广州市数学高二上学期理数期末考试试卷D卷

图1俯视图侧视图正视图试卷类型：A2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2019.4本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为A ．2-B ．2C ．2-iD ．2i2．若函数()y f x =是函数3xy =的反函数，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为 A ．2log 3- B ．3log 2- C ．19D3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x >C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 将函数()2cos2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6π个单位长度后得到函数 ()y g x =，则函数()y g x =A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3， 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是A ．16 B ．13 C ．12D ．38 6．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为A ．16B ．13CD7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A ．6π4+B ．12π4+DCBAC ．6π12+D ．12π12+ 8．将正偶数2,4,6,8,L 按表1的方式进行 排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253表二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式2210x x --<的解集为 .10．已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AE AF ⋅u u u r u u u r的值为 .12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦，当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t =-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点， 且1AB AD ==，3BD =. (1) 求cos A 的值； （2）求sin C 的值.图2FE D CBA a 图3重量/克0.0320.02452515O 17．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样 本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45， 由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n =L ，则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++L . （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.18．（本小题满分14分）如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ；（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.图419．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E . (1) 求曲线E 的方程;(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两 点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由. 21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=. （1）求,a b 的值；（2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+L .2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10．8 11．2a 12．4 13．222n n -+141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） （1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，BD =， ∴222cos 2AB AD BD A AB AD +-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯. ……………4分 （2）解：由（1）知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sin 3A==. ……………6分∵D 是边AC的中点，∴22AC AD ==.在△ABC 中，222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，………8分 解得BC =……………10分由正弦定理得，sin sin BC ABA C=， ……………11分 ∴1sin sin 33AB A C BC ⋅===. ……………12分 17．（本小题满分12分）(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分 解得0.03x =. ……………2分 （2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分 由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分M O H F E D CB A （3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭:. ……………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分 ∴ξ的分布列为：……………11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 （或者13355E ξ=⨯=）18．（本小题满分14分）（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD I 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB ，即EF ∥MB . ……………1分 ∵EF =MB 1=∴四边形EMBF 是平行四边形. ……………2分 ∴EM ∥FB ，EM FB =.在Rt△BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB = ∴EM =……………3分在△AME 中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==，∴AM EM ⊥. ……………4分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………5分 ∵FB BC B =I ，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………6分 （2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点， 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==. 由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH == .……………7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ，∴FH AB ⊥. ……………8分 ∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂I 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD . ……………9分 ∴EO ⊥平面ABCD . ∵AO ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥AO . ……………10分∵AO BD ⊥，,EO BD O EO =⊂I 平面EBD ，BD ⊂平面EBD ， ∴AO ⊥平面EBD . ……………11分 ∴AEO ∠是直线AE 与平面BDE 所成的角. ……………12分在Rt △AOE中，tan AOAEO EO∠==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE. ……………14分 证法2：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形. ∴EO ∥FH ，且1EO FH == 由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥.∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂I 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴FH ⊥平面ABCD .∴EO ⊥平面ABCD . ……………8分 以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -.∴()1,1,1AE =-u u u r ，()2,2,0BD =--u u u r ，()1,1,1BE =--u u u r. ……………9分设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅=u u u r ，n 0BE ⋅=u u u r， 得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-.令1x =，则平面BDE 的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分设直线AE 与平面BDE 所成角为θ，则sin θ=cos ,u u u r n AE ⋅=u u u ru u u r n AEnAE 3=. ……………11分∴cos θ==，sin tan cos θθ==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE . ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分 两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分 即()112n n n na n a a n +--=+，得12n n a a +-=. ……………5分 当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=. ……………6分 ∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列.∴()2122n a n n =-=-. ……………7分 解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分 整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分 两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列.∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分 又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分 （2）解法1：∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++L ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅L ，①()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅L ，② ……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅L 14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.……………13分∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 解法2：∵22log log n n a n b +=，∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++L ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅L .由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-L ， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx -++++=L ()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分 令4x =，得()()0122114243414431419n n nn n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦L . ……………13分 ∴ ()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………1分 ∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分 解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意, 得1MF y =+,1y =+, ……………1分化简得24x y =.∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分(2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,2422k x k ±==±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分直线AB 的斜率2111111124224ABx y x k x x --+===--，故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………4分 令1y =-，得1822x x =-+， ∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………6分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---=⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………7分∴2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x kkk+-+-==. ……………8分设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………9分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. ……………10分展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………11分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分 由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………5分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-，则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………6分∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………7分 又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………8分 设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=u u r u u r， ……………9分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分 整理得，()224410x x y k+-++=. ……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 21．（本小题满分14分）（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()af x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……………1分∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-. ……………3分（2）解法1：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<，等价于2ln 2x k x x <-. ……………4分令()2ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分 令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=.当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=.……………6分 从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增，故()()112g x g >=. ……………7分 因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ……………8分 ∴所求k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分解法2：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<恒成立. ……………4分令()ln 2x kg x x x=-+，则()222112222k x x k g x x x x -+'=--=-.方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-. （ⅰ）当0∆<，即12k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<， 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减. 由于()()110,2ln 21022k g k g =-+>=-+>， 则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x k x x -+>，与题设矛盾. …………5分 （ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222121022x x x g x x x --+'=-=-<. 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分(ⅲ) 当0∆>，即12k <时，方程（﹡）的两根为1211,11x x ==>， 则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<. 故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减，从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x k g x x x =-+. ………7分 而()2222ln 2x k g x x x =-+2221ln 22x x x <-+， 由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022x x x-+<， 得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <. 故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分 综上所述，k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分 （3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x-+<，可化为21ln 2x x x -<， …10分 又ln 0x x >，从而，21211ln 111x x x x x >=---+. ……………11分 把2,3,4,,x n =L 分别代入上面不等式，并相加得，11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ……………12分 111121n n =+--+ ……………13分 223222n n n n --=+. ……………14分。

考试时间：120分钟满分：100分一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，属于无理数的是（）A. √4B. √9C. √16D. √252. 若函数f(x) = 2x + 1，则f(3)的值为（）A. 7B. 8C. 9D. 103. 下列图形中，属于等边三角形的是（）A. 图形1B. 图形2C. 图形3D. 图形44. 已知等差数列{an}的前三项分别为1，3，5，则该数列的公差为（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 若直线y = kx + b与圆x² + y² = 1相切，则k和b的关系为（）A. k² + b² = 1B. k² - b² = 1C. k² + b² = 0D. k² - b² = 06. 下列各函数中，为奇函数的是（）A. y = x²B. y = x³C. y = x⁴D. y = x⁵7. 若复数z满足|z - 2i| = 3，则复数z在复平面上的轨迹是（）A. 一条射线B. 一个圆C. 一条直线D. 一条抛物线8. 下列各数中，属于正数的是（）A. -3B. 0C. 1D. -19. 若a，b，c是等差数列，且a + b + c = 12，a² + b² + c² = 42，则ab + bc + ca的值为（）A. 18B. 24C. 30D. 3610. 若sinα = 1/2，cosα = √3/2，则tanα的值为（）A. 1B. √3C. -1D. -√3二、填空题（每题5分，共50分）1. 函数f(x) = x² - 4x + 3的图像与x轴的交点坐标为__________。

