高等代数在中学数学解题中的若干应用

本科生毕业论文高等代数知识在初等数学中的应用摘要 (I)Abstract (I)第一章绪论 (1)第二章高等代数与初等数学的联系 (1)2.1知识方面的区别与联系 (2)2.2思想方法方面的区别与联系 (2)2.3观念方面的区别与联系 (4)第三章多项式理论在初等数学中的应用 (5)3.1去重因式分解多项式 (5)3.2 利用因数定理分解多项式 (5)3.3利用对称多项式与轮换多项式的性质分解多项式 (6)3.4多项式的一些应用 (6)第四章行列式在初等数学中的应用 (8)4.1应用行列式判定二元二次多项式的可分解性 (8)4.2应用行列式分解因式 (9)4.3应用行列式解决数列问题 (9)第五章线性方程组在初等数学中的应用 (12)5.1 在平面解析几何上的应用 (12)5.2在空间解析几何中的应用 (13)5.3在求解二元方程组上的应用 (14)第六章柯西不等式在初等数学中的应用 (15)6.1柯西不等式在解析几何中的应用 (15)6.2柯西不等式在解其它题方面的应用 (15)第七章结论 (18)参考文献 (19)致谢 (20)高等代数是现代数学中一个重要的分支，是在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充．高等代数是初等数学的进化．高等代数不仅是初等数学的延拓，也是现代数学的基础，只有很好的掌握高等代数的基础知识才能适应数学发展和教材改革．高等代数知识在开阔视野，指导中学解题等方面的作用尤为突出．在许多问题中，如果我们能用高等代数知识解决一些初等数学中的问题，将命题转化为一般性的问题进行解决，往往能收到事半功倍的效果，使人耳目一新．文章一方面介绍了高等代数与初等数学的联系，从数学知识、数学思想方法、数学观念3个方面发掘一下高等数学类课程与中学数学的联系．另一方面介绍高等代数的一些知识在初等数学的应用．如多项式、行列式、线性方程组、柯西不等式在初等数学中的应用，高等代数应用于中学数学并不是简单的一题多解,而是一种知识的融会贯通和发展学生的发散和联想思维．用高等代数的观点去研究初等数学史新世纪对中学数学教师的高水平要求，教师是否具有较高的教学观点，是衡量教师数学素质的重要标准．教师具有高的观点，就能从高处看清中学教材的内在结构和本质联系，把握教材的重、难点；教师具有高观点，就能从认知的角度，在知识的各部分参透高等数学的观点，培养学生的创造性、判断性思维．关键词：高等代数多项式行列式柯西不等式初等代数应用AbstractHigher algebra is an important branch of modern mathematics, which is on the basis of the elementary algebra research object for further expansion. Advanced algebra is the evolution of elementary mathematics. Advanced algebra is not only the continuation of elementary mathematics, also is the foundation of modern mathematics, only good to master the basic knowledge of advanced algebra can adapt the mathematical development and teaching materials reform. Advanced algebra in the open field of vision of knowledge, especially the role of guiding middle school problem solving, etc. In many problems, if we can use the advanced algebra knowledge to solve some problems in the elementary mathematics, converting the proposition to general problems are solved, can often get twice the result with find everything new and fresh.Higher algebra and elementary mathematics were introduced on the one the other the application of elementary mathematics. Such as polynomial, determinant, system of linear equations, cauchy inequality in elementary mathematics, the application of advanced algebra to establish mathematics is not a simple problemsolution, but a mastery of knowledge and the development of students' divergent and associative thinking. In view of the new century of see the inner structure and the essence of the middle school teaching material from a from the perspective of cognition, in the knowledge of each part searches view of第一章绪论人类的文明进步和社会发展，无时无刻不受到数学的恩惠和影响，数学科学的应用和发展牢固地奠定了它作为整个科学技术乃至许多人文科学的基础的地位，当今时代，数学正突破传统的应用范围向几乎所有的人类知识领域渗透，它和其他学科的交互作用空前活跃，越来越直接地为人类物质生产与日常生活作出贡献，也成为其掌握者打开众多机会大门的钥匙．在长期开设高等代数等数学类课程的实践中一直存在两方面的问题，一方面由于中学知识难以与高等代数直接衔接，使不少大学生一接触到“数学分析”、“高等代数”等课程，就对数学专业课程产生了畏惧情绪：另一方面，由于高等代数理论与中学教学需要严重脱节，许多高师毕业生对如何用高等代数知识指导初等代数教学感到茫然．通过本文的介绍，使读者都能清楚地看到：高等代数知识在初等数学的继续喝提高，在思想方法上是初等数学的延续和扩张，在观念上是初等数学的深化和发展．这样学生学习高等代数的难度就会大大降低．高等代数与中学数学在思想方法方面的联系主要体现在抽象化思想、分类思想、结构思想、类比推理思想、公理化方法等方面．高等代数与中学数学的联系对比不但可以降低高等代数课的学习难度，而且增强了高等代数课对培养中学数学教师的指导作用．马克思曾说过：“一门学科只有成功地应用了数学时，才真正达到了完善的地步”．高等代数作为一门抽象的大学学科，虽然表面上是独立的知识体系，但并没有与初等代数内容严重脱节，而是相互参透，彼此相通。

