2019年高中数学第三章导数在研究函数中的应用3.3.3函数的最大(小)值与导数优化练习新人教

第三章 导数及其应用3。

3 导数在研究函数中的应用3。

3.3 函数的最大(小）值与导数A 级 基础巩固一、选择题1．下列说法正确的是（ )A ．函数在其定义域内若有最值与极值,则其极大值便是最大值，极小值便是最小值B ．闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值C ．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之,若有极值，则一定有最值D ．若函数在给定区间上有最大（小)值,则有且仅有一个最大（小）值,但若有极值，则可有多个极值解析：由极值与最值的区别知选D.答案：D2．函数f （x )＝错误!的最大值为（ )A ．e －1B ．eC ．e 2D ．10解析：令f ′（x )＝1－ln x x 2＝0（x >0），解得x ＝e 。

当x >e 时，f ′(x ）<0;当0<x 〈e 时，f ′（x ）>0,所以f (x ）极大值＝f （e ）＝e －1，在定义域内只有一个极值，所以f (x ）max ＝e －1。

答案：A3．函数f (x ）＝错误!x 2－ln x 的最小值为（ ）A 。

12B ．1C ．不存在D ．0 解析：f ′（x ）＝x －错误!＝错误!，且x >0，令f ′（x ）〉0，得x 〉1;令f ′（x ）<0，得0〈x <1。

所以f (x )在x ＝1时取最小值f (1）＝错误!－ln 1＝错误!。

答案:A4．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在（0，1）内有最小值，则a 的取值范围是（ ）A ．[0，1)B ．（0，1）C ．(－1，1)D 。

错误! 解析:因为f ′（x )＝3x 2－3a ，令f ′（x )＝0，可得a ＝x 2，又因为x ∈(0，1），所以 0＜a ＜1.答案:B5．已知函数f(x)、g（x)均为［a,b］上的可导函数,在［a，b]上连续且f′(x)＜g′（x），则f（x）－g（x）的最大值为( ）A．f（a)－g(a）B．f（b）－g（b）C．f（a)－g（b）D．f(b)－g（a）解析：令u（x）＝f（x)－g（x），则u′(x)＝f′(x)－g′（x）＜0，所以u(x）在［a，b]上为减函数，所以u（x)的最大值为u(a）＝f(a）－g（a）．答案:A二、填空题6．函数f（x)＝ln x－x在(0，e)上的最大值为________．解析:f′（x）＝错误!－1＝错误!(x>0）,令f′（x）〉0得0〈x〈1，令f′(x)〈0得x<0(舍去)或x〉1,所以f(x）在（0，1]上是增函数，在(1，e]上是减函数．所以当x＝1时，f（x)有最大值f（1)＝－1。

§函数的最大〔小〕值与导数
是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值 三．典例分析
例1．〔课本例5〕求()3
1443
f x x x =
-+在[]0,3的最大值与最小值 解：由例4可知，在[]0,3上，当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为4
(2)3
f =-
，又由于()04f =，()31f = 因此，函数()31443f x x x =-+在[]0,3的最大值是4，最小值是4
3
-．
上述结论可以从函数()3
1443
f x x x =-+在[]0,3上的图象得到直观验
证．
例2．求函数522
4
+-=x x y 在区间[]2,2-上的最大值与最小值
解：先求导数，得x x y 443
/-=
令/y ＝0即0443
=-x x 解得1,0,1321==-=x x x
导数/
y 的正负以及)2(-f ，)2(f 如下表
从上表知，当2±=x 时，函数有最大值13，当1±=x 时，函数有最小值4
例3．23()log x ax b
f x x
++=,x ∈(0,+∞).是否存在实数a b 、,使)
(x f 同时满足以下两个条件：〔1〕)(x f )在〔0，1〕上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；〔2〕)(x f 的最小值是1，假设存在，求出a b 、，假设不存在，说明理由.
解：设g (x )=x
b
ax x ++2
∵f (x )在〔0，1〕上是减函数，在［1，+∞)上是增函数 ∴g (x )在〔0，1〕上是减函数，在［1，+∞)上是增函数.。

