【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-3)备选练习：2.4正态分布]

选修2－2综合检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·山东鱼台一中高二期中)复平面内，复数(2－i)2对应点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] D[解析] ∵(2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，∴此复数在复平面内的对应点为(3，－4)，故选D. 2．曲线y ＝4x －x 3在点(－1，－3)处的切线方程是( ) A ．y ＝7x ＋4 B ．y ＝x －4 C ．y ＝7x ＋2 D ．y ＝x －2 [答案] D[解析] y ′|x ＝－1＝(4－3x 2)|x ＝－1＝1， ∴切线方程为y ＋3＝x ＋1，即y ＝x －2.3．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的图象是( )[答案] A[解析] ∵f ′(x )＝2x ＋b 为增函数，∴排除B 、D ； 又f (x )的顶点在第四象限， ∴－b2>0，∴b <0，排除C ，故选A.4．(2013·山东嘉祥一中高二期中)曲线y ＝x 3－3x 和y ＝x 围成图形的面积为( ) A ．4 B ．8 C ．10 D ．9[答案] B[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 3－3x ，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2.∵y ＝x 3－3x 与y ＝x 都是奇函数， ∴围成图形的面积为S ＝2⎠⎛02[x －(x 3－3x )]dx ＝2⎠⎛02(4x －x 3)dx ＝2·(2x 2－14x 4)|20＝8，故选B. 5．(2013·浙江余姚中学高二期中)已知函数f (x )＝sin x ＋e x ＋x 2013，令f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1＝f n ′(x )，则f 2014(x )＝( )A ．sin x ＋e xB ．cos x ＋e xC ．－sin x ＋e xD ．－cos x ＋e x[答案] C[解析] f 1(x )＝f ′(x )＝cos x ＋e x ＋2013x 2012，f 2(x )＝f 1′(x )＝－sin x ＋e x ＋2013×2012x 2011，f 3(x )＝f 2′(x )＝－cos x ＋e x ＋2013×2012×2011x 2010，……，∴f 2014(x )＝－sin x ＋e x .6．(2014·贵州湄潭中学高二期中)函数f (x )＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是( ) A.12 B ．－1 C ．0 D ．1[答案] D[解析] 由f ′(x )＝3－12x 2＝0得，x ＝±12，∵x ∈[0,1]，∴x ＝12，∵当x ∈[0，12]，f ′(x )>0，当x ∈[12，1]时，f ′(x )<0，∴f (x )在[0，12]上单调递增，在[12，1]上单调递减，故x ＝12时，f (x )取到极大值也是最大值，f (12)＝3×12－4×(12)3＝1，故选D.7．设x ＝3＋4i ，则复数z ＝x －|x |－(1－i)在复平面上的对应点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] B[解析] ∵x ＝3＋4i ，∴|x |＝32＋42＝5， ∴z ＝3＋4i －5－(1－i)＝(3－5－1)＋(4＋1)i ＝－3＋5i.∴复数z 在复平面上的对应点在第二象限，故应选B.8．k 棱柱有f (k )个对角面，则k ＋1棱柱的对角面个数f (k ＋1)为( ) A ．f (k )＋k －1 B ．f (k )＋k ＋1 C ．f (k )＋k D ．f (k )＋k －2[答案] A[解析] 增加的一条侧棱与其不相邻的k －2条侧棱形成k －2个对角面，而过与其相邻的两条侧棱的截面原来为侧面，现在也成了一个对角面，故共增加了k －1个对角面，∴f (k ＋1)＝f (k )＋k －1.故选A.9．(2014·揭阳一中高二期中)函数y ＝a sin x ＋13sin3x 在x ＝π3处有极值，则a 的值为( )A ．－6B ．6C ．－2D ．2[答案] D[解析] y ′＝a cos x ＋cos3x ，由条件知，a cos π3＋cosπ＝0，∴a ＝2，故选D.10．(2014·淄博市临淄区检测)下列求导运算正确的是( ) A ．(2x )′＝x ·2x －1B ．(3e x )′＝3e xC ．(x 2－1x )′＝2x －1x 2D ．(xcos x )′＝cos x －x sin x (cos x )2[答案] B[解析] 对于A ，(2x )′＝2x ln2；对于B ，(3e x )′＝3e x ；对于C ，(x 2－1x )′＝2x ＋1x 2；对于D ，(xcos x )′＝cos x ＋x sin x (cos x )2；综上可知选B.11．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋ (1)2n －1<f (n ) (n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n＝k 变到n ＝k ＋1时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．2k－1项D ．2k 项[答案] D[解析] n ＝k ＋1时，左边为： 1＋12＋13＋…＋12k ＋1－1＝⎝⎛⎭⎫1＋12＋13＋…＋12k －1＋⎝⎛⎭⎫12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋2k －1， 故共增加了2k 项，故选D.12．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调减区间是( ) A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1]∪(0,1]D ．[－1,0)∪(0,1][答案] A[解析] 函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x，由f ′(x )≤0及x >0得，0<x ≤1，故选A. [点评] 利用导数判断函数单调性的一般步骤①求导数f ′(x )；②在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )＞0和f ′(x )＜0； ③根据②的结果确定函数f (x )的单调区间．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．(2013·山东嘉祥一中高二期中)在等比数列{a n }中，若前n 项之积为T n ，则有T 3n ＝(T 2nT n)3.那么在等差数列{b n }中，若前n 项之和为S n ，用类比的方法得到的结论是________． [答案] S 3n ＝3(S 2n －S n )[解析] 由等比数列前n 项积，前2n 项的积，前3n 项的积类比得到等差数列前n 项的和，前2n 项的和，前3n 项的和，由等比数列中(T 2nT n )3类比得等差数列中3(S 2n －S n )，故有S 3n ＝3(S 2n －S n )．14．已知函数f (x )＝x 3＋2x 2－ax ＋1在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围是________．[答案] [－1,7)[解析] f ′(x )＝3x 2＋4x －a ，其图象开口向上，由条件知f ′(－1)·f ′(1)<0，∴(－1－a )(7－a )<0，∴－1<a <7，当a ＝－1时，f ′(x )＝3x 2＋4x ＋1＝0，在(－1,1)上恰有一根x ＝－13，当a ＝7时，f ′(x )＝0在(－1,1)上无实根，∴－1≤a <7.15．(2014·天门市调研)若复数z ＝21＋3i ，其中i 是虚数单位，则|z －|＝________.[答案] 1[解析] 因为z ＝21＋3i ＝2(1－3i )(1＋3i )(1－3i )＝2(1－3i )4＝12－32i ，所以|z －|＝(12)2＋(－32)2＝1. 16．(2013·玉溪一中高三月考)已知不等式1－3x ＋a <0的解集为(－1,2)，则⎠⎛02(1－3x ＋a )dx＝________.[答案] 2－3ln3[解析] 由条件知方程1－3x ＋a ＝0的根为－1或2，∴a ＝1.∴⎠⎛02(1－3x ＋a )dx ＝⎠⎛02(1－3x ＋1)dx ＝ |[x －3ln (x ＋1)]20＝2－3ln3.三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)(2014·洛阳市高二期中)已知z 1、z 2为复数，i 为虚数单位，z 1·z －1＋3(z 1＋z －1)＋5＝0，z 2＋3z 2－3为纯虚数，z 1、z 2在复平面内对应的点分别为P 、Q .(1)求点P 的轨迹方程； (2)求点Q 的轨迹方程； (3)写出线段PQ 长的取值范围．[解析] (1)设z 1＝x ＋y i ，(x 、y ∈R )，由z 1·z －1＋3(z 1＋z －1)＋5＝0得x 2＋y 2＋6x ＋5＝0，整理得(x ＋3)2＋y 2＝4，∴点P 的轨迹方程为(x ＋3)2＋y 2＝4. (2)设z 2＝x ＋y i ，(x 、y ∈R )， z 2＋3z 2－3＝x ＋3＋y i x －3＋y i ＝x 2＋y 2－9－6y i(x －3)2＋y 2， ∵z 2＋3z 2－3为纯虚数，∴x 2＋y 2＝9且y ≠0， ∴点Q 的轨迹方程为x 2＋y 2＝9(y ≠0)． (3)PQ 长的取值范围是[0,8)． ∵两圆相交，∴PQ 长的最小值为0，又两圆圆心距为3，两圆半径分别为2和3，∴PQ 长的最大值为8，但点Q 的轨迹方程中y ≠0，∴|PQ |<8，∴线段PQ 长的取值范围是[0,8)．[点评] 第(3)问要求“写出线段PQ 长的取值范围”可以不写解答过程．18．(本题满分12分)(2014·四川文，21)已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a 、b ∈R ，e ＝2.71828…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0,1)内有零点，证明：e －2<a <1. [解析] (1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，有g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b . 所以g ′(x )＝e x －2a .当x ∈[0,1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0,1]上单调递增．因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0,1]上单调递减，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ； 当12<a <e2时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0,1)．所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 于是，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12<a <e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b 当a ≥e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .(2)设x 0为f (x )在区间(0,1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知， f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减． 则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负． 故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1.同理g (x )在区间(x 0,1)内存在零点x 2，所以g (x )在区间(0,1)内至少有两个零点． 由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上单调递增，故g (x )在(0,1)内至多有一个零点．当a ≥e2时，g (x )在[0,1]上单调递减，故g (x )在(0,1)内至多有一个零点．所以12<a <e 2.此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 因此x 1∈(0，ln(2a )]，x 2∈(ln(2a )，1)，必有 g (0)＝1－b >0，g (1)＝e －2a －b >0. 由f (1)＝0有a ＋b ＝e －1<2，有 g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0. 解得e －2<a <1.所以，函数f (x )在区间(0,1)内有零点时，e －2<a <1.19．(本题满分12分)先观察不等式(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)≥(a 1b 1＋a 2b 2)2(a 1、a 2、b 1、b 2∈R )的证明过程：设平面向量α＝(a 1，b 1)，β＝(a 2，b 2)，则|α|＝a 21＋b 21，|β|＝a 22＋b 22，α·β＝a 1a 2＋b 1b 2. ∵|α·β|≤|α|·|β|，∴|a 1a 2＋b 1b 2|≤a 21＋b 21·a 22＋b 22， ∴(a 1a 2＋b 1b 2)2≤(a 21＋b 21)(a 22＋b 22)，再类比证明：(a 21＋b 21＋c 21)(a 22＋b 22＋c 22)≥(a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2)2.[分析] 把平面向量类比推广到空间向量可以证明．[解析] 设空间向量α＝(a 1，b 1，c 1)，β＝(a 2，b 2，c 2)，则|α|＝a 21＋b 21＋c 21，|β|＝a 22＋b 22＋c 22，α·β＝a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2， ∵|α·β|≤|α|·|β|， ∴|a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2|≤a 21＋b 21＋c 21·a 22＋b 22＋c 22，∴(a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2)2≤(a 21＋b 21＋c 21)(a 22＋b 22＋c 22)．20．(本题满分12分)设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0<x <2π，求函数f (x )的单调区间与极值．[解析] f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1＝2sin(x ＋π4)＋1 (0<x <2π)，令f ′(x )＝0，即sin(x ＋π4)＝－22，解之得x ＝π或x ＝32π.x ，f ′(x )以及f (x )变化情况如下表：∴f (x )的单调增区间为(0，π)和(32π，2π)，单调减区间为(π，32π)．f 极大(x )＝f (π)＝π＋2，f 极小(x )＝f (32π)＝3π2.21．(本题满分12分)(2013·海淀区高二期中)已知点列A n (x n,0)，n ∈N *，其中x 1＝0，x 2＝a (a >0)，A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…A n 是线段A n －2A n －1的中点，….(1)写出x n 与x n －1、x n －2之间的关系式(n ≥3)；(2)设a n ＝x n ＋1－x n ，计算a 1、a 2、a 3，由此推测数列{a n }的通项公式，并加以证明． [解析] (1)由题意，当n ≥3时，x n ＝12(x n －1＋x n －2)(2)x 1＝0，x 2＝a ，x 3＝12(x 2＋x 1)＝a 2，x 4＝12(x 3＋x 2)＝3a4，∴a 1＝x 2－x 1＝a ，a 2＝x 3－x 2＝－a 2，a 3＝x 4－x 3＝a4，推测a n ＝a(－2)n －1.方法一证明：对于任意n ∈N *，a n ＝x n ＋1－x n ，a n ＋1＝x n ＋2－x n ＋1＝12(x n ＋1＋x n )－x n ＋1＝－12(x n ＋1－x n )＝－12a n ，又∵a 1＝a >0，∴{a n }是以a 为首项，以－12为公比的等比数列．故a n ＝a ·(－12)n －1＝a(－2)n －1. 方法二下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝a ＝a ·(－12)1－1，结论a n ＝a (－2)n －1成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N )时，a n ＝a (－2)n －1成立，即a k＝a ·(－12)k －1， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝x k ＋2－x k ＋1＝x k ＋x k ＋12－x k ＋1＝x k －x k ＋12＝－12a k ＝(－12)·a ·(－12)k －1＝a ·(－12)(k ＋1)－1，所以n ＝k ＋1时，a n ＝a(－2)n －1成立． 由①②可知，数列{a n }的通项公式为a n ＝a ·(－12)n －1，n ∈N *.22．(本题满分14分)(2014·贵州湄潭中学高二期中)设函数f (x )＝x ln x . (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[18，12]上的最大值和最小值．[解析] (1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)． ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1， 令f ′(x )＝0，得x ＝1e ，令f ′(x )>0，得x >1e ，令f ′(x )<0，得0<x <1e，∴f (x )的单调递增区间为(1e ，＋∞)，单调递减区间为(0，1e )．(2)∵f (18)＝18ln 18＝38ln 12，f (12)＝12ln 12， f (1e )＝1e ln 1e ＝－1e，又12ln 12<38ln 12， ∴求f (x )在区间[18，12]的最大值为38ln 12，最小值为－1e.一、选择题1．i 是虚数单位，复数z ＝2＋3i－3＋2i 的虚部是( )A ．0B ．－1C ．1D ．2[答案] B[解析] z ＝2＋3i －3＋2i ＝(2＋3i )(－3－2i )(－3＋2i )(－3－2i )＝－6－9i －4i ＋613＝－i ，∴z 的虚部是－1.2．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋3＝0垂直，则a ＝( )A ．－2B ．－12C ．12D ．2[答案] A[解析] y ′＝－2(x －1)2，y ′|x ＝3＝－12， ∵(－12)·(－a )＝－1，∴a ＝－2.3．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N *)时，验证n ＝1，左边应取的项是( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4[答案] D[解析] 当n ＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D.4．(2013·辽宁实验中学高二期中)三次函数当x ＝1时有极大值4，当x ＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是( )A ．y ＝x 3＋6x 2＋9xB ．y ＝x 3－6x 2＋9xC ．y ＝x 3－6x 2－9xD ．