0,xe(0,p)恒成 立， 所以/(Λ)在区间(O,-KO)为增函数， 又因为 /(0)=0,所以/(Λ)>0,即e t> ∕1(x).(ii)假设H = k 时，命题成立，即当X ∈ (O,-KX))时，e x >f k (x),( 1 1 1则n = k + ∖时，令g(x)=e'—£+|(X)=，一 1 + X +-X 2+∙-∙ + -ΛΛ+-__ √+,6 7 用 72! k ∖ (k + ∖).函数，又因为 g(θ) = θ,所以 g(x)>0,x∈(θ,+oo)恒成立,即 e x> ./^+1(x),x∈(θ,+∞), 所以n = k +1时，命题成立.由(i )(ii )及归纳假设可知，V H ∈7V ∖当X ∈ (θ,+oo)时，£“〉£(x)・(2)由(1)可知 b>∕n Jx),即 A(A-)+-i-χn+1^v > A(Λ-)+-i-χn+1,所以R>l,即y>0,下证：yvx.下面先用数学归纳法证明：当Λ∙>O0 vl + x +丄F+…+厂丄^兀心+丄#ZsW AT 2! (-I)!n ∖(i )当 〃 =1 时，令 F(X)= ∖ + xe x -e x ,则 F ,(x) = Xe X > O,x ∈ (θ,+≪)),则 √(x)=e x-f l÷x÷l√÷-÷lχ 2! k ∖ = ^V-A(X)>0,所以g(x)在区间(0,+8)为增所以F(X)在区间(0,*o)单调增， 又F(O)=O,故F(X)>0,即e x<l + xe ∖(ii)假设H = k 时，命题成立，即当 X ∈(0,-HO)时，e x< l + x + -X 2 + …+ — XZ +-L√>∖ ' 72! (—1)! k ∖所以G(X)在区间(O,P)上为增函数，又G(O)=O,故G(X)>0,即由(i ) (ii )及归纳假设,可知当 XW(O,+8)时，e x< l + x + 丄 W +••■ + 丄 0 + ―― X n^e x.对舁 成立,2!n ∖ (" + 1)!所以't = 1+x+⅛χ2 +'+⅛χπ +(⅛χπ+v < 1+x+⅛χ2+"+^χn+0⅛x "v从而Rve"即yvx,证毕.复赛加试答案1.证明：连接PA PE.因为五边形ABCDE 内接于圆O , 所以 ZBA F = ZDEF, ZABF= ZEDF, 所以ZBF 〜随DF 、令 G(Λ) = 1 +X + A疋+ (1)k'・GtV)=I÷x÷l√÷.∙∙÷lχ^÷1所以箸FB FB 同理,PE PFBC" BF<l + x +丄/+・・・ +丄《?+2! k ∖DC DF因为ABSrCS 所以器耸" 所以PE=P4・即点P 是弧AE 的中点, 所以OP 丄AE2•解：因为αb 是不相邻的整数,所以 25b —a = JX+2 + J y+2 — (yfx + ^y)=(Jx+2 -Vxj+ (Jy+2 — y∣~y )2 I 2 √Λ∙ + 2 + √X Jy+ 2+77由于b-a 是整数，所以b-a = 2.设 a = 〃 - 1,Z?=H ÷ I,/? ∈ Z 9 即 y[x + y∣~y = U -19 JX +2 + Jy + 2 =Il+ 1, λj√^-√y IX-y I =n _ 1, _ ------- = /2 +1 ♦JX+ 2 — Jy+ 2则頁-V7=.χ-y ∖y [^2-^2=χ-y . n -1 /2 + 1于是 2 Vx = n -1 + -~~- ,2JX+ 2 = n +1 + -~~-n -1 /7 + 1从而2(n-i)y∣x = (n -Iy + (X- y\2(n + I)VX+ 2 = (/? +1)2+(x-y), 故(∕2-l)Vx + 2n = (/7 + l)Jx + 2 ・ 又因为(√Γ巨j-(√^j=2.