2. 若等比数列{an}的首项为a₁，公比为q，则a₃ = _________。

3. 圆的标准方程为(x - 2)² + (y + 3)² = 16，圆心坐标为__________。

2024年广州市初中学业水平考试数学试卷共8页，25小题，满分120分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的圆珠笔或钢笔填写自己的考生号、姓名；将自己的条形码粘贴在答题卡的“条形码粘贴处”．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试卷上．3．非选择题答案必须用黑色字迹的圆珠笔或钢笔写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，涉及作图的题目，用2B 铅笔画图；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔（作图除外）、涂改液和修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.四个数10-，1-，0，10中，最小的数是（）A.10- B.1- C.0 D.10【答案】A【解析】【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题关键是掌握有理数大小比较法则：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．【详解】解：101010-<-<< ，∴最小的数是10-，故选：A ．2.下列图案中，点O 为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点O 对称的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了图形关于某点对称，掌握中心对称图形的性质是解题关键．根据对应点连线是否过点O 判断即可．【详解】解：由图形可知，阴影部分的两个三角形关于点O对称的是C，故选：C．3.若0a≠，则下列运算正确的是（）A.235a a a+= B.325a a a⋅=C.235a a a⋅= D.321a a÷=【答案】B【解析】【分析】本题考查了分式的乘法，同底数幂乘法与除法，掌握相关运算法则是解题关键．通分后变为同分母分数相加，可判断A选项；根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可判断B选项；根据分式乘法法则计算，可判断C选项；根据同底数幂除法，底数不变，指数相减，可判断D选项．【详解】解：A、32523666a a a a a+=+=，原计算错误，不符合题意；B、325a a a⋅=，原计算正确，符合题意；C、2236a a a⋅=，原计算错误，不符合题意；D、32a a a÷=，原计算错误，不符合题意；故选：B．4.若a b<，则（）A.33a b+>+ B.22a b->- C.a b-<- D.22a b<【答案】D【解析】【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．根据不等式的基本性质逐项判断即可得．【详解】解：A ．∵a b <，∴33a b +<+，则此项错误，不符题意；B ．∵a b <，∴22a b -<-，则此项错误，不符题意；C ．∵a b <，∴a b ->-，则此项错误，不符合题意；D ．∵a b <，∴22a b <，则此项正确，符合题意；故选：D ．5.为了解公园用地面积x （单位：公顷）的基本情况，某地随机调查了本地50个公园的用地面积，按照04x <≤，48x <≤，812x <≤，1216x <≤，1620x <≤的分组绘制了如图所示的频数分布直方图，下列说法正确的是（）A.a 的值为20B.用地面积在812x <≤这一组的公园个数最多C.用地面积在48x <≤这一组的公园个数最少D.这50个公园中有一半以上的公园用地面积超过12公顷【答案】B【解析】【分析】本题考查的是从频数分布直方图获取信息，根基图形信息直接可得答案．【详解】解：由题意可得：5041612810a =----=，故A 不符合题意；用地面积在812x <≤这一组的公园个数有16个，数量最多，故B 符合题意；用地面积在04x <≤这一组的公园个数最少，故C 不符合题意；这50个公园中有20个公园用地面积超过12公顷，不到一半，故D 不符合题意；故选B6.某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车x 辆，根据题意，可列方程为（）A.1.2110035060x += B.1.2110035060x -=C.1.2(1100)35060x += D.1100350601.2x -=⨯【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出题目中的数量关系是解题关键．设该车企去年5月交付新车x 辆，根据“今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆”列出方程即可．【详解】解：设该车企去年5月交付新车x 辆，根据题意得：1.2110035060x +=，故选：A ．7.如图，在ABC 中，90A ∠=︒，6AB AC ==，D 为边BC 的中点，点E ，F 分别在边AB ，AC 上，AE CF =，则四边形AEDF 的面积为（）A.18B.C.9D.【答案】C【解析】【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是解题关键．连接AD ，根据等腰直角三角形的性质以及AE CF =得出ADE CDF V V ≌，将四边形AEDF 的面积转化为三角形ADC 的面积再进行求解．【详解】解：连接AD ，如图：∵90BAC ∠=︒，6AB AC ==，点D 是BC 中点，AE CF=∴45,BAD B C AD BD DC∠=∠=∠=︒==∴ADE CDF V V ≌，∴12AED ADF CFD ADF ADC ABC AEDF S S S S S S S =+=+==四边形△△△△△△又∵166182ABC S =⨯⨯= ∴1=92ABC AEDF S S =四边形故选：C8.函数21y ax bx c =++与2k y x =的图象如图所示，当（）时，1y ，2y 均随着x 的增大而减小．A.1x <- B.10x -<< C.02x << D.1x >【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当1x >时，1y 随着x 的增大而减小；2y 位于在一、三象限内，且2y 均随着x 的增大而减小，据此即可得到答案．【详解】解：由函数图象可知，当1x >时，1y 随着x 的增大而减小；2y 位于一、三象限内，且在每一象限内2y 均随着x 的增大而减小，∴当1x >时，1y ，2y 均随着x 的增大而减小，故选：D ．9.如图，O 中，弦AB的长为C 在O 上，OC AB ⊥，30ABC ∠=︒．O 所在的平面内有一点P ，若5OP =，则点P 与O 的位置关系是（）A.点P 在O 上B.点P 在O 内C.点P 在O 外D.无法确定【答案】C【解析】【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解题关键．由垂径定理可得AD =由圆周角定理可得60AOC ∠=︒，再结合特殊角的正弦值，求出O 的半径，即可得到答案．【详解】解：如图，令OC 与AB 的交点为D ，OC 为半径，AB 为弦，且OC AB ⊥，12AD AB ∴==，30ABC =︒∠ 260AOC ABC ∴∠=∠=︒，在ADO △中，90ADO ∠=︒，60AOD ∠=︒，AD =sin ADAOD OA ∠= ，4sin 6032ADOA ∴===︒，即O 的半径为4，54OP => ，∴点P 在O 外，故选：C．10.如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72︒的扇形，若扇形的半径l 是5，则该圆锥的体积是（）A.π8 B.π8 C. D.26π3【答案】D【解析】【分析】本题考查了弧长公式，圆锥的体积公式，勾股定理，理解圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等是解题关键，设圆锥的半径为r ，则圆锥的底面周长为2r π，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长，进而得出1r =，再利用勾股定理，求出圆锥的高，再代入体积公式求解即可．【详解】解：设圆锥的半径为r ，则圆锥的底面周长为2r π，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72︒的扇形，且扇形的半径l 是5，∴扇形的弧长为7252180ππ⨯=， 圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等，22r ππ∴=，1r ∴=，∴=，∴圆锥的体积为2113π⨯⨯=，故选：D ．第二部分非选择题（共90分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11.如图，直线l 分别与直线a ，b 相交，a b ，若171∠=︒，则2∠的度数为______．【答案】109︒【解析】【分析】本题考查的是平行线的性质，邻补角的含义，先证明1371∠=∠=︒，再利用邻补角的含义可得答案．【详解】解：如图，∵a b ，171∠=︒，∴1371∠=∠=︒，∴21803109∠=︒-∠=︒；故答案为：109︒12.如图，把1R ，2R ，3R 三个电阻串联起来，线路AB 上的电流为I ，电压为U ，则123U IR IR IR =++．当120.3R =，231.9R =，347.8R =， 2.2I =时，U 的值为______．【答案】220【解析】【分析】本题考查了代数式求值，乘法运算律，掌握相关运算法则，正确计算是解题关键．根据123U IR IR IR =++，将数值代入计算即可．【详解】解：123U IR IR IR =++ ，当120.3R =，231.9R =，347.8R =， 2.2I =时，()20.3 2.231.9 2.247.8 2.220.331.947.8 2.2220U =⨯+⨯+⨯=++⨯=，故答案为：220．13.如图，ABCD Y 中，2BC =，点E 在DA 的延长线上，3BE =，若BA 平分EBC ∠，则DE =______．【答案】5【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．由平行四边形的性质可知，2AD BC ==，BC AD ∥，进而得出BAE EBA ∠=∠，再由等角对等边的性质，得到3BE AE ==，即可求出DE 的长．【详解】解：在ABCD Y 中，2BC =，2AD BC ∴==，BC AD ∥，CBA BAE ∴∠=∠，BA 平分EBC ∠，CBA EBA ∴∠=∠，BAE EBA ∴∠=∠，3BE AE ∴==，235DE AD AE ∴=+=+=，故答案为：5．14.若2250a a --=，则2241a a -+=______．【答案】11【解析】由2250a a --=，得225a a -=，根据对求值式子进行变形，再代入可得答案．【详解】解：2250a a --= ，225a a ∴-=，()2224122125111a a a a ∴-+=-+=⨯+=，故答案为：11．15.定义新运算：()()200a b a a b a b a ⎧-≤⎪⊗=⎨-+>⎪⎩例如：224(2)40-⊗=--=，23231⊗=-+=．若314x ⊗=-，则x 的值为______．【答案】12-或74【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可．【详解】解：∵()()200a b a a b a b a ⎧-≤⎪⊗=⎨-+>⎪⎩，而314x ⊗=-，∴①当0x ≤时，则有2314x -=-，解得，12x =-；②当0x >时，314x -+=-，解得，74x =综上所述，x 的值是12-或74，故答案为：12-或74．16.如图，平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点B 在函数(0)k y x x=>的图象上，(1,0)A ，(0,2)C ．将线段AB 沿x 轴正方向平移得线段A B ''（点A 平移后的对应点为A '），A B ''交函数(0)k y x x =>的图象于点D ，过点D 作DE y ⊥轴于点E ，则下列结论：①2k =；②OBD 的面积等于四边形ABDA '的面积；③A E '；④B BD BB O ''∠=∠．其中正确的结论有______．（填写所有正确结论的序号）【答案】①②④【解析】【分析】由()1,2B ，可得122k =⨯=，故①符合题意；如图，连接OB ，OD ，BD ，OD 与AB 的交点为K ，利用k 的几何意义可得OBD 的面积等于四边形ABDA '的面积；故②符合题意；如图，连接A E '，证明四边形A DEO '为矩形，可得当OD 最小，则A E '最小，设()2,0D x x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，可得A E '的最小值为2，故③不符合题意；如图，设平移距离为n ，可得()1,2B n '+，证明B BD A OB ''' ∽，可得B BD B OA '''∠=∠，再进一步可得答案．【详解】解：∵(1,0)A ，(0,2)C ，四边形OABC 是矩形；∴()1,2B ，∴122k =⨯=，故①符合题意；如图，连接OB ，OD ，BD ，OD 与AB 的交点为K ，∵1212AOB A OD S S '==⨯= ，∴BOK AKDA S S '= 四边形，∴BOK BKD BKD AKDA S S S S '+=+ 四边形，∴OBD 的面积等于四边形ABDA '的面积；故②符合题意；如图，连接A E '，∵DE y ⊥轴，90DA O EOA ''∠=∠=︒，∴四边形A DEO '为矩形，∴A E OD '=，∴当OD 最小，则A E '最小，设()2,0D x x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴2224224OD x x x x =+≥⋅⋅=，∴2OD ≥，∴A E '的最小值为2，故③不符合题意；如图，设平移距离为n ，∴()1,2B n '+，∵反比例函数为2y x=，四边形A B CO ''为矩形，∴90BB D OA B '''∠=∠=︒，21,1D n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，∴BB n '=，1OA n '=+，22211n B D n n '=-=++，2A B ''=，∴2112n BB n B D n OA n A B ''+==='''+，∴B BD A OB ''' ∽，∴B BD B OA '''∠=∠，∵B C A O ''∥，∴CB O A OB '''∠=∠，∴B BD BB O ''∠=∠，故④符合题意；故答案为：①②④【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.解方程：1325x x=-．