熟练掌握位移法基本未知量的确定和基本结构的建立

1结构的结点位移独立结点线位移独立结点角位移¾确定未知量总原则：在原结构的结点上逐渐增加附加约束，直到能将结构拆成具有已知形常数和载常数的单跨梁为止。

未知量个数要最少。

7-3 位移法基本未知量数目的确定和基本结构三类单根杆件2由于在同一刚结点处，各杆端的转角都是相等的，因此每一个刚结点只有一个独立的角位移未知量。

一.独立的结点角位移未知量F PEI=常数l 2l2l基本结构1Z结点角位移未知量注意1：铰处弯矩为零,故铰处角位移不作为基本未知量(因为非独立量)。

3独立的结点角位移未知量4为简化计算，在确定独立的结点线位移未知量数目时，作如下假定：1.略去受弯直杆的轴向变形；2.弯曲直杆在受弯前、后其投影长度保持不变。

这样每一受弯直杆就相当于一个约束，从而减少了独立的结点线位移数目。

确定独立的结点线位移未知量数目时，在一般情况下每个结点均可能有水平和竖向两个线位移。

二.独立的结点线位移未知量5例P原结构基本结构单跨超静定梁的组合体Z 1Z 2Z 3在原结构的结点上逐渐增加附加约束，直到能将结构拆成具有已知形常数和载常数的单跨梁系为止。

独立的结点线位移未知量6独立的结点线位移未知量原结构增加附加约束单跨梁系原结构增加附加约束单跨梁系原结构增加附加约束单跨梁系10例4原结构增加附加约束单跨梁系Aiii30M ABCD ql q例原结构增加附加约束单跨梁系1124位移法的基本未知量与超静定次数无关确定独立的结点线位移数目: 铰化法12使此铰结体系成为几何不变，所需添加的最少支座链杆数目就是原结构独立的结点线位移数目。

铰结体系13原结构铰结体系基本结构例54例614注意2：静定部分可由平衡条件求出其内力,故该部分结点处的角位移和线位移不需作为基本未知量。

15考虑轴向变形的链杆受弯曲杆EA≠∞独立的结点线位移数目为216例确定两结构的位移法基本未知量。

1712考虑轴向变形的链杆具有无限刚性杆件的结构18注意3：弯曲刚度无穷大杆件两端的转角不作为未知量考虑。

第九章位移法学习目的和要求位移法是超静定结构计算的基本方法之一，许多工程中使用的实用计算方法都是由位移法演变出来的，是本课程的重点内容之一。

本章的基本要求：1 1.熟练掌握位移法基本未知量和基本结构的确定、位移法典型方程的建立及其物力意义、位移法方程中的系数和自由项的物理意义及其计算、最终弯矩图的绘制。

2.熟记一些常用的形常数和载常数。

3.熟练掌握由弯矩图绘制剪力图和轴力图的方法。

4.掌握利用对称性简化计算。

5.重点掌握荷载荷载作用下的计算，了解其它因素下的计算。

位移法方程有两种建立方法，写典型方程法和写平衡方程法。

要求熟练掌握一种，另一种了解即可。

学习内容位移法的基本概念；跨超静定梁的形常数、载常数和转角位移方程；位移法基本未知量和位移法基本结构的确定；用位移法计算刚架和排架；利用对称性简化位移法计算；直接用结点、截面平衡方程建立位移法方程。

内容提要1. 位移法的未知数位移法的未知数是独立的结点角位移与结点线位移。

结点角位移是结点的转角，一个刚结点就有一个结点角位移，结构结点角位移个数就是刚结点个数。

当考虑杆件的轴向变形时，每个结点有两个线位移：水平线位移u，竖向线位移v。

当不考虑杆件的轴向变形时，结点线位移的确定方法是：将结构所有的结点换成铰结点，增加最小数量的链杆约束结点位移使其成为几何不变体系，增加的链杆数就是结构的结点线位移。

在位移法中，未知数（结点角位移与结点线位移）一般统一用符号Z表示。

对于结点位移的正方向，一般规定：结点角位移规定以顺时针方向转为正，水平结点线位移以向右移动为正，竖向结点线位移以向下移动为正。

2.求解步骤：(1) 确定位移法基本未知量，加入附加约束，取位移法基本体系。

(2)令附加约束发生与原结构相同的结点位移，根据基本结构在荷载等外因和结点位移共同作用下产生的附加约束中的总反力（矩）=0，列位移法典型方程。

(3)绘出单位弯矩图、荷载弯矩图，利用平衡条件求系数和自由项。

第三节 位移法的基本未知量和基本结构一、位移法基本未知量的确定位移法的基本未知量是结点位移，其计算单元是单跨超静定等截面直杆（或直梁）。

如果结构上每根杆件的杆端位移已求出，则全部杆件的内力即可由转角位移方程确定。

结点位移包括结点角位移和结点线位移。

下面讨论如何确定结点位移个数。

1、独立的结点角位移图8-6(a)所示刚架在荷载作用下将产生如虚线所示的变形。

固定端A 的转角位移和线位移均为零。

刚结点B 是自由刚结点，可以转动。

根据变形连续条件可知，刚结点B 处只有1个独立的结点角位移B θ。

若忽略杆件AB 、BC 的轴向变形，刚结点B 处没有线位移。

结点C 是铰结点，设C 处转角为C θ，由0CB M =可知C θ不独立，可以不作为位移法基本未知量。

所以该刚架用位移法进行求解时，基本未知量是刚结点B 处的角位移B θ。

当结构中存在组合结点时，因组合结点既有刚性连接部分又有铰接部分，此时仍需把刚接部分的角位移计入位移法基本未知量。

另外，对有阶形杆变截面处的转角，或抗转动弹簧支座处的转角，均应计入独立角位移的数目。

因此，图8-6(b)所示刚架中独立的结点角位移数目是4，它们分别是变截面G 处的转角1∆、组合结点E 处的转角2∆、刚结点F 处的转角3∆以及抗转弹性支座C 处的转角4∆。

