福州一中质检卷

2023~2024学年福州市高三年级第一次质量检测数学试题（完卷时间120分钟；满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足11i z=−，则在复平面内，z 对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{}21A x x=<，{}0B x x =>，则A B = （ ）A ．（0，1）B ．()0,+∞C ．()1,−+∞D ．(),−∞+∞3．已知点()0,2P x 在抛物线C ：24y x =上，则P 到C 的准线的距离为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．14．“二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结晶，其划分如图所示．小明打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗．他准备在春季的6个节气与夏季的6个节气中共选出3个节气，若春季的节气和夏季的节气各至少选出1个，则小明选取节气的不同情况的种数是（ ）A ．90B ．180C ．270D ．3605．一个正四棱台形油槽可以装煤油3190000cm ，其上、下底面边长分别为60cm 和40cm ，则该油槽的深度为（ ） A ．75cm 4B ．25cmC ．50cmD ．75cm6．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球，2个黄球，每次从中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则第二次摸到黄球的条件下，第一次摸到红球的概率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．347．已知1ea =，ln b =，ln c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．a c b >>D ．c a b >>8．若定义在R 上的函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>的图象在区间[]0,π上恰有5条对称轴，则ω的取值范围为（ ） A ．1721,44B ．1725,44C ．1725,44D ．3341,44二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某市抽查一周空气质量指数变化情况，得到一组数据：80，76，73，82，86，75，81．以下关于这组数据判断正确的有（ ） A ．极差为13B ．中位数为82C ．平均数为79D ．方差为12410．已知圆M ：221x y +=，直线l ：(1y k x =−，则（ ）A ．l 恒过定点)1−B ．若l 平分圆周M ，则k =C ．当k =l 与圆M 相切D ．当k <<时，l 与圆M 相交11．已知函数()332f x x ax =−+有两个极值点．则（ ） A ．()f x 的图象关于点()0,2对称 B ．()f x 的极值之和为-4C ．a ∃∈R ，使得()f x 有三个零点D ．当01a <<时，()f x 只有一个零点12．已知正四棱柱1111ABCD A B C D −的底面边长为2，球O 与正四棱柱的上、下底面及侧棱都相切，P 为平面1CDD 上一点，且直线BP 与球O 相切，则（ ） A ．球O 的表面积为4π B ．直线1BD 与BP 夹角等于45°C ．该正四棱柱的侧面积为D ．侧面11ABB A 与球面的交线长为2π第Ⅱ卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 三、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量()1,2a = ，()1,2b λλ=+−，若a b ⊥ ，则实数λ的值为__________．14．将圆周16等分，设每份圆弧所对的圆心角为θ，则sin cos θθ的值为__________．15．已知定义城为R 的函数()f x 同时具有下列三个性质，则()f x =__________．（写出一个满足条件的函数即可） ①()()()f x y f x f y +=+；②()f x ′是偶函数；③当0x y +>时，()()0f x f y +<．16．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b−=>>的左焦点为F ，两条渐近线分别为1l ，2l ．点A 在1l 上，点B在2l 上，且点A 位于第一象限，原点O 与B 关于直线AF 对称、若2AF b =，则C 的离心率为__________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n a S +=+． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若221log n n b a −=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．（本小题满分12分）记ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b =，6B π=．（1）若2c =，求a ；（2）求ABC △面积的最大值． 19．（本小题满分12分）国际上常采用身体质量指数（Body Mass Index ，缩写BMI ）来衡量人体肥瘦程度，其计算公式是()()22kg BMI m=体重单位:身高单位:．为了解某公司员工的身体肥瘦情况，研究人员从该公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了50名男员工、30名女员工的身高和体重数据．计算得到他们的BMI（1）若该公司男员工有1500名，则该公司共有多少名员工？（2）以频率估计概率，分别从该公司男、女员工中各随机抽取2名员工，求抽到的员工中至少有一名是肥胖的概率．20．（本小题满分12分）如图，在底面为菱形的四棱锥M ABCD −中，2AD BD MB ===，MA MD ==（1）求证：平面MAD ⊥平面ABCD ；（2）已知2MN NB =，求直线BN 与平面ACN 所成角的正弦值．21．（本小题满分12分）已知椭圆E ：22143x y +=的右焦点为F ，左、右顶点分别为A ，B ．点C 在E 上，()4,P P y ，()4,Q Q y 分别为直线AC ，BC 上的点． （1）求P Q y y ⋅的值；（2）设直线BP 与E 的另一个交点为D ，求证：直线CD 经过F ．22．（本小题满分12分）已知函数()ln f x x a =−，记曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线为l ，l 在x 轴上的截距为()220x x >．（1）当1e x =，1a =时，求切线方程； （2）证明：12e e a a x x −≥−．答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【考查意图】本小题以复数为载体，主要考查复数的基本运算、几何意义等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养，体现基础性． 【答案】A ．【解析】由11i z =−得11i1i 2z+==−，应选A ． 2．【考查意图】本小题以不等式为载体，主要考查集合运算等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性． 【答案】C ． 【解析】{}11A x x =−<<，{}0B x x =>，故()1,A B =−+∞ ，应选C ． 3．【考查意图】本小题以抛物线为载体，主要考查抛物线的图象和性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性． 【答案】C ．【解析】抛物线24y x =的准线为1x =−，由P C ∈得01x =，故P 到准线的距离为2，应选C ．4．【考查意图】本小题以二十四节气为载体，主要考查排列与组合等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力和应用意识；考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性和应用性． 【答案】B ．【解析】根据题意可知，小明可以选取1春2夏或2春1夏．其中1春2夏的不同情况有：1266C C 90⋅=种；2春1夏的不同情况有：2166C C 90⋅=种，所以小明选取节气的不同情况有：9090180+=种．应选B ．5．【考查意图】本小题以正四棱台形油槽为载体，主要考查空间几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和应用性． 【答案】D ．【解析】设正四棱台的高，即深度为cm h ，依题意，得()22190000604060403h=++×，解得75h =，应选D ．6．【考查意图】本小题主要考查条件概率、全概率公式等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力与创新意识；考查化归与转化思想；考查数学建模、逻辑推理、数据分析等核心素养，体现综合性、应用性与创新性． 【答案】C ．【解析】解法一：记第i 次摸到红球为事件i A ，摸到黄球为事件()1,2i B i =，则()()()()()21211211211123232P B P A P B A P B P B B =+=×+×=，()()()12121221433P A B P A P B A ==×=，故()()()1212223P A B P A B P B ==．应选C ． 解法二：记第i 次摸到红球为事件i A ，摸到黄球为事件()1,2i B i =．由抽签的公平性可知()22142P B ==，又()12221433P A B ×==×，所以()()()1212223P A B P A B P B ==．应选C ． 7．【考查意图】本小题以数的大小比较为载体，主要考查函数与导数等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力、应用意识；考查数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、应用性和综合性． 【答案】A ． 【解答】解法一：1ln e e e a ==，ln 2ln 4ln 24b ==，ln 55c ，令()ln x f x x =，()21ln xf x x−′=，当e x ≥时，()0f x ′≤，故()f x 在区间[)e,+∞上单调递减，所以a b c >>．==>，所以ln ln >b c >．在同一坐标系中作出函数()2xf x =，()2g x x =的图象，如图所示，由图可知，()()e e f g <，即e22e <，所以e22e 2e 2e <，即11e22e <，所以111ln 2ln e 2e e<=，即b a <． （令()ln x f x x=，()21ln xf x x −′=，当0e x <<时，()0f x ′>，故()f x 在区间()0,e 上单调递增，所以1ln e ln 2e e 2a b ==>=．） 综上，a b c >>．应选A ．8．【考查意图】本小题以三角函数为载体，考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识；考查抽象概括能力、推理论证能力、应用意识；考查数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性． 【答案】A ．【解析】由已知，()4f x x πω=+，令42x k ππωπ+=+，k ∈Z ，得()414k x πω+=，k ∈Z ，依题意知，有5个整数k 满足()4104k ππω+≤≤，即0414k ω≤+≤，所以0,1,2,3,4k =，则4414451ω×+≤<×+，故172144ω≤<，应选A ． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【考查意图】本小题主要考查极差、中位数、平均数、方差等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想；考查数据分析等核心素养，体现基础性． 【答案】AC ．10．【考查意图】本小题以直线与圆为载体，考查直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力；考查直观想象、逻辑推理等核心素养；体现基础性和综合性． 【答案】BC ．【解析】依题意，l恒过定点()1−，选项A 错误；若l 平分圆周M ，则l 经过圆M 的圆心()0,0，代入直线方程得k =B 正确； 圆心()0,0O 到l的距离dk =1d r ==，l 与圆M 相切，选项C 正确；若l 与圆M相交，则1d <，即)2211k −<+，即0k <<，故选项D 错误．综上，应选BC ．11．【考查意图】本小题以三次函数为载体，主要考查函数与导数等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力、应用意识；考查数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、应用性和综合性． 【答案】ACD ．【解答】()f x 的图象可由奇函数()33g x x ax =−的图象向上平移2个单位长度得到，故()f x 的图象关于点()0,2对称，选项A 正确．设()f x 的极值点分别为()1212,x x x x <，则由对称性可知120x x +=，故()()12224f x f x +=×=，即()f x 的极值之和为4，选项B 错误．依题意，方程()2330f x x a ′=−=有两异根，则0a >，1x =2x =，()f x在区间(−∞上单调递增，在区间(上单调递减，在区间)+∞单调递增．由图象可知，当()()120f x f x >>时，()f x 的图象与x 轴有3个交点，即()f x 有3个零点，选项C 正确．当01a <<时，(32210f=−+=−>，此时()f x 只有一个零点，选项D 正确．综上，应选ACD ．12．【考查意图】本小题以正四棱柱为载体，主要考查球、直线与平面的位置关系等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性、应用性和综合性． 【答案】BCD ．【解答】如图，设球O 与下底面相切于点1O ，则1OO ⊥平面ABCD ，连接1O A ，则1OAO ∠为直线OA 与平面ABCD 所成的角．因为球O与正四棱柱的侧棱相切，所以其半径11R OO O A===，所以428S ππ=⋅=表，四棱柱的侧面积为()24××，故选项A 错误，C 正确．依题意，1BB ，BP 均为球O 的切线，1BD 经过球心O ，所以111B BD PBD ∠=∠，又111B D BB =，所以11145PBD B BD ∠=∠=°，选项B 正确．对于选项D ，棱1AA 的中点F ，即球O 与棱1AA 的切点应为交线上的点，故交线应为过F 的圆．截面圆的圆心即为矩形11ABB A 的中心E ，在Rt OEF △中，OFR ==，112OEBC ==，所以截面圆半径1r EF ==，周长为2π，该选项正确．综上，应选BCD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【考查意图】本小题以平面向量为载体，主要考查平面向量的基本运算等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养，体现基础性． 【答案】5．【解析】由a b ⊥得()()1220λλ++−=，解得5λ=． 14．【考查意图】本小题以圆的等分为载体，考查三角恒等变换等基础知识；考查推理论证能力，抽象概括能力；考查逻辑推理等核心素养；体现基础性与应用性．．【解析】依题意，得8πθ=，所以11sin cos sin 2sin 224πθθθ===． 15．【考查意图】本小题以函数的性质为载体，考查函数的奇偶性、函数与导数等基础知识；考查推理论证能力；考查逻辑推理等核心素养；体现基础性、综合性与应用性． 【答案】x −（答案不唯一，()0kx k <均可）．16．【考查意图】本小题以双曲线为载体，主要考查双曲线的离心率、双曲线的图象和性质、直线与双曲线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性． 【答案】2．【解答】依题意，1l 的方程为by x a=，2AF l ⊥，设垂足为P ，则FP b =．因为22AFb FP ==，所以点F ，A 关于直线2l 对称，FOP AOP ∠=∠，又1l ，2l 关于y 轴对称，所以1l 的倾斜角为1180603×°=°，故tan 60ba=°=，所以离心率2e =．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【命题意图】本小题主要考查等差数列、等比数列、递推数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力和创新能力等，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性．满分10分． 【解答】（1）解法一：由12n n a S +=+得21322,2,a S aS =+ =+设等比数列{}n a 的公比为q ，所以()()12112,12,a q a q q −=−−= 解得12,2,a q == 或12,a q =− = （舍去）．所以2n n a =．（2）212212log log 221n n n b a n −−===−， 故11b =，()()12121122n n b b n n n −−=−−−−=≥ ， 所以{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列， 所以()()1212122n n n b b n n T n ++−===．解法二：（1）因为12n n a S +=+，① 所以当2n ≥时，12n n a S −=+，② ①－②得12n n a a +=， 所以等比数列{}n a 的公比12n na qa +==． 由①式得212a a =+，得12a =，所以2n n a =．（2）12n n T b b b =++⋅⋅⋅+2123221log log log n a a a −++⋅⋅⋅+()21321log n a a a −⋅⋅⋅= ()13212log 2n ++⋅⋅⋅+−=()12122log 2n n+− =2n =．18．【命题意图】本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等，考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性和综合性．满分12分．【解答】解法一：（1）因为b =，2c =，6B π=，根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+−，所以22224cos6a a π=+−，即220a −+=，解得1a =．（2）根据余弦定理，得2222cos a b c ac B =+−，所以(222222cos 226a c ac a c ac ac π=+−=+−≥−=，（当且仅当1a c ==时取等号），即(22ac ≤=+，所以ABC △面积(1111sin sin 2222644ABC S ac B ac ac π===≤×△，即ABC △．解法二：（1）因为b =，2c =且6B π=，根据正弦定理，得sin sin b c B C=，2sin C=，即sin C =， 因为c b >，所以C B >，所以566C ππ<<， 所以4C π=或34C π=， 当4C π=时，()1sin sin sin 642A B C ππ =+=+= ， 根据正弦定理，得sin sin a bA B=， 所以sin 1sin b Aa B ==+；当34C π=时，()31sin sin sin 642A B C ππ =+=+=×= ，根据正弦定理，得sin sin a bA B=， 所以sin 1sin b A a B ==； 综上，1a =．（2）略，同解法一．解法三：（1）因为b =，2c =且6B π=， 根据正弦定理，得sin sin b cB C=， 2sin C=，即sin C =， 因为c b >，所以C B >，所以566C ππ<<， 所以4C π=或34C π=，当4C π=时，()76412A B C πππππ =−+=−+= ， 根据正弦定理，得sin sin a b A B=，所以sin sin cos cos sin sin 343434b A a B ππππππ ==+=+ ；sin cos cos sin 13434ππππ ++； 当34C π=时，()36412A B C πππππ =−+=−+= ， 根据正弦定理，得sin sin a b A B =，所以sin sin cos cos sin sin 343434b A a B ππππππ ==−=−sin cos cos sin 13434ππππ −− ；综上，1a =．（2）根据正弦定理，得sin sin sin ac b A C B ===，所以a A =，c C =，即(251sin sin 8sin sin 8sin cos 62aC A C A A A A A π ==−=+21cos 22sin 22sin 22sin 222A A A A A A −=−=+=++14sin 224sin 223A A A π +−+= 因为506A π<<，所以42333A πππ−<−<， 所以当232A ππ−=，即512A π=时，sin 23A π −取得最大值为1，即ac最大值为4+，所以ABC △面积(1111sin sin 422644ABC S ac B ac ac π===≤×+△，即ABC △． 19．【命题意图】本小题主要考查分层抽样、独立事件的概率、互斥事件、对立事件的概率等基础知识；考查数学建模能力，运算求解能力，逻辑推理能力，创新能力以及阅读能力等；考查统计与概率思想、分类与整合思想等；考查数学抽象，数学建模和数学运算等核心素养；体现应用性和创新性．满分12分．【解】（1）设该公司共有x 名员工， 依题意得1500505030x =+， 解得2400x =， 所以该公司共有2400名员工．（2）依题意，事件“抽到一名男员工不为肥胖”的概率为404505=，事件“抽到一名女员工不为肥胖”的概率为2793010=， 由事件的独立性，得抽到的两个男员工都不存在肥胖的概率为44165525×=， 抽到的两个女员工都不存在肥胖的概率为99811010100×=， 设事件M 为“抽到的员工中至少有一名是肥胖”，则事件M 为“抽到的员工都不存在肥胖”， 所以()811632410025625P M =×=， 所以()3243011625625P M =−=， 所以抽到的员工中至少有一名是肥胖的概率为301625． 20．【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，直线与平面所成角等基础知识；考查空间想象能力，逻辑推理能力，运算求解能力等；考查化归与转化思想，数形结合思想，函数与方程思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性和综合性．满分12分．【解答】（1）取AD 的中点为O ，连结OM ，OB ，因为四边形ABCD 是为菱形，且2AD BD ==，所以ABD △为正三角形，所以BO AD ⊥，且BO =．因为MAMD ==，所以MO AD ⊥，所以1MO =，又因为2MB =，所以222MO BO MB +=，所以MO BO ⊥，因为AD BO O ∩=，AD ⊂平面ABCD ，BO ⊂平面ABCD所以MO ⊥平面ABCD ，又因为MO ⊂平面MAD ，所以平面MAD ⊥平面ABCD ．（2）由（1）知，OA ，OB ，OM 两两垂直，故以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，OM 为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O xyz −．则()1,0,0A，()B，()C −，()0,0,1M，13N ，所以()3,CA =，12,3CN =，()2,0,0CB = ， 设平面ACN 的法向量为(),,n x y z = ， 则0,0,n CA n CN ⋅= ⋅=即30,120,3x x y z = +=取1x =，则()3n − ．因为()0,BM = ，则cos ,BM n BM n BM n⋅=== ， 所以直线BN 与平面ACN21．【命题意图】本小题主要考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与圆、椭圆的位置关系，平面向量等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，直观想象能力和创新能力等；考查数形结合思想，函数与方程思想，化归与转化思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性，综合性与创新性．满分12分．【解答】（1）依题意，()2,0A −，()2,0B ．设()11,C x y ，则2211143x y +=， 直线AC 方程为()1122y y x x ++，令4x =得1162P y y x =+， 直线BC 方程为()1122y yx x −−，令4x =得1122Q y y x =−， 所以2121124P Q y y y x =− 2121123144x x ×− =− 9=−，即P Q y y ⋅的值为9−．（2）设()22,D x y ，()4,P t ，则直线AP 方程为()26t y x =+，直线BP 的方程为()22t y x =−， 由()222,63412t y x x y =+ +=得()222227441080t x t x t +++−=， 所以2124108227t x t −−=+，即21254227t x t −=+，故()112182627t t y x t=+=+． 由()222,23412t y x x y =− +=得()2222344120t x t x t +−+−=， 所以22241223t x t −=+，即222263t x t −=+，故()2226223t t y x t −=−=+． 所以()()122111x y x y −−−2222222736918273327t t t t t t t t−−−=⋅−⋅++++ ()()()222262733270327t t t t t −−+−=++，又()1,0F ，所以向量()111,FC x y =− ，与()221,FD x y =− 共线，所以直线CD 经过F ． 解法二：（1）依题意，()2,0A −，()2,0B ．设()11,C x y ，则2211143x y +=， 所以111122AC BC y y k k x x ⋅=⋅+− 21214y x =− 21213144x x −−= 34=−． 即B 344242Q P AP Q y y k k −=⋅=⋅+−，故P Q y y 的值为9−． （2）设()11,C x y ，()22,D x y ，()4,P t ．要证直线CD 经过()1,0F ，只需证向量()111,FC x y =− ，与()221,FD x y =− 共线，即证()()122111x y x y −=−．（*） 因为()2222112014343x y −+==+，所以111123246P AC y x y k x y −==−⋅=+， 同理可得222223242P BD y x y k x y +==−⋅=−， 所以()()21122123AC BD x y k k x y −==+，即1221123620x y x y y y −++=，① 同理可得1221123260x y x y y y −+++=，②①－②得12211244440x y x y y y −+−=，即()()122111x y x y −=−．所以（*）式成立，命题得证．22．【命题意图】本小题主要考查导数，函数的单调性、零点、不等式等基础知识；考查逻辑推理能力，直观想象能力，运算求解能力和创新能力等；考查函数与方程思想，化归与转化思想，分类与整合思想等；考查逻辑推理，直观想象，数学运算等核心素养；体现基础性、综合性和创新性．满分12分．【解答】（1）()1f x x′=， 当1e x =，1a =时，()1ln e 10f x =−=，即切点为()e,0， 所以所求切线斜率()1e ek f ′=， 所以所求的切线方程为()1e e y x =−，即11ey x =−． （2）由于()11ln f x x a =−， 所以切线l 的方程为()()1111ln y x a x x x −−=−． 令0y =，得()()1111ln x a x x x −−=−，解得()2111ln x x x x a =−−．（*） 由20x >，得11e a x +<． 构造函数()()ln g x x x x a =−−， 所以()ln g x a x ′=−，所以当0e a x <<时，()0g x ′>，()x 单调递增；当e a x >时，()0g x ′<，()g x 单调递减．故()()max e e a a g x g ==．所以2e a x ≤．若1e a x ≤，由（*）式知12x x ≤，所以12e a x x ≤≤， 故12e e a a x x −≥−．若1e a x >，则()()()121212e e e e 2e a a a a a x x x x x x −−−=−−−=+−， 所以()12111e e 2ln 2e a a a x x x x x a −−−=−−−．构造函数()()()12ln 2e e e aa a x x x x a x ϕ+=−−−<<，所以()()1ln 0x a x ϕ′=+−>，故()x ϕ在区间()1e ,e a a +上单调递增， 所以()()e 0a x ϕϕ>=，所以()1112ln 2e 0a x x x a −−−>，即 所以12e e 0a a x x −−−>，即12e e a a x x −>−． 综上，不等式成立12e e a a x x −≥−成立（当且仅当1e a x =时取等号）．。

