四川省成都市石室中学高中数学1.1.2余弦定理1教案新人教A版必修5

第一章解三角形1.1.1 正弦定理（第一课时）【教学目标】：1.了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定及其变形2．能初步用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状.(第一种类型)【新课导入】工程师为了测定河岸A点到对岸C点的距离，在岸边选定100米长的基线AB，并测得∠B=120o，∠A=45o，你可以求出A、C两点的距离吗？【预习收获】1．正弦定理定理：在一个三角形中，各边和它所对角的_____的比相等，即在△ABC中，asin A＝bsin B＝______.2．解三角形一般地，把三角形的三个角和它们的______叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求__________的过程叫做解三角形．【问题解决】对定理的证明，课本给出了锐角三角形的情况．对于钝角三角形，应如何证明？（引导学生证明钝角三角形的情况，并总结归纳正弦定理的适应范围）【几何意义】在Rt△ABC中，若C＝90°，你能借助所学知识导出asin A的具体值吗？在锐角三角形中这个结论成立吗？钝角三角形中呢？【探究结论】设任意△ABC的外接圆的半径为R，都有asin A＝bsin B＝csin C＝2R.【定理变形】1．正弦定理(1)定理：在一个三角形中，各边和它所对角的_____的比相等，即在△ABC中，asin A＝bsin B＝______.(2)变形：设△ABC的外接圆的半径为R，则有asin A＝bsin B＝csin C＝_____.①a:b:c＝sin A:_____:sin C .②ab＝sin Asin B，ac＝sin Asin C，bc＝______.③asin A＝bsin B＝csin C＝a＋b＋csin A＋sin B＋sin C.④a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝________.【例题讲解】类型一已知两角及一边解三角形[例1]在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c.【探究拓展】[例2]在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A:B:C ＝1:2:3，则a:b:c＝________.【智能训练】今天的概念你清楚了吗？1．有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值；④在△ABC中，sin A:sin B:sin C＝a:b:c.其中正确的个数是()A．1B．2 C．3 D．4结合初中的概念，你的基础牢固吗？2．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形三角形中最重要的定理是什么？3．在△ABC中，sin2A＋sin2B＝sin2C，则C＝________. 今天的知识你可以参加高考了吗？4．(2012·广东卷)在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC＝()A．4 3 B．2 3C. 3D.3 2你知道如何判断最小边吗？5．在△ABC中，A＝60°，B＝45°，c＝1，求此三角形的最小边．【探究发现】可以实际应用了吗？解决开头提出的问题：工程师为了测定河岸A点到对岸C点的距离，在岸边选定100米长的基线AB，并测得∠B=120o，∠A=45o，你可以求出A、C 两点的距离吗？【课后作业】1.课本P4.1、（1）（2）2.课本P10 1、（1）（2）3．配套课时作业1.1.1正选定理（一）。

《1.1.2余弦定理》教学设计永安一中江冰一．教学内容分析本节课是一节公式定理课，内容是高中数学人教A版必修5第一章解三角形的第二节课，主要的教学内容有余弦定理的公式，余弦定理公式的简单应用。

本节课是在学习了正弦定理知识之后，也就要求学生类比正弦定理的学习，学会公式的优化选择。

二．目标与目标分析数学的公式定理课-------我们在平时教学中很容易把大量的花在公式定理的应用上，而忽略了让同学们参与公式的推导建构过程。

这样的过程同学们在短时间上通过大量的训练会知道怎么用公式，却总是会迷茫为什么要这么用，为什么会选择这个公式，例如我就发现同学们上高中后依旧很多同学不喜欢用求根公式，而是依旧用配方法，我想这也是在公式建构过程中，同学们没有参与推导的过程，就不知道如何解决公式的优化选择。