y ＝x 3＋6x 2－9x[答案] B[解析] 由条件设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝3a (x －1)(x －3)，∴b ＝－6a ，c ＝9a ，∴f (x )＝ax 3－6ax 2＋9ax ，∵f (1)＝4，∴a ＝1. ∴f (x )＝x 3－6x 2＋9x ，故选B.5．在复平面内，点A 对应的复数为1＋2i ，AB →＝(－2,1)，则点B 对应的复数的共轭复数为( )A ．1＋3iB ．1－3iC ．－1＋3iD ．－1－3i[答案] D[解析] 由条件知A (1,2)，又AB →＝(－2,1)， ∴B (－1,3)，∴点B 对应复数z ＝－1＋3i ， 故z －＝－1－3i.6．已知函数f (x )＝x 2＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线l 与直线3x －y ＋2＝0平行，若数列{1f (n )}的前n 项和为S n ，则S 2013的值为( )A.20122013 B ．20112012C ．20092010D ．20102011[答案] A[解析] f ′(x )＝2x ＋b ，由f ′(1)＝2＋b ＝3，得b ＝1. 则f (x )＝x 2＋x .于是1f (n )＝1n 2＋n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，S 2013＝1f (1)＋1f (2)＋…＋1f (2013)＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(12012－12013)＝1－12013＝20122013.7．(2014·淄博市临淄区检测)已知函数f (x )＝x 3－12x ，若f (x )在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则实数m 的取值范围是( )A ．－1≤m ≤1B ．－1<m ≤1C ．－1<m <1D ．－1≤m <1[答案] D[解析] 因为f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)，令f ′(x )<0⇒－2<x <2，所以函数f (x )＝x 3－12x 的单调递减区间为(－2,2)，要使f (x )在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则区间(2m ，m＋1)是区间(－2,2)的子区间，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ≥－2，m ＋1≤2，m ＋1>2m .从中解得－1≤m <1，选D.8．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于( ) 1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1111 1234×9＋5＝11111 12345×9＋6＝111111 …… A ．1111110 B ．1111111 C ．1111112 D ．1111113[答案] B[解析] 可利用归纳推理，由已知可猜测123456×9＋7＝1111111.9．(2012·江西文，5)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4 , |x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8, |x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．92 [答案] B[解析] 本题考查了不完全归纳．由已知条件知|x |＋|y |＝n 的不同整数解(x ，y )个数为4n ，所以|x |＋|y |＝20不同整数解(x ，y )的个数为4×20＝80.10．(2012·大纲全国理，1)复数－1＋3i1＋i ＝( )A ．2＋iB ．2－iC ．1＋2iD ．1－2i [答案] C[解析] 本小题主要考查了复数四则运算法则，可利用除法运算求解．因为－1＋3i1＋i＝(－1＋3i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2＋4i2＝1＋2i ，所以选C.11．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．289B ．1024C ．1225D ．1378[答案] C[解析] 图1中满足a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，以上累加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ，a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n ·(n ＋1)2，图2中满足b n ＝n 2，一个数若满足三角形数，其必能分解成两个相邻自然数乘积的一半； 一个数若满足正方形数，其必为某个自然数的平方． ∵1225＝352＝49×502，∴选C.12．(2014·辽宁理，11)当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3]B ．[－6，－98]C ．[－6，－2]D ．[－4，－3][答案] C[解析] ax 3≥x 2－4x －3恒成立．当x ＝0时式子恒成立．∴a ∈R ， 当x >0时，a ≥1x －4x 2－3x 3恒成立．令1x ＝t ，x ∈(0,1]，∴t ≥1. ∴a ≥t －4t 2－3t 3恒成立．令g (t )＝t －4t 2－3t 3，g ′(t )＝1－8t －9t 2＝(t ＋1)(－9t ＋1)， ∴函数g ′(t )在[1，＋∞)上为减函数 而且g ′(1)＝－16<0，∴g ′(t )<0在[1，＋∞)上恒成立． ∴g (t )在[1，＋∞)上是减函数，∴g (t )max ＝g (1)＝－6，∴a ≥－6； 当x <0时，a ≤1x －4x 2－3x 3恒成立，∵x ∈[－2,0)，∴t ≤－12，令g ′(t )＝0得，t ＝－1，∴g (t )在(－∞，－1]上为减函数，在(－1，－12]上为增函数，∴g (t )min ＝g (－1)＝－2，∴a ≤－2. 综上知－6≤a ≤－2. 二、填空题13．请阅读下列材料：若两个正实数a 1、a 2满足a 21＋a 22＝1，那么a 1＋a 2≤ 2.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1.因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2)2－8≤0，所以a 1＋a 2≤ 2.类比上述结论，若n 个正实数满足a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，你能得到的结论为________．[答案] a 1＋a 2＋…＋a n ≤n (n ∈N *)[解析] 构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋1， ∵f (x )≥0对任意实数x 都成立， ∴Δ＝4(a 1＋a 2＋…＋a n )2－4n ≤0，∵a 1，a 2，…，a n 都是正数，∴a 1＋a 2＋…＋a n ≤n .14．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式： 22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7； 23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19.根据上述分解规律，若n 2＝1＋3＋5＋…＋19，m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是21，则m ＋n 的值为________．[答案] 15[解析] 依题意得n 2＝10×(1＋19)2＝100，∴n ＝10.易知m 3＝21m ＋m (m －1)2×2，整理得(m －5)(m ＋4)＝0， 又m ∈N *，所以m ＝5，即53＝21＋23＋25＋27＋29，所以m ＋n ＝15.15．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝________.[答案]22[解析] ∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x|π0＝2>2，∴2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22.16．(2013·天津红桥区高二质检)已知结论“a 1、a 2∈R ＋，且1a 1＋1a 2≥4：若a 1、a 2、a 3∈R ＋，且a 1＋a 2＋a 3＝1，则1a 1＋1a 2＋1a 3≥9”，请猜想若a 1、a 2、…、a n ∈R ＋，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，则1a 1＋1a 2＋…＋1a n≥________.[答案] n 2[解析] 结论左端各项分别是和为1的各数a i 的倒数(i ＝1,2，…，n )，右端n ＝2时为4＝22，n ＝3时为9＝32，故a i ∈R ＋，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1时，结论为1a 1＋1a 2＋…＋1a n≥n 2(n ≥2)．三、解答题17．已知非零实数a 、b 、c 构成公差不为0的等差数列，求证：1a ，1b ，1c 不可能构成等差数列．[解析] 假设1a ，1b ，1c 能构成等差数列，则得2b ＝1a ＋1c ，于是得bc ＋ab ＝2ac .①而由于a ，b ，c 构成等差数列，即2b ＝a ＋c .②所以由①②两式得，(a ＋c )2＝4ac ，即(a －c )2＝0，于是得a ＝b ＝c ，这与a ，b ，c 构成公差不为0的等差数列矛盾．故假设不成立，因此1a ，1b ，1c不能构成等差数列．18．已知函数f (x )＝(2－a )x －2ln x ，(a ∈R )． (1)若函数f (x )在x ＝1处取得极值，求实数a 的值； (2)求函数f (x )的单调区间．[解析] (1)由题可知f ′(x )＝2－a －2x(x >0)，令f ′(x )＝0得2－a －2x ＝0，∴x ＝22－a ，又因为函数f (x )在x ＝1处取得极值，所以a ＝0.(2)①若a ＝2，f ′(x )＝－2x <0(x >0)，f (x )＝－2ln x 的单调递减区间为(0，＋∞)；②若2－a <0，即a >2时，f ′(x )＝2－a －2x 在(0，＋∞)上小于0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减；③若2－a >0，即a <2时，当x >22－a 时f ′(x )>0，f (x )单调递增，0<x <22－a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上：a ≥2时，f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)；a <2时，f (x )的单调递增区间为(22－a ，＋∞)，单调递减区间为(0，22－a)．19．设函数f (x )＝ax ＋xx －1(x >1)，若a 是从1、2、3三个数中任取的一个数，b 是从2、3、4、5四个数中任取的一个数，求f (x )>b 恒成立的概率．[解析] 若使f (x )>b 恒成立，只需使ax ＋xx －1－b >0在(1，＋∞)上恒成立． 设g (x )＝ax ＋x x －1－b ，则g ′(x )＝a －1(x －1)2＝a (x －1)2－1(x －1)2，令g ′(x )＝0，则a (x －1)2－1＝0， 解得：x ＝±aa ＋1，∴x ∈(1，aa＋1)时，g ′(x )<0， x ∈(aa＋1，＋∞)时，g ′(x )>0. ∴x ＝aa＋1时，函数g (x )取得最小值为 g (aa＋1)＝2a ＋a ＋1－b ， ∴2a ＋a ＋1－b >0，∴当a ＝1时，b 的值可以是2或3， 当a ＝2时，b 的值可以是2或3或4或5， 当a ＝3时，b 的值可以是2或3或4或5.∴使f (x )>b 恒成立的取法共有10种，而数对(a ，b )的所有可能取法共有12种，∴使f (x )>b 恒成立的概率为P ＝1012＝56.20．若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .[解析] 要证lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c ，只需证lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg(a ·b ·c )，只需证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc .∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，c ＋a 2≥ac >0， 且上述三式中的等号不同时成立． ∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2>abc . ∴lga ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c . 21．已知函数f (x )＝12x 2－ax ＋(a －1)ln x .(1)若a >2，讨论函数f (x )的单调性；(2)已知a ＝1，g (x )＝2f (x )＋x 3，若数列{a n }的前n 项和为S n ＝g (n )，证明：1a 2＋1a 3＋…＋1a n <13(n ≥2，n ∈N ＋)． [解析] (1)可知f (x )的定义域为(0，＋∞)．有 f ′(x )＝x －a ＋a －1x ＝x 2－ax ＋a －1x＝(x －1)[x －(a －1)]x，因为a >2，所以a －1>1.故当1<x <a －1时f ′(x )<0；当0<x <1或x >a －1时f ′(x )>0.∴函数f (x )在区间(1，a －1)上单调递减，在区间(0,1)和(a －1，＋∞)上单调增加． (2)由a ＝1知g (x )＝x 3＋x 2－2x ，所以S n ＝n 3＋n 2－2n .可得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n 2－n －2，(n ≥2)，0，(n ＝1).∴a n ＝3n 2－n －2(n ≥2)． 所以1a n ＝1(3n ＋2)(n －1)(n ≥2)．因为1(3n ＋2)(n －1)<13n (n －1)＝13(1n －1－1n)，所以1a 2＋1a 3＋…＋1a n <13[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n )]＝13(1－1n )＝13－13n <13， 综上，不等式得证．22．(2014·揭阳一中高二期中)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x (a <0)．(1)若函数f (x )在定义域内单调递增，求a 的取值范围；(2)若a ＝－12且关于x 的方程f (x )＝－12x ＋b 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围；(3)设各项为正的数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝ln a n ＋a n ＋2，n ∈N *，求证：a n ≤2n －1. [解析] (1)f ′(x )＝－ax 2＋2x －1x(x >0)．依题意f ′(x )≥0在x >0时恒成立，即ax 2＋2x －1≤0在x >0时恒成立， 则a ≤1－2x x 2＝(1x －1)2－1在x >0时恒成立，即a ≤((1x －1)2－1)min (x >0)，当x ＝1时，(1x －1)2－1取最小值－1，∴a 的取值范围是(－∞，－1]．(2)a ＝－12，f (x )＝－12x ＋b ⇔14x 2－32x ＋ln x －b ＝0.设g (x )＝14x 2－32x ＋ln x －b (x >0)，则g ′(x )＝(x －2)(x －1)2x.g (x )，g ′(x )随x 的变化如下表：∴g (x )极小值＝g (2)＝ln2－b －2，g (x )极大值＝g (1)＝－b －54，又g (4)＝2ln2－b －2，∵方程g (x )＝0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根．则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (4)≥0.得ln2－2<b ≤－54.(3)设h (x )＝ln x －x ＋1，x ∈[1，＋∞)，则h ′(x )＝1x －1≤0，∴h (x )在[1，＋∞)上为减函数．∴h (x )max ＝h (1)＝0，故当x ≥1时有ln x ≤x －1. ①当n ＝1时，a 1＝1≤1成立；②假设n ＝k 时，a k ≤2k －1，则当n ＝k ＋1时， ∵2k －1≥1，∴ln(2k －1)≤(2k －1)－1＝2k －2， ∴a k ＋1＝ln a k ＋a k ＋2≤ln(2k －1)＋(2k －1)＋2 ≤(2k －2)＋(2k －1)＋2＝2k ＋1－1，所以当n ＝k ＋1时结论也成立，由①②得，对∀n ∈N *有a n ≤2n －1成立．。

选修2-3 第二章 2.3 2.3.1一、选择题1．若X 是一个随机变量，则E (X －E (X ))的值为( ) A ．无法求 B ．0 C ．E (X ) D ．2E (X )[答案] B[解析] 只要认识到E (X )是一个常数，则可直接运用均值的性质求解． ∵E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，而E (X )为常数， ∴E (X －E (X ))＝E (X )－E (X )＝0.2．(2013·湖北理，9)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的均值E (X )＝( )A ．126125B ．65C ．168125D ．75[答案] B[解析] 题意知X ＝0、1、2、3，P (X ＝0)＝27125，P (X ＝1)＝54125，P (X ＝2)＝36125，P (X ＝3)＝8125，∴E (X )＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝150125＝65.3．(2013·北师大附中高二期中)已知离散型随机变量X 的分布列如下：A ．1B ．0.6C ．2＋3mD ．2.4[答案] D[解析] 由0.5＋m ＋0.2＝1得，m ＝0.3，∴E (x )＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4. 4．甲、乙两人分别独立参加某高校自主招生面试，若甲、乙能通过面试的概率都是23，则面试结束后通过的人数ξ的期望是( )A ．43B ．119C ．1D ．89[答案] A[解析] 依题意，ξ的取值为0、1、2. 且P (ξ＝0)＝(1－23)×(1－23)＝19，P (ξ＝1)＝23×(1－13)＋(1－23)×13＝49，P (ξ＝2)＝23×23＝49.故ξ的期望E (ξ)＝0×19＋1×49＋2×49＝129＝43.5．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X ，则E (X )＝( )A ．0.765B ．1.75C ．1.765D ．0.22 [答案] B[解析] 设A 、B 分别为每台雷达发现飞行目标的事件，X 的可能取值为0、1、2， P (X ＝0)＝P (A ·B )＝P (A )·P (B )＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015.P (X ＝1)＝P (A ·B ＋A ·B )＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＝0.9×0.15＋0.1×0.85＝0.22. P (X ＝2)＝P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.9×0.85 ＝0.765.∴E (X )＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.6．