2023普特南数学竞赛A组(0)|>题 1.对正整数n,设f n(x)=cos(x)cos(2x)cos(3x)···cos(nx).求最小的n,使得|f′′n 2023.题2.设n是一个偶数.设p是一个首一的实系数多项式,次数为2n；即p(x)=x2n+a2n−1x2n−1+···+a1x+a0,其中系数a0,...,a2n−1是实数.已知对于所有满足1≤|k|≤n的整数k,有p(1/k)= k2.找出所有满足p(1/x)=x2的其他实数x.题3.确定最小的正实数r,使得存在可微函数f:R→R和g:R→R满足以下条件：(a)f(0)>0,(b)g(0)=0,(c)对所有x,|f′(x)|≤|g(x)|,(d)对所有x,|g′(x)|≤|f(x)|,(e)f(r)=0.题4.已知v1,...,v12是单位向量,其方向从原点指向正二十面体的所有顶点.证明对于每个向量v∈R3和每个ε>0,存在整数a1,...,a12满足∥a1v1+···+a12v12−v∥<ε.题5.对于非负整数k,设f(k)为k在3进制表示中的1的个数.找出所有复数z,使得31010−1(−2)f(k)(z+k)2023=0k=0题6.甲和乙进行一个游戏,在游戏中他们轮流选择1到n之间的整数.在选择数字之前,乙选择一个“奇数”或“偶数”的目标.在第一轮中,甲选择n个整数中的一个.在第二轮中,乙选择剩下的整数中的一个.他们继续轮流选择尚未选择过的整数,直到第n轮,也就是最后一轮,游戏结束.如果{k：第k轮选择了数字k}的奇偶性与乙的目标匹配,乙获胜.对于哪些n,乙有获胜策略？B 组题1.考虑一个m ×n 的单位方格网格,其下标为(i,j ),其中1≤i ≤m 且1≤j ≤n .有(m −1)(n −1)个硬币,最初放置在下标为(i,j ),其中1≤i ≤m −1且1≤j ≤n −1的单元格中.如果一个硬币占据方格(i,j ),其中i ≤m −1且j ≤n −1且方格(i +1,j )、(i,j +1)和(i +1,j +1)空闲,那么合法的移动是将硬币从(i,j )滑动到(i +1,j +1).从初始布局出发,通过一系列合法移动（可能为空）可以达到多少种不同的硬币配置？题2.对于每个正整数n ,令k (n )表示二进制表示中2023·n 中的1的个数.求k (n )的最小值.题3.一个由实数y 1,y 2,...,y k 组成的数列被称为“锯齿”序列,如果k =1,或者y 2−y 1,y 3−y 2,...,y k −y k −1非零并且交替改变符号.从均匀分布[0,1]上独立选择X 1,X 2,...,X n .令a (X 1,X 2,...,X n )是最大的k 值,使得存在递增的整数序列i 1,i 2,...,i k ,满足X i 1,X i 2,...X i k 是“锯齿”序列.对于n ≥2,求a (X 1,X 2,...,X n )的期望值.题4.对于非负整数n 和严格递增的实数序列t 0,t 1,...,t n ,令f (t )是一个实值函数.使得对于t ≥t 0,它具有以下性质：(1)对于t ≥t 0,f (t )是连续函数,对于除了t 1,...,t n 外所有的t >t 0,它是二阶可微的；(2)f (t 0)=1/2；(3)当0≤k ≤n 时,lim t →t +kf ′(t )=0；(4)当0≤k ≤n −1时,当t k <t <t k +1时,f ′′(t )=k +1,当t >t n 时,f ′′(t )=n +1.考虑所有满足t k ≥t k −1+1（1≤k ≤n ）的n 和t 0,t 1,...,t n 的选择,求使得f (t 0+T )=2023的T 的最小值.题5.确定哪些正整数n 具有以下性质：对于所有与n 互质的整数m ,存在一个置换π:{1,2,...,n }→{1,2,...,n },满足对于所有k ∈{1,2,...,n },π(π(k ))≡mk (mod n ).题6.令n 为正整数.对于{1,2,...,n }中的i 和j ,令s (i,j )为满足ai +bj =n 的非负整数对(a,b )的数量.令S 为n ×n 矩阵,其(i,j )元素为s (i,j ).例如,当n =5时,我们有S = 6322230101210012000121112 .计算矩阵S 的行列式.。