导致学生还是无法接受新的知识。

华罗庚说过，新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要。

而我们要回到原点看问题，才是学生能够更好的应用数学知识的基石。

才能够用数学的思维去思考和解决问题。

三．学生学习情况分析我们面对的是高一的学生，学生在学习数学的能力还处在比较稚嫩的阶段。

不过他们刚学习完正弦定理的知识，知道正弦定理公式的推导是从直角三角形这个特殊三角形到一般三角形的推导，知道正弦定理是应用时解三角形的边角关系，学生可以通过类比的方法来学习余弦定理。

四．设计思想本节课是一节公式定理课，我设计的主线是：从生活实际出发，解决学这节课干嘛用，是为了解决生活问题的。

通过特殊到一般的思想，把特殊问题一般化，让同学们寻找解决的途径，通过对比，寻找最优化方法，最终由同学们自己推导出公式，并自己观察寻找公式的简单应用。

五．教学目标知识与技能：：能推导余弦定理及其推论，能运用余弦定理解已知“边，角，边”和“边，边，边”两类三角形。

过程与方法：培养学生知识的迁移能力；归纳总结的能力；运用所学知识解决实际问题的能力。

情感态度价值观：从实际问题出发运用数学知识解决问题这个过程体验数学在实际生活中的运用，让学生感受数学的美，激发学生学习数学的兴趣。

1.1.2余弦定理教学目标1．掌握余弦定理，熟记定理的结论，会利用向量的数量积证明余弦定理．2．理解余弦定理与勾股定理的关系．教学重点和难点重点：利用向量的数量积证明余弦定理；理解掌握余弦定理的内容；初步对余弦定理进行应用．难点：利用向量的数量积证余弦定理的思路，及对余弦定理的熟练记忆．教学过程设计(一)师生共同复习正弦定理．正弦定理准确地反映了三角形中边与角之间的关系，即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦成正比．请同学们回忆一下正弦定理的证明过程．(二)教师讲述新课．前面我们学习正弦定理时同学们已知道(1)如果已知三角形的两个角和任一边，我们用正弦定理可求出其它两边和一角．(2)如果已知三角形的两边和其中一边的对角，我们用正弦定理可求出另一边的对角，再进一步求出其他的边和角．现在我们来研究，如果已知三角形的一个角和夹此角的两边，能否求出此角的对边呢？如图，在△ABC中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b．∴b2＝a2＋c2＋2accos(180°－B)，b2＝a2＋c2－2accosB．这个式子就表达了第三边b与另两边a和c及他们夹角之间的关系．b2＝a2＋c2－2accosB，同理可证出，a2＝b2＋c2－2bccosA，c2＝a2＋b2－2abcosC．我们得到余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．教师引导学生观察余弦定理公式的特征和规律帮助记忆公式，同时要求学生用语言叙述余弦定理，促进对公式的记忆．教师引导学生注意以下问题．(1)如三角形中有一个角是直角，三角形是直角三角形．如∠C＝90°，则cosC＝0．这时余弦定理为，c2＝a2＋b2－2abcos90°＝a2＋b2．这就是勾股定理．因之，勾股定理是余弦定理的特例，而余弦定理是勾股定理的推广．(2)我们用余弦定理求角时，有时为了方便，余弦定理变形为如下形状．(师生共同完成以下例题)解：这个问题是已知三角形的两边a、c，及其夹角B，直接用余弦定理，求第三边，即∠B的对边．由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accosB．∴b＝7．解：已知三角形的三边，可用余弦定理确定角．∴A＝45°．例3．如图，在△ABC中，应用勾股定理证明余弦定理．解：设AB＝c，AC＝b，BC＝a，过顶点C作AB边上的高CD．则CD＝bsinA，AD＝bcosA，DB＝C－bcosA，在Rt△CDB中，BC2＝CD2＋DB2．a2＝b2sin2A＋(c－bcosA)2＝b2sin2A＋c2－2bccosA＋b2cos2A＝b2(sin2A＋cos2A)－2bccosA＋c2＝b2＋c2－2bccosA∴a2＝b2＋c2－2bccosA．(三)学生练习．1．课本练习3(1)，a＝7.2．课本练习3(2)，B＝90°．(四)教师小结．总结余弦定理的内容，余弦定理公式记忆的特征．余弦定理公式的两种形式．(1)求边形式：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．。