3.3.3 函数的最大(小)值与导数【基础巩固】1.下列说法正确的是( D )(A)函数在其定义域内若有最值与极值,则其极大值便是最大值,极小值便是最小值(B)闭区间上的连续函数一定有最值,也一定有极值(C)若函数在其定义域上有最值,则一定有极值;反之,若有极值,则一定有最值(D)若函数在给定区间上有最大(小)值,则有且仅有一个最大(小)值,但若有极值,则可有多个极值解析:由极值与最值的区别知选D.2.函数f(x)=x3-3x(|x|<1)( D )(A)有最大值,但无最小值(B)有最大值,也有最小值(C)无最大值,但有最小值(D)既无最大值,也无最小值解析:f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),因为x∈(-1,1),所以f′(x)<0,即函数在(-1,1)上是单调递减的,所以既无最大值,也无最小值.故选D.3.函数f(x)=3x-x3(-≤x≤3)的最大值为( B )(A)18 (B)2 (C)0 (D)-18解析:f′(x)=3-3x2,令f′(x)=0,得x=±1,-≤x<-1时,f′(x)<0,-1<x<1时,f′(x)>0,1<x≤3时,f′(x)<0,故函数在x=-1处取极小值,在x=1处取极大值. 因为f(1)=2,f(-1)=-2,又f(-)=0,f(3)=-18,所以[f(x)]max=2,[f(x)]min=-18.故选B.4.(2018·大同高二检测)函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围是( B )(A)[0,1) (B)(0,1)(C)(-1,1) (D)(0,)解析:因为f′(x)=3x2-3a,令f′(x)=0,可得a=x2有解,又因为x∈(0,1),所以0<a<1.故选B.5.(2017·东莞市高二期末)已知a∈R,若不等式ln x-+x-2>0对于任意x∈(1,+∞)恒成立,则a的取值范围为( C )(A)(-∞,2] (B)(-∞,1](C)(-∞,-1] (D)(-∞,0]解析:由已知得,a<xln x+x2-2x,x∈(1,+∞),令f(x)=xln x+x2-2x(x>1),则f′(x)=ln x+2x-1,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)递增,故f(x)>-1,故a≤-1.故选C.6.函数f(x)=,x∈[-2,2]的最大值是,最小值是.解析:因为y′==,令y′=0可得x=1或-1.又因为f(1)=2,f(-1)=-2,f(2)=,f(-2)=-,所以最大值为2,最小值为-2.答案:2 -27.(2018·包头高二月考)函数f(x)=x2+2ax+1在[0,1]上的最小值为f(1),则a的取值范围为.解析:f′(x)=2x+2a,f(x)在[0,1]上的最小值为f(1),说明f(x)在[0,1]上单调递减,所以x∈[0,1]时,f′(x)≤0恒成立,f′(1)=2+2a≤0,所以a≤-1.答案:(-∞,-1]8.(2018·北海高二检测)已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.(1)求f(x)的单调递减区间;(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.解:(1)f(x)定义域为R,因为f′(x)=-3x2+6x+9.令f′(x)<0,解得x<-1或x>3,所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞).(2)由(1)及已知,f(x)在[-2,-1]上是减函数,在[-1,2]上是增函数,因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以f(2)>f(-2).于是有22+a=20,所以a=-2.所以f(x)=-x3+3x2+9x-2.所以f(-1)=1+3-9-2=-7,即f(x)最小值为-7.【能力提升】9.已知函数f(x),g(x)均为[a,b]上的可导函数,在[a,b]上连续且 f′(x)<g′(x),则f(x)-g(x)的最大值为( A )(A)f(a)-g(a) (B)f(b)-g(b)(C)f(a)-g(b) (D)f(b)-g(a)解析:[f(x)-g(x)]′=f′(x)-g′(x)<0,所以函数f(x)-g(x)在[a,b]上单调递减,所以f(x)-g(x)的最大值为f(a)-g(a).故选A.10.(2018·桂林高二检测)设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小值时t的值为( D )(A)1 (B)(C)(D)解析:|MN|的最小值,即函数h(x)=x2-ln x的最小值,h′(x)=2x-=,显然x=是函数h(x)在其定义域内惟一的极小值点,也是最小值点,故t=.11.已知函数f(x)=e x-2x+a有零点,则a的取值范围是.解析:函数f(x)=e x-2x+a有零点,即方程e x-2x+a=0有实根,即函数g(x)=2x-e x,y=a有交点,而g′(x)=2-e x,易知函数g(x)=2x-e x在 (-∞,ln 2)上递增,在(ln 2,+∞)上递减,因而g(x)=2x-e x的值域为 (-∞,2ln 2-2],所以要使函数g(x)=2x-e x,y=a有交点,只需a≤2ln 2-2即可.答案:(-∞,2ln 2-2]12.(2018·郑州高二质检)已知函数f(x)=(a-)x2+ln x(a∈R).(1)当a=1时,求f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值;(2)若在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)=x2+ln x,x>0,f′(x)=x+=;对于x∈[1,e],有f′(x)>0,所以f(x)在区间[1,e]上为增函数,所以f(x)max=f(e)=1+,f(x)min=f(1)=.(2)令g(x)=f(x)-2ax=(a-)x2-2ax+ln x,在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方,等价于g(x)<0在区间(1,+∞)上恒成立,因为g′(x)=(2a-1)x-2a+==.①若a>,令g′(x)=0,得x1=1,x2=,当x2>x1=1,即<a<1时,在(x2,+∞)上有g′(x)>0,此时g(x)在区间(x2,+∞)上是增函数,当x→+∞时,有(a-)x2-2ax→+∞,ln x→+∞,g(x)∈[g(x2),+∞),不合题意;当x2≤x1=1,即a≥1时,同理可知,g(x)在区间(1,+∞)上是增函数,当x→+∞时,有(a-)x2-2ax→+∞,ln x→+∞,g(x)∈(g(1),+∞),也不合题意.②若a≤,则2a-1≤0,此时在区间(1,+∞)上恒有g′(x)<0,从而g(x)在区间(1,+∞)上是减函数.要使g(x)<0在此区间上恒成立,只须满足g(1)=-a-≤0,即a≥-,所以-≤a≤.综上所述,a的取值范围是[-,].【探究创新】13.(2018·张家口高二检测)已知函数f(x)=x2e-ax(a>0),求函数在[1,2]上的最大值. 解:因为f(x)=x2e-ax(a>0),所以f′(x)=2xe-ax+x2(-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x).令f′(x)>0,即e-ax(-ax2+2x)>0,得0<x<.所以f(x)在(-∞,0),(,+∞)上是减函数,在(0,)上是增函数.当0<≤1,即a≥2时,f(x)在[1,2]上是减函数, 所以f(x)max=f(1)=e-a.当1<<2,即1<a<2时,f(x)在(1,)上是增函数,在(,2)上是减函数,所以f(x)max=f()=e-2.当≥2,即0<a≤1时,f(x)在[1,2]上是增函数,所以f(x)max=f(2)=4e-2a.综上所述,当0<a≤1时,f(x)的最大值为4e-2a;当1<a<2时,f(x)的最大值为e-2;当a≥2时,f(x)的最大值为e-a.。

