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空间几何体的结构特征例题和知识点总结在我们的日常生活中，各种各样的物体形状各异，而在数学的世界里，我们把这些物体抽象成空间几何体来进行研究。
接下来，让我们一起深入探讨空间几何体的结构特征，并通过一些例题来加深理解。
一、空间几何体的分类空间几何体主要分为多面体和旋转体两大类。
多面体是由若干个平面多边形围成的几何体。
常见的多面体有棱柱、棱锥、棱台等。
棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行。
棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形。
棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分。
旋转体是由一个平面图形绕着一条直线旋转所形成的几何体。
常见的旋转体有圆柱、圆锥、圆台、球等。
圆柱：以矩形的一边所在直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。
圆锥：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体。
圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分。
球：以半圆的直径所在直线为轴，半圆面旋转一周形成的几何体。
二、空间几何体的结构特征1、棱柱的结构特征侧棱都平行且相等。
两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形。
2、棱锥的结构特征侧面都是三角形。
只有一个顶点。
3、棱台的结构特征上下底面是相似多边形。
各侧棱延长后交于一点。
4、圆柱的结构特征母线平行且相等，都垂直于底面。
两个底面是全等的圆。
5、圆锥的结构特征母线交于顶点。
轴截面是等腰三角形。
6、圆台的结构特征母线延长后交于一点。
上下底面是两个半径不同的圆。
7、球的结构特征球面上任意一点到球心的距离都相等。
三、例题解析例 1：判断下列几何体是否为棱柱。
（1）一个长方体；（2）一个有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体。
解：（1）长方体符合棱柱的定义，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，所以是棱柱。
（2）不一定是棱柱。
空间几何体的结构特征及三视图和直观图考纲要求1.了解和正方体、球有关的简单组合体的结构特征，理解柱、锥、台、球的结构特征．2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合)的三视图，会用斜二测画法画出它们的直观图．3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图或直观图，了解空间图形的不同表示形式．4.能识别三视图所表示的空间几何体；理解三视图和直观图的联系，并能进行转化.考情分析1.三视图是新增加的内容，是高考的热点和重点，几乎年年考．2.柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征及性质是本节内容的重点，也是难点．3.以选择、填空题的形式考查，有时也会在解答题中出现.教学过程基础梳理空间几何体的直观图常用画法来画，其规则是(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为，z′轴与x′轴和y′轴所在平面．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度，平行于y轴的线段长度在直观图中．五、三视图几何体的三视图括、、，分别是从几何体的、、观察几何体画出的轮廓线．双基自测1．(教材习题改编)无论怎么放置，其三视图完全相同的几何体是() A．正方体B．长方体C．圆锥D．球2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的是()A．①②B．②③C．③④D．①④3.若一个底面是正三角形的直三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于()A. 3 B．2C．2 3 D．64．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是________．5.(2011·山东高考改编)如图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱其正视图、俯视图如图；②存在四棱柱，其正视图、俯视图如图；③存在圆柱，其正视图、俯视图如图．其中真命题的序号是________．1．对三视图的认识及三视图画法(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．(3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的轮廓线．2．对斜二测画法的认识及直观图的画法(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．”(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S直观图＝24S原图形，S原图形＝22S直观图．典例分析考点一、空间几何体的结构特征[例1](2011·广东高考)正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有()A．20B．15C．12 D．10[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1．(2012·南昌模拟)如图：在透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形BFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当E∈AA1时，AE＋BF是定值．其中正确说法是()A．①②③B．①③C．①②③④D．①③④2．(2012·温州五校第二次联考)下图是一个正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形可能是()[冲关锦囊]几种常见的多面体的结构特征(1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱．特别地，当底面是正多边形时，叫正棱柱(如正三棱柱，正四棱柱)．(2)正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥．特别地，各条棱均相等的正三棱锥又叫正四面体.考点二、几何体的三视图[例2] (2011·新课标全国卷)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！) 3．(2012·西安模拟)如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1 的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是 ( )[冲关锦囊]三视图的长度特征三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．即“长对正，宽相等，高平齐”．[注意] 画三视图时，要注意虚、实线的区别．考点三、空间几何体的直观图例3.已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为( )． A.34a 2 B.38a 2 C.68a 2 D.616a 2 解析 如图①②所示的实际图形和直观图．由斜二测画法可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图②中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′， 则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a . ∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.答案 D直接根据水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法规则即可得到平面图形的面积是其直观图面积的22倍，这是一个较常用的重要结论．[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，则原图形是( )． A ．正方形 B ．矩形C ．菱形D ．一般的平行四边形一、选择题1．(2012·惠州模拟)下列四个几何体中，几何体只有正视图和侧视图相同的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④2．(2011·浙江高考)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()3．