2020年中考数学二轮专题： 应用题中的方案设计选择问题

《方案设计问题》专题【命题趋势】方案设计问题是也是中考数学中一个热门题型，一般题量为1题，多为解答题，分值约8-10分．方案设计型问题是通过一个实际问题情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，要求学生运用学过的知识技能和方法，通过设计或操作，寻求恰当的解决方案.有时也给出几个不同的解决方案，要求半断哪个方案最优.它包括经济类方案设计、作图类方案设计、测量类方案设计等类型．方案设计问题特点是题中给出几种方案让考生通过计算选取最佳方案，或给出设计要求，让考生自己设计方案，这种方案有时不止一种，因而又其有开放型题的特点，此种题型考查考生的数学应用意识，命题的背景广泛，考生自由施展才华的空间大，因此倍受命题者的青睐。

【满分技巧】一．方案设计型问题一般解决步骤﹕一般包括“审题——建立相应模型——应用相关知识解决问题”三个步骤．其中根据具体问题建立相应的数学模型是解决这类问题的关键．二．初中数学主要数学模型﹕1．方程(组)模型．2．函数模型（一次函数、二次函数、反比例函数）3．不等式模型根据具体问题建立相应的数学模型，其实质就是利用相关知识解决生活实际问题，所谓建立数学模型，主要是因为实际问题中可能没有使用数学化的语言表示一些具体的量或数值，需要我们自己去建立或设出相应的符号，把生活实际问题数学化．以方便我们去利用相关数学知识解决这类问题．三．熟练掌握和运用数学的常用思想方法我们在解决任何问题时，往往都是利用现有的知识结合一些重要的数学思想方法去解决问题，我们一定要把实际问题转化成数学问题，利用现有的知识和方法，结合模型、转化、类比等数学思想解决问题．【限时检测】一、选择题1. (2019 黑龙江省鸡西市)某学校计划用34件同样的奖品全部用于奖励在“经典诵读”活动中表现突出的班级，一等奖奖励6件，二等奖奖励4件，则分配一、二等奖个数的方案有( )A．4种B．3种C．2种D．1种2. (2019 黑龙江省绥化市)小明去商店购买A、B两种玩具，共用了10元钱，A种玩具每件1元，B种玩具每件2元．若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量多于B种玩具的数量．则小明的购买方案有（）A．5种B．4种C．3种D．2种3. (2019 湖北省仙桃潜江天门江汉油田)把一根9m长的钢管截成1m长和2m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1m长的钢管有a根，则a的值可能有（）A．3种B．4种C．5种D．9种4. (2019 江西省)如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有（）A．3种B．4种C．5种D．6种5. (2019 四川省绵阳市)红星商店计划用不超过4200元的资金，购进甲、乙两种单价分别为60元、100元的商品共50件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利10元、20元，两种商品均售完．若所获利润大于750元，则该店进货方案有（）A. 3种B. 4种C. 5种D. 6种二、作图题6. (2019 四川省广安市)在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外）7. (2019 浙江省宁波市)图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影：（1）使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．（2）使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）三、解答题8. (2019 贵州省遵义市)某校计划组织240名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动．旅游公司有A，B两种客车可供租用，A型客车每辆载客量45人，B型客车每辆载客量30人．若租用4辆A型客车和3辆B型客车共需费用10700元；若租用3辆A型客车和4辆B 型客车共需费用10300元．（1）求租用A，B两型客车，每辆费用分别是多少元；（2）为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？9. (2019 黑龙江省鸡西市)为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生．已知购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元．（1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？（2）若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1000元，设购买甲种文具x个，求有多少种购买方案？（3）设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？10. (2019 湖北省荆州市)为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组织八年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动．在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：名老师．（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为辆；（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？11. (2019 湖南省郴州市)某小微企业为加快产业转型升级步伐，引进一批A，B两种型号的机器．已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等．（1）每台A，B两种型号的机器每小时分别加工多少个零件？（2）如果该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求两种机器每小时加工的零件不少于72件，同时为了保障机器的正常运转，两种机器每小时加工的零件不能超过76件，那么A，B两种型号的机器可以各安排多少台？12. (2019 湖南省衡阳市)某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？13. (2019 湖南省张家界市)某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵，购买两种树苗的总金额为9000元．（1）求购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵，总费用不超过230元，求可能的购买方案？14. (2019 山东省滨州市)有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为180人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为105人．（1）请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？（2）某学校组织240名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共6辆，一次将全部师生送到指定地点．若每辆甲种客车的租金为400元，每辆乙种客车的租金为280元，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．15. (2019 四川省巴中市)在“扶贫攻坚”活动中，某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户．已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元，若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同．①请问甲、乙两种物品的单价各为多少？②如果该单位计划购买甲、乙两种物品共55件，总费用不少于5000元且不超过5050元，通过计算得出共有几种选购方案？16. (2019 四川省广安市)为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A 型节能灯和5只B型节能灯共需50元，2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元．（1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．17. (2019 浙江省温州市)某旅行团32人在景区A游玩，他们由成人、少年和儿童组成．已知儿童10人，成人比少年多12人．（1）求该旅行团中成人与少年分别是多少人？（2）因时间充裕，该团准备让成人和少年（至少各1名）带领10名儿童去另一景区B游玩．景区B的门票价格为100元/张，成人全票，少年8折，儿童6折，一名成人可以免费携带一名儿童．①若由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是多少元？②若剩余经费只有1200元可用于购票，在不超额的前提下，最多可以安排成人和少年共多少人带队？求所有满足条件的方案，并指出哪种方案购票费用最少．18. (2019 河南省)学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元．（1）求A，B两种奖品的单价；（2）学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【限时检测】一、选择题1. (2019 黑龙江省鸡西市)某学校计划用34件同样的奖品全部用于奖励在“经典诵读”活动中表现突出的班级，一等奖奖励6件，二等奖奖励4件，则分配一、二等奖个数的方案有( )A．4种B．3种C．2种D．1种【答案】B【解析】设一等奖个数x个，二等奖个数y个，根据题意，得6x+4y=34，使方程成立的解有17xy=⎧⎨=⎩，34xy=⎧⎨=⎩，51xy=⎧⎨=⎩，∴方案一共有3种；故选：B．2. (2019 黑龙江省绥化市)小明去商店购买A、B两种玩具，共用了10元钱，A种玩具每件1元，B种玩具每件2元．若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量多于B种玩具的数量．则小明的购买方案有（）A．5种B．4种C．3种D．2种【答案】C【解析】设小明购买了A种玩具x件，则购买的B种玩具为件，根据题意得，，解得，1≤x＜3，∵x为整数，∴x＝1或2或3，∴有3种购买方案．故选：C．3. (2019 湖北省仙桃潜江天门江汉油田)把一根9m长的钢管截成1m长和2m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1m长的钢管有a根，则a的值可能有（）A．3种B．4种C．5种D．9种【答案】B【解析】设2m的钢管b根，根据题意得：a+2b＝9，∵a、b均为整数，∴，，，．故选：B．4. (2019 江西省)如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有（）A．3种B．4种C．5种D．6种【答案】D【解析】共有6种拼接法，如图所示．故选：D．5. (2019 四川省绵阳市)红星商店计划用不超过4200元的资金，购进甲、乙两种单价分别为60元、100元的商品共50件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利10元、20元，两种商品均售完．若所获利润大于750元，则该店进货方案有（）A. 3种B. 4种C. 5种D. 6种【答案】C【解析】设该店购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50-x）件，根据题意，得：，解得：20≤x＜25，∵x为整数，∴x=20、21、22、23、24，∴该店进货方案有5种，故选：C．二、作图题6. (2019 四川省广安市)在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外）【解析】如图所示7. (2019 浙江省宁波市)图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影：（1）使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．（2）使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）【解析】（1）如图1所示：6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形；（2）如图2所示：6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．三、解答题8. (2019 贵州省遵义市)某校计划组织240名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动．旅游公司有A，B两种客车可供租用，A型客车每辆载客量45人，B型客车每辆载客量30人．若租用4辆A型客车和3辆B型客车共需费用10700元；若租用3辆A型客车和4辆B 型客车共需费用10300元．（1）求租用A，B两型客车，每辆费用分别是多少元；（2）为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？