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取到次品的个数，则E (X )等于( )A ．35B ．815C ．1415D ．1[答案] A[解析] X ＝1时，P ＝C 17C 13C 210；X ＝2时，P ＝C 23C 210.∴E (X )＝1×C 17C 13C 210＋2×C 23C 210＝7×3＋2×3C 210＝35，故选A. 二、填空题7．(2014·浙北名校联盟联考)一袋中装有分别标记着1、2、3数字的3个小球，每次从袋中取出一个球(每只小球被取到的可能性相同)，现连续取3次球，若每次取出一个球后放回袋中，记3次取出的球中标号最小的数字与最大的数字分别为X 、Y ，设ξ＝Y －X ，则E (ξ)＝__________________.[答案] 43[解析] 由题意知ξ的取值为0、1、2，ξ＝0，表示X ＝Y ，ξ＝1表示X ＝1，Y ＝2；或X ＝2，Y ＝3；ξ＝2表示X ＝1，Y ＝3.∴P (ξ＝0)＝333＝19，P (ξ＝1)＝2×2×333＝49，P (ξ＝2)＝2×3＋A 3333＝49， ∴E (ξ)＝0×19＋1×49＋2×49＝43.8．设p 为非负实数，随机变量X 的概率分布为：则E (X )[答案] 32[解析] 由表可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤12－p ≤1，0≤p ≤1，从而得P ∈[0，12]，期望值E (X )＝0×(12－p )＋1×p＋2×12＝p ＋1，当且仅当p ＝12时，E (X )最大值＝32.9．(2014·哈师大附中高二期中)一批型号相同的产品，其中有2件次品、5件正品，每次抽一件测试，直到将两件次品全部区分为止．假设抽后不放回，则第5次测试后停止的概率是________．[答案]421[解析] “第五次测试后停止”的含义是：在前四次测试中有一件次品，第五次测试结果为次品，故所求概率为P ＝C 12·C 35C 47·1C 13＝421.三、解答题10．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，试回答下列问题：(1)若直到取到好电池为止，求抽取次数ξ的分布列及均值；(2)若将题设中的无放回改为有放回，求检验5次取到好电池个数X 的数学期望． [解析] (1)ξ可取的值为1、2、3， 则P (ξ＝1)＝35，P (ξ＝2)＝25×34＝310，P (ξ＝3)＝25×14×1＝110，抽取次数ξ的分布列为：E (ξ)＝1×35＋2×310＋3×110＝1.5.(2)每次检验取到好电池的概率均为35，故X ～B (n ，p )，即X ～B (5，35)，则E (X )＝5×35＝3.一、选择题11．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的均值为( )A ．100B ．200C ．300D ．400[答案] B[解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1000,0.1)，所以E (ξ)＝1000×0.1＝100，而X ＝2ξ，故EX ＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200，故选B.12．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a 、b 、c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝|a －b |的取值，则ξ的数学期望E (ξ)为( )A ．89B ．35C ．25D ．13[答案] A[解析] ∵抛物线的对称轴在y 轴的左侧， ∴－b 2a <0，即ba >0，∴a 与b 同号．∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝0×13＋1×49＋2×29＝89.[点评] 基本事件只与a 、b 的取值有关，故可不必考虑c 的取值；a 、b 同号的所有可能取法有2×(3×3)＝18种，由于ξ＝|a －b |，∴a 、b 同正和a 、b 同负时，ξ的取值只有0、1、2三种．13．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．2[答案] A[解析] 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0、1、2，P (ξ＝0)＝C 27－x C 27＝(7－x )(6－x )42，P (ξ＝1)＝C 1x ·C 17－xC 27＝x (7－x )21， P (ξ＝2)＝C 2xC 27＝x (x －1)42，∴0×(7－x )(6－x )42＋1×x (7－x )21＋2×x (x －1)42＝67，∴x ＝3. 二、填空题14．设离散型随机变量X 可能取的值为1、2、3、4.P (X ＝k )＝ak ＋b (k ＝1、2、3、4)．又X 的均值E (X )＝3，则a ＋b ＝________.[答案]110[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋b )×1＋(2a ＋b )×2＋(3a ＋b )×3＋(4a ＋b )×4＝3，(a ＋b )＋(2a ＋b )＋(3a ＋b )＋(4a ＋b )＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧30a ＋10b ＝3，10a ＋4b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝110b ＝0，∴a ＋b ＝110.15．已知随机变量ξ和η，其中η＝4ξ－2，且E (η)＝7，若ξ的分布列如下表，则n 的值为________.[答案] 13[分析] 由分布列的性质可得m 与n 的一个方程，由期望的定义与性质可得m 与n 的另一个方程，两方程联立可解得m 、n .[解析] η＝4ξ－2⇒E (η)＝4E (ξ)－2⇒7＝4·E (ξ)－2⇒E (ξ)＝94⇒94＝1×14＋2×m ＋3×n ＋4×112，又14＋m ＋n ＋112＝1，联立求解可得n ＝13. [点评] 这一部分内容公式较多，熟记离散型随机变量的期望、方差的定义式及其性质，熟记各种概率分布的期望、方差公式是正确解答概率分布问题的先决条件．三、解答题16．购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1－0.999104.(1)求一投保人在一年度内出险的概率p ；(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000 元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元)．[解析] 各投保人是否出险相互独立，且出险的概率都是p ，记投保的10 000人中出险的人数为ξ，则ξ～B (104，p )．(1)记A 表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则A 发生当且仅当ξ＝0，P (A )＝1－P (A )＝1－P (ξ＝0)＝1－(1－p )104，又P (A )＝1－0.999104，故p ＝0.001.(2)该险种总收入为10 000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和． 支出：10 000ξ＋50 000，盈利：η＝10 000a －(10 000ξ＋50 000)， 盈利的期望为：E (η)＝10 000a －10 000E (ξ)－50 000， 由ξ～B (104,10－3)知，E (ξ)＝10 000×10－3，E (η)＝104a －104E (ξ)－5×104 ＝104a －104×104×10－3－5×104.E (η)≥0⇔104a －104×10－5×104≥0⇔a －10－5≥0⇔a ≥15(元)． 故每位投保人应交纳的最低保费为15元．17．(2014·深圳市二调)某班联欢晚会玩飞镖投掷游戏，规则如下：每人连续投掷5支飞镖，累积3支飞镖掷中目标即可获奖；否则不获奖．同时要求在以下两种情况下中止投掷：①累积3支飞镖掷中目标；②累积3支飞镖没有掷中目标．已知小明同学每支飞镖掷中目标的概率是常数p (p >0.5)，且掷完3支飞镖就中止投掷的概率为13.(1)求p 的值；(2)记小明结束游戏时，投掷的飞镖支数为X ，求X 的分布列和数学期望． [解析] (1)由已知P (X ＝3)＝p 3＋(1－p )3＝13，解得p ＝13或p ＝23.∵p >0.5，∴p ＝23.(2)X 的所有可能取值为3,4,5. P (X ＝3)＝13，P (X ＝4)＝[C 23×(23)2×13]×23＋[C 23×(13)2×23]×13＝1027， P (X ＝5)＝C 24×(23)2×(13)2＝827(或P (X ＝5)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝827)． X 的分布列为∴X 的数学期望为E (X )＝3×13＋4×1027＋5×827＝10727.。

模块综合检测(能力卷)时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2016·福州高二检测)某机构对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为y ＝45x ＋a ，若某儿童记忆能力为12，则他的识图能力为导学号 03960726( )A ．9.2B ．9.8C ．9.5D ．10[答案] C[解析] ∵x －＝14(4＋6＋8＋10)＝7；y －＝14(3＋5＋6＋8)＝5.5，∴样本的中心点坐标为(7,5.5)， 代入回归方程得：5.5＝45×7＋a ^，∴a ^＝－0.1. ∴y ^＝0.8x －0.1，当x ＝12时，y ^＝0.8×12－0.1＝9.5，故选C ．2．(2016·四川理，2)设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为导学号 03960753( )A ．－15x 4B ．15x 4C ．－20i x 4D ．20i x 4[答案] A[解析] (x ＋i)6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x6－r i r (r ＝0,1,2，…，6)，令r ＝2，得含x 4的项为C 26x 4i 2＝－15x 4，故选A ．3．若随机变量ξ～N (－2,4)，则ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在下列哪个区间上取值的概率导学号 03960727( )A ．(2,4]B ．(0,2]C ．[－2,0)D ．(－4,4][解析]此正态曲线关于直线x＝－2对称，∴ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在[－2,0)上取值的概率．4．设A＝37＋C27·35＋C47·33＋C67·3，B＝C17·36＋C37·34＋C57·32＋1，则A－B的值为导学号03960728()A．128 B．129C．47D．0[答案] A[解析]A－B＝37－C17·36＋C27·35－C37·34＋C47·33－C57·32＋C67·3－1＝(3－1)7＝27＝128，故选A．5．独立性检验中，假设H0：变量X与变量Y没有关系，则在H0成立的情况下，P(k2≥6.635)＝0.010表示的意义是导学号03960729()A．变量X与变量Y有关系的概率为1%B．变量X与变量Y没有关系的概率为99.9%C．变量X与变量Y没有关系的概率为99%D．变量X与变量Y有关系的概率为99%[答案] D[解析]由题意知变量X与Y没有关系的概率为0.01，即认为变量X与Y有关系的概率为99%.6．(2016·四川理，4)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为导学号03960730()A．24 B．48C．60 D．72[答案] D[解析]由题意，可知个位可以从1,3,5中任选一个，有A13种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列，有A44种方法，所以奇数的个数为A13A44＝3×4×3×2×1＝72，故选D．7．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为导学号03960731()A．360 B．520C．600 D．720[解析] 当甲、乙两人中只有一人参加时，有C 12·C 35·A 44＝480种方法；当甲、乙两人都参加时，有C 22·C 25(A 44－A 22A 23)＝120种方法．由分类加法计数原理知，不同的发言顺序共有480＋120＝600种，故选C ．8．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A 组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X (单位：分)的数学期望为导学号 03960732( )A ．0.9B ．0.8C ．1.2D ．1.1[答案] A[解析] X 的取值为0、1、2， P (X ＝0)＝(1－0.4)(1－0.5)＝0.3，P (X ＝1)＝0.4×(1－0.5)＋(1－0.4)×0.5＝0.5， P (X ＝2)＝0.4×0.5＝0.2，∴E (X )＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9. 9．(2016·长沙二模)二项式(x －1x)6的展开式中常数项为导学号 03960733( ) A ．－15 B ．15 C ．－20 D ．20[答案] B [解析] 二项式(x －1x )6的展开式的通项是T r ＋1＝C r 6·x 6－r ·(－1x )r ＝C r 6·(－1)r·x 6－32r ，令6－32r ＝0，得r ＝4.因此，二项式(x －1x)6的展开式中的常数项是C 46·(－1)4＝15，故选B ． 10．某中学拟从4个重点研究性课题和6个一般研究性课题中各选2个课题作为本年度该校启动的课题项目，若重点课题A 和一般课题B 至少有一个被选中的不同选法种数是k ，那么二项式(1＋kx 2)6的展开式中x 4的系数为导学号 03960734( )A ．50000B ．52000C ．54000D ．56000[答案] C[解析] A 、B 均未被选中的种数有C 23C 25＝30，∴k ＝C 24C 26－30＝60.在(1＋60x 2)6展开式中，T r ＋1＝C r 6(60x 2)r ，令r ＝2，得T 3＝C 26602x 4＝54000x 4.故选C ．11．盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次数恰为3次的概率是导学号 03960735( )A ．18125B ．36125C ．44125D ．81125[答案] B[解析] 每次取到红球的概率为35，所求概率为C 12×35×25×35＝36125.故选B ． 12．已知0<a <1，方程a |x |＝|log a x |的实根个数为n ，且(x ＋1)n ＋(x ＋1)11＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 10(x ＋2)10＋a 11(x ＋2)11，则a 1等于导学号 03960736( )A ．－10B ．9C ．11D ．－12 [答案] B[解析] 作出y ＝a |x |(0<a <1)与y ＝|log a x |的大致图象如图所示，所以n ＝2.故(x ＋1)n ＋(x ＋1)11＝(x ＋2－1)2＋(x ＋2－1)11，所以a 1＝－2＋C 1011＝－2＋11＝9.故选B ．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．某校1000名学生的某次数学考试成绩X 服从正态分布，其密度函数曲线如图所示，则成绩X 位于区间(52,68]的人数大约是________.导学号 03960737[答案] 682[解析] 由题图知X ～N (μ，σ2)， 其中μ＝60，σ＝8，∴P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝P (52<X ≤68)＝0.6826. ∴人数为0.6826×1000≈682.14．随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝1.1，则D (X )＝________.导学号 03960738[答案] 0.49[解析] p ＝1－⎝⎛⎭⎫15＋310＝12，E (X )＝1.1＝0×15＋1×12＋310x ，解得x ＝2，所以D (X )＝15×(0－1.1)2＋12×(1－1.1)2＋310×(2－1.1)2＝0.49.15．(2016·临沂高二检测)如图所示，A 、B 两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X ，则P (X ≥8)＝________.导学号 03960739[答案] 45[解析] 由已知X 的取值为7,8,9,10.∵P (X ＝7)＝C 22C 12C 35＝15，P (X ＝8)＝C 22C 11＋C 22C 12C 35＝310， P (X ＝9)＝C 12C 12C 11C 35＝25， P (X ＝10)＝C 22C 11C 35＝110.∴X 的概率分布列为∴P (X ≥8)＝P (X ＝8)＋P (X ＝9)＋P (X ＝10)＝310＋25＋110＝45.16．一只电子蚂蚁在如图所示的网格线上由原点O (0,0)出发，沿向上或向右方向爬至点(m ，n )，(m ，n ∈N *)，记可能的爬行方法总数为f (m ，n )，则f (m ，n )＝________.导学号 03960740[答案] C m m ＋n[解析] 从原点O 出发，只能向上或向右方向爬行，记向上为1，向右为0，则爬到点(m ，n )需m 个0和n 个1.这样爬行方法总数f (m ，n )是m 个0和n 个1的不同排列方法数．m 个0和n 个1共占m ＋n 个位置，只要从中选取m 个放0即可．∴f (m ，n )＝C m m ＋n .(例如f (3,4)＝C 37其中0010111表示从原点出发后，沿右右上右上上上的路径爬行．) 三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？(列出算式即可)导学号 03960741(1)任何2名女生都不相邻，有多少种排法？ (2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？ (3)男生甲、乙、丙顺序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？[解析] (1)任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A 66·A 47种不同排法．(2)方法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有A 99种排法，若甲不在末位，则甲有A 18种排法，乙有A 18种排法，其余有A 88种排法，综上共有(A 99＋A 18A 18·A 88)种排法．方法二：甲在首位的共有A 99种，乙在末位的共有A 99种，甲在首位且乙在末位的有A 88种，因此共有(A 1010－2A 99＋A 88)种排法．(3)10人的所有排列方法有A 1010种，其中甲、乙、丙的排序有A 33种，其中只有一种符合题设要求，所以甲、乙、丙顺序一定的排法有A 1010A 33种．(4)男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的10人排列数相等，而10人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有12A 1010种排法．18．(本题满分12分)已知(x －12x )n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列.导学号 03960742(1)求展开式中的常数项；(2)求展开式中所有整式项．[解析] (1)T r ＋1＝C r n ·(x )n －r ·(12x )r ·(－1)r ， ∴前三项系数的绝对值分别为C 0n，12C 1n ，14C 2n ， 由题意知C 1n ＝C 0n＋14C 2n ， ∴n ＝1＋18n (n －1)，n ∈N *，解得n ＝8或n ＝1(舍去)， ∴T k ＋1＝C k 8·(x )8－k ·(－12x)k＝C k 8·(－12)k ·x 4－k,0≤k ≤8， 令4－k ＝0得k ＝4，∴展开式中的常数项为T 5＝C 48(－12)4＝358. (2)要使T k ＋1为整式项，需4－k 为非负数，且0≤k ≤8，∴k ＝0,1,2,3,4. ∴展开式中的整式项为：x 4，－4x 3,7x 2，－7x ，358.19．