浅谈高等代数在中学的应用数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学学号：2011031532 朱伟达指导老师:卢明先【摘要】线性代数是数学的一个分支，是一门数学基础课程．近几年随着高等数学已渐渐走入初等数学,线性代数在初等数学中也有广泛应用．本文共分为五个部分：例说行列式在中学数学中的应用，线性方程组在中学数学中的应用，二次型理论在中学数学中的应用，矩阵与变换引入中学数学的意义及应用，用向量法解决初等几何问题．本文主要是从上述几个方面分析了线性代数在中学数学中的若干应用以及有关例题的讲解过程．【关键词】行列式；齐次线性方程组;二次型; 矩阵;向量Discussion on Application of Higher Algebra in middle schoolZHU wei-da 2011031532 Advisor:LU ming-xianPure and Applied Mathematics College of Mathematics and Computer Science【Abstract】:Linear algebra is a branch of mathematics. It is a mathematical foundation co urse。

In recent years, some content of higher mathematics are begun to learn by middle school st udents. And Linear algebra has also wide application in elementary mathematics。

This paper is d ivided into five parts. In these parts， we will give a lot of examples to show some applications of determinant， Linear equations, quadratic theory， matrix and transform, vector in elementary m athematics。

数学专业毕业论文选题一、计算机1.数据库图书查询管理设计2.最优轧板成品率的VFP6编程3.基于VFP6的通讯录设计4.基于Mathematicn的课件设计5.用Mathematica帮助理解中数问题6.基于VFP6的成绩统计7.实用的网上共享数据库录入程序8.通用答卷统计系统的总体设计方案9.通用答卷统计系统的录入编程10.通4用答卷统计系统的统计编程11.通用答卷统计系统的报表设计12.通用答卷统计系统的帮助系统设计二、常微分方程1.一阶常微分方程的奇解的求法(或判定)1.微分方程中的补助函数3.关于奇解的运用4.曲线的包络与微分方程的奇解5.用微分方程定义初等函数6.常微分方程唯一性定理及其应用7.求一阶显微分方程积分因子的方法8.二阶线性微分方程另几种可积类型9.满足某些条件黎卡提方程的解法10.一阶常微分方程方向场与积分曲线11.变换法在求解常微分方程中用应用12.通解中任意常数C的确定及意义13.三阶常系数线笥齐次方程的求解14.三维线性系统15.二阶常系数线性非齐次方程新解法探讨16.非线性方程的特殊解法17.可积组合法与低阶方程(方程组)三、数学分析1.多元函数连续、偏导数存在及可微之间的关系2.费尔马最后定理初探3.求极值的若干方法4.关于极值与最大值问题5.求函数极值应注意的几个问题6.n元一次不定方程整数解的矩阵解法7.导数的运用8.泰勒公式的几种证明法及其应用9.利用一元函数微分性质证明超越不等式10.利用柯西——施瓦兹不等式求极值11.函数列的各种收敛性及其相互关系12.复合函数的连续性初探13.关于集合的映射、等价关系与分类14.谈某些递推数列通项公式的求法15.用特征方程求线性分式递推数列的通项16．谈用生成函数法求递归序列通项17.高级等差数列18.组合恒等式证明的几种方法19.斯特林数列的通项公式20.一个递归数列的极限21.关于隶属函数的一些思考22.多元复合函数微分之难点及其注意的问题23.由数列递推公式求通项的若干方法24.定积分在物理学中的应用25.一个极限不等式的证明有及其应用26.