【解析】（1）设租用A ，B 两型客车，每辆费用分别是x 元、y 元，43107003410300x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得，17001300x y =⎧⎨=⎩， 答：租用A ，B 两型客车，每辆费用分别是1700元、1300元；（2）设租用A 型客车a 辆，租用B 型客车b 辆，45302401700130010000a b a b +⎧⎨+⎩…„， 解得，25a b =⎧⎨=⎩，42a b =⎧⎨=⎩，51a b =⎧⎨=⎩， ∴共有三种租车方案，方案一：租用A 型客车2辆，B 型客车5辆，费用为9900元，方案二：租用A 型客车4辆，B 型客车2辆，费用为9400元，方案三：租用A 型客车5辆，B 型客车1辆，费用为9800元，由上可得，方案二：租用A 型客车4辆，B 型客车2辆最省钱．9. (2019 黑龙江省鸡西市)为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生．已知购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元．（1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？（2）若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1000元，设购买甲种文具x 个，求有多少种购买方案？（3）设学校投入资金W 元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？【解析】（1）设购买一个甲种文具a 元，一个乙种文具b 元，由题意得：235330a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得155a b =⎧⎨=⎩， 答：购买一个甲种文具15元，一个乙种文具5元；（2）根据题意得：955155(120)1000x x +-剟，解得35.540x 剟，x Q 是整数，36x ∴=，37，38，39，40．∴有5种购买方案；（3）155(120)10600W x x x =+-=+，100>Q ，W ∴随x 的增大而增大，当36x =时，1036600960W =⨯+=最小（元)，1203684∴-=．答：购买甲种文具36个，乙种文具84个时需要的资金最少，最少资金是960元．10. (2019 湖北省荆州市)为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组织八年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动．在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆）35 30 租金（元/辆） 400 320学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师．（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为 辆；（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？【解析】（1）设参加此次研学活动的老师有x 人，学生有y 人，依题意，得：，解得：．答：参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人．（2）∵（234+16）÷35＝7（辆）……5（人），16÷2＝8（辆），∴租车总辆数为8辆．故答案为：8．（3）设租35座客车m辆，则需租30座的客车（8﹣m）辆，依题意，得：，解得：2≤m≤5．∵m为正整数，∴m＝2，3，4，5，∴共有4种租车方案．设租车总费用为w元，则w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，∵80＞0，∴w的值随m值的增大而增大，∴当m＝2时，w取得最小值，最小值为2720．∴学校共有4种租车方案，最少租车费用是2720元．11. (2019 湖南省郴州市)某小微企业为加快产业转型升级步伐，引进一批A，B两种型号的机器．已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等．（1）每台A，B两种型号的机器每小时分别加工多少个零件？（2）如果该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求两种机器每小时加工的零件不少于72件，同时为了保障机器的正常运转，两种机器每小时加工的零件不能超过76件，那么A，B两种型号的机器可以各安排多少台？【解析】（1）设每台B型机器每小时加工x个零件，则每台A型机器每小时加工（x+2）个零件，依题意，得：＝，解得：x＝6，经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意，∴x+2＝8．答：每台A型机器每小时加工8个零件，每台B型机器每小时加工6个零件．（2）设A型机器安排m台，则B型机器安排（10﹣m）台，依题意，得：，解得：6≤m≤8．∵m为正整数，∴m＝6，7，8．答：共有三种安排方案，方案一：A型机器安排6台，B型机器安排4台；方案二：A型机器安排7台，B型机器安排3台；方案三：A型机器安排8台，B型机器安排2台．12. (2019 湖南省衡阳市)某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？【解析】（1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x+10）元，依题意，得：＝，解得：x＝5，经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，∴x+10＝15．答：购买一个A商品需要15元，购买一个B商品需要5元．（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80﹣m）个，依题意，得：，解得：15≤m≤16．∵m为整数，∴m＝15或16．∴商店有2种购买方案，方案①：购进A商品65个、B商品15个；方案②：购进A商品64个、B商品16个．13. (2019 湖南省张家界市)某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵，购买两种树苗的总金额为9000元．（1）求购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵，总费用不超过230元，求可能的购买方案？【解析】（1）设购买甲种树苗x棵，购买乙种树苗（2x﹣40）棵，由题意可得，30x+20（2x﹣40）＝9000，50x＝9800，x＝196，∴购买甲种树苗196棵，乙种树苗352棵；（2）设购买甲树苗y棵，乙树苗（10﹣y）棵，根据题意可得，30y+20（10﹣y）≤230，10y≤30，∴y≤3；购买方案1：购买甲树苗3棵，乙树苗7棵；购买方案2：购买甲树苗2棵，乙树苗8棵；购买方案3：购买甲树苗1棵，乙树苗9棵；购买方案4：购买甲树苗0棵，乙树苗10棵；14. (2019 山东省滨州市)有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为180人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为105人．（1）请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？（2）某学校组织240名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共6辆，一次将全部师生送到指定地点．若每辆甲种客车的租金为400元，每辆乙种客车的租金为280元，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．【解析】（1）设辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为x人，y人，，解得：，答：1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为45人和30人；（2）设租用甲种客车x 辆，依题意有：，解得：6＞x ≥4，因为x 取整数，所以x ＝4或5，当x ＝4时，租车费用最低，为4×400+2×280＝2160．15. (2019 四川省巴中市)在“扶贫攻坚”活动中，某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户．已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元，若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同．①请问甲、乙两种物品的单价各为多少？②如果该单位计划购买甲、乙两种物品共55件，总费用不少于5000元且不超过5050元，通过计算得出共有几种选购方案？【解析】①设乙种物品单价为x 元，则甲种物品单价为（x +10）元，由题意得： 500x+10=450x解得x ＝90经检验，x ＝90符合题意∴甲种物品的单价为100元，乙种物品的单价为90元．②设购买甲种物品y 件，则乙种物品购进（55﹣y ）件由题意得：5000≤100y +90（55﹣y ）≤5050解得5≤y ≤10∴共有6种选购方案．16. (2019 四川省广安市)为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A 型节能灯和5只B 型节能灯共需50元，2只A 型节能灯和3只B 型节能灯共需31元．（1）求1只A 型节能灯和1只B 型节能灯的售价各是多少元？（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A 型节能灯的数量不超过B 型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【解析】（1）设1只A 型节能灯的售价是x 元，1只B 型节能灯的售价是y 元，，解得，，答：1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元；（2）设购买A型号的节能灯a只，则购买B型号的节能灯（200﹣a）只，费用为w元，w＝5a+7（200﹣a）＝﹣2a+1400，∵a≤3（200﹣a），∴a≤150，∴当a＝150时，w取得最小值，此时w＝1100，200﹣a＝50，答：当购买A型号节能灯150只，B型号节能灯50只时最省钱．17. (2019 浙江省温州市)某旅行团32人在景区A游玩，他们由成人、少年和儿童组成．已知儿童10人，成人比少年多12人．（1）求该旅行团中成人与少年分别是多少人？（2）因时间充裕，该团准备让成人和少年（至少各1名）带领10名儿童去另一景区B游玩．景区B的门票价格为100元/张，成人全票，少年8折，儿童6折，一名成人可以免费携带一名儿童．①若由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是多少元？②若剩余经费只有1200元可用于购票，在不超额的前提下，最多可以安排成人和少年共多少人带队？求所有满足条件的方案，并指出哪种方案购票费用最少．【解析】（1）设成人有x人，少年y人，，解得，，答：该旅行团中成人与少年分别是17人、5人；（2）①由题意可得，由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是：100×8+5×100×0.8+（10﹣8）×100×0.6＝1320（元），答：由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是1320元；②设可以安排成人a人，少年b人带队，则1≤a≤17，1≤b≤5，当10≤a≤17时，若a ＝10，则费用为100×10+100×b ×0.8≤1200，得b ≤2.5，∴b 的最大值是2，此时a +b ＝12，费用为1160元；若a ＝11，则费用为100×11+100×b ×0.8≤1200，得b ≤54∴b 的最大值是1，此时a +b ＝12，费用为1180元；若a ≥12，100a ≥1200，即成人门票至少是1200元，不合题意，舍去；当1≤a ＜10时，若a ＝9，则费用为100×9+100b ×0.8+100×1×0.6≤1200，得b ≤3，∴b 的最大值是3，a +b ＝12，费用为1200元；若a ＝8，则费用为100×8+100b ×0.8+100×2×0.6≤1200，得b ≤3.5，∴b 的最大值是3，a +b ＝11＜12，不合题意，舍去；同理，当a ＜8时，a +b ＜12，不合题意，舍去；综上所述，最多安排成人和少年12人带队，有三个方案：成人10人，少年2人；成人11人，少年1人；成人9人，少年3人；其中成人10人，少年2人时购票费用最少．18. (2019 河南省)学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A 奖品和2个B 奖品共需120元；购买5个A 奖品和4个B 奖品共需210元．（1）求A ，B 两种奖品的单价；（2）学校准备购买A ，B 两种奖品共30个，且A 奖品的数量不少于B 奖品数量的13,请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【解析】（1）设A 的单价为x 元，B 的单价为y 元，根据题意，得，∴，∴A 的单价30元，B 的单价15元；（2）设购买A 奖品z 个，则购买B 奖品为（30﹣z ）个，购买奖品的花费为W 元，由题意可知，z ≥13(30﹣z ），∴z ≥152W ＝30z +15（30﹣z ）＝450+15z ，当z ＝8时，W 有最小值为570元，即购买A 奖品8个，购买B 奖品22个，花费最少.。

