【课堂新坐标】2017届高三文科数学(通用版)二轮复习：专题限时集训5 数列的通项与求和 Word版含解析

专题限时集训(十三) 高考中的数列(建议用时：45分钟)1．(2016·苏州期中)已知数列{a n }的奇数项是公差为d 1的等差数列，偶数项是公差为d 2的等差数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1＝1，a 2＝2.(1)若S 5＝16，a 4＝a 5，求a 10；(2)已知S 15＝15a 8，且对任意n ∈N *，有a n <a n ＋1恒成立，求证：数列{a n }是等差数列；(3)若d 1＝3d 2(d 1≠0)，且存在正整数m ，n (m ≠n )，使得a m ＝a n .求当d 1最大时，数列{a n }的通项公式．[解] (1)由题意，得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝a 1＋d 1＝1＋d 1，a 4＝a 2＋d 2＝2＋d 2，a 5＝a 3＋d 1＝1＋2d 1.1分∵S 5＝16，a 4＝a 5，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝7＋3d 1＋d 2＝16,2＋d 2＝1＋2d 1. ∴d 1＝2，d 2＝3， ∴a 10＝2＋4d 2＝14.3分 (2)证明：∴当n 为偶数时，∵a n <a n ＋1恒成立， 即2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－1d 2<1＋n 2d 1，n 2(d 2－d 1)＋1－d 2<0恒成立，6分 ∴d 2－d 1≤0且d 2>1.当n 为奇数时，∵a n <a n ＋1恒成立，即1＋n －12d 1<2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12－1d 2，(1－n )(d 1－d 2)＋2>0恒成立，8分 ∴d 1－d 2≤0，于是有d 1＝d 2.∵S 15＝15a 8，∴8＋8×72d 1＋14＋7×62d 2＝30＋45d 2， ∴d 1＝d 2＝2，a n ＝n ，∴数列{a n }是等差数列.10分 (3)若d 1＝3d 2(d 1≠0)，且存在正整数m ，n (m ≠n )，使得a m ＝a n ，由题意得，在m ，n 中必然一个是奇数，一个是偶数，不妨设m 为奇数，n 为偶数．∵a m ＝a n ，∴1＋m －12d 1＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－1d 2，∵d 1＝3d 2，∴d 1＝63m －n －1，14分∵m 为奇数，n 为偶数，∴3m －n －1的最小正值为2，此时d 1＝3，d 2＝1， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32n －12，n 为奇数，12n ＋1，n 为偶数.16分2．(2016·苏锡常镇调研二)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，且对任意的正整数n ，都有S n ＋1＝λS n ＋3n ＋1，其中常数λ>0.设b n ＝a n3n (n ∈N *)﹒(1)若λ＝3，求数列{b n }的通项公式；(2)若λ≠1且λ≠3，设c n ＝a n ＋2λ－3×3n (n ∈N *)，证明数列{c n }是等比数列；(3)若对任意的正整数n ，都有b n ≤3，求实数λ的取值范围． [解] ∵S n ＋1＝λS n ＋3n ＋1，n ∈N *， ∴当n ≥2时，S n ＝λS n －1＋3n ， 从而a n ＋1＝λa n ＋2·3n ，n ≥2，n ∈N *.又在S n ＋1＝λS n ＋3n ＋1中，令n ＝1，可得a 2＝λa 1＋2·31，满足上式， ∴a n ＋1＝λa n ＋2·3n ，n ∈N *﹒2分(1)当λ＝3时，a n ＋1＝3a n ＋2·3n ，n ∈N *， 从而a n ＋13n ＋1＝a n 3n ＋23，即b n ＋1－b n ＝23，又b 1＝1，∴数列{b n }是首项为1，公差为23的等差数列， ∴b n ＝2n ＋13.4分 (2)证明：当λ>0且λ≠3且λ≠1时， c n ＝a n ＋2λ－3×3n ＝λa n －1＋2×3n －1＋2λ－3×3n＝λa n －1＋2λ－3×3n －1(λ－3＋3)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋2λ－3×3n －1＝λ·c n －1， 又c 1＝3＋6λ－3＝3(λ－1)λ－3≠0，∴{c n }是首项为3(λ－1)λ－3，公比为λ的等比数列，c n ＝3(λ－1)λ－3·λn －1.10分(3)在(2)中，若λ＝1，则c n ＝0也适合，∴当λ≠3时，c n ＝3(λ－1)λ－3·λn －1.从而由(1)和(2)可知a n ＝⎩⎨⎧(2n ＋1)×3n －1，λ＝3，3(λ－1)λ－3·λn－1－2λ－3×3n ，λ≠3.当λ＝3时，b n ＝2n ＋13，显然不满足条件，故λ≠3. 当λ≠3时，b n ＝λ－1λ－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫λ3n －1－2λ－3. 若λ>3时，λ－1λ－3>0，b n <b n ＋1，n ∈N *，b n ∈[1，＋∞)，不符合，舍去. 12分若0<λ<1时，λ－1λ－3>0，－2λ－3>0，b n >b n ＋1，n ∈N *，且b n >0.∴只需b 1＝a 13＝1≤3即可，显然成立．故0<λ<1符合条件； 若λ＝1时，b n ＝1，满足条件．故λ＝1符合条件； 若1<λ<3时，λ－1λ－3<0，－2λ－3>0，从而b n <b n ＋1，n ∈N *， 14分∵b 1＝1>0，故b n ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，－2λ－3，要使b n ≤3成立，只需－2λ－3≤3即可． 于是1<λ≤73.综上所述，所求实数λ的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，73.16分3．(2016·南京盐城二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意正整数n 都有a n ＝(－1)n S n ＋p n (p 为常数，p ≠0)．(1)求p 的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)设集合A n ＝{a 2n －1，a 2n }，且b n ，c n ∈A n ，记数列{nb n }，{nc n }的前n 项和分别为P n ，Q n .若b 1≠c 1，求证：对任意n ∈N *，P n ≠Q n .[解] (1)由a 1＝－S 1＋p ，得a 1＝p2. 由a 2＝S 2＋p 2，得a 1＝－p 2，所以p2＝－p 2. 又p ≠0，所以p ＝－12. 3分(2)由a n ＝(－1)nS n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n，得⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝(－1)nS n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，①a n ＋1＝－1(－1)nS n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋1，②①＋②得a n ＋a n ＋1＝(－1)n(－a n ＋1)＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n .当n 为奇数时，a n ＋a n ＋1＝a n ＋1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，所以a n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1.8分当n 为偶数时，a n ＋a n ＋1＝－a n ＋1＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，所以a n ＝－2a n ＋1＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋2＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n ＋1，n 为奇数，n ∈N *，12n ，n 为偶数，n ∈N *. 10分(3)证明：A n ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－14n ，14n ，由于b 1≠c 1，则b 1与c 1一正一负，不妨设b 1＞0，则b 1＝14，c 1＝－14.则P n ＝b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n ≥14－⎝ ⎛⎭⎪⎫242＋343＋…＋n 4n .设S ＝242＋343＋…＋n 4n ，则14S ＝243＋…＋n －14n ＋n4n ＋1，两式相减得34S ＝242＋143＋…＋14n －n 4n ＋1＝116＋116×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －11－14－n 4n ＋1＝748－112×14n －1－n 4n ＋1<748. 14分所以S ＜748×43＝736，所以P n ≥14－⎝ ⎛⎭⎪⎫242＋143＋…＋14n ＞14－736＝118＞0.因为Q n ＝c 1＋2c 2＋3c 3＋…＋nc n ≤－14＋S ＜－14＋736＝－118＜0， 所以P n ≠Q n .16分4．(2016·南通二调)设数列{a n }的各项均为正数，{a n }的前n 项和S n ＝14(a n ＋1)2，n ∈N *.(1)求证：数列{a n }为等差数列；(2)等比数列{b n }的各项均为正数，b n b n ＋1≥S 2n ，n ∈N *，且存在整数k ≥2，使得b k b k ＋1＝S 2k .(ⅰ)求数列{b n }公比q 的最小值(用k 表示)； (ⅱ)当n ≥2时，b n ∈N *，求数列{b n }的通项公式． [解] (1)证明：因为S n ＝14(a n ＋1)2， ① 所以S n －1＝14(a n －1＋1)2，n ≥2，②①－②，得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0，n ≥2， 因为数列{a n }的各项均为正数，所以a n ＋a n －1>0，n ≥2. 从而a n －a n －1＝2，n ≥2， 所以数列{a n }为等差数列.4分(2)(ⅰ)①中，令n ＝1，得a 1＝1，所以a n ＝2n －1，S n ＝n 2. 由b k b k ＋1＝S 2k (k ≥2)得，b 1＝k 2qk －12，所以b n ＝b 1q n －1＝k 2qn －k －12.③由b n b n ＋1≥S 2n 得，k 4q2n －2k≥n 4，即qn －k≥⎝ ⎛⎭⎪⎫n k 2， ④当n ＝k 时，④恒成立．当n ≥k ＋1时，④两边取自然对数，整理得，k ln q 2≥ln n kn k －1⎝ ⎛⎭⎪⎫nk ≥1＋1k .⑤ 8分记f (x )＝ln xx －1(x >1)，则f ′(x )＝1－1x ＋ln 1x(x －1)2. 记g (t )＝1－t ＋ln t,0<t <1，则g ′(t )＝1－tt >0， 故g (t )在(0,1)上为增函数，所以g (t )<g (1)＝0，从而 f ′(x )<0，故f (x )在(1，＋∞)上为减函数，从而ln n knk －1的最大值为k ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k . ⑤中，k ln q 2≥k ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ，解得q ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2， 当n ≤k －1时，同理有q ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k －12，所以公比q 的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2(整数k ≥2).12分(ⅱ)依题意，q ∈N *，由(2)知，q ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k －12(整数k ≥2)．所以q ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2>1，q ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k －12≤4.从而q ∈{2,3,4}，当q ＝2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2≤2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k －12，只能k ＝3，此时b n ＝9·2n －72，不符；当q ＝3时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2≤3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k －12，只能k ＝2，此时b n ＝4·3n －52，不符；当q ＝4时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2≤4≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k －12，只能k ＝2，此时b n ＝22n －3，符合．综上，b n ＝22n －3.16分5．(2016·无锡期末)已知数列{a n }与{b n }满足a n ＋1－a n ＝q (b b ＋1－b n )，n ∈N *. (1)若b n ＝2n －3，a 1＝1，q ＝2，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1＝1，b 1＝2且数列{b n }为公比不为1的等比数列，求q 的值，使数列{a n }也是等比数列；(3)若a 1＝q ，b n ＝q n (n ∈N *)且q ∈(－1,0)，数列{a n }有最大值M 与最小值m ，求Mm 的取值范围．[解] (1)由b n ＝2n －3且q ＝2得a n ＋1－a n ＝4，所以数列{a n }为等差数列， 又a 1＝1，所以a n ＝4n －3.3分(2)由条件可知a n －a n －1＝q (b n －b n －1)，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝q (b n －b n －1)＋q (b n －1－b n －2)＋…＋q (b 2－b 1)＋a 1＝qb n －qb 1＋a 1＝qb n －2q ＋1，6分不妨设{b n }的公比为λ(λ≠1)，则a n ＝2qλn －1－2q ＋1， 由{a n }是等比数列知：a 22＝a 1a 3可求出q ＝12，经检验，a n ＝2qλn －1，此时{a n }是等比数列，所以q ＝12满足条件.10分(3)由条件可知a n －a n －1＝q (b n －b n －1)，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝q (b n －b n －1)＋q (b n －1－b n －2)＋…＋q (b 2－b 1)＋a 1＝qb n －qb 1＋a 1， 即a n ＝q n ＋1－q 2＋q ，a 2n ＝q 2n ＋1－q 2＋q ，因此q ∈(－1,0)，所以a 2n ＋2－a 2n ＝q 2n ＋3－q 2n ＋1＝q 2n ＋1(q 2－1)>0，则{a 2n }单调递增；12分 a 2n ＋1－a 2n －1＝q 2n ＋2－q 2n ＝q 2n (q 2－1)<0，则{a 2n －1}单调递减； 又a 2n －a 1＝q 2n ＋1－q 2<0，所以数列{a n }的最大项为a 1＝q ＝M ， a 2n ＋1－a 2＝q 2n ＋2－q 3＝q 3(q 2n －1－1)>0， 所以数列{a n }的最小项为a 2＝q 3－q 2＋q ＝m ， 则M m ＝q q 3－q 2＋q ＝1q 2－q ＋1，因为q ∈(－1,0)，所以q 2－q ＋1∈(1,3)，所以M m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.16分6．(2016·扬州模拟)若数列{a n }中不超过f (m )的项数恰为b m (m ∈N *)，则称数列{b m }是数列{a n }的生成数列，称相应的函数f (m )是数列{a n }生成{b m }的控制函数．(1)已知a n ＝n 2，且f (m )＝m 2，写出b 1，b 2，b 3； (2)已知a n ＝2n ，且f (m )＝m ，求{b m }的前m 项和S m ；(3)已知a n ＝2n ，且f (m )＝Am 3(A ∈N *)，若数列{b m }中，b 1，b 2，b 5是公差为d (d ≠0)的等差数列，且b 3＝10，求d 的值及A 的值．【导学号：91632039】[解] (1)m ＝1，则a 1＝1≤1，∴b 1＝1，m ＝2，则a 1＝1<4，a 2＝4≤4，∴b 2＝2.m ＝3，则a 1＝1<9，a 2＝4<9，a 3＝9≤9，∴b 3＝3.3分(2)m 为偶数时，则2n ≤m ，则b m ＝m2；m 为奇数时，则2n ≤m －1，则b m ＝m －12，∴b m ＝⎩⎪⎨⎪⎧m －12(m 为奇数)，m2(m 为偶数).6分m 为偶数时，则S m ＝b 1＋b 2＋…＋b m ＝12(1＋2＋…＋m )－12×m 2＝m 24， m 为奇数时，则S m ＝b 1＋b 2＋…＋b m ＝Sm ＋1－b m ＋1＝(m ＋1)24－m ＋12＝m 2－14，∴S m ＝⎩⎪⎨⎪⎧m 2－14(m 为奇数)，m 24(m 为偶数).10分(3)依题意：a n ＝2n ，f (1)＝A ，f (2)＝8A ，f (5)＝125A ，设b 1＝t ，即数列{a n }中，不超过A 的项恰有t 项，所以2t ≤A <2t ＋1， 同理：2t ＋d ≤8A <2t ＋d ＋1,2t ＋2d ≤125A <2t ＋2d ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧2t ≤A <2t ＋1，2t ＋d －3≤A <2t ＋d －2，2t ＋2d125≤A <2t ＋2d ＋1125，故max ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2t ，2t ＋d －3，2t ＋2d 125 ≤A <min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2t ＋1，2t ＋d －2，2t ＋2d ＋1125. 