2019届湖北省高三5月一模理科数学试卷【含答案及解析】

湖北华中师大一附中2019高三五月适应性考试-数学（理）word版数学〔理科〕试题【一】选择题： 1、设向量(1,1)a x =-,(1,3)b x =+，那么“x =2”是“a b ”的〔 〕条件A 、充分不必要B 、必要不充分C 、充要D 、既不充分也不必要2、设复数1212,1,z i z i =-=+那么复数12zz z = 在复平面内对应点位于〔 〕A 、第一象限B 、第二象限C 、 第三象限D 、第四象限3、正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为3，其三视图中的俯视图如下图，那么其左视图的面积是〔 〕 A、2B、2C 、 28cmD 、24cm 4、以下选项中，说法正确的选项是 ( )B 、设,a b是向量，命题“假设a b =-，那么a b=”的否命题是真命题；C 、命题“p q ∨”为真命题，那么命题p 和q 均为真命题；D 、命题0,2>-∈∃x x x R ”的否定是“2,0x R x x ∀∈-≤”.5、某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，假如要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为() A 、16B 、18C 、 24D 、326、据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20-80mg /100ml 〔不含80〕之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg /100ml 〔含80〕以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款.据某报报道，2018年3月5日至3月28日，某地区 共查处酒后驾车和醉酒驾车共500人，如图是对这500人 酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率直方图， 那么这500人血液中酒精含量的平均值约是()、 A 、55mg /100ml B 、56mg /100ml C 、57mg /100ml D 、58mg /100ml 7、函数sin (0)y ax b a =+>的图象如下图，那么函数log ()a y x b =+的图象可能是()、8、函数()1f x kx =+,其中实数k 随机选自区间[－2,１].对[0,1],()0x f x ∀∈≥的概率是()、A 、13B 、12 C 、23D 、349、假设椭圆221(0,0)x y m n m n+=>>与曲线22||x y m n +=-无交点，那么椭圆的离心率e 的取值范围是()A、B、C、D、(010、假设关于定义在R 上的函数f (x )，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f (x+λ)+λf (x )=０对任意实数x 都成立，那么称f (x )是一个“λ—伴随函数”.有以下关于“λ—伴随函数”的结论：①f (x )=０是常数函数中唯一一个“λ—伴随函数”；②f (x )=x 不是“λ—伴随函数”；③f (x )=x 2是“λ—伴随函数”；④“12—伴随函数”至少有一个零点、其中正确结论的个数是()个A 、1B 、2C 、3D 、4【二】填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，摸棱两可均不得分. 〔一〕必考题〔11—14题〕 11、曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴所围成的面积是________.12、执行如下图的程序框图，假设输入x =10，那么输出y 的值为________. 13、在计算“1×2+2×3+…+n (n +1)”时，有如下方法：先改写第k 项：1(1)[(1)(2)(1)(1)]3k k k k k k k k +=++--+， 由此得：112(123012)3⨯=⨯⨯-⨯⨯， 123(234123)3⨯=⨯⨯-⨯⨯，…， 1(1)[(1)(2)(1)(1)]3n n n n n n n n +=++--+， 相加得：1×2+2×3+…+n (n +1)＝1(1)(2)3n n n ++.类比上述方法，请你计算“1×3+2×4+…+n (n +2)”，其结果写成关于n 的一次因式的积．．．．．．的形式为： 、14、定义max {a ,b }=,,a a bb a b≥⎧⎨<⎩，设实数x ,y 满足约束条件||2||2x y ≤⎧⎨≤⎩，z=max {4x+y ,3x -y}，那么z 的取值范围是、〔二〕选考题〔请考生在第15、16两题中任选一题作答假如全选，那么按第15题作答结果记分.〕15、〔选修4—1：几何证明选讲〕如图，⊙O 的直径为6，Ｃ为圆周上一点，BC=3,过Ｃ作圆的切线l ， 过A 作l 的垂线AD ，垂足为Ｄ，那么CD=. 16、〔选修4—4：坐标系与参数方程〕 直线l的极坐标方程为4C :cos()πρθ-=C ：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩〔θ为参数〕上的点到直线l 的距离值为d ，那么d 的最大值为.【三】解答题：本大题共6小题，共75分.解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17、〔本小题总分值12分〕在ABC ∆中，三内角C B A ,,的对边分别为.,,c b a 且满足〔2b -c 〕cosA =acosC 、〔Ⅰ〕求角A 的大小；〔Ⅱ〕假设||1AC AB -=，求ABC ∆周长l 的取值范围、18、〔本小题总分值12分〕某工厂有216名工人，现同意了生产1000台GH 型高科技产品的总任务、每台GH 型产品由4个G 型装置和3个H 型装置配套组成、每个工人每小时能加工6个G 型装置或3个H 型装置、现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置〔完成自己的任务后不再支援另一组〕设加工G 型装置的工人有x 人，他们加工完成G 型装置所需的时间为g (x )，其余工人加工完成H 型装置所需的时间为h (x )〔单位：小时，可不为整数〕、〔Ⅰ〕写出g (x )，h (x )的解析式；〔Ⅱ〕写出这216名工人完成总任务的时间f (x )的解析式；(Ⅲ)应怎么样分组，才能使完成总任务用的时间最少？19、〔本小题总分值12分〕如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ,E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠ADC =90°,AB =AD =PD =1，CD=2、〔Ⅰ〕求证：BE ∥平面PAD ；〔Ⅱ〕求证：BC ⊥平面PBD (Ⅲ)设Q 为侧棱PC 上一点，PQ PC λ=，试确定λ的值，使得二面角Q —BD —P 的大小为45°20、〔本小题总分值12分〕数列{}na 是首项112a =，公比为12的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，又25log (1)n n b S t +-=，常数*N t ∈，数列{}n c 满足n n n c a b =⋅、〔Ⅰ〕假设{}nc是递减数列，求t 的最小值；〔Ⅱ〕是否存在正整数k ，使12,,k k k c c c ++这三项按某种顺序排列后成等比数列？假设存在，试求出k ，t 的值；假设不存在，请说明理由、21、〔本小题总分值13分〕椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为12,F F ，P 是椭圆上任意一点，假设以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆通过椭圆的焦点，且12PF F ∆的周长为4+〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；〔Ⅱ〕设直线的l 是圆O ：2243x y +=上动点0000(,)(0)P x y x y ⋅≠处的切线，l 与椭圆C 交于不同的两点Q ，R ，证明：QOR ∠的大小为定值、22、〔本小题总分值14分〕设函数322()21(2)f x x mx m x m m =---+->-的图象在x =2处的切线与直线x －5y －12=0垂直、 〔Ⅰ〕求函数()f x 的极值与零点；〔Ⅱ〕设1()ln x g x xkx-=+，假设对任意1[0,1]x ∈，存在2(0,1]x ∈，使12()()f x g x >成立，求实数k 的取值范围；(Ⅲ)假设0a ≥，0b ≥，0c ≥，且1a b c ++=，证明：222911110a b c a b c ++≤+++华中师大一附中2018届高考适应性考试数学〔理科〕试题答案【一】选择题：ACADCBCCDB【二】填空题：11、312、54-13、1(+1)(27)6n n n +14、[]10,7-1516、1【三】解答题： 17、解：〔Ⅰ〕在△ABC 中，∵(2)cos cos b c A a C -=， 由正弦定理有：(2sin sin )cos sin cos B C A A C -=，………2分 ∴2sin cos sin()B A A C =+，即2sin cos sin B A B =，∵sin 0B >，∴1cos 2A =，又∵(0,)A π∈，∴3A π=、………6分 〔Ⅱ〕由||1AC AB -=，∴||1BC =，即1a =，由正弦定理得：B A B a b sin 32sin sin ==，Cc sin 32=，………8分1sin )1sin())l a b c B C B A B =++=++=+++11cos )2B B =++12sin()6B π=++、………10分∵3π=A ，∴)32,0(π∈B ，∴)65,6(6πππ∈+B ，∴]1,21()6sin(∈+πB ，故△ABC 的周长l 的取值范围是]3,2(、………12分解法二：周长1l a b c b c =++=++，由〔Ⅰ〕及余弦定理得：2212cos b c bc A =+-，∴122+=+bc c b ，………8分∴22)2(3131)(c b bc c b ++≤+=+，∴2≤+c b ，………11分又1b c a +>=，∴]3,2(∈++=c b a l ，即△ABC 的周长l 的取值范围是(2,3]………12分18、解：〔Ⅰ〕由题意知，需加工G 型装置4000个，加工H 型装置3000个，所用工人分别为x 人和〔216x -〕人，∴40006g x x =（），3000(216)3h x x =-⋅（），即20003g x x =（），1000216h x x-（）=〔0216x <<，*x N ∈〕………4分〔Ⅱ〕2000()()3g x h x x -=-1000216x =-)216(3)5432(1000x x x --⋅，∵0＜x ＜216，∴216－x ＞0，当086x <≤时，43250x ->，()()0g x h x ->，()()g x h x >， 当87216x ≤<时，43250x -<，()()0g x h x -<，()()g x h x <，**2000,086,,3()1000,87216,.216x x N xf x x x N x⎧<≤∈⎪⎪∴=⎨⎪≤<∈⎪-⎩………8分〔Ⅲ〕完成总任务所用时间最少即求()f x 的最小值，当086x <≤时，()f x 递减，∴2000()(86)386f x f ≥==⨯1291000，∴min()(86)f x f =，如今216130x -=，………9分当87216x ≤<时，()f x 递增，∴1000()(87)21687f x f ≥==-1291000， ∴min()(87)f x f =，如今216129x -=，………10分∴min()(87)(86)f x f f ==，∴加工G 型装置，H 型装置的人数分别为86、130或87、129、………12分 19、证：〔Ⅰ〕取PD 的中点F ，连结EF AF ，，因为E 为PC 中点，因此EF CD ∥，且 112EF CD ==，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1AB =， 因此EF AB ∥，EF AB =，四边形ABEF 为平行四边形，因此BE AF ∥， 又因为BE ⊄平面PAD ，AF ⊂平面PAD ， 因此BE ∥平面PAD 、………4分〔Ⅱ〕平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，因此PD ⊥平面ABCD ，因此PD AD ⊥、如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -、那么(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,1)P 、(1,1,0),(1,1,0)DB BC ∴==-、因此0,BC DB BC DB ⋅=⊥、又由PD ⊥平面ABCD ，可得PD BC ⊥，因此BC ⊥平面PBD 、………8分〔Ⅲ〕平面PBD 的法向量为(1,1,0)BC =-，(0,2,1),,(0,1)PC PQ PC λλ=-=∈，因此(0,2,1)Q λλ-，设平面QBD 的法向量为(,1,)n x z =，由0n DB ⋅=，0n DQ ⋅=，得102(1)0x z λλ+=⎧⎨+-=⎩，因此21,1,1n λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，因此cos 452||||n BCn BC⋅︒===注意到(0,1)λ∈，得1λ…………12分20、解：〔Ⅰ〕由题意知，n n a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21，11[1()]1221()1212n n n S -∴==--，∴tn t S t b n n n +=-=--=5)21(log 5)1(log 522，∴n n t n c )21)(5(+=，{}nc 是递减数列，∴)21)(5255(1<--++=-+nn n t n t n c c 恒成立，即55+->n t 恒成立， 55)(+-=n n f 是递减函数，∴当1=n 时()f n 取最大值0，∴0>t ，又*N t ∈，∴1min=t 、………6分〔Ⅱ〕记5kt x +=，那么k k k x t k c )21()21)(5(=+=，且*x N ∈，11111(55)()(5)()22k k k c k t x +++∴=++=+，222)21)(10()21)(105(++++=++=k k k x t k c ，① 假设kc 是等比中项，那么由212k k kc c c ++⋅=得：kk k x x x 2221)21()21)(10()21)(5(=+⋅+++，化简得：0501572=+-x x ，显然不成立. ② 假设1k c+是等比中项，那么由221k k k c c c ++⋅=得：2222)21()5()21)(10()21(+++=+⋅k k k x x x ，化简得：()2(10)5x x x +=+，显然不成立、 ③ 假设2k c+是等比中项，那么由212k k k c c c ++⋅=得：4221)21()10()21()21)(5(+++=⋅+k k k x x x ，化简得：01002072=-+x x ， 因为1003210074202⨯=⨯⨯+=∆不是完全平方数，因而x 的值是无理数，与*xN ∈矛盾、 综上：不存在t k 和适合题意.