给出下列命题：①如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；③如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；④如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台，其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．34.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形5．如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的正视图是()解析：三棱锥的正视图应为高为4，底面边长为3的直角三角形．答案：B二、填空题6．(2012·长沙模拟)用单位正方体块搭一个几何体，使它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积的最大值为________，最小值为________．解析：由俯视图及正视图可得，如图所示，由图示可得体积的最大值为14，体积的最小值为9.答案：1497．给出下列命题：①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直；⑤一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直；⑥所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．其中正确命题的序号是________．解析：①正确，正四面体是每个面都是等边三角形的四面体，如正方形ABCD－A1B1C1D1中的四面体A－CB1D1；②错误，如图所示，底面△ABC为等边三角形，可令AB＝VB＝VC＝BC＝AC，则△VBC为等边三角形，△VAB和△VCA均为等腰三角形，但不能判定其为正三棱锥；③错误，必须是相邻的两个侧面；④错误，如果有两条侧棱和底面垂直，则它们平行，不可能；⑤正确，当两个侧面的公共边垂直于底面时成立；⑥错误，当底面是菱形时，此说法不成立，所以应填①⑤.答案：①⑤。
北京师范大学附中2013 届高三数学一轮复习单元训练：空间几何体北京师范大学附中2013 届高三数学一轮复习单元训练：空间几何体本试卷分第Ⅰ卷( 选择题 ) 和第Ⅱ卷 ( 非选择题 ) 两部分．满分150 分．考试时间120 分钟．第Ⅰ卷 (选择题共60分)一、选择题 ( 本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的)1．如图，是由 4 个同样小正方体组合而成的几何体，它的左视图是( )A．B．C．D．【答案】 D2．如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC， M、 N 分别是对边OA、 BC的中点，点G uuuuv uuuv uuuv uuuv uuuv在线段 MN上，且MG2GN ，现用基向量OA,OB,OC 表示向量，设uuuv uuuv uuuv uuuvOG xOA yOB zOC，则 x 、 y 、 z 的值分别是( )A． x ＝1， y＝1， z＝1B． x ＝1， y＝1， z ＝1 333336C． x ＝1， y＝1， z ＝1D． x ＝1， y＝1， z ＝1 363633【答案】 D3．正方体ABCD A1B1C1 D1中， P 、 Q 、 R 分别是 AB 、 AD 、 B1C1的中点．那么，正方体的过 P、 Q、R的截面图形是( )A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【答案】 A4．在空间直角坐标系中,点P(2,3,4)与Q (2, 3,- 4)两点的地点关系是（）A．对于x 轴对称B．对于 xOy 平面对称C．对于坐标原点对称D．以上都不对【答案】 B5．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3 ，圆台的侧面积为84，则圆台较小底面的半径为( )A．7B．6C．5D．3【答案】 A6．点P是等腰三角形ABC 所在平面外一点，PA平面ABC，PA8，在ABC 中，底边 BC 6， AB 5，则点 P到 BC 的距离为( )A．45B．3C．33D．23【答案】 A7．一个正方体的睁开图以下图，A、B、C、D 为原正方体的极点，则在本来的正方体中( )A． AB∥CD B． AB 与 CD订交C． AB⊥CD D． AB 与 CD所成的角为60°【答案】 D8．以下说法正确的选项是( )A．圆台是直角梯形绕其一边旋转而成；B．圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成；C．圆柱不是旋转体；D．圆台能够看作是平行底面的平面截一个圆锥而获得【答案】 D9．设l，m是两条不一样的直线，是一个平面，则以下命题正确的选项是( ) A．若C．若l m ，m，则 l B．若l //，m，则 l // m D．若l， l //m ，则ml //， m//，则 l // m【答案】 A10．如图，点P、 Q、 R、S 分别在正方体的四条棱上，而且是所在棱的中点，则直线 PQ与 RS 是异面直线的一个图是 ( )【答案】 C11．某几何体的三视图以下图，则该几何体的体积是( )A．4B． 2 3C．8D．10 33【答案】 A12．已知平面α外的直线 b 垂直于α内的二条直线，有以下结论：○ 1 b 必定不垂直于α；○ 2 b 可能垂直于平面α；○ 3b 必定不平行于平面α，此中正确的结论有( )A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个【答案】 B第Ⅱ卷 ( 非选择题共 90分)二、填空题 ( 本大题共 4个小题，每题 5 分，共20 分，把正确答案填在题中横线上)13．在空间直角坐标系中, 若点 A(1,2,1), 点 B( 3,1,4) ,则| AB |.【答案】 5 214．一个几何体的三视图及部分数据以下图，左视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积等于．1【答案】315．四棱锥P ABCD 的三视图如右图所示, 四棱锥P ABCD 的五个极点都在一个球面上，E 、F 分别是棱AB 、CD的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为 2 2 ，则该球表面积为.【答案】 1216．一个几何体的三视图以以下图所示，正视图是一个边长为2 的正三角形，侧视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的体积为．【答案】 4三、解答题 ( 本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 )17．如图，已知平行四边形ABCD 中， AD 2 ， CD 2 ， ADC 45 ， AE BC ，垂足为，沿直线 AE 将 BAE 翻折成 B ' AE ，使得平面 B ' AE 平面 AECD ．连结 B 'D ，是 B ' D 上的点．(I ）当 B'P PD 时，求证 CP 平面 AB 'D ； (Ⅱ）当 B'P2PD 时，求二面角 P ACD的余弦值．【答案】（ 1）∵AEBC ，平面 B AE平面 AECD ，∴ B' E EC ．如图成立空间直角坐标系．则 A(0,1,0) ， B (0,0,1) ， C(1,0,0) ，1 1D( 2,1,0) ， E (0,0,0) P (1,,)， 2 2 ．AB(0, 1,1) ，CP1 1 AD (0, , )( 2,0,0) 22CP11AB0，CP AD0 ，∵22∴ CP AB ，CP AD ．又 AD AB A，∴CP平面 BAD．n AP4 x y z3303设面 PAC 的法向量为n ( x , y, z)，则n AC x y 0．取x y 1， z 3 ，则n(1,1,3) ，r rr r3 11cos| m n |又平面 DAC 的法向量为m( 0,0,1) ，∴m, n r r11 ．m n311∴二面角P AC D的余弦值11．18．以下图，已知AB 平面 BCD ，M、N分别是AC、AD的中点，BCCD．(I）求证：MN∥平面BCD；(II）求证：平面 B CD平面ABC；(III ）若 AB＝ 1， BC＝ 3 ，求直线AC与平面BCD所成的角．【答案】(1 ）因为M , N 分别是 AC , AD 的中点，因此MN / /CD ．又 MN平面BCD且CD平面BCD，因此MN / /平面BCD．(2) 因为AB平面BCD,CD平面BCD，因此A B CD ．又 CD BC且AB BC B ，因此CD平面ABC．又 CD 平面 BCD ，因此平面 BCD 平面 ABC ．(3) 因为AB平面BCD，因此ACB 为直线 AC 与平面 BCD 所成的角．金太阳新课标资源网在直角ABC中， AB=1,BC=3 ，因此 tan ACB AB3．因此 ACB 30o．故直线 AC 与平面 BCD 所成的角为30o．BC319．如图，已知正三棱柱ABC A1B1C1各棱长都为，P 为线段A1B上的动点.