12分由⎩⎪⎨⎪⎧2t ＋d －3<2t ＋1，2t ＋2d 125<2t ＋d －2，得d <4，∵d 为正整数，∴d ＝1,2,3，当d ＝1时，max ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2t ，2t ＋d －3，2t ＋2d 125＝max ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2t ，2t 4，4×2t 125＝2t ，min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2t ＋1，2t ＋d －2，2t ＋2d ＋1125＝min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2t ＋1，2t 2，8×2t 125＝8×2t 125<2t 不合题意，舍去；14分当d ＝2时，max ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2t ，2t ＋d －3，2t ＋2d 125＝max ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2t ，2t －1，16×2t 125＝2t ，min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2t ＋1，2t ＋d －2，2t ＋2d ＋1125＝min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2t ＋1，2t ，32×2t 125＝32×2t 125<2t不合题意，舍去；当d ＝3时，max ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2t ，2t ＋d －3，2t ＋2d 125＝max ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2t ，2t，64×2t 125＝2t ，min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2t ＋1，2t ＋d －2，2t ＋2d ＋1125＝min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2t ＋1，2t＋1，128×2t 125＝128×2t 125>2t 适合题意，此时2t ≤A ＜128125×2t ，b 1＝t ，b 2＝t ＋3，b 5＝t ＋6，∴t ＋3≤b 3≤t ＋6， ∵b 3＝10，∴4≤t ≤7，∵t 为整数，∴t ＝4，t ＝5，t ＝6或t ＝7， ∵f (3)＝27A ，b 3＝10，∴210≤27A ＜211，∴21027≤A <21127，当t ＝4时，24≤A <211125，∴无解，当t ＝5时，25≤A <212125，∴无解，当t＝6时，26≤A<213125，∴64≤A<213125，当t＝7时，27≤A<214125，∴无解，∴26≤A<213125，∵A∈N*，∴A＝64或A＝65，综上：d＝3，A＝64或65. 16分。

专题十一 等差数列与等比数列题型一| 数列的概念及其表示(1)(2016·无锡期末)对于数列{a n }，定义数列{b n }满足：b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，且b n ＋1－b n ＝1(n ∈N *)，a 3＝1，a 4＝－1，则a n ＝________.(2)已知数列{a n }的首项a 1＝2，其前n 项和为S n .若S n ＋1＝2S n ＋1，则a n ＝________.[解题指导] (1)b n ＋1－b n ＝1――→等差数列定义求b n ――→a n ＋1－a n ＝b n求a n(2)S n ＋1＝2S n ＋1――→构造法求S n ――→a n 与S n 的关系求a n (1)n 2－11n ＋262 (2)⎩⎨⎧ 2，3·2n －2，n ＝1，n ≥2[(1)∵a 3＝1，a 4＝－1，∴b 3＝a 4－a 3＝－2.又b n ＋1－b n ＝1，∴{b n }是等差数列， ∴b n ＝b 3＋(n －3)×1＝－2＋(n －3)×1＝n －5. ∴a n ＋1－a n ＝n －5.∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 4－a 3)＋a 3 ＝(n －6)＋(n －7)＋…＋(－2)＋1 ＝(n －3)(－2＋n －6)2＋1＝n 2－11n ＋262.(2)依题意得S n ＋1＋1＝2(S n ＋1)，因此数列{S n ＋1}是以S 1＋1＝3为首项，2为公比的等比数列，S n ＋1＝3×2n －1，S n ＝3×2n －1－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3·2n －2，又a 1＝2，因此a n ＝⎩⎨⎧ 2，3·2n －2，n ＝1，n ≥2.]【名师点评】 1.数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2.在形如“a n ＋1＝pa n ＋q ”的数列中，通常用构造法求解，构造时可先设(a n ＋1＋x )＝p (a n＋x )，再由等量关系求得x ，实现构造.,3.在形如“a n ＋1a n ＝f (n )”的数列中，通常用累积法求a n ，即a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1.,4.在形如“a n ＋1－a n ＝f (n )”的数列中，通常用累加法求a n ，即a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1.1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －n ，则a n ＝________. 2n －1 [由S n ＝2a n －n ①，得S n －1＝2a n －1－(n －1)(n ≥2)②，①－②，得a n ＝2a n －2a n －1－1(n ≥2)，即a n ＋1＝2(a n －1＋1)(n ≥2)， ∴a n ＋1a n －1＋1＝2， 又a 1＝1，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1.]2．数列{a n }中，a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足2a n a n S n －S 2n ＝1(n ≥2)．则a n ＝________.⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－2n (n ＋1)，n ≥2 [由已知，当n ≥2时，2a na n S n －S 2n ＝1，所以2(S n －S n －1)(S n －S n －1)S n －S 2n＝1，即2(S n －S n －1)－S n －1S n＝1，所以1S n －1S n －1＝12.又S 1＝a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1，公差为12的等差数列，所以1S n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12，即S n ＝2n ＋1.所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n＝－2n (n ＋1).因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－2n (n ＋1)，n ≥2.]题型二| 等差、等比数列的基本运算(1)(2014·江苏高考)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．(2)如图11-1，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1，过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；…，依此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________.图11-1(3)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4，a 3，a 5成等差数列，且S k ＝33，S k ＋1＝－63，其中k ∈N *，则S k ＋2的值为________．(1)4 (2)14 (3)129 [(1)因为a 8＝a 2q 6，a 6＝a 2q 4，a 4＝a 2q 2，所以由a 8＝a 6＋2a 4得a 2q 6＝a 2q 4＋2a 2q 2，消去a 2q 2，得到关于q 2的一元二次方程(q 2)2－q 2－2＝0，解得q 2＝2，a 6＝a 2q 4＝1×22＝4.(2)根据题意易知a 1＝2，a 2＝2，a 3＝1，所以{a n }构成以a 1＝2为首项，以q ＝22为公比的等比数列， 所以a 7＝a 1q 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.(3)设公比为q ，由2a 3＝a 4＋a 5，即2a 3＝a 3q ＋a 3q 2，解得q ＝－2或q ＝1(舍去，因为S k 与S k ＋1异号)，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝－96，a k ＋2＝a k ＋1q ＝192，S k ＋2＝S k ＋1＋a k ＋2＝－63＋192＝129.]【名师点评】 等差(比)数列基本运算中的关注点 1.基本量.在等差(比)数列中，首项a 1和公差d (公比q )是两个基本量. 2.解题思路.(1)求公差d (公比q )：常用公式a n ＝a m ＋(n －m )d (a n ＝a m q n －m )；(2)列方程组：若条件与结论的联系不明显时，常把条件转化为关于a 1和d (q )的方程组求解，但要注意消元及整体计算，以减少计算量.1．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 2＋a 6＝a 8，则S 5a 5＝________.3 [由a 2＋a 6＝a 8，得a 1＋d ＋a 1＋5d ＝a 1＋7d ，即a 1＝d ，S 5a 5＝5a 3a 1＋4d ＝5(a 1＋2d )a 1＋4d＝15d5d ＝3.]2．(2016·苏州期中)等比数列{a n }的公比大于1，a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3＝________.4 [由⎩⎨⎧a 5－a 1＝a 1(q 4－1)＝15，a 4－a 2＝a 1q (q 2－1)＝6，得2q 2－5q ＋2＝0， 即q ＝2.代入a 5－a 1＝15得a 1＝1. ∴a 3＝a 1q 2＝1×22＝4.]3．设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．33 [由题意知a 3＝q ，a 5＝q 2，a 7＝q 3且q ≥1；a 4＝a 2＋1，a 6＝a 2＋2且a 2≥1，那么有q 2≥2且q 3≥3.故q ≥33，即q 的最小值为33.]4．已知数列{a n }满足a 1＝43，2－a n ＋1＝12a n ＋6(n ∈N *)，则∑i ＝1n 1a i＝________.【导学号：91632035】有2·3n －n －24 [由已知，2－a n ＋1＝12a n ＋6， 化简得(2－a n ＋1)(a n ＋6)＝12， 即1a n ＋1＝3×1a n＋12，令b n ＝1a n ，则b n ＋1＝3b n ＋12，得b n ＋1＋14＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＋14，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n ＋14是等比数列，b 1＋14＝1，公比为3，所以b n ＋14＝1×3n －1，故b n ＝3n －1－14，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝1－3n 1－3－14n ＝2·3n －n －24，所以∑i ＝1n1a i ＝2·3n －n －24.]题型三| 等差、等比数列的性质及应用(1)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝________.(2)在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．(3)等差数列{a n }中，公差d ≠0，且2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.(1)5 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－78 (3)16 [(1)由等比数列的性质知a 1a 5＝a 2a 4＝a 23＝4⇒a 3＝2，所以log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 2a 53＝5log 22＝5.(2)由题意知d <0且⎩⎨⎧ a 8>0，a 9<0，即⎩⎨⎧7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78.(3)在等差数列中，由2a 3－a 27＋2a 11＝0，得2(a 3＋a 11)－a 27＝0,4a 7－a 27＝0，则a 7＝0或a 7＝4，又因{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则a 7＝0(舍)，a 7＝4，又由b 7＝4得b 6b 8＝b 27＝16.]【名师点评】 1.等差数列前n 项和的最值问题，经常转化为二次函数的最值问题，有时利用数列的单调性(d >0，递增；d <0，递减)．2．等差、等比数列的性质1．(2016·南通二调)在等比数列{a n }中， a 2＝1，公比q ≠±1.若a 1,4a 3,7a 5成等差数列，则a 6的值是________．149 [由题意可知 8a 3＝a 1＋7a 5， ∴8q 2＝1＋7q 4，解得q 2＝17或q 2＝1(舍去)．又a 2＝1，故a 6＝a 2q 4＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝149.]2．若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 2＝1，S 4S 2＝4，则S 6S 4＝________.94 [由等差数列的性质可知S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，由S 4S 2＝4，得S 4－S 2S2＝3，则S 6－S 4＝5S 2，所以S 6S 4＝94.]3．已知等比数列{a n }的首项为43，公比为－13，其前n 项和为S n ，若A ≤S n －1S n≤B 对n ∈N *恒成立，则B －A 的最小值为________． 5972 [易得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，43，而y ＝S n－1S n 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤89，43上单调递增， 所以y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1772，712⊆[A ，B ]，因此B －A 的最小值为712－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1772＝5972.]。