【答案】3x =【解析】【分析】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题关键，注意检验．依次去分母、去括号、移项、合并同类项求解，检验后即可得到答案．【详解】解：1325x x=-，去分母得：()325x x =-，去括号得：615x x =-，移项得：615x x -=-，合并同类项得：515x -=-，解得：3x =，经检验，3x =是原方程的解，∴该分式方程的解为3x =．18.如图，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，3BE =，6EC =，2CF =．求证：ABE ECF △△∽．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出90B C ∠=∠=︒，9AB CB ==，进而得出AB BE EC CF=，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明．【详解】解：3BE = ，6EC =，9BC ∴=，四边形ABCD 是正方形，9AB CB ∴==，90B C ∠=∠=︒，9362AB EC == ，32BE CF =，AB BE EC CF∴=又90B C ∠=∠=︒ ，ABE ECF ∴∽ ．19.如图，Rt ABC △中，90B Ð=°．（1）尺规作图：作AC 边上的中线BO （保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图中，将中线BO 绕点O 逆时针旋转180︒得到DO ，连接AD ，CD ．求证：四边形ABCD 是矩形．【答案】（1）作图见解析（2）证明见解析【解析】【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，矩形的判定，平行四边形的判定与性质,旋转的性质；（1）作出线段AC 的垂直平分线EF ，交AC 于点O ，连接BO ，则线段BO 即为所求；（2）先证明四边形ABCD 为平行四边形，再结合矩形的判定可得结论．【小问1详解】解：如图，线段BO 即为所求；【小问2详解】证明：如图，∵由作图可得：AO CO =，由旋转可得：BO DO =，∴四边形ABCD 为平行四边形，∵90ABC ∠=︒，∴四边形ABCD 为矩形．20.关于x 的方程2240x x m -+-=有两个不等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）化简：2113|3|21m m m m m ---÷⋅-+．【答案】（1）3m >（2）2-【解析】【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键；（1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可；（2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可．【小问1详解】解：∵关于x 的方程2240x x m -+-=有两个不等的实数根．∴()()224140m ∆=--⨯⨯->，解得：3m >；【小问2详解】解：∵3m >，∴2113|3|21m m m m m ---÷⋅-+()()1123311m m m m m m -+--=⋅⋅--+2=-；21.善于提问是应用人工智能解决问题的重要因素之一．为了解同学们的提问水平，对A ，B 两组同学进行问卷调查，并根据结果对每名同学的提问水平进行评分，得分情况如下（单位：分）：A 组75788282848687889395B 组75778083858688889296（1）求A 组同学得分的中位数和众数；（2）现从A 、B 两组得分超过90分的4名同学中随机抽取2名同学参与访谈，求这2名同学恰好来自同一组的概率．【答案】（1）A 组同学得分的中位数为85分，众数为82分；（2）13【解析】【分析】本题考查了中位数与众数，列表法或树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键．（1）根据中位数和众数的定义求解即可；（2）由题意可知，A 、B 两组得分超过90分的同学各有2名，画树状图法求出概率即可．【小问1详解】解：由题意可知，每组学生人数为10人，∴中位数为第5、6名同学得分的平均数，∴A 组同学得分的中位数为8486852+=分，82 分出现了两次，次数最多，∴众数为82分；【小问2详解】解：由题意可知，A 、B 两组得分超过90分的同学各有2名，令A 组的2名同学为1A 、2A ，B 组的2名同学为1B 、2B ，画树状图如下：由树状图可知，共有12种等可能的情况，其中这2名同学恰好来自同一组的情况有4种，∴这2名同学恰好来自同一组的概率41123=．22.2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A 点垂直下降到B 点，再垂直下降到着陆点C ，从B 点测得地面D 点的俯角为36.87︒，17AD =米，10BD =米．（1）求CD 的长；（2）若模拟装置从A 点以每秒2米的速度匀速下降到B 点，求模拟装置从A 点下降到B 点的时间．（参考数据：sin 36.870.60︒≈，cos36.870.80︒≈，tan 36.870.75︒≈）【答案】（1）CD 的长约为8米；（2）模拟装置从A 点下降到B 点的时间为4.5秒．【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰俯角问题，灵活运用锐角三角函数求边长是解题关键．（1）过点B 作BE CD ∥交AD 于点E ，根据余弦值求出CD 的长即可；（2）先由勾股定理，求出AC 的长，再利用正弦值求出BC 的长，进而得到AB 的长，然后除以速度，即可求出下降时间．【小问1详解】解：如图，过点B 作BE CD ∥交AD 于点E ，由题意可知，36.87DBE ∠=︒，36.87BDC ∴∠=︒，在BCD △中，90C ∠=︒，10BD =米，cos CD BDC BD∠= ，cos36.87100.808CD BD ∴=⋅︒≈⨯≈米，即CD 的长约为8米；【小问2详解】解：17AD =Q 米，8CD =米，15AC ∴==米，在BCD △中，90C ∠=︒，10BD =米，sin BC BDC BD∠= ，sin 36.87100.606BC BD ∴=⋅︒≈⨯≈米，1569AB AC BC ∴=-=-=米，模拟装置从A 点以每秒2米的速度匀速下降到B 点，∴模拟装置从A 点下降到B 点的时间为92 4.5÷=秒，即模拟装置从A 点下降到B 点的时间为4.5秒．23.一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高部分数据如下表：（1）在图1中描出表中数据对应的点(,)x y ；（2）根据表中数据，从(0)y ax b a =+≠和(0)k y k x=≠中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出x 的取值范围）；（3）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8cm ，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高．【答案】（1）见解析（2）75y x =-（3）175.6cm【解析】【分析】本题考查了函数的实际应用，正确理解题意，选择合适的函数模型是解题关键．（1）根据表格数据即可描点；（2）选择函数(0)y ax b a =+≠近似地反映身高和脚长的函数关系，将点()()23,156,24,163代入即可求解；（3）将25.8cm 代入75y x =-代入即可求解；【小问1详解】解：如图所示：【小问2详解】解：由图可知：y 随着x 的增大而增大，因此选择函数(0)y ax b a =+≠近似地反映身高和脚长的函数关系，将点()()23,156,24,163代入得：1562316324a b a b =+⎧⎨=+⎩，解得：75a b =⎧⎨=-⎩∴75y x =-【小问3详解】解：将25.8cm 代入75y x =-得：725.85175.6cmy =⨯-=∴估计这个人身高175.6cm24.如图，在菱形ABCD 中，120C ∠=︒．点E 在射线BC 上运动（不与点B ，点C 重合），AEB △关于AE 的轴对称图形为AEF △．（1）当30BAF ∠=︒时，试判断线段AF 和线段AD 的数量和位置关系，并说明理由；（2）若6AB =+O 为AEF △的外接圆，设O 的半径为r ．①求r 的取值范围；②连接FD ，直线FD 能否与O 相切？如果能，求BE 的长度；如果不能，请说明理由．【答案】（1）AF AD =，AF AD⊥（2）①3r ≥+；②能，12BE =【解析】【分析】（1）由菱形的性质可得120BAD C ∠=∠=︒，AB AD =，再结合轴对称的性质可得结论；（2）①如图，设AEF △的外接圆为O ，连接AC 交BD 于H ．连接OA ，OE ，OF ，OC ，证明ABC 为等边三角形，,,,A E F C 共圆，2120AOE AFE ∠=∠=︒，O 在BD 上，30AEO EAO ∠=∠=︒，过O 作OJ AE ⊥于J ，当AE BC ⊥时，AE 最小，则AO 最小，再进一步可得答案；②如图，以A 为圆心，AC 为半径画圆，可得,,,B C F D 在A 上，延长CA 与A 交于L ，连接DL ，证明18030150CFD ∠=︒-︒=︒，可得60OFC ∠=︒，OCF △为等边三角形，证明1203090BAF ∠=︒-︒=︒，可得：45BAE FAE ∠=∠=︒，BE EF =，过E 作EM AF ⊥于M ，再进一步可得答案．【小问1详解】解：AF AD =，AF AD ⊥；理由如下：∵在菱形ABCD 中，120C ∠=︒，∴120BAD C ∠=∠=︒，AB AD =，∵30BAF ∠=︒，∴1203090FAD ∠=︒-︒=︒，∴AF AD ⊥，由对折可得：AB AF =，∴AF AD =；【小问2详解】解：①如图，设AEF △的外接圆为O ，连接AC 交BD 于H ．连接OA ，OE ，OF ，OC ，∵四边形ABCD 为菱形，120BCD ∠=︒，∴AC BD ⊥，60BCA ∠=︒，BA BC =，∴ABC 为等边三角形，∴60ABC AFE ACB ∠=∠=︒=∠，∴,,,A E F C 共圆，2120AOE AFE ∠=∠=︒，O 在BD 上，∵AO OE =，∴30AEO EAO ∠=∠=︒，过O 作OJ AE ⊥于J ，∴AJ EJ =，3AO AJ =，∴33AO AE =，当AE BC ⊥时，AE 最小，则AO 最小，∵6AB =+60ABC ∠=︒，∴(3sin 60692AE AB =⋅︒=+⨯=，∴()3933AO =+=+；∴r 的取值范围为3r ≥+；②DF 能为O 的切线，理由如下：如图，以A 为圆心，AC 为半径画圆，∵AB AC AF AD ===，∴,,,B C F D 在A 上，延长CA 与A 交于L ，连接DL ，同理可得ACD 为等边三角形，∴60CAD ∠=︒，∴30CLD ∠=︒，∴18030150CFD ∠=︒-︒=︒，∵DF 为O 的切线，∴90OFD ∠=︒，∴60OFC ∠=︒，∵OC OF =，∴OCF △为等边三角形，∴60COF ∠=︒，∴1302CAF COF ∠=∠=︒，∴603030DAF ︒-︒=︒∠=，∴1203090BAF ∠=︒-︒=︒，由对折可得：45BAE FAE ∠=∠=︒，BE EF =，过E 作EM AF ⊥于M ，∴设AM EM x ==，∵60EFM ∠=︒，∴3333FM EM x ==，∴363x x +=+，解得：x =∴363FM =⨯=，∴212BE EF FM ===．【点睛】本题考查的是轴对称的性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，切线的性质，本题难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键．25.已知抛物线232:621(0)G y ax ax a a a =--++>过点()1,2A x 和点()2,2B x ，直线2:l y m x n =+过点(3,1)C ，交线段AB 于点D ，记CDA 的周长为1C ，CDB △的周长为2C ，且122C C =+．（1）求抛物线G 的对称轴；（2）求m 的值；（3）直线l 绕点C 以每秒3︒的速度顺时针旋转t 秒后(045)t ≤<得到直线l '，当l AB '∥时，直线l '交抛物线G 于E ，F 两点．①求t 的值；②设AEF △的面积为S ，若对于任意的0a >，均有S k ≥成立，求k 的最大值及此时抛物线G 的解析式．【答案】（1）对称轴为直线：3x =；（2）1m =±（3）①15t =，②k的最大值为，抛物线G 为262y x x =-+；【解析】【分析】（1）直接利用对称轴公式可得答案；（2）如图，由122C C =+，可得A 在B 的左边，2AD AC CD CD BC BD ++=+++，证明CA CB =，可得2AD BD =+，设(),2D p ，建立1212232x x p x x p +=⨯⎧⎨-=-+⎩，可得：4p =，()4,2D ，再利用待定系数法求解即可；（3）①如图，当l AB '∥时，与抛物线交于,E F ，由直线y x n =+，可得45DCF ∠=︒，可得345t =，从而可得答案；②计算()1122AEF A E S EF y y EF =⋅-= ，当1y =时，可得22620x x a a --+=，则126x x +=，2122x x a a =-+，可得12EF x x =-==，可得当1a =时，EF 的最小值为【小问1详解】解：∵抛物线232:621(0)G y ax ax a a a =--++>，∴抛物线对称轴为直线：632a x a-=-=；【小问2详解】解：∵直线2:l y m x n =+过点(3,1)C ，∴231m n +=，如图，∵直线2:l y m x n =+过点(3,1)C ，交线段AB 于点D ，记CDA 的周长为1C ，CDB △的周长为2C ，且122C C =+，∴A 在B 的左边，2AD AC CD CD BC BD ++=+++，∵C 在抛物线的对称轴上，∴CA CB =，∴2AD BD =+，设(),2D p ，∴1212232x x p x x p +=⨯⎧⎨-=-+⎩，解得：4p =，∴()4,2D ，∴223142m n m n ⎧+=⎨+=⎩，∴21m =，解得：1m =±；【小问3详解】解：①如图，当l AB '∥时，与抛物线交于,E F ，∵直线y x n =+，∴45DCF ∠=︒，∴345t =，解得：15t =，②∵()1122AEF A E S EF y y EF =⋅-= ，当1y =时，2326211ax ax a a --++=，∴22620x x a a --+=，∴126x x +=，2122x x a a =-+，∴12EF x x =-====，∵40>，∴当1a =时，EF 的最小值为，∴此时12AEF S =⨯= ∵对于任意的0a >，均有S k ≥成立，∴k 的最大值为，∴抛物线G 为262y x x =-+；【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，一次函数的性质，坐标与图形面积，一元二次方程根与系数的关系，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键．。