(本题满分12分)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800,502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0.导学号 03960743(1)求p 0的值；(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有 P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826， P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.9974.)(2)某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天要以不小于p 0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？[解析] (1)由于随机变量X 服从正态分布N (800,502)，故有μ＝800，σ＝50， P (700<X ≤900)＝0.9544. 由正态分布的对称性，可得p 0＝P (X ≤900)＝P (X ≤800)＋P (800<X ≤900) ＝12＋12P (700<X ≤900)＝0.9772. (2)设A 型、B 型车辆的数量分别为x 、y 辆，则相应的营运成本为1600x ＋2400y 依题意，x 、y 还需满足x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，P (X ≤36x ＋60y )≥p 0由(1)知，p 0＝P (X ≤900)，故P (X ≤36x ＋60y )≥p 0等价于36x ＋60y ≥900. 于是问题等价于求满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N.且使目标函数z ＝1600x ＋2400y 达到最小的x ，y .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1600x ＋2400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1600x ＋2400y 在y 轴上截距z2400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆．20．(本题满分12分)(2015·全国卷Ⅰ文，15)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值导学号 039607448i ＝1(x i －x )28i ＝1(w i －w )28i ＝1(x i －x )(y i －y ) 8i ＝1(w i －w )(y i －y )表中w i ＝x i ，w ＝18i ＝1w i .(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： (ⅰ)年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ (ⅱ)年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝ni ＝1 u i －uv i －vn i ＝1u i －u2，α^＝v －β^u .[解析] (1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2) 令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于d ^＝∑i ＝18w i －wy i －y∑i ＝18w i －w2＝108.81.6＝68， c ^＝y －d ^w ＝563－68×6.8＝100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ，因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x .(3)(ⅰ)由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ^＝100.6＋6849＝576.6， 年利润z 的预报值z ^＝0.2×576.6－49＝66.32. (ⅱ)根据(2)的结果知，年利润z 的预报值 z ^＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12.所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．21．(本题满分12分)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品.导学号 03960745(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？[解析] (1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为A ，则事件A 包含有“X ＝0”，“X ＝2”，“X ＝3”三个两两互斥的事件， 因为P (X ＝0)＝(1－23)×(1－25)＝15，P (X ＝2)＝23×(1－25)＝25，P (X ＝3)＝(1－23)×25＝215，所以P (A )＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1115，即这2人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X 1，都选择方案乙所获得的累计得分为X 2，则X 1、X 2的分布列如下：所以E (X 1)＝0×19＋2×49＋4×49＝83，E (X 2)＝0×925＋3×1225＋6×425＝125.因为E (X 1)>E (X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．22．(本题满分12分)(2016·山东理，19)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：导学号 03960746(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望E (X )．[解析] (1)记事件A ：“甲第一轮猜对”，记事件B ：“乙第一轮猜对”，记事件C ：“甲第二轮猜对”，记事件D ：“乙第二轮猜对”，记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”．由题意，E ＝ABCD ＋A －BCD ＋A B －CD ＋AB C －D ＋ABC D －.由事件的独立性与互斥性，得P (E )＝P (ABCD )＋P (A －BCD )＋P (A B －CD )＋P (AB C －D )＋P (ABC D －)＝P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A －)P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B －)P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C －)P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D －) ＝34×23×34×23＋2×(14×23×34×23＋34×13×34×23) ＝23. 所以“星队”至少猜对2个成语的概率为23. (2)由题意，随机变量X 可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得P (X ＝0)＝14×13×14×13＝1144， P (X ＝1)＝2×(34×13×14×13＋14×23×14×13)＝10144＝572， P (X ＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144， P (X ＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝112， P (X ＝4)＝2×(34×23×34×13＋34×23×14×23)＝60144＝512， P (X ＝6)＝34×23×34×23＝36144＝14. 可得随机变量X 的分布列为所以数学期望E (X )＝0×1144＋1×572＋2×25144＋3×112＋4×512＋6×14＝236.。

第一章 1.3第1课时一、选择题1．下列语句：①3是无限循环小数；②x2>x；③△ABC的两角之和；④毕业班的学生．其中不是命题的是()A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④[答案] D[解析]对于①能判断真假，对于②、③、④均不能判断真假．故①是命题，②、③、④均不是命题．2．已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，命题q：∅＝{0}，则下列判断正确的是() A．p假q假B．“p或q”为真C．“p且q”为真D．p假q真[答案] B[解析]∵{x|(x＋2)(x－3)<0}＝{x|－2<x<3}，∴1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，∴p真．∵∅≠{0}，∴q假．故“p或q”为真，“p且q”为假，故选B.3．若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列结论中正确的是()A．“p∨q”为假B．“p∨q”为真C．“p∧q”为真D．以上都不对[答案] B[解析]命题p为真命题，命题q为假命题，故“p∨q”为真命题．4．已知p：α为第二象限角，q：sinα>cosα，则p是q成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]当α为第二象限角时，sinα>0，cosα<0，∴sinα>cosα，但sinα>cosα不能推出α为第二象限角．5．以下四个命题正确的有()①“矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形”是“p且q”的形式，该命题是真命题；②“菱形既是平行四边形又是圆的外切四边形”是“p且q”的形式，该命题是真命题；③“矩形是圆的外切四边形或是圆的内接四边形”是“p或q”的形式，该命题是真命题；④“菱形是圆的内接四边形或是圆的外切四边形”是“p或q”的形式，该命题是真命题．A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] D[解析]∵矩形是平行四边形，也是圆的内接四边形，菱形是平行四边形，也是圆的外切四边形，但矩形不是圆的外切四边形，菱形不是圆的内接四边形，由p∨q，p∧q的定义知，①②③④都正确．6．已知命题p，q，则命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析]p∧q为真⇒p真且q真⇒p∨q为真；p∨q为真⇒p真或q真⇒/ p∧q为真．二、填空题7．p：ax＋b>0的解为x>－b a，q：(x－a)(x－b)<0的解为a<x<b.则p∧q是________命题(填“真”或“假”)．[答案]假[解析]命题p与q都是假命题．8．设命题p：3≥2，q：32∉[23，＋∞)，则复合命题“p∨q”“p∧q”中真命题的是________．[答案]p∨q[解析]3≥2成立，∴p真，32∈[23，＋∞)，∴q假，故“p∨q”为真命题，“p ∧q”为假命题．9．已知命题p：∅⊆∅，q：{1}∈{1,2}．由它们构成的“p或q”、“p且q”形式的命题中真命题有________个．[答案] 1[解析]命题p为真，命题q为假，故“p或q”为真，“p且q”为假．三、解答题10．分别指出下列各组命题构成的“p∧q”、“p∨q”形式的命题的真假．(1)p：6<6，q：6＝6；(2)p ：梯形的对角线相等，q ：梯形的对角线互相平分； (3)p ：函数y ＝x 2＋x ＋2的图象与x 轴没有公共点， q ：不等式x 2＋x ＋2<0无解；(4)p ：函数y ＝cos x 是周期函数，q ：函数y ＝cos x 是奇函数． [解析] (1)∵p 为假命题，q 为真命题， ∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题． (2)∵p 为假命题，q 为假命题， ∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为假命题． (3)∵p 为真命题，q 为真命题， ∴p ∧q 为真命题，p ∨q 为真命题． (4)∵p 为真命题，q 为假命题， ∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题．一、选择题11．下列命题：①5>4或4>5；②9≥3；③“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”；④“菱形的两条对角线互相垂直”．其中假命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] A[解析] ①②都是“p 或q ”形式的命题，都是真命题，③为真命题，④为真命题，故选A.12．下列命题：①方程x 2－3x －4＝0的判别式大于或等于0；②周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等； ③集合A ∩B 是集合A 的子集，且是A ∪B 的子集． 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] C[解析] ①中，判别式Δ＝9＋16＝25>0，故①中命题为真命题；②中，周长相等或面积相等的两个三角形不一定全等，故②中命题为假命题；③中，(A ∩B )⊆A ，(A ∩B )⊆(A ∪B )，故③中命题为真命题．故选C.13．在△ABC 中，“AB →·AC →＝BA →·BC →”是“|AC →|＝|BC →|”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 如图，在△ABC 中，过C 作CD ⊥AB ，则|AD →|＝|AC →|·cos ∠CAB ，|BD →|＝|BC →|·cos ∠CBA ，AB →·AC →＝BA →·BC →⇔|AB →|·|AC →|·cos ∠CAB ＝|BA →|·|BC →|·cos ∠CBA ⇔|AC →|·cos ∠CAB ＝|BC →|·cos ∠CBA ⇔|AD →|＝|BD →|⇔|AC →|＝|BC →|，故选C.二、填空题14．分别用“p ∧q ”、“p ∨q ”填空．(1)命题“0是自然数且是偶数”是________形式． (2)命题“5小于或等于7”是________形式．(3)命题“正数或0的平方根是实数”是________形式． [答案] (1)p ∧q (2)p ∨q (3)p ∨q15．(2014·营口三中期中)设命题P ：a 2<a ，命题Q ：对任何x ∈R ，都有x 2＋4ax ＋1>0，命题P ∧Q 为假，P ∨Q 为真，则实数a 的取值范围是________．[答案] －12<a ≤0或12≤a <1[解析] 由a 2<a 得0<a <1，∴P ：0<a <1；由x 2＋4ax ＋1>0恒成立知Δ＝16a 2－4<0，∴－12<a <12，∴Q ：－12<a <12，∵P ∧Q 为假，P ∨Q 为真，∴P 与Q 一真一假，P 假Q 真时，－12<a ≤0，P 真Q 假时，12≤a <1，∴实数a 的取值范围是－12<a ≤0或12≤a <1. 三、解答题16．已知命题p ：方程2x 2－26x ＋3＝0的两根都是实数；q ：方程2x 2－26x ＋3＝0的两根不相等，试写出由这组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”形式的复合命题，并指出其真假．[解析] “p 或q ”的形式：方程2x 2－26x ＋3＝0的两根都是实数或不相等． “p 且q ”的形式：方程2x 2－26x ＋3＝0的两根都是实数且不相等． ∵Δ＝24－24＝0，∴方程有两个相等的实根，故p 真，q 假． ∴p 或q 真，p 且q 假．17．已知命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立；命题q ：函数f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．[解析] 设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0.所以－2<a <2，所以命题p ：－2<a <2；又f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，则有5－2a >1，即a <2.所以命题q ：a <2. ∵p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，∴p 和q 一真一假．(1)若p 为真命题，q 为假命题，则⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2a ≥2，此不等式组无解．(2)若p 为假命题，q 为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2a <2，解得a ≤－2.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－2]．。