福建省福州一中高三数学（理）下学期第一次质检试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.若集合}1|{2xy y M ==,{|1}P y y x ==-,那么=P M ( ) A.),0(+∞ B.),0[+∞ C.),1(+∞ D.),1[+∞2.复数=--ii 113（ ） A. i +1 B. i - C.i -1 D. i 3.在等比数列{}n a 中，已知13118a a a =，那么28a a =（ ） A ．4B ．6C ．12D ．164．在△ABC 中，)3,2(),1,(,90==︒=∠AC k AB C ，则k 的值是（ ） A ．5B ．－5C ．23 D ．23-5．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；…；第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. 设成绩小于17秒的学生人数占全班人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为（ ）A ．0.935，B ．0.945，C ．0.135，D ．0.145，6．如图，程序框图所进行的求和运算是（ ） A ． 12 + 14 + 16 + … + 120 B ．1 + 13 + 15 + … + 119C ． 1 + 12 + 14 + … + 118D ． 12 + 12 2 + 12 3 + … + 12 107．已知α∈(2π,π)，sin α=53,则)42tan(πα+等于（ ）A ． 71B ． 3117-C ． 724-D ．31178．设抛物线y x 122=的焦点为F ，经过点P(2,1)的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点且点P 恰为AB 的中点，则|AF|+|BF|=（ ） A ．10 B ．8 C ．6 D ．4开始 s = 0,n = 2n < 21 是 否s = s + 1nn = n + 2输出s结束9.设βα,为互不重合的平面，n m ,为互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若αα⊂⊥n m ,,则n m ⊥；②若ββαα//,//,,n m n m ⊂⊂，则βα//；③若m n n m ⊥⊂=⊥,,,αβαβα ，则β⊥n ； ④ 若,//,,n m m βαα⊥⊥则β//n . 其中所有正确命题的序号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①④D ．③④ 10．若直线1+=kx y 与圆0422=-+++my kx y x 交于N M ,两点,且N M ,关于直线 0=-y x 对称,动点P ()b a ,在不等式组200-+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩kx y kx my y 表示的平面区域内 部及边界上运动，则21b w a -=-的取值范围是（ ）A ．),2[+∞B ．]2,(--∞C ．]2,2[-D ．),2[]2,(+∞⋃--∞ 二、填空题：（本大题共有5个小题，每小题4分，共计20分） 11. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于__________.12．62)x展开式中，常数项是__________.13.=-⎰-dx x 0224 .14. 抛掷3个骰子，当至少有一个5点或一个6点出现时，就说这次试验成功，则在54次试验中成功次数n 的期望为 . 15.在圆中有结论:如图,“AB 是圆O 的直径,直线AC,BD 是圆O 过A,B 的切线,P 是圆O 上任意一点,CD 是过P 的切线,则有PD PC PO ⋅=2”. 类比到椭圆：“AB 是椭圆的长轴, O 是椭圆的中心，21,F F 是椭圆的的焦点，直线AC,BD 是椭圆过A,B 的切线,P 是椭圆上任意一点,CD 是过P 的切线,则有 .”三、解答题（本大题共有6个小题，共计80分） 16．( 本题满分13分)函数()sin()(0,0,||)2f x A x B A πωϕωϕ=++>><的图像上一个最高点的坐标为(,3)12π，与之相邻的一个最低点的坐标为7(,1)12π-. （Ⅰ）求()f x 的表达式； (Ⅱ) 当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求函数)(x f 的单调递增区间和零点.主视图 左视图俯视图17．( 本题满分13分)如图，五面体11A BCC B -中，41=AB ．底面ABC 是正三角形，2=AB .四边形11BCC B 是矩形，二面角1A BC C --为直二面角.（Ⅰ）D 在AC 上运动，当D 在何处时，有//1AB 平面1BDC ,并且说明理由； （Ⅱ）当//1AB 平面1BDC 时，求二面角D BC C --1的余弦值.18．( 本题满分13分)某企业2008年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年（今年为第一年）的利润为500(1+n 21)万元（n 为正整数）. （Ⅰ）设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元（须扣除技术改造资金），求A n 、B n 的表达式； （Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？19．( 本题满分13分)已知双曲线22221x y -=的两个焦点为F 1，F 2，P 为动点，若21PF PF +=4.（Ⅰ）求动点P 的轨迹E 的方程； （Ⅱ）求12cos F PF ∠的最小值； （Ⅲ）设点M （-2，0），过点N （27-，0）作直线l 交轨迹E 于A 、B 两点，判断AMB ∠的大小是否为定值？并证明你的结论.20．（本题满分14分）C 1B 1D CB已知函数)1ln()ln(1)ln()(++-+=x ax x ax x f , ),0(R a a ∈≠ （Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当a >0时，若存在x 使得()ln(2)f x a ≥成立，求a 的取值范围.21．（本题满分14分，共3小题，任选其中2题作答，每小题7分） (1) 选修4－2：矩阵与变换设矩阵MN A =，求矩阵A 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量． 其中 M = ⎝⎛11 ⎪⎪⎭⎫42 ，N = ⎝⎛-11 ⎪⎪⎭⎫12 (2) 选修4－5：不等式选讲已知函数()24---=x x x f ．（Ⅰ）作出函数()x f y =的图像； （Ⅱ）解不等式124>---x x (3) 选修4－4：坐标系与参数方程求极坐标系中，圆2=ρ上的点到直线()6sin 3cos =+θθρ的距离的最小值．福州一中2009届高三数学（理）下学期第一次质检试卷参考答案二、填空题 11. 8 +4π3； 12. 60； 13.π； 14. 38； 15. PD PC PF PF ⋅=⋅21. 三、解答题16. 解：（Ⅰ）依题意的2121272πππ=-=T ,所以π=T ,于是22==Tπω……………2分 由⎩⎨⎧-=+-=+13B A B A 解得⎩⎨⎧==12B A ……………………………………………4分把)3,12(π代入()2sin(2)1f x x ϕ=++,可得1)6sin(=+ϕπ,所以226ππϕπ+=+k , 所以32ππϕ+=k ,因为2||πϕ<,所以3πϕ=综上所述，1)32sin(2)(++=πx x f ………………………………7分（Ⅱ）令0)(=x f ，得21)32sin(-=+πx ，又 ,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦373234πππ≤+≤∴x 61132ππ=+∴x 故43π=x 函数)(x f 的零点是43π=x ……………10分373234πππ≤+≤x ∴由373223πππ≤+≤x 得ππ≤≤x 127∴函数)(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,127 ……………13分 17. 解：（Ⅰ）当D 为AC 中点时,有//1AB 平面1BDC ………2分 证明:连结1B C 交1BC 于O ,连结DO ∵四边形11BCC B 是矩形 ∴O 为1B C 中点又D 为AC 中点,从而1//DO AB ……………………………4分 ∵1AB ⊄平面1BDC ,DO ⊂平面1BDC∴//1AB 平面1BDC …………………………………………6分 （Ⅱ）建立空间直角坐标系B xyz -如图所示,则(0,0,0)B ,A ,(0,2,0)C ,3,0)2D ,1C …………7分所以33(,0)22BD =,1BC =. ………………………………8分设),,(1z y x n =为平面1BDC 的法向量,则有30220x y y+=⎨⎪+=⎩,即3x zy =⎧⎪⎨=⎪⎩令1=z ,可得平面1BDC 的一个法向量为1(3,n =,而平面1BCC 的一个法向量为2(1,0,0)n = (11)分 所以1212123cos ,||||13n n n n n n ⋅<>=== 所以二面角D BC C --1的余弦值为13133…………………………13分 18. 解: (Ⅰ)依题意知，数列n A 是一个以500为首项，－20为公差的等差数列，所以2(1)480(20)490102n n n A n n n -=+⨯-=-，…………………3分 2111500(1)500(1)500(1)600222n n B =++++++-＝2111500500()600222n n ++++-＝11[1()]22500500600112n n -+⨯--＝5005001002n n -- …………………6分 (Ⅱ)依题意得，n n B A >，即2500500100490102nn n n -->-， 可化简得250102n n n <+-，…………………8分 ∴可设n n f 250)(=，2()10g n n n =+-又+∈N n ，∴可设)(n f 是减函数，)(n g 是增函数，又5050(3)(3)2,(4)(4)8816f g f g =>==<= 则4n =时不等式成立，即4年…………………12分 答：略 ……………13分19．（Ⅰ）解：依题意双曲线方程可化为1212122=-y x 则221=F F ∴21PF PF +=4>221=F F ∴点P 的轨迹是以21,F F 为焦点的椭圆，其方程可设为22221(0)x y a b a b+=>>∴由22,42==c a 得1,2==c a 3142=-=∴b 则所求椭圆方程为13422=+y x ， 故动点P 的轨迹E 的方程为13422=+y x ；………………3分 （Ⅱ）设0,021>=>=n PF m PF ,θ=∠21PF F 则由4=+n m ，221=F F 可知在21PF F ∆中162212242)(24cos 222-=-=--+=-+=mnmn mn mn mn n m mn n m θ 又mn n m n m 24,0,0≥+=>> 4≤∴mn 即411≥mn 21146cos =-≥∴θ 当且仅当2==n m 时等号成立．故12cos F PF ∠的最小值为21………………6分（Ⅲ）当l 与x 轴重合时，构不成角AMB ，不合题意．当l x ⊥轴时，直线l 的方程为27x =-，代入22143x y +=解得A 、B 的坐标分别为212,77⎛⎫- ⎪⎝⎭、212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭而127MN =，∴90AMB ∠=， 猜测90AMB ∠=为定值．………8分证明：设直线l 的方程为27my x =+，由 22273412x my x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩ ，得2212576(34)0749m y my +--= ∴122127(34)m y y m +=+ ，12257649(34)y y m =-+ ………10分 ∴11221212(2,)(2,)(2)(2)MA MB x y x y x x y y ⋅=++=+++11121212()()77my my y y =+++2121212144(1)()749m y y y y =++++2225761212144(1)49(34)77(34)49m m m m m -=++⋅+++49144)43(49)34(14422+++-=m m 0= ∴ 90AMB ∠=为定值。