………12分21、解〔Ⅰ〕因为以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆通过椭圆的焦点，因此bc =，可得a =，又因为12PF F ∆的周长为4+2a c +=c =可得2,a b ==C 的方程为22142x y +=、………5分〔Ⅱ)直线的l 方程为3400=+y y x x ，且342020=+y x ，记),(11y x Q ，),(22y x R ， 联立方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+341240022y y x x y x ，消去y 得04932316)2(20022020=-+-+y x x x x y ， 22020212020021249322316x y y x x x y x x x +-=+=+∴，………8分 ]220202120210202010202124916)(349161)34)(34(1x y x x x x x x x y x x x x y y y +-=++-⎢⎣⎡=--=，从而22220000121222222222000000003216161616444()9933302222y x x y x x y y y x y x y x y x ---+-+=+==++++， 090=∠∴QOR 为定值、………13分22、解：〔Ⅰ〕因为22()34f x x mx m '=---，因此2(2)1285f m m '=---=-，解得：1m =-或7m =-，又2m >-，因此1m =-，………2分 由2()3410f x x x '=-+-=，解得11x =，21x =，列表如下：150()()327f x f ==极小值()(1)2f x f ==极大值因为322()22(2)(1)f x x x x x x =-+-+=--+， 因此函数()f x 的零点是2x =、………5分 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，当[0,1]x ∈时，min50()27f x =， “对任意1[0,1]x ∈，存在2(0,1]x ∈，使12()()f xg x >”等价于“()f x 在[0,1]上的最小值大于()g x 在(0,1]上的最小值，即当(0,1]x ∈时，min50()27g x <”，………6分 因为22111()x kg x kx x x-'=-+=， ①当0k <时，因为(0,1]x ∈，因此150()ln 027x g x x kx -=+≤<，符合题意； ②当01k <≤时，11k≥，因此(0,1]x ∈时，()0g x '≤，()g x 单调递减，因此min 50()(1)027g x g ==<，符合题意；③当1k >时，101k <<，因此1(0,)x k ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，1(,1)x k∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，因此(0,1]x ∈时，min 111()()1lng x g k k k==-+，令23()ln 27x x x ϕ=--〔01x <<〕，那么1()10x xϕ'=->，因此()x ϕ在(0,1)上单调递增，因此(0,1)x ∈时，50()(1)027x ϕϕ<=-<，即23ln 27x x -<，因此min1112350()()1ln 12727g x g k k k ==-+<+=，符合题意，综上所述，假设对任意1[0,1]x ∈，存在2(0,1]x ∈，使12()()f x g x >成立，那么实数k 的取值范围是(,0)(0,)-∞⋃+∞、………10分 〔Ⅲ〕证明：由〔Ⅰ〕知，当[0,1]x ∈时，250(1)(2)27x x +-≥，即2227(2)150x x x x ≤-+， 当0a ≥，0b ≥，0c ≥，且1a b c ++=时，01a ≤≤，01b ≤≤，01c ≤≤， 因此2222222222727[2()()][2()]1115050a b c a b c a b c a b c a b c ++≤++-++=-+++++ 又因为2222222()2223()a b c a b c ab ac bc a b c ++=+++++≤++， 因此22213a b c ++≥，当且仅当13a b c ===时取等号， 因此222222272719[2()](2)1115050310a b c a b c abc++≤-++≤-=+++，当且仅当13a b c ===时取等号，………14分。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效．3．将填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．4．考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果2323nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ）Ａ．3Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10 2．将π2cos 36x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ ）Ａ．π2cos 234x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭Ｂ．π2cos 234x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭Ｃ．π2cos 2312x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭Ｄ．π2cos 2312x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭3．设P 和Q 是两个集合，定义集合{}|P Q x x P x Q -=∈∉，且，如果{}2|log 1P x x =<，{}|21Q x x =-<，那么P Q -等于（ ）Ａ．{}|01x x << Ｂ．{}|01x x <≤Ｃ．{}|12x x <≤Ｄ．{}|23x x <≤4．平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是m '和n '，给出下列四个命题：①m n m n ''⊥⇒⊥； ②m n m n ''⊥⇒⊥；③m '与n '相交⇒m 与n 相交或重合； ④m '与n '平行⇒m 与n 平行或重合．其中不正确的命题个数是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3Ｄ．45．已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则111lim 111pq n n n ∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭→（ ） A ．0B ．1C ．p qD ．11p q -- 6．若数列{}n a 满足212n na p a +=（p 为正常数，n *∈N ），则称{}n a 为“等方比数列”． 甲：数列{}n a 是等方比数列； 乙：数列{}n a 是等比数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7．双曲线22122:1(00)x y C a b a b-=>>，的左准线为l ，左焦点和右焦点分别为1F 和2F ；抛物线2C 的准线为l ，焦点为21F C ；与2C 的一个交点为M ，则12112F F MF MF MF -等于（ ）A ．1-B ．1C ．12-D ．128．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则使得n na b 为整数的正整数n 的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量()m n ，a =与向量(11)=-，b 的夹角为θ，则0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，的概率是（ ）A ．512B ．12C ．712D ．5610．已知直线1x ya b+=（a b ，是非零常数）与圆22100x y +=有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ） A ．60条 B ．66条 C ．72条 D ．78条二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上． 11．已知函数2y x a =-的反函数是3y bx =+，则a = ；b = ． 12．复数i z a b a b =+∈R ，，，且0b ≠，若24z bz -是实数，则有序实数对()a b ，可以是 ．（写出一个有序实数对即可）13．设变量x y ，满足约束条件02 3.x y x +⎧⎨-⎩≥，≤≤则目标函数2x y +的最小值为．14．某篮运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率 ．（用数值作答）15．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为116t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：（I ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 ；（II ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤≤，设AB 和AC 的夹角为θ． （I ）求θ的取值范围； （II）求函数2()2sin cos 24f θθθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭π的最大值与最小值．17．（本小题满分12分）在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：（I ）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；（II ）估计纤度落在[1.381.50)，中的概率及纤度小于1.40的概率是多少？（III ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[1.301.34)，的中点值是1.32）作为代表．据此，估计纤度的期望． 18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥V ABC -中，VC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，且AC BC a ==，VDC θ∠=π02θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭．（I ）求证：平面VAB ⊥VCD ；（II ）当解θ变化时，求直线BC 与平面VAB 所成的角的取值范围．19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，过定点(0)C p ，作直线与抛物线22x py =（0p >）相交于A B ，两点．（I ）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB △面积的最小值；（II ）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．（此题不要求在答题卡上画图） 20．（本小题满分13分） 已知定义在正实数集上的函数21()22f x x ax =+，2()3ln g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同． （I ）用a 表示b ，并求b 的最大值；VAx（II ）求证：()()f x g x ≥（0x >）． 21．（本小题满分14分） 已知m n ，为正整数，（I ）用数学归纳法证明：当1x >-时，(1)1mx mx ++≥；（II ）对于6n ≥，已知11132m n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭，求证1132mm m ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭， 求证1132m mm n ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，12m n =，，，； （III ）求出满足等式34(2)(3)nnn m n n ++++=+的所有正整数n ．2019年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）试题参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．Ｂ 2．Ａ 3．