黑龙江省双鸭山一中2014-2015学年高二上学期期中数学理试题

高二 数学（理科）（时间：120分钟 总分：150分 Ⅰ卷交答题卡，Ⅱ卷交答题纸） 第Ⅰ卷（12题：共60分）一、选择题（包括12小题，每小题5分，共60分）1、某地区高中分三类，A 类学校共有学生4000人，B 类学校共有学生2000人，C 类学校共有学生3000人，现欲抽样分析某次考试的情况，若抽取900份试卷进行分析，则从A 类学校抽取的试卷份数应为 （ ） A 、450 B 、400 C 、300 D 、2002、先后抛掷三次一枚均匀的硬币，至少出现一次正面的概率为 （ ）3、把“二进制”数(2)1011001化为“五进制”数是 （ ）A.(5)224 B.(5)234 C.(5)324 D.(5)4234、用秦九韶方法求多项式23456()1235879653f x x x x x x x =+-++++在4x =-的值时，4v 的值为 （ ）A.57-B.220C.845-D. 3392 5、由一组样本数据11(,)x y ，22(,)x y ， ．．． ，(,)n n x y 得到回归直线方程y bx a =+，那么下面说法不正确的是 （ ） Ａ、直线y bx a =+必经过(,)x y Ｂ、直线y bx a =+至少经过11(,)x y ，22(,)x y ， ．．． ，(,)n n x y 中的一个点Ｃ、直线y bx a =+的斜率为1221ni ii nii x y nx yxnx==--∑∑Ｄ、直线y bx a =+和各点11(,)x y ，22(,)x y ， ．．． ，(,)n n x y 的偏差21[()]niii y bx a =-+∑是该坐标平面上与这些点的偏差最小的直线6、用辗转相除法求1855与1120的最大公约数是（ ） A.35 B. 45 C. 40 D. 557. 如图，给出的是计算111124620++++的值的程序框图，其中判断框内应填入的条件是 ( ) A. 20?i > B. 20?i ≤4．┆┆○┆┆┆┆○┆┆┆┆○订┆┆┆┆┆┆┆线┆┆┆┆┆┆○┆┆┆┆○┆┆┆┆○┆┆┆C. 10?i ≤D. 10?i >8. 甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩（单位：分） 统计的茎叶图如图所示，若甲乙两人的平均成绩分别 为x 甲、x 乙，则下列结论正确的是 ( )A. x <x 乙甲，乙比甲成绩稳定 B. x >x 乙甲，甲比乙成绩稳定 C. x >x 乙甲，乙比甲成绩稳定D.x <x 乙甲，甲比乙成绩稳定（第7题图）（第8题图） 9、 下边程序运行后输出的结果为（ ） A. 50 B. 5 C. 25 D. 0 10、如图大正方形的面积为13，四个全等的直角三角形 围成一个阴影小正方形，较短的直角边长为2，向大正方形内投飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率（ ）A.413B. 213C. 113D. 31311、如图是求1231000n ++++<成立的n 的最大整数值的程序框图，则○1处应该填的内容和最后输出的结果分别是（ ）甲 乙 78 9 2 62 8 7 82 1 85A. 输出n ， 44B. 输出n-1 ， 44C. 输出n-1 ， 43D. 输出n-2 ， 4412、设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是，现有直径等于 2cm 的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后 与格线没有公共点的概率A.14B. 25C. 34D. 23第Ⅱ卷（共10题：共90分）二、填空题（包括4小题，每小题5分，共20分） 13、数据1,28,,x x x 平均数为6，标准差为2，则数据12826,26,,26x x x ---的平均数为_________.14、沿田字格的路线从A 往N 走；且只能向右或向下走， 随机地选一种走法，则经过点C 的概率是_________. 15、将各面涂有颜色的正方体锯成3n 个同样大小的 小正方体，从这些小正方体中任取一个，其中至少 有一面涂色的概率是______________.16、随机地向半圆0y << （a 为正常数）内抛掷一点，点落在半圆内的任意区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与x 轴夹角小于4π的概率是____.三、解答题（包括6小题，共70分） 17、（本小题满分10分）甲盒中有红、黑、白皮笔记本各3本，乙盒中有黄、黑皮笔记本各2本，从两盒中各取一本。

黑龙江省双鸭山市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知直线l的倾斜角为135°，直线l1经过点A（3，2）和B（a，﹣1），且直线l1与直线l垂直，直线l2的方程为2x+by+1=0，且直线l2与直线l1平行，则a+b等于（）A . ﹣4B . ﹣2C . 0D . 22. （2分）下列四个命题中，真命题是（）A . 和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线B . 和两条异面直线都相交于不同点的两条直线是异面直线C . 和两条异面直线都垂直的直线是异面直线的公垂线D . 若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c是异面直线3. （2分）两圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1和(x－3)2＋(y＋6)2＝144的位置关系是（）A . 相切B . 内含C . 相交D . 相离4. （2分）(2017·吕梁模拟) E为正四面体D﹣ABC棱AD的中点，平面α过点A，且α∥平面ECB，α∩平面ABC=m，α∩平面ACD=n，则m、n所成角的余弦值为（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·房山模拟) 一个三棱锥的顶点在空间直角坐标系中的坐标O﹣xyz分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），画出该三棱锥三视图中的俯视图时，以xoy平面为投影面，得到的俯视图为（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高二上·南昌期中) 直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M，N两点，若，则k的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分）经过点M（1，1）且在两轴上截距相等的直线是（）A . x+y﹣2=0B . x﹣y=0C . x﹣1=0或y﹣1=0D . x+y﹣2=0或x﹣y=08. （2分）(2017·莱芜模拟) 已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β．其中正确命题的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 49. （2分） (2019高一下·上海月考) 若角和角的终边关于轴对称，则下列等式恒成立的是（）A .B .C .D . .10. （2分） (2016高一上·南山期末) 已知直线l1：3x+2y+1=0，l2：x﹣2y﹣5=0，设直线l1 ， l2的交点为A，则点A到直线的距离为（）A . 1B . 3C .D .11. （2分）圆关于直线对称的圆的方程是（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高二上·成都月考) 已知四面体的四个顶点都在球的球面上，若面，，且，，则球的表面积为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知直线l过点P（3，4）且与直线2x﹣y﹣5=0垂直，则直线l的方程为________．14. （1分） (2016高一上·珠海期末) 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的弧线是半径为1的四分之一个圆弧，则该几何体的表面积为________．15. （1分）若动点P在直线l1：x﹣y﹣2=0上，动点Q在直线l2：x﹣y﹣6=0上，设线段PQ的中点为M（x1 ，y1），且（x1﹣2）2+（y1+2）2≤8，则x12+y12的取值范围是________16. （1分） (2018高一上·长安期末) 已知向量满足的夹角为，则=________.三、解答题 (共6题；共75分)17. （10分）已知三角形的三个顶点A（﹣5，0），B（3，﹣3），C（0，2），（1）、求BC边上中线所在直线的方程；（2）、已知B、C到直线ax+y+1=0的距离相等，求a的值．18. （10分）(2016·花垣模拟) 已知f（x）=ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，0），（0，0），（1，2）．（1）求f（x）的解析式；（2）若数列{an}的前n项和Sn满足Sn=f（n），求{an}的通项公式．19. （15分）(2018·天津模拟) 如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB∥CD∥EF，AB⊥AD，CD＝DA＝AF＝FE＝2，AB＝4.（1）求证：DF∥平面BCE；（2）求二面角C—BF—A的正弦值；（3）线段CE上是否存在点G，使得AG⊥平面BCF？请说明理由．20. （15分） (2015高二上·朝阳期末) 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为直角梯形，AD‖BC，且，BC⊥DC，∠BAD=60°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，△PAD为等边三角形，M是棱PC上的一点，设（M与C不重合）．（1）求证：CD⊥DP；（2）若PA∥平面BME，求k的值；（3）若二面角M﹣BE﹣A的平面角为150°，求k的值．21. （15分）(2016·大连模拟) 四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2 ，SB=SC= ．（1）设平面SCD与平面SAB的交线为l，求证：l∥AB；（2）求证：SA⊥BC；（3）求直线SD与面SAB所成角的正弦值．22. （10分） (2016高二下·重庆期中) 如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．（1）证明：∠CBD=∠DBA；（2）若AD=3DC，BC= ，求⊙O的直径．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共75分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。