1.2余弦定理第1课时余弦定理(1)(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题；(2)能够运用余弦定理理解解决一些与测量和几何计算有关的实际问题；(3)通过三角函数、余弦定理、向量数量积等知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一．2.过程与方法利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．3．情感、态度与价值观(1)培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；(2)通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系来理解事物之间的普遍联系与辩证统一．●重点、难点重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用．难点：向量方法证明余弦定理．为了突出重点、分解难点，可引导学生把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角．再由边长的几种求法引出向量(向量的模就是线段的长度)．(教师用书独具)●教学建议1．本节课教学时应始终注意培养学生的问题意识．课题引入中提出在三角形中已知两边及夹角时，如何解三角形．随着问题的解决而引出本节研究的余弦定理，然后再通过向量知识给予证明，引起学生对应用向量知识解决问题的兴趣，同时感受向量法证明余弦定理的简便之处．2．在运用向量的方法证明余弦定理的同时，还应注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系．●教学流程错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!(对应学生用书第6页)课标解读1.了解向量法证明余弦定理的过程．(难点)2．掌握余弦定理，会用余弦定理解决一些简单的三角形问题．(重点)余弦定理△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，C ＝60°. 1．能否直接利用正弦定理求AB? 【提示】 不能．2．能否利用平面向量求边AB ？怎么求？ 【提示】 能． 因AB →＝AC →＋CB →，∴|AB →|2＝|AC →|2＋|CB →|2＋2AC →·CB → ＝|AC →|2＋|CB →|2－2|AC →||CB →|cos ∠ACB ＝4＋9－2×2×3 cos 60°＝7. ∴|AB →|＝7.3．根据问题2的推导方法，能不能用b ，c ，A 表示a? 【提示】 能． 1．余弦定理(1)三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .(2)余弦定理也可以写成如下形式：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.2．余弦定理的应用利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题： (1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边，进而求出其他两角.(对应学生用书第7页)已知三角形三边，解三角形已知△ABC 的三边长为a ＝3，b ＝4，c ＝37，求△ABC 的最大内角．【思路探究】 判断最大内角→利用余弦定理求余弦→由余弦求角 【自主解答】 ∵c ＞a ，c ＞b ，∴角C 最大．∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32＋42－3722×3×4＝－12，∴C ＝120°，∴△ABC 的最大内角为120°.1．已知三角形三边求三内角，应用的是余弦定理的变形形式，本例中“求最大内角”，应依据“大角对大边”确定．2．应用余弦定理求三角形内角时，与利用正弦定理有所不同，由于y ＝cos x 在(0，π)内单调，因此角由余弦值惟一确定，不需要分类讨论．△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则这个三角形的最大内角为________． 【解析】 ∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，∴a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，∴角C 为最大内角，且cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32＋52－722×3×5＝－12，∴C ＝120°. 【答案】 120°已知两边及其夹角，解三角形在△ABC 中，a ＝2，b ＝22，C ＝15°，解此三角形．【思路探究】 15°＝45°－30°→求cos 15°，sin 15°→余弦定理求c →正弦定理求A →求角B【自主解答】 cos 15°＝cos(45°－30°)＝6＋24，sin 15°＝6－24. 由余弦定理知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－22(6＋2)＝8－43， ∴c ＝8－43＝6－ 2. 由正弦定理得sin A ＝a sin C c ＝12， ∴A ＝30°或A ＝150°. ∵b ＞a ，∴B ＞A .∴A ＝30°，B ＝180°－(A ＋C )＝135°.1．本例解法不只一个，求出边长c 后，也可利用余弦定理求角A ，避免角的取舍． 2．已知两边及其夹角，三角形惟一确定，不存在解的个数的讨论． 在△ABC 中，已知a ＝23，c ＝6＋2，B ＝45°，求b 及A .【解】 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(23)2＋(6＋2)2－2×(6＋2)×23×cos 45°＝8， ∴b ＝2 2.下面用两种方法求A . 法一 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝222＋6＋22－2322×22×6＋2＝12，∴A ＝60°. 法二 由正弦定理，得sin A ＝a b sin B ＝2322sin 45°＝32，∵(6＋2)2＝8＋43，(23)2＝12，∴6＋2＞23，∴c ＞a ，∴0＜A ＜90°，∴A ＝60°.余弦定理的变形及应用在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，角B ，角C 所对的边，已知b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc ，求角A 的大小及b sin Bc. 【思路探究】 对已知条件进行转化，对cos A 的表达式进行整体代换，求角A . 【自主解答】 由b 2＝ac 及a 2－c 2＝ac －bc 得b 2＋c 2－a 2＝bc .