图12010年广州市高二数学竞赛试题2010.5.9 考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上； ⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 直线10(x ay a +-=∈R )与圆2240x y x +-=的交点个数是( )A. 0B. 1C. 2D.无数个2. 今年春，我国西南部分地区遭受了罕见的旱灾，苍天无情人有情，某中学组织学生在社区开展募捐活动，第一天只有10人捐款，人均捐款10元，之后通过积极宣传，从第二天起，每天的捐款人数是前一天的2倍，且人均捐款数比前一天多5元．则截止第5天（包括第5天）捐款总数是( ).A ．4800元B ．8000元C ．9600元D ．11200元 3. 函数()cos2sin (f x x x x =+∈R )的最大值和最小值分别为 A. 7,08 B.7,28- C. 9,08 D. 9,28- 4. 若点(),a b 是圆()2211x y ++=内的动点,则函数()2f x x ax b =++的一个零点在()1,0-内, 另一个零点在()0,1内的概率为 A.14 B.1π C.12 D.2π二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，满分36分． 5. 已知大于1的实数,x y 满足()lg 2lg lg x y x y +=+, 则lg lg x y +的最小值为 .6. 将一边长为4的正方形纸片按照图1中的虚线所示的方法剪开后拼接为一正四棱锥,则该正四棱锥的体积为 .7. 设a 、b 、c 都是单位向量，且⋅a b ＝0， 则()()+⋅+a b b c 的最大值为 .lβαBAM8. 对于两个正整数,m n ，定义某种运算“ ”如下，当,m n 都为正偶数或正奇数时， m n m n =+ ；当,m n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m n mn = ，则在此定义下，集合(){,10,M p q p q p ==∈ N *,q ∈N }*中元素的个数是 .9. 设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1113,2nn n a a a +⎛⎫== ⎪⎝⎭(n ∈N *)，则2010S =____________.10. 在Rt △ABC 中,1AB AC ==,如果椭圆经过,A B 两点,它的一个焦点为C ,另一个焦 点在AB 上,则这个椭圆的离心率为 .三、解答题：本大题共5小题，满分90分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 11．（本小题满分15分）在△ABC 中,,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边,已知3272,cos ,42===C A A BA BC .(1) 求cos B 的值； （2）求b 的值.12．（本小题满分15分）如图，已知二面角l --αβ的平面角为45︒, 在半平面α内有一个半圆O , 其直径AB在l 上, M 是这个半圆O 上任一点(除A 、B 外), 直线AM 、BM 与另一个半平面β所成的角分别为1θ、2θ. 试证明2212cos cos θθ+为定值.13. (本小题满分20分）如图, 矩形ABCD 中, 10AB =, 6BC =, 现以矩形ABCD 的AB 边为x 轴, AB 的中点为原点建立直角坐标系, P 是x 轴上方一点, 使得PC 、PD 与线段AB 分别交于点1C 、1D , 且1111,,AD DC C B 成等比数列.(1) 求动点P 的轨迹方程；(2) 求动点P 到直线:l 60x y ++=距离 的最大值及取得最大值时点P 的坐标．14．（本小题满分20分）设0>a ，函数|1ln |)(2-+=x a x x f .(1)当1=a 时，求曲线)(x f y =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)当),1[+∞∈x 时，求函数)(x f 的最小值.15．（本小题满分20分）已知定义在R 上的函数()f x 满足：5(1)2f =，且对于任意实数x y 、， 总有()()()()f x f y f x y f x y =++-成立. （1）求(0)f 的值，并证明()f x 为偶函数；（2）若数列{}n a 满足2(1)()(1,2,3,)n a f n f n n =+-= ，求数列{}n a 的通项公式； （3）若对于任意非零实数y ，总有()2f y >.设有理数12,x x 满足12||||x x <，判断1()f x 和2()f x 的大小关系，并证明你的结论.。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列各数中，属于有理数的是（）A. √2B. πC. -1/3D. e2. 函数y=2x-1在定义域内是（）A. 单调递增B. 单调递减C. 周期函数D. 偶函数3. 已知复数z=3+4i，其共轭复数是（）A. 3-4iB. -3+4iC. -3-4iD. 3+4i4. 下列各式中，能表示x2-5x+6=0的根的是（）A. x1=2，x2=3B. x1=1，x2=6C. x1=2，x2=3D. x1=1，x2=25. 在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，则∠C=（）A. 75°B. 90°C. 120°D. 135°6. 已知数列{an}是等差数列，若a1=2，d=3，则a10=（）A. 32B. 33C. 34D. 357. 函数f(x)=x^3-3x+1在区间[-2,2]上的最大值是（）A. 3B. -3C. 1D. -18. 已知等比数列{an}的公比为q，若a1=1，a2=2，则q=（）A. 2B. 1/2C. 1D. -19. 已知向量a=(1,2)，向量b=(3,4)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值是（）A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/510. 下列各式中，正确的是（）A. sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβB. cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβC. tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)D. cot(α+β)=(cotα+cotβ)/(1-cotαcotβ)二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 已知函数f(x)=x^2-4x+4，则f(2)=______。