①令t =長,得代入①得/2 + 12nt 2 -2〃(H-I ”-什 -2〃-I)= 0 ,2∏(H -1)± ^4H 2(∕7-1) +8/7(7?2-2/7-1) _ 77(/7-1)±(7? + 1 )J"(n- 2)4π2n“=”亠頁=也Zl 土壘mIn因此，/7 > 2,并且ZI(M-I)≥ S + UHQl -2), 即∕ι2-2w-l≤0,解之得l-√2≤n≤l +√2,由①X ②X ③得ABPE DC于是y[x = t =从而2 ≤ 7? < 1 + \/2 ,且n w Z ,故n = 2・所以a = ∖,b = 3.3.证明：首先证明一泄存在红色三角形(三边均为红色的三角形为红色三角形，下同)•设从顶点A出发的红色线段最多，由A引出的红色线段为AB I.AB2i- -,AB k ,则k≥n + ↑.若B1,B2∙∙∙,伤中存在两点，不妨设为B l,禺使线段B1B2为红色线段，则AAdB2为红色三角形，若B v B2,相互之间没有红色线段相连，则从B,(i = 12…,k)出发的红色线段最多有2n-k条,所以这2〃个点红色线段最多有丄W + k(2n-k)+ (In一1 一k)] = «(2" —R)≤ "十 ^^"~— = n~ < n~ +1.2与题设矛盾，所以存在以A为顶点的红色三角形，下面用数学归纳法证明，(1)当∏ = 2时，平而上有四个点A,5C,D中两两连线共有6条，其中有5条为红色，只有一条非红色，设为AB,则ΔACZλ与BCD均为红色三角形，命题成立，(2)假设n = k时，命题成立，即至少存在R个红色三角形，当〃 = R + 1时，有2k+2个点，且有(Ar+ I)2+ 1条红色线段,一泄存在一个红色三角形，设为MBe考察从A,B,C引出的红色线段分别记为d(A),d(B∖ J(C)条，不妨设J(A)≤√(B)≤ J(C) 若d(A)+ d(B)< 2k + 2,则除去点A, B余下的Ik个点之间至少有(k + l)2+l-(2 上+ I)?=疋+1,由归纳假设可知存在至少R 个红色三角形，再加上MBC 至少有£ + 1个红色三角形, 若d（A ）+ d （B ）≥2k + 3,贝IJd （A ）+ d （β）+d （C ）≥3k + 5,故从A.B.C 岀发向其它2«-1个点引出红色线段至少有3«-1条， 因为（3£_1）_（2£_1）=化 这（3/:-1）线段至少有R 对线段有公共点（不包括A^C ）故至少存在k 个红色三角形，再加上MBC,则至少有R+ 1个红色三角形， 所以n = k + ∖时命题也成立，由（1） （2）可知，当n>∖j ιeN 时，2“点之间的朴2 + 1条红色线段至少可组成”个红色 三角形・其中为互素的正整数，那么〃*・ 引理的证明：因为素数P≥5,由FemIat d×⅛理•以及I A+2' +--- + (/?-Iy ≡ θ(rnod “)，其中 ∖≤k ≤ P _2 ,有((切 +1X ® + 2)…(切 + P -1))Z A三一芬∙2I 三一壬严三0(mθd"/-1r-I所以((切+1X 切+2)…(切+ 〃_1))EA = PM(M WAr)4.证明：引理：设p 25为素数，R 为非负整数f P-I11 /T w7⅛ = =2∑L+ ' (2£ + 1)〃 ∖kp+i kp+ p-i 丿2 若l(kp+iXkp+p-i)' "-I 令A =工r-11 ______=Σ/=1（（切+ IX 切+ 2）…（妙+ 〃 一 1）厂(kp+i ∖kp+p-i)kp+∖ kp+2精品文档在线編辑 更女好内容为您奉上即殳=(2k + MMSk 2((切 + IXkp+ 2).(切 + ” -1))"T 因为(几 2((切 + IX 切+2)…(Rp+ P - I))I )=1, 所以p 2∖t k ,引理证毕，由引理得，P 2a p-i ,所以Pa P-I , 从而 P(P_I)ESP ,P 2->1 1 P-> 1 PTPT 1 =∑7=-∑7÷∑∑1-/=1 l P /=1 1 妇 O /=! KP 十 I 因为P 2 a p ^p 2∖t k .所以M 宀 从而 p 2-l≡S p . 因为p-l<p(p-l)<p 2-l,所以集合SP 中元素至少有3个. 丄 P +Σ十 λ∙=C S k。