在△ABC 中，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0°＜A ＜180°，∴A ＝60°. 在△ABC 中，由正弦定理得sin B ＝b sin Aa， 又∵b 2＝ac ，A ＝60°，∴b sin B c ＝b 2sin A ac ＝sin 60°＝32.1．当已知条件中出现关于边的二次式时，经常对已知条件转化变形，以便于利用余弦定理求解三角形．2．利用已知等式时，应注意对原式变换，整体代换，简化运算．(2013·成都高二检测)在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是________．【解析】 由已知及正弦定理有a 2≤b 2＋c 2－bc . 由余弦定理可知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以b 2＋c 2－2bc cos A ≤b 2＋c 2－bc ，即cos A ≥12.又0＜A ＜π，所以角A 的取值范围为(0，π3]．【答案】 (0，π3](对应学生用书第8页) 忽略构成三角形的条件而致误在△ABC 中，三边的长为连续的自然数，且最大角为钝角，求这个三角形的三边的长．【错解】 设a ＝k ，b ＝k ＋1，c ＝k ＋2(其中k ∈N *)，由题意知cos C ＜0. 由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＜0， 即k 2＋(k ＋1)2－(k ＋2)2＜0. ∴k 2－2k －3＜0，解得－1＜k ＜3. 又∵k ∈N *，∴k ＝1或k ＝2. 当k ＝1时，三边长分别为1,2,3； 当k ＝2时，三边长分别为2,3,4.∴这个三角形的三边的长分别为1, 2,3或2,3,4.【错因分析】 由于三边的长为连续的自然数，所以三边长分别用k ，k ＋1，k ＋2(k ∈N *)来表示，但解题时忽略了k ，k ＋1，k ＋2能否构成三角形，只考虑到大边对大角，用余弦定理求解，从而产生错误．【防范措施】 在三角形中隐含条件较多，可能会因为不用心而导致错误，在利用余弦定理求三角形的三边时，先要判断一下三边能否构成三角形．【正解】 设a ＝k ，b ＝k ＋1，c ＝k ＋2(k ∈N *)． 由a ＋b ＞c ，知k ＋(k ＋1)＞k ＋2， 即k ＋1＞2，得k ＞1，①由cos C ＜0，得a 2＋b 2－c 2＜0，即k 2－2k －3＜0. 解得－1＜k ＜3，②由①②知1＜k ＜3，又k ∈N *， ∴k ＝2，∴a ＝2，b ＝3，c ＝4， ∴这个三角形的三边的长分别为2,3,4.1．基础知识： (1)余弦定理；(2)利用余弦定理解三角形． 2．基本技能： (1)已知三边解三角形；(2)已知两边及其夹角，解三角形； (3)余弦定理的变形及应用． 3．思想方法： (1)转化与化归思想； (2)三角代换；(3)边角互化.(对应学生用书第8页)1．在△ABC 中，若a ＝c ＝2，B ＝120°，则边b ＝________. 【解析】 b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋22－2×2×2cos 120°＝2 3. 【答案】 2 32．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知a 2＝b 2－bc ＋c 2，则A ＝________. 【解析】 ∵a 2＝b 2－bc ＋c 2，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴A ＝60°. 【答案】 60°3．三角形的三边分别为4,6,8，则此三角形为________． 【解析】 设边长为8的边所对角为θ，则cos θ＝42＋62－822×4×6＜0，∴θ为钝角，∴此三角形为钝角三角形．【答案】 钝角三角形4．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，求a .【解】 ∵a 2＋c 2－b 2＝2ac ·cos B ，∴a 2＋2－6＝22a ·(－12)，∴a 2＋2a －4＝0，∵Δ＝2＋16＝18＞0，∴a ＝－2±182，∵a ＞0，∴a ＝ 2.(对应学生用书第81页)一、填空题1．在△ABC 中，已知b ＝43，c ＝23，角A ＝120°，则a ＝________. 【解析】 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝84，∴a ＝221. 【答案】 2212．(2013·如皋检测)在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝3∶1∶2，则B 为________．【解析】 cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝22＋32－122×2×3＝32，∴B ＝30° 【答案】 30°3．在△ABC 中，三边长AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →＝________.【解析】 cos B ＝72＋52－622×7×5＝1935，∴AB →·BC →＝7×5×cos(π－B )＝7×5×(－1935)＝－19.【答案】 －194．(2013·烟台高二检测)如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为________．【解析】 设底边长为1，则每腰长为2，由余弦定理得 cos θ＝4＋4－18＝78.【答案】 785．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C 的值为________．【解析】 由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A . 即72＝52＋AC 2－10AC ·cos 120°， ∴AC ＝3.由正弦定理得sin B sin C ＝AC AB ＝35.【答案】 356．(2013·郑州高二检测)在△ABC 中，B ＝120°.AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________．【解析】 由余弦定理知AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 120°，即49＝25＋BC 2＋5BC ，∴BC ＝3或BC ＝－8(舍去)，故S △ABC ＝12AB ·BC sin 120°＝1534. 【答案】1534 7．(2012·湖北高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.【解析】 ∵(a ＋b )2－c 2＝ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴c ＝120°. 【答案】 120°8．(2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.