反馈练习一、选择题1．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，a ，b 夹角的余弦值为89，则λ等于( )A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－255[答案] C[解析] cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝2－λ＋4λ2＋5×9＝89，所以λ＝－2或255． 2．若a 、b 、c 是非零空间向量，则下列命题中的真命题是( ) A ．(a·b )c ＝(b·c )a B ．若a·b ＝－|a |·|b |，则a ∥b C ．若a·c ＝b·c ，则a ∥b D ．若a·a ＝b·b ，则a ＝b[答案] B[解析] (a ·b )c 是与c 共线的向量，(b ·c )a 是与a 共线的向量，a 与c 不一定共线，故A 假；若a ·b ＝－|a |·|b |，则a 与b 方向相反， ∴a ∥b ，故B 真；若a ·c ＝b ·c ，则(a －b )·c ＝0，即(a －b )⊥c ，不能得出a ∥b ，故C 假； 若a ·a ＝b ·b ，则|a |＝|b |，方向不确定， 故得不出a ＝b ，∴D 假．3．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( ) A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,2[答案] A[解析] ∵a ∥b ，∴存在实数k ，使b ＝k a ，即(6,2μ－1,2λ)＝(kλ＋k,0,2k )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ kλ＋k ＝6，2μ－1＝0，2λ＝2k ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ μ＝12，λ＝2，k ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧μ＝12，λ＝－3，k ＝－3.故选A ．4．同时垂直于a ＝(2,2,1)，b ＝(4,5,3)的单位向量是( ) A ．⎝⎛⎭⎫13，－23，23 B ．⎝⎛⎭⎫－13，23，－23 C ．⎝⎛⎭⎫13，－13，23 D ．⎝⎛⎭⎫13，－23，23或⎝⎛⎭⎫－13，23，－23 [答案] D[解析] 设所求向量为c ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＋z ＝0，4x ＋5y ＋3z ＝0，x 2＋y 2＋z 2＝1，检验知选D ．[点评] 检验时，先检验A(或B)，若A 不满足，则排除A 、D ；再检验B ，若A 满足，则排除B ，C ，只要看D 是否成立．5．已知矩形ABCD ，P A ⊥平面ABCD ，则以下等式中可能不成立的是( ) A ．DA →·PB →＝0 B ．PC →·BD →＝0 C ．PD →·AB →＝0 D ．P A →·CD →＝0[答案] B[解析] ①⎭⎪⎬⎪⎫DA ⊥AB DA ⊥P A ⇒DA ⊥平面P AB ⇒DA ⊥PB ⇒DA →·PB →＝0；②同①知AB →·PD →＝0；③P A ⊥平面ABCD ⇒P A ⊥CD ⇒P A →·CD →＝0； ④若BD →·PC →＝0，则BD ⊥PC ，又BD ⊥P A ，∴BD ⊥平面P AC ，故BD ⊥AC ， 但在矩形ABCD 中不一定有BD ⊥AC ，故选B ．6．已知ABCD 是四面体，O 是△BCD 内一点，则AO →＝13(AB →＋AC →＋AD →)是O 为△BCD重心的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 [答案] C[解析] 设E 为CD 中点，AO →＝13(AB →＋AC →＋AD →)＝13AB →＋13(BC →－BA →＋BD →－BA →)＝13AB →＋13(BC →＋BD →)－23BA →＝AB →＋23BE →， ∴BO →＝23BE →．即O 为△BCD 的重心．反之也成立．7．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以D 为原点建立空间直角坐标系，E 为BB 1的中点，F 为A 1D 1的中点，则下列向量中能作为平面AEF 的法向量的是( )A ．(1，－2,4)B ．(－4,1，－2)C ．(2，－2,1)D ．(1,2，－2)[答案] B[解析] 设平面AEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则A (1,0,0)，E (1,1，12)，F (12，0,1)．故AE →＝(0,1，12)，AF →＝(－12，0,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧AE →·n ＝0，AF →·n ＝0，即⎩⎨⎧y ＋12z ＝0，－12x ＋z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12z ，x ＝2z .当z ＝－2时，n ＝(－4,1，－2)，故选B ．8．a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值是( ) A ．55B ．555C ．355D ．115[答案] C[解析] b －a ＝(1＋t,2t －1,0)， ∵|b －a |2＝(1＋t )2＋(2t －1)2＝5t 2－2t ＋2 ＝5⎝⎛⎭⎫t －152＋95≥95，∴|b －a |min ＝355． 9．如图ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是( )A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BDC ．AC 1⊥平面CB 1D 1 D ．异面直线AD 与CB 1所成的角为60°[答案] D[解析] 正方体中，BD ∥B 1D 1，且BD ⊄面CB 1D 1，知BD ∥平面CB 1D 1，A 正确；AC 1在面ABCD 内的射影为AC ，又AC ⊥BD ，由三垂线定理知AC 1⊥BD ．故B 正确；同理可得AC 1⊥B 1D 1，AC 1⊥CD 1，且B 1D 1∩CD 1＝D 1，∴AC 1⊥平面CB 1D 1，故C 正确；由AD ∥BC 知，∠B 1CB 为AD 与CB 1所成的角，应为45°，故D 错误．10．已知△ABC 的顶点A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 的长等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 [答案] C[解析] 解法一：设D (x ，y ，z )，则AD →＝(x －1，y ＋1，z －2)，BD →＝(x －5，y ＋6，z －2)，AC →＝(0,4，－3)，∵AD →∥AC →，且BD →⊥AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝0，4y ＋1＝－3z －2，4(y ＋6)－3(z －2)＝0，∴⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－215，z ＝225.∴|BD →|＝5．解法二：设AD →＝λAC →，D (x ，y ，z )，则(x －1，y ＋1，z －2)＝λ(0,4，－3)， ∴x ＝1，y ＝4λ－1，z ＝2－3λ． ∴BD →＝(－4,4λ＋5，－3λ)， 又AC →＝(0,4，－3)，AC →⊥BD →，∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0， ∴λ＝－45，∴BD →＝⎝⎛⎭⎫－4，95，125， ∴|BD →|＝(－4)2＋⎝⎛⎭⎫952＋⎝⎛⎭⎫1252＝5．11．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，点F 是侧面CDD ′C ′的中心，若AF →＝AD →＋xAB →＋yAA ′→，则x －y 等于( )A ．0B ．1C ．12D ．－12[答案] A[解析] 如图所示，AF →＝AD →＋DF →， ∴DF →＝xAB →＋yAA ′→， ∴12DC ′→＝xAB →＋yAA ′→， ∵12AB ′→＝12AB →＋12AA ′→ AB ′→＝DC ′→， ∴x ＝y ＝12，x －y ＝0．12．(2014·开滦二中期中)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝2，BC ＝3，D 、E 分别是AC 1和BB 1的中点，则直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角为( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2[答案] A[解析] 取AC 中点F ，则DF 綊BE ，∴DE ∥BF ，∴BF 与平面BB 1C 1C 所成的角为所求， ∵AB ＝1，BC ＝3，AC ＝2，∴AB ⊥BC ，又AB ⊥BB 1，∴AB ⊥平面BCC 1B 1，作GF ∥AB 交BC 于G ，则GF ⊥平面BCC 1B 1，∴∠FBG 为直线BF 与平面BCC 1B 1所成的角，由条件知BG ＝12BC ＝32，GF ＝12AB ＝12，∴tan ∠FBG ＝GF BG ＝33，∴∠FBG ＝π6． 二、填空题13．|a |＝|b |＝|c |＝1，a ＋b ＋c ＝0，则a ·c ＋b·c ＋a·b ＝__________． [答案] －32[解析] 设a ·c ＋b ·c ＋a ·b ＝x ， 则2x ＝(a ＋b )·c ＋(b ＋c )·a ＋(c ＋a )·b ＝－|c |2－|a |2－|b |2＝－3，∴x ＝－32．14．给出命题：①在▱ABCD 中，AB →＋AD →＝AC →；②在△ABC 中，若AB →·AC →>0，则△ABC 是锐角三角形；③在梯形ABCD 中，E 、F 分别是两腰BC 、DA 的中点，则FE →＝12(AB →＋DC →)；④在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、DA 的中点，则FE →＝12(AB →＋DC →)．以上命题中，正确命题的序号是______________．[答案] ①③④[解析] 本题考查向量的有关运算．①满足向量运算的平行四边形法则，①正确；AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A >0⇒∠A <90°，但∠B 、∠C 无法确定，△ABC 是否是锐角三角形无法确定，②错误；③符合梯形中位线，正确；④如图：DC →＝DA →＋AC →；DC →＋AB →＝DA →＋AB →＋AC →＝DA →＋2AE →＝2(F A →＋AE →)＝2FE →，则FE →＝12(AB →＋DC →)．15．如图所示，在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱CC 1的中点，则异面直线D 1E 与AC 所成角的余弦值是__________．[答案]105[解析] 如图，建立空间直角坐标系，则A (4,0,0)，C (0,4,0)，D 1(0,0,4)，E (0,4,2)，AC →＝(－4,4,0)，D 1E →＝(0,4，－2)．cos 〈AC →，D 1E →〉＝1632×20＝105．∴异面直线D 1E 与AC 所成角的余弦值为105． 16．若△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°，AB ＝8，PC ⊥平面ABC ，PC ＝4，M 是AB 上一点，则PM 的最小值为__________．[答案] 27[解析] 由条件知PC 、AC 、BC 两两垂直，设CA →＝a ，CB →＝b ，CP →＝c ，则a ·b ＝b ·c ＝c ·a＝0，∵∠BAC ＝60°，AB ＝8，∴|a |＝CA ＝8cos60°＝4，|b |＝CB ＝8sin60°＝43．|c |＝PC ＝4， 设AM →＝xAB →＝x (b －a )，则PM →＝PC →＋CA →＋AM →＝－c ＋a ＋x (b －a )＝(1－x )a ＋x b －c ，|PM →|2＝(1－x )2|a |2＋x 2|b |2＋|c |2＋2(1－x )x a ·b －2x b ·c －2(1－x )a ·c ＝16(1－x )2＋48x 2＋16＝32(2x 2－x ＋1)＝64⎝⎛⎭⎫x －142＋28， ∴当x ＝14时，|PM →|2取最小值28，∴|PM →|min ＝27．三、解答题17．如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，用DA →，DC →，DD ′→表示向量BD ′→，AE →．[解析] (1)BD ′→＝DD ′→－DB →＝－DA →－DC →＋DD ′→． (2)AE →＝AA ′→＋A ′E →＝DD ′→＋12A ′C ′→＝DD ′→＋12AC →＝DD ′→＋12(DC →－DA →)＝－12DA →＋12DC →＋DD ′→．18．如图所示，已知空间四边形ABCD ，P 、Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心．求证：PQ ∥平面ACD ．[证明] ∵P 、Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心． ∴PQ →＝EQ →－EP →＝13ED →－13EA →＝13(ED →－EA →)＝13AD →． ∴PQ →∥AD →，即PQ ∥AD ，又PQ ⊄平面ACD ，AD ⊂平面ACD ，∴PQ ∥平面ACD ．19．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．(1)求证：AC ⊥BC 1； (2)求证：AC 1∥平面CDB 1； (3)求AC 1与CB 1所成角的余弦值．[解析] ∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC 、BC 、C 1C 两两垂直．如图所示，以C 为坐标原点，直线CA 、CB 、CC 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．则C (0,0,0)，A (3,0,0)，C 1(0,0,4)，B (0,4,0)，B 1(0,4,4)，D (32，2,0)．(1)∵AC →＝(－3,0,0)，BC 1→＝(0，－4,4)． ∴AC →·BC 1→＝0，∴AC ⊥BC 1．(2)设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE ，则E (0,2,2)． ∵DE →＝(－32，0,2)，AC 1→＝(－3,0,4)．∴DE →＝12AC 1→，∴DE ∥AC 1．∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，∴AC 1∥平面CDB 1．(3)∵AC 1→＝(－3,0,4)，CB 1→＝(0,4,4)， ∴cos 〈AC 1→·CB 1→〉＝AC 1→·CB 1→|AC 1→|·|CB 1→|＝225．∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为225．20．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝6，AA 1＝4，M 是A 1C 1的中点，P 在线段BC 上，且CP ＝2，Q 是DD 1的中点，求：(1)M 到直线PQ 的距离； (2)M 到平面AB 1P 的距离．[解析] 如图，建立空间直角坐标系B －xyz ，则A (4,0,0)，M (2,3,4)，P (0,4,0)，Q (4,6,2)．(1)∵QM →＝(－2，－3,2)，QP →＝(－4，－2，－2)， ∴QM →在QP →上的射影为QM →·QP →|QP →|＝(－2)×(－4)＋(－3)×(－2)＋2×(－2)(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＝566，故M 到PQ 的距离为 |QM →|2－⎝⎛⎭⎫5662＝17－256＝4626．(2)设n ＝(x ，y ，z )是平面AB 1P 的法向量，则n ⊥AB 1→，n ⊥AP →， ∵AB 1→＝(－4,0,4)，AP →＝(－4,4,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋4z ＝0，－4x ＋4y ＝0.因此可取n ＝(1,1,1)，由于MA →＝(2，－3，－4)， 那么点M 到平面AB 1P 的距离为d ＝|MA →·n ||n |＝|2×1＋(－3)×1＋(－4)×1|3＝533， 故M 到平面AB 1P 的距离为533． [点评] 求点P 到直线l 的距离时，在直线l 上任取一点Q ，则QP →在l 上射影的长度为m ＝|QP →|·|cos 〈QP →，n 〉|(n 为直线l 的一个方向向量)，即m ＝|QP →·n ||n |， 于是P 到l 的距离d ＝|QP ―→|2－m 2．21．(2014·浙江理，20)如图，在四棱锥A －BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE ＝∠BED ＝90°，AB ＝CD ＝2，DE ＝BE ＝1，AC ＝2．(1)证明：DE ⊥平面ACD ；(2)求二面角B －AD －E 的大小．[解析] (1)在直角梯形BCDE 中，∵DE ＝BE ＝1，CD ＝2，∴BD ＝BC ＝2，在三角形ABC 中，AB ＝2，BC ＝2，AC ＝2，∴AC ⊥BC ．∵平面ABC ⊥平面BCOE ，而平面ABC ∩平面BCDE ＝BCAC ⊥BC ，∴AC ⊥平面BCDE ，∴AC ⊥DE ，又∵DE ⊥DC ，∴DE ⊥平面ACD ．(2)由(1)知分别以CD →、CA →为x 轴、z 轴正方向．过C 作CM ∥DE ，以CM 为y 轴建立空间直角坐标系．则B (1,1,0)，A (0,0，2)，D (2,0,0)，E (2,1,0)∴AB →＝(1,1，－2)，AD →＝(2,0，－2)，DE →＝(0,1,0)设平面ABD 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由n 1·AB →＝n 1·AD →＝0，解得n 1＝(1,1，2)．设平面ADE 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则n 2·AE →＝n 2·AD →＝0，解得：n 2＝(1,0，2)设二面角B －AD －E 的大小为θ，易知θ为锐角，cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝1＋0＋26×3＝32， ∴二面角B －AD －E 的平面角为π6． 22．(2014·浙北名校联盟联考)已知在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，点E 为棱CC ′上任意一点，AB ＝BC ＝2，CC ′＝1．(1)求证：平面ACC ′A ′⊥平面BDE ；(2)若点P 为棱C ′D ′的中点，点E 为棱CC ′的中点，求二面角P －BD －E 的余弦值．[解析] (1)∵ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD ，∵CC ′⊥平面ABCD ，∴BD ⊥CC ′，又CC ′∩AC ＝C ，∴BD ⊥平面ACC ′A ′，∵BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ACC ′A ′．(2)以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以DD ′为z 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (2,2,0)，E (0,2，12)，P (0,1,1)，设平面BDE 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，∵DB →＝(2,2,0)，DE →＝(0,2，12)， ∴⎩⎨⎧ m ·DB →＝2x ＋2y ＝0，m ·DE →＝2y ＋12z ＝0，令x ＝1，则y ＝－1，z ＝4，∴m ＝(1，－1,4)， 设平面PBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，∵DP →＝(0,1,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DB →＝2x ＋2y ＝0，n ·DP →＝y ＋z ＝0， 令x ＝1，则y ＝－1，z ＝1，∴n ＝(1，－1,1)，∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝63， ∴二面角P －BD －E 的余弦值为63．。