3.3.3 最大值与最小值学习目标：1.能够区分极值与最值两个不同的概念． 2.掌握用导数求函数的极值与最值的步骤，会求闭区间上函数的最大值与最小值．(重点、难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．函数的最大值与最小值如果在函数定义域I 内存在x 0，使得对任意的x ∈I ，总有f (x )≤f (x 0)(f (x )≥f (x 0))，则f (x 0)为函数f (x )在定义域上的最大值(最小值)．2．求函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最值的步骤 第一步，求f (x )在区间(a ，b )上的极值；第二步，将第一步中求得的极值与f (a )，f (b )比较，得到f (x )在区间[a ，b ]上的最大值与最小值．[基础自测]1．判断正误：(1)函数的最大值一定是函数的极大值．( ) (2)开区间上的单调连续函数无最值．( )(3)函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( )【解析】 (1)×.反例：f (x )＝13x 3－32x 2＋2x ＋1在[0,10]的最大值是f (10)，而不是其极大值f (1)．(2)√.因为函数是单调函数，故无极值，又因为是开区间，所以最值不可能在区间端点上取到，故正确． (3)×.反例：f (x )＝－x 2在[－1,1]上的最大值为f (0)＝0，不在区间端点取得． 【答案】 (1)× (2)√ (3)×2．已知函数y ＝x 3－x 2－x ，该函数在区间[0,3]上的最大值是________． 【解析】 y ′＝3x 2－2x －1，由y ′＝0得3x 2－2x －1＝0， 得x 1＝－13，x 2＝1.∵f (0)＝0，f (1)＝－1，f (3)＝27－9－3＝15， ∴该函数在[0,3]上的最大值为15. 【答案】 15[合 作 探 究·攻 重 难]求函数f (x )＝2x 3－12x (x [思路探究] 求f ′(x )，研究f (x )在[－1,3]上的极值，并与f (－1)，f (3)比较确定最值． 【自主解答】 f ′(x )＝6x 2－12＝6(x 2－2)＝6(x ＋2)(x －2)． 由f ′(x )＝0得x ＝－2或x ＝ 2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由上表知函数f([规律方法]求一个函数在闭区间上的最值，只需先求出函数在闭区间上的极值，然后比较极值与区间端点处的函数值的大小，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值.[跟踪训练]1．求函数f(x)＝x(1－x2)，x∈[0,1]的最值.【导学号：95902236】【解】易知f′(x)＝1－3x2.令f′(x)＝1－3x2＝0，则x＝±33.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由上表知f(x)a为常数，求函数f(x)[思路探究] 此题是求函数在闭区间上的最值问题，要注意对参数a进行分类讨论．【自主解答】f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a)．若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，所以当x＝0时，有最大值f(0)＝0.若a＞0，则令f′(x)＝0，解得x＝±a.因为x∈[0,1]，所以只需考虑x＝a的情况．(1)0＜a＜1，即0＜a＜1时，当x＝a时，f(x)有最大值f(a)＝2a a.(如下表所示)(2)a≥1时，即a≥1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[0,1]上单调递增，当x＝1时，f(x)有最大值，f(1)＝3a－1.综上可知，当a≤0时，x＝0时，f(x)有最大值0.当0＜a＜1时，x＝a时，f(x)有最大值2a a.当a≥1时，x＝1时，f(x)有最大值3a－1.[规律方法]求函数在闭区间上的最值时，如果含有参数，则应进行分类讨论，由于函数的最值只能在极值点或端点处取得，所以只需比较极值点和端点处的函数值的大小即可，最后再将讨论的情况进行合并整理.[跟踪训练]2．已知函数f(x)＝g(x)·h(x)，其中函数g(x)＝e x，h(x)＝x2＋ax＋a.(1)求函数g(x)在(1，g(1))处的切线方程；(2)当0＜a＜2时，求函数f(x)在x∈[－2a，a]上的最大值；【导学号：95902237】【解】(1)g′(x)＝e x，故g′(1)＝e，所以切线方程为y－e＝e(x－1)，即y＝e x.(2)f(x)＝e x·(x2＋ax＋a)，故f′(x)＝(x＋2)(x＋a)e x，令f′(x)＝0，得x＝－a或x＝－2.①当－2a≥－2，即0＜a≤1时，f(x)在[－2a，－a]上单调递减，在[－a，a]上单调递增，所以f(x)max＝max{f(－2a)，f(a)}．由于f(－2a)＝(2a2＋a)e－2a，f(a)＝(2a2＋a)e a，故f(a)＞f(－2a)，所以f(x)max＝f(a)．②当－2a＜－2，即1＜a＜2时，f(x)在[－2a，－2]上单调递增，在[－2，－a]上单调递减，在[－a，a]上单调递增，所以f(x)max＝max{f(－2)，f(a)}．由于f(－2)＝(4－a)e－2，f(a)＝(2a2＋a)e a，故f(a)＞f(－2)，所以f(x)max＝f(a)．综上得，f(x)max＝f(a)＝(2a2＋a)e a.[探究问题]1. (1)若对任意的x∈[1,2]，都有a≥x成立，则实数a的取值范围是什么？(2)若对任意的x∈[1,2]，都有a≤x成立，则实数a的取值范围是什么？【提示】(1)a≥2(2)a≤1.2．(1)若存在x∈[1,2]，使a≥x成立，实数a的取值范围是什么？