可展曲面的几何特征27.再谈微分中值公式的应用28.求极限的若干方法点滴29.试用达布和理论探讨函数可积与连续的关系30.不定积分中的辅助积分法点滴四、复变函数1.谈残数的求法2.利用复数模的性质证解某些问题3.利用复函数理论解决中学复数中的有关问题3.谈复数理论在中学教学中的运用4.5.谈解析函数五、实变函数1.可测函数的等价定义2.康托分集的几个性质3.可测函数的收敛性4.用聚点原理推证其它实数基本定理5.可测函数的性质及其结构6.6.凸函数性质点滴7.凸(凹)函数在证明不等式中的应用8.谈反函数的可测性9.Lebesgue积分与黎曼广义积分关系点滴10.试用Lebesgue积分理论叙达黎曼积分的条件11.再谈CANTOR集六、高等几何1.二阶曲线渐近线的几种求法2.笛沙格定理在初等数学中的运用3.巴斯加定理在初等数学中的运用4.布里安香定理在初等数学中的运用5.二次曲线的几何求法6.二维射影对应的几何定义、性质定义、代数定义的等价性7.用巴斯加定理证明锡瓦一美耐劳斯定理8.仿射变换初等几何中的运用9.配极理论在初等几何中的运用10.二次曲线的主轴、点、淮线的几种求法11.关于巴斯加线和布利安香点的作图12.巳斯加和布利安香定理的代数证明及其应用13.关于作第四调和点的问题14.锡瓦一美耐劳斯定理的代数证明及应用15.关于一维几何形式的对合作图及应用七、概率论1.态分布浅谈3.用概率思想计算定视分的近似值3.欧拉函数的概率思想证明4.利用概率思想证明定积分中值定理5.关于均匀分布的几个问题6件概率的几种类型解题浅析7．概率思想证明恒等式8.古典概率计算中的模球模型9.独立性问题浅谈八、近世代数①集合及其子集的概念在不等式中的作用②论高阶等差数列②谈近世代数中与素数有关的重点结论④商集、商群与商环⑤关于有限映射的若干计算方法⑥关于环(Z2×2,+,、)⑦关于环(ZP2×2,+,、)(这里Zp是模p的剩余环,p为素数)⑧关于环(Z23×3,+,、)⑨关于环(zPQ2×2,+,、)(这里p、q是两个素数)⑩关于环(Znxn, +、)九、高等代数1.关于循环矩阵2.行列式的若干应用3.行列式的解法技巧4.欧氏空间与柯两不等式5.《高等代数》在中学数学中的指导作用6.关于多项式的整除问题7.虚根成对定理的又一证法及其应用8.范德蒙行列式的若干应用9.几阶行列式的一个等价定义10.反循环矩阵及其性质11.矩阵相似及其应用12.矩阵的迹及其应用13.关于整数环上的矩阵14.关于对称矩阵的若干问题15.关于反对称短阵的性质16.关于n阶矩阵的次对有线的若干问题17.关于线性映射的若干问题18.线性空间与整数环上的矩阵十、教学法1.关于学生能力与评价量化的探索2.浅谈类比在教学中的若干应用3.浅谈选择题的解法4.谈谈中学数学课自学能力的培养5.怎样培养学生列方程解题的能力6.谈通过平面几何教学提高学生思维能力7.谈数列教学与培养学生能力的体会8.创造思维能力的培养与数学教学9.数学教学中的心理障碍及其克服10.关于启发式教学11.浅谈判断题的解法12.对中学数学教学中非智力因素的认识13.数学教学中创新能力培养的探讨14.计算机辅助数学教学初探15.在数学课堂教学中运用情感教育16.在数学教学中恰当进行数学实验17.数学语言、思维及其教学18.在平面几何教学中渗透为类比、猜想、归纳推理的思想方法19.试论数学学习中的迁移20.数学例题教学应遵循的原则十一、初等数学1.数学证题中的等价变换与充要条件2.关于充要条件的理解和运用3.参数方程的运用4.极坐标方程的运用5.怎样证明条件恒等式6.不等式证明方法7.极值与不等式8.证明不等式的一种重要方法9.谈中学二次函数解析式的求法10.二元二次方程组的解11.谈数列求和的若干12.谈立体几何问题转化为平面几何问题的方法13.求异面直线距离的若干方法14.利用对称性求平面几何中的极值15.浅谈平面几何证明中的辅助线16.浅谈对称性在中学数学解题中的运用17.浅谈韦达定理的运用18.论分式方程的增根19.数列通项公式的几种推导方法20.函数的周期及其应用21.数学归纳法的解题技巧22.等价关系的几种判定方法23.数学归纳法及其推广和变形24.浅谈用几何方法证明不等式25.浅谈初等数学中的不等式与极值26.几个不等式的推广27.函数的概念及发展28.组合恒等式的初等证明法29.谈用生成函数计算组合与排列30.试论一次函数的应用。