2010-2023历年福建省福州一中高三校质检理科综合物理试卷（带解析）第1卷一.参考题库(共12题)1.从下列哪一组数据可以算出阿伏伽德罗常数（）A．水的密度和水的摩尔质量B．水的摩尔质量和水分子的体积C．水分子的体积和水分子的质量D．水分子的质量和水的摩尔质量2.如图所示，一根竖直的弹簧支持着一倒立气缸的活塞，使气缸悬空而静止。

设活塞与缸壁间无摩擦，可以在缸内自由移动，缸壁导热性良好使缸内气体的温度保持与外界大气温度相同，则下列结论中正确的是（）A．若外界大气压增大，则弹簧压缩量将增大B．若外界大气压增大，则气缸的上底面距地面的高度将增大C．若气温升高，则活塞距地面的高度将减小D．若气温升高，则气缸的上底面距地面的高度将增大3.在水平地面上有一物体在水平拉力F的作用下由静止开始运动，10s后拉力大小减为F/4，方向不变，再经过20s停止运动。

该物体的速度与时间的关系如图所示。

重力加速度g取10m/s2. 求：（1）整个过程中物体的位移大小；（2）物体与地面的动摩擦因数。

4.静止在湖面的小船上有两个人分别向相反方向水平抛出质量相同的小球，甲向左抛，乙向右抛，如图所示。

甲先抛，乙后抛，抛出后两小球相对岸的速率相等，若不计水的阻力，则下列说法中正确的是（）A．两球抛出后，船往左以一定速度运动，乙球受到的冲量大一些B．两球抛出后，船往右以一定速度运动，甲球受到的冲量大一些C．两球抛出后，船的速度为零，甲球受到的冲量大一些D．两球抛出后，船的速度为零，两球所受的冲量相等5.在下列选项中，全部单位均是国际单位制（SI）中的基本单位的是（）A．mol、N、m、s B．N、C、A、s C．mol、m、A、s D．C、s、m 、kg6.处于基态的一群氢原子受某种单色光的照射时，只发射波长为λ1、λ2、λ3的三种单色光，且λ1＞λ2＞λ3，则照射光的波长为（）A．λ1B．λ1＋λ2＋λ3C．λ2λ3/（λ2＋λ3）D．λ1λ2/（λ1＋λ2）7.下列有关光现象的说法正确的是（）A．在光的双缝干涉实验中，若仅将入射光由紫光改为红光，则条纹间距一定变大B．以相同入射角从水中射向空气，若紫光能发生全反射，则红光也一定能发生全反射C．照相机镜头涂有增透膜，是利用光的衍射D．拍摄玻璃橱窗内的物品时，往往在镜头前加装一个偏振片以增加透射光的强度8.如图所示，在xoy平面内的y轴左侧有沿y轴负方向的匀强电场，y轴右侧有垂直纸面向里的匀强磁场，y轴为匀强电场和匀强磁场的理想边界。

2022届福建省福州一中高三下学期5月质量检测（福州三模）物理试题(满分100分，考试时间75分钟)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、单项选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

年1月10日，黄旭华获2019年国家最高科学技术奖。

他是中国第一代核潜艇总设计师，成功研制了我国第一代核潜艇，为我国海基核力量实现从无到有的历史性跨越做出了卓越的贡献。

核潜艇是以核反应堆（如图所示）为动力来源的潜艇，反应堆的核反应方程式为：92235U+01n →p qX+3689Kr +301n,下列说法正确的是镉棒 A. p qX 元素有56个质子，144个中子铀棒B. 92235U 的比结合能(平均结合能)大于 3689Kr 的比结合能C.根据E=mc²，裂变后释放核能，裂变过程质量发生亏损水泥防护层D.要能发生链式反应，铀块的体积应小于临界体积2.汽车内燃机利用火花塞产生的电火花来点燃气缸中的燃料空气混合物。

要使火花塞产生电火花，两电极间必须要有几千伏的高压，而某种汽车蓄电池的电压只有12V ，一同学设计了如图所示的几种点火电路图，下列各电路图中能在输出端产生高压的是3.洛伦兹力演示仪的实物图和原理图分别如图(a)、图(b)所示。

电子束从电子枪向右水平射出，使玻璃泡中的稀薄气体发光，从而显示电子的运动轨迹。

调节加速极电压可改变电子速度大小，调节励磁线圈电流可改变磁感应强度，某次实验，观察到电子束打在图(b)中的P点，下列说法正确的是A.两个励磁线圈中的电流均为顺时玻璃泡励磁线圈B.当加大励磁线圈电流时，电子可能出现完整的圆形轨迹励磁线圈C.当加大加速极电压时，电子打在玻励磁电流加速极电压璃泡上的位置将上移D.在出现完整轨迹后，减小加速极电压，电子在磁场中圆周运动的周期变小4.经常低头玩手机,会使人颈椎长期受压引发颈椎病。

福州高一质检考试卷尊敬的考生们：欢迎参加福州高一质检考试。

本次考试旨在全面检测你们在高一阶段的学习成果，包括语文、数学、英语、物理、化学、生物等科目。

请认真作答，展示你们的实力。

语文试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列词语中，没有错别字的一项是：A. 锲而不舍B. 一愁莫展C. 再接再励D. 怙恶不悛2. 下列句子中，没有语病的一项是：A. 他不仅学习好，而且品德高尚。

B. 通过这次活动，使我们认识到团结的重要性。

C. 他因为生病，所以没有参加考试。

D. 这个问题的解决，关键在于我们能否找到合适的方法。

...二、阅读理解（每题5分，共30分）阅读下文，回答问题：（文章内容略）1. 文章的中心论点是什么？2. 作者通过哪些论据来支持自己的观点？3. 文章中提到的“团结”一词，具体体现在哪些方面？...三、作文（50分）请以“我的梦想”为题，写一篇不少于800字的作文。

数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. πB. 0.3C. √4D. 1/32. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的顶点坐标是：A. (0, -1)B. (3/4, -1/8)C. (1, -1)D. (-1, 2)...二、填空题（每题4分，共20分）1. 等差数列的首项为a1，公差为d，第n项an = a1 + (n-1)d，则第5项a5 = __________。

2. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，满足a^2 + b^2 = c^2，这个三角形是__________。

...三、解答题（每题10分，共50分）1. 解不等式：x^2 - 4x + 4 > 0。

2. 证明：如果一个三角形的两边之和大于第三边，那么这个三角形是锐角三角形。

...英语试卷一、听力理解（略）二、阅读理解（略）三、完形填空（略）四、语法填空（略）五、写作（略）物理试卷一、选择题（略）二、填空题（略）三、计算题（略）化学试卷一、选择题（略）二、实验题（略）三、计算题（略）生物试卷一、选择题（略）二、简答题（略）三、实验设计题（略）考试结束，请考生停止作答，将试卷和答题卡按顺序放在桌面上，等待监考老师收卷。

2024届福建省福州市鼓楼区福州一中高一物理第二学期期末学业质量监测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，有的只有一项符合题目要求，有的有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

1、人造卫星绕地球做匀速圆周运动，假如卫星的线速度增大到原来的2倍，卫星仍做匀速圆周运动，则（）A．卫星的向心加速度增大到原来的4倍B．卫星的角速度增大到原来的4倍C．卫星的周期减小到原来的1 8D．卫星的周期减小到原来的1 22、一条小船在珠江中从西向东匀速直线航行，船上的人正相对于船以0.4m/s的速度匀速竖直向上升起一面旗帜。