专题十四 高考中的立体几何题型一| 空间位置关系的证明(2016·江苏高考)如图14-1，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1.图14-1求证：(1)直线DE ∥平面A 1C 1F ； (2)平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F . [解题指导] (1)DE 是△ABC 的中位线――→中位线的性质DE ∥AC ――→平行的传递性DE ∥A 1C 1线面平行的判定DE ∥平面A 1C 1F(2)A 1C 1⊥A 1B 1――→直棱柱的性质A 1C 1⊥平面ABB 1A 1―→A 1C 1⊥B 1D――→B 1D ⊥A 1FB 1D ⊥平面A 1C 1F ―→平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F[证明] (1)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，A 1C 1∥AC . 在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点， 所以DE ∥AC ，于是DE ∥A 1C 1.2分又因为DE ⊄平面A 1C 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ， 所以直线DE ∥平面A 1C 1F .4分(2)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面A 1B 1C 1. 因为A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，所以A 1A ⊥A 1C 1.6分又因为A 1C 1⊥A 1B 1，A 1A ⊂平面ABB 1A 1，A 1B 1⊂平面ABB 1A 1，A 1A ∩A 1B 1＝A 1，所以A 1C 1⊥平面ABB 1A 1.8分 因为B 1D ⊂平面ABB 1A 1，所以A 1C 1⊥B 1D .10分又因为B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，A 1F ⊂平面A 1C 1F ，A 1C 1∩A 1F ＝A 1，所以B 1D ⊥平面A 1C 1F .12分 因为直线B 1D ⊂平面B 1DE ，所以平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .14分【名师点评】 1.正确并熟练掌握空间中平行与垂直的判定定理与性质定理，是进行判断和证明的基础；证明面面平行、垂直时，常转化为线面的平行与垂直，再转化为线线的平行与垂直.2.证明立体几何问题，要紧密结合图形，有时要利用平面几何的相关知识，因此需要多画出一些图形辅助使用.1．(2016·苏锡常镇调研一)如图14-2，已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，P A ⊥平面ABCD ，M 是棱AD 的中点，N 是棱PC 的中点．图14-2(1)求证：MN ∥平面P AB ；(2)若平面PMC ⊥平面P AD ，求证：CM ⊥AD .[证明] (1)取PB 中点E ，连结EA ，EN ，NM ，在△PBC 中，EN ∥BC 且EN ＝12BC ，又AM ＝12AD ，AD ∥BC ，AD ＝BC ，得EN ∥AM ，EN ＝AM ，∴四边形ENMA 是平行四边形， 4分得MN ∥AE ，MN ⊄平面P AB ，AE ⊂平面P AB ， ∴MN ∥平面P AB .6分 (2)过点A 作PM 的垂线，垂足为H .∵平面PMC ⊥平面P AD ，平面PMC ∩平面P AD ＝PM ，AH ⊥PM ，AH⊂平面P AD，∴AH⊥平面PMC，∵CM⊂平面PMC，∴AH⊥CM. 12分∵P A⊥平面ABCD，CM⊂平面ABCD，∴P A⊥CM.∵P A∩AH＝A，P A，AH⊂平面P AD，∴CM⊥平面P AD.∵AD⊂平面P AD，∴CM⊥AD. 14分2．如图14-3，在四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD为矩形，P A⊥平面PDC，点E为棱PD的中点．求证：图14-3(1)PB∥平面EAC；(2)平面P AD⊥平面ABCD.[证明](1)连结BD与AC相交于点O，连结OE.因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD中点. 3分因为E为棱PD中点，所以PB∥OE.因为PB⊄平面EAC，OE⊂平面EAC，所以直线PB∥平面EAC. 6分(2)因为P A⊥平面PDC，CD⊂平面PDC，所以P A⊥CD.因为四边形ABCD为矩形，所以AD⊥CD. 10分因为P A∩AD＝A，P A，AD⊂平面P AD，所以CD⊥平面P AD.因为CD⊂平面ABCD，所以平面P AD⊥平面ABCD. 14分3．如图14-4，正三棱柱ABC-A1B1C1，点D，E分别是A1C，AB的中点．图14-4(1)求证：DE∥平面BB1C1C；(2)若AB＝2BB1，求证：A1B⊥平面B1CE.[证明](1)连结AC1，BC1，因为AA1C1C是矩形，D是A1C的中点，所以D是AC1的中点. 3分在△ABC1中，因为D，E分别是AC1，AB的中点，所以DE∥BC1.因为DE⊄平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，所以DE∥平面BB1C1C. 6分(2)因为△ABC是正三角形，E是AB的中点．所以CE⊥AB.又因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面ABB1A1，交线为AB，所以CE⊥平面ABB1A1，从而CE⊥A1B.在矩形ABB1A1中，因为A1B1B1B＝2＝B1BBE，所以Rt△A1B1B∽Rt△B1BE，12分从而∠B1A1B＝∠BB1E，因此∠B1A1B＋∠A1B1E＝∠BB1E＋∠A1B1E＝90°，所以A1B⊥B1E.又因为CE，B1E⊂平面B1CE，CE∩B1E＝E，所以A1B⊥平面B1CE. 14分题型二| 空间几何体的体积计算如图14-5，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．图14-5(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D-BCG的体积．附：锥体的体积公式V＝13Sh，其中S为底面面积，h为高．【导学号：91632044】[解](1)证明：由已知得△ABC≌△DBC，因此AC＝DC. 2分又G为AD的中点，所以CG⊥AD. 3分同理BG⊥AD，又BG∩CG＝G，因此AD⊥平面BGC. 5分又EF∥AD，所以EF⊥平面BCG. 7分(2)在平面ABC内，作AO⊥BC，交CB的延长线于O.由平面ABC⊥平面BCD，知AO⊥平面BDC. 9分又G为AD中点，因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半. 11分在△AOB中，AO＝AB·sin 60°＝3，所以V D-BCG＝V G-BCD＝13S△DBC·h＝13×12BD·BC·sin 120°·32＝12. 14分【名师点评】 1.求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.2.求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.3.在求空间几何体的高时，常根据已知线段的比例关系来确定高的比例关系，例如本例中点A、点G到平面BCD的距离的关系.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．图14-6(1)求证：平面A1BC⊥平面ABB1A1；(2)若AD＝3，AB＝BC＝2，P为AC中点，求三棱锥P-A1BC的体积．[解](1)证明：直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BC.∵AD⊥平面A1BC，∴AD⊥BC. 3分∵AA1，AD为平面ABB1A1内两相交直线，∴BC⊥平面ABB1A1.又∵BC⊂平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面ABB1A1. 6分(2)法一：由等积变换得V P-A1BC＝V A1-PBC，在Rt△A1AB中，由射影定理知AA1＝2 3.∵AA1⊥平面PBC，∴三棱锥的高为AA1＝2 3. 12分又∵底面积S△PBC＝1，∴V P-A1BC＝V A1-PBC＝13S△PBC×AA1＝233. 14分法二：连结CD，取CD中点Q，连结PQ.∵P为AC的中点，∴PQ∥AD，PQ＝12AD.∵AD＝3，∴PQ＝32，12分由(1)知AD⊥平面A1BC，∴PQ⊥平面A1BC，∴PQ为三棱锥P-A1BC的高，又由(1)知BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥BA1，∴S△A1BC＝4.∴V P-A1BC＝233. 14分。

专题限时集训(六) 利用导数研究函数的单调性、极值、最值(建议用时：45分钟)1．设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0,1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． [解] (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.1分令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a 3，x 2＝－1＋4＋3a3，x 1<x 2， 2分所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2).3分 当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.5分故f (x )在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)内单调递减，在(x 1，x 2)内单调递增. 6分 (2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0.7分①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值.10分②当0<a <4时，x 2<1，由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2,1]上单调递减，所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值.12分又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0处和x ＝1处同时取得最小值； 当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值.14分2．已知函数f (x )＝ax －2x －3ln x ，其中a 为常数．(1)当函数f (x )的图象在点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，f ⎝⎛⎭⎪⎫23处的切线的斜率为1时，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3上的最小值； (2)若函数f (x )在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a 的取值范围．【导学号：91632019】[解] (1)f ′(x )＝a ＋2x 2－3x ， 由题意可知f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝1，解得a ＝1.2分由f (x )＝x －2x －3ln x ，∴f ′(x )＝(x －1)(x －2)x 2.由f ′(x )＝0，得x ＝2. 4分 于是可得下表：min (2)f ′(x )＝a ＋2x 2－3x ＝ax 2－3x ＋2x 2(x >0)，8分由题意可得方程ax 2－3x ＋2＝0有两个不等的正实根，不妨设这两个根为x 1，x 2，并令h (x )＝ax 2－3x ＋2，10分则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－8a >0，x 1＋x 2＝3a >0，x 1x 2＝2a >0，也可以为⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－8a >0，－－32a >0，h (0)>0，13分解得0<a <98.14分3．如图6-4，现要在边长为100 m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”．正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为x m(x 不小于9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为15x 2 m 的圆形草地．为了保证道路畅通，岛口宽不小于60 m ，绕岛行驶的路宽均不小于10 m.图6-4(1)求x 的取值范围；(运算中2取1.4)(2)若中间草地的造价为a 元/m 2，四个花坛的造价为433ax 元/m 2，其余区域的造价为12a11元/m 2，当x 取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？[解](1)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ≥9，100－2x ≥60，1002－2x －2×15x 2≥2×10，2分解得⎩⎨⎧x ≥9，x ≤20，－20≤x ≤15，4分即9≤x ≤15.6分(2)记“环岛”的整体造价为y 元，则由题意得 y ＝a ×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 22＋433ax ×πx 2＋12a 11×104－π×⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 22－πx 2＝a 11⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫－125x 4＋43x 3－12x 2＋12×104，8分令f (x )＝－125x 4＋43x 3－12x 2，则f ′(x )＝－425x 3＋4x 2－24x ＝－4x ⎝ ⎛⎭⎪⎫125x 2－x ＋6，10分由f ′(x )＝0，解得x ＝10或x ＝15， 列表如下：即当x ＝10 m 时，可使“环岛”的整体造价最低. 14分4．(理)设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x )，其中a ∈R . (1)讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由； (2)若∀x ＞0，f (x )≥0成立，求a 的取值范围． [解] (1)由题意知，函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋1＋a (2x －1)＝2ax 2＋ax －a ＋1x ＋1.1分 令g (x )＝2ax 2＋ax －a ＋1，x ∈(－1，＋∞). 2分①当a ＝0时，g (x )＝1，此时f ′(x )＞0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点； 3分 ②当a ＞0时，Δ＝a 2－8a (1－a )＝a (9a －8)． a ．当0＜a ≤89时，Δ≤0，g (x )≥0，f ′(x )≥0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点； 4分b ．当a ＞89时，Δ＞0，设方程2ax 2＋ax －a ＋1＝0的两根为x 1，x 2(x 1＜x 2)， 因为x 1＋x 2＝－12， 所以x 1＜－14，x 2＞－14.5分 由g (－1)＝1＞0，可得－1＜x 1＜－14.所以当x ∈(－1，x 1)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增， 6分 因此，函数有两个极值点． c ．当a ＜0时，Δ＞0， 由g (－1)＝1＞0，可得x 1＜－1.当x ∈(－1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减， 所以函数有一个极值点.7分 综上所述，当a ＜0时，函数f (x )有一个极值点； 当0≤a ≤89时，函数f (x )无极值点； 当a ＞89时，函数f (x )有两个极值点. 8分 (2)由(1)知，①当0≤a≤89时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为f(0)＝0，所以x∈(0，＋∞)时，f(x)＞0，符合题意. 9分②当89＜a≤1时，由g(0)≥0，得x2≤0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f(0)＝0，所以x∈(0，＋∞)时，f(x)＞0，符合题意. 10分③当a＞1时，由g(0)＜0，可得x2＞0.所以x∈(0，x2)时，函数f(x)单调递减．因为f(0)＝0，所以x∈(0，x2)时，f(x)＜0，不合题意. 11分④当a＜0时，设h(x)＝x－ln(x＋1)．因为x∈(0，＋∞)时，h′(x)＝1－1x＋1＝xx＋1＞0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增. 12分因此，当x∈(0，＋∞)时，h(x)＞h(0)＝0，即ln(x＋1)＜x.可得f(x)＜x＋a(x2－x)＝ax2＋(1－a)x，当x＞1－1a时，ax2＋(1－a)x＜0，此时f(x)＜0，不符合题意．综上所述，a的取值范围是[0,1]. 14分4．设函数f(x)＝e xx2－k2x＋ln x(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1)当k≤0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围．[解](1)函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝x2e x－2x e xx4－k⎝⎛⎭⎪⎫－2x2＋1x＝x e x－2e xx3－k(x－2)x2＝(x－2)(e x－kx)x3. 2分由k ≤0可得e x －kx >0，3分所以当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．所以f (x )的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞). 6分(2)由(1)知，k ≤0时，函数f (x )在(0,2)内单调递减， 故f (x )在(0,2)内不存在极值点；7分 当k >0时，设函数g (x )＝e x －kx ，x ∈(0，＋∞). 8分 因为g ′(x )＝e x －k ＝e x －e ln k ， 当0<k ≤1时，当x ∈(0,2)时，g ′(x )＝e x －k >0，y ＝g (x )单调递增． 故f (x )在(0,2)内不存在两个极值点. 10分 当k >1时，得x ∈(0，ln k )时，g ′(x )<0，函数y ＝g (x )单调递减； 11分 x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )>0，函数y ＝g (x )单调递增． 所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k )． 函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，当且仅当⎩⎨⎧g (0)>0，g (ln k )<0，g (2)>0，0<ln k <2，解得e<k <e 22.13分综上所述，函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，e 22.14分5．(2016·无锡期末)已知函数f (x )＝ln x ＋a ＋e －2x (a ＞0)． (1)当a ＝2时，求出函数f (x )的单调区间；(2)若不等式f (x )≥a 对于x ＞0的一切值恒成立，求实数a 的取值范围． [解] (1)当a ＝2时，函数f (x )＝ln x ＋ex ， 1分 所以f ′(x )＝1x －e x 2＝x －ex 2，2分所以当x∈(0，e)时，f′(x)＜0，则函数f(x)在(0，e)上单调递减； 3分当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＞0，则函数f(x)在(e，＋∞)上单调递增. 