浅谈高等数学在初等数学中的应用初等数学是学习高等数学基础，高等数学是初等数学的继续和提高，它不但解释了许多初等数学未能说清楚的问题，并使许多初等数学束手无策的问题，至此迎刃而解了。

本文从三个方面探讨高等数学在初等数学中的作用。

高等数学是在初等数学的基础上发展起来的，与初等数学有着紧密的联系。

站在高等数学的角度来看中学数学的某些问题又会更深刻、更全面。

运用高等数学的知识可以解决一些用初等方法难以解决的初等数学问题，以便使学生了解到高等数学对于初等数学的指导作用。

标签：初等数学;高等数学;联系;应用数学是一门科学性、概括性、逻辑性很强的学科。

它源自于古希腊，是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念。

透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。

数学的基本要素是：逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。

问题的提出许多学生经常提出这样的问题：我们为什么要学这么多高等数学？这些问题长期以来困扰着我们。

本文通过讨论初等与高等数学的联系，使他们真正觉得高等数学对初等数学教学有向导性意义，帮助他们用高等数学知识去分析和理解初等数学教材，从而站得更高，对中学数学的来龙去脉看得更清楚。

一、初等数学初等数学时期从公元前五世纪到公元十七世纪，延续了两千多年、由于高等数学的建立而结束。

这个时期最明显的结果就是系统地创立了初等数学，也就是现在中小学课程中的算术、初等代数、初等几何（平面几何和立体几何）和平面三角等内容。

二、高等数学内容包括函数与极限、一元函数微积分、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分、级数、常微分方程等。

其中极限论是基础：微分、积分是是核心，是从连续的侧面揭示和研究函数变化的规律性，微分是从微观上揭示函数的局部性质，积分是从宏观上揭示函数的整体性质：级数理论是研究解析函数的主要手段：解析几何为微积分的研究提供了解析工具，為揭示函数的性质提供了直观模型：微分方程又从方程的角度把函数、微分、积分犹记得联系起来，揭示了它们之间内在的依赖转化关系。

高等数学与初等数学的联系及一些应用摘要：众所周知，初等数学是高等数学的基础，高等数学是初等数学的延伸和发展。

由于现阶段数学数字化时代的发展，中学教师要是掌握一定的高等数学的知识与方法，并在教学中与初等数学的知识有机结合起来，那么将能提高学生的思维，开阔学生的思路，培养学生的数学修养并提高其解决问题的能力。