方案设计型问题一、中考专题诠释方案设计型问题，方案设计型问题是设置一个实际问题的情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，寻求恰当的解决方案，有时还给出几个不同的解决方案，要求判断其中哪个方案最优．方案设计型问题主要考查学生的动手操作能力和实践能力．随着新课程改革的不断深入，一些新颖、灵活、密切联系实际的方案设计问题正越来越受到中考命题人员的喜爱，这些问题主要考查学生动手操作能力和创新能力，这也是新课程所要求的核心内容之一。

二、解题策略和解法精讲方案设计型问题涉及生产生活的方方面面，如：测量、购物、生产配料、汽车调配、图形拼接等。

所用到的数学知识有方程、不等式、函数、解直角三角形、概率和统计等知识。

这类问题的应用性非常突出，题目一般较长，做题之前要认真读题，理解题意，选择和构造合适的数学模型，通过数学求解，最终解决问题。

解答此类问题必须具有扎实的基础知识和灵活运用知识的能力，另外，解题时还要注重综合运用转化思想、数形结合的思想、方程函数思想及分类讨论等各种数学思想。

三、中考考点精讲考点一：设计测量方案问题这类问题主要包括物体高度的测量和地面宽度的测量。

所用到的数学知识主要有相似、全等、三角形中位线、投影、解直角三角形等。

例1 （2014•浙江宁波，第26题14分）木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；方案二：圆心O1、O2分别在CD、AB上，半径分别是O1C、O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；方案四：锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆．（1）写出方案一中圆的半径；（2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？（3）在方案四中，设CE=x（0＜x＜1），圆的半径为y．①求y关于x的函数解析式；②当x取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大．考点：圆的综合题分析：（1）观察图易知，截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，由已知长宽分别为3，2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为1．（2）方案二、方案三中求圆的半径是常规的利用勾股定理或三角形相似中对应边长成比例等性质解直角三角形求边长的题目．一般都先设出所求边长，而后利用关系代入表示其他相关边长，方案二中可利用△O1O2E为直角三角形，则满足勾股定理整理方程，方案三可利用△AOM∽△OFN后对应边成比例整理方程，进而可求r的值．（3）①类似（1）截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，虽然方案四中新拼的图象不一定为矩形，但直径也不得超过横纵向方向跨度．则选择最小跨度，取其，即为半径．由EC为x，则新拼图形水平方向跨度为3﹣x，竖直方向跨度为2+x，则需要先判断大小，而后分别讨论结论．②已有关系表达式，则直接根据不等式性质易得方案四中的最大半径．另与前三方案比较，即得最终结论．解答：（1）方案一中的最大半径为1．分析如下：因为长方形的长宽分别为3，2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为1．（2）如图1，方案二中连接O1，O2，过O1作O1E⊥AB于E，方案三中，过点O分别作AB，BF的垂线，交于M，N，此时M，N恰为⊙O与AB，BF的切点．方案二：设半径为r，在Rt△O1O2E中，∵O1O2=2r，O1E=BC=2，O2E=AB﹣AO1﹣CO2=3﹣2r，∴（2r）2=22+（3﹣2r）2，解得r=．方案三：设半径为r，在△AOM和△OFN中，，∴△AOM∽△OFN，∴，∴，解得r=．比较知，方案三半径较大．（3）方案四：①∵EC=x，∴新拼图形水平方向跨度为3﹣x，竖直方向跨度为2+x．类似（1），所截出圆的直径最大为3﹣x或2+x较小的．1．当3﹣x＜2+x时，即当x＞时，r=（3﹣x）；2．当3﹣x=2+x时，即当x=时，r=（3﹣）=；3．当3﹣x＞2+x时，即当x＜时，r=（2+x）．②当x＞时，r=（3﹣x）＜（3﹣）=；当x=时，r=（3﹣）=；当x＜时，r=（2+x）＜（2+）=，∴方案四，当x=时，r最大为．∵1＜＜＜，∴方案四时可取的圆桌面积最大．点评：本题考查了圆的基本性质及通过勾股定理、三角形相似等性质求解边长及分段函数的表示与性质讨论等内容，题目虽看似新颖不易找到思路，但仔细观察每一小问都是常规的基础考点，所以总体来说是一道质量很高的题目，值得认真练习．对应训练1．（2014•济宁，第20题8分）在数学活动课上，王老师发给每位同学一张半径为6个单位长度的圆形纸板，要求同学们：（1）从带刻度的三角板、量角器和圆规三种作图工具中任意选取作图工具，把圆形纸板分成面积相等的四部分；（2）设计的整个图案是某种对称图形．王老师给出了方案一，请你用所学的知识再设计两种方案，并完成下面的设计报告．考点：利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案．分析：根据圆的面积公式以及轴对称图形和中心对称图形定义分别分析得出即可．解答：示意图点评：此题主要考查了利用轴对称设计图案以及轴对称图形以及中心对称图形的性质，熟练利用扇形面积公式是解题关键．考点二：设计搭配方案问题这类问题不仅在中考中经常出现，大家在平时的练习中也会经常碰到。

方案设计型试题例1、（常州）七（２）班共有50名学生，老师安排每人制作一件A 型或B 型的陶艺品，学校现有甲种制作材料36kg ，乙种制作材料29kg ，制作A 、B 两种型号的陶（1）设制作型陶艺品件，求的取值范围；（2）请你根据学校现有材料，分别写出七（2）班制作A 型和B 型陶艺品的件数． 分析：本题的背景是与人们的生活息息相关的现实问题，本题的条件较多，要分清楚每个量之间的关系，还有，弄清楚这些陶艺品并不能将料全部用完后，本题目就较容易解决了。

解：（1）由题意得：⎩⎨⎧⋯⋯⋯⋯≤+-⋯⋯⋯≤+-②x x ①x x 27)50(3.0364.0)50(9.0 由①得，x ≥18，由②得，x ≤20，所以x 的取值得范围是18≤x ≤20（x 为正整数） （2）制作A 型和B 型陶艺品的件数为：①制作A 型陶艺品32件，制作B 型陶艺品18件； ②制作A 型陶艺品31件，制作B 型陶艺品19件； ③制作A 型陶艺品30件，制作B 型陶艺品20件； 说明：1.本题考察的是不等式组的应用及解不等式。

练习一1、（黑龙江）某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于万元，但不超过万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：(1)该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案?(2)该公司如何建房获得利润最大?(3)根据市场调查，每套B型住房的售价不会改变，每套A型住房的售价将会提高a万元(a>0)，且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大?注：利润=售价-成本2．（哈尔滨）双蓉服装店老板到厂家选购A、B两种型号的服装，若购进A种型号服装9件，B种型号服装10件，需要1810元；若购进A种型号服装12件，B种型号服装8件，需要1880元。