黑龙江省双鸭山市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·新课标Ⅲ卷文) 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1 ， A2 ，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）A .B .C .D .2. （2分）设,则“”是“”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）平面向量与的夹角为，=（2,0），||=1 则|+2|=（）A .B .C . 4D . 124. （2分） (2017高二上·南阳月考) 已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值为（）A . 2B .C .D .5. （2分） (2015高二下·赣州期中) 己知命题“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+ ≤0是假命题，则实数a的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣1）B . （﹣1，3）C . （﹣3，+∞）D . （﹣3，1）6. （2分）与椭圆共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程是（）A .B .C .D .7. （2分） (2020高三上·泸县期末) 已知平面向量、，满足，若，则向量、的夹角为（）A .B .C .D .8. （2分）(2017·大连模拟) 已知过抛物线y2=4x焦点F的直线l交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），若 =3 ，则直线l的方程为（）A . x﹣2y﹣1=0B . 2x﹣y﹣2=0C . x﹣ y﹣1=0D . x﹣y﹣ =09. （2分）已知点P是双曲线右支上一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若成立，则的值为（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高二下·成都开学考) 已知F是双曲线﹣ =1（a＞0，b＞0）的右焦点，若以点B （0，b）为圆心的圆与双曲线的一条渐近线相切于点P，且∥ ，则该双曲线的离心率为（）A . +1B .C . 2D .11. （2分）在△OAB中， =4 ， =2 ，AD，BC的交点为M，过M作动直线l分别交线段AC，BD于E，F两点，若=λ ，=μ ，（λ，μ＞0），则λ+μ的最小值为（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高二上·阜阳月考) 已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）己知命题p：“∃x0＞0，3 =2”，则￢p是________．14. （2分）(2014·北京理) 设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则C的方程为________；渐近线方程为________．15. （1分） (2015高三上·潍坊期末) 已知双曲线C1：（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则p=________．16. （1分） (2016高二上·长春期中) 已知| |=3 ，| |=4， = + ， = +λ ，＜，＞=135°，若⊥ ，则λ=________三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2016高一下·成都期中) 已知 =（cosα，sinα）， =（cosβ，sinβ），其中0＜α＜β＜π．（1）求证：与互相垂直；（2）若k 与﹣k 的长度相等，求β﹣α的值（k为非零的常数）．18. （10分）(2017·河南模拟) 设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3．（1）求抛物线的标准方程；（2）设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点，连结QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR 恰与抛物线相切时，求直线m的方程．19. （10分） (2018高一下·山西期中) 已知 .（1）若，且，求角的值；（2）若，求的值．20. （5分） (2017高二上·大连期末) 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．21. （5分） (2017高三上·荆州期末) 已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线E交于A，B两点，E的准线与x轴交于点C，△CAB的面积为4，以点D（3，0）为圆心的圆D过点A，B．（Ⅰ）求抛物线E和圆D的方程；（Ⅱ）若斜率为k（|k|≥1）的直线m与圆D相切，且与抛物线E交于M，N两点，求的取值范围．22. （10分）已知抛物线C顶点在坐标原点，准线垂直于x轴，且过点M（2，2），A，B是抛物线C上两点，满足MA⊥MB，（1）求抛物线C方程；（2）证明直线AB过定点．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1、答案：略2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10、答案：略11-1、12、答案：略二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19、答案：略20-1、21-1、22-1、22-2、。

黑龙江省双鸭山市数学高二上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分）①若p∧q为假命题，则p，q均为假命题，②x，y∈R，“若xy=0，则x2+y2=0的否命题是真命题”；③直线和抛物线只有一个公共点是直线和抛物线相切的充要条件；则其中正确的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 32. （1分）“”是“”的（）A . 必要不充分条件B . 充分不必要条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件3. （1分） (2019高二上·余姚期中) 已知椭圆的一点到椭圆的一个焦点的距离等于6，那么点到椭圆的另一个焦点的距离等于（）A . 2B . 4C . 6D . 84. （1分） (2016高一下·衡阳期中) 在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin2θ﹣cos2θ的值等于（）A . 1B . ﹣C .D . ﹣5. （1分）已知平面内两定点A（﹣5，0），B（5，0），动点M满足|MA|﹣|MB|=10，则点M的轨迹是（）A . 两条射线B . 双曲线C . 一条射线D . 双曲线的一支6. （1分） (2018高二上·抚顺期末) 已知双曲线的左右焦点分别为，点是双曲线上的一点，且，则等于（）A .B .C .7. （1分） (2015高二上·黄石期末) 设a，b是关于t的方程t2cosθ+tsinθ=0的两个不等实根，则过A （a，a2），B（b，b2）两点的直线与双曲线 1的公共点的个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 38. （1分） (2016高二下·卢龙期末) 已知双曲线的左支上一点M到右焦点F2的距离为18，N 是线段MF2的中点，O是坐标原点，则|ON|等于（）A . 4B . 2C . 1D .9. （1分） (2017高二上·牡丹江月考) 设直线与抛物线相交于、两点，抛物线的焦点为，若，则的值为（）A .B .C .D .10. （1分）已知抛物线的准线与双曲线交于，两点，点为抛物线的焦点，若为直角三角形，则的值为（）B .C .D .11. （1分）函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A .B .C .D .12. （1分） (2019高二下·成都月考) 已知，则等于（）A . -2B . 0C . 2D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·浦城期中) 已知a、b是两个命题，如果a是b的充分条件，那么¬a是¬b的________条件．（填“充分条件”、或“必要条件”、或“充要条件”）14. （1分）从双曲线x2﹣y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N，则线段QN的中点P的轨迹方程为________15. （1分） (2016高二上·昌吉期中) 椭圆mx2+y2=1（m＞1）的短轴长为 m，则m=________．16. （1分）(2017·成都模拟) 已知函数f（x）=xsinx，则f（x）在x= 处的导数为________．三、解答题 (共6题；共11分)17. （1分） (2016高一下·揭阳期中) f（x）=（ax2+x﹣1）ex（1）当a＜0时，求f（x）的单调区间；（2）若a=﹣1，f（x）的图象与g（x）= x3+ x2+m的图象有3个不同的交点，求实数m的范围．18. （1分） (2017高二下·深圳月考) 已知函数，其中．（Ⅰ）求函数的零点；（Ⅱ）讨论在区间上的单调性；（Ⅲ）在区间上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．19. （3分）点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：y2=4x的焦点F．（Ⅰ）若点O到直线l的距离为，求直线l的方程；（Ⅱ）设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点．点B是以点F为圆心，|FA|为半径的圆与x轴负半轴的交点．试判断直线AB与抛物线C的位置关系，并给出证明．20. （2分）给定双曲线，过A（1，1）能否作直线m，使m与所给双曲线交于B、C两点，且A为线段BC中点？这样的直线若存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．21. （2分）判断“函数有三个零点”是否为命题.若是命题，是真命题还是假命题?说明理由.22. （2分） (2018高二下·衡阳期末) 椭圆（）的离心率是，点在短轴上，且。

高二上学期数学期中试题（120分钟 150分）第Ⅰ卷（选择题：共60分）一、选择题1．与向量m ＝(0,2，－4)共线的向量是( )A ．(2,0，－4)B ．(3,6，－12)C ．(1,1，－2) 2.方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ）.A. B. C. D.3. 已知直线的倾斜角为，且，则直线的斜率的取值范围是( )4.如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） （A ）（B ）（C ）（D ）5．圆221:26260C x y x y ++--=与圆222:4240C x y x y +-++=的位置关系是（）A 、内切B 、外切C 、相交D 、相离6.设P 为双曲线x 24－y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是( )A ．x 2－4y 2＝1 B ．4y 2－x 2＝1 C ．x 2－y 24＝1 D.x 22－y 2＝17．若直线被圆所截得的弦长为,则实数的值为( )A.-1或B.1或3C.-2或6D.0或4 8．正方体-中，与平面所成角的余弦值为( ) A ． B ． C ． D ．9.设21,F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点,为直线上一点,是底角为的等腰三角形,则的离心率为 （ ） A ． B ．C ．D ．10.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点.若=a =b ， =c ，则下列向量中与相等的向量是 ( )A .－a +b +cB . a +b +cC . a －b +cD .－a －b +c11．方程4－x 2＝k (x －2)＋3有两个不等实根，则k 的取值范围为( )12.如图所示，圆与轴的两个交点分别为A ，B ，以A ，B 为焦点，坐标轴为对称轴的双曲线与圆在轴上方的交点分别为C ，D ，当梯形ABCD 周长最大时，双曲线的方程为 （ ） A. B. C. D.第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题13.点关于直线的对称点的坐标为14． 已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为椭圆C 上一点，且1⊥2.若△PF 1F 2的面积为16，则b ＝________15. 直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则m 的取值范围是________．16．P 为双曲线右支上一点，M, N 分别是圆和圆上的动点，则的最大值为_______.三、解答题17．已知直线l 经过点P (－2,5)且斜率为－34，(1)求直线l 的方程；(2)若直线m 平行于直线l ，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程．18．（1）已知椭圆的焦距是8，离心率等于0.8 ，求该椭圆的标准方程； （2）求与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的方程.19．已知圆C 的圆心在直线y=x+1上，半径为，且圆C 经过点P （5，4） （1）求圆C 的标准方程；（2）求过点A （1，0）且与圆C 相切的切线方程．20.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD=60°，Q 为AD 的中点． （1）若PA=PD ，求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA=PD=AD=2，点M 在线段PC 上，且PM=3MC ， 求三棱锥P ﹣QBM 的体积．21.（本小题12分）如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ， DE ＝3AF ，BE 与平面ABCD 所成角为60°. (1)求证：AC ⊥平面BDE ； (2)求二面角F -BE -D 的余弦值．