（Ⅰ）试确立A1P : PB 的值，使得 PC AB ；( Ⅱ）若A1P : PB 2:3，求二面角P AC B 的大小；【答案】【法一】（Ⅰ）当 PC AB时，作P在AB上的射影D.连结 CD.则AB平面 PCD ，∴ AB CD ，∴D是AB的中点，又 PD // AA1，∴P也是A1B的中点，即 A1P : PB 1 .反之当 A1P: PB1时，取AB的中点 D ，连结CD、 PD .∵ABC 为正三角形，∴CD AB .因为 P 为A1B的中点时，PD // A1A∵A1A平面ABC，∴PD平面 ABC ，∴PC AB .（Ⅱ）当 A1P : PB2:3时，作 P在 AB上的射影 D .则 PD底面 ABC.作D在 AC上的射影E，连结 PE，则PE AC.∴DEP 为二面角P AC B 的平面角.又∵ PD // AA1，∴BD BP3，∴ AD2a .∴ DE AD sin60o 3a ，又∵PD3，∴ PD3 a .∴DA PA1255AA155tan PED PD3，∴ P AC B 的大小为PED 60o.DE【法二】以 A 为原点， AB为轴，过 A 点与 AB 垂直的直线为y 轴，AA1为轴，成立空间直角坐标系 A xyz，以下图，设P x,0, z ，则 B a,0,0、 A1 0,0, a、 C a ,3a,0 .（Ⅰ）由22uuur uuur0 得a3a, z a,0,00 ，即xa0 ，∴ x1a ，即P为 A1 B 的CP AB x,2a222中点，也即A1P : PB1时，PC AB .金太阳新课标资源网(时， P 点的坐标是2a,0,3a.ur. 则Ⅱ）当A1P : PB2:3取m3,3, 255ur uuur22a ,0, 3a ur uuur3,3,2 a ,3a,0urm AP 3, 3,0 ， m AC0 .∴ m 是平面5522r ur r ur r1PAC 的一个法向量.又平面 ABC 的一个法向量为m nn0,0,1 . cos m, n ur r，∴二面m n2角 P AC B 的大小是60o.20．一个多面体的直观图和三视图以下图：(I ）求证： PA⊥ BD；(II）连结AC、BD交于点O，在线段PD上能否存在一点Q，使直线OQ与平面 ABCD所成的角为DQ30o？若存在，求DP的值；若不存在，说明原因．【答案】 (I ）由三视图可知P-ABCD为四棱锥，底面ABCD为正方形，且PA＝ PB＝ PC＝ PD，连结 AC、 BD 交于点 O，连结 PO．因为 BD⊥ AC， BD⊥ PO，因此 BD⊥平面PAC，即 BD⊥ PA．(II）由三视图可知，BC＝ 2， PA＝ 22，假定存在这样的点Q，因为 AC⊥ OQ， AC⊥ OD，因此∠ DOQ为直线 OQ与平面ABCD所成的角在△ POD中， PD＝ 22，OD＝2，则∠PDO＝60o，在△ DQO中，∠ PDO＝ 60o ，且∠ QOD＝ 30o ．因此 DP⊥ OQ．2DQ1因此 OD＝2，QD＝ 2 ．因此 DP 4 ．金太阳新课标资源网21．如图，在四梭锥P -ABCD 中，底面ABCD是矩形， PA⊥平面 ABCD,AD =2， AB＝ 1. 点 M线段PD的中点．(I ）若 PA＝ 2，证明：平面ABM ⊥平面 PCD；(II ）设 BM与平面 PCD所成的角为θ，当棱锥的高变化时，求sin θ的最大值．【答案】 ( Ⅰ) ∵PA平面ABCD，PA AD .∵点 M为线段 PD的中点， PA= AD =2 ，PD AM.又∵ AB平面 PAD ， PD AB.PD平面 ABM .又 PD 平面 PCD，∴平面ABM⊥平面 PCD .( Ⅱ ) 设点 B 到平面 PCD的距离为d .∵AB∥ CD, ∴ AB∥平面 PCD.∴点 B 到平面 PCD的距离与点 A 到平面 PCD的距离相等.过点 A 在平面 PAD内作 AN⊥ PD于 N,平面ABM⊥平面 PCD ，AN平面 PCD .因此 AN就是点 A 到平面 PCD的距离 .设棱锥的高为，则 d AN=2x.4 x 2在 Rt △ABM中，BMAB2AM2AB2PD)2AD 2AP 22x2 (14.24金太阳新课标资源网2xd 4 x 24x4BMx 232 12 x 2x432 2 sin2412x2x.因为 1232 x212 2 32 2 22 ，当且仅当 32x 2，即 x 432 时，等号成立 .2x 2x 2sin442 2 232212 x22 2 2.故 x 222．如图，四棱锥 P — ABCD 中， PD ⊥平面 ABCD ，底面 ABCD 为矩形， PD=DC=4， AD=2， E 为 PC 的中点 .(I ）求证： AD ⊥ PC ；(II ）求三棱锥 P-ADE 的体积；(III）在线段 AC 上能否存在一点 M ，使得 PA// 平面 EDM ，若存在，求出 AM 的长；若不存在，请说明原因 .【答案】（ I ）因为 PD ⊥平面 ABCD.因此 PD ⊥ AD.又因为 ABCD 是矩形，因此 AD ⊥ CD.因为 PD CD D ,因此 AD ⊥平面 PCD.又因为 PC平面 PCD ，因此 AD ⊥ PC.(II ）因为 AD ⊥平面 PCD ， V =V ，P-ADEA-PDE因此 AD 是三棱锥 A — PDE 的高 .因为 E 为 PC 的中点，且 PD=DC=4，因此 S PDE1S PDC1 1 44 4.22 2又 AD=2，北京师范大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练：空间几何体金太阳新课标资源网因此V A PDE 1AD SPDE1 2 48 . 333(III ）取 AC中点 M，连结EM、 DM，因为 E 为 PC 的中点， M是 AC 的中点，因此 EM//PA ，又因为 EM平面EDM，PA平面EDM，因此 PA// 平面 EDM.因此AM1AC 5.2即在 AC边上存在一点M，使得 PA// 平面 EDM， AM的长为 5 .第11页共11页金太阳新课标资源网。
【全程复习方略】（陕西专用）2013版高考数学 7.1 空间几何体的结构特征及三视图和直观图课时提能演练理北师大版(40分钟 60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.(2012·郑州模拟)以下四个命题：①正棱锥的所有侧棱相等；②直棱柱的侧面都是全等的矩形；③圆柱的母线垂直于底面；④用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形.其中，真命题的个数为( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)12. 将如图所示的一个直角三角形ABC(∠C=90°) 绕斜边AB旋转一周，所得到的几何体的主视图是下面四个图形中的( )3.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )[4.(2012·潍坊模拟)如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为( )(A)3(B)23(C)4 (D)22二、填空题(每小题5分，共10分)5. (易错题)一正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的可能图形为_______(只填写序号).6.(预测题)已知一个几何体的三视图如图，主视图和左视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是(写出所有正确结论的编号) .①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；④每个面都是等腰三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.三、解答题(每小题15分，共30分)7.已知：图①是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图②是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成8.一几何体按比例绘制的三视图如图所示.(1)试画出它的直观图(直接画出即可)；(2)求该几何体的表面积和体积.答案解析1.【解析】选B.由正棱锥的定义可知所有侧棱相等，故①正确；由于直棱柱的底面不一定是正多边形，故侧面矩形不一定全等，因此②不正确；由圆柱母线的定义可知③正确；结合圆锥轴截面的作法可知④正确.综上，正确的命题有3个.2.【解析】选B.由题意可得直角三角形绕斜边AB旋转一周所得几何体为具有公共底面的两个圆锥，故其主视图为具有公共底边的两个等腰三角形.【方法技巧】由直观图画三视图的技巧(1)可以想象将一几何体放在自己面前,然后从正前方,左侧及上面观察该几何体,进而得到主视图、左视图和俯视图.(2)在画三视图时,要注意看得见的轮廓线画成实线,看不见的轮廓线画成虚线.3.【解析】选A.由题意知直观图是边长为1的正方形，对角线长为2，所以原图形为平行四边形,且位于y轴上的对角线长为22.4.【解析】选B.由三视图知，该几何体为四棱锥P－ABCD(如图)，其中底面ABCD是边长为2的正方形，PC⊥平面ABCD，PC＝2.故PB＝PD＝22，PA＝22＋22＋22＝23，所以最长棱的长为2 3.5.