当他用20s升旗完毕时，船行驶了6m，那么旗相对于岸的速度大小为（）A．0.3m/s B．0.4m/s C．0.5m/s D．0.6m/s3、(本题9分)如图所示，一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相等的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则以下说法中正确的是( )A．A球的角速度等于B球的角速度B．A球的线速度大于B球的线速度C．A球的运动周期小于B球的运动周期D．A球对筒壁的压力大于B球对筒壁的压力A ．附在筒壁的衣服随筒壁做圆周运动的向心力是摩擦力B ．附在筒壁上的衣服受重力、筒壁的弹力和摩擦力C ．甩干筒的转速越大，筒壁上衣服的线速度与角速度之比越大D ．甩干筒的转速越大，筒壁对衣吸的摩擦力越大 5、下列说法正确的是（ ） A ．哥白尼发现了万有引力定律 B ．牛顿测出引力常量C ．伽利略提出所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆D ．法拉第提出了电场的概念6、关于重力势能与重力做功，下列说法中正确的是 A ．重力对物体做正功，物体的重力势能可能增加B ．将质量相同的物体由同一位置沿不同方向抛出并下落至同一水平面，物体所减少的重力势能相等C ．用手托住一个物体匀速上举时，手的支持力所做的功等于物体克服重力所做的功与物体增加的重力势能之和D ．物体克服重力所做的功等于重力势能的增加量7、 (本题9分)如图所示，水平传送带以恒定速率v 运行．一物块（可视为质点）质量为m ，从传送带左端由静止释放，被传送到右端，在到达右端之前和传送带共速．在运送该物块的过程中，下列说法正确的是A ．滑块先受到滑动摩擦力作用，后受到静摩擦力作用B ．滑块在匀加速阶段的位移等于滑块相对皮带的位移C ．皮带对滑块做的功为212mv D ．皮带克服滑块摩擦力做的功为212mv动结构示意图，图中A轮有48齿，B轮有42齿，C轮有18齿，D轮有12齿，则A．该车可变换两种不同挡位B．该车可变换四种不同档位C．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比：：4D．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比：：19、如图所示的电容式话筒就是一种电容式传感器，其原理是：导电性振动膜片与固定电极构成了一个电容器，当振动膜片在声压的作用下振动时，两个电极之间的电容发生变化，电路中电流随之变化，这样声信号就变成了电信号．则当振动膜片向右振动时( )A．电容器电容值增大B．电容器带电荷量减小C．电容器两极板间的场强增大D．电阻R上电流方向自左向右10、(本题9分)如图为某一机械手表，其分针与时针上的点看作做匀速圆周运动，且分针长度是时针长度的1.5倍．下列说法正确的是（）A．分针与时针的角速度之比是12：1B．分针末端与时针末端的线速度之比是18：1C．分针与时针的周期之比是12：1D．分针末端与时针末端的加速度之比是216：1二、实验题11、（4分）(本题9分)将一铜片和一锌片分别插入一个苹果内，就构成了简单的“水果0.3 A的手电筒上的小灯泡，原因是流过小灯泡的电流太小了，实验测得不足3mA。