Ｂ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｂ 7．Ａ 8．Ｄ 9．Ｃ 10．Ａ二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分25分． 11．162；12．(21)，（或满足2a b =的任一组非零实数对()a b ，）13．32-14．1512815．110110010111610t t t y t -⎧⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎪⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，，，≤≤；0.6 三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力． 解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由1sin 32bc θ=，0cos 6bc θ≤≤，可得0cot 1θ≤≤，ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴．（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+-πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭．ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2363θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=． 17．本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力． 解：（Ⅰ）（Ⅱ）纤度落在[)1.381.50，中的概率约为0.300.290.100.69++=，纤度小于1.40的概率样本数据约为10.040.250.300.442++⨯=． （Ⅲ）总体数据的期望约为1.320.04 1.360.25 1.400.30 1.440.29 1.480.10 1.520.02 1.4088⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．18．本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力． 解法1：（Ⅰ）AC BC a ==∵，ACB ∴△是等腰三角形，又D 是AB 的中点， CD AB ⊥∴，又VC ⊥底面ABC ．VC AB ⊥∴．于是AB ⊥平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ） 过点C 在平面VCD 内作CH VD ⊥于H ，则由（Ⅰ）知CD ⊥平面VAB ． 连接BH ，于是CBH ∠就是直线BC 与平面VAB 所成的角． 在CHD Rt △中，sin 2CH a θ=； 设CBH ϕ∠=，在BHC Rt △中，sin CH a ϕ=，sin 2θϕ=． π02θ<<∵， 0sin 1θ<<∴，0sin 2ϕ<<． 又π02ϕ≤≤，π04ϕ<<∴． 即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫⎪⎝⎭，．解法2：（Ⅰ）以CA CB CV ，，所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)(00)(00)000tan 22a a C A a B a D V θ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，于是，tan 222a aVD a θ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，022a a CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，(0)AB a a =-，，． 从而2211(0)0002222a aABCD a a a a ⎛⎫=-=-++= ⎪⎝⎭，，，，··，即AB CD ⊥．同理2211(0)tan 0022222a a AB VD a a a a θ⎛⎫=--=-++= ⎪ ⎪⎝⎭，，，，··， 即AB VD ⊥．又CD VD D =，AB ⊥∴平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ．ADBCHV∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设直线BC 与平面VAB 所成的角为ϕ，平面VAB 的一个法向量为()x y z =，，n ，则由00AB VD ==，nn ··．得0tan 0222ax ay a a x y az θ-+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，．可取(11)θ=n ，又(00)BC a =-，，，于是sin sin 2BC BCa ϕθ===n n ···， π02θ<<∵，0sin 1θ<<∴，0sin ϕ<<．又π02ϕ≤≤，π04ϕ<<∴． 即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，．解法3：（Ⅰ）以点D 为原点，以DC DB ，所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)000000D A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，0tan 22V a a θ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，，，于是0tan 22DV a a θ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，，，002DC a ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，，，(00)AB =，．从而(00)ABDC =，·0002a ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，，·，即AB DC⊥．同理(00)0tan 022ABDV a a θ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，，，·，即AB DV ⊥． 又DCDV D =，AB ⊥∴平面VCD ．又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设直线BC 与平面VAB 所成的角为ϕ，平面VAB 的一个法向量为()x y z =，，n ，则由00AB DV ==，··n n，得0tan 022ax az θ=⎨-+=⎪⎩，． 可取(tan 01)θ=，，n，又022BC a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，，，于是tan 2sin 2BC a BC θϕθ===n n ···，π02θ<<∵，0sin 1θ<<∴，0sin 2ϕ<<． 又π02ϕ≤≤，π04ϕ<<∴， 即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，．解法4：以CA CB CV ，，所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)(00)(00)022a aC A a B aD ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，． 设(00)(0)V t t >，，．（Ⅰ）(00)0(0)22a a CV t CD AB a a ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，，，，，，，，， (0)(00)0000AB CV a a t =-=++=，，，，··，即AB CV ⊥．22(0)0002222a a a a AB CD a a ⎛⎫=-=-++= ⎪⎝⎭，，，，··，即AB CD ⊥．又CV CD C =，AB ⊥∴平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设直线BC 与平面VAB 所成的角为ϕ， 设()x y z =，，n 是平面VAB 的一个非零法向量，A则()(0)0()(0)0AB x y z a a ax ay AV x y z a t ax tz ⎧=-=-+=⎪⎨=-=-+=⎪⎩，，，，，，，，，，nn····取z a =，得x y t ==．可取()t t a =，，n ，又(00)CB a =，，，于是sin CB CBa ϕ====···n n(0)t ∈+，∵∞，sin ϕ关于t 递增． 0sin ϕ<<∴，π04ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴． 即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，．19．本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．解法1：（Ⅰ）依题意，点N 的坐标为(0)N p -，，可设1122()()A x y B x y ，，，，直线AB 的方程为y kx p =+，与22x p y =联立得22x p y y k x p ⎧=⎨=+⎩，．消去y 得22220x pkx p --=．由韦达定理得122x x pk +=，2122x x p =-．于是12122ABN BCN ACN S S S p x x =+=-△△△·．12p x x =-=2p ==∴当0k =时，2min ()ABN S =△．（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，AC 的中点为O '，l 与AC 为直径的圆相交于点P ，Q PQ ，的中点为H ，则O H PQ '⊥，Q '点的坐标为1122x y p +⎛⎫⎪⎝⎭，．12O P AC '===∵， 111222y p O H a a y p +'=-=--， 222PH O P O H ''=-∴2221111()(2)44y p a y p =+--- 1()2p a y a p a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭， 22(2)PQ PH =∴14()2p a y a p a ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 令02p a -=，得2p a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2p y =， 即抛物线的通径所在的直线．解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得12AB x =-=2= 又由点到直线的距离公式得d =．从而112222ABN S d AB p ===△···∴当0k =时，2min ()ABN S =△．（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，则以AC 为直径的圆的方程为11(0)()()()0x x x y p y y -----=，将直线方程y a =代入得211()()0x x x a p a y -+--=， 则21114()()4()2p x a p a y a y a p a ⎡⎤⎛⎫=---=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△． 设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为3344()()P x y Q x y ，，，，则有34PQ x x =-==令02p a -=，得2p a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2p y =， 即抛物线的通径所在的直线．20．本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．解：（Ⅰ）设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00()x y ，处的切线相同．()2f x x a '=+∵，23()a g x x'=，由题意00()()f x g x =，00()()f x g x ''=． 即22000200123ln 232x ax a x b a x a x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，由20032a x a x +=得：0x a =，或03x a =-（舍去）． 即有222221523ln 3ln 22b a a a a a a a =+-=-． 令225()3ln (0)2h t t t t t =->，则()2(13ln )h t t t '=-．于是 当(13ln )0t t ->，即130t e <<时，()0h t '>；当(13ln )0t t -<，即13t e >时，()0h t '<．故()h t 在130e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，为增函数，在13e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞为减函数， 于是()h t 在(0)+，∞的最大值为123332h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （Ⅱ）设221()()()23ln (0)2F x f x g x x ax a x b x =-=+-->， 则()F x '23()(3)2(0)a x a x a x a x x x-+=+-=>． 故()F x 在(0)a ，为减函数，在()a +，∞为增函数，于是函数()F x 在(0)+，∞上的最小值是000()()()()0F a F x f x g x ==-=．故当0x >时，有()()0f x g x -≥，即当0x >时，()()f x g x ≥．。