【解析】当截面与正方体的某一面平行时，可得①，将截面旋转可得②，继续旋转，过正方体两顶点时可得③，即正方体的对角面，不可能得④. 答案：①②③6.【解析】由三视图可知该几何体为底面是边长为a 的正方形，高为b 的长方体.若以四个顶点为顶点的图形为平行四边形，则一定是矩形，故②不正确，其余验证都正确. 答案：①③④⑤7.【解析】图①几何体的三视图为：[图②所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体. 8.【解析】(1)直观图如图所示，(2)由三视图可知该几何体是长方体被截去一部分，且该几何体的体积是以A 1B 1,A 1D 1,A 1A 为长，宽，高的长方体体积的34.在直角梯形AA 1B 1B 中，作BE ⊥A 1B 1于E ，则AA 1EB 是正方形.∴AA 1=EB=1.在Rt △BEB 1中，EB=EB 1=1，∴BB 1∴几何体的表面积1111111111AA D D BB C C ABCD A B C D AA B B S S 2S S S S =++++正方形矩形正方形矩形梯形=1+2×12×(1+2)×1+1×几何体的体积V=34×1×2×1=32.即所求几何体的表面积为7+32. 【变式备选】如图1，在四棱锥P-ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，图2为该四棱锥的主视图和左视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形.(1)根据图2所给的主视图、左视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积； (2)求侧棱PA 的长.【解析】(1)该四棱锥的俯视图为内含对角线，边长为6 cm 的正方形，如图，其 面积为36 cm 2. (2)由左视图可求得PD ===由主视图可知AD=6且AD ⊥PD ， 所以在Rt △APD 中，)PA cm .===。
9-1空间几何体的结构特征及其直观图、三视图基础巩固强化1.(文)(2011·合肥市质检)下图是一个几何体的三视图，其中正(主)视图和侧(左)视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是( )A ．6πB ．12πC ．18πD ．24π[答案] B[解析] 由三视图知，该几何体是两底半径分别为1和2，母线长为4的圆台，故其侧面积S ＝π(1＋2)×4＝12π.(理)一个几何体的三视图如图所示，正视图上部是一个边长为4的正三角形，下部是高为3两底长为3和4的等腰梯形，则其表面积为( )A.31π2B.63π2C.π4(57＋737) D.π4(41＋737) [答案] D [解析]由三视图知，该几何体是一个组合体，上部是底半径为2，高为23的圆锥，下部是两底半径分别为2和32，高为3的圆台，其表面积S ＝π×2×4＋π(2＋32)×372＋π·(32)2＝π4(41＋737)，故选D. 2．如图所示是水平放置三角形的直观图，D 是△ABC 的BC 边中点，AB 、BC 分别与y ′轴、x ′轴平行，则三条线段AB 、AD 、AC 中( )A ．最长的是AB ，最短的是AC B ．最长的是AC ，最短的是AB C ．最长的是AB ，最短的是AD D ．最长的是AC ，最短的是AD [答案] B[解析] 由条件知，原平面图形中AB ⊥AC ，从而AB <AD <AC .3．(文)(2012·河南六市联考)如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的全面积为( )A．14 3 B．6＋2 3 C．12＋2 3 D．16＋2 3 [答案] C[解析] 该几何体是一个正三棱柱，设底面正三角形边长为a，则32a＝3，∴a＝2，又其高为2，故其全面积S＝2×(34×22)＋3×(2×2)＝12＋2 3.(理)(2011·北京西城模拟)一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的是( )A．①②B．②③C．③④D．①④[答案] B[解析] 根据三视图画法规则“长对正，高平齐、宽相等”，俯视图应与正视图同长为3，与侧视图同宽为2，故一定不可能是圆和正方形．4．(文)(2011·广东文，9)如下图，某几何体的正视图(正视图)，侧视图(侧视图)和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为( )A ．4 3B ．4C ．2 3D ．2[答案] C[解析] 由三视图知该几何体是四棱锥，底面是菱形，其面积S ＝12×23×2＝23，高h ＝3，所以V ＝13Sh ＝13×23×3＝2 3.(理)(2012·保定市一模)一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为m)，则该棱锥的体积是(单位：m 3)．( )A ．4＋2 6B ．4＋ 6 C.23 D.43[答案] D[解析] 由侧视图和俯视图是全等的等腰三角形，及正视图为等腰直角三角形可知，该几何体可看作边长AB ＝BC ＝3，AC ＝1的△ABC 绕AC 边转动到与平面△PAC 位置(平面PAC ⊥平面ABC )所形成的几何体，故其体积V ＝13×(12×2×2)×2＝43.5．(文)(2011·广东省东莞市一模)一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为12π＋853，则正视图与侧视图中x 的值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2 [答案] C[解析] 根据题中的三视图可知，该几何体是圆柱和正四棱锥的组合体，圆柱的底半径为2，高为x ，四棱锥的底面正方形对角线长为4，四棱锥的高h ＝32－22＝5，其体积为V ＝13×8×5＋π×22×x ＝12π＋853，解得x ＝3. (理)(2011·新课标全国理，6)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )[答案] D [解析]由正视图知该几何体是锥体，由俯视图知，该几何体的底面是一个半圆和一个等腰三角形，故该几何体是一个半圆锥和一个三棱锥组成的，两锥体有公共顶点，圆锥的两条母线为棱锥的两侧棱，其直观图如图，在侧视图中，O 、A 与C 的射影重合，侧视图是一个三角形△PBD ，OB ＝OD ，PO ⊥BD ，PO 为实线，故应选D.6．(文)(2012·河北郑口中学模拟)某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为13，则该几何体的俯视图不可以是( )[答案] D[解析] 由正视图及俯视图可知该几何体的高为1，又∵其体积为13，故为锥体，∴S 底＝1，A 中为三角形，此时其底面积为12，舍去；B 为14个圆，底面积为π4，也舍去，C 为圆，其面积为π舍去，故只有D 成立．[点评] 如果不限定体积为13，则如图(1)在三棱锥P －ABC 中，AC ⊥BC ，PC ⊥平面ABC ，AC ＝BC ＝PC ＝1，则此三棱锥满足题设要求，其俯视图为等腰直角三角形A ；如图(2)，底半径为1，高为1的圆锥，被截面POA 与POB 截下一角，OA ⊥OB ，则此时几何体满足题设要求，其俯视图为B ；如图(3)，这是一个四棱锥，底面是边长为1的正方形，PA ⊥平面ABCD ，此几何体满足题设要求，其俯视图为D.(理)(2012·大同市调研)已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．8 B.203 C.173D.143[答案] C[解析] 由题可知，原正方体如图所示，被平面EFB 1D 1截掉的几何体为棱台AFE －A 1B 1D 1，则所求几何体的体积V ＝23－V A 1B 1D 1－AEF ＝23－13×(2＋12＋2×12)×2＝173，故选C.7．已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，其中正(主)视图是直角梯形，侧(左)视图和俯视图都是矩形，则这个几何体的体积是________cm 3.[答案] 32[解析] 依据三视图知，该几何体的上、下底面均为矩形，上底面是边长为1的正方形，下底面是长为2，宽为1的矩形，左侧面是与底面垂直的正方形，其直观图如图所示，易知该几何体是四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，其体积V ＝S 梯形ABCD ·AA 1＝1＋2×12×1＝32cm 3. 8．(2011·皖南八校联考)已知三棱锥的直观图及其俯视图与侧视图如下，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图面积为________．[答案] 2[解析] 由条件知，该三棱锥底面为正三角形，边长为2，一条侧棱与底面垂直，该侧棱长为2，故正视图为一直角三角形，两直角边的长都是2，故其面积S ＝12×2×2＝2.9．