【解析】 由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴b 2＝22＋c 2－2ac ×(－14)，∴b 2＝4＋(7－b )2＋(7－b )，∴b ＝4. 【答案】 4 二、解答题9．已知△ABC 中，边AB ＝3，AC ＝5且A ＝60°，求sin B 的值． 【解】 ∵BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60° ＝32＋52－2×3×5×12＝19，∴BC ＝19.∵AC sin B ＝BC sin A ，∴sin B ＝53857.10．在△ABC 中，若c ＝4，b ＝7，BC 边上的中线AD 的长为72，求边长a .【解】 设BC ＝a ＝2x (x ＞0)，则由余弦定理知cos ∠ADC ＝x 2＋722－722x ×72，cos ∠ADB ＝x 2＋722－422x ×72.∵∠ADC ＋∠ADB ＝π，∴cos ∠ADC ＋cos ∠ADB ＝0，即x 2＋722－727x ＋x 2＋722－427x＝0.整理得(2x )2＝81即2x ＝9，故边长a 为9.11．已知a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且a 2＋c 2－b 2＝ac . (1)求角B 的大小；(2)若c ＝3a ，求tan A 的值． 【解】 (1)由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，∵0＜B ＜π，∴B ＝π3.(2)法一 将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，得b ＝7a ，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝5714，∵0＜A ＜π，∴sin A ＝1－cos 2A ＝2114， ∴tan A ＝sin A cos A ＝35.法二 将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，得b ＝7a ， 由正弦定理，得sin B ＝7sin A . ∵B ＝π3，∴sin A ＝2114.又b ＝7a >a ，∴B >A ， ∴cos A ＝1－sin 2A ＝5714，∴tan A ＝sin A cos A ＝35.(教师用书独具)已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，求角C 的取值范围．【思路探究】 不妨设边AC ＝x ，由余弦定理建立关于x 的二次方程，根据二次方程根的范围建立不等关系求cos C 的范围进而求C 的范围．【自主解答】 设AC ＝x ，∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1＋2，x ＞2－1，∴1＜x ＜3.由余弦定理得x 2＋4－4x cos C ＝1， 即x 2－4x cos C ＋3＝0.①∵方程①在(1,3)内有解，令f (x )＝x 2－4x cos C ＋3，∴f (1)·f (3)＜0 ①或⎩⎪⎨⎪⎧f 1＞0，f 3＞0，1＜4cos C2＜3，Δ≥0，②由①得48(1－cos C )2＜0，无解． 由②得cos C ≥32，又0＜C ＜π，∴0＜C ≤π6. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c .(1)求B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求a 的值． 【解】 (1)由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，∴原式化为a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b2a ＋c， 整理得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12，又0＜B ＜π，∴B ＝2π3.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝2π3代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得， 13＝a 2＋(4－a )2－2a (4－a )·cos 2π3，即a 2－4a ＋3＝0. 解得a ＝1或a ＝3. 拓展探究正弦定理、余弦定理的关系正弦定理和余弦定理从不同的角度刻画了三角形边角之间的数量关系，它们是解决斜三角形问题的两个最重要的定理．在同一个三角形中，这两个定理又是等价的命题，即由正弦定理可以推出余弦定理，由余弦定理同样也可以推出正弦定理．(1)由正弦定理推导余弦定理在△ABC 中，设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，则b 2＋c 2－2bc cos A ＝4R 2(sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A )＝4R 2[sin 2B ＋sin 2C ＋2sin B sin C cos(B ＋C )]＝4R 2[(sin 2B －sin 2B sin 2C )＋(sin 2C －sin 2B sin 2C )＋2sin B cos B sin C cos C ]＝4R 2(sin 2B cos 2C ＋cos 2B sin 2C ＋2sin B cos B sin C cos C )＝4R 2sin 2(B ＋C )＝4R 2sin 2A ＝a 2.其中R 是△ABC 外接圆的半径．同理可证得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .(2)由余弦定理推导正弦定理在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 则a sin A ＝a 1－cos 2A ＝a 1－b 2＋c 2－a 224b 2c2 ＝2abc 4b 2c 2－b 2＋c 2－a 22＝2abc a ＋b ＋c b ＋c －a a －b ＋c a ＋b －c .同理可得bsin B＝2abc b ＋c ＋a b ＋c －a a －b ＋c a ＋b －c ， c sin C ＝2abc c ＋a ＋bb ＋c －a a －b ＋c a ＋b －c ， 所以asin A ＝b sin B ＝c sin C. 综上所述，正弦定理与余弦定理是等价的命题．因此，在解三角形中，凡是能用正弦定理求解的三角形，必能用余弦定理求解，反之亦然．但是在遇到解三角形问题时，应首先分析已知条件，看该问题究竟属于哪一种类型，以决定采用哪一个定理，这样可以避免解题的盲目性，优化解题过程．所以，熟悉这两个定理所适用的解三角形的类型是很有必要的，这样就可以把解三角形问题解决得很好，在提高自身数学素养的同时更彰显特色．。