22. 已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，且过点（，）． （1）求椭圆方程；（2）设不过原点O 的直线l ：y=kx+m （k ≠0），与该椭圆交于P 、Q 两点，直线OP 、OQ 的斜率依次为k 1、k 2，满足4k=k 1+k 2，试问：当k 变化时，m 2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．参考答案一．选择题 (本大题共10小题, 每小题4分, 共40分）二．填空题（本大题有4小题, 每小题5分, 共20分） 13．（-5，-2） 14. 4 15. 16. 5 三、解答题（本大题共4题，共44分）17．[解析] (1)直线l 的方程为：y －5＝－34(x ＋2)整理得3x ＋4y －14＝0.---------------------------------4 (2)设直线m 的方程为3x ＋4y ＋n ＝0， d ＝|3×(－2)＋4×5＋n |32＋42＝3， 解得n ＝1或－29.∴直线m 的方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0.-----------------------------10 18.(1) 或 ------6分 (2) ----6分19．解：（1）设圆：()()222x a y b -+-=，点在直线上，则有圆经过点即：()()22542a b -+-=，解得：，圆：()()22452x y -+-=．---------------------6 （2）设直线斜率为，则直线方程为，即． 由题意知，圆心到已知直线的距离等于半径， 即： ，解得或．所求切线方程是，或．------------------------1220、解答：解：（1）∵PA=PD ， ∴PQ ⊥AD ，又∵底面ABCD 为菱形，∠BAD=60°，∴BQ ⊥AD ，PQ ∩BQ=Q ， ∴AD ⊥平面PQB 又AD 平面PAD ，∴平面PQB ⊥平面PAD ；————————————————— 4分 （2）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，PQ ⊥AD ， ∴PQ ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PQ ⊥BC ， 又BC ⊥BQ ，QB ∩QP=Q ，∴BC ⊥平面PQB ， 又PM=3MC ， ∴V P ﹣QBM =V M ﹣PQB =——————————12分21．解：(1)证明：因为DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥AC . 因为ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD .又BD ，DE 相交且都在平面BDE 内，从而AC ⊥平面BDE . ----------4(2)因为DA ，DC ，DE 两两垂直，所以建立空间直角坐标系Dxyz ，如图所示．因为DE ⊥平面ABCD ，所以BE 与平面ABCD 所成角就是∠DBE .已知BE 与平面ABCD 所成角为60°，所以∠DBE ＝60°，所以DEDB＝ 3. -------------------6 由AD ＝3可知DE ＝36，AF ＝ 6.由A (3，0，0)，F (3，0，6)，E (0，0，36)，B (3，3，0)，C (0，3，0)， 得＝(0，－3，6)，＝(3，0，－26)．设平面BEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则即⎩⎪⎨⎪⎧－3y ＋6z ＝0，3x －26z ＝0，令z ＝6，则n ＝ (4，2，6)．因为AC ⊥平面BDE ，所以为平面BDE 的法向量，＝(3，－3，0)，----------10 所以cos 〈n ，〉＝＝632×26＝1313.因为二面角为锐角，所以二面角FBED的余弦值为1313.------------------12 22答：解：（1）依题意可得，解得a=2，b=1所以椭圆C的方程是…（4分）（2）当k变化时，m2为定值，证明如下：由得，（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．…（6分）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．则x1+x2=，x1x2=…（•）…（7分）∵直线OP、OQ的斜率依次为k1，k2，且4k=k1+k2，∴4k==，得2kx1x2=m（x1+x2），…（9分）将（•）代入得：m2=，…（11分）经检验满足△＞0．…（12分）。

2014-2015学年黑龙江省齐齐哈尔中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“存在实数x，使x＞1”的否定是（）A．对任意实数x，都有x＞1 B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤12．（5分）已知条件p：log2x＜0，条件，则p是q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，2≤0 B．∀x∈R，2x＞x2C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞2，b＞2是ab＞4的充分条件4．（5分）方程x2+y2+4mx﹣2y+5m=0表示圆的充要条件是（）A．＜m＜1 B．m＜或m＞1 C．m＜D．m＞15．（5分）若θ为三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，则曲线x2sinθ+y2cosθ=1是（）A．焦点在x轴上的双曲线B．焦点在y轴上的双曲线C．焦点在x轴上的椭圆D．焦点在y轴上的椭圆6．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α7．（5分）已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（）A．B．C．D．8．（5分）如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2+（y+2）2=1上，那么|PQ|的最小值为（）A．﹣1 B．﹣1 C．2﹣1 D．﹣19．（5分）已知直二面角α﹣PQ﹣β，A∈PQ，B∈α，C∈β，CA=CB，∠BAP=45°，直线CA和平面α所成角为30°，那么二面角B﹣AC﹣P的正切值为（）A．2 B．3 C．D．10．（5分）已知点A（﹣4，0）和B（2，2）M是椭圆+=1上一动点，则|MA|+|MB|的最大值（）A．10+2B．+5 C．9+D．9+211．（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q 两点间的最大距离是（）A．5 B．+ C．7+D．612．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与C相交与A，B两点，若=2，则k=（）A．2 B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的横线上13．（5分）已知圆和圆，动圆M同时与圆C1及圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为．14．（5分）已知点P是双曲线双曲线﹣=1，（a＞0，b＞0）右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点．I为△PF1F2内心，若S=S+S，则双曲线的离心率为．15．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为．16．（5分）圆x2+y2=2按向量=（2，1）平移后与直线x+y+m=0相切，则m=．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知p：|1﹣|≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．18．（12分）如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．19．（12分）已知圆x2+y2﹣4x+2y﹣3=0和圆外一点M（4，﹣8）．（1）过M作圆的割线交圆于A、B两点，若|AB|=4，求直线AB的方程；（2）过M作圆的切线，切点为C、D，求切线长及CD所在直线的方程．20．（12分）设F1、F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点，P是该椭圆上的一个动点，O为坐标原点．（1）求的取值范围；（2）设过定点Q（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且∠MON为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：AB⊥PD；（2）若∠BPC=90°，PB=，PC=2，问AB为何值时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．22．（12分）已知双曲线x2﹣y2=2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A，B两点．（Ⅰ）若动点M满足（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在定点C，使•为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．2014-2015学年黑龙江省齐齐哈尔中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“存在实数x，使x＞1”的否定是（）A．对任意实数x，都有x＞1 B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤1【解答】解：∵命题“存在实数x，使x＞1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”故选：C．2．（5分）已知条件p：log2x＜0，条件，则p是q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵条件p：log2x＜0，∴0＜x＜1，∵条件，∴x﹣1＜0，∴x＜1，∴p⇒q，反之则不能，∴p是q的充分不必要条件，故选：A．3．（5分）下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，2≤0 B．∀x∈R，2x＞x2C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞2，b＞2是ab＞4的充分条件【解答】解：对于A，∀x0∈R，2＞0，故A错误；对于B，由于24=42=16，故∀x∈R，2x＞x2错，即B错误；对于C，当b≠0时，a+b=0的充要条件是=﹣1，故C错误；对于D，a＞2，b＞2⇒ab＞4，充分性成立，反之，若ab＞4，如（﹣2）（﹣3）=6＞4，但不满足a＞2，b＞2，即必要性不成立，故a＞2，b＞2是ab＞4的充分条件，故D正确．故选：D．4．（5分）方程x2+y2+4mx﹣2y+5m=0表示圆的充要条件是（）A．＜m＜1 B．m＜或m＞1 C．m＜D．m＞1【解答】解：由（4m）2+4﹣4×5m＞0知m＜或m＞1．故选：B．5．（5分）若θ为三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，则曲线x2sinθ+y2cosθ=1是（）A．焦点在x轴上的双曲线B．焦点在y轴上的双曲线C．焦点在x轴上的椭圆D．焦点在y轴上的椭圆【解答】解：因为θ∈（0，π），且s inθ+cosθ=，所以θ∈（，π），且|sinθ|＞|cosθ|，从而sinθ＞0，cosθ＜0，从而x2sinθ+y2cosθ=1表示焦点在x轴上的双曲线．故选：A．6．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选：B．7．（5分）已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴a2+b2=25，=1，∴b=，a=2∴双曲线的方程为．故选：A．8．（5分）如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2+（y+2）2=1上，那么|PQ|的最小值为（）A．﹣1 B．﹣1 C．2﹣1 D．