(2011·安徽知名省级示范高中联考)在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过对角线BD 1的一个平面交AA 1于E ，交CC 1于F ，得四边形BFD 1E ，给出下列结论：①四边形BFD 1E 有可能为梯形； ②四边形BFD 1E 有可能为菱形；③四边形BFD 1E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形； ④四边形BFD 1E 有可能垂直于平面BB 1D 1D ； ⑤四边形BFD 1E 面积的最小值为62. 其中正确的是________．(请写出所有正确结论的序号) [答案] ②③④⑤[解析] ∵平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1，平面BFD 1E ∩平面ADD 1A 1＝D 1E ，平面BFD 1E ∩平面BCC 1B 1＝BF ，∴D 1E ∥BF ；同理BE ∥FD 1，∴四边形BFD 1E 为平行四边形，①显然不成立；当E 、F 分别为AA 1、CC 1的中点时，易证BF ＝FD 1＝D 1E ＝BE ，∴EF ⊥BD 1，又EF ∥AC ，AC ⊥BD ，∴EF⊥BD ，∴EF ⊥平面BB 1D 1D ，∴平面BFD 1E ⊥平面BB 1D 1E ，∴②④成立，四边形BFD 1E 在底面的投影恒为正方形ABCD .当E 、F 分别为AA 1、CC 1的中点时，四边形BFD 1E 的面积最小，最小值为62. 10．在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且AD ＝PD ＝2MA .(1)求证：平面EFG ⊥平面PDC ；(2)求三棱锥P －MAB 与四棱锥P －ABCD 的体积之比． [解析] (1)证明：∵MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ， ∴PD ⊥平面ABCD ，又BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC ， ∵四边形ABCD 为正方形，∴BC ⊥DC . ∵PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PDC .在△PBC 中，因为G 、F 分别为PB 、PC 的中点， ∴GF ∥BC ，∴GF ⊥平面PDC .又GF ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PDC .(2)不妨设MA ＝1，∵四边形ABCD 为正方形，∴PD ＝AD ＝2， 又∵PD ⊥平面ABCD ，所以V P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PD ＝83.由于DA ⊥平面MAB ，且PD ∥MA ， 所以DA 即为点P 到平面MAB 的距离， 三棱锥V P －MAB ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2×2＝23.所以V P －MAB ：V P －ABCD ＝1：4.能力拓展提升11.(2011·湖南六市联考)一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图中△ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为( )A.32B.12 C ．1 D ．2[答案] A[解析] 由三视图知，该几何体是正六棱锥，底面正六边形的边长为1，侧棱长为2，故侧视图为一等腰三角形，底边长3，高为正六棱锥的高3，故其面积为S ＝12×3×3＝32. 12．(2011·皖南八校联考)已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为( )[答案] B [解析]由三视图间的关系，易知其侧视图是一个底边为3，高为2的直角三角形，故选B. [点评] 由题设条件及正视图、俯视图可知，此三棱锥P －ABC 的底面是正△ABC ，侧棱PB ⊥平面ABC ，AB ＝2，PB ＝2.13．(2012·内蒙包头市模拟)一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是________．[答案] 16π[解析] 由三视图知，该几何体是一个正三棱柱，底面正三角形边长为3，高为2，故其外接球半径R 满足R 2＝(22)2＋(23×32×3)2＝4，∴R ＝2，∴S 球＝4πR 2＝16π.14．(2011·南京市调研)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm.[答案] 13[解析] 如图，将三棱柱侧面A1ABB1置于桌面上，以A1A为界，滚动两周(即将侧面展开两次)，则最短线长为AA″1的长度，∴AA1＝5，AA″＝12，∴AA″1＝13.15．圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的半径长与两底面面积的和．[解析] 如图所示，设圆台上底面半径为r，则下底面半径为2r，且∠ASO ＝30°， 在Rt △SA ′O ′中，rSA ′＝sin30°， ∴SA ′＝2r ，在Rt △SAO 中，2rSA＝sin30°，∴SA ＝4r .∵SA －SA ′＝AA ′，即4r －2r ＝2a ，r ＝a . ∴S ＝S 1＋S 2＝πr 2＋π(2r )2＝5πr 2＝5πa 2.∴圆台上底面半径为a ，下底面半径为2a ，两底面面积之和为5πa 2.16．(文)(2011·青岛质检)如下的三个图中，上面是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； (2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积． [解析] (1)如图．(2)所求多面体体积V ＝V 长方体－V 正三棱锥 ＝4×4×6－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×2＝2843(cm 3)． (理)多面体PABCD 的直观图及三视图如图所示，E 、F 分别为PC 、BD 的中点．(1)求证：EF ∥平面PAD ； (2)求证：PA ⊥平面PDC .[解析] 由多面体PABCD 的三视图知，该几何体是四棱锥，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD 是等腰直角三角形，PA ＝PD ＝2，且平面PAD ⊥平面ABCD .(1)连接AC ，则F 是AC 的中点， 又∵E 是PC 的中点， ∴在△CPA 中，EF ∥PA ， 又PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD .(2)∵平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， 又CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面PAD ， ∴CD ⊥PA .∵△PAD 是等腰直角三角形，且∠APD ＝π2.即PA ⊥PD .又CD ∩PD ＝D ，∴PA ⊥平面PDC .1．(2011·宁夏银川一中检测)如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是( )[答案] B[分析] 可以直接根据变化率的含义求解，也可以求出函数的解析式进行判断．[解析] 容器是一个倒置的圆锥，由于水是均匀注入的，故水面高度随时间变化的变化率逐渐减少，表现在函数图象上就是其切线的斜率逐渐减小，故选B.[点评] 本题在空间几何体三视图和函数的变化率交汇处命制，重点是对函数变化率的考查，这种在知识交汇处命制题目考查对基本概念的理解与运用的命题方式值得重视．2.(2011·惠州模拟)用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体，其正视图、侧视图都是如图所示的图形，则这个几何体的最大体积与最小体积的差是( )A．6 B．7 C．8 D．9[答案] A3．(2011·河源模拟)如图所示，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的正视图是( )[答案] B[解析] 箭头所指正面的观察方向与底面直角三角形边长为4的边平行，故该边的射影为一点，与其垂直的直角边的长度3不变，高4不变，故选B.4.(2011·辽宁文，8)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如右图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的面积是( )A ．4B ．2 3C ．2 D. 3[答案] B[解析] 由题意可设棱柱的底面边长为a ，则其体积为34a 2·a ＝23，得a ＝2. 由俯视图易知，三棱柱的侧视图是以2为长，3为宽的矩形．∴其面积为2 3.故选B.5．(2011·天津理，10)一个几何体的三视图如下图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.[答案] π＋6[解析] 根据三视图知该几何体是一个长方体上面放一个圆锥．因而V＝V长方体＋V圆锥，又知长方体长、宽、高分别为3、2、1，圆锥的底面半径为1，高为3，从而求出体积为(π＋6)m3.6．下图是一几何体的直观图和三视图．(1)若F为PD的中点，求证：AF⊥平面PCD；(2)求几何体BEC－APD的体积．[解析] (1)证明：由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，PA＝2EB＝4.∵PA＝AD，F为PD的中点，∴PD⊥AF.又∵CD⊥DA，CD⊥PA，∴CD⊥AF.∴AF ⊥平面PCD .(2)V BEC －APD ＝V C －APEB ＋V P －ACD ＝13×12×(4＋2)×4×4＋13×12×4×4×4＝803.。