选修2－3综合素质测试时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2014·四川理，6)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种[答案] B[解析] 分两类：最左端排甲有A 55＝20种不同的排法，最左端排乙，由于甲不能排在最右端，所以有C 14A 44＝96种不同的排法，由加法原理可得满足条件的排法共有216种．2．有甲、乙两种钢材，从中各取等量样品检验它们的抗拉强度指标如下：A ．期望与方差B ．正态分布C ．卡方χ2D ．概率[答案] A[解析] 检验钢材的抗拉强度，若平均抗拉强度相同，再比较没动情况．故选A. 3．(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( )A ．－20B ．－15C ．15D ．20[答案] C[解析] 本小题考查二项展开式的指定项的求法．T r ＋1＝C r 6(4x )6－r ·(－2－x )r ＝C r 6(－1)r 2(12－3r )x，令12－3r ＝0，∴r ＝4，∴T 5＝C 46＝15.4．设随机变量X 服从二项分布X ～B (n ，p )，则(D (X ))2(E (X ))2等于( )A ．p 2B ．(1－p )2C ．1－pD ．以上都不对[答案] B[解析] 因为X ～B (n ，p )，(D (X ))2＝[np (1－p )]2，(E (X ))2＝(np )2，所以(D (X ))2(E (X ))2＝[np (1－p )]2(np )2＝(1－p )2.故选B.5．(2014·新课标Ⅱ理，5)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45[答案] A[解析] 本题考查条件概率的求法．设A ＝“某一天的空气质量为优良”，B ＝“随后一天的空气质量为优良”，则 P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝0.60.75＝0.8，故选A. 6．某小组有8名学生，从中选出2名男生，1名女生，分别参加数、理、化单科竞赛，每人参加一科，共有90种不同的参赛方案，则男女生的人数应是( )A ．男生6名，女生2名B ．男生5名，女生3名C ．男生3名，女生5名D ．男生2名，女生5名 [答案] C[解析] 设男生有n 人，则女生有(8－n )人，所以C 2n C 18－n A 33＝90，得n (n －1)(8－n )＝30.所以n ＝3.故选C.7．某校高三年级举行一次演讲比赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其他班有5位，若采用抽签方式确定他们的演讲顺序，则一班3位同学恰好被排在一起，而二班2位同学没有被排在一起的概率为( )A.110 B ．120C.140 D ．1120[答案] B[解析] 基本事件总数为A 1010，而事件A 包括的基本事件可按“捆绑法”与“插空法”求解．10个人的演讲顺序有A 1010种可能，即基本事件总数为A 1010，一班同学被排在一起，二班的同学没有被排在一起这样来考虑：先将一班的3位同学当作一个元素与其他班的5位同学一起排列有A 66种，二班的2位同学插入到上述6个元素所留7个空当中，有A 27种方法．依分步计数原理得不同的排法有A 66·A 33·A 27种．∴所求概率为A 66·A 33·A 27A 1010＝120.故选B.8．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点随机抽取了100位居民进行调查，经过计算χ2的观测值χ2＝99，根据这一数据分析，下列说法正确的是( )A ．有99%的人认为该栏目优秀B ．有99%的人认为栏目是否优秀与改革有关C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系D ．以上说法都不对 [答案] C[解析] 当χ2＞6.635时有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系．故选C. 9．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.12B.35C.23D.34 [答案] D[解析] 考查互斥事件的概率加法公式．甲获得冠军包括两种情况：在接下来的比赛中，第一局甲赢和第一局甲没赢，第二局甲赢．∴P ＝12＋12×(1－12)＝34，选D.10．假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p ，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行．要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则p 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫23，1 B ．⎝⎛⎭⎫13，1 C.⎝⎛⎭⎫0，23 D ．⎝⎛⎭⎫0，13 [答案] B[解析] 4引擎飞机成功飞行的概率为C 34p 3(1－p )＋p 4,2引擎飞机成功飞行的概率为p 2，要使C 34(1－p )＋p 4＞p 2，必有13＜p ＜1.故选B. 11．如图，已知面积为1的正三角形ABC 三边的中点分别为D 、E 、F ，从A ，B ，C ，D ，E ，F 六个点中任取三个不同的点，所构成的三角形的面积为X (三点共线时，规定X ＝0)，则E (x )＝( )A.1140 B ．1340C.720 D ．920[答案] B[解析] 由题意知X 可取0，14，12，1，P (X ＝0)＝3C 36＝320，P (X ＝14)＝1020＝12，P (X ＝12)＝620＝310，P (X ＝1)＝120.则E (X )＝14×12＋12×310＋120＝1340.12．已知(1－2x )n 的展开式中，奇数项的二项式系数之和是64，则(1－2x )n (1＋x )的展开式中，x 4的系数为( )A ．－672B ．672C ．－280D ．280 [答案] D[解析] 由2n －1＝64，所以n －1＝6，n ＝7.则(1－2x )7(1＋x )的展开式中含x 4的项为：C 47(－2x )4＋C 37(－2x )3x ＝(24C 47－23C 37)x 4＝280x 4，所以x 4的系数为280.故选D.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________． [答案] 35[解析] 设“每次罚球命中”为事件A ，由题意P (A )·P (A )＋2P (A )·P (A )＝1625即[1－P (A )]2＋2P (A )·[1－P (A )]＝1625，即得P (A )＝35.14．如下图，A 、B 、C 、D 为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有______种．[答案] 16[解析] 一类：从一个岛出发向其它三岛各建一桥．共有C 14＝4种；二类：一个岛最多建两座桥如A —B —C —D 与D —C —B —A 这样两个排列对应一种建桥方法，因此共有A 442＝12种，据分类计数原理共有16种．15．设l 为平面上过点(0,1)的直线，l 的斜率等可能地取－22、－3、－52、0、52、3、22，用ξ表示坐标原点到l 的距离，则随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝____________. [答案] 47[解析] 求数学期望，关键是求出其分布列．根据题意，先确定ξ的所有可能的取值，再计算概率，从而列出分布列．当l 的斜率k 为±22时，直线方程为±22x －y ＋1＝0，此时d 1＝13；k ＝±3时，d 2＝12；k ＝±52时，d 3＝23；k ＝0时，d 4＝1.由等可能事件的概率可得分布列如下：∴E (ξ)＝13×27＋12×27＋23×27＋1×17＝47.16．若⎝⎛⎭⎫x －ax 9的展开式中x 3的系数是－84，则a ＝________. [答案] 1[解析] 由T r ＋1＝C r 9x 9－r ⎝⎛⎭⎫－a x r ＝(－a )r C r 9x 9－2r得9－2r ＝3，得r ＝3，x 3的系数为(－a )3C 39＝－84，解得a ＝1.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)若在二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋124x n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项．[解析] ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋124x n的展开式中前三项是：T 1＝C 0n ·(x )n ，T 2＝C 1n (x )n －1·124x，T 3＝C 2n(x )n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫124x 2，其系数分别是：C 0n ，12C 1n ，14C 2n ，且2×12C 1n ＝C 0n ＋14C 2n ，解之得n ＝1或n ＝8，n ＝1不符合题意应舍去，故n ＝8.当n ＝8时，T r ＋1＝C r 8·(x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫124x r ＝C r 8·12r ·x 16－3r 4 ，T r ＋1为有理项的充要条件是16－3r4∈Z ，所以r 应是4的倍数，故r 可为0,4,8，故所有有理项为T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x 2.[说明] 求展开式中特定项或特定项的系数，利用二项展开式的通项公式T r ＋1＝C r n a n－r b r.18．(本题满分12分)在一次合唱中有6个女生(其中有1个领唱)和2个男生分成两排表演．(1)每排4人，问共有多少种不同的排法？(2)领唱站在前排，男生站在后排，还是每排4人，问有多少种不同的排法？[解析] (1)要完成这件事，必须分三步：第一步，先从8人中选4人站在前面，另4人站在后面，共有C 48·C 44＝C 48种不同的排法；第二步，前面4人进行排列，有A 44种排法；第三步，后面4人也进行排列，有A 44种排法．三步依次完成，才算这件事完成，故由分步乘法计数原理有N ＝C 48A 44A 44＝403 20种不同的排法．(2)同理有N ＝C 35A 44A 44＝5 760种不同的排法．19．(本题满分12分)一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查(取出的产品不放回箱子)；若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品．(1)求这箱产品被用户接收的概率； (2)记抽检的产品件数为ξ，求ξ的分布列． [解析] (1)设“这箱产品被用户接收”为事件A ， 则P (A )＝8×7×610×9×8＝715.即这箱产品被用户接收的概率为715.(2)ξ的可能取值为1,2,3. P (ξ＝1)＝210＝15.P (ξ＝2)＝810×29＝845.P (ξ＝3)＝810×79＝2845.∴ξ的分布列为：20.(本小题共12分上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其它情况记0分．对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A 、B 上各一次，小明的两次回球互不影响．求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．[解析] (1)记A i 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0,1,3)， 则P (A 3)＝12，P (A 1)＝13，P (A 0)＝1－12－13＝16；记B i 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0,1,3)， 则P (B 3)＝15，P (B 1)＝35，P (B 0)＝1－15－35＝15.记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”． 由题意，D ＝A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3， 由事件的独立性和互斥性， P (D )＝P (A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3) ＝P (A 3B 0)＋P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＋P (A 0B 3)＝P (A 3)P (B 0)＋P (A 1)P (B 0)＋P (A 0)P (B 1)＋P (A 0)P (B 3) ＝12×15＋13×15＋16×35＋16×15＝310， 所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310.(2)由题意，随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6，由事件的独立性和互斥性，得 P (ξ＝0)＝P (A 0B 0)＝16×15＝130，P (ξ＝1)＝P (A 1B 0＋A 0B 1)＝P (A 1B 0)＋P (A 0B 1) ＝13×15＋16×35＝16， P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＝13×35＝15，P (ξ＝3)＝P (A 3B 0＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 0B 3) ＝12×15＋15×16＝215， P (ξ＝4)＝P (A 3B 1＋A 1B 3)＝P (A 3B 1)＋P (A 1B 3) ＝12×35＋13×15＝1130， P (ξ＝6)＝P (A 3B 3)＝12×15＝110.可得随机变量ξ的分布列为：所以，数学期望E (ξ)＝0×130＋1×16＋2×15＋3×215＋4×1130＋6×110＝9130.21．(本题满分12分)某城市一个交通路口原来只设有红绿灯，平均每年发生交通事故80起，案件的破获率为70%，为了加强该路口的管理，第二年在该路口设置了电子摄像头，该年发生交通事故70起，共破获56起，第三年白天安排了交警执勤，该年发生交通事故60起，共破获了54起．(1)根据以上材料分析，加强管理后的两年该路口的交通状况发生了怎样的变化？ (2)试采用独立性检验进行分析，设置电子摄像头对该路口交通肇事案件的破获产生了什么样的影响？设置电子摄像头和交警白天执勤的共同作用对该路口交通肇事案件的破获产生了什么样的影响？[解析] (1)由统计数据可知，没有采取措施之前，案件的发生较多，并且破获率只有70%，安装电子摄像头之后，案件的发生次数有所减少，并且破获率提高到了80%，白天安排交警执勤后，案件的发生次数进一步减少，并且破获率提高到了90%.由此可知，电子摄像头对遏制交通案件的发生起到了一定作用，并且给破案带了一定的帮助，而安排交警执勤对这些的影响更大．(2)根据所提供的数据可以绘制对应的2×2列联表如下：案件的破获率有了明显提高，这说明两种措施对案件的破获都起到了一定的积极作用．先分析电子摄像头对破案的影响可信度， 令a ＝56，b ＝24，c ＝56，d ＝14，构造随机变量χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝150×(56×14－24×56)280×70×112×38≈1.974.其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .而查表可知，P (χ2≥1.323)＝0.25.且1－0.25＝0.75＝75%，因此约有75%的把握认为，安装电子摄像头对案件的破获起到了作用．再分析安装电子摄像头及交警执勤的情况， 同样令a ＝56，b ＝24，c ＝54，d ＝6，则 χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝140×(56×6－24×54)280×60×110×30≈8.145，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .而查表可知，P (χ2≥6.635)＝0.01，且1－0.01＝0.99＝99%，因此约有99%的把握认为安装电子摄像头及交警执勤对案件的破获起到了作用．22．(本题满分14分)袋中装有标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量ξ的概率分布列和数学期望； (3)取球一次计分介于20分到40分之间的概率．[解析] (1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，则P (A )＝C 35·(C 12)3C 310＝23. (2)由题意，ξ的可能取值为：2,3,4,5，P (ξ＝2)＝C 22·C 12＋C 12·C 22C 310＝130，P (ξ＝3)＝C 24·C 12＋C 14·C 22C 310＝215，P (ξ＝4)＝C 26·C 12＋C 16·C 22C 310＝310，P (ξ＝5)＝C 28·C 12＋C 18·C 22C 310＝815， 所以ξ的分布列如下表：因此ξ的数学期望为E (ξ)＝2×130＋3×215＋4×310＋5×815＝133.(3)“取球一次计分介于20分到40分之间”的事件记为C ，则P (C )＝P (ξ＝3或ξ＝4)＝P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＝215＋310＝1330.。

第一章 1.2 第2课时一、选择题1．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 当a ＝1时，直线x －ay ＝0化为直线x －y ＝0，∴直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0垂直；当直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直时，有1－a ＝0，∴a ＝1，故选C. 2．m ＝3是直线3x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相切的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 由圆心(1,0)到直线3x －y ＋m ＝0距离d ＝|3＋m |2＝3得，m ＝3或－33，故选A.3．设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 因为A ∪B ＝C ，故“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的充要条件． 4．“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 如a ＝1，c ＝3，b ＝2，d ＝1时，a ＋c >b ＋d ， 但a <b ，故由“a ＋c >b ＋d ”⇒/ “a >b 且c >d ”， 由不等式的性质可知，若a >b 且c >d ，则a ＋c >b ＋d ， ∴“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的必要不充分条件．5．设命题甲为：0<x <5，命题乙为：|x －2|<3，那么甲是乙的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 解不等式|x －2|<3得－1<x <5， ∵0<x <5⇒－1<x <5但－1<x <5⇒/ 0<x <5， ∴甲是乙的充分不必要条件，故选A.6．(2014·南昌市高二期中)设l ，m ，n 均为直线，其中m ，n 在平面α内，则“l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] ∵l ⊥α，m ⊂α，n ⊂α，∵l ⊥m 且l ⊥n ，故充分性成立；又l ⊥m 且l ⊥n 时，m 、n ⊂α，不一定有m 与n 相交，∴l ⊥α不一定成立，∴必要性不成立，故选A.二、填空题7．平面向量a 、b 都是非零向量，a ·b <0是a 与b 夹角为钝角的________条件． [答案] 必要不充分[解析] 若a 与b 夹角为钝角，则a ·b <0，反之a ·b <0时，如果a 与b 方向相反，则a 与b 夹角不是钝角．8．已知三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0，则l 1、l 2、l 3构不成三角形的充要条件是k ∈集合________．[答案] {－5,5，－10}[解析] ①l 1∥l 3时，k ＝5；②l 2∥l 3时，k ＝－5； ③l 1、l 2、l 3相交于同一点时，k ＝－10. 三、解答题9．方程mx 2＋(2m ＋3)x ＋1－m ＝0有一个正根和一个负根的充要条件是什么？ [解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧(2m ＋3)2－4m (1－m )>0，1－m m <0.∴m >1或m <0，即所求充要条件是m >1或m <0.10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.[证明] 充分性：当q ＝－1时，a 1＝p －1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)，当n ＝1时也成立． 于是a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p ，即数列{a n }为等比数列．必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)， ∵p ≠0且p ≠1，∴a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p ，∵{a n }为等比数列，∴a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p ，即p (p －1)p ＋q ＝p ， ∴p －1＝p ＋q ，∴q ＝－1.综上所述，q ＝－1是数列{a n }为等比数列的充要条件．一、选择题11．设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 若a 1<a 2<a 3，则a 1<a 1q <a 1q 2，若a 1>0，则q >1，此时为递增数列，若a 1<0，则0<q <1，同样为递增数列，故充分性成立，必要性显然成立．12．(2013·安徽理)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 本题考查了函数单调性与充分必要条件的判断．若a ＝0，则f (x )＝|x |在(0，＋∞)内单调递增，若“a <0”，则f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |其图象如图所示，在(0，＋∞)内递增；反之，若f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)内递增，从图中可知a ≤0，故选C. 13．