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C(x) = x3 例8. 设某工厂生产某产品 x 千件的成本是 − 6x2 +15x, 售出该产品 x 千件的收入是R(x) = 9x, 问是否 存在一个取得最大利润的生产水平? 如果存在, 找出它来. 解: 售出 x 千件产品的利润为 p(x) = R(x) − C(x) = −x3 + 6x2 − 6x p′(x) = −3x2 +12x − 6 = −3(x2 − 4x + 2) 令p′(x) = 0, 得 x1 = 2 − 2 ≈ 0.586 y x2 = 2 + 2 ≈ 3.414 p(x) 又 p′′(x) = −6x +12, 2− 2 p′′(x1) > 0, p′′(x2 ) < 0 2+ 2 x O 故在 x2 = 3.414千件处达到最大利润, 而在 x1= 0.586千件处发生局部最大亏损.
第三章 三 第五节 函数的极值与 最大值最小值
一、函数的极值及其求法 函数的极值及其求法 二、最大值与最小值问题 最大值与最小值问题
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一、函数的极值及其求法 函数的极值及其求法
定义: 定义 在其中当 (1) 则称 称 (2) 则称 称 为 为 时, 的极大值点 , 极大值点 为函数的极大值 ; 极大值 的极小值点 , 极小值点 为函数的极小值 . 极小值
最小值
f (a), f (b)}
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特别: 特别 •当 在 内只有一个极值可疑点时,
若在此点取极大 (小) 值 , 则也是最大 (小)值 . •当 在 上单调 单调时, 最值必在端点处达到. 单调
• 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点 是否为最大 值点或最小值点 .
α 为多少时才可使力F 的大小最小?
解: 克服摩擦的水平分力 正压力
α
F
∴
即 令
F cosα =µ (5 g − F sinα) 5µ g F= , α ∈[0, π] 2 cosα + µ sinα ϕ(α) = cosα + µ sinα
P
则问题转化为求 ϕ(α) 的最大值问题 .
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−1
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O
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1
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x
定理3 判别法的推广 判别法的推广) 定理 (判别法的推广 数,且 则: 1) 当 n为偶数时, 为极值点 , 且 是极小点 ; 是极大点 . 2) 当 n为奇数时, 证: 利用 在 不是极值点 . 点的泰勒公式 , 可得
f (n) (x0 ) ≠ 0,
+
−
f (n) (x0 ) (x − x0 )n f (x) = f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) +L+ n! 当 充分接近 o((时, x0 )n ) + x − 上式左端正负号由右端第一项确定 ,
(2) 类似可证 .
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例2. 求函数 解: 1) 求导数
的极值 .
f ′(x) = 6x (x2 −1)2 ,
f ′′(x) = 6(x2 −1)(5x2 −1)
2) 求驻点 令 f ′(x) = 0, 得驻点 x1 = −1, x2 = 0, x3 =1 3) 判别 因 f ′′(0) = 6 > 0, 故 为极小值 ; 又 f ′′(−1) = f ′′(1) = 0, 故需用第一判别法判别. y
20
A x D
100
B
C 厂C 的运费最省, 问D点应如何取? 解: 设 AD = x (km) , 则 CD = 202 + x2 , 总运费
( k 为某常数 )
(400 + x ) 所以 x =15为唯一的 令 得 极小值点 , 从而为最小值点 , 故 AD =15 km 时运费最省 .
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5µ g 即 F= , α ∈[0, π] 2 cosα + µ sinα ϕ(α) = cosα + µ sinα 令 则问题转化为求ϕ(α)的最大值问题 .
L 解: L
α
F
P
ϕ′′(α) = −cosα − µ sinα
令 而 ϕ′′(α) < 0, 因而 F 取最小值 .