姓名，年级：时间：高三年级五月份联考数学（理科)考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟. 2。

请将各题答案填在试卷后面的答题卡上。

3。

本试卷主要考试内容：高考全部内容.第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1。

设集合A={x|x 2〈5}，B=｛x|1<x<4}，则A ∪B=A 。

{x|1<x<5｝B .｛x|-√5<x<4}C .｛x|1<x<√5}D 。

｛x|—5〈x<4｝2。

若复数z=5-i1-i，则z = A .3+2i B 。

-3+2iC 。

-3—2iD .3—2i3.设双曲线C ：x 2a 2—y 2b2=1(a 〉0，b>0）的实轴长与焦距分别为2，4,则双曲线C 的渐近线方程为A .y=±√33x B .y=±13x C .y=±√3x D .y=±3x4。

函数f (x )={6x -2,x >0,x +log 612,x ≤0的零点之和为A .-1B 。

1C .—2D .25.函数f （x )=cos （3x+π2）的单调递增区间为 A .［π6+2kπ3,π2+2kπ3］(k ∈Z)B 。

[π6+kπ3,π2+kπ3]（k ∈Z)C .[—π6+kπ3,π6+kπ3］（k ∈Z)D 。

[—π6+2kπ3,π6+2kπ3］(k ∈Z）6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A .24π-6B 。

8π-6C 。

24π+6D 。

8π+67.已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为60°,向量m=te 1+2e 2(t 〈0）,则A .|m|t 的最大值为-√32B .|m|t 的最小值为—2 C .|m|t 的最小值为-√32 D .|m|t的最大值为—28。