4分(2)由题意知ln x＋a＋e－2x≥a恒成立，5分原式等价于x ln x＋a＋e－2－ax≥0在(0，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x ln x＋a＋e－2－ax，6分因为g′(x)＝ln x＋1－a，令g′(x)＝0，得x＝e a－1，a1a1a1 8分令t(x)＝x＋e－2－e x－1，因为t′(x)＝1－e x－1，令t′(x)＝0，得x＝1，且所以当a∈(0,1)时，g(x)的最小值t(a)＞t(0)＝e－2－1e＝e＞0，12分当a∈[1，＋∞)时，g(x)的最小值为t(a)＝a＋e－2－e a－1≥0＝t(2)，所以a∈[1,2]. 14分6．(2016·苏北三市三模)已知函数f(x)＝e xe x，g(x)＝ax－2ln x－a(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)求f(x)的极值；(2)若在区间[0，e]上，对于任意的x0，总存在两个不同的x1，x2，使得g(x1)＝g(x2)＝f(x0)，求a的取值范围．[解](1)因为f(x)＝e xe x，所以f′(x)＝(1－x)ee x，令f ′(x )＝0，得x ＝1.2分当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数． 所以f (x )在x ＝1时取得极大值f (1)＝1，无极小值.5分(2)由(1)知，当x ∈(0,1)时，f (x )单调递增；当x ∈(1，e]时，f (x )单调递减． 又因为f (0)＝0，f (1)＝1，f (e)＝e·e 1－e ＞0， 所以当x ∈(0，e]时，函数f (x )的值域为(0,1].7分当a ＝0时，g (x )＝－2ln x 在(0，e]上单调，不合题意； 当a ≠0时，g ′(x )＝a －2x ＝ax －2x ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a x ，x ∈(0，e]， 故必须满足0＜2a ＜e ，所以a ＞2e .8分 此时，当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下：所以x →0，g (x )→＋∞，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝2－a －2ln 2a ，g (e)＝a (e －1)－2.所以对任意给定的x 0∈(0，e]，在区间(0，e]上总存在两个不同的x 1，x 2，10分使得g (x 1)＝g (x 2)＝f (x 0)，当且仅当a 满足下列条件⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ≤0，g (e )≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a －2ln 2a ≤0，a (e －1)－2≥1.令m (a )＝2－a －2ln 2a ，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，＋∞，m ′(a )＝－a －2a ，由m ′(a )＝0，得a ＝2.12分当a ∈(2，＋∞)时，m ′(a )＜0，函数m (a )单调递减；当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，2时，m ′(a )＞0，函数m (a )单调递增．所以，对任意a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，＋∞有m (a )≤m (2)＝0，即2－a －2ln 2a ≤0对任意a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，＋∞恒成立．由a (e －1)－2≥1，解得a ≥3e －1. 13分综上所述，当a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3e －1，＋∞时，对于任意给定的x 0∈(0，e]，在区间(0，e]上总存在两个不同的x 1，x 2，使得g (x 1)＝g (x 2)＝f (x 0). 14分。

2017年高考仿真原创押题卷(三) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(∁U A)∪B＝() A．(2, 3] B.(－∞，1]∪(2，＋∞)C.1,2)D.(－∞，0)∪1，＋∞)D因为∁U A＝{x|x＞2或x＜0}，B＝{y|1≤y≤3}，所以(∁U A)∪B＝(－∞，0)∪1，＋∞)．]2．已知i是虚数单位，若a＋b i＝i2＋i－i2－i(a，b∈R)，则a＋b的值是()A．0 B.－2 5iC.－25 D.25D因为a＋b i＝i2＋i －i2－i＝2i＋1－2i＋14＋1＝25，所以a＝25，b＝0，a＋b＝25.]3．已知条件p：a＜0，条件q：a2＞a，则綈p是綈q的()A．充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件B因为綈p：a≥0，綈q：0≤a≤1，所以綈p是綈q的必要不充分条件．] 4．如图1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△P AC在该正方体各个面上的射影可能是()图1①②③④A ．①④ B.②③ C.②④D.①②A 由所给的正方体知，△P AC 在该正方体上下面上的射影是①，△P AC 在该正方体左右面上的射影是④，△P AC 在该正方体前后面上的射影是④，故①④符合题意．]5．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，若过右焦点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个不同交点，则此双曲线实半轴长的取值范围是( )A ．(2,4) B.(2,4] C.2,4)D.(2，＋∞)A 椭圆x 225＋y 29＝1的半焦距c ＝4.要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即ba ＜tan 60°＝3，即b ＜3a ，∴c 2－a 2＜3a 2，整理得c ＜2a ，∴a ＞2.又a ＜c ＝4，则此双曲线实半轴长的取值范围是(2,4)．]6．若数列{a n }满足1a n －1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝()A ．10 B.20 C.30 D.40B由题意知，∵数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，∴11x n ＋1－11x n＝x n ＋1－x n ＝d ，∴{x n }是等差数列．又∵x 1＋x 2＋…＋x 20＝200＝20(x 1＋x 20)2，∴x 1＋x 20＝20.又∵x 1＋x 20＝x 5＋x 16，∴x 5＋x 16＝20.]7．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，3x ＋4y ≥4，y ≥0，则x 2＋y 2＋2x 的最小值是( )【导学号：85952100】A.25B.2－1C.2425D.1D满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，3x ＋4y ≥4，y ≥0的平面区域如图中阴影部分所示．∵x 2＋y 2＋2x ＝(x ＋1)2＋y 2－1表示(－1,0)点到可行域内任一点距离的平方再减1，由图可知当x ＝0，y ＝1时，x 2＋y 2＋2x 取最小值1.]8．已知函数f (x )＝sin (2x ＋φ)，其中0＜φ＜2π，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，则φ等于( )A.π6B.5π6C.7π6D.11π6C 若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6等于函数的最大值或最小值，即2×π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π＋π6，k ∈Z .又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，即sin φ＜0,0＜φ＜2π，当k ＝1时，此时φ＝7π6，满足条件．]9．程序框图如图2所示，该程序运行后输出的S 的值是 ( )图2A ．2 B.－12 C.－3D.13A 由程序框图知：S ＝2，i ＝1；S ＝1＋21－2＝－3，i ＝2；S ＝1－31＋3＝－12，i ＝3；S ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝13，i ＝4；S ＝1＋131－13＝2，i ＝5；……，可知S 值周期性出现，周期为4，当i ＝2 017＝4×504＋1时，结束循环输出S ，即输出的S ＝2.]10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos 2B ＋cos B ＝1－cos A cos C ，则( )A ．a ，b ，c 成等差数列B ．a ，b ，c 成等比数列 C.a,2b,3c 成等差数列 D ．a,2b,3c 成等比数列B ∵cos 2B ＋cos B ＝1－cos A cosC ，∴1－cos 2B ＝cos B ＋cos A cos C ，即sin 2B ＝－cos(A ＋C )＋cos A cos C ＝sin A sin C ，由正弦定理可知：b 2＝ac ，∴a ，b ，c 成等比数列．故选B.]11．已知双曲线T ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的右焦点为F (2,0)，且经过点R ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，0，△ABC 的三个顶点都在双曲线T 上，O 为坐标原点，设△ABC 三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为M ，N ，P ，且三条边所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k i ≠0，i ＝1,2,3.若直线OM ，ON ，OP 的斜率之和为－1.则1k 1＋1k 2＋1k 3的值为( )A ．－1 B.－12 C.1D.12B 由题易知a ＝233，a 2＋b 2＝4，解得a 2＝43，b 2＝83，所以T 为：3x 24－3y 28＝1.已知k OM ＋k ON ＋k OP ＝－1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧3x 214－3y 218＝1，3x 224－3y 228＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝2(x 1＋x 2)y 1＋y 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22y 1＋y 22.即k 1＝2kOM⇒k OM ＝2k 1，同理k ON ＝2k 2，k OP ＝2k 3.由k OM ＋k ON ＋k OP ＝－1，所以2k 1＋2k 2＋2k 3＝－1， 即1k 1＋1k 2＋1k 3＝－12，故选B.]12．如图3，在三棱锥P -ABC 中，P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝3，PB ＝2，PC ＝2，设M 是底面三角形ABC 内一动点，定义：f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别表示三棱锥M -P AB ，M -PBC ，M -P AC 的体积，若f (M )＝(1，x,4y )，且1x ＋ay ≥8恒成立，则正实数a 的最小值是( )【导学号：85952101】图3A ．2－ 2 B.22－12C.9－424D.6－4 2C ∵P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A ＝3，PB ＝2，PC ＝2， ∴V P -ABC＝13×12×3×2×2＝2＝1＋x ＋4y ，即x ＋4y ＝1.∵1x ＋a y ≥8恒成立，∴1x ＋a y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y (x ＋4y )＝1＋ax y ＋4y x ＋4a ≥1＋4a ＋4a ≥8，解得a ≥9－424，∴正实数a 的最小值为9－424.]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上) 13．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________.1 由题意知(a ＋b )·(k a －b )＝0， 即k －1＋(k －1)a·b ＝0， ∴(k －1)(1＋a·b )＝0.又∵1＋a·b ＝0不恒成立，∴k ＝1.]14．已知等比数列{a n }为递增数列，a 1＝－2，且3(a n ＋a n ＋2)＝10a n ＋1，则公比q ＝________.13因为等比数列{a n }为递增数列且a 1＝－2＜0，所以公比0＜q ＜1.又因为3(a n ＋a n ＋2)＝10a n ＋1，两边同除以a n 可得3(1＋q 2)＝10q ，即3q 2－10q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝13，而0＜q ＜1，所以q ＝13.]15．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝e x ＋x 2＋1，则函数h (x )＝2f (x )－g (x )在点(0，h (0))处的切线方程是________．x －y ＋4＝0 由f (x )－g (x )＝e x ＋x 2＋1知f (－x )－g (－x )＝e －x ＋x 2＋1， 即f (x )＋g (x )＝e －x ＋x 2＋1，∴f (x )＝e x ＋e －x ＋2x 2＋22，g (x )＝e －x －e x2，∴h (x )＝2f (x )－g (x )＝e x ＋e －x ＋2x 2＋2－e －x －e x 2＝32e x ＋12e －x ＋2x 2＋2，∴h ′(x )＝32e x ＋12e －x ·(－1)＋4x ，∴h ′(0)＝32－12＝1.又∵h (0)＝4， ∴切线方程是x －y ＋4＝0.]16．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2(1－x )＋1，－1≤x ＜0，x 3－3x ＋2，0≤x ≤a 的值域是0,2]，则实数a 的取值范围是________．1，3] 函数图象如图所示：∴1≤a≤ 3.]三、解答题(共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知sin C2＝104.(1)求cos C的值；(2)若△ABC的面积为3154，且sin2A＋sin2B＝1316sin2C，求a，b及c的值.【导学号：85952102】解](1) 因为sinC2＝104，所以cos C＝1－2sin2C2＝－14.4分(2) 因为sin2A＋sin2B＝1316sin2C，由正弦定理得a2＋b2＝1316c2.①6分由余弦定理得a2＋b2＝c2＋2ab cos C，将cos C＝－14代入，得ab＝38c2，②8分由S△ABC＝3154及sin C＝1－cos2C＝154，得ab＝6.③10分由①②③得⎩⎨⎧a＝2，b＝3，c＝4或⎩⎨⎧a＝3，b＝2，c＝4.经检验，满足题意．所以⎩⎨⎧a＝2，b＝3，c＝4或⎩⎨⎧a＝3，b＝2，c＝4.12分18.(本小题满分12分)在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表1：男生表2：女生(1)从表2人中恰有1人测评等级为合格的概率；(2)由表中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.参考数据与公式：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d. 临界值表：解](1)则m500＝45500＋400，m＝25，∴x＝25－20＝5，y＝20－18＝2.2分表2中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a，b，c，尚待改进的2人为A，B，则从这5人中任选2人的所有可能结果为：(a，b)，(a，c)，(b，c)，(A，B)，(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)共10种.4分设事件C表示“从表2的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，则C的结果为(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，共6种，∴P(C)＝610＝35，故所求概率为35.6分(2)8分∵1－0.9＝0.1，P (K 2≥2.706)＝0.10，而K 2＝45(15×5－15×10)230×15×25×20＝98＝1.125＜2.706，10分∴没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.12分19．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 为梯形，AB ∥CD ，PD ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，DC ＝2AB ＝2a ，DA ＝3a ，E 为BC 中点．(1)求证：平面PBC ⊥平面PDE ；(2)线段PC 上是否存在一点F ，使P A ∥平面BDF ？若存在，请找出具体位置，并进行证明：若不存在，请分析说明理由．图--【证明】 (1)连接BD ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°， AB ＝a ，DA ＝3a ， 所以BD ＝DC ＝2a ，2分 E 为BC 中点， 所以BC ⊥DE .