普特南数学竞赛试题摘要：一、普特南数学竞赛背景介绍1.普特南数学竞赛的起源2.竞赛的组织机构3.竞赛的规模和影响力二、普特南数学竞赛试题特点1.试题难度和范围2.试题的原创性3.试题的区分度三、普特南数学竞赛对我国学生的启示1.提高学生的数学素养2.培养学生的创新思维3.激发学生对数学的兴趣四、我国学生参加普特南数学竞赛的意义1.提升国际竞争力2.扩大国际交流与合作3.为我国数学教育发展提供借鉴正文：普特南数学竞赛（Putnam Mathematical Competition）是由美国数学及其应用联合会（American Mathematical Society,AMS）和美国数学竞赛委员会（Mathematical Association of America,MAA）共同组织的一年一度的国际性数学竞赛。

竞赛始于1938 年，以纪念美国数学家、教育家、哲学家普特南（Joseph Henry Putnam）而命名。

该竞赛旨在选拔和培养全球优秀的数学人才，激发青少年对数学的兴趣和热情，提高数学教育水平。

普特南数学竞赛试题以严谨、创新、挑战性强而著称。

竞赛试题分为两部分，共计12 道题，难度逐渐提高。

试题涵盖了代数、几何、组合、数论、概率等广泛的数学领域，要求参赛者在规定时间内完成。

竞赛试题的原创性极高，往往需要参赛者运用创新思维和灵活解题技巧。

此外，普特南数学竞赛试题具有良好的区分度，能够有效地选拔出具有潜力和天赋的数学人才。

我国学生参加普特南数学竞赛有着重要的意义。

首先，参加普特南数学竞赛有助于提高学生的数学素养，拓宽数学视野，培养逻辑思维能力。

其次，竞赛过程中，学生可以锻炼创新思维，学会在看似复杂的问题中寻找规律，提升解决问题的能力。

最后，普特南数学竞赛能够激发学生对数学的兴趣，培养学生的学术热情，为我国数学教育发展提供源源不断的人才。

总之，普特南数学竞赛作为一项具有国际影响力的数学竞赛，对我国学生具有重要的启示作用。

2020年全国高中数学联赛(四川预赛)试题(考试时间: 2020年6月14日14:30-16:30)一、填空题: 本大题共8小题, 每小题8分, 满分64分.1. 设ABC ∆的外接圆的圆心为O , 且3450OA OB OC ++=, 则C ∠的大小是______.2. 正四面体的4个表面上分别写有数字1, 2, 3, 4, 将4个这样的密度均匀的正四面体同时投掷于桌面上, 与桌面接触的4个面上的4个数的和能被4整除的概率是______.3. 设函数()f x ()x ∈, 则()f x 的最大值是______.4. 在平面直角坐标系中, ()1,2A , ()3,0B , 点P 为圆()()22321x y -+-=上任意一点, 设OP OA OB λμ=+(),λμ∈, 则119λμ+的最小值是______.5. 数列{}n a 满足: 0a []{}11n n n a a a +=+(其中[]n a 和{}n a 分别表示实数n a 的整数部分与小数部分), 则2020______a =. 6. 已知正实数,x y 满足: 11132x y x y+=++, 则x y +的最小值是______. 7. 设复数i z a b =+(),a b ∈, 满足3211i z =+, 则______a b +=.8. 用[]x 表示不超过实数x 的最大正整数, 若数列{}n a 满足: (22nn a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦()*n ∈, 则2020a 的末尾两位数字是______.二、解答题: 本大题共3小题, 满分56分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9. (本题满分16分) 过点()0,1P 作一直线l , l 与抛物线2y x =交于A 、B 两不同点, 过点A 、B 分别作抛物线2y x =的切线, 两切线交于点Q . 求点Q 到直线AB 的距离的最小值.10. (本题满分20分) 设λ为正实数, 对任意两两不等正实数a 、b 、c , 都有()()()()333222a b c a b c b c c a a b λ++≥++---.求λ的最大值.11. (本题满分20分) 设m 是给定的正整数. 求证: 对任意给定的正整数n ()2n ≥, 都存在集合{}*12,,,n A a a a =⊆, 使得对任意的正整数k ()1k n ≤≤, 都有()k kP A a m a +, 其中,()P A 表示集合A 中的元素之积.2020年全国高中数学联赛（四川预赛）试题参考答案及评分标准说明：1、本试卷满分120，其中填空题64分，解答题56分.2、评阅试卷时，请依据评分标准.填空题只设8分和0分两档；第9题4分一个档次、第10题和第11题均为5分一个档次.请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.3、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准评分.一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.1、4π 2、143、54、12 5、6060 6、35+ 7、3 8、53. 