﹣1【解答】解：由题可知不等式组确定的区域为阴影部分包括边界，点P到Q的距离最小为到（0，﹣2）的最小值减去圆的半径1，点（0，﹣2）到直线x﹣2y+1=0的距离为=；由图可知：|PQ|min=﹣1，故选：A．9．（5分）已知直二面角α﹣PQ﹣β，A∈PQ，B∈α，C∈β，CA=CB，∠BAP=45°，直线CA和平面α所成角为30°，那么二面角B﹣AC﹣P的正切值为（）A．2 B．3 C．D．【解答】解：在平面β内过点C作CO⊥PQ于点O，连接OB．因为α⊥β，α∩β=PQ，所以CO⊥α，又因为CA=CB，所以OA=OB．而∠BAO=45°，所以∠ABO=45°，∠AOB=90°．从而BO⊥PQ．又α⊥β，α∩β=PQ，BO⊂α，所以BO⊥β．过点O作OH⊥AC于点H，连接BH，由三垂线定理知，BH⊥AC．故∠BHO是二面角B﹣AC﹣P的平面角．因为CO⊥α，所以∠CAO是CA和平面α所成的角，则∠CAO=30°，不妨设AC=2，则AO=，OH=AOsin30°=．在Rt△OAB中，∠ABO=∠BAO=45°，所以BO=AO=，于是在Rt△BOH中，tan∠BHO=2．故选：A．10．（5分）已知点A（﹣4，0）和B（2，2）M是椭圆+=1上一动点，则|MA|+|MB|的最大值（）A．10+2B．+5 C．9+D．9+2【解答】解：A为椭圆左焦点，设右焦点为F（4，0），则由椭圆定义|MA|+|MF|=2a=10，于是MA+MB=10+|MB|﹣|MF|．当M不在直线BF与椭圆交点上时，M、F、B三点构成三角形，于是|MB|﹣|MF|＜|BF|，而当M在直线BF与椭圆交点上时，在第三象限交点时有|MB|﹣|MF|=﹣|BF|，在第一象限交点时有|MB|﹣|MF|=|BF|．显然当M在直线BF与椭圆第一象限交点时|MA|+|MB|有最大值，其最大值为|MA|+|MB|=10+|MB|﹣|MF|=10+|BF|=10+2．故选：A．11．（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q 两点间的最大距离是（）A．5 B．+ C．7+D．6【解答】解：设椭圆上的点为（x，y），则∵圆x2+（y﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为，∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为==≤5，∴P，Q两点间的最大距离是5+=6．故选：D．12．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与C相交与A，B两点，若=2，则k=（）A．2 B．C．D．【解答】解：设l为椭圆的右准线，过A、B作AA1，BB1垂直于l，A1，B1为垂足，过B作BE⊥AA1于E，根据椭圆的第二定义，得|AA1|=，|BB1|=，∵=2，∴cos∠BAE====，∴tan∠BAE=．∴k=．故选：B．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的横线上13．（5分）已知圆和圆，动圆M同时与圆C1及圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为．【解答】解：动圆C1的圆心为C1（﹣3，0），动圆C2的圆心为C2（3，0）∵动圆M同时与圆C1及圆C2外切，∴动圆M的半径=|MC1|﹣1=|MC2|﹣3，即|MC2|﹣|MC1|=2∴M的轨迹为到定点C1，C2距离差为常数2的点的集合，即双曲线的左支∴M的轨迹方程为故答案为：14．（5分）已知点P是双曲线双曲线﹣=1，（a＞0，b＞0）右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点．I为△PF1F2内心，若S=S+S，则双曲线的离心率为2．【解答】解：如图，设圆I与△PF1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，则IE⊥F1F2，IF⊥PF1，IG⊥PF2，它们分别是△IF1F2，△IPF1，△IPF2的高，∴=×|PF 1|×|IF|=|PF1|，|×|IG|=|PF2|=×|PF=×|F 1F2|×|IE|=|F1F2|，其中r是△PF1F2的内切圆的半径．∵∴|PF1|=|PF2|+|F1F2|两边约去得：|PF1|=|PF2|+|F1F2|∴|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|根据双曲线定义，得|PF1|﹣|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=c⇒离心率为e==2故答案为：2．15．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为．【解答】解：如图，过A点做AE⊥l，使BE⊥β，垂足为E，过点A作AF∥CD，过点E做EF⊥AE，连接BF，∵AE⊥l∴∠EAC=90°∵CD∥AF又∠ACD=135°∴∠FAC=45°∴∠EAF=45°在Rt△BEA中，设AE=a，则AB=2a，BE=a，在Rt△AEF中，则EF=a，AF=a，在Rt△BEF中，则BF=2a，∴异面直线AB与CD所成的角即是∠BAF，∴cos∠BAF===．故答案为：．16．（5分）圆x2+y2=2按向量=（2，1）平移后与直线x+y+m=0相切，则m=﹣1或﹣5．【解答】解：圆x2+y2=2按向量=（2，1）平移后变为（x﹣2）2+（y﹣1）2=2，即表示以C（2，1）为圆心、半径等于的圆．再根据直线和圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径，即=，解得m=﹣1或m=﹣5，故答案为：﹣1或﹣5．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知p：|1﹣|≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．【解答】解：由x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）得1﹣m≤x≤1+m故￢q：A={x|x＜1﹣m或x＞1+m，m＞0}由，得﹣2≤x≤10故￢p：B={x|x＜﹣2或x＞10}∵￢p是￢q的充分而不必要条件∴解得0＜m≤3∴实数m的取值范围0＜m≤318．（12分）如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．【解答】解：（1）∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，又CD⊥AD，PD∩CD=D，∴AD⊥平面PCD，∴AD⊥PC，又AF⊥PC，∴PC⊥平面ADF，即CF⊥平面ADF；（2）设AB=1，在RT△PDC中，CD=1，∠DPC=30°，∴PC=2，PD=，由（1）知CF⊥DF，∴DF=，AF==，∴CF==，又FE∥CD，∴，∴DE=，同理可得EF=CD=，如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，0，1），E（，0，0），F（，，0），P（，0，0），C（0，1，0）设向量=（x，y，z）为平面AEF的法向量，则有，，∴，令x=4可得z=，∴=（4，0，），由（1）知平面ADF的一个法向量为=（，1，0），设二面角D﹣AF﹣E的平面角为θ，可知θ为锐角，cosθ=|cos＜，＞|===∴二面角D﹣AF﹣E的余弦值为：19．（12分）已知圆x2+y2﹣4x+2y﹣3=0和圆外一点M（4，﹣8）．（1）过M作圆的割线交圆于A、B两点，若|AB|=4，求直线AB的方程；（2）过M作圆的切线，切点为C、D，求切线长及CD所在直线的方程．【解答】解：x2+y2﹣4x+2y﹣3=0可化为：（x﹣2）2+（y+1）2=8，所以圆心O为（2，﹣1），半径r=2；（1）由题意设割线方程为y+8=k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k﹣8=0 ①，因为半径r=2，|AB|=4，所以圆心到割线距离d==2，∴，=2，解得k=，代入①得直线方程为45x+28y+44=0；经验证，x=4也符合题意．所以直线AB方程为45x+28y+44=0或x=4．（2）易知|MO|==，∴切线长l==3；设切点坐标为（x，y），则由题意得，即两式相减得CD方程为2x﹣7y﹣19=0．20．（12分）设F1、F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点，P是该椭圆上的一个动点，O为坐标原点．（1）求的取值范围；（2）设过定点Q（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且∠MON为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．【解答】解：（1）由椭圆+y2=1易知a=2，b=1，∴c==，所以，设P（x，y），则==x2+y2﹣3=﹣3=由椭圆的性质可知，﹣2≤x≤2∴故﹣2≤≤1（6分）（2）显然直线x=0不满足题设条件，可设直线L：y=kx+2，M（x1，y1），N（x2，y2）则消去y，整理得：由△=16k2﹣12（）＞0得：或…①（9分）又∵，又0°＜∠MON＜90°∴cos∠MON＞0∴＞0∴＞0（11分）∵y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4==∴＞0，即k2＜4∴﹣2＜k＜2…②（13分）故由①②得或（15分）21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：AB⊥PD；（2）若∠BPC=90°，PB=，PC=2，问AB为何值时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．【解答】解：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，∴AB⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴AB⊥面PAD，∴AB⊥PD．（2）过P做PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，作OM⊥BC，连接PM∴PM⊥BC，∵∠BPC=90°，PB=，PC=2，∴BC=，PM===，BM==，设AB=x，∴OM=x∴PO=，=×x××==，∴V P﹣ABCD=，当，即x=，V P﹣ABCD建立空间直角坐标系O﹣AMP，如图所示，则P（0，0，），D（﹣，0，0），C（﹣，，0），M（0，，0），B（，，0）面PBC的法向量为=（0，1，1），面DPC的法向量为=（1，0，﹣2）∴cosθ==﹣=﹣．由图可知二面角为锐角，即cos22．（12分）已知双曲线x2﹣y2=2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A，B两点．（Ⅰ）若动点M满足（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在定点C，使•为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：由条件知F1（﹣2，0），F2（2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）（Ⅰ）设M（x，y），则，，，由，得，即，于是AB的中点坐标为，当AB不与x轴垂直时，，即，又因为A，B两点在双曲线上，所以x12﹣y12=2，x22﹣y22=2，两式相减得（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2），即（x1﹣x2）（x﹣4）=（y1﹣y2）y，将代入上式，化简得（x﹣6）2﹣y2=4，当AB与x轴垂直时，x1=x2=2，求得M（8，0），也满足上述方程，所以点M的轨迹方程是（x﹣6）2﹣y2=4．（Ⅱ）假设在x轴上存在定点C（m，0），使为常数，当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y=k（x﹣2）（k≠±1），代入x2﹣y2=2有（1﹣k2）x2+4k2x﹣（4k2+2）=0则x1，x2是上述方程的两个实根，所以，，于是=（k2+1）x1x2﹣（2k2+m）（x1+x2）+4k2+m2===．因为是与k无关的常数，所以4﹣4m=0，即m=1，此时=﹣1，当AB与x轴垂直时，点A，B的坐标可分别设为，，此时，故在x轴上存在定点C（1，0），使为常数．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