又因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥PD .4分 因为DE ∩PD ＝D ， 所以BC ⊥平面PDE .因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PDE.6分(2)当点F位于PC三分之一分点(靠近P点)时，P A∥平面BDF.8分连接AC，BD交于O点，AB∥CD，所以△AOB∽△COD.又因为AB＝12DC，所以AO＝12OC，10分从而在△CP A中，AO＝13AC，而PF＝13PC，所以OF∥P A，而OF⊂平面BDF，P A⊄平面BDF，所以P A∥平面BDF.12分20．(本小题满分12分) (2016·河南八校联考)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于12，它的一个顶点恰好是抛物线x2＝83y的焦点．图6(1)求椭圆C的方程；(2)点P(2,3)，Q(2，－3)在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，①若直线AB的斜率为12，求四边形APBQ面积的最大值；②当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．解](1)设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，则由题意可知b＝2 3.2分由ca＝12，a2＝c2＋b2，得a＝4.∴椭圆C的方程为x216＋y212＝1.4分(2)①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝12x＋t，5分代入x216＋y212＝1，得x2＋tx＋t2－12＝0.6分由Δ＞0，解得－4＜t＜4.由韦达定理得x 1＋x 2＝－t ，x 1x 2＝t 2－12.四边形APBQ 的面积S ＝12×6×|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝348－3t 2， ∴当t ＝0，S max ＝12 3.8分②由∠APQ ＝∠BPQ ，可知P A ，PB 的斜率之和为0，设直线P A 的斜率为k ，则PB 的斜率为－k ，P A 的直线方程为y －3＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y －3＝k (x －2)，x 216＋y 212＝1，整理得(3＋4k 2)x 2＋8(3－2k )kx ＋4(3－2k )2－48＝0. ∴x 1＋2＝8(2k －3)k 3＋4k 2.9分 同理，PB 的直线方程为y －3＝－k (x －2)，可得x 2＋2＝－8k (－2k －3)3＋4k 2＝8k (2k ＋3)3＋4k 2. ∴x 1＋x 2＝16k 2－123＋4k 2，x 1－x 2＝－48k 3＋4k 2.10分 k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k (x 1－2)＋3＋k (x 2－2)－3x 1－x 2 ＝k (x 1＋x 2)－4k x 1－x 2＝12. 所以AB 的斜率为定值12.12分21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln ax －x －a x (a ≠0)．(1)求此函数的单调区间及最值；(2)求证：对于任意正整数n ，均有1＋12＋13＋…＋1n ≥ln e nn ！(e 为自然对数的底数).【导学号：85952103】解] (1)由题意f ′(x )＝x －a x 2.2分当a ＞0时，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，此时函数在(0，a )上是减函数，在(a ，＋∞)上是增函数，f (x )min ＝f (a )＝ln a 2，无最大值.4分当a ＜0时，函数f (x )的定义域为(－∞，0)，此时函数在(－∞，a )上是减函数，在(a,0)上是增函数，f (x )min ＝f (a )＝ln a 2，无最大值. 6分(2)证明：取a ＝1，由(1)知f (x )＝ln x －x －1x ≥f (1)＝0，故1x ≥1－ln x ＝ln e x ，10分取x ＝1,2,3，…，n ，则1＋12＋13＋…＋1n ≥ln e nn ！.12分 请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ＝a (a ＞0)，射线θ＝φ，θ＝φ＋π4，θ＝φ－π4，θ＝π2＋φ与曲线C 1分别交异于极点O 的四点A ，B ，C ，D .(1)若曲线C 1关于曲线C 2对称，求a 的值，并把曲线C 1和C 2化成直角坐标方程；(2)求|OA |·|OC |＋|OB |·|OD |的值．解] (1) C 1：(x －1)2＋(y －1)2＝2，C 2：y ＝a .3分因为曲线C 1关于曲线C 2对称，所以a ＝1，C 2：y ＝1.5分(2)|OA |＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4，6分 |OB |＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π2＝22cos φ，7分 |OC |＝22sin φ，8分|OD |＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋3π4＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4，9分 所以|OA |·|OC |＋|OB |·|OD |＝4 2.10分23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若f (x )≤m 的解集为－1,5]，求实数a ，m 的值；(2)当a ＝2且0≤t ＜2时，解关于x 的不等式f (x )＋t ≥f (x ＋2)．解] (1)因为|x －a |≤m ，所以 a －m ≤x ≤a ＋m ，3分所以⎩⎨⎧a －m ＝－1，a ＋m ＝5，解得a ＝2，m ＝3.5分(2)a ＝2时等价于|x －2|＋t ≥|x |，6分 当x ≥2时，x －2＋t ≥x ，∵0≤t ＜2，∴舍去；7分当0≤x ＜2时，2－x ＋t ≥x ，∴0≤x ≤t ＋22，成立；8分当x ＜0时，2－x ＋t ≥－x ，成立.9分所以原不等式的解集是 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，t ＋22.10分。

2017年河北省献县第一中学高考数学复习数列（文科专用）数列的相关概念 (一）知识梳理1。

小学、初中的数列――找规律 例如:在括号里填上所缺的数（1）△○○△△△○○○○△△△（ )（ ）（ ）··· （2）4,10，16,22,28,34，（ ）,46，52，··· （3）2，6，18，54,（ ），486,···2.高中的数列――按照一定顺序排成的一列数（1）本质:由1知2，由2知3，由3知4，找规律,就这样进行下去 （2）数列的通项公式：12345:,,,,,,:1,2,3,4,5,,n n a a a a a a a n n ⋅⋅⋅↓⋅⋅⋅()n a f n =――数列的通项公式可见，数列本身就是一类特殊的函数，有着与函数相通的一面,所以可以从函数的三个问题入手分析数列问题： ①对谁运算：对位置n 进行运算②运算法则:位置n 与位置n 对应的数na 之间的关系，即()naf n =③运算结果:这个位置n 对应的数na(3）.数列的前n 项和nS①nS 本身也是一个数列，满足数列的定义②nS 本身也是一个函数，依然从函数的三个问题上入手分析对谁运算：对位置n 进行运算运算法则：第n 个位置与第n 个位置及它前面的数的和运算结果:前n 个数的和③na 与nS 的关系a n ＝错误! (换元 消元）-—-—---——数列求通项的中心思想由此衍生出两类求通项题型：第一类已知S n 求a n ；第二类含有S n 和a n ，那么这种类型有两种解题思路，一是消S n 留a n ，一是消a n 留S n 化成第一类。

(二)高考试题 文科部分1.（2012年新课标卷文科) 12。

数列{a n ｝满足a n +1＋（－1）n a n ＝2n －1，则｛a n ｝的前60项和为（A ）3690 (B ）3660 （C ）1845 (D)1830 分析：1读题即对应：数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，（由1知2，由2知3，找到规律，就这样进行下去，） 则{}na 的前60项和为 (运算)2解题即流程：方法：一般满足，则特殊满足解析：本题是数列求和，应为固定值，所以不论首项取什么，则求和的结果应该都是一样，所以一般满足，则特殊满足，令,01=a 由1知2：,12=a由2知3：23=a由3知4：74=a,继续按照规律找下去，则,15,2,9,08765====a a a a，23,2,17,01211109====a a a a ，则,104321=+++a a a a,268765=+++a a a a ,421211109 =+++a a a a所以数列每4项求和构成以10为首项，以16为公差的前15项和，则18301621415101560=⨯⨯+⨯=s3解题过程:见上2. 【2014全国2，文16】数列}{na 满足2,1181=-=+a a a nn ,则=1a ________．分析:1读题即对应: 数列}{na 满足2,1181=-=+a a a nn ，(由1知2，由2知3，找到规律，就这样进行下去，）则=1a ________．（运算）2解题即流程：3解题过程:见上二。

2017年高考仿真原创押题卷(一) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M＝{x|(x＋2)(x－2)≤0}，N＝{x|x－1＜0}，则M∩N＝()A．{x|－2≤x＜1} B.{x|－2≤x≤1}C.{x|－2＜x≤1}D.{x|x＜－2}A M＝{x|(x＋2)(x－2)≤0}＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x－1＜0}＝{x|x＜1}，则M∩N＝{x|－2≤x＜1}，故选A.]2．设i是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝()A．3＋3i B.－1＋3iC.3＋iD.－1＋iC复数(1－i)(1＋2i)＝1＋2－i＋2i＝3＋i.故选C.]3．已知函数f(x)为奇函数，且当x＜0时，f(x)＝2x2－1，则f(1)的值为()【导学号：85952090】A．1 B.－1C.2D.－2B函数f(x)为奇函数，且当x＜0时，f(x)＝2x2－1，则f(1)＝－f(－1)＝－(2×12－1)＝－1.故选B.]4．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为()A.5B.2C.3D.2D设M在双曲线x2a2－y2b2＝1的左支上，且MA＝AB＝2a，∠MAB＝120°，则M的坐标为(－2a，3a)，代入双曲线方程可得，4a2a2－3a2b2＝1，可得a＝b，c＝a2＋b2＝2a，即有e＝ca＝ 2.故选D.]5．(2016·黄冈模拟)若a ，b ∈{－1,0,1,2}，则函数f (x )＝ax 2＋2x ＋b 有零点的概率为( )A.1316 B.78 C.34D.58A 法一 显然总的方法总数为16种．当a ＝0时，f (x )＝2x ＋b ，显然b ∈{－1,0,1,2}时，原函数必有零点，所以有4种取法；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2＋2x ＋b 为二次函数，若f (x )有零点须Δ≥0，即ab ≤1，所以a ，b 取值组成的数对分别为(－1,0)，(1,0)，(2,0)，(－1,1)，(－1，－1)，(1,1)，(1，－1)，(－1,2)，(2，－1)共9种，综上符合条件的概率为9＋416＝1316，故选A.法二 (排除法)总的方法种数为16种，其中原函数若无零点须有a ≠0且Δ<0，即ab >1，所以此时a ，b 取值组成的数对分别为：(1,2)，(2,1)，(2,2)共3种，所以所求有零点的概率为：1－316＝1316，故选A.]6．在北京召开的国际数学家大会会标如图1所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形．若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125，则sin 2 θ－cos 2 θ的值等于( )图1A ．1 B.－725 C.725D.－2425B 依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边为cos θ，短直角边为sin θ，小正方形的边长为cos θ－sin θ.∵小正方形的面积是125，∴(cos θ－sin θ)2＝ 125. 又θ为直角三角形中较小的锐角，∴cos θ＞sin θ，∴cos θ－sin θ＝15.又∵(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝125， ∴2cos θsin θ＝2425，∴1＋2sin θcos θ＝4925， 即(cos θ＋sin θ)2＝4925，∴cos θ＋sin θ＝75，∴sin 2 θ－cos 2 θ＝(cos θ＋sin θ)(sin θ－cos θ)＝－15×75＝－725， 故选B.] 7．已知向量a ＝(cos α，－2)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4等于( )A ．3 B.－3 C.13D.－13B ∵a ∥b ，∴cos α＋2sin α＝0，∴tan α＝－12， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－3，故选B.]8．下面命题中假命题是( ) A ．∀x ∈R,3x ＞0B ．∃α，β∈R ，使sin (α＋β)＝sin α＋sin βC.∃m ∈R ，使f (x )＝mxm 2＋2是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增 D ．命题“∃x ∈R ，x 2＋1＞3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1＞3x ” D 对于A ，根据指数函数的性质可知，∀x ∈R,3x ＞0，∴A 正确． 对于B ，当α＝β＝0时，满足sin (α＋β)＝sin α＋sin β＝0，∴B 正确． 对于C ，当m ＝1时，幂函数为f (x )＝x 3，且在(0，＋∞)上单调递增，∴C 正确． 对于D ，命题“∃x ∈R ，x 2＋1＞3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤3x ”，∴D 错误．故选D.]9．执行如图2所示的程序框图，则输出的S ＝( )图2A ．1 023 B.512 C.511D.255C 模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的是：S ＝20＋21＋22＋23＋…＋28＝1－291－2＝29－1＝511.故选C.]10.如图3，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )图3A ．y 2＝9xB ．y 2＝6x C.y 2＝3x D ．y 2＝3xC 如图，分别过A ，B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知，|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|.∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°，∴∠A 1AF ＝60°.连接A 1F ，则△A 1AF 为等边三角形， 过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于N ，则|NF |＝|A 1F 1|＝12|AA 1|＝12|AF |，即p ＝32， ∴抛物线方程为y 2＝3x .故选C.]11．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图4所示，则该三棱锥的外接球的表面积为( )【导学号：85952091】图4A ．29π B.30π C.29π2D.216πA 由三视图复原几何体，几何体是底面为直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，把它扩展为长方体，两者有相同的外接球，它的对角线的长为球的直径d ＝42＋22＋32＝29，球的半径R ＝292.该三棱锥的外接球的表面积S ＝4×π×⎝⎛⎭⎪⎫2922＝29π，故选A.]12．(2015·南昌二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(－x )，x ≤0，log 5x ，x ＞0，函数g (x )是周期为2的偶函数，且当x ∈0,1]时，g (x )＝2x －1，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数是( )A ．5 B.6 C.7D.8C 由题意作函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x ≤0，log 5x ，x ＞0及函数g (x )的图象如下，结合图象可知，函数f (x )与g (x )的图象共有6个交点， 故函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点个数为6， 故选C.]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．(2016·唐山期末)若(x 2＋ax ＋1)6(a ＞0)的展开式中x 2的系数是66，则⎠⎛0a sinx d x 的值为________．1－cos 2 由题意可得(x 2＋ax ＋1)6的展开式中x 2的系数为C 16＋C 26a 2. 故C 16＋C 26a 2＝66，所以a ＝2或a ＝－2(舍去)． 故⎠⎛0a sin x d x ＝⎠⎛02sin x d x ＝(－cos x)|20＝1－cos 2.] 14．已知p ：－2≤x ≤11，q ：1－3m ≤x ≤3＋m(m ＞0)，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．