(1)求A、B两种型号的服装每件分别为多少元?(2)若销售1件A型服装可获利18元，销售1件B型服装可获利30元，根据市场需求，服装店老板决定，购进A型服装的数量要比购进B型服装数量的2倍还多4件，且A 型服装最多可购进28件，这样服装全部售出后，可使总的获利不少于699元，问有几种进货方案?如何进货?3．（河南）某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞。

中考数学专题方案设计与决策问题方案设计是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操作，然后通过分析、计算、证明等，列举出所有可能方案，或确定出最佳方案的一类数学问题．一、主要题型分类①经济类方案设计题：根据方程(组)、不等式(组)的整数解、函数等模型，对实际问题中的方案进行比较来确定最优方案来解决问题；②操作类方案设计题：根据实际问题拼接或分割图形．以上两类试题不仅要求学生要有扎实的数学知识，而且要能够把实际问题中所涉及的数学问题转化、抽象成具体的数学问题.二、解题的一般思路1、解决经济类方案设计题一般过程是：①阅读，弄清问题背景和基本要求；②分析，寻找问题的数量关系，找到与其相关的知识；③建模，由分析得出的相关知识建立方程模型、不等式(组)模型或函数模型；④解题，求解上述建立的方程、不等式或函数，结合实际确定最优方案．2、解决操作类方案设计题一般过程是：①阅读，弄清问题背景和基本要求；②慎重考虑，设计出尽量简便符合要求的图形；③标上适当的数据，或附上文字说明．三、典例讲解【例题1】某市继2019年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．(1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？(2)该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10 000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？【解题思路】(1)根据“购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元”，建立方程求解即可得出结论；(2)根据“费用不超过10 000元和至少需要安放48个垃圾箱”，建立不等式即可得出结论．【解答过程】(1)设温馨提示牌的单价为x 元，则垃圾箱的单价为3x 元，根据题意，得2x＋3×3x＝550，∴ x ＝50. 经检验，符合题意，∴ 3x ＝150元．即温馨提示牌和垃圾箱的单价分别是50 元和150 元；(2)设购买温馨提示牌y 个( y 为正整数)，则垃圾箱为(100－y) 个，根据题意，得∴ 50 ≤ y ≤ 52.∵y 为正整数，∴y 为50,51,52，共3 种方案．即温馨提示牌50 个，垃圾箱50 个；温馨提示牌51 个，垃圾箱49 个；温馨提示牌52 个，垃圾箱48 个．根据题意，费用为50y＋150(100－y)＝－100y＋15 000，当y ＝52 时，所需资金最少，最少是9 800 元．【总结归纳】本例题属于经济类方案设计问题，用方程、不等式知识，是通过计算比较获得解决问题的方案的．此题主要考查了一元一次不等式组，一元一次方程的应用，一次函数的图像与性质等知识，正确找出相等关系是解决此类问题的关键．【例题2】为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17 个学生，还剩12 个学生没人带；若每位老师带18 个学生，就有一位老师少带甲种客车乙种客车载客量/(人/辆) 30 42租金/（元/辆）300 400学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3 100 元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师．(1)参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？(2)既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2 名老师，可知租用客车总数为________辆；(3)你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．【解题思路】(1) 设出老师有x 名，学生有y 名，得出二元一次方程组，解出即可；(2) 根据汽车总数不能小于300/42 ＝50/7 ( 取整为8 )辆，即可求出；(3) 设租用x 辆乙种客车，则甲种客车数为(8－x) 辆，由题意，得400x＋300(8－x) ≤ 3 100，得x 的取值范围，分析得出即可．【解答过程】(1)设老师有x 名，学生有y 名．根据题意，列方程组为故老师有16 名，学生有284 名．(2) ∵ 每辆客车上至少要有 2 名老师，∴ 汽车总数不能大于 8 辆．又要保证 300 名师生有车坐，汽车总数不能小于 42300= 750 ( 取整为 8)辆， 综上可知汽车总数为 8 辆．故答案为8.(3)设租用 x 辆乙种客车，则甲种客车数为 (8－x) 辆，∵ 车总费用不超过 3 100 元，∴ 400x ＋300(8－x) ≤ 3 100，解得 x ≤ 7.为使 300 名师生都有座，∴ 42x ＋30(8－x) ≥ 300，解得 x ≥ 5.∴ 5 ≤ x ≤ 7 ( x 为整数 )．∴ 共有 3 种租车方案：方案一：租用甲种客车 3 辆，乙种客车 5 辆，租车费用为 2 900 元；方案二：租用甲种客车 2 辆，乙种客车 6 辆，租车费用为 3 000 元；方案三：租用甲种客车 1 辆，乙种客车 7 辆，租车费用为 3 100元；故最节省费用的租车方案是：租用甲种客车 3 辆，乙种客车 5 辆．【总结归纳】本例题属于经济类方案决策型问题，综合运用二元一次方程组与一元一次不等式确定方案，由题意得出租用 x 辆甲种客车与租车费用的不等式关系是解决问题的关键．【例题3】有一张边长为 a 厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加 b 厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：方案一方案二方案三小红发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=(a+b)2对于方案一，小明是这样验证的：a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．【解题思路】根据题目中的图形面积可以分别写出方案二和方案三的推导过程，来解决问题．【解答过程】根据由题意，得方案二：a2+ab+(a+b)b= a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2方案三：= a2+2ab+b2=(a+b)2【总结归纳】本例题考查完全平方公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，写出相应的推导过程．四、知识拓展与提高【例题4】已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如下图4-1 所示.4-1(1)请说明图中①、② 两段函数图象的实际意义；(2)写出批发该种水果的资金金额w(元) 与批发量n(kg) 之间的函数关系式；在图4-2 的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果；4-2(3)经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图4-3 所示. 该经销商拟每日售出60 kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大.4-3【解答过程】(1)图① 表示批发量不少于20 kg 且不多于60 kg 的该种水果，可按5 元/kg 批发；图② 表示批发量高于60 kg 的该种水果，可按4 元/kg 批发.(2)根据题意，得函数图象如图 4-4 所示 .4-4由函数图象可知，资金金额满足 240 < w ≤ 300 时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果 .(3)解法一：设当日零售价为 x 元，由函数图象可得日最高销量n = 320 - 40x ，当 n > 60 时 ，x < 6.5 .根据题意，销售利润为y = (x-4)(320-40x) = 40(x-4)(8-x)= 40[-(x-6)2 +4]从而 x = 6 时，y 最大值 = 160，此时 n = 80 .即销售商应批发 80 kg 该种水果，日零售价定为 6 元/kg ，当日可得最大利润 160 元 . 解法二：设日最高销售量为 x kg (x>60) .则由图 4-3 可知日零售价 p 满足 x = 320 - 40p .则 p = (320-x)/40 .销售利润=-401(x-80)2+160 从而 x = 80 时，y 最大值 = 160，此时 p = 6 .即销售商应批发 80 kg 该种水果，日零售价定为 6 元/kg ，当日可得最大利润 160 元 .【总结归纳】本例题以实际生活中的水果批发为背景，考查了数形结合的数学思想，考查了列方程，求二次函数最值等知识点 .2020中考必考数学题。