2024届福州一中高三上学期开学初质量检查数学试卷总分150分考试时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知复数()6iR 12i a z a +=∈+是纯虚数，则a 的值为（）A.12- B.12C.3- D.32.若集合){}()(){}2log 10,210A xB x x x =-≤=-+≤∣∣，则A R B =ð（）A.[]0,4 B.()1,4 C.[)0,2 D.()1,23.一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x ，7，8（7x ≠），若该组数据的中位数是众数的54倍，则该组数据的60%分位数是（）A.4B.5C.6D.74.函数()222cos ()4xx x f x x --=-的部分图象为（）A. B.C. D.5.中国古代数学家很早就对空间几何体进行了系统的研究，中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图.E 对应的是正四棱台中间位置的长方体；B D H F ､､､对应四个三棱柱，A C I G ､､､对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为（）A.24B.28C.32D.366.已知圆22:8C xy +=，MN 为圆C 的动弦，且满足4MN =，G 为弦MN 的中点，两动点,P Q 在直线:4l y x =-上，且4PQ =，MN 运动时，PGQ ∠始终为锐角，则线段PQ 中点的横坐标取值范围是（）A.()(),04,-∞⋃+∞ B.()(),08,-∞⋃+∞C .(0,4)D.(0,8)7.函数()()πtan 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图像如图所示，图中阴影部分的面积为6π，则2023π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.33-B.3C.33D.38.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，以2F 为圆心的圆与x 轴交于1F ，B 两点，与y 轴正半轴交于点A ，线段1AF 与C 交于点M ．若BM 与C 的焦距的比值为313，则C 的离心率为（）A.312+ B.32C.512+ D.712+二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知0a b c >>>，则下列不等式正确的是（）A.11a c< B.33a c b c< C.2211a b > D.lg0a cb c->-10.上甘岭战役是抗美援朝中中国人民志愿军进行的最著名的山地防御战役.在这场战役中，我军使用了反斜面阵地防御战术.反斜面是山地攻防战斗中背向敌方、面向我方的一侧山坡.反斜面阵地的构建，是为了规避敌方重火力输出.某反斜面阵地如图所示，山脚A ，B 两点和敌方阵地D 点在同一条直线上，某炮弹的弹道DCE 是抛物线Γ的一部分，其中E 在直线AB 上，抛物线的顶点C 到直线AB 的距离为100米，DE 长为400米，CD CE =，30CAB ∠= ，建立适当的坐标系使得抛物线Γ的方程为()220x py p =->，则（）A.200p = B.Γ的准线方程为100y = C.Γ的焦点坐标为()0,50- D.弹道CE 上的点到直线AC 的距离的最大值为503311.如图，在平面四边形ABCD 中，ACD 和ABC 是全等三角形，90ABC ∠=︒，60BAC ∠=︒，2AB =．下面有两种折叠方法将四边形ABCD 折成三棱锥．折法①将ACD 沿着AC 折起，形成三棱锥1D ABC -，如图1；折法②：将ABD △沿着BD 折起，形成三棱锥1A BCD -，如图2．下列说法正确的是（）A.按照折法①，三棱锥1D ABC -的外接球表面积值为16πB.按照折法①，存在1D ，满足1AB CD ⊥C.按照折法②，三棱锥1A BCD - D.按照折法②，存在1A 满足1A C ⊥平面1A BD ，且此时BC 与平面1A BD 所成线面角的正弦值为3312.已知函数()()2sin cos f x x x =+-，则（）A.()f x 的最小正周期为2πB.()f x 图象的一条对称轴为直线3π4x =C.当0m >时，()f x 在区间3π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D.存在实数m ，使得()f x 在区间()0,1012π上恰有2023个零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知πtan 24α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=______．14.已知2n+的展开式中二项式系数和是64，则展开式中x 的系数为______．15.为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业的发展，某市派出了包括甲、乙在内的5名专家型教师援疆，现将这5名教师分配到新疆的A 、B 、C 、D 四所学校，要求每所学校至少安排一位教师，则在甲志愿者被安排到A 学校有______种安排方法．16.周长为4的ABC ，若,,a b c 分别是,,A B C 的对边，且2a bc =，则AB AC ⋅uu u r uuu r的取值范围为________．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A 为锐角，223sin cos 23c a B C ab -=-．（1）求A ；（2）若3b =，BC 边上的高为7，求ABC 的面积．18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()21n n S a =-，等差数列{}n b 满足12b a =，54b a =．（1）求{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）数列{}n a 和{}n b 中的所有项分别构成集合A ，B ，将A B ⋃的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求数列{}n c 的前50项和50S ．19.如图，在四棱锥S ABCD -中，13SA SB SC SD ====，AC CD ⊥，6AB =，8BD =.（1）求证：平面SAD ⊥平面ABCD ；（2）求二面角A SB D --的余弦值.20.甲乙两人进行乒乓球比赛，经过以往的比赛分析，甲乙对阵时，若甲发球，则甲得分的概率为35，若乙发球，则甲得分的概率为13．该局比赛中，甲乙依次轮换发球（甲先发球），每人发两球后轮到对方进行发球．（1）求在前4球中，甲领先的概率；（2）12球过后，双方战平(6:6)，已知继续对战奇数球后，甲获得胜利（获胜要求至少取得11分并净胜对方2分及以上）．设净胜分（甲，乙的得分之差）为X ，求X 的分布列．21.已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为32，记E 的右顶点和上顶点分别为A ，B ，OAB 的面积为1（O 为坐标原点）．（1）求E 的方程；（2）已知()2,1D ，过点D 的直线1l 与椭圆E 交于点M ，N （点M 在第一象限），过点M 垂直于y 轴的直线2l 分别交BA ，BN 于P ，Q ，求MPPQ的值．22.已知函数()2ln a f x ax x x=--．（1）若()0,1x ∈，()0f x <，求实数a 的取值范围；（2）设1x ，2x 是函数()f x 的两个极值点，证明：()()12f x f x a-<．2024届福州一中高三上学期开学初质量检查数学试卷总分150分考试时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知复数()6iR 12i a z a +=∈+是纯虚数，则a 的值为（）A.12-B.12C.3- D.3【答案】C【分析】根据复数的除法运算化简6i12ia z +=+，根据纯虚数的概念列式计算，可得答案.【详解】由题意2556i (6i)(12i)6(12)i12i a a a a z ++-++-===+，因为复数()6i R 12i a z a +=∈+是纯虚数，故62051205aa +⎧=⎪⎪⎨-⎪≠⎪⎩，解得3a =-，故选：C2.若集合){}()(){}2log 10,210A xB x x x =-≤=-+≤∣∣，则A R B =ð（）A.[]0,4 B.()1,4 C.[)0,2 D.()1,2【答案】D【分析】先求出集合,A B ，再由交集和补集的运算求解即可.【详解】由)2log 10≤可得：011<-≤，解得：14x <≤，由()()210x x -+≤可得：()()210x x -+≥，解得：2x ≥或1x ≤-，所以R B ð{}12x x =-<<，{}14A xx =<≤∣，所以A R B ð()1,2=故选：D.3.一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x ，7，8（7x ≠），若该组数据的中位数是众数的54倍，则该组数据的60%分位数是（）A.4 B.5C.6D.7【答案】C【分析】先求出众数，进而求得中位数，解出6x =，再由百分位数的求法求解即可.【详解】由题意知，众数是4，则中位数为5454⨯=，则452x +=，解得6x =，又660% 3.6⨯=，则第60百分位数是6.故选：C.4.函数()222cos ()4xx x f x x --=-的部分图象为（）A.B.C.D.【答案】C【分析】确定函数为奇函数，排除BD ，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≤，排除A ，得到答案.【详解】()f x 的定义域为{}2x x ≠±，()()()()()2222cos 22cos ()44xx xx x x f x f x x x ------==-=----，故()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，排除B ，D ；又π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，220x x --≥，cos 0x ≥，240x -<，故()0f x ≤，排除A ．故选：C ．5.中国古代数学家很早就对空间几何体进行了系统的研究，中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图.E 对应的是正四棱台中间位置的长方体；B D H F ､､､对应四个三棱柱，A C I G ､､､对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为（）A.24B.28C.32D.36【答案】B【分析】根据给定条件，利用四棱锥、三棱柱的体积公式结合给定数据建立关系式，求出长方体的体积作答.【详解】如图，令四棱锥的底面边长为a ，高为h ，三棱柱的高为b ，依题意，四棱锥的体积2113a h =，即23a h =，三棱柱的体积132ahb =，即有6abh =，因此2b a =，于是长方体的体积22412V b h a h ===，所以该正四棱台的体积为1241228++=.故选：B【点睛】关键点睛：求几何体的体积，将给定的几何体进行恰当的分割，转化为可求体积的几何体求解是关键.6.已知圆22:8C xy +=，MN 为圆C 的动弦，且满足4MN =，G 为弦MN 的中点，两动点,P Q 在直线:4l y x =-上，且4PQ =，MN 运动时，PGQ ∠始终为锐角，则线段PQ 中点的横坐标取值范围是（）A.()(),04,-∞⋃+∞ B.()(),08,-∞⋃+∞C.(0,4) D.(0,8)【答案】A【分析】由4MN =，得到2CG =，设PQ 的中点(,4)E a a -，根据PGQ ∠恒为锐角，转化为以C 为圆心，以2为半径的圆与以E 为圆心，以2为半径的圆相外离，结合圆与圆的位置关系，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，圆22:8C xy +=，可得圆心坐标为(0,0)C ，半径为r =因为4MN =，G 为弦MN 的中点，可得2CG =，又由两动点,P Q 在直线:4l y x =-上，且4PQ =，设PQ 的中点(,4)E a a -，当,M N 在圆C 上运动时，且PGQ ∠恒为锐角，可得以C 为圆心，以2为半径的圆与以E 为圆心，以2为半径的圆相外离，22>+，即240a a ->，解得a<0或4a >，所以线段PQ 中点的横坐标取值范围是(,0)(4,)-∞+∞ .故选：A.7.函数()()πtan 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图像如图所示，图中阴影部分的面积为6π，则2023π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.3-B. C.3D.【答案】A【分析】由正切函数的周期性及其图象，应用等面积法求得最小正周期为2πT =，结合图象所过的点求参数，即可得()f x 解析式，进而求函数值.【详解】如图，①和②面积相等，故阴影部分的面积即为矩形ABCD 的面积，可得3AB =，设函数()f x 的最小正周期为T ，则AD T =，由题意得36πT =，解得2πT =，故2ωπ=π，得12ω=，即()1tan 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x 的图象过点π,16⎛⎫- ⎪⎝⎭，即1ππtan tan 12612ϕϕ⎛⎫⎛⎫⨯+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵ππ,22ϕ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则π5π7π,121212ϕ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，∴ππ124ϕ+=-，解得π3ϕ=-．∴()1πtan 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭∴2023π2023ππ2021π5π3tan tan tan 363663f ⎛⎫⎛⎫=-===-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A8.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，以2F 为圆心的圆与x 轴交于1F ，B 两点，与y 轴正半轴交于点A ，线段1AF 与C 交于点M ．若BM 与C 的焦距的比值为313，则C 的离心率为（）A.312+ B.32C.512+ D.712+【答案】D【分析】先求出以2F 为圆心的圆的方程，求出()3A c ，()3,0B c ，求出直线1F A 的方程后结合距离公式可求M 的坐标，代入双曲线方程后可求离心率.【详解】设双曲线的半焦距为c ，因为以2F 为圆心的圆过1F ，故该圆的半径为2c ，故其方程为：()2224x c y c -+=，令0x =，则3y c =，结合A 在y 轴正半轴上，故()3A c ，令0y =，则x c =-或3x c =，故()3,0B c .