2019 年 5 月湖北省七市（州）教科研协作体高三联合考试理科数学参考答案及评分说明一、选择题(共 12 小题，每小题 5 分)1. A2. D3. B4. A5. C6. C7. B8. A9. B 10. D 11. D 12. D二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分）13. 114. 115.三、解答题（共计 70 分）[ 3 , 3] 4 24 16.27必做题（60 分）17(12 分）解:（1）由已知得b cos A + a cos B =b sin C ，由正弦定理得sin B cos A + cos B sin A =sin B sin C ，................ 3 分即sin( A + B ) =sin B sin C ，...................................... 4 分3又在∆ABC 中， sin( A + B ) = sin C ≠ 0 ，∴ sin B =2 ，且 B 是锐角，得 B = π . ………………………………………6 分 3（2） 由正弦定理得a sin A = c sin C = bsin B= 4 ， 则有 a = 4 s in A , c = 4 s in C………………………………………7 分a + c = 4sin A + 4sin C = 4sin A + 4sin(2π- A ) = 6sin A + 2 3 cos A = 4 3 sin(A + π3 6………………………………………9 分2 332 332 3 3)由0 <A <π,0 <2π-A <π得π<A <π,π<A +π<2π, ……………11 分2 3 2 6 2 3 6 3A +π) ≤ 1, 故 6 <a +c ≤ 4. ………………………………12分2 618(12 分）解：(1)连接BD 交AC 于F 点，连接EF ，在∆PBD 中，EF // PB ， ............................................ 2 分又EF ⊂面AEC, PB ⊄面AEC∴PB // 面AEC ............................................................................................ 4 分（2）由题意知，AC,AB,AP两两互相垂直，如图以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，射线AC, AB, AP 分别为x, y, z 轴建立空间直角坐标系O - xyz .则C(2,0,0), D(2,-3,0), P(0,0,3), B(0,3,0) ，E(1,-设M(x0,y0,z0),PM=λPB<λ<1)，则（x0 , y0 , z0 - 3) =λ(0,3,-3) ，得 M (0,3λ,3 - 3λ) 设平面AEC 的法向量为n1 = (x1 , y1 , z1 ) ，3,3)2 2…………6 分由n1 ⋅AE = 0, n1 ⋅AC = 0 及AE = (1,- 3,32 2), AC =⎧x -3y +3z = 0 By则⎪ 12 1 2 1 ，取y = 1 ，得n = (0,1,1) ．⎨ 1 1⎪⎩x1=0设平面MAC 的一个法向量为n2 = (x2 , y2 , z2 )由 n2 ⋅AM = 0, n2 ⋅AC = 0 及 AM = (0,3λ,3 - 3λ), AC = (2,0,0) ⎧3λy2+(3-3λ)z2=0 1则⎩2 = 0 ，取 z2 = 1，得 n2 = (0,1- ,1)λ……………………9 分3x ⎨C 2C 2 C 2设二面角 M - AC - E 为θ| 2 - 1 |则cos θ= | n 1 ⋅ n 2 | 10. ………………………………10 分 | n 1 | ⋅ | n 2 | 10化简得9λ2- 9λ+ 2 = 0 ，解得λ= 或λ= ，3二面角 M - AC - E 的余弦值为 103，∴ PM = 1 PB .3故 PM = 1PB 时，二面角 M - AC - E 的余弦值为 3 10. ………………………12 分19(12 分）解：(1) p (μ-σ< X < μ+σ) = p (82.8 < X < 87.2) = 0.8 ≥ 0.6826p (μ- 2σ< X < μ+ 2σ) = p (80.6 < X < 89.4) = 0.94 < 0.9544p (μ- 3σ< X < μ+ 3σ) = p (78.4 < X < 91.6) = 0.98 < 0.9974因为设备的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙； .................... 4 分 （2）由题意可知，样本中次品个数为 6，突变品个数为 2，“突变品”个数ξ的可能取值为 0，1，2， ....................................................... 6 分C 22P (ξ= 0）= 4= 65所以ξ分布列为：C 1C 1 8 P (ξ= 1）= 4 2 = ， 6 15 C 21 P (ξ= 2）= 2= ，6 15 …………9 分EY = 0 ⨯5+1⨯ 15 + 2 ⨯ = 15 . …………………………………………………12 分 3 10106 623 32k 20(12 分）2c 2a 2 -b 2124 2解：（1）由题意得， e = == ，即 a = b ， .................. 1 分 a 2 a 24 3 直线 x + y - = 0 与圆 x 2+ y 2= b 2相切得b == ， a = 2 …………3 分 故椭圆的方程是 x 2 + y 2 =4 31．...................................... 4 分（2）由题意得直线l 的斜率 k 存在且不为零，设l ： y = k (x - 4) ， k ≠ 0 ， A ( x 1 , y 1 ) ，B ( x 2 , y 2 ) ， AB 中点Q （x 0 , y 0 )⎧⎪ y = k (x - 4) 联立⎨ x 2y2 ，消去 y 并整理得(3 + 4k 2 )x 2 - 32k 2 x + 64k 2 -12 = 0 ，⎪⎩ 4 + 3 = 12x 1 + x 2 = 4k 2 + 3 ， 由∆ = (-32k 2 )2 - 4(3 + 4k 2 )(64k 2 -12) > 0 ，解得- 1 < k < 1 . 故- 1 < k < 1 且 k ≠ 0 ..................................................... 6 分2 2 2 2 x + x 16k 2 12k 16k 2 12kx 0 = 1 2 = 2 4k 2 + 3， y = k (x 0 - 4) = - 3 + 4k 2 ，得Q （ 3 + 4k 2,- 3 + 4k 2 ），'1 12k 1 16k 2由l ： y - y 0 = - k (x - x 0 ) ，即 y + 3 + 4k 2 = - k (x - 3 + 4k 2) ，化简得： y = - 1 x + k4k 4k 2+ 3 ， ........................................ 8 分 令 x = 0 ，得m = ∴ m = 4k = 4k 2+ 3 4k 4k 2+ 3 4 4k + 3， - 1 < k < 1 且 k ≠ 02 2………………………………………10 分当0 < k < k1 时， 4k + 32 k > 8 ；当- 1 2 < k < 0 时， 4k +3 k< -8F ( x ) = ,, 12 ∴ - < m <21且 m ≠ 02综上，直线l ' 在 y 轴上的截距 m 的取值范围为- 1< m < 1且m ≠ 0 ................ 12 分 2221(12 分）解：（1）令 F (x ) = f (x ) + g (x )当 a = 0 时， F ( x ) = ln x + 2 x 2 - 8 x + 7 ，' 4 x 2 - 8 x + 1x ，令 F '( x ) = 0, 得x = 1 ± 3 .…………………………2 分当 x ∈ (0,1 -3), F '( x ) > 0 F (x ) = 2f (x ) +g (x ) 单调递增；当 x ∈ (1 - 3 ,1 + 2 3 ), F '( x ) < 0 F (x ) = 2f (x ) +g (x ) 单调递减；当 x ∈(1+3 ,+∞), F '(x ) > 0 2,F (x ) = f (x ) + g (x ) 单调递增 .............. 4 分（2）当 a < 0 时， g '( x ) = 2ax 2 + 4(1 - a ) x - 8 = 2a ( x - 2)( x +2) .令 g '(x ) = 0 ，a得 x 1 = 2, x 2= - 2 a①当- 2 < 2 即 a < -1 时，因为 g ( x ) a极大值= g (2) = 16 a - 1 < 0 ，此时 y = h (x ) 至多3 有两个零点，不合题意； .............................................. 6 分②当- 2= 2 即 a = -1 时，因为 g '(x ) ≤ 0 ，此时 y = h (x ) 至多有两个零点，不合题意；a…………………………………………7 分③当- 2> 2 即-1 < a < 0 时,a（i ）当 g (1) < 0 时， y = h (x ) 至多有两个零点，不合题意；（ii）当 g (1) = 0 时，a = - 3 20，g (- 2 ) = a 1 (8a 3 + 7a 2+ 8a + 8 ) > 0 ， y = h (x ) 恰 a 2 3 好有 3 个零点； ................................................ 9 分（iii）当 g (1) > 0 时，得- 3 20 < a < 0 ， g (2) = 16 a - 1 < 0 ， 351 1 g (- 2) = a1 (8a 3 + 7 a2 + 8a + 8 ) ，a 2 3 记ψ(a ) = 8a 3 + 7a 2 + 8a + 8 ，则ψ'(a ) = 24 a 2 + 14 a + 8 > 0 ，ψ(a ) > ψ(- 3此时 y = h ( x ) 有四个零点.3 ) > 0 ， 20综上所述，满足条件的实数 a 的取值集合为[ - 3 , 0) ......................................... 12 分 20选做题（10 分）22(10 分）解：（1）由ρ= 2 s in θ+ 4 cos θ得ρ2= 2ρsin θ+ 4ρcos θ，∴ x 2+ y 2= 2y + 4x ， 即(x - 2)2+ ( y -1)2= 5 ， ................... 2 分 故曲线C 是以(2,1) 为圆心，半径为 r = 的圆由于原点O 在圆C 上，故| OP |max = 2r = 2 …………………………4 分易知，线段OP 的中点为圆心点C (2,1) ，∴点 P 的的直角坐标为 P (4, 2) .................................................................. 5 分（2）由ρ= 2 sin θ+ 4 cos θ得ρ2= 2ρsin θ+ 4ρcos θ，∴ x 2+ y 2= 2y + 4x⎧⎪ x = 将l : ⎨ 3 t2 代入 x 2 + y 2 = 2y + 4x 并整理得： t 2 - 2 3t -1 = 0 ⎪ y = 1+ 1 t ⎩⎪ 2设 A , B 两点对应的参数分别为t 1 , t 2 ，则t 1 + t 2 = 2 3,t 1t 2 = -1 ....................... 7 分 由参数t 的几何意义得：1 1| MA | + | MB | | t | + | t | | t - t | + = = 1 2 = 1 2 = 4 ； | MA | | MB | | MA || MB | | t 1 || t 2 | | t 1t 2 | | t 1t 2 |故+ = 4 (10)分| MA | | MB |5⎨ 23(10 分）解：（1）解：由已知得⎧ ⎪ x + 2 , x ≥ 1 f (x ) [- 3，+ ∞)⎪ f ( x ) = ⎪3 x ,- 1 2 < x < 1 的值域为 2. …………………………5 分⎪- x - 2 , x ≤ - 1 ⎩⎪ 2 ，（2） a , b ∈ (0,+∞)∴ 4 + 1 a b = (a + b )( 4 a + 1 ) = 5 + a bb + 4b a ≥ 5 + 2 = 9 ................................... 7 分当且仅当 a = 4b时取“=”号，即 a = 2b 时等号成立.b a所以原不等式恒成立即只需9 f (x ) ≤ 9,即f (x ) ≤ 1 解得- 3 ≤ x ≤1 ....................10 分 ， 3a ⋅ 4b b a。

荆州中学2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（模拟一）选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别求出集合，，再利用交集定义就可求出结果【详解】则故选【点睛】本题主要考查了集合的交集及其运算，属于基础题。

2. 欧拉公式(为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”。

根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】由欧拉公式(为虚数单位)可得：，再利用诱导公式化简，即可得到答案【详解】由欧拉公式(为虚数单位)可得：表示的复数对应的点为，此点位于第二象限故选【点睛】本题主要考查的是欧拉公式的应用，诱导公式，复数与平面内的点的一一对应关系，考查了学生的运算能力，转化能力。

3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象A. 向左平移个周期B. 向右平移个周期C. 向左平移个周期D. 向右平移个周期【答案】D【解析】【分析】利用函数的图象变换规律，三角函数的周期性，得出结果【详解】将函数的图象向右平移个单位，可得的图象，即向右平移个周期故选【点睛】本题考查了三角函数图像的平移，运用诱导公式进行化简成同名函数，然后运用图形平移求出结果，本题较为基础。