二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）过点(01)P ,作一直线l ，l 与抛物线2y x =交于A 、B 两不同点，过点A 、B 分别作抛物线2y x =的切线，两切线交于点Q .求点Q 到直线AB 的距离的最小值.解：显然直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为1y kx =+. 联立直线AB 和抛物线方程，消去y ，得210x kx --=.设11()A x y ,，22()B x y ,，则12x x k +=，121x x =-. ......4分 过点11()A x y ,的抛物线2y x =的切线方程是1112()y y x x x -=-， 由211y x =，代入可得2112y x x x =-.过点22()B x y ,的抛物线2y x =的切线方程是2222y x x x =-，联立解方程组21122222y x x x y x x x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，得12122x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⎩. 即点Q 的坐标为1212()2x x x x +,，即(1)2k-,. ......8分点Q 到直线AB的距离|(1)1|kk d ⋅--+=t =(1t ≥)，则21|2|3222t t d t t -+==+=≥ ......12分当且仅当322t t=，即t =，k =. 所以，点Q 到直线AB......16分 10. （本题满分20分）设λ为正实数，对任意两两不等的正实数a 、b 、c ，都有333222()()()()a b c a b c b c c a a b λ++≥++---. 求λ的最大值. 解：取11,,222a b c εεε=+=-=，其中106ε<<. 则33322211+()(2)2211(2)3)()22εεελεεε-≤++--（）（321+122123)2εεεε=+-+-（）（ 对任意的106εε<<（）成立.注意到当0+ε→时，321+1221123)2εεεε+-+→-（）（， 所以，1λ≤. ......5分另一方面，下证：=1λ成立，即证333222()()()()a b c a b c b c c a a b ++≥++---. 不妨设a b c >>，则可令=,a c x b c y +=+，其中0x y >>.即需证：333222)()3()c x c y c c x y y x x y ++++≥++-（， ......10分 322322322()()()()c x x x y c y y x y c x y ⇔+-++-+222(3)()c x y x y x y ≥++- 2223332242242)3()()3()()x xy y c x y x y c x x y y x y c ⇔-+++-+-+-（224()()()0x y x xy y x y ++++-≥， ① ......15分注意到①式中，关于c 的多项式系数都是大于0的，从而①成立.综上可知，所求 的最大值为1. ......20分 11. （本题满分20分）设m 是给定的正整数. 求证：对任意给定的正整数(2)n n ≥，都存在集合*12{,,,}n A a a a =⊆N ，使得对任意的正整数k (1)k n ≤≤，都有()|k kP A a m a +，其中()P A 表示集合A 中的元素之积.证明：先证一个引理：数列{}n x 满足：*11122,1()n n x x x x x n +==+∈N ，则对任意正整数k (2)k ≥，都有121211111k kx x x x x x ++++= . ......5分 引理的证明：对k 进行归纳： 当2k =时，结论显然成立； 假设结论对k 成立，即121211111k kx x x x x x ++++= ， 于是12112111111k k k k x x x x x x x x +++++++ 1211211111k k k k x x x x x x x x ++=-++12112111k k k k x x x x x x x x +++-=+1=，故结论对1k +也成立. 由归纳原理知：对任意正整数k (2)k ≥，都有121211111k kx x x x x x ++++= . ......10分 回到原题：只需证：存在*12{,,,}n A a a a =⊆N ，其中12n a a a <<< ，满足 不定方程12()()()()nP A P A P A m P A a a a ++++= 即可.即121111()nm P A a a a ++++= .（*） 取121(1,2,,1),i i n n a x i n a m x x x -==-=+ . 其中，*11122,1()n n x x x x x n +==+∈N . ......15分 则12n a a a <<< ，且12111()nm P A a a a ++++ 121211211111n n n n m x x x x x a x x x a --=+++++12121121111n n n n m x x x x x a x x x a --=+-+1212112121+1n nn nm x x x x x a x x x x x a ---=+1=.于是（*）成立.所以，问题得证. ......20分。