2020中考数学 二轮专题 应用题中的方案选择问题（含答案）1. 为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小强向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案.根据这个购买方案：(1)若某三口之家欲购买120平方米的商品房，求其缴纳的房款； (2)设该家庭购买商品房的人均面积为x 平方米，缴纳房款为y 万元．请求出y 关于x 的函数表达式．解：(1)由题意得三口之家的人均住房面积为120×13＝ 40(平方米)， ∴三口之家应缴购房款为：0.3×3×30＋0.5×3×10＝ 42(万元)；(2)由题意得：①当0≤x ≤30时，y ＝0.3×3x ＝0.9x ；②当30<x ≤m 时，y ＝0.3×3×30＋0.5×3×(x －30)＝1.5x －18；③当x ＞m 时，y ＝0.3×3×30＋0.5×3(m －30)＋0.7×3×(x －m )＝2.1x －0.6m －18.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.9x （0≤x ≤30）1.5x －18（30<x ≤m ）2.1x －0.6m －18（x ＞m ）.2. 某容器装有一个进水管和一个出水管，从某时刻开始2 min 内既进水又出水，在随后的4 min 内只进水不出水，之后关闭进水管，打开出水管，容器内的水量y (L)与时间x (min)之间的函数图象如图所示．(1)求进水管的进水速度和出水管的出水速度；(2)当2≤x ≤6时，求y 与x 之间的函数关系式．第2题图解：(1)设进水管的进水速度为m L/min ，出水管的出水速度为n L/min ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2（n －m ）＝4（6－2）m ＝（9－6）n ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝6n ＝8， ∴进水管的进水速度为6 L/min ，出水管的出水速度为8 L/min ；(2)根据题意，当x ＝6时，y ＝(6－2)×6＝24，设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b (2≤x ≤6)，将(2，0)，(6，24)代入得⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝06k ＋b ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝6b ＝－12， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝6x －12(2≤x ≤6)．3. 一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v (千米/小时)与所用时间t (小时)的函数图象如图所示，其中60≤v ≤120.(1)直接写出v 关于t 的函数关系式；(2)若一辆货车同时从乙地出发前往甲地，客车比货车平均每小时多行驶20千米，3小时后两车相遇．①求两车的平均速度；②甲、乙两地间有两个加油站A ，B ，它们相距200千米，当客车进入B 加油站时，货车恰好进入A 加油站(两车加油的时间忽略不计)，求甲地与B 加油站的距离．第3题图解：(1)由图象可知过(5，120)，60≤v ≤120，∴v 与t 的函数关系式为v ＝600t(5≤t ≤10)； (2)①根据题意，得3(v ＋v －20)＝600，解得v ＝110，经检验，v ＝110符合题意，当v＝110时，v－20＝90.答：客车和货车的平均速度分别为110千米/小时和90千米/小时；②当A加油站在甲地和B加油站之间时，110t－(600－90t)＝200，解得t＝4，此时110t＝110×4＝440(千米)；当B加油站在甲地和A加油站之间时，110t＋200＋90t＝600，解得t＝2，此时110t＝110×2＝220(千米)．答：甲地与B加油站的距离为220千米或440千米．4.月电科技有限公司用160万元作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现，每年的年销售量y(万件)与销售价格x(元/件)的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分，设公司销售这种电子产品的年利润为z(万元)．(注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本．)第4题图(1)请求出y (万件)与x (元/件)之间的函数关系式；(2)求出第一年这种电子产品年利润z (万元)与x (元/件)之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值；解：(1)当4≤x ≤8时，设y ＝k x， 将A (4，40)代入得k ＝4×40＝160，∴y 与x 之间的函数关系式为：y ＝160x， 当8<x ≤28时，设y ＝kx ＋b ，将B (8，20)，C (28，0)代入得，⎩⎪⎨⎪⎧8k ＋b ＝2028k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝28， ∴y 与x 之间的函数关系式为：y ＝－x ＋28，综上所述：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧160x （4≤x ≤8）－x ＋28（8<x ≤28）； (2)当4≤x ≤8时，z ＝(x －4) ·y －160＝(x －4) ·160x －160＝－640x， ∵－640<0，∴z 随着x (x >0)的增大而增大，∴当x ＝8时，z max ＝－6408＝－80， 当8<x ≤28时，z ＝(x －4) ·y －160＝(x －4) ·(－x ＋28)－160＝－x 2＋32x －272＝－(x －16)2－16， ∵该函数为二次函数，且a ＝－1<0，∴y 在x ＝16处取得最大值．∴当x ＝16时，z max ＝－16，∵－16>－80，∴当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为－16万元．5. 为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000 m 2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花．设种草部分的面积为x (m 2)，种草所需费用y 1(元)与x (m 2)的函数关系式为y 1＝⎩⎪⎨⎪⎧k 1x （0≤x <600）k 2x ＋b （600≤x ≤1000），其图象如图所示；栽花所需费用y 2(元)与x (m 2)的函数关系式为y 2＝－0.01x 2－20x ＋30000(0≤x ≤1000)．(1)请直接写出k 1，k 2和b 的值；(2)设这块1000 m 2空地的绿化总费用为W (元)，请利用W 与x 的函数关系式，求出绿化总费用W 的最大值；(3)若种草部分的面积不少于700 m 2，栽花部分的面积不少于100 m 2，请求出绿化总费用W 的最小值．第5题图解：(1)k 1＝30，k 2＝20，b ＝6000；【解法提示】k 1＝18000÷600＝30，k 2＝(26000－18000)÷(1000－600)＝20，将点(600，18000)代入y 1＝k 2x ＋b 得18000＝20×600＋b ，∴b ＝6000.(2)当0≤x <600时，W＝30x＋(－0.01x2－20x＋30000)＝－0.01x2＋10x＋30000＝－0.01(x－500)2＋32500，∵－0.01<0，∴当x＝500时，W取得最大值为32500元．当600≤x≤1000时，W＝20x＋6000＋(－0.01x2－20x＋30000)＝－0.01x2＋36000，∵－0.01<0，∴当600≤x≤1000时，W随x的增大而减小，∴当x＝600时，W取最大值为32400元，∵32400<32500，∴绿化总费用W的最大值为32500元；(3)由题意得：1000－x≥100，解得x≤900，∵x≥700，∴700≤x≤900，∵当700≤x≤900时，W随x的增大而减小，∴当x＝900时，w取最小值，W＝－0.01×9002＋36000＝27900元，∴当x＝900时，绿化总费用W最小，最小值为27900元．6.某天早晨，张强从家跑步去体育场锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，张强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起回到家(张强和妈妈始终在同一条笔直的公路上行走)．如图是两人离家的距离y (米)与张强出发的时间x (分)之间的函数图象．根据图象信息解答下列问题：第6题图(1)求张强返回时的速度；(2)妈妈比按原速返回提前多少分钟到家？(3)请直接写出张强与妈妈何时相距1000米？解：(1)3000÷(50－30)＝150(米/分)，即张强返回时的速度为150米/分；(2)妈妈回家的原速度为150×（45－30）45＝50(米/分)， 妈妈提前回家的时间是300050－50＝ 10(分)； (3)403 分，803分，35分． 【解法提示】由(2)可得，妈妈回家的原速度为50米/分，∴B 的纵坐标为3000－45×50＝750，∴B (45，750)．∴线段BD 的解析式为y ＝－50x ＋3000(0≤x ≤45)，由题图可得，线段OA 的解析式为y ＝100x (0≤x ≤30)，线段AC 的解析式为y ＝－150x ＋7500(30≤x ≤50)．① 第一次相遇前：妈妈离家距离y 与时间x 的关系为y ＝－50x ＋3000，张强离家距离y 与时间x 的关系为y ＝100x ，∴张强与妈妈的距离为y ＝－50x ＋3000－100x ＝－150x ＋3000，∴当y ＝1000时，解得x ＝403；②第一次相遇后至张强到体育场：由①得张强与妈妈距离为y ＝100x －(－50x ＋3000)＝150x －3000，∴当y ＝1000时，解得x ＝803； ③张强返回途中：张强返回时的离家距离y 与时间x 的关系为y ＝－150x ＋7500， ∴张强与妈妈的距离为y ＝－150x ＋7500－(－50x ＋3000)＝－100x ＋4500， ∴当y ＝1000时，解得x ＝35.7. 甲、乙两车从A 地将一批物品匀速运往B 地，已知甲出发0.5 h 后乙出发，如图，线段OP 、MN 分别表示甲、乙两车离A 地的距离s (km)与时间t (h)之间的关系，请结合图中的信息，解答下列问题：第7题图(1)求甲、乙两车的速度及a 的值；(2)若乙车到达B 地后以原速立即返回．①在图中画出乙车在返回过程中离A 地的距离s (km)与时间t (h)的函数图象； ②直接写出甲车在离B 地多远处与返程中的乙车相遇？解：(1)由题意可得，甲车的速度为60÷1.5＝40 km/h.