编写时间：2021年月日2021-2022学年第一学期编写人：形体系，确定边角边和边边边是两类可解的解三角形问题，使学生产生进一步探索解决问题的动机. （二） 分析问题，确定方案探究一：已知两边及其夹角解三角形问题：怎样确定解决问题的方案？设置意图：通过学生的独立思考，畅所欲言，确定思路，让更多的学生有的放矢，明确解决问题的方向.学生活动：小组合作，相互讨论，展示结果.过程说明：通过确定方案，放手让学生自己探究发现证明余弦定理.必要时加以引导如：第三边可以放在直角三角形中求解吗？涉及边长和夹角，三角形是三条线段首尾相接所组成的封闭图形，可以用向量的等式来表示吗？两点之间的距离，能用坐标法求解吗？设置意图：将原有的知识与现有的推理相联系，从多个角度联想去发现和解决问题，自主探究获得定理的证明.使其在探究中对问题本质的思考逐步深入，思维水平不断提高. （三） 发现定理，分析内涵不同方法探索并证明余弦定理之后，通过观察余弦定理结构特征，层层深入，去分析余弦定理的内涵.思考：观察C ab b a c cos 2222-+=的结构特征，谈一谈你对等式的理解.设置意图：分析等式的外延和内涵，自然的得到余弦定理及其推论. （四） 解决问题，理解定理得到了余弦定理，继续完成已知边角边求解角的过程，和已知三边解三角形的过程.探究二：已知三边解三角形设置意图：通过解三角形的过程，不但发现余弦定理，还能在求解中进一步理解和应用余弦定理. （五） 例题展示，巩固定理例：在ABC ∆中，已知,30,3,32︒===A b c 解三角形.设置意图：巩固熟悉余弦定理，从例题的思考，展示，交流，点评中使学生对正余弦定理解三角形有进一步的体验. （六） 课堂小结，提炼过程思考：余弦定理及其推论发现和证明的过程是怎样的？在这个过程中你有 什么体会？设置意图：小结环节设置了两个问题：谈过程，谈体会.目的是不但让学生经历整个探究学习过程，还能在此基础上对本节课有整体的认识，说出整个过程的环节，感受以及发现证明定理运用的方法等. （七） 布置作业，课后探究（1） 课本10P A 组3,4题（2） 拓展思考：相等和不等是一对辩证的关系，请根据角的范围讨论余弦定理中所蕴含的相等和不等关系.设置意图：作业一是巩固熟悉利用余弦定理解三角形，作业二的目的是进一步挖掘余弦定理的内涵.。