(2)若存在x∈[1,2]，使a≤x成立，实数a的取值范围是什么？【提示】(1)a≥1(2)a≤2.3．已知函数y＝f(x)，x∈[m，n]的最大值为y max，最小值为y min，(1)若对任意的x∈[m，n]，都有a≥f(x)成立，实数a的取值范围是什么？(2)若对任意的x∈[m，n]，都有a≤f(x)成立，实数a的取值范围是什么？【提示】 (1)a ≥y max (2)a ≤y min4．已知函数y ＝f (x )，x ∈[m ，n ]的最大值为y max ，最小值为y min ， (1)若存在x ∈[m ，n ]，使a ≥f (x )成立，实数a 的取值范围是什么？ (2)若存在x ∈[m ，n ]，使a ≤f (x )成立，实数a 的取值范围是什么？ 【提示】 (1) a ≥y min (2)a ≤y max已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3，对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a的取值范围；[思路探究] 把a 分离出来，转化为求函数的最值问题．【自主解答】 由题意知2x ln x ≥－x 2＋ax －3对一切x ∈(0，＋∞)上恒成立，则a ≤2ln x ＋x ＋3x，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x(x ＞0)，则h ′(x )＝x ＋x －x2.当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增， 所以h (x )min ＝h (1)＝4，对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，所以a ≤h (x )min ＝4. 即实数a 的取值范围是(－∞，4] [规律方法]1．“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化．λ≥f (x )恒成立⇔λ≥[f (x )]max ；λ≤f (x )恒成立⇔λ≤[f (x )]min . 对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可．2．此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”．[跟踪训练]3．已知函数f (x )＝x cos x －sin x ，若存在实数x ∈[0,2π]，使得f (x )＜t 成立，则实数t 的取值范围是__________．【解析】 f ′(x )＝(x cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . ∵x ∈[0,2π]，∴当x ∈[0，π]时，f ′(x )≤0，∴f (x )在[0，π]单调递减． 当x ∈[π，2π]时，f ′(x )≥0，∴f (x )在[π，2π]单调递增． ∴f (x )min ＝f (π)＝－π，∴t 的取值范围t ＞－π. 【答案】 (－π，＋∞)[构建·体系][当 堂 达 标·固 双 基]1．函数f (x )＝x 3－12x ＋8(－3≤x ≤3)的值域是________．【解析】 令f ′(x )＝3x 2－12＝0，得x ＝±2，而f (3)＝－1，f (－3)＝17，f (2)＝－8，f (－2)＝24，则f (x )max ＝24，f (x )min ＝－8.【答案】 [－8,24]2．设函数g (x )＝x (x 2－1)，则g (x )在区间[0,1]上的最小值为________.【导学号：95902238】【解析】 g (x )＝x 3－x ，由g ′(x )＝3x 2－1＝0，解得x 1＝33，x 2＝－33(舍去)． 当x 变化时，g ′(x )与g (x )的变化情况如下表：所以当x ＝33时，【答案】 －6393．函数f (x )＝e xsin x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为__________．【解析】 f ′(x )＝e x(sin x ＋cos x )，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴f ′(x )＞0，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调增函数，∴f (x )min ＝f (0)＝0，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝e π2.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，e π24．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a 在区间[0,2]上的最大值是3，则a 的值为________． 【解析】 f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0， 解得x ＝－13(舍去)或x ＝1，又f (0)＝a ，f (1)＝a －1，f (2)＝a ＋2，则f (2)最大，即a ＋2＝3，所以a ＝1. 【答案】 15．已知函数f (x )＝ln x －x ＋a ，x ∈(0，e]，若f (x )≤0恒成立，求实数a 的取值范围.【导学号：95902239】【解析】 由f (x )＝ln x －x ＋a 得 f ′(x )＝1x －1＝1－xx.当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0，f (x )递增；当x ∈(1，e]时，f ′(x )＜0，f (x )递减． ∴当x ＝1时，函数取得最大值f (1)＝－1＋a ，据题意可得－1＋a ≤0，所以a ≤1， 即实数a 的取值范围是(－∞，1]．。