8，＋∞) 因为綈p 是綈q 的必要不充分条件， 所以q 是p 的必要不充分条件，即p ⇒q ，但qD ⇒/p ， 即⎩⎨⎧ 1－3m ≤－2，3＋m ≥11，即⎩⎨⎧m ≥1，m ≥8，所以m ≥8.] 15．如图5，菱形ABCD 的边长为1，∠ABC ＝60°，E ，F 分别为AD ，CD 的中点，则BE →·BF→＝________.图5138 BE →·BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫BA →＋12AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →＋12CD →＝BA →·BC →＋12BA →·CD →＋12AD →·BC →＋14AD →·CD→＝1×1×cos 60°＋12×1×1＋12×1×1＋14×1×1×cos 60°＝32＋18＝138.]16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2c cos B ＝2a ＋b ，△ABC 的面积为S ＝312c ，则ab 的最小值为________.【导学号：85952092】13 在△ABC 中，由条件及正弦定理可得2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ＝2sin (B ＋C )＋sin B ，即 2sin C cos B ＝2sin B cos C ＋2sin C cos B ＋sin B ， ∴2sin B cos C ＋sin B ＝0，∴cos C ＝－12，C ＝2π3. 由于△ABC 的面积为S ＝12ab ·sin C ＝34ab ＝312c ， ∴c ＝3ab .再由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C ，整理可得9a 2b 2＝a 2＋b 2＋ab ≥3ab ，当且仅当a ＝b 时，取等号，∴ab ≥13.]三、解答题(共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝ln a n ，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n . 解] (1)设{a n }是公比为q 大于1的等比数列， ∵a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列，∴6a 2＝a 3＋4＋a 1＋3，化为6a 1q ＝a 1q 2＋7＋a 1.4分 又S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝7. 联立解得a 1＝1，q ＝2. ∴a n ＝2n －1.6分(2)b n ＝ln a n ＝(n －1)ln 2，∴数列{b n }的前n 项和T n ＝n (n －1)2ln 2.12分18．(本小题满分12分)性格色彩学创始人乐嘉是江苏电视台当红节目“非诚勿扰”的特约嘉宾，他的点评视角独特，语言犀利，给观众留下了深刻的印象，某报社为了了解观众对乐嘉的喜爱程度，随机调查观看了该节目的140名观众，得到如下的列联表：(单位：名)(1)从这606的样本，问样本中喜爱与不喜爱的观众各有多少名？(2)根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关．(精确到0.001)(3)从(1)中的6名男性观众中随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱乐嘉的概率．附：K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).解] (1)抽样比为660＝110，则样本中喜爱的观众有40×110＝4名；不喜爱的观众有6－4＝2名.4分 (2)假设：观众性别与喜爱乐嘉无关，由已知数据可求得，K 2＝140×(60×20－40×20)280×60×100×40＝224192≈1.167＜5.024.所以不能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关.8分(3)记喜爱乐嘉的4名男性观众为a ，b ，c ，d ，不喜爱乐嘉的2名男性观众为1,2，则基本事件分别为：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a,1)，(a,2)，(b ，c )，(b ，d )，(b,1)，(b,2)，(c ，d )，(c,1)，(c,2)，(d,1)，(d,2)，(1,2)．其中选到的两名观众都喜爱乐嘉的事件有6个， 故其概率为P (A )＝615＝0.4.12分19.(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．(1)求证：AC ⊥BC 1， (2)求证：AC 1∥平面CDB 1； (3)求三棱锥D -AA 1C 1的体积．图--解] (1)证明：∵AC ＝3，AB ＝5，BC ＝4，∴AC ⊥BC. ∵BB 1⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥CC 1，又BC ∩CC 1＝C ，BC ⊂平面BCC 1B 1，CC 1⊂平面BCC 1B 1， ∴AC ⊥平面BCC 1B 1.∵BC 1⊂平面BCC 1B 1， ∴AC ⊥BC 1. 4分(2)证明：设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE . ∵四边形BCC 1B 1是平行四边形，∴E 是BC 1的中点． ∵D 是AB 的中点，∴DE ∥AC 1.又∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1， ∴AC 1∥平面CDB 1.8分(3)VB -AA 1C 1＝VB -ACC 1＝VC 1-ABC ＝13S △ABC ·CC 1＝13×12×3×4×4＝8. ∵D 是AB 的中点，∴VD -AA 1C 1＝12VB -AA 1C 1＝4.12分20．(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，点M 在椭圆上，且满足MF 2⊥x 轴，|MF 1|＝433.(1)求椭圆的方程；(2)若直线y ＝kx ＋2交椭圆于A ，B 两点，求△ABO (O 为坐标原点)面积的最大值.【导学号：85952093】解] (1)由已知得c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2， 得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，因为点M 在第一象限且MF 2⊥x 轴， 可得M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，233c ，由|MF 1|＝4c 2＋43c 2＝433，解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.4分 (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋2代入椭圆，可得(3k 2＋2)x 2＋12kx ＋6＝0， 由Δ＞0，即144k 2－24(3k 2＋2)＞0， 可得3k 2－2＞0，则有x 1＋x 2＝－12k 2＋3k 2，x 1x 2＝62＋3k 2，所以|x 1－x 2|＝218k 2－123k 2＋2.8分因为直线y ＝kx ＋2与y 轴交点的坐标为(0,2)，所以△OAB 的面积S ＝12×2×|x 1－x 2|＝218k 2－123k 2＋2＝26×(3k 2－2)3k 2＋2.①令3k 2－2＝t ，由①知t ∈(0，＋∞)， 可得S ＝26tt ＋4＝26tt 2＋8t ＋16＝26t ＋16t ＋8≤62， 所以t ＝4时，面积最大为62.12分 21．(本小题满分12分)已知f (x )＝mx ＋1＋n ln x (m ，n 为常数)在x ＝1处的切线为x ＋y －2＝0.(1)求y ＝f (x )的单调区间；(2)若任意实数x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1，使得对任意的t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上恒有f (x )≥t 3－t 2－2at ＋2成立，求实数a 的取值范围．解] (1)f (x )＝m x ＋1＋n ln x 的定义域为(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝－m (x ＋1)2＋n x， ∴f ′(1)＝－m 4＋n ＝－1， 把x ＝1代入x ＋y －2＝0可得y ＝1，∴f (1)＝m 2＝1，∴m ＝2，n ＝－12， ∴f (x )＝2x ＋1－12ln x ，f ′(x )＝－2(x ＋1)2－12x. ∵x ＞0，∴f ′(x )＜0，∴f (x )的递减区间是(0，＋∞)，无递增区间.4分(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1上单调递减， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1上的最小值为f (1)＝1， ∴只需t 3－t 2－2at ＋2≤1，即2a ≥t 2－t ＋1t 对任意的t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2恒成立.6分 令g (t )＝t 2－t ＋1t ，则g ′(t )＝2t －1－1t 2＝2t 3－t 2－1t 2. ∵t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，∴2t 3－t 2－1＝(t －1)(2t 2＋t ＋1)， ∴在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上g (t )单调递减，在1,2]上g (t )单调递增.10分 又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝74，g (2)＝52，∴g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值是52， ∴只需2a ≥52，即a ≥54，∴实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞.12分 请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t(t 为参数)，两曲线相交于M ，N 两点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)若P (－2，－4)，求|PM |＋|PN |的值．解] (1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，求得曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ，2分用代入法消去参数求得直线l 的普通方程为x －y －2＝0.5分(2)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)，代入y 2＝4x ，得到t 2－122t ＋48＝0，6分设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，8分则 t 1＋t 2＝122，t 1·t 2＝48，∴|PM |＋|PN |＝|t 1＋t 2|＝12 2.10分23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a ＞1)，且f (x )的最小值为3.(1)求a 的值；(2)若f (x )≤5，求满足条件的x 的集合．解] (1)函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |表示数轴上的x 对应点到4，a 对应点的距离之和，它的最小值为|a －4|＝3，4分再结合a ＞1，可得a ＝7.5分(2)f (x )＝|x －4|＋|x －7|＝⎩⎨⎧ －2x ＋11，x ＜4，3，4≤x ≤7，2x －11，x ＞7.6分 故由f (x )≤5可得⎩⎨⎧ x ＜4，－2x ＋11≤5，① 或⎩⎨⎧ 4≤x ≤7，3≤5，② 或⎩⎨⎧x ＞7，2x －11≤5.③8分 解①求得3≤x ＜4，解②求得4≤x ≤7，解③求得7＜x ≤8，综上，不等式的解集为3,8].10分。

专题十二 高考中的数列题型一| 等差、等比数列的判定与证明(2013·江苏高考)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n是其前n 项的和．记b n ＝nS nn 2＋c，n ∈N *，其中c 为实数．(1) 若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)； (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0.[证明] (1)由c ＝0，得b n ＝S nn ＝a ＋n －12d .1分 又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4， 2分即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 22＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32d ，化简得d 2－2ad ＝0. 因为d ≠0，所以d ＝2a .4分 因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a . 从而对于所有的k ，n ∈N *， 有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .6分 (2)设数列{b n }的公差是d 1，则b n ＝b 1＋(n －1)d 1， 即nS nn 2＋c＝b 1＋(n －1)d 1，n ∈N *，代入S n 的表达式，整理得，对于所有的n ∈N *，有⎝ ⎛⎭⎪⎫d 1－12d n 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－d 1－a ＋12d n 2＋cd 1n ＝c (d 1－b 1). 8分令A ＝d 1－12d ，B ＝b 1－d 1－a ＋12d ，D ＝c (d 1－b 1)，则对于所有的n ∈N *，有An 3＋Bn 2＋cd 1n ＝D .(*)在(*)式中分别取n ＝1,2,3,4，得A ＋B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1＝64A ＋16B ＋4cd 1，从而有⎩⎨⎧ 7A ＋3B ＋cd 1＝0，19A ＋5B ＋cd 1＝0，21A ＋5B ＋cd 1＝0，①②③10分由②③得A ＝0，cd 1＝－5B ，代入方程①，得B ＝0，从而cd 1＝0，即d 1－12d ＝0，b 1－d 1－a ＋12d ＝0，cd 1＝0.14分若d 1＝0，则由d 1－12d ＝0，得d ＝0，与题设矛盾，所以d 1≠0.又因为cd 1＝0，所以c ＝0.16分【名师点评】 证明(或判断)数列是等差(比)数列的基本方法：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇒{a n }是等差数列；a n ＋1a n＝q (q 是非零常数)⇒{a n }是等比数列；(2)等差(比)中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇒{a n }是等差数列；a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *，a n ≠0)⇒{a n }是等比数列.(2016·南通三模)已知数列{a n }，{b n }均为各项都不相等的数列，S n 为{a n }的前n 项和，a n ＋1b n ＝S n ＋1(n ∈N *)．(1)若a 1＝1，b n ＝n2，求a 4的值；(2)若{a n }是公比为q 的等比数列，求证：存在实数λ，使得{b n ＋λ}为等比数列；(3)若{a n }的各项都不为零，{b n }是公差为d 的等差数列，求证：a 2，a 3，…，a n ，…成等差数列的充要条件是d ＝12.[解] (1)由a 1＝1，b n ＝n2，知a 2＝4，a 3＝6，a 4＝8.3分(2)证明：法一：因为a n ＋1b n ＝S n ＋1，所以a 1q nb n ＝a 1(1－q n)1－q ＋1，所以q nb n ＝11－q ＋1a 1－q n1－q，即b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－q ＋1a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1q n －11－q ， 5分所以存在实数λ＝11－q，使得b n＋λ＝⎝⎛⎭⎪⎫11－q＋1a1⎝⎛⎭⎪⎫1qn，又因为b n＋λ≠0(否则{b n}为常数数列与题意不符)，所以当n≥2，b n＋λb n－1＋λ＝1q，此时{b n＋λ}为等比数列，所以存在实数λ＝11－q，使{b n＋λ}为等比数列. 10分法二：因为a n＋1b n＝S n＋1，①所以当n≥2时，a n b n－1＝S n－1＋1，②①－②得，当n≥2时，a n＋1b n－a n b n－1＝a n，③由③得，当n≥2时，b n＝a na n＋1b n－1＋a na n＋1＝1q b n－1＋1q，5分所以b n＋11－q ＝1q⎝⎛⎭⎪⎫b n－1＋11－q，又因为b n＋11－q≠0(否则{b n}为常数数列与题意不符)，所以存在实数λ＝11－q，使{b n＋λ}为等比数列. 10分(3)证明：因为{b n}为公差为d的等差数列，所以由③得，当n≥2时，a n＋1b n －a n(b n－d)＝a n，即(a n＋1－a n)b n＝(1－d)a n，因为{a n}，{b n}各项均不相等，所以a n＋1－a n≠0,1－d≠0，所以当n≥2时，b n1－d＝a na n＋1－a n，④当n≥3时，b n－11－d＝a n－1a n－a n－1，⑤由④－⑤，得当n≥3时a na n＋1－a n－a n－1a n－a n－1＝b n－b n－11－d＝d1－d，⑥12分先证充分性：即由d＝12证明a2，a3，…，a n，…成等差数列，因为d＝12，由⑥得a na n＋1－a n－a n－1a n－a n－1＝1，所以当n≥3时，a na n＋1－a n－1＝a n－1a n－a n－1，又a n ≠0，所以an ＋1－a n ＝a n －a n －1， 即a 2，a 3，…，a n ，…成等差数列．