故13030()F A c k c -==--，故直线1:33F A y c =.设()()330M m m cm +<，因为A 在y 轴的正半轴上，1F 在x 轴的负半轴上，故0m <，而31231233BM c c =⨯=，故())22212439c m c -++=，整理得到：221649m c =，故23m c =-，故33M y =，所以222241931c ca b -=，故()22241931e e e -=-，解得242e +=或472，又因为1e >，则21e >，则2472e =，712e =.故选：D.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中离心率的值或范围的计算，关键在于构建关于基本量的方程或方程组（不等式或不等式组），后者可通过点在圆锥曲线上等合理构建.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知0a b c >>>，则下列不等式正确的是（）A.11a c< B.33a c b c< C.2211a b > D.lg0a cb c->-【答案】BD【分析】通过比较各项的大小，即可得出结论.【详解】由题意，0a b c>>>∴110a c>>，故A 错误，3333,a b a c b c ><，故B 正确，22a b >，当01a b <<<时，2211a b <，故C 错误，0,0,1,1a a ca cbc b b c-->->>>-，∴lg0a cb c ->-，故D 正确，故选：BD.10.上甘岭战役是抗美援朝中中国人民志愿军进行的最著名的山地防御战役.在这场战役中，我军使用了反斜面阵地防御战术.反斜面是山地攻防战斗中背向敌方、面向我方的一侧山坡.反斜面阵地的构建，是为了规避敌方重火力输出.某反斜面阵地如图所示，山脚A ，B 两点和敌方阵地D 点在同一条直线上，某炮弹的弹道DCE 是抛物线Γ的一部分，其中E 在直线AB 上，抛物线的顶点C 到直线AB 的距离为100米，DE 长为400米，CD CE =，30CAB ∠= ，建立适当的坐标系使得抛物线Γ的方程为()220x py p =->，则（）A.200p = B.Γ的准线方程为100y = C.Γ的焦点坐标为()0,50- D.弹道CE 上的点到直线AC 的距离的最大值为5033【答案】ABD【分析】根据题意，建立以C 为坐标原点，x 轴平行于AB ，y 轴垂直于AB ，结合图像，求出抛物线方程，准线方程，焦点坐标，即可判断ABC ；根据题意，求出直线AC 的方程，不妨设CE CE 上一点为Q ，判断出当Q 该点处的切线与直线AC 平行时，其到直线AC 的距离最大，求解最大值即可.【详解】如图所示，建立以C 为坐标原点，x 轴平行于AB ，y 轴垂直于AB .此时()0,0C ，()200,100E --，()200,100D -，抛物线Γ的方程为()220x py p =->，即()22002100p =-⨯-，解得200p =，故A 正确；抛物线Γ的方程为2400x y =-，准线方程为100y =，焦点坐标为()0,100-，故B 正确，C 错误；因为30CAB ∠= ，()0,0C ，故tan 30AC k == ，所以直线AC 的方程为3y x =即0x -=，不妨设CE 上一点为()00,Q x y ，[]0200,0x ∈-，当Q 该点处的切线与直线AC 平行时，其到直线AC 的距离最大.由21400y x =-可得1200y x '=-，故0132003x -=，解得()00100,3Q x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，此时Q 点到直线AC 的距离为=D 正确.故选：ABD.11.如图，在平面四边形ABCD 中，ACD 和ABC 是全等三角形，90ABC ∠=︒，60BAC ∠=︒，2AB =．下面有两种折叠方法将四边形ABCD 折成三棱锥．折法①将ACD 沿着AC 折起，形成三棱锥1D ABC -，如图1；折法②：将ABD △沿着BD 折起，形成三棱锥1A BCD -，如图2．下列说法正确的是（）A.按照折法①，三棱锥1D ABC -的外接球表面积值为16πB.按照折法①，存在1D ，满足1AB CD ⊥C.按照折法②，三棱锥1A BCD -D.按照折法②，存在1A 满足1A C ⊥平面1A BD ，且此时BC 与平面1A BD 所成线面角的正弦值为33【答案】AC【分析】根据外接球的圆心为AC 中点O ,即可根据表面积公式求解A ，根据线线垂直即可结合三角形全等得矛盾求解B ，根据面面垂直的性质即可求解高的最大值，进而可求C ，根据全等的性质，由线面垂直即可得线面角，进而根据三角形的边角关系求解D.【详解】对于A,ACD 和ABC 是全等三角形，90ABC ∠=︒，60BAC ∠=︒，2AB =．可得AC 中点O 到A ，B ，C ，D 的距离相等，故O 为棱锥1D ABC -的外接球的球心，AC 为直径，∴外接球的半径为2，∴三棱锥1D ABC -的外接球表面积值为24π×2=16π，故A 正确，对于B ：假若存在存在1D ，使得1AB CD ⊥，由于AB BC ⊥，11,,BC CD C BC CD ⋂=⊂平面1BCD ，所以AB ⊥平面1CBD ，由于1BD ⊂平面1CBD ,故1AB BD ⊥,由于ACD 和ABC 是全等三角形，所以1AB AD ⊥,故1AB BD ⊥不可能，因此不存在1D 满足条件，故B 错误；对于C ：三棱锥1A BCD -体积最大时，平面1A BD ⊥平面BCD ，由已知60120BAC DAC DAB ∠=∠=︒⇒∠=︒,2AB AD ==,所以2sin 60BD AB == ，又BC CD ==故BCD △为等边三角形，过1A 作1A E BD ⊥，则11cos601A E A B == ，故1A 到平面BCD 的距离为11A E =1，∴12111322A BCD V -=⨯⨯⨯⨯=，故C 正确；对于D,由于在翻折过程中，111111,,,A D A B CD CB AC AC A BC A DC ===\@,故当11CA A D ⊥，可得11CA A B ⊥，11111,,A B A D A A B A D =⊂ 平面1A BD ，1CA ∴⊥平面1A BD ，则1A BC ∠是BC 与平面1A BD 所成的角，由BC =，12A B =，由勾股定理可得1A C =，在△1A BC 中，11sin3A C A BC BC ∠===，故D 错误．故选：AC ．12.已知函数()()2sin cos f x x x =+-，则（）A.()f x 的最小正周期为2πB.()f x 图象的一条对称轴为直线3π4x =C.当0m >时，()f x 在区间3π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D.存在实数m ，使得()f x 在区间()0,1012π上恰有2023个零点【答案】BCD【分析】化简()f x 的表达式，根据正弦函数的周期性可判断A ；根据函数图象的对称轴的性质可判断B ；结合正弦函数的单调性可判断C ；取1m =，结合正弦函数的零点可判断D.【详解】对于A ，()1sin 2f x x =+-，故()π1sin 2(π)f x x +=++-1sin 2()x f x =+-，即π为()f x 的一个周期，说明2π不是()f x 的最小正周期，A 错误；对于B ，3π3π1sin 2()22f x x ⎛⎫-=+--⎪⎝⎭1sin(3π2)x =+--1sin 2(),R x f x x =+-∈，故()f x 图象的一条对称轴为直线3π4x =，B 正确；对于C ，当0m >时，3π,π4x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则3π2,2π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由于正弦函数sin y x =在3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且sin 0x <，故sin 2y x =在3π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且sin 20x <，此时()1sin 21sin 2f x x x m =+-+-而sin 2y x =-在3π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则y =-在3π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故()1sin 2f x x =+-在3π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，C 正确；对于D ，由A 可知即π为()f x 的一个周期，且sin 2y x =的最小正周期为π，故()f x 的最小正周期为π，当1m =时，()1sin 2f x x =+-，当sin 20x =时，()0f x =，则在(0,π]上()f x 的零点为π2和π，故当(0,1012π]x ∈时，恰有210122024⨯=个零点，且第2024个零点为1012π，故当(0,1012π)x ∈时，()f x 恰有202412023-=个零点，即存在实数m ，使得()f x 在区间()0,1012π上恰有2023个零点，D 正确，故选：BCD【点睛】难点点睛：本题综合考查了含sin x 型函数的性质，涉及到周期、对称性以及零点问题，综合性较强，解答时要综合应用函数的对称轴性质以及正弦函数的相关性质，进行解答，对于零点个数问题，可取特殊值，结合正弦函数的周期性以及零点进行判断.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知πtan 24α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=______．【答案】35-【分析】根据正切的差角公式得出tan α，再结合二倍角正弦公式和同角三角函数的平方关系，构造齐次式化简弦为切计算即可.【详解】由πtan 1tan 2tan 341tan αααα-⎛⎫-==⇒=- ⎪+⎝⎭，()()2222232sin cos 2tan 3sin 2sin cos tan 1531ααααααα⨯-====-++-+.故答案为：35-.14.已知2n+的展开式中二项式系数和是64，则展开式中x 的系数为______．【答案】60【分析】手续爱你根据二项式系数和公式求出n ，再利用二项展开式的通项公式即可得到答案.【详解】由题意得2264n =，解得3n =，则6+的二项展开式通项为6262166C C 2,06,N rrrrr r r T xr r --+==⋅⋅≤≤∈，令6212r -=，解得2r =，则x 的系数为226C 260⋅=，故答案为：60.15.为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业的发展，某市派出了包括甲、乙在内的5名专家型教师援疆，现将这5名教师分配到新疆的A 、B 、C 、D 四所学校，要求每所学校至少安排一位教师，则在甲志愿者被安排到A 学校有______种安排方法．【答案】60【分析】分甲单独一人和甲和另一人成一组讨论即可.【详解】将这5名教师分配到新疆的A ，B ，C ，D 共4所学校，每所学校至少1人，则先分组后排列，5名教师分成四组，则为1，1，1，2.若甲作为单独的一位被安排到A 学校，则有2343C A 36⋅=种情况；若甲是一组两人中的一位且被安排到A 学校，则有1343C A 24⋅=种情况，共有362460+=种情况.故答案为：60.16.周长为4的ABC ，若,,a b c 分别是,,A B C 的对边，且2a bc =，则AB AC ⋅uu u r uuu r的取值范围为________．【答案】8,69⎡-⎢⎣【分析】利用平面向量的数量积公式结合余弦定理可得2(2)12AB AC a ⋅=-++，再根据三角形两边之和大于第三边结合基本不等式求出41,3a ⎤∈-⎥⎦，然后利用二次函数的性质求解即可.【详解】因为周长为4的ABC ，,,a b c 分别是,,A B C 的对边，且2a bc =，所以222222()3cos 222c b a c b bc c b bcAB AC cb A +-+-+-⋅====2222(4)328164822a a a a a a ----+===--+，令()248a a f a =--+，24,,b c a bc a a b c +=-=+>∴a c b >-，∴22222()()4(4)4a c b c b bc a a >-=+-=--，解得1a >-，又∵b c +≥，∴42a a -≥，∴43a ≤故41,3a ⎤∈-⎥⎦，又()248a a f a =--+在41,3a ⎤∈⎥⎦上递减，)4816,39ff ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∴28(2)12,69AB AC a ⎡⋅=-++∈-⎢⎣ ，故答案为：8,69⎡-⎢⎣.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A为锐角，22sin cos 23c a B C ab -=-．（1）求A ；（2）若3b =，BC边上的高为7，求ABC 的面积．【答案】（1）π3（2）332【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理求出3sin 2A =，再结合A 为锐角即可求解；（2）先利用面积相等求得2a c =，再代入余弦定理求出2c =，进而求解即可．【小问1详解】在ABC 中，由余弦定理得222cos 2a b c C ab+-=，所以222223sin 232c a a b c B ab ab -+-=-，即3sin 32b B a=，又由正弦定理得3sin sin 32sin BB A=，因为sin 0B >，所以3sin 2A =，又因为A 为锐角，所以π3A =．【小问2详解】结合（1），由题意得1131321sin 322227ABC S bc A c a ==⨯⨯⨯=⨯ ，得72a c =，由余弦定理得2222272cos 934a b c bc A c c c =+-=+-=，整理得()()2412260c c c c +-=-+=，解得2c =，或6c =-（舍去），所以11sin 322222ABC S bc A ==⨯⨯⨯=．18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()21n n S a =-，等差数列{}n b 满足12b a =，54b a =．（1）求{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）数列{}n a 和{}n b 中的所有项分别构成集合A ，B ，将A B ⋃的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求数列{}n c 的前50项和50S ．【答案】（1）2n n a =；31n b n =+（2）3459【分析】（1）利用n a 与n S 的关系式求得{}n a 的通项公式，利用等差数列的基本量求法即可求得{}n b 的通项公式，从而得解；（2）结合（1）中结论，分析{}n c 的前50项中含有{}n a 与{}n b 的项，从而利用前n 项和公式即可得解.