3．3.3 函数的最大(小)值与导数预习课本P96～98，思考并完成以下问题1．什么是函数的最值？函数在闭区间上取得最值的条件是什么？2．函数的最值与极值有什么关系？3．求函数最值的方法和步骤是什么？[新知初探]1．函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上取得最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．[点睛] 对函数最值的三点说明(1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值. 若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念．(3)函数y＝f(x)在[a，b]上连续，是函数y＝f(x)在[a，b]上有最大值或最小值的充分而非必要条件．2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a,_b)内的极值．(2)将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[点睛] 函数极值与最值的关系(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念． (2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个．(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得．有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的最大值一定是函数的极大值( ) (2)开区间上的单调连续函数无最值( )(3)函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×2．函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．4答案：C3．函数f (x )＝3x＋sin x 在x ∈[0，π]上的最小值为________． 答案：14．已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________．答案：(－4，－2)求函数的最值[典例] (1)f (x )＝4x 3＋3x 2－36x ＋5，x ∈[－2，＋∞)； (2)f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈[0,2π]．[解] (1)f ′(x )＝12x 2＋6x －36，令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝32.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由于当x ＞2时，f ′(x )＞0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫2，＋∞上为增函数．因此，函数f (x )在[－2，＋∞)上只有最小值－1154，无最大值．(2)f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )＝0，且x ∈[0,2π]，解得x ＝2π3或x ＝4π3.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴当x ＝0时，f (x )有最小值，为f (0)＝0； 当x ＝2π时，f (x )有最大值，为f (2π)＝π.[活学活用]已知函数f (x )＝1－x x ＋ln x ，求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值和最小值． 解：易知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (x )＝1－x x ＋ln x ＝1x－1＋ln x ，∴f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2.令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：x 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 1 (1,2) 2 f ′(x )－0 ＋f (x )1－ln 2极小值0－12＋ln 2 ∴在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，当x ＝1时，f (x )取得极小值，也是最小值，且f (1)＝0. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－ln 2，f (2)＝－12＋ln 2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f (2)＝32－2ln 2＝12×(3－4ln 2)＝12ln e 316＞0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＞f (2)， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－ln 2，最小值为f (1)＝0.由函数的最值求参数[典例] 已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29.求a ，b 的值．[解] 由题设知a ≠0，否则f (x )＝b 为常数函数，与题设矛盾． 求导得f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4(舍去)．当a ＞0，且x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2f ′(x )＋ 0 － f (x )－7a ＋bb－16a ＋b由表可知，当x ＝0时f (x )取得极大值b ，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f (0)＝b ＝3. 又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3＜f (－1)， ∴f (2)＝－16a ＋3＝－29，解得a ＝2.当a ＜0时，同理可得，当x ＝0时，f (x )取得极小值b ，也就是函数在[－1,2]上的最小值， ∴f (0)＝b ＝－29.又f (－1)＝－7a －29，f (2)＝－16a －29＞f (－1)， ∴f (2)＝－16a －29＝3，解得a ＝－2. 综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.已知函数最值求参数的步骤(1)求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值； (2)通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值； (3)结合已知求出参数，进而使问题得以解决． [活学活用]已知函数f (x )＝4x ＋a x(x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，求a 的值．解：由题意知f ′(x )＝4－a x 2＝4x 2－ax2.又x ＞0，a ＞0，令f ′(x )＝0，得x ＝a2，当0＜x ＜a2时，f ′(x )＜0；当x ＞a2时，f ′(x )＞0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞上单调递增， 即当x ＝a2时，f (x )取得最小值，则a2＝3，解得a ＝36.与最值有关的恒成立问题[典例] 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－3与x ＝1处都取得极值．(1)求a ，b 的值及函数f (x )的单调区间．(2)若x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围．[解] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 因为f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝43－43a ＋b ＝0，解得a ＝－12，b ＝－2，所以f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：单调递增单调递减单调递增所以函数f (x )的递增区间为⎝⎭⎪⎫－∞，－3和(1，＋∞)；递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.(2)由(1)知，f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，当x ＝－23时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝2227＋c 为极大值，因为f (2)＝2＋c ，所以f (2)＝2＋c 为最大值．要使f (x )<c 2(x ∈[－1,2])恒成立，只需c 2>f (2)＝2＋c ， 解得c <－1或c >2.故c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)． [一题多变]1．[变设问]若本例中条件不变，把(2)中“x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立”改为“若存在x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2成立”，结果如何？解：由典例解析知当x ＝1时，f (1)＝c －32为极小值，又f (－1)＝12＋c >c －32，所以f (1)＝c －32为最小值．因为存在x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2成立， 所以只需c 2>f (1)＝c －32，即2c 2－2c ＋3＞0，解得c ∈R.2．[变条件，变设问]已知函数f (x )＝13x 3＋ax ＋b (a ，b ∈R)在x ＝2处取得极小值－43.(1)求f (x )的单调递增区间．(2)若f (x )≤m 2＋m ＋103在[－4,3]上恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝x 2＋a ，由f ′(2)＝0，得a ＝－4； 再由f (2)＝－43，得b ＝4.所以f (x )＝13x 3－4x ＋4，f ′(x )＝x 2－4.令f ′(x )＝x 2－4>0，得x >2或x <－2.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)． (2)因为f (－4)＝－43，f (－2)＝283，f (2)＝－43，f (3)＝1，所以函数f (x )在[－4,3]上的最大值为283.要使f (x )≤m 2＋m ＋103在[－4,3]上恒成立，只需m 2＋m ＋103≥283，解得m ≥2或m ≤－3.所以实数m 的取值范围是(－∞，－3]∪[2，＋∞)．恒成立问题向最值转化的方法(1)要使不等式f (x )<h 在区间[m ，n ]上恒成立，可先在区间[m ，n ]上求出函数的最大值f (x )max ，只要h >f (x )max ，则上面的不等式恒成立．(2)要使不等式f (x )>h 在区间[m ，n ]上恒成立，可先在区间[m ，n ]上求出函数f (x )的最小值f (x )min ，只要f (x )min >h ，则不等式f (x )>h 恒成立．层级一 学业水平达标1．设函数f (x )＝2x ＋1x－1(x ＜0)，则f (x )( )A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数解析：选A f ′(x )＝2－1x 2＝2x 2－1x2， 令f ′(x )＝0，得x ＝－22. 当x ＜－22时，f ′(x )＞0；当－22＜x ＜0时，f ′(x )＜0，∴x ＝－22是函数f (x )的极大值点，也是最大值点．故f (x )有最大值，无最小值．2．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是( ) A ．12，－8 B ．1，－8 C ．12，－15D ．5，－16解析：选A y ′＝6x 2－6x －12， 由y ′＝0⇒x ＝－1或x ＝2(舍去)．x ＝－2时，y ＝1；x ＝－1时，y ＝12；x ＝1时，y ＝－8.∴y max ＝12，y min ＝－8.故选A.3．函数f (x )＝2x ＋1x，x ∈(0,5]的最小值为( )A ．2B ．3 C.174D ．22＋12解析：选B 由f ′(x )＝1x －1x2＝x 32－1x 2＝0，得x ＝1，且x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，x ∈(1,5]时，f ′(x )＞0， ∴x ＝1时，f (x )最小，最小值为f (1)＝3. 4．函数f (x )＝x 4－4x (|x |<1)( ) A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，有最小值 D ．既无最大值，也无最小值解析：选D f ′(x )＝4x 3－4＝4(x －1)(x 2＋x ＋1)． 