12. 复数z=√3+i的模是______。

13. 已知数列{an}是等差数列，若a1=1，d=2，则a5=______。

2023-2024学年广东省广州市白云中学高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A ＝{x |﹣1＜x ＜2}，集合B ＝{x |1＜x ＜3}，则（ ） A ．A ∪B ＝{x |﹣1＜x ≤3} B ．A ∩B ＝{x |﹣1＜x ＜2} C ．A ∩B ＝{x |1≤x ＜2} D ．A ∪B ＝{x |﹣1＜x ＜3}2．函数f （x ）=√2x−1x 2−1的定义域为（ ）A ．{x|x ≥12}B ．{x |x ＞1}C ．{x |12≤x ＜1或x ＞1}D ．{x |﹣1≤x ≤12或x ＞1}3．已知函数f(x)={x 3+1，x ＜1x 2−ax ，x ≥1，若f （f （0））＝﹣2，实数a ＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．下列命题正确的是（ ） A ．函数y ＝x 2在R 上是增函数B ．函数y =1x在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上是减函数C ．函数y ＝x 2和函数y ＝|x |的单调性相同D ．函数y =1x 和函数y =x +1x的单调性相同5．下列函数是奇函数的是（ ） A ．y =−1xB ．y ＝x 2C ．y =√xD ．y ＝26．设实数x 满足x ＞1，则函数y =2x +3+1x−1的最小值是（ ） A ．1−2√2B ．5+2√2C ．1+2√2D ．5−2√27．若∀x ∈R ，ax 2﹣3x +a ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤32B ．−32＜a ≤32C ．a ≥32D ．a ＜0或a ≥328．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增．若实数a 满足f （a •2x ）﹣f （4x +1）≤0，则a 的取值范围是（ ） A ．[﹣2，2]B ．[0，2]C ．（0，2]D ．（﹣∞，2]二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的不得分） 9．下列说法中正确的是（ ） A ．√−273=3B ．16的4次方根是±2C ．√814=±3D ．√(x +y)2=|x +y|10．对任意实数a ，b ，c ，下列命题中真命题是（ ） A ．“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件B ．“a +5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件C ．“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的充分条件D ．“a ＜5”是“a ＜3”的必要条件11．实数a ，b ，c ，d 满足：a ＞b ＞0＞c ＞d ，则下列不等式正确的是（ ） A ．c 2＜cdB ．a ﹣c ＜b ﹣dC ．ad ＜bcD ．c a ＞db12．下列命题中正确的是（ ） A ．若幂函数f （x ）的图像过点A(3，127)，则f （x ）＝x ﹣3B ．若函数f(x)={x ，x ＜ax 2，x ≥a 在R 上单调递增，则a 的取值范围是[1，+∞）C ．已知x ＞0，y ＞0，且1x +3y=1，则x +2y 的最小值为7+2√6D ．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f （x ）＝﹣x （1+x ），则f （x ）的解析式为f(x)={−x 2−x ，x ≤0x 2+x ，x ＞0三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷指定位置） 13．写出命题“矩形的对角线相等”的否定 ．14．若关于x 的不等式x−ax+1≥0的解集为（﹣∞，﹣1）∪[4，+∞），则实数a ＝ ．15．计算√(−6)33−(12)0+0.2512×(−1√2)−6= ． 16．已知函数f(x)={−2x +1，x ＜0−x 2+2x +1，x ≥0，则f （x ）的单调递增区间为 ．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知全集U ＝{x ∈N |1≤x ≤6}，集合A ＝{x |x 2﹣6x +8＝0}，B ＝{3，4，5，6}． （1）求A ∪B ，A ∩B ；（2）求（∁U A ）∩B ，并写出它的所有子集． 18．（12分）已知函数f （x ）＝（x ﹣2）（x +4）．（1）写出函数f （x ）图像的对称轴方程、顶点坐标以及函数的单调区间； （2）求f （x ）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值．19．（12分）已知函数f （x ）＝|x ﹣1|﹣2． （1）用分段函数的形式表示f （x ）； （2）画出f （x ）的图象； （3）写出函数f （x ）的值域．20．（12分）已知函数f(x)=x +mx，且f （1）＝5． （1）判断函数f （x ）在（2，+∞）上是单调递增还是单调递减？并证明； （2）求f （x ）在[52，103]上的值域．21．（12分）党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业．某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A 、B 两种产品，根据市场调查与市场预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）．（1）分别求出A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？22．（12分）已知函数f （x ）＝ka x （k 为常数，a ＞0且a ≠1）的图象过点A （0，1）和点B （2，16）． （1）求函数的解析式； （2）g （x ）＝b +1f(x)+1是奇函数，求常数b 的值；（3）对任意的x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2，试比较f(x 1+x 22)与f(x 1)+f(x 2)2的大小． 2023-2024学年广东省广州市白云中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A ＝{x |﹣1＜x ＜2}，集合B ＝{x |1＜x ＜3}，则（ ） A ．A ∪B ＝{x |﹣1＜x ≤3} B ．A ∩B ＝{x |﹣1＜x ＜2} C ．A ∩B ＝{x |1≤x ＜2}D ．A ∪B ＝{x |﹣1＜x ＜3}解：∵A ＝{x |﹣1＜x ＜2}，B ＝{x |1＜x ＜3}，∴A ∪B ＝{x |﹣1＜x ＜3}，A ∩B ＝{x |1＜x ＜2}． 故选：D ． 2．函数f （x ）=√2x−1x 2−1的定义域为（ ）A ．{x|x ≥12}B ．{x |x ＞1}C ．{x |12≤x ＜1或x ＞1}D ．{x |﹣1≤x ≤12或x ＞1}解：由题意得：{2x −1≥0x 2−1≠0，解得：x ≥12且x ≠1，故函数的定义域是{x |12≤x ＜1或x ＞1}．故选：C ．3．已知函数f(x)={x 3+1，x ＜1x 2−ax ，x ≥1，若f （f （0））＝﹣2，实数a ＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：因为f(x)={x 3+1，x ＜1x 2−ax ，x ≥1，所以f （0）＝03+1＝1，所以f （f （0））＝f （1）＝1﹣a ＝﹣2，解得a ＝3． 故选：C ．4．下列命题正确的是（ ）A ．函数y ＝x 2在R 上是增函数B ．函数y =1x在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上是减函数C ．函数y ＝x 2和函数y ＝|x |的单调性相同D ．函数y =1x 和函数y =x +1x的单调性相同解：对于A ：y ＝x 2定义域为R ，由二次函数y ＝x 2的图像可知，y ＝x 2在（0，+∞）是增函数，在（﹣∞，0）是减函数，故A 错误；对于B ：由反比例函数y =1x 的图像可知，y =1x在（﹣∞，0）和（0，+∞）上是减函数，但在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不单调，故B 错误；对于C ：y ＝x 2在（0，+∞）上是增函数，在（﹣∞，0）上是减函数，y ＝|x |，当x ≥0时，y ＝x ，易知为增函数，当x ＜0时，y ＝﹣x ，易知为减函数，所以函数y ＝x 2和函数y ＝|x |的单调性相同，故C 正确；对于D ：y =1x 定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），由反比例函数y =1x 的图像可知，y =1x在（﹣∞，0）和（0，+∞）上是减函数，设y =f(x)=x +1x定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），取0＜x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=x 1+1x 1−x 2−1x 2=(x 1−x 2)+x 2−x 1x 1x 2=(x 1−x 2)⋅x 1x 2−1x 1x 2， 当0＜x 1＜x 2＜1时，f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x ）在（0，1）上单调递减， 当1＜x 1＜x 2，f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x ）在（1，+∞）上单调递增，同理可证，f （x ）在（﹣1，0）上单调递减，在（﹣∞，﹣1）上单调递增，故D 错误． 故选：C ．5．下列函数是奇函数的是（ ） A ．y =−1xB ．y ＝x 2C ．y =√xD ．y ＝2解：A ．y =−1x是奇函数，满足条件．B ．y ＝x 2是偶函数，不满足条件．C ．函数的定义域为[0，+∞），定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数，不满足条件．D ．y ＝2为偶函数，不满足条件． 故选：A ．6．设实数x 满足x ＞1，则函数y =2x +3+1x−1的最小值是（ ） A ．1−2√2B ．5+2√2C ．1+2√2D ．5−2√2解：因为x ＞1，所以x ﹣1＞0，所以y =2x +3+1x−1=2(x −1)+1x−1+5=2(x −1)+1x−1+5≥2√2(x −1)⋅1x−1+5=5+2√2， 当且仅当2(x −1)=1x−1，即x =1+√22时，等号成立． 故选：B ．7．若∀x ∈R ，ax 2﹣3x +a ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤32B ．−32＜a ≤32C ．a ≥32D ．a ＜0或a ≥32解：当a ＝0时，不等式化为：﹣3x ≥0，不等式不恒成立，所以a ＝0不符题意， 当a ≠0时，要使不等式恒成立，只需{a ＞0Δ=9−4a 2≤0，解得a ≥32，综上，实数a 的范围为a ≥32．故选：C ．8．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增．若实数a 满足f （a •2x ）﹣f （4x +1）≤0，则a 的取值范围是（ ） A ．[﹣2，2]B ．[0，2]C ．（0，2]D ．（﹣∞，2]解：由f （a •2x ）﹣f （4x +1）≤0，得f （a •2x ）≤f （4x +1）， 因为函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，所以f （a •2x ）≤f （4x +1）可化为f （|a •2x |）≤f （|4x +1|）， 因为f （x ）在区间[0，+∞）单调递增， 所以|a •2x |≤|4x +1|，所以|a |2x ≤4x +1， 所以|a|≤2x +12x ， 因为2x +12x ≥2√2x ⋅12x =2，当且仅当2x =12x ，即x ＝0时取等号， 所以|a |≤2，解得﹣2≤a ≤2， 即a 的取值范围是[﹣2，2]． 故选：A ．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的不得分） 9．下列说法中正确的是（ ） A ．√−273=3 B ．16的4次方根是±2 C ．√814=±3D ．√(x +y)2=|x +y|解：负数的3次方根是一个负数，√−273=√(−3)33=−3，故A 错误；16的4次方根有两个，为±2，故B 正确；√814=√344=|3|=3，故C 错误；√(x +y)2是非负数，所以√(x +y)2=|x +y|，故D 正确． 故选：BD ．10．对任意实数a ，b ，c ，下列命题中真命题是（ ） A ．“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件 B ．“a +5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件C ．“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的充分条件D ．“a ＜5”是“a ＜3”的必要条件解：∵中“a ＝b ”⇒“ac ＝bc ”为真命题， 但当c ＝0时，“ac ＝bc ”⇒“a ＝b ”为假命题，故“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充分不必要条件，故A 为假命题； ∵中“a +5是无理数”⇒“a 是无理数”为真命题， “a 是无理数”⇒“a +5是无理数”也为真命题，故“a +5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件，故B 为真命题； ∵中“a ＞b ”⇒“a 2＞b 2”为假命题， “a 2＞b 2”⇒“a ＞b ”也为假命题，故“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的即充分也不必要条件，故C 为假命题；∵中{a |a ＜5}⊉{a |a ＜3}，故“a ＜5”是“a ＜3”的必要条件，故D 为真命题． 故选：BD ．11．实数a ，b ，c ，d 满足：a ＞b ＞0＞c ＞d ，则下列不等式正确的是（ ） A ．c 2＜cdB ．a ﹣c ＜b ﹣dC ．ad ＜bcD ．c a ＞db解：因为a ＞b ＞0＞c ＞d ，所以c 2＜cd ，故A 正确；令a ＝2、b ＝1、c ＝﹣1、d ＝﹣2，满足a ＞b ＞0＞c ＞d ，此时a ﹣c ＝b ﹣d ，故B 错误； 因为a ＞b ＞0＞c ＞d ，所以ad ＜bd ，bd ＜bc ，所以ad ＜bc ，故C 正确； 因为a ＞b ＞0＞c ＞d ，则c a −d b =cb−adab ，因为cb ﹣ad ＞0，ab ＞0，所以c a −d b =cb−ad ab ＞0，即c a ＞db，故D 正确．故选：ACD ．12．下列命题中正确的是（ ） A ．若幂函数f （x ）的图像过点A(3，127)，则f （x ）＝x ﹣3B ．若函数f(x)={x ，x ＜ax 2，x ≥a在R 上单调递增，则a 的取值范围是[1，+∞）C ．已知x ＞0，y ＞0，且1x +3y=1，则x +2y 的最小值为7+2√6D ．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f （x ）＝﹣x （1+x ），则f （x ）的解析式为f(x)={−x 2−x ，x ≤0x 2+x ，x ＞0解：设幂函数f （x ）＝x α，由图像过点A(3，127)可得3α=127可得α＝﹣3，即f （x ）＝x ﹣3，A 正确； 若函数f(x)={x ，x ＜a x 2，x ≥a在R 上单调递增，则{a ≥0a ≤a 2，解得a ≥1或a ＝0，B 错误；若x ＞0，y ＞0，且1x +3y =1，则x +2y ＝（x +2y ）（1x +3y）＝7+2y x +3x y ≥7+2√2y x ⋅3xy =7+2√6，当且仅当2y x =3x y 且1x +3y=1，即x ＝1+√6，y ＝3+√62时取等号，C 正确；因为函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f （x ）＝﹣x （1+x ）， 当x ＞0时，﹣x ＜0，f （﹣x ）＝﹣（﹣x ）（1﹣x ）＝x （1﹣x ）＝﹣f （x ）， 所以f （x ）＝x （x ﹣1），又f （0）＝0，D 错误． 故选：AC ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷指定位置） 13．写出命题“矩形的对角线相等”的否定 存在一个矩形的对角线不相等 ．解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“矩形的对角线相等”的否定：存在一个矩形的对角线不相等．故答案为：存在一个矩形的对角线不相等．14．若关于x 的不等式x−ax+1≥0的解集为（﹣∞，﹣1）∪[4，+∞），则实数a ＝ 4 ．解：由x−a x+1≥0，得（x ﹣a ）（x +1≥0，故﹣1，4是方程（x ﹣a ）（x +1）＝0的根，故a ＝4，故答案为：415．计算√(−6)33−(12)0+0.2512×(−12)−6= ﹣3 ．解：√(−6)33−(12)0+0.2512×(2)−6=−6﹣1+12×8=−3． 故答案为：﹣3．16．已知函数f(x)={−2x +1，x ＜0−x 2+2x +1，x ≥0，则f （x ）的单调递增区间为 （0，1） ．解：当x ＜0时，f （x ）＝﹣2x +1单调递减；当x ≥0时，f （x ）＝﹣x 2+2x +1＝﹣（x ﹣1）2+2，在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；故答案为：（0，1）．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知全集U ＝{x ∈N |1≤x ≤6}，集合A ＝{x |x 2﹣6x +8＝0}，B ＝{3，4，5，6}． （1）求A ∪B ，A ∩B ；（2）求（∁U A ）∩B ，并写出它的所有子集．解：（1）由题设U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{2，4}，B ＝{3，4，5，6}， 所以A ∪B ＝{2，3，4，5，6}，A ∩B ＝{4}．（2）由（1）知：∁U A ＝{1，3，5，6}，则（∁U A ）∩B ＝{3，5，6}， 对应子集有∅，{3}，{5}，{6}，{3，5}，{3，6}，{5，6}，{3，5，6}． 18．（12分）已知函数f （x ）＝（x ﹣2）（x +4）．（1）写出函数f （x ）图像的对称轴方程、顶点坐标以及函数的单调区间； （2）求f （x ）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值．解：（1）函数f （x ）＝（x ﹣2）（x +4）＝x 2+2x ﹣8＝（x +1）2﹣9， 所以函数f （x ）的对称轴方程为x ＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣9）， 单调递递减区间为（﹣∞，﹣1），单调递增区间为（﹣1，+∞）；（2）由（1）可知当x ＝﹣1时，函数的最小值为f （x ）min ＝f （﹣1）＝﹣9， 又f （﹣2）＝﹣8，f （2）＝0，所以函数的最大值为f （x ）max ＝0． 19．（12分）已知函数f （x ）＝|x ﹣1|﹣2． （1）用分段函数的形式表示f （x ）； （2）画出f （x ）的图象； （3）写出函数f （x ）的值域．解：（1）f （x ）＝|x ﹣1|﹣2={−x −1，x ≤1x −3，x ＞1；（2）f （x ）的图象如图：（3）由图可知，f （x ）的值域为[﹣2，+∞）． 20．（12分）已知函数f(x)=x +mx，且f （1）＝5． （1）判断函数f （x ）在（2，+∞）上是单调递增还是单调递减？并证明； （2）求f （x ）在[52，103]上的值域．解：（1）单调递增，由题意证明如下， 函数f(x)=x +m x ，且f （1）＝5，有1+m1=5，解得m ＝4， 所以f （x ）的解析式为：f(x)=x +4x．设∀x 1，x 2∈（2，+∞），且x 1＜x 2，有f(x 1)−f(x 2)=(x 1+4x 1)−(x 2+4x 2)=(x 1−x 2)(x 1x 2−4)x 1x 2． 由x 1，x 2∈（2，+∞），x 1＜x 2，得x 1x 2﹣4＞0，x 1﹣x 2＜0，则(x 1−x 2)(x 1x 2−1)x 1x 2＜0，即f （x 1）＜f （x 2）．所以f （x ）在区间（2，+∞）上单调递增． （2）由（1）知f （x ）在[52，103]上是增函数，所以f （x ）在区间[52，103]上的最小值为f(52)=52+452=4110，最大值为f(103)=103+4103=6815，所以f （x ）在[52，103]上的值域为[4110，6815]．21．（12分）党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业．某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A 、B 两种产品，根据市场调查与市场预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）．（1）分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？解：（1）设投资为x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元，由题设f（x）＝k1x，g(x)=k2√x，由图知f（2）＝1，即2k1＝1，解得k1=1 2，又g（4）＝4，即2k2＝4，解得k2＝2．从而f(x)=12x(x≥0)，g(x)=2√x(x≥0)．（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10﹣x万元，设企业利润为y万元，则y=f(x)+g(10−x)=12x+2√10−x(0≤x≤10)，令t=√10−x，则y=−12(t−2)2+7(0≤t≤√10)，当t＝2时，y max＝7，此时x＝6．所以A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元．22．（12分）已知函数f（x）＝ka x（k为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1）和点B（2，16）．（1）求函数的解析式；（2）g（x）＝b+1f(x)+1是奇函数，求常数b的值；（3）对任意的x1，x2∈R且x1≠x2，试比较f(x1+x22)与f(x1)+f(x2)2的大小．解：（1）将A（0，1）和点B（2，16）代入f（x）得：{k=1k⋅a2=16，解得：{k=1a=4，故f（x）＝4x；（2）由（1）g（x）＝b+14x+1，若g（x）是奇函数，则g（﹣x）＝b+14−x+1=b+4x4x+1=−b−14x+1，解得：b=−12；（3）∵f（x）的图象是凹函数，∴f(x1+x22)＜f(x1)+f(x2)2，证明如下：f(x1+x22)=4x1+x22，f(x1)+f(x2)2=4x1+4x22≥2√4x1+x22=4x1+x22，故f(x1+x22)＜f(x1)+f(x2)2．。