课后限时集训 41空间几何体的构造特点、三视图和直观图建议用时： 45 分钟一、选择题1．在一个密闭透明的圆柱筒内装必定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜搁置时，指出圆柱桶内的水平面能够体现出的几何形状不行能是()A．圆面B．矩形面C．梯形面D．椭圆面或部分椭圆面C[ 当圆柱筒竖直搁置时，液面形状为圆形，当圆柱筒水平搁置时，液面为矩形，当圆柱筒倾斜搁置时，若液面经过底面，则液面为椭圆的一部分，若液面不经过底面，则液面为椭圆，应选 C.]2．一水平搁置的平面图形，用斜二测画法画出它的直观图如下图，此直观图恰巧是一个边长为 2 的正方形，则原平面图形的面积为()A． 2 3 B． 2 2C． 4 3 D． 8 2D [ 直观图的面积S直＝22＝4，则原平面图形的面积S原＝2 2×S直＝2 2×4＝ 8 2，故选 D.]3．一个锥体的主视图和左视图如下图，下边选项中，不行能是该锥体的俯视图的是()A B C DC[A ，B，D 选项知足三视图作法例则， C 不知足三视图作法例则中的宽相等，故 C 不行能是该锥体的俯视图． ]4．将长方体截去一个四棱锥后获得的几何体如下图，则该几何体的左视图为()A B C DD[ 易知左视图的投影面为矩形．又 AF的投影线为虚线，∴该几何体的左视图为选项 D.]5．若某几何体的三视图如下图，则这个几何体的直观图能够是()A B C DD[ 由主视图清除 A， B，由俯视图清除 C，应选 D.]二、填空题6．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm 和 8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为________cm.13[ 如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.在 Rt△ACB中，AC＝ 12 cm，BC＝ 8－3＝ 5(cm) ．因此 AB＝122＋ 52＝ 13(cm) ． ]7．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P- ABC的主视图与左视图的面积的比值为 ________．1 [ 主视图与左视图都是底面边长和高相等的三角形，故面积比值为 1.]8．已知某组合体的主视图与左视图同样，如下图，此中AB＝AC，四边形BCDE为矩形，则该组合体的俯视图能够是________． ( 填正确的序号 )①②③④[ 由组合体的主视图与左视图可知，该组合体能够是正四棱柱与正四棱锥的组合体，则该组合体的俯视图为①；该组合体能够是圆柱与正四棱锥的组合体，则该组合体的俯视图为②；该组合体能够是圆柱与圆锥的组合体，则该组合体的俯视图为③；该组合体能够是正四棱柱与圆锥的组合体，则该组合体的俯视图为④ .]三、解答题9．某几何体的三视图如下图：(1) 判断该几何体是什么几何体？(2) 画出该几何体的直观图．[ 解 ] (1) 该几何体是一个正方体切掉两个14圆柱后的几何体．(2) 直观图如下图．10．如图 1，在四棱锥P- ABCD中，底面为正方形， PC与底面 ABCD垂直，如图2 为该四棱锥的主视图和左视图，它们是腰长为 6 cm 的全等的等腰直角三角形．图 1图 2(1)依据图中所给的主视图、左视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求 PA.[ 解 ] (1) 该四棱锥的俯视图为( 内含对角线 ) 边长为 6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2.俯视图(2) 由左视图可求得PD＝2 2 2 2PC＋ CD＝ 6 ＋ 6 ＝6 2 (cm) ．由主视图可知AD＝6，且 AD⊥ PD，因此在 Rt△中，＝2＋2＝ 6 2 2＋62APD PA PD AD＝6 3 (cm) ．1．如下图，四周体ABCD的四个极点是长方体的四个极点( 长方体是虚构图形，起协助作用 ) ，则四周体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)()A．①②⑥B．①②③C．④⑤⑥D．③④⑤B [ 四周体ABCD的四个极点是长方体的四个极点，可得四周体ABCD的主视图为①，左视图为②，俯视图为③，应选 B.]2．(2017 ·北京高考) 某四棱锥的三视图如下图，则该四棱锥的最长棱的长度为()A． 3 2 B． 2 3C． 2 2 D． 2B[ 在正方体中复原该四棱锥，如下图，可知 SD为该四棱锥的最长棱．由三视图可知正方体的棱长为2，故 SD＝22＋22＋22＝2 3.应选 B.]3．三棱锥S- ABC及其三视图中的主视图和左视图如下图，则棱SB的长为________．4 2 [ 由已知中的三视图可得SC ⊥平面 ABC ，且底面△ ABC 为等腰三角形，在△ ABC 中 AC ＝4， AC 边上的高为2 3，故 BC ＝4，在 Rt △ SBC 中，由 SC ＝ 4，可得 SB ＝ 42.]4．如图，一立在水平川面上的圆锥形物体的母线长为4 m ，一只小虫从圆锥的底面圆上的点 P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P 处．若该小虫爬行的最短行程为 4 3 m ，则圆锥底面圆的半径等于 ________m.4P 的母线睁开成如下图的扇形，[ 把圆锥侧面沿过点3由题意 OP ＝ 4， PP ′＝ 4 3，42＋ 42－ 4 32则 cos ∠ POP ′＝ 2×4×412π. 设底面圆的半径为 r ，则 2π ＝ 2π r 4＝－ ，因此∠ ′＝ ×4，因此 ＝ .]2 POP 3r 3 31．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1 中， E 为棱 BB 1 的中点，用过点 A ， E ，C 1 的平面截去该正方体的下半部分，则节余几何体的主视图是()AB C DA [ 正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中，过点 A ，E ， C 1 的平面截去该正方体的下半部分后，节余部分的直观图如图：则该几何体的主视图为图中粗线部分．应选 A.]2．刍甍，中国古代算数中的一种几何形体，《九章算术》中记录：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”如图为一个刍甍的三视图，此中主视图为等腰梯形，左视图为等腰三角形，则该茅草屋顶的面积为________．32 5 [ 如图：E，F在平面ABCD内的垂足分别为Q，G，则 QG＝FG＝4，H为 AB的中点，则 GH＝2，于是FH＝2 25，FG＋ GH＝2＝2＋2＝ 20＋ 22＝ 2 6. FA FH HA点 G在 DA边上的垂足为P，则 AP＝2.FP＝2 2FA－ AP＝2 5，∴ S△ABF＝21AB· FH＝21×4×25＝4 5，1 1S 梯形ADEF＝2( AD＋ EF)· FP＝2(8＋4)×25＝ 12 5，因此茅草屋顶的面积为2×(4 5＋12 5) ＝32 5.]。
第七篇立体几何(必修2)第1节空间几何体的结构及三视图和直观图课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.(2013山东烟台模拟)如图是底面半径为1,母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体,则该组合体的侧(左)视图的面积为( C )(A)8π(B)6π(C)4+(D)2+解析:该组合体的侧(左)视图为其中正方形的边长为2,三角形为边长为2的三角形,所以侧(左)视图的面积为22+×22×=4+,故选C.2.(2013山东莱州模拟)一个简单几何体的正(主)视图,侧(左)视图如图所示,则其俯视图不可能为①长方形;②直角三角形;③圆;④椭圆.其中正确的是( C )(A)①(B)② (C)③ (D)④解析:当该几何体的俯视图为圆时,由三视图知,该几何体为圆柱,此时,正(主)视图和侧(左)视图应相同,所以该几何体的俯视图不可能是圆,其余都有可能.故选C.3.(2013韶关市高三调研)某几何体的三视图如图所示,根据图中标出的数据,可得这个几何体的表面积为( B )(A)4+4 (B)4+4(C) (D)12解析:由三视图知该几何体为正四棱锥P ABCD,底面边长为2,高PO=2,如图所示,取CD的中点E,连接OE、PE,则PE==,因此几何体的表面积为2×2+×2×4×=4+4,故选B.4.