∵甲比乙早出发0.5 h ，∴乙车的速度为60÷(1.5－0.5)＝60 km/h ，∴a ＝40×4.5＝180 km ；(2)①乙车在返回过程中离A地的距离s与时间t的函数图象如解图中NQ线段所示；第6题解图【解法提示】∵180÷60＝3 h，∴乙车到达B地所用时间为3 h，∴点N的横坐标为3.5.∵乙车原速返回A地，∴乙车6.5小时返回A地，∴Q(6.5，0)．连接线段NQ，则线段NQ即为乙车在返回过程中离A地的距离s与时间t的函数图象；②甲车在离B地24 km处与返程中的乙车相遇．【解法提示】乙车开始返回时，甲车离A地的距离是40×3.5＝140 km，设乙车返回与甲车相遇所用时间为t1，根据题意得，(60＋40)t1＝180－140，解得t1＝0.4，∴60×0.4＝24 km，∴甲车在离B地24 km处与返程中的乙车相遇．8.“美乐”超市欲购进A、B两种品牌的水杯共400个．已知两种水杯的进价和售价如下表所示．设购进A种水杯x个，且所购进的两种水杯能全部卖出，获得的总利润为W元．(1)求W关于x的函数关系式；(2)如果购进两种水杯的总费用不超过16000元，那么该商场如何进货才能获得最大利润？并求出最大利润．解：(1)由题意得W＝(65－45)x＋(55－37)(400－x)＝2x＋7200，∴W关于x的函数关系式为W＝2x＋7200；(2)由题意得45x＋37(400－x)≤16000，解得：x≤150.∵W＝2x＋7200，即k＝2＞0，∴W随x的增大而增大，∴当x＝150时，W最大＝7500，∴进货方案是：A种水杯购进150个，B种水杯购进250个时，才能获得最大利润，且最大利润为7500元．9.“十三五”时期国家扶贫开发工作的重点是：贵在精准，重在精准．为了贯彻“精准扶贫”精神，某校特制定了一系列关于帮扶A，B两贫困村的计划．现决定从某地运送152箱鱼苗到A，B两村养殖，若用大货车8辆、小货车7辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A，B两村的运费如下表：(1)现安排其中10辆货车前往A 村，其余货车前往B 村，设前往A 村的大货车为x 辆，前往A ，B 两村总费用为y 元，试求出y 与x 的函数解析式；(2)在(1)的条件下，若运往A 村的鱼苗不少于100箱，求最少费用．解：(1)由题意可得，y ＝800x ＋900(8－x )＋400(10－x )＋600[7－(10－x )]＝ 100x ＋9400(0≤x ≤8，且x 为整数)；(2)由题意得12x ＋8(10－x )≥100， 解得x ≥5， 又∵0≤x ≤8， ∴5≤x ≤8且为整数，∵y ＝100x ＋9400，k ＝100>0，y 随x 的增大而增大， ∴当x ＝5时，y 最小，最小值为y ＝100×5＋9400＝9900(元)， 答：最少运费为9900元．10. 学校准备租用一批汽车，现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载客量30人．已知1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元． (1)求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元？(2)学校计划租用甲、乙两种客车共8辆，送330名师生集体外出活动，最节省的租车费用是多少？解：(1)设1辆甲客车需要租金x 元，1辆乙客车需要租金y 元，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝12403x ＋2y ＝1760，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝400y ＝280， 答：1辆甲客车需要租金400元，1辆乙客车需要租金280元；(2)设租甲客车t 辆，则租乙客车(8－t )辆，租车总费用为w 元， 根据题意得：45t ＋30(8－t )≥330，且t ≤8， ∴6≤t ≤8，由题意得：w ＝400t ＋280(8－t )， ＝120t ＋2240， ∵k ＝120＞0，∴w 随t 的增大而增大，∴当t ＝6时，w 最少，w 最少＝120×6＋2240＝2960(元)．答：租用甲种客车6辆，乙种客车2辆时，租车费用最少，最少费用为2960元． 11. 某公司拟为当地援建一所希望小学，A 和B 两个工程队有能力承包建校工程，A 工程队单独完成建校工程的时间是B 工程队的2倍，两队合作完成建校工程需60天．(1)A 和B 两个工程队单独完成建校工程各需多少天？(2)在施工过程中，该公司派一名技术员在现场对施工质量进行全程监督，每天需要补助100元，若由A 工程队单独施工时，平均每天的费用是5000元，现公司选择了B 工程队，要求其施工总费用不能超过A 工程队，则B 工程队单独施工时平均每天的费用最多为多少元？解：(1)设B 工程队单独完成建校工程需x 天，则A 工程队单独完成建校工程需2x 天，由题意得：(1x ＋12x )×60＝ 1， 解得x ＝90，经检验，x ＝90是原方程的解，且符合题意，此时2x＝180，答：A和B两个工程队单独完成建校工程各需180天、90天；(2)设B工程队单独施工时平均每天的费用为m元，由题意得：100×90＋90m≤100×180＋5000×180，解得m≤10100.答：B工程队单独施工时平均每天的费用最多为10100元．12.某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．(1)求该种水果每次降价的百分率；(2)从第一次降价的第1天算起，第x天(x为整数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x天的利润为y元，求y与x(1≤x<15)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？(3)在(2)的条件下，若要使第15天的利润比(2)中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？设该种水果每次降价的百分率是x ，根据题意得：10(1－x )2＝8.1，解得x ＝10%或x ＝190%(不合题意舍去)， ∴该种水果每次降价的百分率是10%；(2)当1≤x <9时，y ＝[10(1－10%)－4.1](80－3x )－(40＋3x )＝－17.7x ＋352， ∵－17.7<0，∴y 随x 的增大而减小， ∴当x ＝1时，y 有最大值， y 最大＝－17.7×1＋352＝334.3(元)，当9≤x <15时，y ＝(8.1－4.1 ) (120－x )－(3x 2－64x ＋400)＝－3(x －10)2＋380， ∵－3<0，当9≤x ≤10时，y 随x 的增大而增大， ∴10<x <15时，y 随x 的增大而减小， ∴当x ＝10时，y 有最大值，y 最大＝380(元)， 综上所述，y 与x (1≤x <15)之间的函数关系式为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－17.7x ＋352（1≤x <9）－3（x －10）2＋380（9≤x <15），∵334.3<380，∴第10天时销售利润最大；(3)设第15天在第14天的价格基础上可降a 元，根据题意得：380－[(8.1－4.1－a )(120－15)－(3×152－64×15＋400)]≤127.5，∴380－105(4－a )＋115≤127.5，∴a ≤0.5，∴第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元．13. 某养殖场计划购买甲、乙两种鱼苗600条，甲种鱼苗每条16元，成活率为80%，乙种鱼苗每条20元，成活率为90%.(1)若购买这两种鱼苗共用去11000元，则甲、乙两种鱼苗各购买多少条？ (2)若要使这批鱼苗的总成活率不低于85%，则乙种鱼苗至少购买多少条？(3)在(2)的条件下，应如何选购鱼苗，使购买鱼苗的总费用最低？最低费用是多少？ 解：(1)设购买甲种鱼苗x 条，乙种鱼苗y 条，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝60016x ＋20y ＝11000，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝250y ＝350， 答：购买甲种鱼苗250条，乙种鱼苗350条；(2)设购买乙种鱼苗m 条，则购买甲种鱼苗(600－m )条， 由题意得：90%m ＋80%(600－m )≥85%×600， 解得m ≥300，答：乙种鱼苗至少购买300条； (3)设购买鱼苗的总费用为Z 元，则 Z ＝20m ＋16(600－m )＝4m ＋9600， ∵4>0，∴Z 随m 的增大而增大， 又∵m ≥300，∴当m ＝300时，Z 有最小值，Z 最小＝4×300＋9600＝10800(元)，此时600－m ＝300， 答：当购买甲种鱼苗300条，乙种鱼苗300条时，总费用最低，最低费用为10800元． 14. 移动营业厅推出两种移动电话计费方式：方案一，月租费用15元/月，本地通话费用0.2元/分钟；方案二，月租费用0元/月，本地通话费用0.3元/分钟． (1)以x 表示每个月的通话时间(单位：分钟)，y 表示每个月的电话费用(单位：元)，分别表示出两种电话计费方式的函数表达式；(2)当每个月的通话时间为300分钟时，采用哪种电话计费方式比较合算？解：(1)根据题意知，方案一：y＝15＋0.2x，(x≥0)；方案二：y＝0.3x，(x≥0)；(2)当x＝300时，方案一的费用y＝15＋0.2×300＝75(元)，方案二的费用y＝0.3×300＝90(元)，∵75<90，∴采用方案一电话计费方式比较合算．15.甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．甲公司方案：每月的养护费用y(元)与绿化面积x(平方米)是一次函数关系，如图所示．乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元．第15题图(1)求如图所示的y与x的函数解析式；(不要求写出自变量的取值范围)(2)如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．解：(1)设y ＝kx ＋b ，将点(0，400)，(100，900)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝400100k ＋b ＝900， 解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝5b ＝400，∴y ＝5x ＋400；(2)绿化面积是1200平方米时，甲公司的费用为5×1200＋400＝ 6400元，乙公司的费用为5500＋4×200＝ 6300元，∵6300<6400，∴选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少.。