2014-2015学年黑龙江省哈尔滨一中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.1．（5分）命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆否命题为（）A．若a＜b，则a+c＜b+c B．若a≤b，则a+c≤b+cC．若a+c＜b+c，则a＜b D．若a+c≤b+c，则a≤b2．（5分）与曲线共焦点，而与双曲线共渐近线的双曲线方程为（）A．B．C．D．3．（5分）已知双曲线=1（a＞0）的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x4．（5分）函数f（x）=x2﹣2ax+1在（﹣∞，2]上是单调递减函数的必要不充分条件是（）A．a≥2 B．a=6 C．a≥3 D．a≥05．（5分）过抛物线y2=﹣x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，且A、B在直线x=上的射影分别M，N，则∠MFN等于（）A．45°B．60°C．90°D．以上都不对6．（5分）有下列四个命题：①命题“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若m＞1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B=B，则A⊆B”的逆否命题．其中是真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．（5分）方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）A． B．C．D．8．（5分）已知动点P（x，y）满足=，则点P的轨迹是（）A．两条相交直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆9．（5分）一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P，直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知P为抛物线上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A 的坐标是，则|PA|+|PM|的最小值是（）A．8 B．C．10 D．11．（5分）若椭圆=1与双曲线=1有相同的焦点F1、F2，P是这两条曲线的一个交点，则△F1PF2的面积是（）A．4 B．2 C．1 D．12．（5分）已知A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0），若椭圆的离心率为，则|k1|+|k2|的最小值为（）A．1 B．C．D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）过椭圆=1的焦点F的弦中最短弦长是．14．（5分）过抛物线y2=﹣12x的焦点作直线l，直线l交抛物线于，A，B两点，若线段AB中点的横坐标为﹣9，则|AB|=．15．（5分）已知圆C过双曲线﹣=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是．16．（5分）设点P是椭圆=1（a＞b＞0）与圆x2+y2=3b2的一个交点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则椭圆的离心率为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应有证明或演算步骤17．（10分）已知半径为5的圆C的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．（1）求圆C的方程；（2）设直线ax﹣y+5=0与圆C相交于A、B两点，求实数a的取值范围．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=4x相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）如果直线l过抛物线的焦点，求•的值；（Ⅱ）在此抛物线上求一点P，使得P到Q（5，0）的距离最小，并求最小值．19．（12分）已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上，若右焦点到直线x﹣y+2=0的距离为3．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆与直线y=x+m相交于不同的两点M、N，问是否存在实数m使|AM|=|AN|；若存在求出m的值；若不存在说明理由．20．（12分）如图，已知四棱锥S﹣ABCD中，△SAD是边长为a的正三角形，平面SAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，P为AD的中点，Q为SB的中点．（Ⅰ）求证：PQ∥平面SCD；（Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣Q的大小．21．（12分）设过点P（x，y）的直线分别与x轴和y轴交于A，B两点，点Q 与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且．（1）求点P的轨迹M的方程；（2）过F（2，0）的直线与轨迹M交于C，D两点，求•的取值范围．22．（12分）如图，椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点．（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点．若直线l绕点F任意转动，值有|OA|2+|OB|2＜|AB|2，求a的取值范围．2014-2015学年黑龙江省哈尔滨一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.1．（5分）命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆否命题为（）A．若a＜b，则a+c＜b+c B．若a≤b，则a+c≤b+cC．若a+c＜b+c，则a＜b D．若a+c≤b+c，则a≤b【解答】解：把“若a＞b，则a+c＞b+c”看做原命题，它的逆否命题是题设和结论否定并且要交换位置，∴它的逆否命题是：“若a+c≤b+c，则a≤b”，故选：D．2．（5分）与曲线共焦点，而与双曲线共渐近线的双曲线方程为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知椭圆焦点在y轴上，且c==5，双曲线的渐近线方程为y=±x，设欲求双曲线方程为，则，解得a=4，b=3，所以欲求双曲线方程为．故选：D．3．（5分）已知双曲线=1（a＞0）的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：双曲线=1（a＞0）的实轴长2a、虚轴长：2、焦距长2，成等差数列，所以：4=2a+2，解得a=．双曲线=1的渐近线方程为：y=±x．故选：D．4．（5分）函数f（x）=x2﹣2ax+1在（﹣∞，2]上是单调递减函数的必要不充分条件是（）A．a≥2 B．a=6 C．a≥3 D．a≥0【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2ax+1在（﹣∞，2]上是单调递减函数，对称轴x=a∴a≥2，根据充分必要条件的定义可判断：a≥0是必要不充分条件，故选：D．5．（5分）过抛物线y2=﹣x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，且A、B在直线x=上的射影分别M，N，则∠MFN等于（）A．45°B．60°C．90°D．以上都不对【解答】解：根据抛物线的方程可知准线方程为x=，由抛物线的性质有|FA|=|MA|，∴∠AMF=∠AFM，同理∠BFN=∠BNF，∵AM∥x轴∥BN，∴∠MFO=∠AMF∴∠AFO=∠MFO，同理可知∠BFN=∠NFO∴∠MFN=∠MFO+∠NF0=90°故选：C．6．（5分）有下列四个命题：①命题“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若m＞1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B=B，则A⊆B”的逆否命题．其中是真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：根据倒数的定义，可得“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题：“若x、y互为倒数，则xy=1”是真命题，①正确；“面积相等的三角形全等”的否命题：“面积不相等的三角形不全等”是真命题，②正确；原命题与逆否命题有相同的真假性，∵方程x2﹣2x+m=0有实根⇔△=4﹣4m≥0⇔m≤1，∴原命题“若m＞1，则x2﹣2x+m=0有实根”是假命题，∴③错误；原命题与逆否命题有相同的真假性，∵命题“若A∩B=B，则A⊆B”为假命题，∴④错误．∴真命题的个数是2，故选：B．7．（5分）方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）A． B．C．D．【解答】解：方程mx+ny2=0 即y2=﹣，表示抛物线，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示椭圆或双曲线．当m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，无符合条件的选项．当m和n异号时，抛物线y2=﹣开口向右，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示双曲线，故选：A．8．（5分）已知动点P（x，y）满足=，则点P的轨迹是（）A．两条相交直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆【解答】解：令f（x）=，则其几何意义为点（x，y）到（1，2）的距离，令g（x）=，其几何意义为（x，y）点到直线y=3x+4y+12的距离，依题意二者相等，即点到点（1，2）的距离与到定直线的距离相等，进而可推断出P的轨迹为抛物线．故选：B．9．（5分）一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P，直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设F2为椭圆的右焦点由题意可得：圆与椭圆交于P，并且直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，所以点P是切点，所以PF2=c并且PF1⊥PF2．又因为F 1F2=2c，所以∠PF1F2=30°，所以．根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，所以|PF2|=2a﹣c．所以2a﹣c=，所以e=．故选：D．10．（5分）已知P为抛物线上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A 的坐标是，则|PA|+|PM|的最小值是（）A．8 B．C．10 D．【解答】解：依题意可知焦点F（0，），准线y=﹣，延长PM交准线于H点．则|PF|=|PH||PM|=|PH|﹣=|PF|﹣|PM|+|PA|=|PF|+|PA|﹣，我们只有求出|PF|+|PA|最小值即可．由三角形两边长大于第三边可知，|PF|+|PA|≥|FA|，①设直线FA与抛物线交于P0点，可计算得P0（3，），另一交点（﹣，舍去．当P重合于P0时，①可取得最小值，可得|FA|=10．则所求为|PM|+|PA|=故选：B．11．（5分）若椭圆=1与双曲线=1有相同的焦点F1、F2，P是这两条曲线的一个交点，则△F1PF2的面积是（）A．4 B．2 C．1 D．【解答】解：不妨设P为双曲线右支上的点，由椭圆的定义可得，PF1+PF2=4，由双曲线的定义，可得，PF1﹣PF2=2，解得PF1=2+，PF2=2﹣，F1F2=2，由于（2）2+（2﹣）2=（2）2，则三角形PF1F2为直角三角形，则面积为：=1，故选：C．12．（5分）已知A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0），若椭圆的离心率为，则|k1|+|k2|的最小值为（）A．1 B．C．D．2【解答】解：设M（t，s），N（t，﹣s），t∈[0，a]，s∈[0，b]，A（﹣a，0），B（a，0），k1=，k2=﹣|k1|+|k2|=||+|﹣|≥2=2当且仅当=﹣，即t=0时等号成立．因为A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，M（t，s），N（t，﹣s），即s=b∴|k1|+|k2|的最小值为，∵椭圆的离心率为，∴，∴a=2b∴|k1|+|k2|的最小值为1故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）过椭圆=1的焦点F的弦中最短弦长是．