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( A )(A)2+(B)(C)(D)1+解析:由题意画出斜二测直观图及还原后原图,由直观图中底角均为45°,腰和上底长度均为1,得下底长为1+,所以原图上、下底分别为1,1+,高为2的直角梯形.所以面积S=(1++1)×2=2+.故选A.5.(2013北京东城区模拟)已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形,则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为( D )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:由题意可知,几何体是三棱锥,其放置在长方体中形状如图所示,利用长方体模型可知,此三棱锥A BCD的四个面中,全部是直角三角形.故选D.6.(2013广州市毕业班测试(二))一个圆锥的正(主)视图及其尺寸如图所示,若一个平行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1∶7的上、下两部分,则截面的面积为( C )(A)π(B)π (C)π(D)4π解析:由题意知,该几何体是底面半径为3,高为4的圆锥.由截面性质知截面圆半径为×3=,故截面的面积为π·（）2=,故选C.7.下面是关于四棱柱的四个命题:①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;②若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱;④若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱.其中真命题为( D )(A)①②(B)①③(C)②③(D)②④解析:对于①,平行六面体的两个相对侧面与底面垂直且互相平行,而另两个相对侧面可能与底面不垂直,则不是直棱柱,故①假;对于②,两截面的交线平行于侧棱,且垂直于底面,故②真;对于③,作正四棱柱的两个平行菱形截面,可得满足条件的斜四棱柱(如图(1)所示),故③假;对于④,四棱柱一个对角面的两条对角线,恰为四棱柱的对角线,故对角面为矩形,于是侧棱垂直于底面的一条对角线,同样侧棱也垂直于底面的另一条对角线,故侧棱垂直于底面,故④真.故选D.二、填空题8.如图所示的Rt△ABC绕着它的斜边AB旋转一周得到的图形是.解析:过Rt△ABC的顶点C作线段CD⊥AB,垂足为D,所以Rt△ABC绕着它的斜边AB旋转一周后应得到的是以CD作为底面圆的半径的两个圆锥的组合体.答案:两个圆锥的组合体9.一个几何体的正(主)视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的(填入所有可能的几何体前的编号).①三棱锥;②四棱锥;③三棱柱;④四棱柱;⑤圆锥;⑥圆柱.解析:显然①②⑤均有可能;当三棱柱放倒时,其正(主)视图可能是三角形,所以③有可能,④不可能.答案:①②③⑤10.如图,点O为正方体ABCD A′B′C′D′的中心,点E为平面B′BCC′的中心,点F为B′C′的中点,则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的投影可能是(填出所有可能的序号).解析:空间四边形D′OEF在正方体的平面DCC′D′上的投影是①;在平面BCC′B′上的投影是②;在平面ABCD上的投影是③,而不可能出现投影为④的情况.答案:①②③11.(2013山东烟台模拟)如图,三棱柱的侧棱长为2,底面是边长为2的正三角形,AA1⊥面A1B1C1,正(主)视图是边长为2的正方形,俯视图为正三角形,则侧(左)视图的面积为.解析:因为俯视图为正三角形,所以俯视图的高为,侧视图为两直角边分别为2、的矩形,所以侧(左)视图的面积为2.答案:2三、解答题12.(2013西工大附中模拟)已知四棱锥P ABCD的三视图如图所示,求此四棱锥的四个侧面的面积中最大值.解:由三视图可知该几何体是如图所示的四棱锥,顶点P在底面的射影是底面矩形的顶点D.底面矩形边长分别为3,2,△PDC是直角三角形,直角边为3与2,所以S△PDC=×2×3=3.△PBC是直角三角形,直角边长为2,,三角形的面积为×2×=.△PAB是直角三角形,直角边长为3,2;其面积为×3×2=3.△PAD也是直角三角形,直角边长为2,2,三角形的面积为×2×2=2. 所以四棱锥P ABCD的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积为3.13.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积等于392 cm2,母线与轴的夹角为45°,求这个圆台的高、母线长和底面半径.解:圆台的轴截面如图.设圆台的上、下底面半径分别为x cm和3x cm,延长AA1交OO1的延长线于点S.在Rt△SOA中,∠ASO=45°,则∠SAO=45°.所以SO=AO=3x,OO1=2x.又×(6x+2x)×2x=392,解得x=7.所以圆台高OO母线长l=OO1=14 cm,底面半径分别为7 cm和21 cm.B组14.(2013广州高三调研)已知四棱锥P ABCD的三视图如图所示,则四棱锥P ABCD的四个侧面中面积最大的是( C )(A)3 (B)2(C)6 (D)8解析:四棱锥如图所示,PM=3,×4×=2,S△PDC=S△PAB=×4×3=6,S△PBC=S△PAD=×2×3=3,故四个侧面中面积最大的是6.15.(2013北京西城检测)三棱锥D ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示,则棱BD的长为.解析:取AC的中点E,连结BE,DE,由正(主)视图可知BE⊥AC,BE⊥DE.DC⊥平面ABC且DC=4,BE=2,AE=EC=2.所以BC====4,即BD====4.答案:416.三棱锥V ABC的底面是正三角形,顶点在底面ABC上的射影为正△ABC的中心,其三视图如图所示:(1)画出该三棱锥的直观图;(2)求出侧(左)视图的面积.解:(1)直观图如图所示.(2)根据三视图间的关系可得BC=2,作AM⊥BC于M,连结VM,过V作VO⊥AM于O,过O作EF∥BC交AB,AC于F、E,则△VEF即侧(左)视图.由=,得EF=.又VA=4,AM==3.则AO=2,VO===2.××2=4.所以S即侧(左)视图的面积为4.。
课时提升作业(四十二)一、选择题1.以下四个命题:①正棱锥的所有侧棱相等;②直棱柱的侧面都是全等的矩形;③圆柱的母线垂直于底面;④用经过旋转轴的平面截圆锥,所得的截面一定是全等的等腰三角形.其中,真命题的个数为( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)12.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )(A)①②(B)①③(C)①④(D)②④3.(2013·沈阳模拟)一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是( )4.如图,△ABC为正三角形,AA′∥BB′∥CC′,CC′⊥平面ABC且3AA′=错误！未找到引用源。
BB′=CC′=AB,则多面体ABC-A′B′C′的主视图是( )5.(2013·宁波模拟)一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示),∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,则这个平面图形的面积为( )(A)错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
(B)2+错误！未找到引用源。
(C)错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
(D)错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
6.一个正方体截去两个角后所得几何体的主视图、左视图如图所示,则其俯视图为( )7.(2013·西安模拟)一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A处出发,经正方体的表面,按最短路线爬行到达顶点C1位置,则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的主视图是( )(A)①②(B)①③(C)②④(D)③④二、填空题8.等腰梯形ABCD,上底CD=1,腰AD=CB=错误！未找到引用源。
,下底AB=3,以下底所在直线为x轴,则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为.9.(2013·临沂模拟)已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是错误！未找到引用源。