专题13 方案设计专题专题精讲方案设计型问题，是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操作，然后通过分析、计算、证明等，确定出最佳方案的一类数学问题.此类题目一般较长，做题前要认真读题，理解题意，选择和构造合适的数学模型，通过数学求解，最终解决问题.方案设计题出题背景是与我们的生活息息相关的社会热点问题，一些新颖、灵活、密切联系实际的方案设计问题正越来越受到中考命题人员的喜爱，这些问题主要考查学生动手操作能力和创新能力，这也是新课程所要求的核心内容之一.解题策略方案设计型问题涉及生产生活的方方面面，如：测量、购物、生产配料、汽车调配、图形拼接等。

所用到的数学知识有方程、不等式、函数、解直角三角形、概率和统计等知识。

这类问题的应用性非常突出，题目一般较长，做题之前要认真读题，理解题意，选择和构造合适的数学模型，通过数学求解，最终解决问题，解决这类问题的关键就是构造相应的数学模型来确定方案，并选取最优方案，另外，解题时还要注重综合运用转化思想、数形结合的思想、方程函数思想及分类讨论等各种数学思想.典例解析一、设计分配奖励方案问题例1（2019·龙东地区）某学校计划用34件同样的奖品全部用于奖励在“经典诵读”活动中表现突出的班级，一等奖奖励6件，二等奖奖励4件，则分配一、二等奖个数的方案有（）A．4种B．3种C．2种D．1种分析：设分配一等奖x个，二等奖y个，依题意得6x+4y=34，根据方程可得三种方案.解：设分配一等奖x个，二等奖y个，依题意得6x+4y=34，其正整数解有17xy=⎧⎨=⎩，34xy=⎧⎨=⎩，51xy=⎧⎨=⎩，故选B.点评：此题主要考查了二元一次方程的应用，解答此题的关键是，根据题意，设出未知数，列出不定方程，再根据不定方程的未知数的特点解答即可．二、设计购买篮球方案问题例2（2019广东）某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，已知每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元．（1）若购买这两类球的总金额为4600元，求篮球，足球各买了多少个？（2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？分析：（1）设购买篮球x 个，购买足球y 个，根据总价＝单价×购买数量结合购买篮球、足球共60个\购买这两类球的总金额为4600元，列出方程组，求解即可；（2）设购买了a 个篮球，则购买（60﹣a ）个足球，根据购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，列不等式求出x 的最大整数解即可．解：（1）设购买篮球x 个，购买足球y 个，依题意得：{x +y =6070x +80y =4600． 解得{x =20y =40． 答：购买篮球20个，购买足球40个；（2）设购买了a 个篮球，依题意得：70a ≤80（60﹣a ）解得a ≤32．答：最多可购买32个篮球．点评：此题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用；根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．三、设计租车方案问题例3（2019·遵义）某校计划组织240名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动，旅游公司有A,B 两种客车可供租用，A 型客车每辆载客量45人，B 型客车每辆载客量30人，若租用4辆A 型客车和3辆B 型客车共需费用10700元；若租用3辆A 型客车和4辆B 型客车共需费用10300元（1）求租用A,B 两型客车，每辆费用分别是多少元；（2）为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有几种租车方案？哪种方案最省钱？分析：（1）设租用A 型客车的费用是x 元，B 型客车的费用是y 元，根据题意列出二元一次方程组，可求每辆车的费用；（2）设租用A 型客车a 辆，B 型客车b 辆,由师生240人都有车坐，根据座位列出不等式；再由租车费用列出不等式，组成不等式组，根据a,b 的值为正整数，可求出方案解：（1）设租用A 型客车的费用是x 元，B 型客车的费用是y 元，根据题意得4x+3y=10700;3x+4y=10300,解得,x=1700，y=1300;答：租用A 型客车的费用1700元，B 型客车的费用是1300元.（2）设租用A 型客车a 辆，B 型客车b 辆,根据题意得45a+30b≥240；1700a+1300b≤10000； ∴17b 13-1003b 2-16≤≤a ∵a,b 均为正整数，∴a=2,b=5;a=4,b=2两种方案当a=2,b=5时，费用为99005130021700=⨯+⨯（元）当a=4,b=2时，费用为94002130041700=⨯+⨯（元）答：租用A 型客车4辆，B 型客车2辆时费用最低，最低费用为9400元点评：此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是要分析题意根据实际意义，找出它们之间的数量关系列出不等式．四、设计不同图案问题例4（2019•广安）在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的33⨯正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个33⨯的正方形方格画一种，例图除外）分析：根据轴对称图形和旋转对称图形的概念作图即可得．解：如图所示，点评：本题考查了学生实际操作能力，熟练利用图形的旋转及轴对称的知识设计图案关键是要熟悉旋转及轴对称的性质，利用旋转及轴对称的作图方法来作图，通过变换来得到不同的图案．五、设计测量方案问题例5（2019·山西）某"综合与实践"小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制定了测量方案,并利用课余时间完成了实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上,选取两个不同测点,分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差,小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时,都分别测量了两次并取他们的平均值作为测量结果,测量数据如下表(不完整).任务一:两次测量A,B之间的距离的平均值是______m.任务二:根据以上测量结果,请你帮助该"综合与实践"小组求出学校旗杆GH的高度.(参考数据:sin25.7°≈0.43,cos25.7°≈0.90,tan25.7°≈0.48,sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)任务三:该"综合与实践"小组在制定方案时,讨论过"利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度"的方案,但未被采纳.你认为其原因可能是什么?(写出一条即可)分析：任务一:根据两次测量结果直接求平均值就可以得到答案；任务二:设EC=xm,解直角三角形即可得到结论；任务三: 根据题意得到没有太阳光,或旗杆底部不可到达(答案不唯一)．解：任务一:平均值＝(5.4+5.6)÷2＝5.5m任务二:由题意可得,四边形ACDB,ACEH都是矩形,∴EH＝AC＝1.5,CD＝AB＝5.5,设EG＝xm,在Rt△DEG中,∠DEG＝90°,∠GDE＝31°,∵tan31°＝EGDE,∴DE＝tan31x,在Rt△CEG中,∠CEG＝90°,∠GCE＝25.7°,∵tan25.7°＝EGCE,∴CE＝tan25.7x,∵CD＝CE－DE,∴tan25.7x－tan31x＝5.5,∴x＝13.2,∴GH＝GE+EH＝13.2+1.5＝14.7.答:旗杆GH的高度为14.7m.任务三:答案不唯一:没有太阳光,旗杆底部不可到达,测量旗杆影子的长度遇到困难等.点评：本题考查的是解直角三角形的应用，这类问题主要包括物体高度的测量和地面宽度的测量. 掌握仰角俯角的概念、熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．。