【解答】解：由题意设F（），过F的弦中垂直于x轴的弦最短；∴x=时，y=；∴最短弦长为．故答案为：．14．（5分）过抛物线y2=﹣12x的焦点作直线l，直线l交抛物线于，A，B两点，若线段AB中点的横坐标为﹣9，则|AB|=24．【解答】解：∵抛物线的方程为y2=﹣12x，∵2p=12，p=6，∵|AB|=x A+x B+p=x A+x B+6，∵若线段AB的中点M的横坐标为﹣9，∴（x A+x B）=﹣9，∴x A+x B=﹣18，∴|AB|=18+6=24．故答案为：2415．（5分）已知圆C过双曲线﹣=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是．【解答】解：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4．故圆心坐标为（4，±）．∴它到中心（0，0）的距离为d==．故答案为：．16．（5分）设点P是椭圆=1（a＞b＞0）与圆x2+y2=3b2的一个交点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则椭圆的离心率为．【解答】解：根据已知条件知P点在y轴右侧；由得，；∵|PF1|+|PF2|=2a，∴由|PF1|=3|PF2|得，；∴，F2（c，0）；∴，整理得：a=2，或a=（舍去）；∴a2=8b2=8a2﹣8c2；∴7a2=8c2；∴．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应有证明或演算步骤17．（10分）已知半径为5的圆C的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．（1）求圆C的方程；（2）设直线ax﹣y+5=0与圆C相交于A、B两点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）设圆心为M（m，0）（m∈Z），∵圆C与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5，∴圆心，到直线4x+3y﹣29=0的距离d=r，即=5，即|4m﹣29|=25，∵m为整数，∴m=1，则所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=25；（2）直线ax﹣y+5=0即y=ax+5，代入圆的方程，消去y整理得：（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0，∵直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点，∴△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，即12a2﹣5a＞0，解得：a＜0或a＞，则实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（，+∞）．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=4x相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）如果直线l过抛物线的焦点，求•的值；（Ⅱ）在此抛物线上求一点P，使得P到Q（5，0）的距离最小，并求最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意：抛物线焦点为（1，0）设l：x=ty+1代入y2=4x消去x得y2﹣4ty﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）则y1+y2=4t，y1y2=﹣4∴•=x1x2+y1y2=（ty1+1）（ty2+1）+y1y2=t2y1y2+t（y1+y2）+1+y1y2=﹣4t2+4t2+1﹣4=﹣3．（Ⅱ）设P（x，y），则|PQ|===，∴x=3时，P到Q（5，0）的距离最小，此时，，|PQ|min=4．19．（12分）已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上，若右焦点到直线x﹣y+2=0的距离为3．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆与直线y=x+m相交于不同的两点M、N，问是否存在实数m使|AM|=|AN|；若存在求出m的值；若不存在说明理由．【解答】解：（Ⅰ）依题意可设椭圆方程为，则右焦点F（）由题设，解得a2=3．故所求椭圆的方程为．（Ⅱ）设P为弦MN的中点，由得4x2+6mx+3m2﹣3=0由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，解得：﹣2＜m＜2．由韦达定理可知：，从而．∴，又|AM|=|AN|，∴AP⊥MN，则，即m=2，因为：﹣2＜m＜2．所以不存在实数m使|AM|=|AN|．20．（12分）如图，已知四棱锥S﹣ABCD中，△SAD是边长为a的正三角形，平面SAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，P为AD的中点，Q为SB的中点．（Ⅰ）求证：PQ∥平面SCD；（Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣Q的大小．【解答】证明：（1）证明取SC的中点R，连QR，DR．由题意知：PD∥BC且PD=BC；QR∥BC且QP=BC，∴QR∥PD且QR=PD．∴PQ∥DR，又PQ⊄面SCD，∴PQ∥面SCD．（6分）（2）解：以P为坐标原点，PA为x轴，PB为y轴，PS为z轴建立空间直角坐标系，则S（0，0，a），B（0，a，0），C（﹣a，a，0），Q（0，a）．面PBC的法向量为=（0，0，a），设为面PQC的一个法向量，由，cos＜，∴二面角B﹣PC﹣Q的大小为arccos．（12分）21．（12分）设过点P（x，y）的直线分别与x轴和y轴交于A，B两点，点Q 与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且．（1）求点P的轨迹M的方程；（2）过F（2，0）的直线与轨迹M交于C，D两点，求•的取值范围．【解答】解：（1）∵过点P（x，y）的直线分别与x轴和y轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，∴Q（﹣x，y），设A（a，0），B（0，b），∵O为坐标原点，∴=（x，y﹣b），=（a﹣x，﹣y），=（﹣x，y），，∵且，∴，解得点P的轨迹M的方程为．（2）设过F（2，0）的直线方程为y=kx﹣2k，联立，得（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣3=0，设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），∴=（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=（1+k2）（x1﹣2）（x2﹣2）=（1+k2）[x1x2﹣2（x1+x2）+4]=（1+k2）（﹣+4）==+，∴当k2→∞，•的最小值→；当k=0时，•的最大值为1．∴•的取值范围是（，1]．22．（12分）如图，椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点．（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点．若直线l绕点F任意转动，值有|OA|2+|OB|2＜|AB|2，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设M，N为短轴的两个三等分点，因为△MNF为正三角形，所以，即1=，解得．a2=b2+1=4，因此，椭圆方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（ⅰ）当直线AB与x轴重合时，|OA|2+|OB|2=2a2，|AB|2=4a2（a2＞1），因此，恒有|OA|2+|OB|2＜|AB|2．（ⅱ）当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为：，整理得（a2+b2m2）y2+2b2my+b2﹣a2b2=0，所以因为恒有|OA|2+|OB|2＜|AB|2，所以∠AOB恒为钝角．即恒成立．x1x2+y1y2=（my1+1）（my2+1）+y1y2=（m2+1）y1y2+m（y1+y2）+1==．又a2+b2m2＞0，所以﹣m2a2b2+b2﹣a2b2+a2＜0对m∈R恒成立，即a2b2m2＞a2﹣a2b2+b2对m∈R恒成立．当m∈R时，a2b2m2最小值为0，所以a2﹣a2b2+b2＜0．a2＜a2b2﹣b2，a2＜（a2﹣1）b2=b4，因为a＞0，b＞0，所以a＜b2，即a2﹣a﹣1＞0，解得a＞或a＜（舍去），即a＞，综合（i）（ii），a的取值范围为（，+∞）．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。

高二数学〔理科〕期中试题〔时间：120分钟 总分：150分，交答题纸〕 第1卷〔12题：共60分〕选择题〔包括12小题，每一小题5分，共60分〕1.命题“假设21x <，如此11x -<<〞的逆否命题是 〔 〕 A.假设21x ≥，如此1x ≥或1x ≤-； B.假设11x -<<，如此21x <； C.假设1x >或1x <-，如此21x >； D.假设1x ≥或1x ≤-，如此21x ≥。

2.方程224250x y mx y m ++-+=表示圆的充要条件是 〔 〕 A.114m << B.14m <或1m > C.14m <D.1m > 3.在正方体1111ABCD A B C D -中，如下各式运算结果为向量1BD 的是 〔 〕①111()A D A A AB --②111()BC BB D C +- ③1()AD AB DD --④1111()B D A A DD -+A.①②B.②③C.③④D.①④4.向量(1,0,1)a =-，如此如下向量中与a 成60夹角的是 〔 〕 A.(1,1,0)- B.(1,1,0)- C.(0,1,1)- D.(1,0,1)-5.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个顶点为(,0),(0,)A a B b ，且左焦点为F ，FAB 是以角B 为直角的直角三角形，如此椭圆的离心率e 为 〔 〕A.B.C.D.6.过点(3,1)作圆22(1)1x y -+=的两条切线，切点分别为,A B ，如此直线AB 的方程为〔 〕A.230x y +-=B.230x y --=C.430x y --=D.430x y +-=7.在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为111,A D CC 的中点，P 为11A B 上的一动点，如此PF 与AE 所成的角为 〔 〕A.45B.60C.90D.不确定8.过抛物线x y 102=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，如此这样的直线〔 〕A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在9.直线3y kx =+与圆22(3)(2)4x y -+-=相交于M 、N两点，假设||MN ≥k 的取值范围 〔 〕A.2[,0]3-B.3(,][0,)4-∞-+∞C.[,]33-D.3[0]4-，10.与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的方程 是 〔 〕A.22551()()222x y -+-= B.22(3)(3)8x y -+-= C.22(2)(2)2x y -+-= D.22(2)(2)2x y -+-= 11.(0,7),(0,7),(12,2)A B C -,以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，椭圆的另一焦点F 的 轨迹方程为 〔 〕A.221(1)48x y y -=≤- B.22148x y -= C.22148x y -=- D.22148y x -=12.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率2]e ∈，令双曲线两条渐近线构成的角 中，以实轴为角分线的角为θ，如此θ的取值范围是 〔 〕A.[,]62ππB.[,]32ππC.2[,]23ππD.2[,]3ππ第2卷〔10题：共90分〕二、填空题〔包括4小题，每一小题5分，共20分〕13.假设向量(1,1,),(1,2,1),(1,1,1)a x b c ===，满足条件()(2)2c a b -⋅=-，如此x = 。