2023普特南数学竞赛A组(0)|>题 1.对正整数n,设f n(x)=cos(x)cos(2x)cos(3x)···cos(nx).求最小的n,使得|f′′n 2023.题2.设n是一个偶数.设p是一个首一的实系数多项式,次数为2n；即p(x)=x2n+a2n−1x2n−1+···+a1x+a0,其中系数a0,...,a2n−1是实数.已知对于所有满足1≤|k|≤n的整数k,有p(1/k)= k2.找出所有满足p(1/x)=x2的其他实数x.题3.确定最小的正实数r,使得存在可微函数f:R→R和g:R→R满足以下条件：(a)f(0)>0,(b)g(0)=0,(c)对所有x,|f′(x)|≤|g(x)|,(d)对所有x,|g′(x)|≤|f(x)|,(e)f(r)=0.题4.已知v1,...,v12是单位向量,其方向从原点指向正二十面体的所有顶点.证明对于每个向量v∈R3和每个ε>0,存在整数a1,...,a12满足∥a1v1+···+a12v12−v∥<ε.题5.对于非负整数k,设f(k)为k在3进制表示中的1的个数.找出所有复数z,使得31010−1(−2)f(k)(z+k)2023=0k=0题6.甲和乙进行一个游戏,在游戏中他们轮流选择1到n之间的整数.在选择数字之前,乙选择一个“奇数”或“偶数”的目标.在第一轮中,甲选择n个整数中的一个.在第二轮中,乙选择剩下的整数中的一个.他们继续轮流选择尚未选择过的整数,直到第n轮,也就是最后一轮,游戏结束.如果{k：第k轮选择了数字k}的奇偶性与乙的目标匹配,乙获胜.对于哪些n,乙有获胜策略？B 组题1.考虑一个m ×n 的单位方格网格,其下标为(i,j ),其中1≤i ≤m 且1≤j ≤n .有(m −1)(n −1)个硬币,最初放置在下标为(i,j ),其中1≤i ≤m −1且1≤j ≤n −1的单元格中.如果一个硬币占据方格(i,j ),其中i ≤m −1且j ≤n −1且方格(i +1,j )、(i,j +1)和(i +1,j +1)空闲,那么合法的移动是将硬币从(i,j )滑动到(i +1,j +1).从初始布局出发,通过一系列合法移动（可能为空）可以达到多少种不同的硬币配置？题2.对于每个正整数n ,令k (n )表示二进制表示中2023·n 中的1的个数.求k (n )的最小值.题3.一个由实数y 1,y 2,...,y k 组成的数列被称为“锯齿”序列,如果k =1,或者y 2−y 1,y 3−y 2,...,y k −y k −1非零并且交替改变符号.从均匀分布[0,1]上独立选择X 1,X 2,...,X n .令a (X 1,X 2,...,X n )是最大的k 值,使得存在递增的整数序列i 1,i 2,...,i k ,满足X i 1,X i 2,...X i k 是“锯齿”序列.对于n ≥2,求a (X 1,X 2,...,X n )的期望值.题4.对于非负整数n 和严格递增的实数序列t 0,t 1,...,t n ,令f (t )是一个实值函数.使得对于t ≥t 0,它具有以下性质：(1)对于t ≥t 0,f (t )是连续函数,对于除了t 1,...,t n 外所有的t >t 0,它是二阶可微的；(2)f (t 0)=1/2；(3)当0≤k ≤n 时,lim t →t +kf ′(t )=0；(4)当0≤k ≤n −1时,当t k <t <t k +1时,f ′′(t )=k +1,当t >t n 时,f ′′(t )=n +1.考虑所有满足t k ≥t k −1+1（1≤k ≤n ）的n 和t 0,t 1,...,t n 的选择,求使得f (t 0+T )=2023的T 的最小值.题5.确定哪些正整数n 具有以下性质：对于所有与n 互质的整数m ,存在一个置换π:{1,2,...,n }→{1,2,...,n },满足对于所有k ∈{1,2,...,n },π(π(k ))≡mk (mod n ).题6.令n 为正整数.对于{1,2,...,n }中的i 和j ,令s (i,j )为满足ai +bj =n 的非负整数对(a,b )的数量.令S 为n ×n 矩阵,其(i,j )元素为s (i,j ).例如,当n =5时,我们有S = 6322230101210012000121112 .计算矩阵S 的行列式.。