再证必要性：即由a 2，a 3，…，a n ，…成等差数列证明d ＝12，14分因为a 2，a 3，…，a n ，…成等差数列，所以当n ≥3时，a n ＋1－a n ＝a n －a n －1， 所以由⑥得，a n a n ＋1－a n －a n －1a n －a n －1＝a n a n －a n －1－a n －1a n －a n －1＝1＝d1－d，所以d ＝12，所以a 2，a 3，…，a n ，…成等差数列的充要条件是d ＝12.16分题型二| 数列中的新定义问题(2014·江苏高考)设数列{a n }的前n 项和为S n .若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ，则称{a n }是“H 数列”．(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n (n ∈N *)，证明：{a n }是“H 数列”； (2)设{a n }是等差数列，其首项a 1＝1，公差d <0.若{a n }是“H 数列”，求d 的值；(3)证明：对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立．[解] (1)证明：由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2n ＋1－2n ＝2n .于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n ＋1，使得S n ＝2n ＝a m .所以{a n }是“H 数列”.4分(2)由已知，得S 2＝2a 1＋d ＝2＋d . 因为{a n }是“H 数列”，所以存在正整数m ，使得S 2＝a m ， 即2＋d ＝1＋(m －1)d ，于是(m －2)d ＝1. 6分 因为d <0，所以m －2<0， 故m ＝1.从而d ＝－1.7分 当d ＝－1时，a n ＝2－n ，S n ＝n (3－n )2是小于2的整数，n ∈N *.于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝2－S n ＝2－n (3－n )2，使得S n ＝2－m ＝a m ，所以{a n }是“H 数列”．因此d 的值为－1.10分(3)证明：设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1＋(n －1)(d －a 1)(n ∈N *)． 令b n ＝na 1，c n ＝(n －1)(d －a 1)，则a n ＝b n ＋c n (n ∈N *). 12分下证{b n }是“H 数列”．设{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝n (n ＋1)2a 1(n ∈N *)． 于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n (n ＋1)2， 使得T n ＝b m ，所以{b n }是“H 数列”. 14分 同理可证{c n }也是“H 数列”．所以，对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立.16分 【名师点评】 本例先给出“H 数列”的定义，在此基础上，借助a n 与S n 的关系及等差数列的有关知识对所给命题进行论证，重在考查学生接受新知识及应用已知知识解决问题的能力.(2016·南通调研)若数列{a n }中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a n }为“等比源数列”．(1)已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n －1. ①求数列{a n }的通项公式；②试判断数列{a n }是否为“等比源数列”，并证明你的结论．(2)已知数列{a n }为等差数列，且a 1≠0，a n ∈Z (n ∈N *)．求证：{a n }为“等比源数列”．[解] (1)①由a n ＋1＝2a n －1，得a n ＋1－1＝2(a n －1)，且a 1－1＝1， 所以数列{a n －1}是首项为1，公比为2的等比数列． 所以a n －1＝2n －1.所以，数列{a n}的通项公式为a n＝2n－1＋1. 3分②数列{a n}不是“等比源数列”．用反证法证明如下：假设数列{a n}是“等比源数列”，则存在三项a m，a n，a k(m＜n＜k)按一定次序排列构成等比数列．因为a n＝2n－1＋1，所以a m＜a n＜a k.所以a2n＝a m·a k，得(2n－1＋1)2＝(2m－1＋1)(2k－1＋1)，即22n－m－1＋2n－m＋1－2k－1－2k－m＝1.又m＜n＜k，m，n，k∈N*，所以2n－m－1≥1，n－m＋1≥1，k－1≥1，k－m≥1.所以22n－m－1＋2n－m＋1－2k－1－2k－m为偶数，与22n－m－1＋2n－m＋1－2k－1－2k－m＝1矛盾．所以，数列{a n}中不存在任何三项，按一定次序排列构成等比数列．综上可得，数列{a n}不是“等比源数列”. 6分(2)不妨设等差数列{a n}的公差d≥0.当d＝0时，等差数列{a n}为非零常数数列，数列{a n}为“等比源数列”．当d＞0时，因为a n∈Z，则d≥1，且d∈Z，所以数列{a n}中必有一项a m ＞0. 12分为了使得{a n}为“等比源数列”，只需要{a n}中存在第n项，第k项(m＜n＜k)，使得a2n＝a m a k成立，14分即[a m＋(n－m)d]2＝a m[a m＋(k－m)d]，即(n－m)[2a m＋(n－m)d]＝a m(k－m)成立．当n＝a m＋m，k＝2a m＋a m d＋m时，上式成立．所以{a n}中存在a m，a n，a k 成等比数列．所以，数列{a n}为“等比源数列”. 16分题型三| 数列的综合应用已知数列{a n}满足a1＝x，a2＝3x，S n＋1＋S n＋S n－1＝3n2＋2(n≥2，n∈N*)，S n是数列{a n}的前n项和．(1)若数列{a n}为等差数列．①求数列的通项a n；②若数列{b n}满足b n＝2a n，数列{c n}满足c n＝t2b n＋2－tb n＋1－b n，试比较数列{b n}前n项和B n与{c n}前n项和C n的大小．(2)若对任意n∈N*，a n<a n＋1恒成立，求实数x的取值范围．[解](1)①因为S n＋1＋S n＋S n－1＝3n2＋2(n≥2，n∈N*)，所以S3＋S2＋S1＝14，即a3＋2a2＋3a1＝14，又a1＝x，a2＝3x，所以a3＝14－9x，又因为数列{a n}成等差数列，所以2a2＝a1＋a3，即6x＝x＋(14－9x)，解得x ＝1，所以a n＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n∈N*). 4分②因为a n＝2n－1(n∈N*)，所以b n＝2a n＝22n－1>0，其前n项和B n>0，又因为c n＝t2b n＋2－tb n＋1－b n＝(16t2－4t－1)b n，所以其前n项和C n＝(16t2－4t－1)B n，所以C n－B n＝2(8t2－2t－1)B n，6分当t<－14或t>12时，C n>B n；当t＝－14或t＝12时，C n＝B n；当－14<t<12时，C n<B n. 9分(2)由S n＋1＋S n＋S n－1＝3n2＋2(n≥2，n∈N*)知S n＋2＋S n＋1＋S n＝3(n＋1)2＋2(n∈N*)，两式作差，得a n＋2＋a n＋1＋a n＝6n＋3(n≥2，n∈N*)，11分所以a n＋3＋a n＋2＋a n＋1＝6(n＋1)＋3(n∈N*)，再作差得a n＋3－a n＝6(n≥2，n∈N*)，12分所以，当n＝1时，a n＝a1＝x；当n＝3k－1时，a n＝a3k－1＝a2＋(k－1)×6＝3x＋6k－6；当n＝3k时，a n＝a3k＝a3＋(k－1)×6＝14－9x＋6k－6＝6k－9x＋8；当n＝3k＋1时，a n＝a3k＋1＝a4＋(k－1)×6＝1＋6x＋6k－6＝6k＋6x－5；当n＝3k＋2时，a n＝a3k＋2＝a5＋(k－1)×6＝6＋3x＋6k－6＝6k＋3x.因为对任意n∈N*，a n<a n＋1恒成立，所以a1<a2且a3k－1<a3k<a3k＋1<a3k＋2，所以⎩⎨⎧x <3x ，6k ＋3x －6<6k －9x ＋8，6k －9x ＋8<6k ＋6x －5，6k ＋6x －5<6k ＋3x ，解得1315<x <76，故实数x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1315，76.16分【名师点评】 1.解决此类问题要抓住一个中心——函数，两个密切联系：一是函数与数列的联系，二是不等式与函数的联系.2.关注两个转化(1)函数条件的转化.直接利用函数与数列的对应关系，把函数解析式中的自变量x 换成n 即可；(2)数列向函数的转化.可将数列中的问题转化为函数的相应问题求解，但要注意自变量取值范围的限制.对于数列中的最值、范围等问题的求解，可转化为相应函数的单调性或利用方程有解的条件来求解.(2016·苏锡常镇调研一)已知首项为1的正项数列{a n }满足a 2n ＋1＋a 2n <52a n ＋1a n ，n ∈N *.(1)若a 2＝32，a 3＝x ，a 4＝4，求x 的取值范围；(2)设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 为数列{a n }前n 项的和，若12S n <S n＋1<2S n ，n ∈N *，求q 的取值范围；(3)若a 1，a 2，…，a k (k ≥3)成等差数列，且a 1＋a 2＋…＋a k ＝120，求正整数k 的最小值，以及k 取最小值时相应数列a 1，a 2，…，a k (k ≥3)的公差．[解] (1)由题意得，12a n <a n ＋1<2a n ， 所以34<x <3，x2<4<2x ，解得x ∈(2,3).3分(2)由题意得，12a n <a n ＋1<2a n ，且数列{a n }是等比数列，a 1＝1，∴12q n －1<q n <2q n －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧q n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫q －12>0，q n －1()q －2<0，∴q ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.又∵12S n <S n ＋1<2S n ，∴而当q ＝1时，S 2＝2S 1不满足题意.6分当q ≠1时，12·1－q n 1－q <1－qn ＋11－q <2·1－q n 1－q，∴①当q ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，⎩⎨⎧q n (q －2)>－1，q n (2q －1)<1，⎩⎨⎧q 1(q －2)>－1，q 1(2q －1)<1，解得q ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1；②当q ∈(1,2)时，⎩⎨⎧q n (q －2)<－1，q n (2q －1)>1，⎩⎨⎧q 1(q －2)<－1，q 1(2q －1)>1，无解．∴q ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.10分(3)∵12a n <a n ＋1<2a n ，且数列a 1，a 2，…，a k 成等差数列，a 1＝1， ∴12[1＋(n －1)d ]<1＋nd <2[1＋(n －1)d ]，n ＝1,2，…，k －1. ∴⎩⎨⎧d (n ＋1)>－1，d (2－n )<1，∴d ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，1.14分又∵a 1＋a 2＋…＋a k ＝120，∴S k ＝d 2k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2k ＝d 2k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－d 2k ＝120，∴d ＝240－2k k 2－k ，∴240－2k k 2－k∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，1，解得k ∈(15,239)，k ∈N *， ∴k 的最小值为16，此时公差为d ＝1315.16分命题展望从近几年的高考试题看，数列作为江苏高考的压轴大题，难度始终较大，其考查方式主要立足相关数列的推理与证明，且基本数列(等差、等比数列)与新定义数列交替命题.2017年建议强化基本数列的证明问题.(2015·江苏高考)设a 1，a 2，a 3，a 4是各项为正数且公差为d (d ≠0)的等差数列．(1)证明：2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列；(2)是否存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列？并说明理由；(3)是否存在a 1，d 及正整数n ，k 使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k 3，a n ＋3k 4依次构成等比数例？并说明理由．[解] (1)证明：因为2a n ＋12a n ＝2a n ＋1－a n ＝2d (n ＝1,2,3)是同一个常数，所以2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列.4分(2)不存在，理由如下：令a 1＋d ＝a ，则a 1，a 2，a 3，a 4分别为a －d ，a ，a ＋d ， a ＋2d (a ＞d ，a ＞－2d ，d ≠0)．假设存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列，则a 4＝(a －d )(a ＋d )3，且(a ＋d )6＝a 2(a ＋2d )4.令t ＝da ，则1＝(1－t )(1＋t )3， 且(1＋t )6＝(1＋2t )4⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜t ＜1，t ≠0，化简得t 3＋2t 2－2＝0(*)，且t 2＝t ＋1.6分将t 2＝t ＋1代入(*)式，得t (t ＋1)＋2(t ＋1)－2＝t 2＋3t ＝t ＋1＋3t ＝4t ＋1＝0，则t ＝－14.显然t ＝－14不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44，依次构成等比数列.10分(3)不存在，理由如下：假设存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k3，a n ＋3k 4依次构成等比数列，则a n 1(a 1＋2d )n ＋2k ＝(a 1＋d )2(n ＋k )，且(a 1＋d )n ＋k (a 1＋3d )n ＋3k ＝(a 1＋2d )2(n ＋2k )，分别在两个等式的两边同除以a 2(n ＋k )1及a 2(n ＋2k )1，并令t ＝d a 1⎝⎛⎭⎪⎫t ＞－13，t ≠0， 则(1＋2t )n ＋2k ＝(1＋t )2(n ＋k )，且(1＋t )n ＋k (1＋3t )n ＋3k ＝(1＋2t )2(n ＋2k )．将上述两个等式两边取对数，得(n ＋2k )ln(1＋2t )＝2(n ＋k )·ln(1＋t )，且(n ＋k )ln(1＋t )＋(n ＋3k )ln(1＋3t )＝2(n ＋2k )ln(1＋2t )．化简得2k [ln(1＋2t )－ln(1＋t )]＝n [2ln(1＋t )－ln(1＋2t )]，且3k [ln(1＋3t )－ln(1＋t )＝n [3ln(1＋t )－ln(1＋3t )]．再将这两式相除，化简得ln(1＋3t )ln(1＋2t )＋3ln(1＋2t )ln(1＋t )＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )(**)．令g (t )＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )－ln(1＋3t )ln(1＋2t )－3ln(1＋2t )·ln(1＋t )，则g ′(t )＝2[(1＋3t )2ln (1＋3t )－3(1＋2t )2ln (1＋2t )＋3(1＋t )2ln (1＋t )](1＋t )(1＋2t )(1＋3t ). 14分令φ(t )＝(1＋3t )2ln(1＋3t )－3(1＋2t )2ln(1＋2t )＋3(1＋t )2ln(1＋t )，则φ′(t )＝6[(1＋3t )ln(1＋3t )－2(1＋2t )ln(1＋2t )＋(1＋t )·ln(1＋t )]．令φ1(t )＝φ′(t )，则φ′1(t )＝6[3ln(1＋3t )－4ln(1＋2t )＋ln(1＋t )]．令φ2(t )＝φ′1(t )，则φ′2(t )＝12(1＋t )(1＋2t )(1＋3t )＞0. 由g (0)＝φ(0)＝φ1(0)＝φ2(0)＝0，φ′2(t )＞0，知φ2(t )，φ1(t )，φ(t )，g (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0和(0，＋∞)上均单调． 故g (t )只有唯一零点t ＝0，即方程(**)只有唯一解t ＝0，故假设不成立．所以不存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k 3，a n ＋3k 4依次构成等比数列.16分[阅卷心语]易错提示(1)对等差数列与等比数列间的关系不明，导致第(1)问失分.(2)对探索性问题有畏惧感，推理运算不过关，导致(2)(3)问失分.防范措施(1)若数列{a n }是等差数列，则{2a n }成等比数列，可以采用由一般到特殊的方式证明第(1)问.(2)对探索性问题的处理，常常涉及反证法的有关知识，即先假设其存在，在此基础上推出矛盾，由于本题(2)(3)在运算中涉及函数与方程的转化思想，故运算中务必细心.1．设各项均为正数的数列{a n }满足S n a n＝pn ＋r (p ，r 为常数)，其中S n 为数列{a n }的前n 项和．(1)若p ＝1，r ＝0，求证：{a n }是等差数列；(2)若p ＝13，a 1＝2，求数列{a n }的通项公式； (3)若a 2 015＝2 015a 1，求p ·r 的值．