【小问1详解】因为()21n n S a =-，所以当1n =时，()11121S a a =-=，解得12a =，当1n >时，()1121n n S a --=-，所以1n n n a S S -=-122n n a a -=-，整理得12n n a a -=，所以{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以1222n n n a -=⨯=.所以5124164,b b a a ====，设等差数列{}n b 的公差为d ，则5144416b b d d =+=+=，解得3d =，所以()()1143131n b b n d n n =+-=+-=+.【小问2详解】因为772128a ==，882256a ==，463461139b ⨯+==，且21452164,16,64,a b a b a b ======所以{}n c 的前50项中含有{}n a 的1357,,,a a a a 且含有{}n b 的前47项，()50464139283212834592S ⨯+∴=++++=.19.如图，在四棱锥S ABCD -中，13SA SB SC SD ====，AC CD ⊥，6AB =，8BD =.（1）求证：平面SAD ⊥平面ABCD ；（2）求二面角A SB D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）170170-【分析】（1）取AD 的中点O ，连接SO ，OC ，可得SO AD ⊥，利用直角三角形的性质可得OC OD =，即可证明SOC SOD ≅ ，进而可得SO OC ⊥，利用线面垂直的判定定理可证SO ⊥平面ABCD ，利用面面垂直的判定定理即可求证；（2）先证明Rt SOA Rt SOB ≅ ，OA OB OC OD ===，可得AD 为四边形ABCD 外接圆的直径，进而可得SO 和AD 的长，以B 为原点，,BD BA 所在的直线为,x y 轴，过点B 与SO 平行的直线为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面ABS 的一个法向量和平面SBD 的一个法向量，利用空间向量夹角的坐标运算即可求解.【详解】取AD 的中点O ，连接SO ，OC ，因为SA SD =，所以SO AD ⊥，因为AC CD ⊥，O 为AD 的中点，所以12OC AD OD ==，因为SO SO =，SC SD =，所以SOC SOD ≅ ，所以90SOC SOD ∠=∠= ，所以SO OC ⊥，因为OC OD O = ，OC ⊂平面ABCD ，OD ⊂平面ABCD ，所以SO ⊥平面ABCD ，因为SO ⊂平面SAD ，所以平面SAD ⊥平面ABCD ；（2）由（1）知：SO ⊥平面ABCD ，所以SO BO ⊥，在Rt SOA 和Rt SOB 中，由SO SO =，SA SB =可得Rt SOA Rt SOB ≅ ，所以OA OB =，即OA OB OC OD ===，所以,,,A B C D 在以O 为圆心的圆上，由AC CD ⊥可得AD 为四边形ABCD外接圆的直径，10AD ==，5AO =，12SO ==，以B 为原点，,BD BA 所在的直线为,x y 轴，过点B 与SO 平行的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则()0,6,0A ，()0,0,0B ，()8,0,0D ，()4,3,0O ，()4,3,12S ，()0,6,0BA = ，()8,0,0BD = ，()4,3.12BS =，设平面ABS 的一个法向量()111,,m x y z =，则11116043120m BA y m BS x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩ 令13x =，可得11z =-，10y =，所以()3,0,1m =-，设平面SBD 的一个法向量为()222,,n x y z =，则22224312080n BS x y z n BD x ⎧⋅=++=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令24y =，则21z =-，20x =，所以()0,4,1n =-，所以170cos ,=170m n m n m n⋅=⋅，因为二面角A SB D --的平面角为钝角，所以二面角A SB D --的余弦值为170170-.【点睛】方法点睛：证明面面垂直的方法（1）利用面面垂直的判定定理，先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另外一个平面内或与另外一个平面内的一条直线平行即可；（2）利用性质：//,αββγαγ⊥⇒⊥（客观题常用）；（3）面面垂直的定义（不常用）；（4）向量方法：证明两个平面的法向量垂直，即法向量数量积等于0.20.甲乙两人进行乒乓球比赛，经过以往的比赛分析，甲乙对阵时，若甲发球，则甲得分的概率为35，若乙发球，则甲得分的概率为13．该局比赛中，甲乙依次轮换发球（甲先发球），每人发两球后轮到对方进行发球．（1）求在前4球中，甲领先的概率；（2）12球过后，双方战平(6:6)，已知继续对战奇数球后，甲获得胜利（获胜要求至少取得11分并净胜对方2分及以上）．设净胜分（甲，乙的得分之差）为X ，求X 的分布列．【答案】（1）1975（2）答案见解析【分析】(1)分别求出甲与乙的比分是4:0和3:1的概率，即可得答案；(2)依题意，甲11:6或11:8获胜，即在接下来的比赛中，甲乙的比分为5：0或5：2，且最后一球均为甲获胜，分别求出5：0和5：2的概率，即可得X 的分布列.【小问1详解】解：甲与乙的比分是4:0的概率为33111,553325⨯⨯⨯=比分是3:1的概率为3211332116225533553375⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=，故前4球中，甲领先的概率11619;257575P =+=【小问2详解】解：依题意，接下来由甲先发球．继续对战奇数球后，甲获得胜利，则甲11:6或11:8获胜，即在接下来的比赛中，甲乙的比分为5：0或5：2，且最后一球均为甲获胜．记比分为5：0为事件A ，则()223133()()535125P A =⨯⨯=，记比分为5：2为事件B ，即前6球中，乙获胜两球，期间甲发球4次，乙发球两次，22222241314242321232321152()C (()(C (()C ()C 5533555333625P B ⎡⎤=⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⨯⨯⨯=⎢⎥⎣⎦，故依题意甲获胜的概率为35267,125625625+=X 的所有可能取值为3，5，由条件概率有，()()52153,56767P X P X ====故X 的分布列为X 35P5267156721.已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为32，记E 的右顶点和上顶点分别为A ，B ，OAB 的面积为1（O 为坐标原点）．（1）求E 的方程；（2）已知()2,1D ，过点D 的直线1l 与椭圆E 交于点M ，N （点M 在第一象限），过点M 垂直于y 轴的直线2l 分别交BA ，BN 于P ，Q ，求MPPQ的值．【答案】（1）2214x y +=（2）1【分析】（1）由题意可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆E 的方程；（2）设直线1l 的方程为x my n =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，求出点P 、Q 的坐标，将直线1l 的方程与椭圆E 的方程联立，列出韦达定理，根据2m n +=，然后化简Q M x x +，最后得到2Q M P x x x +=即可.【小问1详解】由题意可得OA a =，OB b =，且OA OB ⊥，则11122OAB S OA OB ab =⋅==△，所以，2222112c e a ab a b c⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以，椭圆E 的方程为2214x y +=.【小问2详解】当直线1l 与x 轴平行时，此时直线方程为1y =，不合乎题意，则设直线1l 的方程为x my n =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，易知点()2,0A 、()0,1B ，则直线AB 的方程为12xy +=，直线l 的方程为1y y =，联立112y y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()121x y =-，故点()()1121,P y y -，联立直线1l 与椭圆的方程得2244x my n x y =+⎧⎨+=⎩，可得()2224240m y mny n +++-=，()()()22222244441640m n m n m n ∆=-+-=+->，由韦达定理可得12224mny y m +=-+，212244n y y m -=+，因为点()2,1D 在直线MN 上，则2m n =+，则2n m =-，则()21222222444m m m m y y m m --+=-=++，()22122224444m m m y y m m ---==++，()2216420m m ⎡⎤∆=+-->⎣⎦，解得0m >，221BN y k x -=，则直线BN 的方程为2211y y x x -=+，令1y y =，则()21211Q x y x y -=-，()()()()()()()2121122112122211111111Q M x y x y x y my n y my n y x x x y y y --+-+-++-+=+==---()()()()222212122242422222224411m m m mm m m my y n m y y n m m y y --⋅+-⋅--+-+-++==--221641m y -+=-，则()()221614Q M x x y m -+-=+，而()()()212122*********41141444414m m m y y y y y m m y m m ⎛⎫----=+--=-=⎡⎤ --+⎪⎣⎦++⎝⎭即()2216214P x y m --=+，则()()()22121Q M P x x y x y +-=-因为21y ≠，则2Q M P x x x +=，又因为点,,P Q M 的纵坐标相同，所以P 为MQ 的中点，所以1MP PQ=.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设线法，再联立椭圆方程得到韦达定理式，再去化简Q M x x +，然后将韦达定理式代入整理，最后得到2Q M P x x x +=，则得到最后结果.22.已知函数()2ln a f x ax x x=--．（1）若()0,1x ∈，()0f x <，求实数a 的取值范围；（2）设1x ，2x 是函数()f x 的两个极值点，证明：()()12f x f x a-<．【答案】（1）1a ≥（2）证明见解析【分析】（1）当0a ≤时利用导数判断出单调性求出最值可得结论；当0a >时求出()f x '，分1a ≥时，可得()f x 在()0,1x ∈上单调性求出最值可得结论；01a <<时，令()0f x '=，利用()f x 的单调性、最值可得答案.（2）0a ≤时()f x 单调递减，无极值不满足题意；1a ≥时()f x 单调递增，无极值不满足题意；01a <<时，令()0f x '=，求出1x ，2x ，判断出()f x 的单调性，要证()()12f x f x a-<，转化为()1111112f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用导数可证后者成立.【小问1详解】当0a ≤时，()22222a ax x af x a x x x-+'=-+=，在()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，又()100=--=f a a ，所以()0f x >，不满足题意；当0a >时，()222ax x af x x -+'=，若2440a ∆=-≤，即1a ≥时，()0f x '≥，()f x 在()0,1x ∈上单调递增，又()100=--=f a a ，所以()0f x <，满足题意；若2440a ∆=->，即01a <<时，令()0f x '=，可得11101<=<x a ，2111+=>x a，当10,⎛⎫⎪ ⎪∈⎝⎭x a 时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当11,1⎛⎫⎪ ⎪∈⎝⎭x a 时，()0f x '<，()f x 单调递减，而()100=--=f a a，所以10极大值⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭f a ，不满足()f x 在()0,1x ∈上()0f x <.综上所述，1a ≥；【小问2详解】当0a ≤时，由0x >得()2220-+'=<ax x af x x，()f x 单调递减，无极值，不满足题意；当0a >时，()222ax x af x x-+'=，若2440a ∆=-≤，即1a ≥时，()0f x '≥，()f x 在()0,1x ∈上单调递增，无极值，不满足题意；若2440a ∆=->，即01a <<时，令()0f x '=，可得111a x a -=，211a x a+=，此时21x x >，当10,⎛⎫⎪ ⎪∈⎝⎭x a 时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当11,⎛⎪+∈⎭⎝x a a 时，()0f x '<，()f x 单调递减，当11,∈+⎪⎛⎫⎪⎝∞ ⎭x a 时，()0f x '<，()f x 单调递增，所以()1f x 为极大值，()2f x 为极小值，且122x x a+=，121=x x ，()()12f x f x >，要证()()12f x f x a-<，即证()()()12212-<===-f x f x x x ，即()()()12212-<-f x f x x x ，即证：()1111112f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-<-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即证：()()()11201s x f x f x x x x ⎛⎫⎛⎫=---<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则()()()2222242242222a x x a a s x a x x x+-+++'=-++=，因为()221642216320a a a ∆=-+=--<，故()s x 在()0,1上为减函数，故()()10s x s <=，故()112,01f x f x x x x ⎛⎫⎛⎫-<-<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，故()()12f x f x a-<.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是令()1201x t t x =<<11ln -+<t 成立，构造函数())ln 01g t t t-+=<<，利用导数判断出()g t 在()0,1t ∈上的单调性，考查了学生思维能力、运算能力.。