因而，本文着重把高等数学与初等数学联系起来，通过几个例子来阐述高等数学在初等数学中的一些重要的应用。

关键词：高等数学；初等数学；应用1.引言数学是一门概括性、逻辑性很强的学科，将它从自然科学中分离出来而成为一门独立的学科与自然科学、社会科学并驾齐驱，在修完高等数学课程之后才能体会到这个主张是非常科学的。

因此有人把它叫做思维的体操，也有人把它称作其他自然科学必备的基础工具。

这些都是基于这种认识和理解，是有一定的道理的。

中小学的数学，即使是高中数学的教学，它所要承担的教学任务和培养的目标只能是学会基本的运算和简单的推理，由于学生的接受能力有限，更深一层次的研究只能在大学进行。

只有通过大学高等数学各门必修课程和选修课程的学习和理解，才能深切感受到数学这门充满生机、古老的学科的庞大的体系和深邃的理论，才能认识到数学区别于其他学科的三种特性：抽象性、严谨性和高度的概括性。

2.国内外研究现状大学课程学习的思维单向性很强。

大学的学习给学生的感觉是用中学知识去学习大学课程中的内容，学生几乎感觉不到能用大学知识解决中学数学中的问题或对解中学数学问题有什么帮助。

“用”的观念淡薄了，“学”的热情自然而然的就少了。

抓住高等数学与初等数学之间的联系，加强高等数学对初等数学的指导作用及高等数学在初等数学中的一些应用是本课题研究的重点和关键问题。

中学数学教材中的教学难点经常让新教师费劲口舌，但学生仍然晕头转向，不知其意。

比如极限定义、集合和函数等。

一位新数学教师在解释从非空数集A到数集B的映射是函数时常常讲不清楚函数的值域到底是不是B。

浅谈高等数学在中学数学中的应用摘要本文探讨了初等数学和高等数学在知识体系上的差别以及应用上的联系，同时也探讨了他们地位上的差别和各自的重要性。

通过讨论可以得知，高等数学在很大程度上是初等数学的扩展。

本文第三部分重点介绍了微积分，不等式，行列式，以及高等几何等在初等数学中的应用，探讨了应用高等数学的思想方法解决初等数学的有关问题。

另外还探讨了高等数学在高考试题上体现的情况和如何解决相应的问题。

关键词高等数学中学数学微积分行列式AbstractThis study of elementary mathematics and higher mathematics in knowledge on the difference between system and application links, also discussed their differences on the status and importance of each. Through discussion can see that higher mathematics is to a large extent is an extension of elementary mathematics. This article focuses on the second part of calculus, inequality, determinants, as well as the application of higher geometry in elementary mathematics, explored the application of higher mathematics thought method to solve problems of elementary mathematics. Discussion also reflected on the college entrance examination in higher mathematics and how to solve the problemKey words advanced mathematics Mathematics calculus目录摘要 (I)Abstract (II)第一章前言 (1)1.1 研究背景 (1)1.2 课题研究意义 (1)1.3 文献综述 (2)1.4 研究方法 (2)1.5 创新之处 (2)第二章高等数学与初等数学的地位与联系 (3)2.1 初等数学与高等数学的定位 (3)2.2 高等数学与中学数学的联系 (4)2.2.1 中学数学与大学数学的统一性 (4)2.2.2 中学数学与大学数学的连贯性 (4)2.3 高等数学对初等数学的拓展 (5)2.3.1 代数方面 (5)2.3.2 几何方面 (6)第三章高等数学在初等数学中的应用 (8)3.1 高等代数在中学数学中的应用 (8)3.2.1 行列式的应用 (8)3.2.2 柯西—施瓦兹不等式应用 (9)3.2 微积分方法在中学数学的应用 (9)3.2.1 微积分方法在求函数的极值、最值中的应用 (10)3.2.2 用微积分知识直接用来处理初等数学的问题而达到简便的目的 (10)3.2.3 积分在空间立体体积与表面积中的应用 (12)3.2.4 积分在求曲线弧长中的应用 (14)3.3 高等几何在初等几何的应用 (14)3.3.1 仿射变换的应用 (14)3.3.2 射影几何观点在初等几何中的应用 (15)3.3.2.1 仿射变换的应用 (15)3.3.2.2 笛沙格定理的应用 (16)3.3.2.3 点列中四点的交比 (17)3.3.2.4 线束中四条直线的交比的应用 (18)第四章高考试题中的微积分在解题中的应用 (20)4.1 拉格朗日中值定理 (20)4.2 有关级数的应用 (23)总结 (26)参考文献............................................................ 错误!未定义书签。