【导学号：91632038】[解] (1)证明：由p ＝1，r ＝0，得S n ＝na n ，所以S n －1＝(n －1)a n －1(n ≥2)，两式相减，得a n －a n －1＝0(n ≥2)，所以{a n }是等差数列.3分(2)令n ＝1，得p ＋r ＝1，所以r ＝23，则S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋23a n ，所以S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋13a n －1(n ≥2)，两式相减， 得a n a n －1＝n ＋1n －1(n ≥2)， 8分 所以a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3…a n a n －1＝31·42·53…n ＋1n －1，化简得a n a 1＝n (n ＋1)1·2(n ≥2)， 所以a n ＝n 2＋n (n ≥2)，又a 1＝2适合a n ＝n 2＋n (n ≥2)，所以a n ＝n 2＋n . 10分(3)由(2)知r ＝1－p ，所以S n ＝(pn ＋1－p )a n ，得S n －1＝(pn ＋1－2p )a n －1(n ≥2)，两式相减，得p (n －1)a n ＝(pn ＋1－2p )a n －1(n ≥2)，易知p ≠0，所以a n pn ＋1－2p ＝a n －1p (n －1)(n ≥2). 12分①当p ＝12时，得a n n ＝a n －1n －1(n ≥2)，所以a 2 0152 015＝a 2 0142 014＝…＝a 11， 满足a 2 015＝2 015a 1；②当p >12时，由p (n －1)a n ＝(pn ＋1－2p )a n －1(n ≥2)，又a n >0，所以p (n －1)a n <pna n －1(n ≥2)，即a n n <a n －1n －1(n ≥2)，所以a 2 0152 015<a 11，不满足a 2 015＝2 015a 1；14分 ③当p <12且p ≠0时，类似可以证明a 2 015＝2 015a 1也不成立．综上所述，p ＝12，r ＝12，所以pr ＝14.16分 2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a 5－a 3＝13，S 4＝16.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝∑i ＝1n (－1)i a i ，若对一切正整数n ，不等式λT n ＜[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]·2n－1恒成立，求实数λ的取值范围；(3)是否存在正整数m ，n (n ＞m ＞2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列？若存在，求出所有的m ，n ；若不存在，说明理由．[解] (1)设数列{a n }的公差为d .因为2a 5－a 3＝13，S 4＝16，所以⎩⎨⎧ 2(a 1＋4d )－(a 1＋2d )＝13，4a 1＋6d ＝16.解得a 1＝1，d ＝2， 所以a n ＝2n －1，S n ＝n 2.3分 (2)①当n 为偶数时，设n ＝2k ，k ∈N *，则T 2k ＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 2k －a 2k －1)＝2k .代入不等式λT n ＜[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]·2n －1，得λ·2k ＜4k，从而λ＜4k2k .设f(k)＝4k2k，则f(k＋1)－f(k)＝4k＋12(k＋1)－4k2k＝4k(3k－1)2k(k＋1). 6分因为k∈N*，所以f(k＋1)－f(k)＞0，所以f(k)是递增的，所以f(k)min＝2，所以λ＜2.②当n为奇数时，设n＝2k－1，k∈N*，则T2k－1＝T2k－(－1)2k a2k＝2k－(4k－1)＝1－2k.代入不等式λT n＜[a n＋1＋(－1)n＋1a n]·2n－1，得λ·(1－2k)＜(2k－1)4k，从而λ＞－4k.因为k∈N*，所以－4k的最大值为－4，所以λ＞－4.综上，λ的取值范围为－4＜λ＜2. 10分(3)假设存在正整数m，n(n＞m＞2)，使得S2，S m－S2，S n－S m成等比数列，则(S m－S2)2＝S2·(S n－S m)，即(m2－4)2＝4(n2－m2)，所以4n2＝(m2－2)2＋12，即4n2－(m2－2)2＝12，即(2n－m2＋2)(2n＋m2－2)＝12. 12分因为n＞m＞2，所以n≥4，m≥3，所以2n＋m2－2≥15.因为2n－m2＋2是整数，所以等式(2n－m2＋2)(2n＋m2－2)＝12不成立，故不存在正整数m，n(n＞m＞2)，使得S2，S m－S2，S n－S m成等比数列.16分。

专题二 函数的图象与性质题型一| 函数及其表示(1)(2016·苏锡常镇调研(二))函数f (x )＝ln (2x －x 2)x －1的定义域为________．(2)(2016·苏州模拟)已知实数m ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －m ，x ≤2，－x －2m ，x ＞2，若f (2－m )＝f (2＋m )，则实数m 的值为________．(1)(0,1)∪(1,2) (2)8或－83 [(1)要使函数有意义，只需⎩⎨⎧2x －x 2＞0，x －1≠0，解得0＜x ＜1或1＜x ＜2，即原函数的定义域为(0,1)∪(1,2)． (2)当m ＞0时，2－m ＜2＜2＋m ，由f (2－m )＝f (2＋m )得3(2－m )－m ＝－(2＋m )－2m ， 解得m ＝8.当m ＜0时，2＋m ＜2＜2－m ，由f (2－m )＝f (2＋m )得－(2－m )－2m ＝3(2＋m )－m ， 解得m ＝－83. 综上所述m ＝8或－83.]【名师点评】 1.对于分段函数求值，应注意依据条件准确地找出利用哪一段求解．2．若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可．(2016·无锡期中)定义在R上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎨⎧log 2(3－x )，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x ＞0，则f (11)＝________. 2 [f (11)＝f (10)－f (9)＝f (9)－f (8)－f (9)＝－f (8)， f (8)＝f (7)－f (6)＝f (6)－f (5)－f (6)＝－f (5)， f (5)＝f (4)－f (3)＝f (3)－f (2)－f (3)＝－f (2)， f (2)＝f (1)－f (0)＝f (0)－f (－1)－f (0)＝－f (－1)， ∴f (11)＝f (－1)＝log 2(3＋1)＝log 24＝2.]题型二| 函数的图象及其应用(1)已知函数f (x )＝x |x －2|，则不等式f (2－x )≤f (1)的解集为________．(2)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．【导学号：91632003】[解题指导] (1)作出f (x )的图象，根据图象转化为关于x 的不等式． (2)在同一坐标系中，分别作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象，将方程根的个数问题转化为两图象交点的个数问题求解．(1)[－1，＋∞) (2)(0,1)∪(9，＋∞) [(1)函数y ＝f (x )的图象如图，由不等式f (2－x )≤f (1)知，2－x ≤2＋1，从而得到不等式f (2－x )≤f (1)的解集为[－1，＋∞)．(2)设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|，在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象如图所示．由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图象有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，所以⎩⎨⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a (1－x )有两组不同解．消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0有两个不等实根， 所以Δ＝(3－a )2－4a >0，即a 2－10a ＋9>0， 解得a <1或a >9.又由图象得a >0，所以0<a <1或a >9.]【名师点评】 1.识图：在观察、分析图象时，要注意图象的分布及变化趋势，尤其是函数的奇偶性以及极值点、特殊点的函数值等，找准解析式与图象的对应关系.2.用图：函数图象形象地展示了函数的性质(如单调性、奇偶性、最值等)，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，因此常用函数的图象研究函数的性质，求解方程(不等式)中的参数取值等.1．设函数y ＝f (x )是定义域为R ，周期为2的周期函数，且当x ∈[－1,1)时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎨⎧lg|x |，x ≠0，1，x ＝0，则函数f (x )和g (x )的图象在区间[－5,10]内公共点的个数为________． 14 [根据题意可在同一坐标平面内分别作出函数y ＝f (x )和函数y ＝g (x )的图象，如图所示，可见它们在区间[－5,10]内公共点的个数为14个．] 2．函数y ＝12－x的图象与函数y ＝sin π2x (－4≤x ≤8)的图象所有交点的横坐标之和等于________．16 [函数y ＝12－x与函数y ＝sin π2x (－4≤x ≤8)的图象有公共的对称中心(2,0)，画出两者的图象如图所示，易知y ＝12－x 与y ＝sin π2x (－4≤x ≤8)的图象共有8个交点，不妨设其横坐标为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，x 8，且x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7<x 8，由对称性得x 1＋x 8＝x 2＋x 7＝x 3＋x 6＝x 4＋x 5＝4，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＋x 7＋x 8＝16.]题型三| 函数的性质及其应用(1)(2016·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________．(2)(2016·苏锡常镇调研(二))已知函数f (x )＝x 3＋2x ，若f (1)＋f (log 1a 3)＞0(a ＞0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________．【导学号：91632004】[解题指导](1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92――――――――――→周期为2，f (x )在[－1，1)上已知建立a 的等量关系―→求a ―→求f (5a )(2)f (x )＝x 3＋2x――→奇偶性f (x )为奇函数――――――――→f (1)＋f (log 1a3)＞0f (log a 3)＜f (1)――→f (x )的单调性建立log a 3与1的不等关系――→解对数不等式求a 的取值范围(1)－25 (2)(0,1)∪(3，＋∞) [(1)∵函数f (x )的周期为2，结合在[－1,1)上f (x )的解析式，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110. 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，得－12＋a ＝110，解得a ＝35.∴f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋35＝－25. (2)∵f (x )＝x 3＋2x ，∴f (－x )＝－x 3－2x ＝－f (x )，∴f (x )为R 上的奇函数，∴f (1)＋f (log 1a 3)＞0等价于f (1)＞f (log a 3)． 又f ′(x )＝3x 2＋2＞0，∴f (x )在R 上单调递增， ∴log a 3＜1，当a ＞1时，由log a 3＜1得a ＞3， 当0＜a ＜1时，由log a 3＜1得0＜a ＜1. 综上可知，a ∈(0,1)∪(3，＋∞)．]【名师点评】 1.应用函数周期性和奇偶性求值的关键是借助函数的性质将待求函数值的自变量向已知函数的定义域进行转化.2.关于周期性的常用结论,若对于函数f (x )的定义域内任意一个自变量的值x 都有f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f (x ) 或f (x ＋a )＝－1f (x )(a 是常数且a ≠0)，则f (x )是以2a 为一个周期的周期函数.1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x－k ，x ≤0，(1－k )x ＋k ，x ＞0是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 [由f (x )为R 上的增函数，则f (x )在(0，＋∞)上为增函数，1－k ＞0，k ＜1.同时，k ≥e 0－k ＝1－k ，即k ≥12，从而k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.]2．(2016·南京三模)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x －2，则不等式f (x －1)≤2的解集是________．[－1,3] [∵f (x )是R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝2x －2，∴f (x )＝2|x |－2.由f (x )≤2得2|x |－2≤2，即2|x |≤4，解得－2≤x ≤2.故由f (x －1)≤2得－1≤x ≤3，即不等式f (x －1)≤2的解集为[－1,3]．]命题展望函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，综合应用函数的性质解题是高考考查的重点内容之一.纵观江苏省近五年高考，我们可以发现以分段函数为载体的函数性质问题，是每年的必考题.(2012·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎨⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．－10 [因为f (x )的周期为2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12a ＋1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝b2＋212＋1＝b ＋43，所以－12a ＋1＝b ＋43. 整理，得a ＝－23(b ＋1)．①又因为f (－1)＝f (1)，所以－a ＋1＝b ＋22， 即b ＝－2a.②将②代入①，得a ＝2，b ＝－4.所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10.] [阅卷心语]易错提示 (1)对周期函数的定义理解不到位，找不到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32的计算方式；(2)找不出f (－1)与f (1)的关系.防范措施 (1)可借助f (x ＋T )＝f (x )间的关系，把自变量的值实现区域转化； (2)要注意函数特殊点(或特殊位置)的函数值.1．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎨⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.1 [函数的周期是2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，根据题意f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1.] 2．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调增函数．如果实数t 满足f (ln t )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t <2f (1)时，那么t 的取值范围是________．【导学号：91632005】⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e [因为函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t ＝f (－ln t )＝f (ln t )＝f (|ln t |)．由f (ln t )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t <2f (1)⇒2f (ln t )<2f (1)⇒f (|ln t |)<f (1)⇒|ln t |<1⇒－1<ln t <1⇒1e<t <e.]3．(2013·江苏高考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为________．(－5,0)∪(5，＋∞) [设x ＜0，则－x ＞0，于是f (－x )＝(－x )2－4(－x )＝x 2＋4x ，由于f (x )是R 上的奇函数，所以－f (x )＝x 2＋4x ，即f (x )＝－x 2－4x ，且f (0)＝0，于是f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0.当x ＞0时，由x 2－4x ＞x ，得x ＞5；当x ＜0时，由－x 2－4x ＞x ，得－5＜x ＜0，故不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．]。