福建省福州第一中学2020届高三理综下学期开学质检试题（完卷时间：150 分钟；满分：300 分）可能用到的相对原子质量：H1 C12 N14 O16 Na23 Fe56 Cl 35.5 K 39 I 127第 I 卷（选择题共 126 分）一、选择题（本题共 13 小题，每题 6 分，共 78 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.某研究小组在 25 ℃、黑暗、无菌、湿润的条件下进行实验，测定大豆种子萌发和生长过程中糖类与蛋白质等相关物质的含量变化，结果如图所示。

下列叙述正确的是（）A．实验过程中，需将大豆种子一直浸没在水中以保持湿润B．种子萌发过程中蛋白质含量的增加可能是糖类分解后转化合成的C．可分别用斐林试剂和双缩脲试剂测定蛋白质与还原糖含量D．在此条件下继续培养，幼苗中蛋白质和糖类等有机物总量将增加2.获 2013 年诺贝尔奖的科学家发现了与囊泡运输相关的基因及其表达蛋白的功能，揭示了信号如何引导囊泡精确释放运输物。

突触小泡属于囊泡，以下相关叙述，错．误．的是（）A．神经元中的线粒体为突触小泡的运输提供了能量B．突触小泡内容物释放后，引起 Na +和 Cl-同时内流C．突触前膜的特定蛋白决定了神经递质的释放位置D．突触小泡中运输物的释放受到神经冲动的影响3.某哺乳动物体细胞在培养中能够分裂，在培养过程中将适量的3H-TdR（3H 标记的胸腺嘧啶脱氧核苷）和某促进细胞分裂的药物加入到培养液中，培养一段时间，可观察和测量到的变化是（）A.G 期变短，该期有大量3H-TdR 进入细胞核B.S 期变长，该期进行 DNA 复制和转录将消耗大量3H-TdRC.G2 期变短，该期细胞中有蛋白质合成D.M 期相对较短，该期细胞的核膜始终完整4.关于“噬菌体侵染细菌的实验”的叙述，正确的是（）A．分别用含有放射性同位素35S 和放射性同位素32P 的培养基培养噬菌体B．分别用35S 和32P 标记的噬菌体侵染未被标记的大肠杆菌，需长时间的保温培养C．用35S 标记噬菌体的侵染实验中，沉淀物存在少量放射性可能是搅拌不充分所致D．实验中采用搅拌和离心等手段是为了把 DNA 和蛋白质分开再分别检测其放射性5.下列关于植物激素的叙述中，不正确的是（）A．色氨酸可经一系列反应转变为 IAAB．赤霉菌可以合成赤霉素，使水稻患恶苗病，赤霉菌合成的赤霉素不是植物激素C．细胞分裂素的作用主要是促进细胞伸长，喷施赤霉素溶液也能促进水稻生长D．采用流水浸泡种子降低脱落酸的含量，有利于种子萌发6.某池塘中，某种成年鱼生活在底层，取食多种底栖动物，而该种鱼的幼体生活在水体上层，滤食浮游动物和浮游藻类。