第一章 解三角形复习课（一）●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题。

过程与方法：采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架，并通过练习、训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。

教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯，让学生在具体的实践中结合图形灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，有利地进一步突破难点。

情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验 ●教学重点1. 三角形的形状的确定（大边对大角，“两边和其中一边的对角”的讨论）；2. 应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化问题（内角和的灵活运用）。

●教学难点让学生转变观念，由记忆到理解，由解题公式的使用到结合图形去解题和校验。

●教学过程 【复习导入】近年广东高考中，解三角形的题目已填空、选择为主，难度要求每年有所不同，结合大题16题出题也不鲜见；关键是借三角形对于我们结合图形分析做题，以及锻炼严谨慎密的逻辑思维大有裨益。

1． 正弦定理:R C cB b A a 2sin sin sin === （2R 可留待学生练习中补充） B ac A bcC ab S sin 21sin 21sin 21===∆.余弦定理 ：A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+=C ab b a c cos 2222-+=求角公式：bc a c b A 2cos 222-+= acb c a B 2cos 222-+= ab c b a C 2cos 222-+=点评：文字语言有助于记忆， 符号语言方便应用。

2．思考：各公式所能求解的三角形题型？正弦定理: 已知两角和一边或两边和其中一边的对角球其他边角，或两边夹角求面积。

余弦定理(一)（一）教学目标1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

（二）教学重、难点重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

（三）教学设想复习旧知 运用正弦定理能解怎样的三角形？ ①已知三角形的任意两角及其一边， ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角，[创设情景] 问题1：如果已知三角形的两边及其夹角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形。

从量化的角度来看，如何从已知的两边和它们的夹角求三角形的另一边和两个角？问题2：如何从已知两边和它们的夹角求三角形的另一边？即：如图1．1-4，在∆ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b 和∠C ，求边c ？[探索研究]联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