黑龙江省双鸭山一中2014-2015学年高二数学9月月考试题 理 第I 卷 〔选择题， 共60分〕一、选择题〔共60分，12小题，每题5分〕1.中心在坐标原点的椭圆，焦点在x 轴上，焦距为4，离心率为22，如此该椭圆的方程为( ) A.1121622=+y x B.181222=+y x C.141222=+y x D.14822=+y x 2.设1F 、2F 分别是椭圆1162522=+y x 的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是P F 1的中点，3||=OM ，如此P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．5 3．抛物线y ＝4x 2的焦点到准线的距离是( )A.18B.14C.116D ．1 4.直线0552=+-+y x 被圆04222=--+y x y x 截得的弦长为( )A ．1B ．2C ．4 D. 64 5.双曲线12222=-by a x 的一个焦点与圆0222=-+x y x 的圆心重合，且双曲线的离心率等于( ) A.145522=-y x B.14522=-y x C.14522=-x y D.145522=-x y6.设1F 、2F 分别是双曲线)0,0(12222>>--b a by a x 的左、右焦点，假设双曲线上存在点A ，使 9021=∠AF F ，且||3||21AF AF =，如此双曲线的离心率为( ) A.25 B.210 C.35 D.3107.假设过点(1,0)M -且斜率为k 的直线与圆22450x y x ++-=在第一象限的局部有交点，如此k 的取值范围〔 〕A.0k <<B.0k <<C.0k <<D. 05k <<8.22{(,)|4}M x y x y =+≤，222{(,)|(1)(1)(0)}N x y x y r r =-+-≤>，且M N N =，如此r 的取值范围是〔 〕A.1)-B.(0,1]C.(0,2-D. (0,2]9.假设圆034222=+-++y x y x C :关于直线062=++by ax 对称，如此由点),(b a 向圆所做的切线长的最小值是〔 〕A.2B.3C.4D.610.过点P (－2,3)的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝－92x 或x 2＝43yB ．y 2＝92x 或x 2＝43y C ．y 2＝92x 或x 2＝－43y D ．y 2＝－92x 或x 2＝－43y 11.过点)3,2(P 向圆122=+y x 作两条切线PA 、PB ，如此弦AB 所在直线的方程为( )A.0132=--y xB.0132=-+y xC.0123=-+y xD.0123=--y x 12.椭圆1422=+y x ,假设此椭圆上存在不同的两点A 、B 关于直线m x y +=2对称，如此实数m 的取值范围是( ) A.)223,233(- B.)223,223(- C.)223,22(- D.)22,223(- 第2卷 〔非选择题， 共60分〕 二、填空题〔共20分，4小题，每一小题5分〕13.顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线上的一点P (m ，－2)到焦点的距离为4，如此m 的值为.14.假设方程x 2|a |－1＋y 2a ＋3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，如此实数a 的取值范围是.15.P 为双曲线11522=-y x 右支上一点，M 、N 分别是圆4)4(22=+-y x 和1)4(22=++y x 上的点，如此||||PN PM -的最大值为.16.以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，假设k PB PA =-||||，如此动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，假设)(21OB OA OP +=，如此动点P 的轨迹为椭圆；③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线192522=-y x 与椭圆13522=+y x 有一样的焦点．其中真命题的序号为.(写出所有真命题的序号)．三、解答题〔共40分，4题，每题10分〕17.点),(13M ，直线04=+-y ax 与圆42122=-+-)()(y x .(1)求过M 点的圆的切线方程；(2)假设直线04=+-y ax 与圆相切，求a 的值．18.双曲线与椭圆64422=+y x 共焦点，它的一条渐近线方程是03=-y x（1）求双曲线的方程；（2）假设点),(m M 53在双曲线上，求证：21MF MF ⊥.19.矩形ABCD 的对角线交于点),(02P ，边AB 所在直线的方程为063=--y x ，点),(11-在边AD 所在的直线上．(1)求矩形的外接圆的方程；(2)直线)()()(:R k k y k x k l ∈=+-++-045121，求证：直线l 与矩形ABCD 的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l 的方程．20.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 和2F .点),(b a P 满足||||212F F PF =. (1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线2PF 与椭圆相交于A ，B 两点．假设直线2PF 与圆163122=-++)()(y x 相交于M ，N 两点，且||||AB MN 85=，求椭圆的方程．。

黑龙江省双鸭山一中高二（上）期中数学试卷（理科）数学试卷〔文科〕一、选择题〔包括1--12小题，每题5分，共60分〕1．〔5分〕〔2021•眉山二模〕抛物线y=4x2的焦点坐标为〔〕A．〔1，0〕B．C．〔0，1〕D．考点：抛物线的复杂性质．专题：计算题．剖析：先将抛物线的方程化为规范方程方式x2=y，确定启齿方向及p的值，即可失掉焦点的坐标．解答：解：∵抛物线的规范方程为x2=y，∴p=，启齿向上，故焦点坐标为〔0，〕，应选B．点评：依据抛物线的方程求其焦点坐标，一定要先化为规范方式，求出的值，确定启齿方向，否那么，极易出现错误．2．〔5分〕〔2021•眉山二模〕命题〝存在x0∈R，2x0≤0〞的否认是〔〕A．不存在x0∈R，＞0 B．存在x0∈R，≥0C．对恣意的x∈R，2x≤0 D．对恣意的x∈R，2x＞0考点：命题的否认．剖析：依据命题〝存在x0∈R，≤0〞是特称命题，其否认为全称命题，将〝存在〞改为〝恣意的〞，将〝≤〞改为〝＞〞即可失掉答案．解答：解：∵命题〝存在x0∈R，≤0〞是特称命题∴否认命题为：对恣意的x∈R，2x＞0．应选D．点评：此题主要考察特称命题与全称命题的转化效果．3．〔5分〕和是相互垂直的单位向量，那么=〔〕A．1B．2C．3D．4考点：平面向量数量积的运算．专平面向量及运用．题：剖析：由两个向量垂直的性质可得=0，=1=，再由=〔〕•〔〕=3+﹣2，运算求得结果．解答：解：由和是相互垂直的单位向量，可得=0，=1=，∴=〔〕•〔〕=3+﹣2=3+0﹣2=1，应选A．点评：此题主要考察两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于中档题．4．〔5分〕圆的方程为x2+y2﹣2x+6y+8=0，那么该圆的一条直径所在直线的方程为〔〕A．2x﹣y+1=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．2x+y+1=0 D．2x+y﹣1=0考点：恒过定点的直线．剖析：求出圆的圆心坐标，验证选项即可．解答：解：由于圆的方程为x2+y2﹣2x+6y+8=0，所以圆心坐标〔1，﹣3〕，代中选项可知C 正确．应选C．点评：此题考察圆的普通方程，点的坐标适宜直线方程；也可以为直线系效果，是基础题．5．〔5分〕命题〝假定x，y都是偶数，那么x+y也是偶数〞的否命题是〔〕A．假定x，y都是偶数，那么x+y不是偶数B．假定x，y都不是偶数，那么x+y不是偶数C．假定x，y都不是偶数，那么x+y是偶数D．假定x，y不都是偶数，那么x+y不是偶数考点：四种命题．专题：惯例题型．剖析：依据否命题是将原命题的条件结论都否来解答．解答：解：由于原命题是〝假定x，y都是偶数，那么x+y也是偶数〞，所以原命题的否命题为：〝假定x，y不都是偶数，那么x+y不是偶数〞，应选D．点评：此题调查原命题的否命题，这里要与命题的否认区别开来，是一个易错点．而且要留意〝都是〞的否认为〝不都是〞，选择填空中常调查．6．〔5分〕〔2021•安徽模拟〕命题p：∃x∈R，使；命题q：∀x∈R，都有x2+x+1＞0．给出以下结论：①命题〝p∧q〞是真命题；②命题〝p∧￢q〞是假命题；③命题〝￢p∨q〞是真命题；④命题〝￢p∨￢q〞是假命题．其中正确的选项是〔〕A．②③B．②④C．③④D．①②③考点：复合命题的真假．专题：阅读型．剖析：依据正弦函数的值域及二次不等式的解法，我们易判别命题p：∃x∈R，使sin x=与命题q：∀x∈R，都有x2+x+1＞0的真假，进而依据复合命题的真值表，易判别四个结论的真假，最后失掉结论．解答：解：∵＞1，结合正弦函数的性质，易得命题p：∃x∈R，使sin x=为假命题，又∵x2+x+1=〔x+〕2+＞0恒成立，∴q为真命题，故非p是真命题，非q是假命题；所以①p∧q是假命题，错；②p∧非q是假命题，正确；③非p∨q是真命题，正确；④命题〝¬p∨¬q〞是假命题，错；故答案为：②③应选A．点评：此题考察的知识点是复合命题的真假，其中依据正弦函数的值域及二次不等式的解法，判别命题p与命题q的真假是解答的关键．7．〔5分〕以下命题中不正确的命题个数是〔〕①假定A、B、C、D是空间恣意四点，那么有+++=0；②|a|﹣|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件；③假定a、b共线，那么a与b所在直线平行；④对空间恣意点O与不共线的三点A、B、C，假定=x+y+z〔其中x、y、z∈R〕，那么P、A、B、C四点共面．A ．1 B．2 C．3 D．4考点：向量的共线定理．专题：综合题．剖析：①由向量的运算法那么知正确②两边平方，应用向量的平方等于向量模的平方，得出两向量反向．③向量共线的几何意义知所在的线平行或重合．④应用空间向量的基本定理知错．解答：解：易知只要①是正确的，关于②，|a|﹣|b|=|a+b|⇔=⇔⇔反向，故②错．关于③共线，那么它们所在直线平行或重合关于④，假定O∉平面ABC，那么、、不共面，由空间向量基本定理知，P可为空间任一点，所以P、A、B、C四点不一定共面．应选C．点评：此题考察向量的运算法那么、向量模的平方等于向量的平方、向量的几何意义、空间向量基本定理．8．〔5分〕〔2021•北京〕假定，是非零向量，〝⊥〞是〝函数为一次函数〞的〔〕A．充沛而不用要条件B．必要不充沛条件C．充沛必要条件D．既不充沛也不用要条件考点：必要条件、充沛条件与充要条件的判别；数量积判别两个平面向量的垂直关系．剖析：先判别必要功用否成立，依据一次函数的定义，失掉，那么成立，再判别充沛功用否成立，由，不能推出函数为一次函数，由于时，函数是常数，而不是一次函数．解答：解：，如，那么有，假设同时有，那么函数恒为0，不是一次函数，因此不充沛，而假设f〔x〕为一次函数，那么，因此可得，故该条件必要．故答案为B．点评：此题考察必要条件、充沛条件与充要条件的判别，同时考察平面向量的数量积的相关运算．9．〔5分〕〔2020•丹东二模〕直线l过抛物线y2=2px〔p＞0〕的焦点，且与抛物线交于A、B两点，假定线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，那么此抛物线方程是〔〕A．y2=12x B．y2=8x C．y2=6x D．y2=4x考点：抛物线的规范方程；抛物线的定义．专题：计算题．剖析：先设出A，B的坐标，依据抛物线的定义求得x1+x2+p=8，进而依据AB中点到y轴的距离求得p，那么抛物线方程可得．解答：解：设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，依据抛物线定义，x1+x2+p=8，∵AB的中点到y轴的距离是2，∴，∴p=4；∴抛物线方程为y2=8x应选B点评：此题主要考察了抛物线的规范方程．解题的关键是应用了抛物线的定义．10．〔5分〕平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量、、两两的夹角均为60°，且||=1，||=2，||=3，那么||等于〔〕A．5B．6C．4D．8考点：向量在几何中的运用．专题：计算题；平面向量及运用．剖析：由题设知=，故=〔〕2，由此能求出||．解答：解：如图，∵平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，向量、、两两的夹角均为60°，且||=1，||=2，||=3，∴=，∴=〔〕2=+++2+2+2=1+4+9+2×1×2×cos60°+2×1×3×cos60°+2×2×3×cos60°=25，∴||=5．