4. 某地区空气质量监测表明，一天的空气质量为优良的概率是，连续两天为优良的概率是，已知某天的空气质量为优良，则随后一天空气质量为优良的概率是A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：记“一天的空气质量为优良”，“第二天空气质量也为优良”，由题意可知,所以，故选A.考点：条件概率．视频5. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各面中直角三角形的个数是A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】把三视图还原为原几何体为一个四棱锥，底面是边长为3的正方形，侧棱底面ABCD，四个侧面均为直角三角形，则此几何体各面中直角三角形的个数是4个，选C.6. 等比数列的前项和为，下列结论一定成立的是A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】试题分析：设，因为，所以A，B不成立；对于C，当时，，因为与同号，所以，故C正确；对于D，取数列：-1，1，-1，1，…，不满足条件，故D错，故选C.考点：1、等比数列的性质；2、等比数列的前项和公式.7. 我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如下程序框图表示其基本步骤（函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生内的任何一个实数），若输出的结果为527，则由此可估计π的近似值A. 126B. 3.132C. 3.151D. 3.162【答案】D【解析】分析：由想到球的八分之一。

2019年普通高等学校招生全国统一考试理科（四川卷）参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ⋂= A ．{1,0,1,2}- B ．{2,1,0,1}-- C ．{0,1} D ．{1,0}- 【答案】A【解析】{|12}A x x =-≤≤，B Z =，故A B ⋂={1,0,1,2}- 2．在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为 A ．30 B ．20 C ．15 D ．10 【答案】C【解析】含3x 项为24236(1)15x C x x ⋅=3．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上 所有的点 A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 【答案】A【解析】因为1sin(21)sin[2()]2y x x =+=+，故可由函数sin 2y x =的图象上所有的点向左平行移动12个单位长度得到4．若0a b >>，0c d <<，则一定有 A ．a b c d > B ．a b c d < C ．a b d c > D ．a b d c< 【答案】D【解析】由1100c d d c<<⇒->->，又0a b >>，由不等式性质知：0a b d c ->->，所以a bd c< 5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【解析】当001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，函数2S x y =+的最大值为2.6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 A ．192种 B ．216种 C ．240种 D ．288种 【答案】B【解析】当最左端为甲时，不同的排法共有55A 种；当最左端为乙时，不同的排法共有14C 44A 种。