2022-2023学年广东省广州市第二中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．若集合{}{}1,0,1,0,2A B =-=，则集合A B ⋃中元素的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【解析】求得A B ⋃，由此判断出A B ⋃中元素的个数. 【详解】依题意{}1,0,1,2A B ⋃=-，有4个元素. 故选：D【点睛】本小题主要考查集合并集的概念和运算，属于基础题. 2．与角330-终边相同的最小正角是（ ） A ．30- B ．330 C ．30 D ．60【答案】C【解析】利用终边相同的角的关系，求得与角330-终边相同的最小正角. 【详解】与角330-终边相同的最小正角为33036030-+=. 故选：C【点睛】本小题主要考查终边相同的角，属于基础题.3．若)11f x =+，则()3f 的值为（ ）A ．4B ．5C ．9D ．10【答案】B【解析】13=计算出x 的值，由此求得()3f 的值.【详解】13=由解得4x =，所以()3415f =+=. 故选：B【点睛】本小题主要考查函数值的求法，属于基础题.4．已知幂函数()()23mf x m x -=-在()0,∞+为单调增函数，则实数m 的值为（ ）AB ．2±C ．2D ．2-【答案】D【解析】根据()f x 为幂函数，求得m 的可能取值，再由()f x 在()0,∞+上的单调性，求得m 的值.【详解】由于()f x 为幂函数，所以231,2m m -==±，当2m =时，()2f x x -=在()0,∞+上递减，不符合题意，当2m =-时()2f x x =在()0,∞+上递增，符合题意.故选：D【点睛】本小题主要考查根据函数为幂函数求解析式，考查幂函数的单调性，属于基础题.5．若()()(0)f x tan x ωω=>的周期为1，则1()3f 的值为（ ）A．B．CD【答案】D【解析】根据()f x 的周期求得ω，由此求得13f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】依题意()()π1,π,tan πT f x x ωω====，所以1πtan 33f ⎛⎫== ⎪⎝⎭故选：D【点睛】本小题主要考查正切函数的周期性，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.6．已知实数x ，y ，z 满足04x =，5log 3y =，πsin 22z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．z x y <<B ．y z x <<C ．z y x <<D ．x z y <<【答案】C【分析】根据指数、对数、三角函数的知识确定正确答案. 【详解】041x ==，55log 3log 51y =<=，πsin 2cos 22z ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，而π2π2<<，所以0z <，所以z y x <<. 故选：C7．已知弧长为πcm 的弧所对的圆心角为4π，则这条弧所在的扇形面积为（ ）2cm A ．2π B ．πC ．2πD ．4π【答案】C【解析】先求得扇形的半径，由此求得扇形面积.【详解】依题意，扇形的半径为π4π4=，所以扇形面积为1π42π2⋅⋅=.故选：C【点睛】本小题主要考查扇形半径、面积有关计算，属于基础题.8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对于1x ∀，[)20,x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()1122120x f x x f x x x -<-成立，若实数m 满足()()()12120mf m m f m +-->，则m 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞-B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．()1,-+∞【答案】C【分析】构造函数()()F x xf x =，根据()F x 的单调性和奇偶性化简不等式()()()12120mf m m f m +-->，进而求得m 的取值范围.【详解】依题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()()f x f x -=， 构造函数()()F x xf x =，则()()()()F x xf x xf x F x -=--=-=-， 所以()F x 是奇函数，图象关于原点对称. 由于1x ∀，[)20,x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()1122120x f x x f x x x -<-成立，即()()12120F x F x x x -<-，所以()F x 在[)0,∞+上递减， 所以()F x 在R 上递减.由()()()12120mf m m f m +-->，即()()120F m F m +->，()()12F m F m >--， 即()()21F m F m >-， 所以21,1m m m <->， 所以m 的取值范围是()1,+∞. 故选：C二、多选题9．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．()()22,f t t g x x ==B ．()()cos ,sin 2f x x g x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭C ．()()()20,(0)x x f x g x x x ⎧≥==⎨-<⎩D ．()()4lo ,log f x g x g x ==【答案】ABD【分析】先判断定义域是否相同，然后对解析式化简后判断对应关系可得.【详解】()()22,f t t g x x ==对应关系和定义域显然相同，故A 正确；B 选项中，因为()sin cos 2g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以B 正确；C 选项中，()2f x =的定义域为[0,)+∞，()g x 的定义域为R ，故C 不正确；D 选项中，显然()(),f x g x 的定义域都为(0,)+∞，又()24221lo log log 2f x g x x x ===，()12221log log l 2og x x g x ==，故D 正确. 故选：ABD10．下列说法正确的是（ ）A ．“22ac bc >”是“a b >”的充分不必要条件B ．“0xy >”是“0x y +>”的必要不充分条件C ．“对任意一个无理数x ，2x 也是无理数”是真命题D ．命题“R x ∃∈，210x +=”的否定是“R x ∀∈，210x +≠” 【答案】AD【分析】利用不等式的基本性质结合特殊值法以及充分条件、必要条件的定义可判断A 选项；利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断B 选项；利用特殊值法可判断C 选项；利用存在量词命题的否定可判断D 选项.【详解】对于A 选项，若22ac bc >，则20c >，由不等式的性质可得a b >，即“22ac bc >”⇒“a b >”，若a b >，取0c ，则22ac bc =，即“22ac bc >”⇐/“a b >”， 故“22ac bc >”是“a b >”的充分不必要条件，A 对；对于B 选项，若0xy >，不妨取=1x -，1y =-，则0x y +<，即“0xy >”⇒“0x y +>”，若0x y +>，取=1x -，2y =，则0xy <，即“0xy >”⇐/“0x y +>”， 所以，“0xy >”是“0x y +>”的既不充分也不必要条件，B 错；对于C 选项，取x =22x =为有理数，C 错；对于D 选项，命题“R x ∃∈，210x +=”的否定是“R x ∀∈，210x +≠”，D 对. 故选：AD.11．已知函数()2π2sin 12f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭()0ω>，的最小正周期为π，若m ，[]2π,2πn ∈-，且()()4f m f n ⋅=，则下列结论正确的是（ ）A ．ω的值为1B ．()()2f m f n ==-C ．5π,16⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 D ．m n -的最大值为3π 【答案】ACD【分析】化简()f x 的解析式，根据()f x 的最小正周期求得ω，再结合()f x 的最值、对称中心对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】()2ππ2sin 1cos 2126f x x x ωω⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于()f x 的最小正周期为π， 所以2ππ,12T ωω===，A 选项正确. 所以()π1cos 26f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由于ππ1cos 21,1cos 2166x x ⎛⎫⎛⎫-≤-≤-≤--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π01cos 226x ⎛⎫≤--≤ ⎪⎝⎭，当[],2π,2πm n ∈-时，要使()()4f m f n ⋅=，则()()2f m f n ==，B 选项错误. 5ππ3πcos 2cos 0662⎛⎫⨯-== ⎪⎝⎭，5π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以5π,16⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心，C 选项正确. 当()2f x =时，πcos 216x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，π3π5π22π,π,Z 626x k x k k -=+=+∈，由5π2ππ2π6k -≤+≤，解得17766k -≤≤， 所以2,1,0,1k =--， 所以m n -的最大值为5π5ππ2π3π66⎛⎫+--+= ⎪⎝⎭，D 选项正确. 故选：ACD12．已知函数()[]πcos 2f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，下列说法正确的是（ ）A ．函数12y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数B ．()f x 的值域为{}1,0,1-C ．()f x 为周期函数，且最小正周期4T =D ．()f x 与7log 1y x =-的图像恰有一个公共点 【答案】BCD【分析】利用特殊值排除错误选项，证明可能正确的选项正确.【详解】对于A ，由于()110cos 0122f f ⎛⎫-+=== ⎪⎝⎭，()11π1cos 0222f f ⎛⎫+=== ⎪⎝⎭所以1122f ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭1122f ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以12y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭不是偶函数，故A 错；对于B ，由于[]x 为整数，[]()πππZ sin 222x k k k ⎛⎫=⋅∈∴⋅ ⎪⎝⎭的值有0,1,1-三种情况，所以()f x 的值域为{}0,1,1-故B 正确；对于C ，由于[][]44x x +=+，所以()[][][]()πππ4cos 4cos 2πcos 222f x x x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ，由B 得(){}0,1,1f x ∈-，令7log 10x -=，得2x =或0x =，而()()2cos π1,0cos01f f ==-==不是公共点的横坐标. 令7log 10x -=，得8x =或6x =-，而()()()8cos4π1,6cos 3πcos π1f f ==-=-==-，所以()8,1是两个函数图像的一个公共点. 令7log 11x -=-，得87x =或67x =，而8π6cos 0,cos 01727f f ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以不是两个函数图像的一个公共点.综上所述，两个函数图像有一个公共点()8,1，故D 正确. 故选：BCD三、填空题13．已知a<0，则关于x 的不等式()225250x a x a +++<的解集是______.【答案】5{|}2x x a -<<-【分析】将不等式的左边进行因式分解，然后比较a -和52-的大小，再利用一元二次不等式的解法即可求解.【详解】因为关于x 的不等式()225250x a x a +++<可化为：(25)()0x x a ++<，又因为a<0，所以52a ->-，所以不等式(25)()0x x a ++<的解集为5{|}2x x a -<<-，则关于x 的不等式()225250x a x a +++<的解集是5{|}2x x a -<<-，故答案为：5{|}2x x a -<<-.14．1cos80︒______. 【答案】4【分析】根据三角恒等变换的知识进行化简，从而求得正确答案.【详解】1cos80︒==12sin802cos80cos10⎛⎫︒︒ ⎪⎝⎭︒=︒ ()2sin 8060cos80cos10︒-︒=︒︒ 2sin 20cos80cos10=︒︒︒22sin10cos104sin10cos10⨯⨯︒︒=︒︒=.故答案为：415．将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移()0m m >个单位后得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是______. 【答案】π12##112π 【分析】求得平移后的函数解析式，然后根据对称性求得m 的取值范围，进而求得m 的最小值. 【详解】函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移()0m m >个单位后，得到()ππsin 2sin 2233y x m x m ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，其图像关于y 轴对称，所以ππππ2π,,Z 32212k m k m k +=+=+∈， 由于0m >，所以m 的最小值为π12. 故答案为：π1216．已知函数()21xf x -=-，()2log ,023,2x x g x x x ⎧<≤=⎨->⎩，当01m <<时，关于x 的方程()g f x m =⎡⎤⎣⎦解的个数为______.【答案】4【分析】令()t f x =，得到()g t m =，由()2log ,023,2x x g x x x ⎧<≤=⎨->⎩的图象得到根t 的分布， 再由()21x f x -=-的图象，得到()t f x =的根的个数即可. 【详解】解：令()t f x =，则()g f x m =⎡⎤⎣⎦，化为()g t m =，()2log ,023,2x x g x x x ⎧<≤=⎨->⎩的图象如图所示：因为01m <<，所以()g t m =有三个不同的根123,,t t t ，其中()()()1230,1,1,2,2,3t t t ∈∈∈，函数()21xf x -=-的图象如图所示：由图象知：()1t f x =有2个不同的根，()2t f x =有1个根，()3t f x =有1个根， 所以当01m <<时，关于x 的方程()g f x m =⎡⎤⎣⎦解的个数为4， 故答案为：4四、解答题17．已知集合{}2A x a x a =<<，{}2120B x x x =+-≥．(1)当2a =时，求()R A B ⋃； (2)若RA B ⊆，求a 的取值范围．【答案】(1)(){}44R A B x x ⋃=-<< (2)3,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【分析】（1）解一元二次不等式求得集合B ，由补集和并集的定义可运算求得结果； （2）分别在A =∅和A ≠∅两种情况下，根据交集为空集可构造不等式求得结果. 【详解】（1）由题意得{}24A x x =<<，{4B x x =≤-或}3x ≥，{}43RB x x =-<<，(){}44R A B x x ⋃=-<<.（2）RA B ⊆，当0a ≤时，A =∅，符合题意， 当0a >时，由23a ≤，得302a <≤， 故a 的取值范围为3,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦．18．已知sin 24sin 3cos 24cos 1αααα-=-+，π0.2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， (1)求tan α和sin2α的值;(2)若πsin 2sin 2ββ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，求αβ+的大小．【答案】(1)tan 3α=，3sin 25α=；(2)3π4【分析】（1）结合二倍角公式，商数关系即可化简求得tan 3α=，以及22tan sin2tan 1ααα=+求值；（2）条件等式由诱导公式可得sin 2cos tan 2βββ=⇒=，即可由和差公式求得()tan αβ+，结合αβ+范围即可.【详解】（1）()()2sin cos 2sin 24sin sin cos 4sin tan 3cos 24cos 12cos 4cos 2cos cos 2αααααααααααααα---====-+--２２，2222sin cos 2tan 3sin2sin cos tan 15ααααααα===++；（2）πsin 2sin 2cos tan 22ββββ⎛⎫=+=⇒= ⎪⎝⎭，()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==--，∵()0,παβ+∈，∴3π4αβ+=.19．已知函数()21cos cos 2f x x x x =⋅-. (1)求函数()f x 的单调递减区间；(2)求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.【答案】(1)()πππ,π63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z(2)最大值为12，最小值为1-【分析】（1）由三角恒等变换化简函数为()πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由整体法求单调递减区间即可；（2）由整体法求得函数值域，即可得最值.【详解】（1）()1cos 211π2cos 22cos 22223x f x x x x x +⎛⎫=-==+ ⎪⎝⎭， 令π22π,π2π3xk k kZ ，解得πππ,π63xk k kZ ，故()f x 的单调递减区间为()πππ,π63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故()π1cos 21,32f x x ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为12，最小值为1-.20．已知函数()()2R 2x x af x a =+∈为定义在[]1,1-上的奇函数.(1)求实数a 的值；(2)设()()sin 2g x f x =，当π,12x θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（π12θ>）时，函数()g x ，求θ的取值范围.【答案】(1)1a =- (2)π5π1212θ<≤【分析】（1）由()00f =求得a 的值.（2）求得()g x 的表达式，利用换元法，结合三角函数、函数的单调性、最值等知识求得θ的取值范围.【详解】（1）由于函数()22x xa f x =+是定义在[]1,1-上的奇函数， 所以()()010,1,22x x f a a f x -=+==-=-，经检验符合题意.（2）()()sin2sin2sin 222x x g x f x -==-， ππ,22126x x θθ≤≤≤≤， 令sin 2t x =，()22t t h t -=-，则()()22t t h t h t --=-=-，所以()h t 是奇函数，且()h t 在R 上单调递增， 当π1sin 62t ==时，112212222h -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 要使()g x，则1sin 22t x =≥， 所以π5π266x ≤≤，所以π5ππ5π2,661212θθ<≤<≤. 21．生产A 产品需要投入年固定成本5万元，每年生产x 万件()N x *∈，需要另外投入流动成本()g x 万元，且()214,072501135,7x x x g x x x x ⎧+<<⎪⎪=⎨⎪+-≥⎪⎩，每件产品售价为10元，且生产的产品当年能全部售完. (1)写出利润()p x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；（年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）(2)年产量为多少万件时，该产品的年利润最大？最大年利润是多少？【答案】(1)()2165,0725030,7x x x p x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)当年产量为30-.【分析】（1）根据“年利润=年销售收入-固定成本-流动成本”求得()p x .（2）结合二次函数的性质以及基本不等式求得正确答案.【详解】（1）依题意，()()2165,0721055030,7x x x p x x g x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=--=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩.（2）由（1）得()()21613,0725030,7x x p x x x x ⎧--+<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩， 当07x <<，所以()p x 的最大值为()613p =；当7x ≥时，50303030x x ⎛⎫-+≤-- ⎪⎝⎭当且仅当50,x x x==.由于3013-，所以当年产量为30-.22．已知函数()()2211f x x a x a =-+-+，R a ∈.(1)若()f x 在区间[]1,1-上不单调，求a 的取值范围；(2)已知关于x 的方程()220f x x x ++=在区间1,2内有两个不相等的实数解，求实数a 的取值范围.【答案】(1)()2,0-(2)91,5⎫⎪⎭【分析】（1）结合二次函数的对称轴及其性质即可求解；（2）令()()22h x f x x x =++，方程()220f x x x ++=在区间1,2内有两个不相等的实数解，等价于函数()h x 在1,2上存在两个零点，结合二次函数的实根分布讨论即可求解.【详解】（1）函数()()2211f x x a x a =-+-+的对称轴为1x a =+，由()f x 在区间[]1,1-上不单调，所以111a -<+<，解得20a -<<，所以a 的取值范围为()2,0-.（2）令()()22h x f x x x =++，方程()220f x x x ++=在区间1,2内有两个不相等的实数解，等价于函数()h x 在1,2上存在两个零点，因为()()()22221,102221,02a x a x h x f x x x x ax a x ⎧-+-+-<<=++=⎨--+≤<⎩， 且()h x 在0x =处图像不间断，当2a =-时，()23,10243,02x h x x x x -<<⎧=⎨++≤<⎩无零点； 当2a ≠-时，由于()()221h x a x a =-+-+在()1,0-上单调，所以()h x 在()1,0-内最多只有一个零点，不妨设()h x 的两个零点为1x ，2x ，且12x x <，若()h x 有一个零点为0，则1a =，于是()26,1022,02x x h x x x x --<<⎧=⎨-≤<⎩， 零点为0或1，所以1a =满足题意，若0不是函数()h x 的零点，则函数()h x 在1,2上存在两个零点有以下两种情形：（i ）若110x -<<，202x <<，则()()()()100020h h h h ⎧-⋅<⎪⎨⋅<⎪⎩， 即()()()()1501950a a a a ⎧-+<⎪⎨--<⎪⎩，解得915a <<. （ii ）若1202x x <<<，则()()()()()()()2Δ4810022010295010150a a a h a h a h h a a ⎧=-->⎪⎪<<⎪⎨=->⎪⎪=->⎪-=-+>⎩11a <<. 综上所述，a的取值范围为91,5⎫⎪⎭.。