令f ′(x )＝0，得x ＝1.又x ∈(－1,1)且1∉(－1,1)，∴该方程无解，故函数f (x )在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D.5．函数y ＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0， π2上取最大值时，x 的值为( ) A ．0 B.π6C.π3D.π2解析：选B y ′＝1－2sin x ，令y ′＝0，得sin x ＝12，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x ＝π6.由y ′>0得sin x <12，∴0≤x <π6；由y ′<0得sin x >12，∴π6<x ≤π2，∴原函数在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6上单调递增，在⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2上单调递减． 当x ＝0时，y ＝2，当x ＝π2时，y ＝π2，当x ＝π6时，y ＝π6＋3，∵π6＋3>2>π2，∴当x ＝π6时取最大值，故应选B.6．函数f (x )＝x 2－54x(x ＜0)的最小值是________．解析：f ′(x )＝2x ＋54x2.令f ′(x )＝0，得x ＝－3.当x ＜－3时，f ′(x )＜0；当－3＜x ＜0时，f ′(x )＞0. 所以当x ＝－3时，f (x )取得极小值，也是最小值， 所以f (x )min ＝27. 答案：277．函数f (x )＝x e －x，x ∈[0,4]的最小值为________． 解析：f ′(x )＝e －x－x e －x＝e －x(1－x )． 令f ′(x )＝0，得x ＝1(e －x＞0)， ∴f (1)＝1e ＞0，f (0)＝0，f (4)＝4e 4＞0，所以f (x )的最小值为0.答案：08．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m ，n ，则m －n ＝________. 解析：∵f ′(x )＝3x 2－3，∴当x ＞1或x ＜－1时，f ′(x )＞0； 当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0.∴f (x )在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增． ∴f (x )min ＝f (1)＝1－3－a ＝－2－a ＝n . 又∵f (0)＝－a ，f (3)＝18－a ，∴f (0)＜f (3)． ∴f (x )max ＝f (3)＝18－a ＝m ， ∴m －n ＝18－a －(－2－a )＝20. 答案：209．已知k 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x ＋k )． (1)求导函数f ′(x )；(2)若x ＝－1是函数f (x )的极值点，求f (x )在区间[－2,2]上的最大值和最小值． 解：(1)∵f (x )＝x 3＋kx 2－4x －4k ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2kx －4. (2)由f ′(－1)＝0，得k ＝－12.∴f (x )＝x 3－12x 2－4x ＋2，f ′(x )＝3x 2－x －4.由f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝43.又f (－2)＝0，f (－1)＝92，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝－5027，f (2)＝0，∴f (x )在区间[－2,2]上的最大值为92，最小值为－5027.10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝3x ＋1.(1)求a ，b 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值．解：(1)依题意可知点P (1，f (1))为切点，代入切线方程y ＝3x ＋1可得，f (1)＝3×1＋1＝4， ∴f (1)＝1＋a ＋b ＋5＝4，即a ＋b ＝－2， 又由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5得， 又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，而由切线y ＝3x ＋1的斜率可知f ′(1)＝3， ∴3＋2a ＋b ＝3，即2a ＋b ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－2，2a ＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4，∴a ＝2，b ＝－4.(2)由(1)知f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝－2.当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：x －3 (－3，－2) －2 ⎝⎛⎭⎪⎫－2，23 23 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 1 f ′(x )＋0 －0 ＋f (x )8极大值极小值4∴f (x )的极大值为f (－2)＝13，极小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝9527，又f (－3)＝8，f (1)＝4， ∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13.层级二 应试能力达标1．函数f (x )＝xe x 在区间[2,4]上的最小值为( )A ．0 B.1eC.4e4 D.2e2解析：选C f ′(x )＝e x－x e xe x 2＝1－xe x ，当x ∈[2,4]时，f ′(x )＜0，即函数f (x )在[2,4]上是单调递减函数，故当x ＝4时，函数f (x )有最小值4e 4.2．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[0,1)B ．(0,1)C ．(－1,1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：选B ∵f ′(x )＝3x 2－3a ， 令f ′(x )＝0，可得a ＝x 2，又∵x ∈(0,1)，∴0＜a ＜1，故选B.3．若函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( ) A ．－10 B ．－71 C ．－15D ．－22解析：选B f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)． 由f ′(x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. 又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27，f (－1)＝k ＋5，f (4)＝k －20.由f (x )max ＝k ＋5＝10，得k ＝5， ∴f (x )min ＝k －76＝－71.4．已知当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，函数f (x )＝tx －sinx (t ∈R)的值恒小于零，则t 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，2πB.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，＋∞解析：选A f (x )＝tx －sin x ＜0在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内恒成立，即t ＜sin x x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内恒成立．令g (x )＝sin x x ，则g ′(x )＝x cos x －sin xx2. 令φ(x )＝x cos x －sin x ，则φ′(x )＝－x sin x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，φ′(x )＜0，∴φ(x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，∴φ(x )＜φ(0)＝0，∴sin x ＞x cos x ，∴g ′(x )＜0， ∴g (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减，∴t ≤sinπ2π2＝2π.5．设函数f (x )＝12x 2e x，若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )＞m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝x e x＋12x 2e x ＝ex2·x (x ＋2)，由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝－2.当x ∈[－2,2]时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：∴当x ＝0时，f (x )min ＝f (0)＝0，要使f (x )＞m 对x ∈[－2,2]恒成立，只需m ＜f (x )min ，∴m ＜0.答案：(－∞，0)6．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a ＝________.解析：y ′＝－2x －2，令y ′＝0，得x ＝－1， ∴函数在(－∞，－1)上单调递增， 在(－1，＋∞)上单调递减．若a ＞－1，则最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝－32舍去； 若a ≤－1，则最大值为f (－1)＝－1＋2＋3＝4≠154.综上知，a ＝－12.答案：－127．已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R)，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数． (1)求f (x )的表达式；(2)求g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值．解：(1)∵f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b ，∴g (x )＝f (x )＋f ′(x ) ＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b . ∵g (x )是奇函数，∴g (－x )＝－g (x )， 从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的表达式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，∴g ′(x )＝－x 2＋2，令g ′(x )＝0. 解得x 1＝－2(舍去)，x 2＝2， 而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43，因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43.8．已知函数f (x )＝ln x ＋a x.(1)当a <0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值是32，求a 的值．解：函数f (x )＝ln x ＋a x的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2，(1)∵a <0，∴f ′(x )>0，故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增． (2)x ∈[1，e]时，分如下情况讨论： ①当a <1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，其最小值为f (1)＝a <1， 这与函数在[1，e]上的最小值是32相矛盾；②当a ＝1时，函数f (x )在[1，e]上单调递增，其最小值为f (1)＝1，同样与最小值是32相矛盾；③当1<a <e 时，函数f (x )在[1，a )上有f ′(x )<0，f (x )单调递减，在(a ，e]上有f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以，函数f (x )的最小值为f (a )＝ln a ＋1，由ln a ＋1＝32，得a ＝ e.④当a ＝e 时，函数f (x )在[1，e]上有f ′(x )<0，f (x )单调递减，其最小值为f (e)＝2，这与最小值是32相矛盾；⑤当a >e 时，显然函数f (x )在[1，e]上单调递减，其最小值为f (e)＝1＋a e >2，仍与最小值是32相矛盾；综上所述，a 的值为 e.。