2019年湖北省武汉市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|（x+l）（x﹣3）＜0}，则A∩B＝（）A．{1，2}B．{2，4}C．{1，2，4}D．φ2．（5分）已知F1（﹣3，0），F2（3，0），若点P（x，y）满足|PF1|﹣|PF2|＝6，则P点的轨迹为（）A．椭圆B．双曲线C．双曲线的一支D．一条射线3．（5分）在复平面内，给出以下说法：①实轴上的点表示的数均为实数；②虚轴上的点表示的数均为纯虚数；③共扼复数的实部相等，虚部互为相反数．其中说法正确的个数为（）A．0B．1C．2D．34．（5分）已知a＝0.24，b＝0.32，c＝0.43，则（）A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．a＜b＜c5．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β6．（5分）某变量X的总体密度曲线为y＝sin（0＜x＜2），变量T的总体密度曲线为y＝|cos|（0＜x＜2），在同一直角坐标系中作两曲线如图所示，图中两阴影区域分别记作Ⅰ、Ⅱ，在矩形OABC区域内任取点P，点P落在区域I或区域Ⅱ的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输人n的值为4，则输出S的值为（）A．34B．98C．258D．6428．（5分）某班星期二上午有五节课，下午有三节课，安排的课程有语文，数学，英语，物理，化学，生物，体育，其中数学是上午或下午连续的两节课，其余课程各一节，现将体育课安排在下午的第三节，则不同的安排方案有（）A．120B．480C．600D．7209．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx﹣φ），其部分图象如图所示，则f（x）的表达式是（）A．B．C．D．10．（5分）已知（2﹣）n（n≥2，n∈N），展开式中x的系数为f（n），则+++……+等于（）A．B．C．D．11．（5分）已知点P（x，y）是约束条件，表示的平面区域内任意一点，如果点P（x，y）落在不等式x﹣y+a≥0所表示的平面区域的概率不小于，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，﹣1]C．[1，+∞）D．[﹣1，+∞）12．（5分）设函数f（x）＝，则y＝2f（f（x））﹣f（x）的取值范围为（）A．（﹣∞，0]B．[0，]C．[，+∞）D．（﹣∞，0]∪[，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量＝（l，2），＝（2，1），＝（1，n），若（2﹣3）⊥，则n＝14．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点是双曲线E：x2﹣y2＝a2右焦点，则双曲线E 的标准方程为．15．（5分）等差数列{a n}中，首项a1＝1，末项a n＝31，若公差d为正整数，则项数n的不同取值有种．16．（5分）已知点P为半径等于2的球O球面上一点，过OP的中点E作垂直于OP的平面截球O的截面圆为圆E，圆E的内接△ABC中，∠ABC＝90°，点B在AC上的射影为D，则三棱锥P﹣ABD体积的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17一21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题．考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）如图，在△ABC中，BC＝4，AC＝5，AB＝6，D在边AB上，CD为△ABC的角平分线．（1）求CD的长；（2）求△ACD的面积．18．（12分）如图l，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC＝6；如图2，将图l中△DAC沿AC折起，使得点D在面ABC上的正投影G在△ABC内部，点E为AB的中点，连接DB，DE，三棱锥D一ABC的体积为12．对于图2的几何体：（l）求证：DE⊥AC；（2）求DB与面DAC所成角的余弦值．19．（12分）如图，O为坐标原点，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦距等于其长半轴长，M，N为椭圆C的上、下顶点，且|MN|＝2（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（0，l）作直线l交椭圆C于异于M，N的A，B两点，直线AM，BN交于点T．求证：点T的纵坐标为定值3．20．（12分）某市房管局为了了解该市市民2018年1月至2019年1月期间购买二手房情况，首先随机抽样其中200名购房者，并对其购房面积m（单位：平方米，60≤m≤130）进行了一次调查统计，制成了如图1所示的频率分布直方图，接着调查了该市2018年1月至2019年l月期间当月在售二手房均价y（单位：万元/平方米），制成了如图2所示的散点图（图中月份代码1﹣13分别对应2018年1月至2019年1月）（l）试估计该市市民的平均购房面积；（2）从该市2018年1月至2019年1月期间所有购买二手房的市民中任取3人，用频率估计概率，记这3人购房面积不低于100平方米的人数为X，求X的分布列与数学期望；（3）根据散点图选择＝和＝两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程，分别为＝0.9369+0.0285和＝0.9554+0.0306lnx，并得到一些统计量的值，如表所示：＝0.9369+0.0285＝0.9554+0.03061lnx （y i）2（y i）2请利用相关指数矿判断哪个模型的拟合效果更好，并用拟合效果更好的模型预测2019年6月份的二手房购房均价（精确到0.001）．参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln7≈2.83，ln19≈2.94，≈1.41，≈1.73，≈4.12，≈4.36参考公式：R2＝1﹣．21．（12分）（1）求证：x≥0时，cos x≥1﹣x2恒成立；（2）当a≥1时，∀x∈[0，+∞），证明不等式xe ax+x cos x+1≥（1+sin x）2恒成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4一4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ+6cosθ．（1）求C2的直角坐标方程；（2）已知P（1，3），C1与C2的交点为A，B，求|P A|•|PB|的值．[选修4一5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x+a|+|x﹣1|﹣3．（1）当a＝4时，求不等式，f（x）≤6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥2恒成立，求实数a的取值范围．2019年湖北省武汉市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：∵集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|（x+l）（x﹣3）＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，∴A∩B＝{1，2}．故选：A．2．【解答】解：F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|＝6，因为|F1F2|＝6，则点P的轨迹是一条射线．故选：D．3．【解答】解：在复平面内，①，由于x轴为实轴，实轴上的点表示的数均为实数，故①正确；②y轴为虚轴，除原点外，虚轴上的点表示的数均为纯虚数，故②不正确；③，共扼复数的实部相等，虚部互为相反数，故③正确．故选：C．4．【解答】解：∵a＝0.24＝0.042＝0.0016，b＝0.32＝0.09，c＝0.43＝0.064，∴b＞c＞a，故选：B．5．【解答】解：若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故A错误；若m⊥α，n⊥α，则由直线与平面垂直的性质得m∥n，故B正确；若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故C错误；若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故D错误．故选：B．6．【解答】解：区域Ⅰ的面积S1＝＝＝；区域Ⅱ的面积S2＝＝＝．∴区域I或区域Ⅱ的面积和为．矩形OABC区域的面积S＝．∴点P落在区域I或区域Ⅱ的概率为P＝．故选：B．7．【解答】解：若n＝4，i＝1，S＝1×2＝2，i≤4，是，i＝2，S＝2+2×22＝2+8＝10，i≤4，是，i＝3，S＝10+3×23＝34，i≤4，是，i＝4，S＝34+4×24＝98，i≤4，是i＝5，S＝98+5×25＝258，i≤4，否，输出S＝258，故选：C．8．【解答】解：若数学安排下午，只能安排，6，7节，其余5节课全排列有A＝120，若数学安排上午，可以是12，23，34，45，共4种，其余5节课全排列有4×A＝4×120＝480，共有120+480＝600种，故选：C．9．【解答】解：由图可知，x＝﹣（）＝﹣时，函数图象为y轴左边第一个最低点，即＝＝，所以T＝π，所以ω＝，由“五点作图法”得：2×φ＝，所以φ＝，又f（0）＝﹣1，所以A＝，即f（x）＝sin（2x﹣），故选：B．10．【解答】解：∵（2﹣）n（n≥2，n∈N），展开式中x的系数为f（n）＝•2n﹣2，∴则+++……+＝+++…+＝2+++…+＝2+++…+＝2+++…+＝2+4（﹣+﹣+…+﹣）＝2+4（﹣）＝，故选：B．11．【解答】解：满足约束条件，区域为△ABO内部（含边界），与不等式x﹣y+a≥0的公共部分如图中多边形部分所示根据方程可得：A（0，2），B（2，0），C（6，6），|OA|＝2，|OB|＝2，C到AB的距离为：＝5．S△ACB＝＝10，当a＝1时，D（，），E（3，4），S△ADE＝＝，此时＝．点P（x，y）落在不等式x﹣y+a≥0所表示的平面区域的概率不小于，可得a≥1．故选：C．12．【解答】解：作出y＝f（x）的图象，可得f（x）的最小值为，设t＝f（x），t≥，即有y＝2f（t）﹣t，当t＞1时，y＝2•﹣t＝0；当≤t≤1时，y＝2•2﹣t﹣t在[，1]递减，可得y∈[0，]．综上可得函数y的范围是[0，]．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：；∵；∴；∴n＝4．故答案为：4．14．【解答】解：抛物线C：y2＝4x，此抛物线的焦点F（，0）故双曲线的一个焦点为（，0）．故对于双曲线，c＝2，．可得：a＝1．故要求的双曲线E的标准方程：x2﹣y2＝1．故答案为：x2﹣y2＝1．15．【解答】解：等差数列{a n}中，首项a1＝1，末项a n＝31且公差d为整数，则a n﹣a1＝（n﹣1）d＝30，变形可得d＝，又由n≥3，则n＝3时，d＝2，当n＝4时，d＝10，当n＝6时，d＝6，当n＝7时，d＝5，当n＝11时，d＝3，当n＝16时，d＝2，当n＝31时，d＝1；则项数n的不同取值有7种；故答案为：7．16．【解答】解：如图，点P为半径等于2的球O球面上一点，过OP的中点E作垂直于OP的平面截球O的截面圆为圆E，圆E的内接△ABC中，∠ABC＝90°，点B在AC上的射影为D，由题意，PE＝OE＝1，∴AE＝CE＝，P A＝PB＝PC＝2，∠ABC＝90°，过B作BD⊥AC于D，设AD＝x，则CD＝2﹣x，再设BD＝y，由△BDC∽△ADB，可得＝，∴y＝，则＝，令f（x）＝﹣x4+2，则，由f′（x）＝0，可得x＝，∴当x＝时，f（x）max＝，∴△ABD面积的最大值为×＝，则三棱锥P﹣ABD体积的最大值是．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17一21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题．考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵在△ABC中，BC＝4，AC＝5，AB＝6，∴由余弦定理可得：cos∠ACB＝＝，∴sin∠ACB＝，∵CD为△ABC的角平分线，∴∠ACD＝∠BCD，∴1﹣2sin2∠ACD＝cos∠ACB＝，∴sin∠ACD＝，∵S△ABC＝S△ACD+S△BCD，即：＝+，∴解得CD＝…6分（2）由（1）可得：S△ACD＝＝＝． (12)分18．【解答】证明：（1）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥CD，AB＝2AD＝2DC＝6，在图1中作AB的中点E，在图1、图2中，取AC的中点F，连结DF、CE、EF，则△DAC，△EAC均为等腰直角三角形，AC⊥DF，AC⊥EF，又DF∩EF＝F，∴AC⊥面DEF，又DE⊂面DEF，∴DE⊥AC．解：（2）∵DG⊥面ABC，∴DG⊥AG，DG⊥GC，∵DA＝DC，∴GA＝GC，∴G在AC的中垂线上，∴EG垂直平分AC，又F为AC中点，∴E，F，G共线，∵AB＝2AD＝2DC＝6，∴△ABC是等腰直角三角形，＝＝18，＝＝12，解得DG＝2，在等腰直角△DAC和等腰直角△EAC中，EF＝DF＝＝3，在Rt△DGF中，GF＝＝＝1，以G为原点，过G为z轴，GM、GE、GD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（3，﹣1，0），B（﹣3，5，0），C（﹣3，﹣1，0），D（0，0，2），则＝（﹣3，5，﹣2），＝（3，﹣1，﹣2），＝（﹣3，﹣1，﹣2），设面DAC的法向量＝（x，y，z），则，令z＝1，则＝（0，﹣2，1），cos＜＞＝＝﹣，∴DB与面DAC所成角的余弦值为＝．19．【解答】解：（1）由题意可知：，又a2＝b2+c2，有，故椭圆C的方程为：．（2）由题意知直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx+1，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠0，x2≠0），得（4k2+3）x2+8kx﹣8＝0，，且有x1+x2＝kx1x2，，＝＝，故＝＝．故点T的纵坐标为3．20．【解答】解：（1）＝65×0.05+75×0.1+85×0.2+95×0.25+105×0.2+115×0.15+125×0.05＝96．（2）每一位市民购房面积不低于100平方米的概率为0.20+0.15+0.05＝0.4，∴X～B（3，0.4），∴P（X＝k）＝，（k＝0，1，2，3），P（X＝0）＝0.63＝0.216，P（X＝1）＝＝0.432，P（X＝2）＝＝0.288，P（X＝3）＝0.43＝0.064，∴X的分布列为：∴E（X）＝3×0.4＝1.2．（3）设模型＝0.9369+0.0285和＝0.9554+0.0306lnx的相关指数分别为，，则＝1﹣，，∴＜，∴模型＝0.9554+0.0306lnx的拟合效果更好，2019年6月份对应的x＝18，∴＝0.9554+0.0306ln18＝0.9554+0.0306（ln2+2ln3）≈1.044万元/平方米．21．【解答】证明：（1）令f（x）＝cos x﹣1+x2，x∈[0，+∞），f（0）＝0．f′（x）＝﹣sin x+x，令u（x）＝x﹣sin x，x∈[0，+∞），u（0）＝0．则u′（x）＝1﹣cos x≥0，∴函数u（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，∴u（x）≥u（0）＝0．∴函数f（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（0）＝0．因此x≥0时，cos x≥1﹣x2恒成立．（2）由（1）可得：cos x≥1﹣x2，x≥sin x，在x∈[0，+∞）上恒成立．又当a≥1时，∀x∈[0，+∞），xe ax≥xe x．∴当a≥1时，∀x∈[0，+∞），证明不等式xe ax+x cos x+1≥（1+sin x）2恒成立⇔xe x+x（1﹣x2）+1≥（1+x）2，x∈[0，+∞），⇔e x﹣（x2+x+1）≥0，x∈[0，+∞），令g（x）＝e x﹣（x2+x+1），x∈[0，+∞），g（0）＝0．g′（x）＝e x﹣x﹣1，x∈[0，+∞）．令h（x）＝e x﹣x﹣1，x∈[0，+∞），h（0）＝0．h′（x）＝e x﹣1≥0，只有当x＝0时取等号，∴g′（x）≥0，在x∈[0，+∞）上恒成立．∴g（x）≥0在x∈[0，+∞）上恒成立．∴当a≥1时，∀x∈[0，+∞），证明不等式xe ax+x cos x+1≥（1+sin x）2恒成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4一4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）由ρ＝8sinθ+6cosθ，得ρ2＝8ρsinθ+6ρcosθ，∴x2+y2﹣6x﹣8y＝0，即（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25；（2）把代入（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25，得．∴t1t2＝﹣20．则|P A|•|PB|＝|t1t2|＝20．[选修4一5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）当a＝4时，f（x）≤6即为|2x+4|+|x﹣1|≤9，当x≥1时，2x+4+x﹣1≤9，解得1≤x≤2；当x≤﹣2时，﹣2x﹣4+1﹣x≤9，解得﹣4≤x≤﹣2；当﹣2＜x＜1时，2x+4+1﹣x≤9，解得﹣2＜x＜1，综上可得﹣4≤x≤2，即有f（x）≤6的解集为[﹣4，2]；（2）由f（x）＝|2x+a|+|x﹣1|﹣3，＝|x+|+|x+|+|x﹣1|﹣3≥0+|（x+）﹣（x﹣1）|﹣3＝|1+|﹣3，（当且仅当x＝﹣时取得等号），关于x的不等式f（x）≥2恒成立，可得2≤|1+|﹣3，即为|1+|≥5，解得a≥8或a≤﹣12，可得a的范围是（﹣∞，﹣12]∪[8，+∞）．。