2024-2025学年度高一年级11月联考数学试题（答案在最后）本试卷共4页，19题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合(){},20A x y x y =-=∣，(){},31B x y x y =-=∣，则A B = （）A.(){}1,2 B.(){}2,1 C.{}1,2 D.()(){}1,2,2,12.函数()13f x x =+-的定义域为（）A.[)3,+∞ B.[)2,+∞ C.()()2,33,+∞ D.[)()2,33,+∞ 3.“x ，y 都是无理数”是“xy 是无理数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.已知命题:p x ∀∈R 1>；命题:q x ∃∈R ，1x x x-=，则（）A.p 和q 都是假命题B.p ⌝和q 都是假命题C.p 和q ⌝都是假命题D.p ⌝和q ⌝都是假命题5.函数()f x 的图象如图所示，则()f x =（）A.()2211x x --- B.()2121x x ---C.()2211x x --+- D.()2121x x --+-6.已知1a b >>，且2a b +>，则（）A.1133a b< B.11a b ->-C.2a b ab+<+ D.22a ab +<7.已知函数()22,44x ax a x f x x ⎧+-≤⎪=⎨>⎪⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围为（）A.(],9-∞- B.(],8-∞- C.[]9,8-- D.[)8,+∞8.若函数()4mf x kx x x=++是奇函数，且在[)2,+∞上单调递增，则k m +的取值范围是（）A.()4,+∞ B.(),4-∞C.(-∞ D.(],4-∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设P ，Q 为非空实数集，定义{},,P Q zz xy x P y ⊗==∈∈Q ∣，则（）A.{}1P P ⊗=B.()()P Q R P Q R ⊗⊗=⊗⊗C.{}0P P⊗⊆ D.P Q P Q⊗=⋂10.若实数x ，y 满足()2334x y xy +=+，则（）A.34xy ≤B.1xy ≥C.x y +≤D.2x y +≥11.设函数()f x 的定义域为R ，0x ∃∈R ，()00f x ≠，若x ∀∈R ，()()22f x f x -=，则()f x 可以（）A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}0,A a =，{}1,1,1B a a =+-，若A B ⊆，则a 的取值集合为_____.13.若函数()()2f x x λλ=-是幂函数，则f=_____.14.()f x 是定义在[]4,4-上的奇函数，在(]0,4上时，()22,02232,24x x a x f x x x ⎧-++<≤⎪=⎨--<≤⎪⎩，且值域为[]2,2-，则a 的取值范围是________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知集合{}3121A xx =-≤-≤-∣，{}1,B x m x m m =≤≤+∈R ∣.（1）若A B =，求m 的值；（2）若A B =∅ ，求m 的取值范围.16.（本小题满分15分）已知正数x ，y 满足202y xy x --=.（1）当1x >时，求y 的取值范围；（2）求xy 的最小值.17.（本小题满分15分）几个大学生联合自主创业拟开办一家公司，根据前期的市场调研发现：生产某种电子设备的固定成本为20万元，每生产一台设备需增加投入110万元.已知总收入()f x （单位：万元）与月产量x （单位：台）满足函数：()22,0400;580,400.x ax x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩，且当400x =时，()80f x =.（1）求实数a 的值；（2）预测：当月产量x 为多少时，公司所获得的利润不低于20万元?（总收入=总成本十利润）18.（本小题满分17分）我们有如下结论：函数()y g x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y g x a b =+-为奇函数.（1）判断：()326139f x x x x =-+-的图象是否关于点()2,1Q 成中心对称图形?（2）已知()f x 是定义域为R 的初等函数，若()()()h x f x m f x m n =---++，证明：()h x 的图象关于点(),m n 成中心对称图形.19.（本小题满分17分）已知函数()f x 对任意实数u ，v ，都有()()()f u v f u f v -=-成立，且当0u <时，()0f u <.（1）证明：对任意实数u ，v ，()()()f u v f u f v +=+；（2）求证：()f x 是R 上的增函数；（3）若命题[):2,1p x ∃∈-，()()()212f xf ax f x a ++≥+为假命题，求实数a 的取值范围.2024-2025学年度高一年级11月联考数学参考答案及解析一、选择题1.A 【解析】()()(){}20,1,,,1,2312x y x A B x y x y x y y ⎧⎧-==⎧⎫⎧⎫⎪⎪===⎨⎨⎬⎨⎨⎬-==⎩⎭⎩⎭⎪⎪⎩⎩.故选A.2.D【解析】要使得函数()13f x x =-有意义，必须360230x x x -≥⎧⇔≥⎨-≠⎩且3x ≠，所以定义域为[)()2,33,+∞ .故选D.3.D 【解析】取x =，y =，则4xy =不是无理数，所以不是充分的；取x =，1y =，此时xy =是无理数，但y 不是无理数，所以不是必要的.故选D.4.B 【解析】显然p 是真命题，p ⌝是假命题；因为20,110x x x x x x x ≠⎧-=⇔⇔∈∅⎨-+=⎩，所以q 是假命题，q ⌝是真命题，综上，p ⌝和q 都是假命题.故选B.5.B 【解析】在AC 中，()10f -=均不成立，所以排除AC ；在BD 中，令()0f x =得，1x =-，1，3，符合题意，又由图象得，在B 中()40f >，符合题意，在D 中()40f <，不符合题意.故选B.6.B 【解析】令8a =，1b =-，113321a b =>=-，此时1133a b <不成立，所以A 错误；()()()()22111120a b a b a b a b ->-⇔->-⇔+-->，所以B 正确；令3a =，0b =，满足：1a b >>，且2a b +>，但2a b ab +>+，22a ab +>，所以CD 错误.故选B.7.C 【解析】因为()f x 在R 上单调递减，且4x >时，()f x =是单调递减，则需满足42162a a ⎧-≥⎪⎨⎪+≥⎩，解得98a -≤≤-，即实数a 的范围是[]9,8--.故选C.8.D【解析】因为()4mf x kx x x =++是奇函数，定义域为()(),00,-∞+∞ ，所以()()f x f x =--，420kx =，所以0k =，所以()mf x x x=+，k m m +=.任意取1x ，[)22,x ∈+∞，12x x <，因为()f x 在[)2,+∞上单调递增，所以()()()()121212121210m m m f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+-=--<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为120x x -<，所以1210mx x ->，所以12m x x <，因为1x ，[)22,x ∈+∞，12x x <，所以124x x >，所以4m ≤，所以k m +的取值范围是(],4-∞.故选D.二、选择题9.AB 【解析】A.由P Q ⊗的定义得，{}1P P ⊗=显然成立，所以A 正确；B.根据实数乘法的结合律得，()()P Q R P Q R ⊗⊗=⊗⊗成立，所以B 正确；C.设{}1P =，由P Q ⊗的定义得，{}{}00P ⊗=，所以C 错误；D.设{}1P =，{}2Q =，{}2P Q ⊗=，P Q =∅ ，P Q P Q ⊗≠ ，所以D 错误.故选AB.10.AC 【解析】因为()2334x y xy +=+，()24x y xy +≥，所以3344xy xy +≥，所以34xy ≤，所以A 正确，B 错误；因为()2334x y xy +=+，又23333442x y xy +⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，所以()223342x y x y +⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，所以()23x y +≤，所以x y +≤，所以C 正确，D 错误.故选AC.11.ABD【解析】()()()()22fx f x f x f x -=⇔-=±.A.若x ∀∈R ，()()f x f x -=-，则()f x 是奇函数，所以A 正确；B.若x ∀∈R ，()()f x f x -=，则()f x 是偶函数，所以B 正确；C.若x ∀∈R ，()()()(),f x f x f x f x ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩，()f x 既是奇函数又是偶函数，此时x ∀∈R ，()()f x f x -=，x ∀∈R ，()0f x =，这与0x ∃∈R ，()00f x ≠矛盾，所以C 错误；D.设()[][]2,1,1,,1,1x x f x x x ⎧∈-⎪=⎨∉-⎪⎩，此时满足()()22f x f x -=，但()f x 既不是奇函数又不是偶函数，所以D 正确.故选ABD.三、填空题12.{1}【解析】因为A B ⊆，所以0B ∈，所以10a +=或10a -=，即1a =-或1a =，当1a =时，{}0,1A =，{}1,2,0B =，满足A B ⊆；当1a =-时，{}0,1A =-，{}1,0,2B =-，不满足A B ⊆；综上，a =1.故答案为{}1.13.【解析】因为()()2f x x λλ=-是幂函数，所以21λ-=，解得3λ=，所以()3f x x =，所以3f==.故答案为.14.[]2,1-【解析】在(]0,4上，()22,02,232,24,x x a x f x x x ⎧-++<≤⎪=⎨--<≤⎪⎩，所以当02x <≤时，()[],1f x a a ∈+，当24x <≤时，()[]2,0f x ∈-，因为()f x 是定义在[]4,4-上的奇函数，且值域为[]2,2-，所以当42x -≤<-时，()[]0,2f x ∈，所以2,12a a ≥-⎧⎨+≤⎩，所以[]2,1a ∈-.故答案为[]2,1-.四、解答题15.解：{}[]121,2A x x =≤≤=∣，（2分）（1）因为A B =，所以1m =，12m +=，所以1m =.（6分）（2）因为A B =∅ ，显然B ≠∅，（7分）所以11m +<或2m >，（11分）解得，0m <或2m >，所以m 的取值范围是()(),02,-∞+∞ .（13分）16.解：（1）因为1x >，202yxy x --=，（2分）所以()()22124222,4212121x x y x x x -+===+∈---.（6分）（2）因为x ，y都是正数，所以22y x +≥，当且仅当22yx =时取等号，（9分）因为202y xy x --=，所以22yxy x =+，所以xy ≥=，（12分）所以4xy ≥，当且仅当1x =，4y =时等号成立，所以xy 的最小值为4.（15分）17.解：（1）因为当400x =时，()80f x =，（2分）所以22400400805a ⨯-=，解得12000a =.（4分）（2）设公司所获得的利润为()g x （单位：万元），所以()()12010g x f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭21320,0400,200010160,400,10x x x x x ⎧-+-≤≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩（7分）当0400x ≤≤时，2132020200010x x -+-≥，即213400200010x x -+≤，（9分）解得，200400x ≤≤，（12分）当400x >时，1602010x -<，（14分）综上，当且仅当200400x ≤≤时，公司所获得的利润不低于20万元.（15分）18.解：（1）()()()3221262f x x x +-=+-++()313210x x x +-=+，（4分）因为3y x x =+为奇函数，即()21f x +-为奇函数，由结论得，函数()326139f x x x x =-+-的图象关于点()2,1成中心对称图形.（7分）（2）因为()()()h x f x m f x m n =---++，所以()()()h x m n f x f x +-=--，（9分）令()()()m x f x f x =--，因为()f x 是定义域为R 的初等函数，所以()m x 也是定义域为R 的初等函数，（10分）因为()()()()()()m x m x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤-+=--+--⎣⎦⎣⎦()()()()0f x f x f x f x =--+--=，即()()0m x m x -+=，（13分）所以()m x 为奇函数，即()y h x m n =+-为奇函数.（15分）由结论得，()h x 的图象关于点(),m n 成中心对称图形.（17分）19.解：（1）因为()f x 对任意实数u ，v ，()()()f u v f u f v -=-，所以()()()f u u f u f u -=-，所以()00f =，（1分）在()()()f u v f u f v -=-中，令0u =得，()()()0f v f f v -=-，所以()()f v f v -=-，（3分）在()()()f u v f u f v -=-中，用v -替换v 得，()()()f u v f u f v +=--，因为()()f v f v -=-，所以()()()f u v f u f v +=+，所以，对任意实数u ，v ，()()()f u v f u f v +=+成立.（5分）（2）任意取u ，v ∈R ，且u v <，则0u v -<，（6分）因为当0u <时，()0f u <，所以()0f u v -<，（7分）所以()()()0f u f v f u v -=-<，即()()f u f v <，所以()f x 是R 上的增函数.（9分）（3）命题[):2,1p x ∃∈-，()()()212f x f ax f x a ++≥+为假命题，等价于[):2,1p x ⌝∀∈-，()()()212f xf ax f x a ++<+为真命题.（11分）在()()()f u v f u f v +=+中，令u v =得，()()22f u f u =，（12分）所以()()()()()2212122,f xf ax f x a f xax f x a ++<+⇔++<+（13分）由（2）的结论得，()()()2221221222f x ax f x a x ax x a x a x ++<+⇔++<+⇔+-+()120a -<，即()()()2212f xf ax f x a x++<+⇔+()()2120a x a -+-<，令()()()2212g x x a x a =+-+-，因为[)2,1x ∀∈-，()0g x <成立，所以()()20,10g g ⎧-<⎪⎨≤⎪⎩，所以490,94a a a -+<⎧⇔>⎨-≤⎩，所以实数a 的取值范围是9,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭.（17分）2024—2025学年度高一年级11月联考数学参考答案及解析三、填空题12.{1}【解析】因为A ⊆B ，所以0∈B ，所以a ＋1＝0或a －1＝0，即a ＝－1或a ＝1，当a ＝1时，A ＝{0，1}，B ＝{1，2，0}，满足A ⊆B ；当a ＝－1时，A ＝{0，－1}，B ＝{1，0，－2}，不满足A ⊆B ；综上，a ＝1.故答案为{1}.13．22【解析】因为f (x )＝(λ－2)x λ是幂函数，所以λ－2＝1，解得λ＝3，所以f (x )＝x 3，所以f (2)＝(2)3＝2 2.故答案为2 2.[－2，1]【解析】在(0，4]上，f (x )＝x 2＋2x ＋a ，0<x ≤2，|x －3|－2，2<x ≤4，，所以当0<x ≤2时，f (x )∈[a ，1＋a ]，当2<x ≤4时，f (x )∈[－2，0]，因为f (x )是定义在[－4，4]上的奇函数，且值域为[－2，2]，所以当－4≤x <－2时，f (x )∈[0，2]，≥－2，＋1≤2，所以a ∈[－2，1].故答案为[－2，1].【区间形式也给分】四、解答题15．解：A ＝{x |1≤x ≤2}＝[1，2]，(2分)(1)因为A ＝B ，所以m ＝1，m ＋1＝2，所以m ＝1.(6分)(2)因为A ∩B ＝∅，显然B ≠∅，(7分)所以m ＋1<1或m >2，(11分)解得，m <0或m >2，所以m 的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞).(13分)16．解：(1)因为x >1，xy －2x －y2＝0，(2分)所以y ＝4x 2x －1＝2(2x －1)＋22x －1＝2＋22x －1∈(2，4).(6分)(2)因为x ，y 都是正数，所以2x ＋y 2≥22x ·y2，当且仅当2x ＝y2时取等号，(9分)因为xy －2x －y 2＝0，所以xy ＝2x ＋y2，所以xy ≥22x ·y2＝2xy ，(12分)所以xy ≥4，当且仅当x ＝1，y ＝4时等号成立，所以xy 的最小值为4.(15分)17．解：(1)因为当x ＝400时，f (x )＝80，(2分)所以25×400－4002a ＝80，解得a＝12000.(4分)(2)设公司所获得的利润为g (x )(单位：万元)，所以g (x )＝f (x )＋110x－12000x 2＋310x －20，0≤x ≤400，－110x ，x >400，(7分)当0≤x ≤400时，－12000x 2＋310x －20≥20，即12000x 2－310x ＋40≤0，(9分)解得，200≤x ≤400，(12分)当x >400时，60－110x <20，(14分)综上，当且仅当200≤x ≤400时，公司所获得的利润不低于20万元．(15分)18．解：(1)f (x ＋2)－1＝(x ＋2)3－6(x ＋2)2＋13(x ＋2)－10＝x 3＋x ，(4分)因为y ＝x 3＋x 为奇函数，即f (x ＋2)－1为奇函数，由结论得，函数f (x )＝x 3－6x 2＋13x －9的图象关于点(2，1)成中心对称图形．(7分)(2)因为h (x )＝f (x －m )－f (－x ＋m )＋n ，所以h (x ＋m )－n ＝f (x )－f (－x )，(9分)令m (x )＝f (x )－f (－x )，因为f (x )是定义域为R 的初等函数，所以m (x )也是定义域为R 的初等函数，(10分)因为m (－x )＋m (x )＝[f (－x )－f (x )]＋[f (x )－f (－x )]＝f (－x )－f (x )＋f (x )－f (－x )＝0，即m (－x )＋m (x )＝0，(13分)所以m (x )为奇函数，即y ＝h (x ＋m )－n 为奇函数．(15分)由结论得，h (x )的图象关于点(m ，n )成中心对称图形．(17分)19．解：(1)因为f (x )对任意实数u ，v ，f (u －v )＝f (u )－f (v )，所以f (u －u )＝f (u )－f (u )，所以f (0)＝0，(1分)在f (u －v )＝f (u )－f (v )中，令u ＝0得，f (－v )＝f (0)－f (v )，所以f (－v )＝－f (v )，(3分)在f (u －v )＝f (u )－f (v )中，用－v 替换v 得，f (u ＋v )＝f (u )－f (－v )，因为f (－v )＝－f (v )，所以f (u ＋v )＝f (u )＋f (v )，所以，对任意实数u ，v ，f (u ＋v )＝f (u )＋f (v )成立．(5分)(2)任意取u ，v ∈R ，且u <v ，则u －v <0，(6分)因为当u <0时，f (u )<0，所以f (u －v )<0，(7分)所以f (u )－f (v )＝f (u －v )<0，即f (u )<f (v )，所以f (x )是R 上的增函数．(9分)(3)命题p ：∃x ∈[－2，1)，f (x 2)＋f (ax ＋1)≥2f (x ＋a )为假命题，等价于 p ：∀x ∈[－2，1)，f (x 2)＋f (ax ＋1)<2f (x ＋a )为真命题．(11分)在f (u ＋v )＝f (u )＋f (v )中，令u ＝v 得，f (2u )＝2f (u )，(12分)所以f (x 2)＋f (ax ＋1)<2f (x ＋a )⇔f (x 2＋ax ＋1)<f (2x ＋2a )，(13分)由(2)的结论得，f (x 2＋ax ＋1)<f (2x ＋2a )⇔x 2＋ax ＋1<2x ＋2a ⇔x 2＋(a －2)x ＋(1－2a )<0，即f (x 2)＋f (ax ＋1)<2f (x ＋a )⇔x 2＋(a －2)x ＋(1－2a )<0，令g (x )＝x 2＋(a －2)x ＋(1－2a )，因为∀x ∈[－2，1)，g (x )<0成立，(－2)<0，(1)≤0，4a ＋9<0，a ≤0⇔a >94，所以实数a(17分)。