第 1 页 共 4 页2020年中考数学二轮重难题型类型一 最优方案问题 例1． 某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设每件降价x 元、每星期售出商品的利润为y 元，请写出y 与x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围；（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？【答案】：当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元.【分析】：这是一道与商品销售有关的最优化问题．首先根据“利润=（售价－进价）×销售量”构建二次函数，然后通过配方或用顶点坐标公式求出最值.【解析】： （1） y =(60－x －40)(300+20x ) ＝6000+400x －300x －20x 2＝－20x 2+100x +6000自变量x 的取值范围是0≤x ≤20.（2）∵a ＝－20<0，∴函数有最大值， ∵100 2.522(20)b a -=-=⨯-，22444(20)600010061254(20)ac b a -⨯-⨯-==⨯-. ∴当x =2.5时，y 的最大值是6125.∴当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元.例2 现有一块矩形场地，如图1所示，长为40m ，宽为30m ，要将这块地划分为四块分别种植：A ．兰花；B ．菊花；C ．月季；D ．牵牛花．（1）求出这块场地中种植B 菊花的面积y 与B 场地的长x 之间的函数关系式，并写出自为量的取值范围．（2）当x 是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】：当15m x =时，种植菊米的面积最大， 最大面积为225m 2．【分析】：这是花草种植面积的最优化问题，先根据矩形的面积公式列出y 与x之间图1第 2 页 共 4 页的函数关系式，再利用配方法或公式法求得最大值.【解析】：（1）由题意知，B 场地宽为(30)m x -，∴2(30)30y x x x x =-=-+， 自变量x 的取值范围为030x <<．（2）2230(15)225y x x x =-+=--+，当15m x =时，种植菊米的面积最大， 最大面积为225m 2．点评：求解与二次函数有关的最优化问题时，首先要根据题意构建函数关系式，然后再利用配方法或公式法求得最大值．有一点大家一定要注意：顶点横坐标在自变量的取值范围内时，二次函数在顶点处取得最值；顶点横坐标不在自变量的取值范围内时，要根据题目条件，具体分析，才能求出符合题意的最值．例3、 某人定制了一批地砖，每块地砖（如图1(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图1(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH ．(1)判断图(2)中四边形EFGH 是何形状，并说明理由；(2)E 、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？【答案】：(1) 四边形EFGH 是正方形．（2）当CE =CF =0.1米时总费用最省.【分析】：（1）通过观察图形，可猜想四边形EFGH 是正方形。

中考数学复习第32章方案设计问题考点一方程、不等式型方案设计方程、不等式型方案设计常见的两种类型1.方程(组)型方案设计:根据题意,列出方程(组),通过求其整数解,确定设计方案.2.方程、不等式综合型方案设计:根据题意,列出方程及不等式(组),通过解方程、不等式,求出其整数解,确定设计方案.(1)求A,B两种型号的电风扇的销售单价.(2)若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台,求A 种型号的电风扇最多能采购多少台?(3)在(2)的条件下,超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标,若能,请给出相应的采购方案;若不能,请说明理由.【思路点拨】(1)设A,B两种型号的电风扇销售单价分别为x元,y元,根据3台A 种型号5台B种型号的电风扇收入1800元,4台A种型号、10台B种型号的电风扇收入3100元,列方程组求解.(2)设采购A种型号电风扇a台,则采购B种型号电风扇(30-a)台,根据金额不多于5400元,列不等式求解.(3)设利润为1400元,列方程求出a的值为20,不符合(2)的条件,可知不能实现目标.【特别提醒】1.不等式(组)的正整数解,在确定实际问题的方案中起着至关重要的作用.2.通过计算、比较,确定解决实际问题的最优方案.考点二函数型方案设计函数型方案设计常见的三种类型1.根据一次函数性质确定最优方案:首先根据题意,列出两个变量的一次函数解析式;再根据题意,列出不等式组,利用一次函数的增减性确定有最大值(或最小值)的方案.2.列出两个函数解析式,确定最优方案:根据题意(或函数图象),列出两个函数解析式,通过求方程(组)的解,确定最佳方案.3.比较函数值,确定最优方案:根据题意,列出两个一次函数解析式,通过比较函数值的大小确定最优方案.【例2】某公司有甲种原料260kg,乙种原料270kg,计划用这两种原料生产A,B两种产品共40件.生产每件A种产品需甲种原料8kg,乙种原料5kg,可获利润900元;生产每件B种产品需甲种原料4kg,乙种原料9kg,可获利润1100元.设安排生产A种产品x件.【思路点拨】(1)根据每件产品所需要的原料数×某种产品的件数,可填好表格中的空格.(2)根据两种产品所需要某种原料数的总和不超过公司现有某种原料数,列出不等式组,求出不等式组的整数解即可.(3)根据题意,列出y与x之间的函数关系式,再根据一次函数的性质分别算出三种生产方案的利润,即可求得最大利润.此不等式组的解集为22.5≤x≤25，∵x为整数，∴x＝23，24，25，此时，40-x的值相应为17，16，15.答：安排生产A，B两种产品的件数有3种方案：(A，B)＝(23，17)，(24，16)，(25，15).(3)由题意得y＝900x＋1 100(40-x)＝-200x＋44 000，即y＝-200x＋44 000，因为k＝-200＜0，23≤x≤25，所以当x＝23时，y最大值＝-200×23＋44 000＝39 400(元).答：y与x的函数关系式为y＝-200x＋44 000，最大利润为39 400元.考点三几何图形型方案设计几何图形型方案设计问题常见的两种类型1.几何图形分割与拼接方案设计:把一个几何图形按某种要求分成几个图形,这是图形的分割.反过来,按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形,这是图形的拼接.在图形的分割、拼接过程中,都要结合所提供的图形特点来思考.2.图案设计方案:以某一个图案为基础,利用中心对称、轴对称的性质设计优美图案.由于思考的角度不同,审美观各异,设计出的图案是不唯一的.【例3】下面给出的正多边形的边长都是20cm.请分别按下列要求设计一种剪拼方法(用虚线表示你的设计方案,把剪拼线段用粗黑实线,在图中标注出必要的符号和数据,并作简要说明.(1)将图1中的正方形纸片剪拼成一个底面是正方形的直四棱柱模型,使它的表面积与原正方形面积相等.(2)将图2中的正三角形纸片剪拼成一个底面是正三角形的直三棱柱模型,使它的表面积与原正三角形的面积相等.(3)将图3中的正五边形纸片剪拼成一个底面是正五边形的直五棱柱模型,使它的表面积与原正五边形的面积相等.【思路点拨】(1)在正方形四个角上分别剪下一个边长为5的小正方形,拼成一个正方形作为直四棱柱的底面即可.(2)在正三角形的每一角上找出到顶点距离是5的点,然后作边的垂线,剪下后拼成一个正三角形,作为直三棱柱的一个底面即可.(3)在正五边形的每一角上找出到顶点距离是5的点,然后作边的垂线,剪下后拼成一个正五边形,作为直五棱柱的一个底面即可.【解析】(1)如图1,沿黑线剪开,把剪下的四个小正方形拼成一个正方形,再沿虚线折叠即可.(2)如图2,沿黑线剪开,把剪下的三部分拼成一个正三角形,再沿虚线折叠即可.(3)如图3,沿黑线剪开,把剪下的五部分拼成一个正五边形,再沿虚线折叠即可.【特别提醒】(1)拼接出的多边形边数一定要与要求相符合.(2)网格中作图,要充分利用网格中直角、小正方形的边长.(3)几何图形的方案设计,答案往往不唯一,只要给出符合要求的其中之一即可.考点四测量方案型设计问题测量方案型设计问题常见的三种类型1.测量物体高度方案设计:理解俯角、仰角的定义,分析图形:根据题意构造直角三角形.并结合图形利用三角函数,应用解直角三角形的关系解决问题.2.测量物体宽度方案设计:理解方向角或方位角,由题意构建直角三角形,运用三角函数解直角三角形.3.测量物体深度方案设计:根据题意作出辅助线,构造出相似三角形(或直角三角形),运用相似三角形性质(或三角函数)解答实际问题.【例4】九(1)班同学在上学期的社会实践活动中,对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量.(1)如图1,第一小组用一根木条CD斜靠在护墙上,使得DB与CB的长度相等,如果测量得到∠CDB=38°,求护墙与地面的倾斜角α的度数.(2)如图2,第二小组用皮尺量得EF为16米(E为护墙上的端点),EF的中点离地面FB的高度为1.9米,请你求出E点离地面FB的高度.(3)如图3,第三小组利用第一、二小组的结果,来测量护墙上旗杆的高度,在点P 测得旗杆顶端A的仰角为45°,向前走4米到达Q点,测得A的仰角为60°,求旗杆AE的高度(精确到0.1米).(备用数据:tan60°≈1.732,tan30°≈0.577,≈1.732, ≈1.414)【思路点拨】应用(1)的结果及相似,求出护墙的高度,在两个直角三角形中表示点A到地面的高度,列方程求解.【解析】(1)α=76°.(2)过点E作EG⊥FB,垂足为G,过EF的中点O作OH⊥FB,垂足为H,如图甲.∵OH=1.9,∴EG=2OH=3.8,∴E点离地面FB的高度为3.8米.。