A 如图1．1-5，设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c ()()222 2 2c c c a b a ba ab b a b a b a b =⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅C a B 从而2222cos c a b ab C =+- (图1．1-5)同理可证 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

课题：1.1.2余弦定理
高二数学教·学案
【学习目标】
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题
【学习重点】余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
【学习难点】勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

【授课类型】新授课
【教具】课件、电子白板
高二数学教·学案
课后反思：。

§1.1正弦定理和余弦定理(3)教学目标：1、知识与技能：进一步熟悉正、余弦定理内容，能够熟练应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化，进而判断三角形的形状或求值。

2、过程与方法：让学生从正、余弦定理的变形出发,得到边角互化的关系式,引导学生利用这个关系实现三角关系中的边或角的统一,再利用已学的三角变换或代数变换解决问题。

3、情感与价值:通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系,反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系.教学重点：利用正、余弦定理进行边角互化教学难点:边角互化时边化角及角化边的合理运用课时安排：1课时教学方法:启发引导式引导学生总结在解决三角问题时，如何合理运用正、余弦定理进行边角互化教学过程：一、复习引入:1、正弦定理：R A a 2sin ===（其中R 为ABC ∆外接圆半径） 正弦定理应用范围：(1)已知两角和任一边,求其他两边及一角;（2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角．变形: （1）⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2； （2）。

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===R c C R b B R a A 2sin 2sin 2sin 思考:变形(1）和（2）有什么作用？2、余弦定理：=2a ； =A cos ；=2b ； 变形： =B cos ;=2c 。

=C cos 。

余弦定理应用范围：（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边．【设计意图：通过复习旧知，导入变形，引导学生认知通过变形式实现边角的互化】二、典例剖析例1、在ABC ∆中,B a A b cos cos =，试判断ABC ∆的形状.【设计意图:本题属于容易题，主要通过本题让学生认知判断三角形的形状就是判断角之间的关系或边之间的关系，利用正、余弦的变形恰好达到角或边的一个统一】【练习巩固】1、在ABC ∆中，B b A a cos cos =,试判断ABC ∆的形状。

余弦定理教学分析 一、教学导图二、教学目标1．通过实践与探究，会利用数量积证明余弦定理，提高数学语言的表达能力，体会向量工具在解决三角形的度量问题时的作用。

2．会从方程的角度理解余弦定理的作用及适用范围，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

3．会结合三角函数利用计算器处理解斜三角形的近似计算问题。

4．在方程思想指导下，提升处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

三、教学重难点教学重点：余弦定理的发现、证明过程及其基本应用。

教学难点：理解余弦定理的作用及适用范围。

突破关键：将余弦定理的三个公式视为三个方程组成的方程组。

教学设计一、温故引新 特例激疑1，正弦定理是三角形的边与角的等量关系。

正弦定理的内容是什么？你能用文字语言、数学语言叙述吗？你能用哪些方法证明呢？正弦定理：在一个三角形中各边和它的对边的正弦比相等，即：2sin sin sin a b c R A B C===，其中2R 为三角形外接圆的直径。

说明：正弦定理说明同一个三角形中，边与它所对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数2R ，使2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===。

2，运用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢？ 由,sin sin sin sin a b b cA B B C==，可以解决“已知两角及其一边可以求其他边。

”“已知两边及其一边的对角可以求其他角。

”等解三角形问题。

3，思考：如图，在ABC ∆中，已知,,ABC c AC b BAC A ∆==∠=，求a 即BC 。

本题是“已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。

”的解三角形的问题。

本题能否用正弦定理求解？困难：因为角B C 、未知, 较难求a 。

二、类比探究 理性演绎 （一）类比探究当一个三角形的两边和它们的夹角确定后，那么第三边也是确定不变的值，也就是说角A 的对边随着角A 的变化而变化。