数学思想与方法期末考试范围答案全一、填空题1、古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以《九章算术》为典范。

2、在数学中建立公理体系最早的是几何学，而这方面的代表著作是古希腊欧几里得的《几何原本》。

3、《几何原本》所开创的公理化方法不仅成为一种数学陈述模式，而且还被移植到其它学科，并且促进他们的发展。

4、推动数学发展的原因主要有两个：实践的需要；理论的需要；数学思想方法的几次突破就是这两种需要的结果。

5、变量数学产生的数学基础是解析几何，标志是微积分。

6、数学基础知识和数学思想方法是数学教学的两条主线。

7、随机现象的特点是在一定条件下，可能发生某种情况，也可能不发生某种情况。

8、等腰三角形的抽象过程，就是把一个新的特征：两边相等，加入到三角形概念中去，使三角形概念得到强化。

9、学生理解或掌握数学思想方法的过程有如下三个主要阶段潜化阶段、明朗阶段、深入理解阶段。

10、数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为数学的各个分支相互渗透和相互结合的趋势。

11、强抽象就是指，通过把一些新特征加入到某一概念中去而形成新概念的抽象过程。

12、菱形概念的抽象过程就是把一个新的特征：一组邻边相等，加入到平行四边形概念中去，使平行四边形概念得到了强化。

13、演绎法与归纳法被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。

14、所谓类比，是指由一类事物具有某种属性，推测与其类似的某种事物也具有该属性的推测方法；常称这种方法为类比法，也称类比推理。

15、反例反驳的理论依据是形式逻辑的矛盾律。

16、猜想具有两个显著特点：具有一定的科学性、具有一定的推测性。

17、三段论是演绎推理的主要形式。

三段论由大前提、小前提、结论三部分组成。

18、化归方法是指，把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或较易解决的问题中，最终获得原问题解答的一种方法。

徐州市中等专业学校2021—2022学年度第一学期高二就业班数学期末考试试卷及参考答案一、选择题：（本大题共15小题，每小题4分，共60分） 1. 二进制数1100转换成十进制数是 （ ） A.8 B.10 C.12 D. 16 2. 十进制数15转换成而二进制数是 （ ） A.1000 B.1001 C.1110 D. 1111 3．011A B A B ==+=，是的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．逻辑表达式可化简为 （ ）A ．AB ．BC ．1D ．0 5．若C AB L =，下列哪种逻辑变量的取值使（ ）A ．A=0、B=0、C=0B ．A=1、B=1、C=0C ．A=0、B=1、C=1D ．A=1、B=0、C=0 6．下列四个命题：（1）是无理数；（2）3≥3；（3）6是3的倍数；（4）矩形的对角线相等.其中真命题的个数为 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 7．已知数组，，，则（ ）A. 5B.8C.10D. 12 8．11A B AB +==是的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9．下列说法不正确的是 （ ）A ．三种基本逻辑结构包括顺序结构、条件结构和循环结构B ．一个程序框图一定包含顺序结构C ．一个程序框图一定包含循环结构D ．一个程序框图不一定包含条件结构 10．程序框图符号 可用于 （ ）A ．输出B ．赋值C ．判断D ．输入11．若命题“p 或q ”是假命题，则有 （ ）A ．p ，q 都假B ．p ，q 都真C ．p 假，q 真D ．p 真，q 假12．已知数组(213)(12-)1a b x a b x ==•==，，，，，，，则（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．313．某项工程的流程图如下图（单位：天）：该工程的关键路径是 （ ）A ．A →D →F →G B.B →C →D →F →G C.A →E →H →G D.B →C →E →H →G 14．第13题中工程最短总工期是 （ ）天 A ．5 B ．8 C ．10 D ．12(第15题图） （第17题图） (第18题图）15．如图所示的程序框图表示的算法，输出的值是 （ ）A ．53B ．101C ．127D ．161否开始输入x？x y -=4 x y =输出y结束是是否1=a99≥a输出a结束开始23+=a a二、填空题:（本大题共3小题，每小题4分，共12分） 16．17． 小赵家每月家庭开支情况如饼图所示，则表示教育投入的扇形的圆心角度数是 .18. 如图所示，是求函数141x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩，，，的函数值的算法程序框图，判断框中应填 19．（本题满分8分）证明：20.（本题满分10分）设计一个算法，计算2+4+6+…+2022的值，并画出程序框图．21．（本小题满分10分）填写表中空缺栏，绘制网络图并写出关键路径和最短总工期．参考答案一、选择题: （本大题共15小题，每小题4分，共60分） 工作代码 紧前工作 紧后工作 工期（天） A 无 6 B 无 4 C无1 D C 3 E A 、B 、D4 F E3 G A 、B 、D2 H F 、G1 题号 123456789 10 11 12 13 14 15 答案CDAABDCBCCABBCD二.填空题: （本大题共3小题，每小题4分，共12分） 16.1 17.108 18.1x ≥ 三、解答题：(本大题共3小题，共28分)19．证明： .)(B A B B A B B A B AB +=++=++=+ 20.解：算法如下：第一步 S=0，i=0；第二步 i=i+2；第三步 S=S+i ；第四步 如果i 2022，则转而执行第五步，否则转而执行第二步； 第五步 输出S. 算法的程序框图略.21．解：绘制网络图：关键路径是A E F H →→→，最短总工期为14天.工作代码 紧前工作 紧后工作 工期（天）A 无 E 、G 6B 无 E 、G 4C 无D 1 D CE 、G3 E A 、B 、D F4 F E H 3 G A 、B 、D H 2H F 、G 无 1。