应选A．点评：此题以平行六面体为载体考察向量在几何中的运用，解题时要仔细审题，关键是应用条件向量、、两两的夹角均为60°，停止合理转化．11．〔5分〕椭圆的焦点为F1、F2，点M在椭圆上，，那么M到y轴的距离为〔〕A．B．C．D．考点：椭圆的复杂性质．专题：计算题．剖析：M 〔h，t 〕，那么由得h2﹣3+t2=0 ①，把M 〔h，t 〕代入椭圆方程得t2=1﹣②，把②代入①可得|h|即为所求．解答：解：由题意得a=2，b=1，c=，F1〔﹣，0〕、F2〔，0〕．∵，∴．设M 〔h，t 〕，那么由得〔﹣﹣h，﹣t〕•〔﹣h，﹣t〕=h2﹣3+t2=0 ①．把M 〔h，t 〕代入椭圆方程得t2=1﹣②，把②代入①可得h2=，|h|=．应选B．点评：此题考察椭圆的规范方程，以及椭圆的复杂性质的运用，两个向量的数量积公式的运用．12．〔5分〕设F1、F2区分为双曲线：﹣=1〔a＞0，b＞0〕的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，假定的最小值为8a，那么该双曲线的离心率的取值范围是〔〕A．[3，+∞〕B．〔1，3]C．〔1，]D．[，+∞〕考点：双曲线的复杂性质．专计算题；压轴题．剖析：设|PF2|=t，那么|PF1|=2a+t，故==4a++t≥8a，由2a≥c﹣a及e＞1 求得e 的范围．解答：解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a．设|PF2|=t，那么|PF1|=2a+t，故==4a++t≥4a+2=8a，当且仅当t=2a时，等号成立．又∵t≥c﹣a，∴2a≥c﹣a，∴e=≤3．又由于e＞1，故e 的范围为〔1，3]，应选B．点评：此题考察双曲线的定义和双曲线的规范方程，以及双曲线的复杂性质的运用，应用t≥c ﹣a 是解题的关键．二、填空题〔包括13--16小题，每题5分，共20分〕13．〔5分〕平面α，β，γ两两相互垂直，且它们相交于一点O，P点到三个面的距离区分是1cm，2cm，3cm，那么PO的长为cm．考点：点、线、面间的距离计算．专题：计算题；空间位置关系与距离．剖析：由题意，OP可看做长方体的对角线，其中长方体的三条棱长区分是1cm，2cm，3cm，从而可求PO的长．解答：解：由题意，OP可看做长方体的对角线，其中长方体的三条棱长区分是1cm，2cm，3cm，∴PO==cm故答案为：cm点评：此题考察长方体模型的结构，考察先生的计算才干，属于中档题．14．〔5分〕假定〝x2＞1〞是〝x＜a〞的必要不充沛条件，那么a的最大值为﹣1．考点：必要条件、充沛条件与充要条件的判别．专题：计算题．剖析：因x2＞1得x＜﹣1或x＞1，又〝x2＞1〞是〝x＜a〞的必要不充沛条件，知〝x＜a〞可以推出〝x2＞1〞，反之不成立．由此可求出a的最大值．解答：解：因x2＞1得x＜﹣1或x＞1，又〝x2＞1〞是〝x＜a〞的必要不充沛条件，知〝x＜a〞可以推出〝x2＞1〞，反之不成立．那么a的最大值为﹣1．故答案为﹣1．点此题考察必要条件、充沛条件、充要条件的判别，解题时要仔细审题，细心解答．15．〔5分〕〔2021•天津〕设直线ax﹣y+3=0与圆〔x﹣1〕2+〔y﹣2〕2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为，那么a=0．考点：直线与圆相交的性质；点到直线的距离公式．剖析：由题意易知圆心到直线的距离等于1〔勾股定理〕，然后可求a的值．解答：解：设直线ax﹣y+3=0与圆〔x﹣1〕2+〔y﹣2〕2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为，那么圆心〔1，2〕到直线的距离等于1，，a=0故答案为：0点评：此题考察直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，是基础题．16．〔5分〕椭圆的左、右焦点区分为F1，F2，P为椭圆M上任一点，且|PF1|•|PF2|的最大值的取值范围是[2c2，3c2]，其中，那么椭圆m的离心率e的取值范围是．考点：椭圆的运用；椭圆的复杂性质．专题：计算题．剖析：依据题意，|PF1|•|PF2|的最大值为a2，那么由题意知2c2≤a2≤3c2，由此可以导出椭圆m 的离心率e的取值范围．解答：解：∵|PF1|•|PF2|的最大值=a2，∴由题意知2c2≤a2≤3c2，∴，∴．故椭圆m的离心率e的取值范围．答案：点评：|PF1|•|PF2|的最大值=a2是正确解题的关键．三、解答题〔包括17-22小题，共70分〕17．〔10分〕设条件p：2x2﹣3x+1≤0，条件q：x2﹣〔2a+1〕x+a〔a+1〕≤0，假定￢p是￢q的必要不充沛条件，务实数a的取值范围．考点：必要条件、充沛条件与充要条件的判别．专计算题．剖析：应用不等式的解法求解出命题p，q中的不等式范围效果，结合二者的关系得出关于字母a的不等式，从而求解出a的取值范围．解答：解：由题意得，命题，命题q：B={x|a≤x≤a+1}，∵¬p是¬q的必要不充沛条件，∴p是q的充沛不用要条件，即A⊆B，∴，∴．故实数a的取值范围为[0，]．点评：此题考察一元二次不等式的解法，考察二次不等式与二次函数的关系，留意等价转化思想的运用．18．〔12分〕设向量，计算以及与所成角的余弦值，并确定λ和μ的关系，使与z轴垂直．考点：空间向量的夹角与距离求解公式；向量的数量积判别向量的共线与垂直．专题：计算题；空间向量及运用．剖析：由，应用空间向量的数量积公式能求出和cos＜＞，由=〔3λ+2μ，5λ+μ，﹣4λ+8μ〕，能失掉与z 轴垂直时，λ和μ的关系．解答：解：∵，∴=3×2+5×1+〔﹣4〕×8=﹣21．∴cos＜＞===﹣．∵=〔3λ+2μ，5λ+μ，﹣4λ+8μ〕，∴与z轴垂直时，﹣4λ+8μ=0，解得λ=2μ．点评：此题考察空间向量的距离公式和夹角公式的运用，是基础题．解题时要仔细审题，细心解答．19．〔12分〕一个圆的圆心为坐标原点O，半径为2，从这个圆上恣意一点P向x轴作垂线PP′，P′为垂足．〔Ⅰ〕求线段PP′中点M的轨迹方程；〔Ⅱ〕直线x﹣y﹣2=0与M的轨迹相交于A、B两点，求△OAB的面积．考点：圆锥曲线的轨迹效果；直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．剖析：〔Ⅰ〕圆心为坐标原点O，半径为2的圆的方程为x2+y2=4，确定M，P之间的关系，应用代入法，即可求得线段PP′中点M的轨迹方程；〔Ⅱ〕直线x﹣y﹣2=0与椭圆方程联立，消去y，求出A，B的坐标，即可求△OAB 的面积．解答：解：〔Ⅰ〕设M〔x，y〕，那么P〔x，2y〕∵圆心为坐标原点O，半径为2的圆的方程为x2+y2=4，P在圆上∴x2+4y2=4∴线段PP′中点M 的轨迹方程为；〔Ⅱ〕直线x﹣y﹣2=0与椭圆方程联立，消去y可得5x2﹣16x+12=0，∴x=或x=2 ∴A 〔〕，B〔2，0〕∴=．点评：此题考察代入法求轨迹方程，考察直线与椭圆的位置关系，考察先生的计算才干，属于中档题．20．〔12分〕双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，且过点．〔1〕求双曲线方程；〔2〕设A点坐标为〔0，2〕，求双曲线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|．考点：双曲线的规范方程．专题：综合题．剖析：〔1〕依据双曲线的渐近线方程，假定双曲线方程，代入点的坐标，即可失掉双曲线方程；〔2〕表示出|PA|，应用二次函数的配方法，即可求得结论．解答：解：〔1〕由题意，设双曲线方程为x2﹣y2=λ〔λ≠0〕﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣〔2分〕将点代入双曲线方程，得，即λ=6﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣〔5分〕所以，所求的双曲线方程为x2﹣y2=6﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣〔7分〕〔2〕设双曲线上恣意一点P〔x1，y1〕，那么从而=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣〔10分〕当y1=1时，|PA|有最小值所以当P 的坐标为时，|PA|有最小值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣〔14分〕点评：此题考察双曲线的规范方程，考察两点间的距离公式，解题的关键是待定系数法，属于中档题．21．〔12分〕抛物线y2=4x，过点〔0，﹣2〕的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点．〔1〕假定•=4，求直线AB的方程．〔2〕假定线段AB的垂直平分线交x轴于点〔n，0〕，求n的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．剖析：〔1〕设直线AB的方程为y=kx﹣2，k≠0，代入y2=4x中得k2x2﹣〔4k+4〕x+4=0，由•=4，能求出直线AB的方程．〔2〕设线段AB的中点坐标为〔x0，y0〕，由〔1〕知=，，所以线段AB的垂直平分线的方程为y ﹣=﹣〔x ﹣〕．由此能求出n的取值范围．解答：解：〔1〕设直线AB的方程为y=kx﹣2，k≠0，代入y2=4x中得k2x2﹣〔4k+4〕x+4=0，①设Ax1，y1〕，B〔x2，y2〕，B〔x2，y2〕，那么，，∴y1y2=〔kx1﹣2〕〔kx2﹣2〕=k2x1x2﹣2k〔x1+x2〕+4=﹣．∵=〔，y1〕•〔x2，y2〕=x1x2+y1y2=，∴k2+2k﹣1=0，解得k=﹣1+．又由方程①的判别式△=〔4k+4〕2﹣16k2=32k+16＞0，得k＞﹣．∴k=﹣1+，∴直线AB的方程为．〔2〕设线段AB的中点坐标为〔x0，y0〕，那么由〔1〕知=，，∴线段AB的垂直平分线的方程为y﹣=﹣〔x﹣〕．∵线段AB的垂直平分线交x轴于点〔n，0〕，∴令y=0，得n=2+==2〔〕2+，又∵k＞﹣，且k≠0，∴，或，∴n＞2〔0+〕2+=2．∴n的取值范围是〔2，+∞〕．点评：此题考察直线方程的求法，考察n的取值范围的求法．详细触及到抛物线的复杂性质、直线方程、根的判别式等基本知识，解题时要仔细审题，合理地停止等价转化．22．〔12分〕〔2020•福建〕直线x﹣2y+2=0经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS 与直线区分交于M，N两点．〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕求线段MN的长度的最小值；〔3〕当线段MN的长度最小时，在椭圆C上能否存在这样的点T，使得△TSB的面积为？假定存在，确定点T的个数，假定不存在，说明理由．考点：椭圆的规范方程；直线与圆锥曲线的综分解绩．专题：压轴题．剖析：〔1〕由于直线过椭圆的左顶点与上顶点，故可解出直线与坐标轴的交点，即知椭圆的长半轴长与短半轴长，依定义写出椭圆的方程即可．〔2〕法一、引入直线AS的斜率k，用点斜式写出直线AS的方程，与l的方程联立求出点M的坐标，以及点S的坐标，又点B的坐标，故可解出直线SB的方程，亦用参数k表示的方程，使其与直线l联立，求出点N的坐标，故线段MN的长度可以表示成直线AS的斜率k的函数，依据其方式选择单调性法或许基本不等式法求最值，此题适宜用基本不等式求最值．法二、依据图形结构出了可用基本不等式的方式来求最值．〔3〕在上一问的基础上求出参数k，那么直线SB的方程，可求出线段AB的长度，假定使面积为，只须点T到直线BS的距离为即可，由此效果转化为研讨与直线SB平行且距离为的直线与椭圆的交点个数效果，下易证解答：解：〔1〕由得，椭圆C的左顶点为A〔﹣2，0〕，上顶点为D〔0，1〕，∴a=2，b=1故椭圆C的方程为〔4分〕〔2〕依题意，直线AS的斜率k存在，且k＞0，故可设直线AS的方程为y=k〔x+2〕，从而，由得〔1+4k2〕x2+16k2x+16k2﹣4=0设S〔x1，y1〕，那么得，从而即，〔6分〕又B〔2，0〕由得，∴，〔8分〕故又k＞0，∴当且仅当，即时等号成立．∴时，线段MN的长度取最小值〔10分〕〔2〕另解：设S〔x s，y S〕，依题意，A，S，M三点共线，且所在直线斜率存在，由k AM=k AS，可得同理可得：又所以，=不仿设y M＞0，y N＜0当且仅当y M=﹣y N时取等号，即时，线段MN的长度取最小值．〔3〕由〔2〕可知，当MN取最小值时，此时BS的方程为，∴〔11分〕要使椭圆C上存在点T，使得△TSB的面积等于，只须T到直线BS的距离等于，所以T在平行于BS且与BS距离等于的直线l'上．设直线l'：x+y+t=0，那么由，解得或．又由于T为直线l'与椭圆C的交点，所以经检验得，此时点T有两个满足条件．〔14分〕点评：此题是解析几何中直线与圆锥曲线位置关系中很复杂的标题，要求答题者拥有较高的探求转化才干以及对直线与圆锥曲线位置关系中特征有较好的了解，且符号运算才干较强才干胜任此类题的解题任务，这是一个才干型的题，好题．。