下列命题中的真命题有( )①两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等；②△ABC 中，AB →·BC →<0是△ABC 为钝角三角形的充要条件； ③2b ＝a ＋c 是数列a 、b 、c 为等差数列的充要条件；④△ABC 中，tan A tan B >1是△ABC 为锐角三角形的充要条件． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个[解析] 两直线平行不一定有斜率，①假．由AB →·BC →<0只能说明∠ABC 为锐角，当△ABC 为钝角三角形时，AB →·BC →的符号也不能确定，因为A 、B 、C 哪一个为钝角未告诉，∴②假；③显然为真．由tan A tan B >1，知A 、B 为锐角，∴sin A sin B >cos A cos B ， ∴cos(A ＋B )<0，即cos C >0.∴角C 为锐角， ∴△ABC 为锐角三角形．反之若△ABC 为锐角三角形，则A ＋B >π2，∴cos(A ＋B )<0，∴cos A cos B <sin A sin B ， ∵cos A >0，cos B >0，∴tan A tan B >1，故④真．14．设a 、b 是两条直线，α、β是两个平面，则a ⊥b 的一个充分条件是( ) A ．a ⊥α，b ∥β，α⊥β B ．a ⊥α，b ⊥β，α∥β C ．a ⊂α，b ⊥β，α∥β D ．a ⊂α，b ∥β，α⊥β[答案] C[解析] 对选项A 如图①所示，由图可知a ∥b ，故排除A ；对选项B 如图②所示，由图可知a ∥b ，故排除B ；对选项D 如图③所示，其中a ∥l ，b ∥l ，由图可知a ∥b ，故排除D.二、填空题15．函数f (x )的定义域为I ，p ：“对任意x ∈I ，都有f (x )≤M ”．q ：“M 为函数f (x )的最大值”，则p 是q 的________条件．[答案] 必要不充分[解析] 只有当(1)对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ，(2)存在x 0∈I ，使f (x 0)＝M ，同时成立时，M 才是f (x )的最大值，故p ⇒/ q ，q ⇒p ，∴p 是q 的必要不充分条件．16．f (x )＝|x |·(x －b )在[0,2]上是减函数的充要条件是______________________． [答案] b ≥4[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －b ) x ≥0，－x (x －b ) x <0.若b ≤0，则f (x )在[0,2]上为增函数，∴b >0， ∵f (x )在[0,2]上为减函数，∴b2≥2，∴b ≥4.17．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件． [解析] ①a ＝0时适合．②当a ≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则a <0；若方程有两个负的实根，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧1a >0－2a <0Δ＝4－4a ≥0，解得0<a ≤1.综上可知，若方程至少有一个负的实根，则a ≤1；反之，若a ≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a ≤1.[点评] ①a ＝0的情况不要忽视；②若令f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由于f (0)＝1≠0，从而排除了方程有一个负根，另一个根为零的情况．18．已知p ：x ＋210－x ≥0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m <0)，且p 是q 的必要条件，求实数m的取值范围．[解析] 由x ＋210－x ≥0，解得－2≤x <10，令A ＝{x |－2≤x <10}．由x 2－2x ＋1－m 2≤0可得[x －(1－m )]．[x －(1＋m )]≤0，而m <0，∴1＋m ≤x ≤1－m ，令B ＝{x |1＋m ≤x ≤1－m }．∵p 是q 的必要条件，∴q ⇒p 成立，即B ⊆A .则⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ≥－21－m <10m <0，解得－3≤m <0.。

第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．下列说法中不正确的是( )A ．平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量B ．一个平面的所有法向量互相平行C ．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D ．如果a 、b 与平面α共面且n ⊥a ，n ⊥b ，那么n 就是平面α的一个法向量 [答案] D[解析] 只有当a 、b 不共线且a ∥α，b ∥α时，D 才正确．2．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α) ，且a ∥ b 则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°[答案] A[解析] ∵|a |2＝2，|b |2＝2， (a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝0， ∴(a ＋b )⊥(a －b )．3．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，λ)，若AB →⊥AC →，则λ等于( )A ．28B ．－28C ．14D ．－14 [答案] D[解析] AB →＝(－2，－6，－2)，AC →＝(－1,6，λ－3)， ∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝2×1－6×6－2(λ－3)＝0， 解得λ＝－14，故选D ．4．(2013·北师大附中月考)若向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，则一定可以与向量p ＝2a ＋b ，q ＝2a －b 构成空间的另一个基底的向量是( )A ．aB ．bC ．cD ．a ＋b[答案] C[解析] 因为a ＝14p ＋14q ，所以a 、p 、q 共面，故a 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除A ；因为b ＝12p －12q ，所以b 、p 、q 共面，故b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除B ；因为a ＋b ＝34p －14q ，所以a ＋b 、p 、q 共面，故a ＋b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除D ；故选C ．5．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)[答案] D[解析] ∵l ∥α，∴a ·n ＝0，经检验知选D ．6．(2013·清华附中月考)已知a ，b 是两异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则直线a ，b 所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．45°[答案] B[解析] 由于AB →＝AC →＋CD →＋DB →，则AB →＝AC →＋CD →＋DB →， ∴AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝CD →2＝1．cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →|·|CD →|＝12⇒〈AB →，CD →〉＝60°，故选B ．7．(2013·安徽省合肥一中期末)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF →＝AD →＋mAB →－nAA 1→，则m ，n 的值分别为( )A ．12，－12B ．－12，－12C ．－12，12D ．12，12[答案] A[解析] 由于AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12(DC →＋DD 1→)＝AD →＋12AB →＋12AA 1→，所以m ＝12，n ＝－12，故选A ．8．已知A (－1,1,2)，B (1,0，－1)，设D 在直线AB 上，且AD →＝2DB →，设C (λ，13＋λ，1＋λ)，若CD ⊥AB ，则λ的值为( )A ．116B ．－116C ．12D ．13[答案] B[解析] 设D (x ，y ，z )，则AD →＝(x ＋1，y －1，z －2)，AB →＝(2，－1，－3)，DB →＝(1－x ，－y ，－1－z )，∵AD →＝2DB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝2(1－x )，y －1＝－2y ，z －2＝－2－2z .∴⎩⎨⎧x ＝13，y ＝13，z ＝0.∴D (13，13，0)，CD →＝(13－λ，－λ，－1－λ)，∵CD →⊥AB →，∴CD →·AB →＝2(13－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－116．9．(2013·河南省开封月考)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝2，E 、F 分别是面A 1B 1C 1D 1、面BCC 1B 1的中心，则E 、F 两点间的距离为()A ．1B ．52C ．62D ．32[答案] C[解析] 以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E (1,1，2)，F (2,1，22)，所以|EF |＝(1－2)2＋(1－1)2＋(2－22)2＝62，故选C ．10． (2013·陕西省高新一中期末)如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，AB ＝1，BC ＝2，AA 1＝3，则点B 到直线A 1C 的距离为()A ．27B ．2357C ．357D ．1[答案] B[解析] 过点B 作BE 垂直A 1C ，垂足为E ，设点E 的坐标为(x ，y ，z )，则A 1(0,0,3)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，A 1C →＝(1,2，－3)，A 1E →＝(x ，y ，z －3)，BE →＝(x －1，y ，z )．因为⎩⎪⎨⎪⎧A 1E →∥A 1C →BE →·A 1C →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝y 2＝z －3－3x －1＋2y －3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝57y ＝107z ＝67，所以BE →＝(－27，107，67)，所以点B 到直线A 1C 的距离|BE →|＝2357，故选B ．11．如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为( )A ．12B ．22C ．13D ．16[答案] C[解析] 如图，以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则D 1(0,0,1)，E (1,1,0)，A (1,0,0)，C (0,2,0)．从而D 1E →＝(1,1，－1)，AC →＝(－1,2,0)，AD 1→＝(－1,0,1)， 设平面ACD 1的法向量为n ＝(a ，b ，c )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝0，－a ＋c ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，a ＝c .令a ＝2，则n ＝(2,1,2)． 所以点E 到平面ACD 1的距离为 h ＝|D 1E →·n ||n |＝2＋1－23＝13．12．如图所示，正方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是正方形ADD 1A 1和ABCD 的中心，G 是CC 1的中点，设GF ，C 1E 与AB 所成的角分别为α，β，则α＋β等于( )A ．120°B ．60°C ．75°D ．90°[答案] D[解析] 建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则B (2,0,0)，A (2,2,0)，G (0,0,1)，F (1,1,0)，C 1(0,0,2)，E (1,2,1)．则BA →＝(0,2,0)，GF →＝(1,1，－1)，C 1E →＝(1,2，－1)，∴cos 〈BA →，GF →〉＝|BA →·GF →||BA →|·|GF →|＝13，cos 〈BA →，C 1E →〉＝|BA →·C 1E →||BA →|·|C 1E →|＝23，∴cos α＝13，sin α＝23，cos β＝23，sin β＝13，cos(α＋β)＝0，∴α＋β＝90°． 二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知A (1,2,0)，B (0,1，－1)，P 是x 轴上的动点，当AP →·BP →取最小值时，点P 的坐标为__________．[答案] (12，0,0)[解析] 设P (x,0,0)，则AP →＝(x －1，－2,0)，BP →＝(x ，－1,1)， AP →·BP →＝x (x －1)＋2＝(x －12)2＋74，∴当x ＝12时，AP →·BP →取最小值74，此时点P 的坐标为(12，0,0)．14．已知正四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，上底面A 1B 1C 1D 1边长为1，下底面ABCD 边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线AD 1与B 1C 所成角的余弦值为__________．[答案] 14[解析] 设上、下底面中心分别为O 1、O ，则OO 1⊥平面ABCD ，以O 为原点，直线BD 、AC 、OO 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∵AB ＝2，A 1B 1＝1，∴AC ＝BD ＝22，A 1C 1＝B 1D 1＝2，∵平面BDD 1B 1⊥平面ABCD ，∴∠B 1BO 为侧棱与底面所成的角，∴∠B 1BO ＝60°， 设棱台高为h ，则tan60°＝h 2－22，∴h ＝62， ∴A (0，－2，0)，D 1(－22，0，62)，B 1(22，0，62)，C (0，2，0)，∴AD 1→＝(－22，2，62)，B 1C →＝(－22，2，－62)，∴cos 〈AD 1→，B 1C →〉＝AD 1→·B 1C →|AD 1→|·|B 1C →|＝14，故异面直线AD 1与B 1C 所成角的余弦值为14．15．三棱锥P －ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，则直线P A 与底面ABC 所成角的大小为________________．[答案] 45°[解析] 由条件知，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，∴BC ＝2，∵PB ＝PC ＝1，∴∠BPC ＝90°， 取BC 边中点E ，则 PE ＝22，AE ＝22， 又P A ＝1，∴∠PEA ＝90°，故∠P AE ＝45°， ∵E 为BC 中点，∴PE ⊥BC ，AE ⊥BC ， ∴BC ⊥平面P AE ， ∴平面P AE ⊥平面ABC ，∴∠P AE 为直线P A 与平面ABC 所成角．16．已知矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，将矩形ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ABC 与平面ACD 垂直，则B 与D 之间的距离为__________．[答案]102[解析] 过B ，D 分别向AC 作垂线，垂足分别为M ，N ．则可求得AM ＝12，BM ＝32，CN ＝12，DN ＝32，MN ＝1．由于BD →＝BM →＋MN →＋ND →，∴|BD →|2＝(BM →＋MN →＋ND →)2＝|BM →|2＋|MN →|2＋|ND →|2＋2(BM →·MN →＋MN →·ND →＋BM →·ND →)＝(32)2＋12＋(32)2＋2(0＋0＋0)＝52，∴|BD →|＝102．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)若e 1、e 2、e 3是三个不共面向量，则向量a ＝3e 1＋2e 2＋e 3，b ＝－e 1＋e 2＋3e 3，c ＝2e 1－e 2－4e 3是否共面？请说明理由．[解析] 设c ＝λ1a ＋λ2b ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧3λ1－λ2＝22λ1＋λ2＝－1λ1＋3λ2＝－4⇒λ1＝15，λ2＝－75．即c ＝15a －75b ．∴a 、b 、c 共面．18．(本小题满分12分)在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG→．[解析] ∵BG ＝2GD ， ∴BG →＝23BD →．又BD →＝BA →＋BC →＝P A →－PB →＋PC →－PB →＝a ＋c －2b ， ∴PG →＝PB →＋BG →＝b ＋23(a ＋c －2b )＝23a －13b ＋23c ． 19．(本小题满分12分)如图所示，在四面体ABCD 中，AB ，BC ，CD 两两互相垂直，且BC ＝CD＝1．(1)求证：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)求二面角C －AB －D 的大小；(3)若直线BD 与平面ACD 所成的角为30°，求线段AB 的长度． [解析] 解法一：(1)∵CD ⊥AB ，CD ⊥BC ， ∴CD ⊥平面ABC ． 又∵CD ⊂平面ACD ， ∴平面ACD ⊥平面ABC ．(2)∵AB ⊥BC ，AB ⊥CD ，∴AB ⊥平面BCD ， ∴AB ⊥BD ．∴∠CBD 是二面角C －AB －D 的平面角． ∵在Rt △BCD 中，BC ＝CD ，∴∠CBD ＝45°． ∴二面角C －AB －D 的大小为45°．(3)过点B 作BH ⊥AC ，垂足为H ，连接DH ．∵平面ACD ⊥平面ABC ， ∴BH ⊥平面ACD ，∴∠BDH 为BD 与平面ACD 所成的角．∴∠BDH ＝30°． 在Rt △BHD 中，BD ＝2， ∴BH ＝22． 又∵在Rt △BHC 中，BC ＝1， ∴∠BCH ＝45°，∴在Rt △ABC 中，AB ＝1． 解法二：(1)同解法一．(2)设AB ＝a ，建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz ，则B (0,0,0)，A (0,0，a )，C (0,1,0)，D (1,1,0)，BD →＝(1,1,0)，BA →＝(0,0，a )．平面ABC 的法向量CD →＝(1,0,0)，设平面ABD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有BD →·n ＝x ＋y ＝0，BA →·n ＝az ＝0，∴z ＝0，取y ＝1，则x ＝－1， ∴n ＝(－1,1,0)．∴cos 〈CD →，n 〉＝CD →·n |CD →||n |＝－22，由图可知二面角C －AB －D 为锐角，∴二面角C －AB －D 的大小为45°．(3)AC →＝(0,1，－a )，CD →＝(1,0,0)，BD →＝(1,1,0)．设平面ACD 的一个法向量是m ＝(x ′，y ′，z ′)，则AC →·m ＝y ′－az ′＝0，CD →·m ＝x ′＝0，令z ′＝1，∴y ′＝a ，则m ＝(0，a,1)． ∵直线BD 与平面ACD 所成角为30°， ∴cos 〈BD →，m 〉＝BD →·m |BD →||m |＝a a 2＋1·2＝cos60°，解得a ＝1，∴AB ＝1．