高等代数在中学解题中的应用数学与计算机科学学院数学与应用数学专业 101301028 陈盛指导教师黄坤阳讲师【摘要】高等代数作为初等数学与高等数学的纽带，可见高等数学与中学数学有着密切的联系。

将高等代数与中学数学解题联系在一起有着其必然的意义。

本文阐明高等代数在中学数学解题中的应用意义，并归纳和总结了高等代数在中学数学解题中常用的知识点，主要从行列式在中学数学解题中的应用、矩阵在中学数学解题中的应用、线性方程组在中学数学解题中的应用三个方面进行解析。

【关键词】行列式；矩阵；线性方程组Application of Higher Algebra in middle school in problem solvingScienceSchool of mathematics and Computer Sciences, mathematics and applied mathematics 101301028 Chen ShengInstructor Huang Kunyang lecturer【Abstract】: the higher algebra as the link of elementary mathematics and higher mathematics, visible and middle school mathematicsmathematics are closely linked. The higher and middle school mathematics solving algebraic problems together with its inevitablesignificance. This paper explains that the application significance of Higher Algebra in middle school mathematics, and summarizes the common higher algebra in middle school mathematicsknowledge, mainly carries on the analysis from the application,determinant in middle school mathematics matrix of three aspects of application, in middle school mathematics linear equations in middle school mathematics the.【Keywords】: determinant; matrix; linear equations引言:高等代数是高等学校的一门基础课程，它也是数学专业的一门敲门砖。

高等代数在中学数学中的一些应用高等代数是高中和大学数学教材中的一个重要部分，尤其是研究高等教育的学生，更应该了解高等代数的基础理论和一些常用的计算方法。

近年来，随着中学数学教育的不断更新，高等代数在中学数学中的应用越来越广泛，它已经成为中学数学教学的重要内容。

首先，高等代数在中学数学中的应用非常重要。

高等代数的主要课程内容包括多项式的计算、方程的求解以及曲线的研究。

由于这些课程内容都是有关数学的基础知识，所以学习者需要努力学习，并以正确的态度面对它们，以便更好地发挥其作用。

其次，高等代数在中学数学中的应用也包括抽象代数。

抽象代数是一门计算数学的分支，它涉及数论、群论、环论以及各种其他理论，对中学学生来说，学习这门课程可以让他们了解数学的抽象性，并开拓他们的思维方式。

此外，高等代数的一些基本概念也被应用到中学数学中。

首先是函数的概念，函数是一种关系，它可以把一个变量的取值和另一个变量的取值结合起来，它可以用来描述实际应用中遇到的一些数学模型，有助于学生更好地理解数学中的问题及其复杂性。

其次是极限概念，极限是指一个变量接近某个值时，该变量值的变化率趋近于零。

它可以帮助学生研究函数的行为趋势，因此可以研究函数的有效取值范围，从而推理出函数的解析解。

最后，高等代数在中学数学中的应用还包括高等数学的研究方法。

高等数学的研究方法包括专业的统计分析技术、立体几何的研究和多元函数分析等，可以帮助学生更好地理解和解决实际问题。

同时，这些研究方法也可以把学生带到数学的前沿，让他们接触最新的数学理论和发展动态，这对促进学生数学思维能力的发展也是非常重要的。

综上所述，高等代数在中学数学教学中有着广泛而重要的应用，它可以不仅帮助学生更好地理解基础知识，还可以更深入地研究函数、极限和高等数学的研究方法，从而更好的运用数学概念，推动中学数学教学的发展。