2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试题卷（一）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合}02|{2<--=x x x A ，}log |{2m x x B >=，若B A ⊆，则实数m 的取值范围（ ）A ．]21,(-∞ B ．]4,0(C ．]1,21(D ．]21,0(2. 若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z=（ ） A ．1+2i B ．1﹣2i C ．﹣1+2i D ．﹣1﹣2i3．在等差数列{}n a 中，810112a a =+，则数列{}n a 的前11项和11S =( ) A. 8 B. 16 C. 22 D. 44 4． 某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为A ．9214π+B ．8214π+C ．9224π+D ．8224π+ 5．若)()1(*3N n xx x n∈+的展开式中存在常数项，则下列选项中n 可为( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 6．某地区高考改革，实行“3+1+2”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有 ( ) A. 8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种7. 已知抛物线C: 28=x y ，定点A （0，2），B （0，2-），点P 是抛物线C 上不同于顶点的动点，则∠PBA 的取值范围为 （ ）A. 0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 42，ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 32，ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭8． 若0>ω，函数)3cos(πω+=x y 的图象向右平移3π个单位长度后与函数x y ωsin =图象重合，则ω的最小值为 A.211 B.25 C.21 D.239．抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在9次试验中成功次数的均值为（ ）A. 3B. 4C. 5D.610. 如图，已知圆锥的顶点为S ，底面圆O 的两条直径分别为AB 和CD ，且AB ⊥CD ，若平面 SAD 平面SBC l =．现有以下四个结论： ① AD ∥平面SBC ； ② AD l //；③ 若E 是底面圆周上的动点，则△SAE 的最大面积等于△SAB 的面积；④ l 与平面SCD 所成的角为45°． 其中正确结论的个数是( )A. 1B.2C. 3D.411．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为1F 、2F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则21e e -的取值范围是( )A ． 2(,)3+∞B ． 4(,)3+∞C ． 2(0,)3D ． 24(,)3312．在数学史上，中国古代数学名著周髀算经、九章算术、孔子经、张邱建算经等，对等差级数(数列)])1([)3()2()(d n a d a d a d a a -++⋅⋅⋅+++++++和等比级数（数列）132-+⋅⋅⋅++++n aq aq aq aq a ，都有列举出计算的例子，说明中国古代对数列的研究曾作出一定的贡献.请同学们根据所学数列及有关知识求解下列问题.数阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211a a a a a a a a a 中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数依次成等比数列，若422=a ，则这9个数和的最小值为 A. 64B.C. 36D. 16二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知平面向量b a ,满足)3,2(,3||,2||=-==, 则=+||b a . 14．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为65，则判断框中的条件m i <中的整数m 的值是 .15. 已知，满足⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤+≥041c by ax y x x ，且目标函数y x z +=2的最大值为，最小值为，则acb a ++= . 16. 已知0a ＞，若不等式(2)2xax x e +-＞恰好有两个整数解，则a 的取值范围是的 .三、解答题（共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22, 23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）已知(2cos ,23)=a x x ，(cos ,cos )b x x =-，b a x f ⋅=)(.（1）求函数)(x f y =的最小正周期以及单调递增区间； （2）若锐角ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若1)(-=A f ，1a =，求A B C∆周长的取值范围.18.（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，已知11190B C A ∠=︒，11AB A C ⊥，且1AA AC =.（1）求证：平面11ACC A ⊥平面111A B C ；（2）若11112AA AC B C ===，求二面角111C AA B --的余弦值．19．（本小题满分12分）在2018年高考数学的全国I 卷中，文科和理科的选做题题目完全相同，第22题考查坐标系和参数方程，第23题考查不等式选讲某校高三质量检测的命题采用了全国I 卷的模式，在测试结束后，该校数学组教师对该校全体高三学生的选做题得分情况进行了统计，得到两题得分的统计表如下已知每名学生只做了一道题：（第22题的得题的得分统计表）(1) 完成如下2x 2列联表，并判断能否有的把握认为“ 选做22题 选做23题总计 文科人数 理科人数总计(2) 现有44名考生中至少有2人得分不低于8分的概率；(3) 若以选题的得分率作为决策依据，如果你是当年的考生，你会选择做哪道题，并说明理由.得分率题目平均分题目满分，结果精确到附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中.d c b a n +++=20已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于M, N 两点，2MNF ∆的周长为8，且2F 到M,N 两点的距离之和的最大值为5. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 的左，右顶点分别为A ，B ，证明：直线MA ，NB 的交点P 在定直线m 上，并求出直线m 的方程.21．（本小题满分12分）设函数22ln )(x a x x x f -= （1）当),0(+∞∈x ，02)(≤+x ax f 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）设x x f x g -=)()(在],1[2e 上有两个极值点1x ，2x ． ① 求实数a 的取值范围；② 求证：.2ln 1ln 121ae x x >+(二)选考题（共10分。

2019年高三下学期一模考试数学（理）试题含答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知复数，则等于（）A． B． C． D．2、设集合{0,1},{|1}==∈=-，则（）M N x Z y xA． B． C． D．3、给定函数①②③④，其中在区间上单调递减的函数序号是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④4、在中，若sin sin cos cos sin-=，则的形状是（）A A C A CA．等腰三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形5、为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（10分制）的频率分布直方图如图所示，假设得分值的中位数为，众数，平均数为，则（）A． B．C． D．6、某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种 B．216种 C．240种 D．288种7、若函数的图象如图所示，则的范围为（）A． B． C． D．8、设双曲线的离心率为2，且一个焦点与抛物线的交点相同，则此双曲线的方程为（）A． B． C． D．9、已知函数()0()210x e a x f x a R x x ⎧+≤=∈⎨->⎩，若函数在R 上有两个零点，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．10、若函数，并且，则下列各结论正确的是（ ）A ．()()()2a b f a f ab f +<<B ．()()()2a bf ab f f b +<< C ．()()()2a b f ab f f a +<< D ．()()()2a bf b f ab f +<<二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。

. 11、如图，正方体的棱长为1，E 为棱上的点， 为AB 的中点，则三棱锥的体积为12、已知满足不等式组22y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则的最大值与最小值的比为 13、定义在实数集R 上的函数满足， 且现有以下三种叙述①8是函数的一个周期； ②的图象关于直线对称；③是偶函数。