20．(本小题满分12分)如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝2，AA 1＝5，E 、F 分别为D 1D 、B 1B 上的点，且DE ＝B 1F ＝1．(1)求证：BE ⊥平面ACF ； (2)求点E 到平面ACF 的距离．[解析] (1)证明：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，D 1(0,0,5)，E (0,0,1)，F (2,2,4)．∴AC →＝(－2,2,0)，AF →＝(0,2,4)，BE →＝(－2，－2,1)，AE →＝(－2，0,1)． ∵BE →·AC →＝0，BE →·AF →＝0，∴BE ⊥AC ，BE ⊥AF ，且AC ∩AF ＝A ．∴BE ⊥平面ACF ．(2)解：由(1)知，BE →为平面ACF 的一个法向量，∴点E 到平面ACF 的距离d ＝|AE →·BE →||BE →|＝53． 故点E 到平面ACF 的距离为53． 21．(本小题满分12分)(2014·浙江文，20)如图，在四棱锥A －BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE ＝∠BED ＝90°，AB ＝CD ＝2，DE ＝BE ＝1，AC ＝2．(1)证明：AC ⊥平面BCDE ；(2)求直线AE 与平面ABC 所成的角的正切值．[解析] (1)取CD 中点G ，连结BG ．∵∠CDE ＝∠BED ＝90°，∴BE ∥CD ．又CD ＝2，BE ＝1，∵BE 綊DG ，∴四边形DEBG 为矩形，∴BG ＝DE ＝1，∠BGC ＝90°又GC ＝12CD ＝1，∴BC ＝2． 又AC ＝2，AB ＝2，∴AB 2＝AC 2＋BC 2，即AC ⊥BC ．又∵平面ABC ⊥平面BCDE 且交线为BC ，AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥平面BCDE ．(2)解法1：过点E 作EF ⊥BC 交BC 延长线于F ，由(1)知EF ⊥AC ，AC ∩BC ＝C ，∴EF ⊥平面ABC ，连结AF ，则∠EAF 即为AE 与平面ABC 所成的角．由已知得∠GBC ＝45°，∴∠EBF ＝45°∴BF ＝EF ，又BE ＝1∴BF ＝EF ＝22， 在Rt △AFC 中，AC ＝2，CF ＝BC ＋BF ＝2＋22＝322， ∴AF ＝2＋184＝262， ∴tan ∠EAF ＝EF AF ＝22262＝1313， ∴直线AE 与平面ABC 所成角的正切值为1313． 解法2：过C 作DE 的平行线CG ，以C 为原点，CD 、CG、CA 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图．则C (0,0,0)，A (0,0，2)，B (1,1,0)，E (2,1,0)，∴AE →＝(2,1，－2)，AB →＝(1,1，－2)，CA →＝(0,0，2)，设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝0，n ·CA →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2z ＝0，2z ＝0， 令x ＝1得n ＝(1，－1,0)．设AE 与平面ABC 所成的角为α，则sin α＝cos 〈n ，AE →〉＝|n ·AE →||n |·|AE →|＝114，∴tan α＝1313． 22．(本小题满分14分) (2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，设AC 与BD 相交于点O ，若∠DAB ＝∠DBF ＝60°，且F A ＝FC ．(1)求证：FC ∥平面EAD ；(2)求二面角A －FC －B 的余弦值．[解析] (1)证明：∵四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，∴AD ∥BC ，DE ∥BF ．∵AD ⊄平面FBC ，DE ⊄平面FBC ，∴AD ∥平面FBC ，DE ∥平面FBC ，又AD ∩DE ＝D ，AD ⊂平面EAD ，DE ⊂平面EAD ，∴平面FBC ∥平面EAD ，又FC ⊂平面FBC ，∴FC ∥平面EAD ．(2)连接FO 、FD ，∵四边形BDEF 为菱形，且∠DBF ＝60°，∴△DBF 为等边三角形， ∵O 为BD 中点．所以FO ⊥BD ，O 为AC 中点，且F A ＝FC ，∴AC ⊥FO ，又AC ∩BD ＝O ，∴FO ⊥平面ABCD ，∴OA 、OB 、OF 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，设AB ＝2，因为四边形ABCD 为菱形，∠DAB ＝60°，则BD ＝2，OB ＝1，OA ＝OF ＝3，∴O (0,0,0)，A (3，0,0)，B (0,1,0)，C (－3，0,0)，F (0,0，3)，∴CF →＝(3，0，3)，CB →＝(3，1,0)，设平面BFC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ n ·CF →＝0，n ·CB →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋3z ＝0，3x ＋y ＝0， 令x ＝1，则n ＝(1，－3，－1)，∵BD ⊥平面AFC ，∴平面AFC 的一个法向量为OB →＝(0,1,0)．∵二面角A －FC －B 为锐二面角，设二面角的平面角为θ，∴cos θ＝|cos 〈n ，OB →〉|＝|n ·OB →||n |·|OB →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－35＝155， ∴二面角A －FC －B 的余弦值为155．。

第一章综合素质检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．设原命题：若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是()A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题[答案] A[解析]因为原命题“若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a、b都小于1，则a＋b<2”，显然为真，所以原命题为真；原命题“若a＋b≥2，则a、b 中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a、b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”，是假命题，反例为a＝1.2，b＝0.3.2．(2014·重庆万州市分水中学高二期中)已知命题p：∀x∈R，a x>0(a>0且a≠1)，则() A．¬p：∀x∈R，a x≤0 B．¬p：∀x∈R，a x>0C．¬p：∃x0∈R，ax0>0 D．¬p：∃x0∈R，ax0≤0[答案] D[解析]∵命题p为全称命题，∴¬p为特称命题，由命题的否定只否定结论知a x>0的否定为a x≤0，∴选D.3．(2013·琼海市模拟)命题“tan x＝0”是命题“cos x＝1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析]x＝π时，tan x＝0，但cos x＝－1；cos x＝1时，sin x＝0，故tan x＝0.所以“tan x ＝0”是“cos x＝1”的必要不充分条件．4．(2014·南昌市高二期中)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若m⊥α，n∥α，则m⊥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中真命题的序号是()A．①②B．②③C．③④D．①④[答案] B[解析]由平行于同一平面的两条直线可能平行、相交，也可能异面知①为假命题；⎭⎬⎫⎭⎪⎬⎪⎫α∥ββ∥γ⇒α∥γ n ⊥α⇒m ⊥γ，∴②为真命题；③过n 作平面β交α于l ，∵n ∥α，∴n ∥l ，又m ⊥α，∴m ⊥l ，∴m ⊥n ，故③为真命题；由长方体交于同一顶点的三个面知，④为假命题，故选B.5．设x ，y ，z ∈R ，则“lg y 为lg x ，lg z 的等差中项”是“y 是x ，z 的等比中项”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 由题意得，“lg y 为lg x ，lg z 的等差中项”，则2lg y ＝lg x ＋lg z ⇒y 2＝xz ，则“y 是x ，z 的等比中项”；而当y 2＝xz 时，如x ＝z ＝1，y ＝－1时，“lg y 为lg x ，lg z 的等差中项”不成立，所以“lg y 为lg x ，lg z 的等差中项”是“y 是x ，z 的等比中项”的充分不必要条件，故选A.6．(2014·重庆理，6)已知命题 p ：对任意x ∈R ，总有2x >0； q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件， 则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．¬p ∧¬q C ．¬p ∧q D ．p ∧¬q[答案] D[解析] 命题p 是真命题，命题q 是假命题，所以选项D 正确．判断复合命题的真假，要先判断每一个命题的真假，然后做出判断．7．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题．如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 [答案] C[解析] 依题意得，命题“a ∥b ，且a ⊥γ⇒b ⊥γ”是真命题(由“若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”可知)；命题“a ∥β，且a ⊥c ⇒β⊥c ”是假命题(直线c 可能位于平面β内，此时结论不成立)；命题“α∥b ，且α⊥c ⇒b ⊥c ”是真命题(因为α∥b ，因此在平面α内必存在直线b 1∥b ；又α⊥c ，因此c ⊥b 1，∴c ⊥b )．综上所述，其中真命题有2个，选C.8．在△ABC 中，设命题p ：a sin B ＝b sin C ＝csin A，命题q ：△ABC 是等边三角形，那么p是q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件[答案] C[解析] 由已知a ＝b sin B sin C ＝b 2c⇒b 2＝ac .同理a 2＝bc ，c 2＝ab ，故有(a ＋c )(a －c )＝b (c －a )．若a ≠c ，则a ＋c ＝－b 与a 、b 、c 是△ABC 的三边矛盾，故a ＝c ，同理得到b ＝c ， 于是a ＝b ＝c ，于是充分性得证，必要性显然成立．9．已知命题p ：“对∀x ∈R ，∃m ∈R ，使4x ＋2x m ＋1＝0”．若命题¬p 是假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．－2≤m ≤2B ．m ≥2C ．m ≤－2D ．m ≤－2或m ≥2[答案] C[解析] 由题意可知命题p 为真，即方程4x＋2xm ＋1＝0有解，∴m ＝－4x ＋12x ＝－(2x ＋12x)≤－2. 10．下列命题中，错误的是( )A ．命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0”B ．已知x ，y ∈R ，则x ＝y 是xy ≥(x ＋y 2)2成立的充要条件C ．命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则¬p ：∀x ∈R ，则x 2＋x ＋1≥0D ．已知命题p 和q ，若p ∨q 为假命题，则命题p 与q 中必一真一假 [答案] D[解析] 由逆否命题的定义知A 正确；当x ＝y 时，xy ≥(x ＋y 2)2成立；xy ≥(x ＋y 2)2成立时，有xy ≥|x ＋y |2，故x ＝y ，∴B 为真命题；由特称命题的否定为全称命题知C 为真命题；∵p ∨q 为假，∴p 假且q 假，∴D 为假命题．11．(2013·天津理，4)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．其中真命题的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③[答案] C[解析] 对于①，设球半径为R ，则V ＝43πR 3，r ＝12R ，∴V 1＝43π×(12R )3＝πR 36＝18V ，故①正确；对于②，两组数据的平均数相等，标准差一般不相等；对于③，圆心(0,0)，半径为22，圆心(0,0)到直线的距离d ＝22，故直线和圆相切，故①，③正确．12．设a ，b ∈R ，现给出下列五个条件：①a ＋b ＝2；②a ＋b >2；③a ＋b >－2；④ab >1；⑤log a b <0，其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件为( )A ．②③④B ．②③④⑤C ．①②③⑤D ．②⑤[答案] D[解析] ①a ＋b ＝2可能有a ＝b ＝1；②a ＋b >2时，假设a ≤1，b ≤1，则a ＋b ≤2矛盾；③a ＋b >－2可能a <0，b <0；④ab >1，可能a <0，b <0；⑤log a b <0，∴0<a <1，b >1或a >1,0<b <1，故②⑤能推出．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．命题“同位角相等”的否定为________，否命题为________． [答案] 有的同位角不相等 若两个角不是同位角，则它们不相等[解析] 全称命题的否定是特称命题；“若p ，则q ”的否命题是“若¬p ，则¬q ” 14．写出命题“若方程ax 2－bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根均大于0，则ac >0”的一个等价命题是______________________________________________．[答案] 若ac ≤0，则方程ax 2－bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根不全大于0. [解析] 根据原命题与它的逆否命题是等价命题可直接写出．15．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围是________．[答案] 3≤m <8[解析] ∵p (1)是假命题，p (2)是真命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－m ≤0，8－m >0.解得3≤m <8. 16．下列命题中，________是全称命题，________是特称命题．①正方形的四条边相等；②有两个内角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数；⑤一定有偶数x 0，y 0，使得3x 0－2y 0＝10成立．[答案] ①②③ ④⑤三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)命题：已知a 、b 为实数，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2－4b ≥0，写出命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．[解析] 逆命题，已知a 、b 为实数，若a 2－4b ≥0，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集．否命题：已知a 、b 为实数，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2－4b <0. 逆否命题：已知a 、b 为实数，若a 2－4b <0，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集．原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．18．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)p ：∀m ∈R ，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根； (2)q ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1≤0.[解析] (1)¬p ：∃m ∈R ，使方程x 2＋x －m ＝0无实数根． 若方程x 2＋x －m ＝0无实数根，则 Δ＝1＋4m <0，∴m <－14，∴当m ＝－1时，¬p 为真． (2)¬q ：∀x ∈R ，使得x 2＋x ＋1>0. ∵x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0∴¬q 为真．19．(本小题满分12分)已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，且x ∈P 是x ∈Q 的必要条件，求实数a 的取值范围．[解析] P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}． ∵x ∈P 是x ∈Q 的必要条件 ∴x ∈Q ⇒x ∈P ，即Q ⊆P∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤1，a ＋4≥3，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥－1.∴－1≤a ≤5.20．(本小题满分12分)(2014·邢台一中第二次月考)已知命题p ：方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0，若命题“p 或q ”是假命题，求实数a 的取值范围．[解析] 由a 2x 2＋ax －2＝0，得(ax ＋2)(ax －1)＝0，显然a ≠0，∴x ＝－2a 或x ＝1a，∵x ∈[－1,1]，故|2a |≤1或|1a |≤1，∴|a |≥1.只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0. 即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点， ∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2. 又命题“p 或q ”是假命题， 故a 的取值范围为－1<a <0或0<a <1.21．(本小题满分12分)求使函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象全在x 轴上方成立的充要条件．[解析] ∵函数f (x )的图象全在x 轴上方，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5>0，Δ＝16(a －1)2－4(a 2＋4a －5)×3<0，或 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5＝0，a －1＝0. 解得1<a <19或a ＝1，故1≤a <19.所以使函数f (x )的图象全在x 轴的上方的充要条件是1≤a <19.22．(本小题满分14分)在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，试问A ，B ，C 是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出证明．[解析] A 、B 、C 成等差数列． 证明如下： ∵1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ， ∴a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c ＝3. ∴c a ＋b ＋a b ＋c＝1， ∴c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， ∴b 2＝a 2＋c 2－ac .在△ABC 中，由余弦定理，得 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12，∵0°<B <180°，∴B ＝60°. ∴ A ＋C ＝2B ＝120°.∴A、B、C成等差数列．。