第一节空间几何体的结构特征及三视图与直观图授课提示：对应学生用书第339页〖A组基础保分练〗1．下列说法中，正确的是（）A．棱柱的侧面可以是三角形B．若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其他侧面也是矩形C．正方体的所有棱长都相等D．棱柱的所有棱长都相等〖解析〗棱柱的侧面都是平行四边形，选项A错误；其他侧面可能是平行四边形，选项B错误；棱柱的侧棱与底面边长并不一定相等，选项D错误；易知选项C正确．〖答案〗C2．某空间几何体的主视图是三角形，则该几何体不可能是（）A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱〖解析〗因为圆锥、四面体、三棱柱的主视图均可以是三角形，而圆柱无论从哪个方向看均不可能是三角形．〖答案〗A3．如图所示，知形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形OABC是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四边形〖解析〗在直观图中，O′C′＝C′D′＝2，所以O′D′＝22．如图所示，在原图形中，有OD⊥CD，OD＝42，CD＝2，所以OC＝OD2＋CD2＝6，从而得原图形四边相等，但CO与OA不垂直，所以原图形为菱形．〖答案〗C4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，图中粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．2 3 B．3C． 6 D． 5〖解析〗根据三视图，利用棱长为2的正方体分析知，该多面体是一个三棱锥，即三棱锥A1－MNP，如图所示，其中M，N，P是棱长为2的正方体相应棱的中点，可得棱A1M最长，A1M＝22＋22＋12＝3，故最长的棱的长度为3．〖答案〗B5．如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1，O2，这两个球外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是（）〖解 析〗由题意可以判断出两球在正方体的面上的正投影与正方形相切．由于两球球心连线AB 1与面ACC 1A 1不平行，故两球球心射影所连线段的长度小于两球半径的和，即两个投影圆相交，即为选项B ． 〖答 案〗B 6．（2021·彬州质检）一个几何体的三视图如图所示，其中主视图中△ABC 是边长为1的等边三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的左视图的面积为（ ）A ．38B ．34C ．1D ．32〖解 析〗由三视图可知该几何体为正六棱锥，其直观图如图所示．正六棱锥的底面正六边形的边长为12，侧棱长为1，高为32．左视图的底面边长为正六边形的高，为32，则该几何体的左视图的面积为12×32×32＝38．〖答 案〗A7．（2021·昆明模拟）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，左视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的主视图的面积等于_________．〖解 析〗由题知此正方体的主视图与左视图是一样的，主视图的面积与左视图的面积相等为2．〖答 案〗 28．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，下图为该四棱锥的主视图和左视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．（1）根据下图所给的主视图、左视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；（2）求P A．〖解析〗（1）该四棱锥的俯视图为（内含对角线）边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2．（2）由左视图可求得PD＝PC2＋CD2＝62＋62＝62．由主视图可知AD＝6，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，P A＝PD2＋AD2＝（62）2＋62＝6 3 cm．〖B组能力提升练〗1．已知某空间几何体的俯视图如图所示，则此几何体的主视图不可能为（）〖解析〗选项A，可想象为三个圆柱叠放在一起；选项B，可想象为三个球粘合在一起；选项C，可想象为一个圆台和一个圆柱叠放在一起；选项D，可想象为上面是一个小圆柱，下面是一个空心球，但其俯视图中的中间圆应为虚线，与题不符．〖答案〗D2．（2021·孝感模拟）如图，网格纸上的小方格都是正方形，粗实线画出的是一个锥体的左视图和俯视图，则该锥体的主视图可能是（）〖解析〗由俯视图和左视图可知原几何体是四棱锥，底面是长方形，且与长方形的长相交的某一侧面垂直于底面，所以主视图为A．〖答案〗A3．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M在主视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A．217 B．2 5C．3 D．2〖解析〗由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16，画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为MS2＋SN2＝22＋42＝25．〖答案〗B4．（2021·济南模拟）一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路径的主视图的是_________．〖解析〗由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1的位置，共有6种路线（对应6种不同的展开方式），若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展开到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过BB1的中点，此时对应的主视图为②；若把平面ABCD和平面CDD1C1展开到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过CD的中点，此时对应的主视图为④．而其他几种展开方式对应的主视图在题中没有出现．〖答案〗②④5．如图，点O为正方体ABCD-A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的正投影可能是（填出所有可能的序号）．〖解 析〗空间四边形D ′OEF 在正方体的面DCC ′D ′及其对面ABB ′A ′上的正投影是①；在面BCC ′B ′及其对面ADD ′A ′上的正投影是②；在面ABCD 及其对面A ′B ′C ′D ′上的正投影是③． 〖答 案〗①②③6．如图所示的三个图中，上面是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的主视图和左视图如图所示（单位：cm ）．（1）在主视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； （2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积． 〖解 析〗（1）如图．（2）所求多面体的体积V ＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－13×⎝⎛⎭⎫12×2×2×2＝2843（cm 3）． 〖C 组 创新应用练〗1．（2021·河北衡水中学联考）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈、长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知该楔体的主视图和俯视图如图中粗实线所示，则该楔体的左视图的周长为（ ）A ．3丈B ．6丈C ．8丈D ．（5＋13）丈〖解 析〗由题意可知该楔体的左视图是等腰三角形，它的底边长为3丈，相应高为2丈，所以腰长为22＋⎝⎛⎭⎫322＝52（丈），所以该楔体左视图的周长为3＋2×52＝8（丈）． 〖答 案〗C2．（2021·郑州质量预测）刍甍，中国古代算数中的一种几何形体，《九章算术》中记载；“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”如图为一个刍甍的三视图，其中主视图为等腰梯形，左视图为等腰三角形，则该茅草屋顶的面积为_________．〖解 析〗由三视图可知该几何体的直观图如图所示，其中S四边形ABED ＝S 四边形ACFD ，S △ABC ＝S △DEF ．过点A 向平面BCFE 作垂线，垂足为A ′，作AM ⊥CF 于点M ，作AN ⊥BC 于点N ，连接A ′N ，易知AA ′＝4，A ′N ＝CM ＝8－42＝2，CN ＝12BC ＝2．在Rt △AA ′N 中，AN ＝AA ′2＋A ′N 2＝42＋22＝25，在Rt △ANC 中，AC ＝CN 2＋AN 2＝22＋（25）2＝26，在Rt △AMC中，AM ＝AC 2－CM 2＝（26）2－22＝25．所以S 四边形ACFD ＝12×（4＋8）×25＝125，S △ABC ＝12×BC ×AN ＝12×4×25＝45．所以该茅草屋顶的面积为2×125＋2×45＝325．〖答案〗32 5。