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y
x1 , x4 为极大值点 x 2 , x5 为极小值点
x3 不是极值点
O a x1 x2 x3 x4 x5 b x
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极值第一判别法) 定理 1 (极值第一判别法 极值第一判别法
设函数 f (x) 在x0 的某邻域内连续, 且在空心邻域 内有导数, 当x由小到大通过 x0 时, (1) f ′(x) “左正右负” ,则f (x) 在x0 取极大值. 左
x1 = 0, x2 =1, x3 = 2
∆ = (−9) − 4 ⋅ 2 ⋅12 = 81− 96 < 0
故函数在 x =x2取最小值 0 ; 0 x =1及 5 取最大值 5. ∴ 2 0 − 9x +12 > 在 2
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例3. 求函数 上的最大值和最小值 . 说明: 说明 令 ϕ(x) = f 2 (x)
收入函数 R(x) = 9x
O 2− 2
亏损最大
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2+ 2 x 收益最大
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内容小结
1. 连续函数的极值 (1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点 (2) 第一充分条件 过 过 由正变负 正 负 由负变正 负 正 为极大值 为极小值
(3) 第二充分条件 为极大值 为极小值 (4) 判别法的推广
2 令 f ′(x) = 0 , 得 x1 = 5 ;
令 f ′(x) = ∞ , 得 x2 = 0
2 5 2 (5 , + ∞)
x (−∞, 0) + f ′(x) f (x)
0 ∞ 0
2 (0 , 5)
−
0 − 0.33
+
其极大值为 是极大值点， 是极小值点， 其极小值为
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解得
例7. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于 观察者的眼睛1.8 m , 问观察者在距墙多远处看图才最 清楚(视角θ 最大) ? 解: 设观察者与墙的距离为 x m , 则
1.4
θ
1.8
x 1.4 +1.8 1.8 − arctan , x ∈(0, + ∞) θ = arctan x x − 3.2 1.8 −1.4(x2 − 5.76) + 2 = 2 θ′ = 2 2 2 x + 3.2 x +1.8 (x + 3.22 )(x2 +1.82 ) 令 θ ′ = 0, 得驻点 x = 2.4∈(0, + ∞) 根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在 , 驻点又 唯一, 因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚 .
定理3
− +
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定理3
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2. 连续函数的最值 最值点应在极值点和边界点上找 ; 应用题可根据问题的实际意义判别 .
思考与练习
f (x) − f (a) ( = −1, 则在点 a 处( 1. 设 lim 2 x→a (x − a)
B
).
( A) f (x) 的导数存在 , 且 f ′(a) ≠ 0； (B) f (x) 取得极大值 ; (C) f (x) 取得极小值; (D) f (x) 的导数不存在.
(2) f ′(x) “左负右正” ,则f (x) 在x0 取极小值; 左
(自证)
点击图中任意处动画播放\暂停
. 求函数 解: 1) 求导数 f ′(x) = x 2) 求极值可疑点 3) 列表判别
2 3
的极值 .
2 − 1 5 x−5 + (x −1) ⋅ 2 x 3 = 3 ⋅ 3 3 x
f (0) = 2为极大值 , 但不满足定理1
~ 定理3 的条件.
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二、最大值与最小值问题 最大值与最小值问题
则其最值只能 在极值点 端点处达到 . 极值点或端点 极值点 端点 求函数最值的方法: 求函数最值的方法: (1) 求 在 内的极值可疑点
(2) 最大值
M = max{
定理2 极值第二判别法 极值第二判别法) 定理 (极值第二判别法 二阶导数 , 且 则 则 在点 在点 取极大值 ; 取极小值 .
− +
f ′(x) f ′(x) − f ′(x0 ) = lim 证: (1) f ′′(x0 ) = lim x→x0 x − x0 x→x0 x − x0
由f ′′(x0 ) < 0知, 存在 δ > 0, 当 < x − x0 < δ 时, 0 f 故当 x0 −δ < x < x0 时，′(x) > 0; + − f 当x0 < x < x0 + δ 时， ′(x) < 0, x0−δ x0 x0+δ 由第一判别法知 f (x) 在x0 取极大值.
y′ = k (
5x 400 + x 又
2
− 3),
y′′ = 5k
400
2 32
例5. 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁 , 问矩形截面 的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大? 解: 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为
1 b(d 2 − b2 ) , =6 2 2 1 3