3.3.3 函数的最大(小)值与导数1.能够区分极值与最值两个不同的概念.(易混点)2.掌握在闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)的求法.(重点)3.能根据函数的最值求参数的值.(难点)[基础·初探]教材整理 函数的最大(小)值与导数阅读教材P 96函数最大(小)值与导数～P 98第一段，完成下列问题. 1.函数f (x )在区间[a ，b ]上的最值如果在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a ，b ]上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得.2.求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最值的步骤 (1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值.(2)将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的最大值一定是函数的极大值.( ) (2)开区间上的单调连续函数无最值.( )(3)函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得.( ) (4)函数f (x )＝1x在区间[－1,1]上有最值.( )【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)×[小组合作型](1)f (x )＝2x 3－6x 2＋3，x ∈[－2,4]；(2)f (x )＝e x (3－x 2)，x ∈[2,5]. 【精彩点拨】 求导→列表→下结论.【自主解答】 (1)f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2). 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当x ＝－2时，f (x )取最小值－37. (2)∵f (x )＝3e x －e x x 2， ∴f ′(x )＝3e x －(e x x 2＋2e xx ) ＝－e x (x 2＋2x －3) ＝－e x(x ＋3)(x －1).∵在区间[2,5]上，f ′(x )＝－e x(x ＋3)(x －1)＜0， 即函数f (x )在区间[2,5]上单调递减， ∴x ＝2时，函数f (x )取得最大值f (2)＝－e 2；x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5.1.求函数最值时，若函数f (x )的定义域是闭区间，则需比较极值点处函数值与端点处函数值的大小，才能确定函数的最值.2.若f (x )的定义域是开区间且只有一个极值点，则该极值点就是最值点.[再练一题]1.(1)函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( )A.π－1B.π2－1 C.πD.π＋1【解析】 y ′＝1－cos x ＞0，∴y ＝x －sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递增，∴y max ＝π－sin π＝π. 【答案】 C(2)求下列各函数的最值.①f (x )＝－x 3＋3x ，x ∈[－3，3]； ②f (x )＝x 2－54x(x ＜0).【导学号：97792048】【解】 ①f ′(x )＝3－3x 2＝3(1－x )(1＋x ). 令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：＝－2. 又因为f (x )在区间端点处的取值为f (－3)＝0，f (3)＝－18， 所以f (x )max ＝2，f (x )min ＝－18. ②f ′(x )＝2x ＋54x2.令f ′(x )＝0，得x ＝－3.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以x 故f (x )的最小值为f (－3)＝27，无最大值.【精彩点拨】 求导→讨论a 的正负→判断[0,2]上的单调性→得最值. 【自主解答】 f ′(x )＝3x 2－2ax ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a 3.当2a3≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,2]上单调递增，从而f (x )max ＝f (2)＝8－4a .当2a3≥2，即a ≥3时，f (x )在[0,2]上单调递减， 从而f (x )max ＝f (0)＝0. 当0＜2a3＜2，即0＜a ＜3时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2a 3上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 3，2上单调递增，从而f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a ，＜a ，0，＜a ＜， 综上所述，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a ，a，0，a ＞由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化.所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解.[再练一题]2.已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a ，b 的值.【解】 由题设知a ≠0，否则f (x )＝b 为常函数，与题设矛盾.求导得f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4(舍去).(1)当a >0时，且x 变化时f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：f (0)＝b ＝3.又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3<f (－1)， ∴f (2)＝－16a ＋3＝－29，解得a ＝2.(2)当a <0时，同理可得，当x ＝0时，f (x )取得极小值b ，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f (0)＝b ＝－29.又f (－1)＝－7a －29，f (2)＝－16a －29>f (－1)， ∴f (2)＝－16a －29＝3，解得a ＝－2.综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.[探究共研型]【提示】 解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最值问题.如f (x )＞0恒成立，只要f (x )的最小值大于0即可.对含参不等式的恒成立问题，求参数范围时，可先分离参数.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值.(1)求a 、b 的值及函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )＜c 2恒成立，求c 的取值范围. 【精彩点拨】【自主解答】 (1)f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝129－43a ＋b ＝0，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，得a ＝－12，b ＝－2，经检验，满足题意，f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，当x 变化时，f ′(x )及f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3，(1，＋∞)， 递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.(2)f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，当x ＝－23时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝2227＋c 为极大值，而f (2)＝2＋c ，则f (2)＝2＋c 为最大值.要使f (x )＜c 2，x ∈[－1,2]恒成立，则只需要c 2＞f (2)＝2＋c ，得c ＜－1或c ＞2. 所以c 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).不等式恒成立问题常用的解题方法[再练一题]3.已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1.若xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1恒成立，求a 的取值范围.【导学号：97792049】【解】 f ′(x )＝x ＋1x＋ln x －1 ＝ln x ＋1x，xf ′(x )＝x ln x ＋1，而xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1(x ＞0)等价于ln x －x ≤a . 令g (x )＝ln x －x ，则g ′(x )＝1x－1.当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0；当x ≥1时，g ′(x )≤0，x ＝1是g (x )的最大值点，所以g (x )≤g (1)＝－1.综上可知，a 的取值范围是[－1，＋∞).1.函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( ) A.有最大值，但无最小值 B.有最大值，也有最小值 C.无最大值，但有最小值 D.既无最大值，也无最小值【解析】 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1，1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.【答案】 D2.连续函数f (x )在(a ，b )上有最大值是有极大值的( ) A.充分条件 B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 连续函数f (x )在(a ，b )上有最大值，能推出其有极大值，但有极大值不一定有最大值，故选A.【答案】 A3.函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________. 【解析】 y ′＝12x －1＝1－2x2x .令y ′＝0，得x ＝14.当0<x <14时，y ′>0；当x >14时，y ′<0.∴x ＝14时，y max ＝14－14＝14. 【答案】 144.如果函数f (x )＝x 3－32x 2＋a 在[－1,1]上的最大值是2，那么f (x )在[－1,1]上的最小值是________.【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2－3x ，令f ′(x )＝0， ∴x ＝0或x ＝1.∴在[－1,1]上有：当x ∈[－1,0)时，f ′(x )＞0，当x ∈(0,1]时，f ′(x )＜0，∴x ＝0是f (x )的极大值点，也是最大值点.∴f (x )max ＝f (0)＝a ＝2， ∴f (x )＝x 3－32x 2＋2，∴f (－1)＝－12，f (1)＝52，∴f (x )在[－1,1]上的最小值为－12.【答案】 －125.已知函数f (x )＝1－x x ＋ln x ，求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值和最小值.【导学号：97792050】【解】 f ′(x )＝－x －－xx2＋1x ＝x －1x2.由f ′(x )＝0，得x ＝1.∴在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f (2)＝2－2ln 2＝2(ln e 3－ln 16)，而e 3＞16，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＞f (2)＞0.∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－ln 2，最小值为0.。

3.3.3 函数的最大（小）值与导数[课时作业] [A 组 基础巩固]1．函数f (x )＝x e －x，x ∈[0,4]的最大值是( )A ．0 B.1e C.4e 4 D.2e 2解析：f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x e x ′＝e x －x e xx 2＝1－x e x ，当x ∈[0,1)时，f ′(x )>0，f (x )是增函数； 当x ∈(1,2]时，f ′(x )<0，f (x )是减函数． ∴f (x )的最大值为f (1)＝1e .答案：B2．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为( )A ．－37B ．－29C ．－5D ．－11解析：∵f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，由f ′(x )＝0得x ＝0或2.∵f (0)＝m ，f (2)＝－8＋m ，f (－2)＝－40＋m ，显然f (0)>f (2)>f (－2)，∴m ＝3，最小值为f (－2)＝－37. 答案：A3．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值 D ．既无最大值，也无最小值解析：f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值． 答案：D4．已知函数f (x )＝ax 3＋c ，且f ′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c 的值为( ) A ．1 B ．4 C ．－1 D ．0 解析：∵f ′(x )＝3ax 2，∴f ′(1)＝3a ＝6， ∴a ＝2.当x ∈[1,2]时，f ′(x )＝6x 2>0，即f (x )在[1,2]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (2)＝2×23＋c ＝20，∴c ＝4. 答案：B5．函数f (x )＝－x 3＋3x 在区间(a 2－12，a )上有最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1，11) B ．(－1,2) C ．(－1,2]D ．(1,4)解析：f ′(x )＝－3x 2＋3，令f ′(x )＝0，得x ＝±1.f (x 令－x 3＋3x ＝－2，即x 3－3x －2＝0，(x ＋1)2(x －2)＝0， ∴x ＝－1或x ＝2.∵f (x )在区间(a 2－12，a )上有最小值，∴a 2－12＜－1＜a ≤2， 解得－1＜a ≤2. 答案：C6．函数y ＝ln xx的最大值为________．解析：函数的定义域为x ＞0.y ′＝1－ln xx2，令y ′＝0得x ＝e ，当0＜x ＜e 时，f ′(x )＞0，当x ＞e 时，f ′(x )＜0，∴y 最大＝ln e e ＝1e .答案：1e7．当x ∈[－1,1]时，函数f (x )＝x 2e x 的值域是________．解析：f ′(x )＝2x e x－x2x x2＝2x －x 2ex ＝x －xex. 令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2(舍)，又f (0)＝0，f (－1)＝e ，f (1)＝1e，故f (x )在(－1≤x ≤1)的值域为[0，e]．答案：[0，e]8．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意的x ∈(0,1]都有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围为________．解析：因为x ∈(0,1]，f (x )≥0可化为a ≥3x 2－1x3.设g (x )＝3x 2－1x3.则g ′(x )＝－2xx 4.令g ′(x )＝0，得x ＝12.当0<x <12时，g ′(x )>0；当12<x ≤1时，g ′(x )<0. 所以g (x )在(0,1]上有极大值g (12)＝4，它也是最大值，所以a ≥4. 答案：[4，＋∞)9．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .(1)若f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围； (2)当0<a <2时，f (x )在[1,4]上的最小值为－163，求f (x )在该区间上的最大值．解析：(1)f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为 f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a .令29＋2a >0，得a >－19. 所以当a >－19时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间， 即f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间时，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞. (2)令f ′(x )＝0，得两根x 1＝1－1＋8a2，x 2＝1＋1＋8a2， 所以f ′(x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减， 在(x 1，x 2)上单调递增． 当0<a <2时，有x 1<1<x 2<4，所以f (x )在[1,4]上的最大值为f (x 2)，又f (4)－f (1)＝－272＋6a <0，即f (4)<f (1)．所以f (x )在[1,4]上的最小值为f (4)＝8a －403＝－163，得a ＝1，x 2＝2，从而f (x )在[1,4]上的最大值为f (2)＝103.10．已知f (x )＝ln x －x ＋a ，x ∈(0,2]． (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )<a 2－3对任意的x ∈(0,2]恒成立，求实数a 的取值范围． 解析：(1)f ′(x )＝1x－1，令f ′(x )＝0，∴x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当1<x ≤2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．∴f (x )的单调增区间为(0,1)，f (x )的单调减区间为(1,2]． (2)由(1)知x ＝1时，f (x )取得最大值，即f (x )max ＝a －1. ∵f (x )<a 2－3对任意的x ∈(0,2]恒成立， ∴a －1<a 2－3，解得a >2或a <－1.∴a 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．[B 组 能力提升]1．设函数f n (x )＝n 2x 2(1－x )n(n 为正整数)，则f n (x )在[0,1]上的最大值为( ) A ．0 B ．1 C ．1－22＋nD ．4(nn ＋2)n ＋2解析：因为f n ′(x )＝2xn 2(1－x )n－n 3x 2(1－x )n －1＝n 2x (1－x )n －1[2(1－x )－nx ]，令f n ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝1，x 3＝22＋n ，易知f n (x )在x ＝22＋n时取得最大值，最大值为f n (22＋n )＝n 2(22＋n )2(1－22＋n )n ＝4(n 2＋n)n ＋2. 答案：D2．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( ) A ．0≤a <1 B ．0<a <1 C ．－1<a <1D ．0<a <12解析：∵f ′(x )＝3x 2－3a ，令f ′(x )＝0，可得a ＝x 2，又∵x ∈(0,1)，∴0<a <1，故选B. 答案：B3．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧f x ＝x －1x >0，x >0得x >1，由⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x >0，得0<x <1.∴f (x )在x ＝1时取最小值f (1)＝12－ln 1＝12.答案：124．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为________．解析：|MN |的最小值，即函数h (x )＝x 2－ln x 的最小值，h ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x，显然x＝22是函数h (x )在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t ＝22. 答案：225．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值． 解析：(1)f ′(x )＝1x－a (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x－a >0，即函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－axx>0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x<0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤0，1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞.(2)①当1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，∴f (x )的最小值是f (2)＝ln2－2a .②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，∴f (x )的最小值是f (1)＝－a .③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a 上是增函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤1a ，2上是减函数．又f (2)－f (1)＝ln 2－a .∴当12<a <ln 2时，最小值是f (1)＝－a ；当ln 2≤a <1时，最小值为f (2)＝ln 2－2a . 综上可知，当0<a <ln 2时，函数f (x )的最小值是－a ； 当a ≥ln 2时，函数f (x )的最小值是ln 2－2a .6．设函数f (x )＝ax －(1＋a 2)x 2，其中a ＞0，区间Ⅰ＝{x |f (x )＞0}． (1)求I 的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)； (2)给定常数k ∈(0,1)，当1－k ≤a ≤1＋k 时，求I 长度的最小值．解：(1)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a ＞0)有两个实根x 1＝0，x 2＝a1＋a 2，故f (x )＞0的解集为{x |x 1＜x ＜x 2}．因此区间I ＝(0，a 1＋a 2)，区间I 的长度为a1＋a 2.(2)设d (a )＝a1＋a2，则d ′(a )＝1－a2＋a22(a ＞0)．令d ′(a )＝0，得a ＝1.由于0＜k ＜1，故 当1－k ≤a ＜1时，d ′(a )＞0，d (a )单调递增； 当1＜a ≤1＋k 时，d ′(a )＜0，d (a )单调递减．所以当1－k ≤a ≤1＋k 时，d (a )的最小值必定在a ＝1－k 或a ＝1＋k 处取得．而d －k d＋k ＝1－k 1＋－k 21＋k1＋＋k2＝2－k 2－k 32－k 2＋k3＜1，故d(1－k)＜d(1＋k)．因此当a＝1－k时，d(a)在区间[1－k,1＋k]上取得最小值1－k2－2k＋k2，即I长度的最小值为1－k2－2k＋k2.。