综上所述，独立的结点角位移数目等于刚结点（包括组合结点、弹性抗转弹簧）的数目。

图8-6 独立结点角位移的确定2、独立的结点线位移一般情况下，平面坐标系中每个结点均可能有水平线位移和竖向线位移。

但根据前述假设（忽略杆件轴向变形）可知，受弯杆件的两端距离在变形后保持不变，这样导致某些线位移为零或互等，从而减少了独立的结点线位移数目。

如图8-7(a)所示排架结构，支座A 、B 、C 为固定端，AD 、BE 和CF 杆长不变，故结点D 、E 和F 均没有竖向位移。

结点D 、E 和F 虽有水平位移，但由于杆DE 、杆EF 的长度不变，所以这些水平线位移应相等。

834结构力学一、参考教材《结构力学》（第6版），杨茀康、李家宝等主编，北京:高等教育出版社，2016年。

二、考试范围及基本要求（包括但不限于以下内容）1.绪论§1-1结构力学的研究对象和任务§1-2结构计算简图§1-3平面杆件结构分类§1-4荷载分类基本要求：①了解结构力学的研究对象和内容；②了解荷载的分类；③理解结构计算简图的选取原则；④熟练掌握支座和结点的类型和特点；⑤掌握平面杆件结构的分类。

2.平面体系的几何组成分析§2-1概述§2-2平面体系的自由度§2-3平面体系几何组成分析§2-4平面体系在静力学解答方面的特性基本要求：①理解以下基本概念：几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系、常变体系、约束、多余约束、虚铰、刚片；②掌握几何不变体系的基本组成规律，能熟练运用这些规律分析体系的几何特性；③了解平面杆系的计算自由度；④了解结构的几何组成和静定性的关系。

3.静定梁和静定平面刚架§3-1单跨静定梁计算§3-2多跨静定梁计算§3-3静定平面刚架计算基本要求：①熟练掌握结构指定截面内力的计算方法、等截面直杆内力图的特征、分段叠加法；②能熟练绘制各种静定梁的弯矩图、剪力图、轴力图；③熟练绘制各种静定刚架的内力图。

4.实体三铰拱§4-1概述§4-2实体三铰拱的数解法§4-3实体三铰拱的合理轴线基本要求：①了解实体三铰拱的组成和受力特点；②掌握实体三铰拱在竖向荷载作用下的反力及内力的计算；③了解实体三铰拱的合理轴线的概念及确定方法。

5.静定平面桁架§5-1概述§5-2结点法§5-3截面法§5-4结点法与截面法的联合应用§5-5各类平面梁式桁架比较§5-6组合结构的计算§5-7静定结构的静力特性基本要求：①能熟练地运用结点法、截面法等方法求解桁架的内力；②掌握组合结构的计算方法6.虚功原理和结构的位移计算§6-1概述§6-2刚体体系的虚功方程及其应用§6-3结构位移计算的一般公式§6-4静定结构在荷载作用下的位移计算§6-5图乘法§6-6静定结构支座位移时的位移计算§6-7静定结构温度变化时的位移计算§6-8线性变形体系的互等定理基本要求：①掌握刚体虚功原理和变形体虚功原理；②熟练掌握结构在荷载作用下的位移计算方法；③熟练掌握图乘法；④掌握结构在温度改变时的位移计算方法；⑤了解互等定理。

第六章位移法学习目的和要求位移法是超静定结构计算的基本方法之一，许多工程中使用的实用计算方法都是由位移法演变出来的，是本课程的重点内容之一。

本章的基本要求：1.熟练掌握位移法基本未知量和基本结构的确定、位移法典型方程的建立及其物力意义、位移法方程中的系数和自由项的物理意义及其计算、最终弯矩图的绘制。

2.熟记一些常用的形常数和载常数。

3.熟练掌握由弯矩图绘制剪力图和轴力图的方法。

4.掌握利用对称性简化计算。

5.重点掌握荷载荷载作用下的计算，了解其它因素下的计算。

6.位移法方程有两种建立方法，写典型方程法和写平衡方程法。

要求熟练掌握一种，另一种了解即可。

学习内容位移法的基本概念。

跨超静定梁的形常数、载常数和转角位移方程。

位移法基本未知量和位移法基本结构的确定。

用位移法计算刚架和排架。

利用对称性简化位移法计算。

直接用结点、截面平衡方程建立位移法方程。

§6.1位移法基本概念1、位移法的特点：欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。

超静定结构计算的两大基本方法是力法和位移法。

力法的特点：基本未知量——多余未知力；基本体系——静定结构；基本方程——位移条件（变形协调条件）。

位移法的特点：基本未知量——独立结点位移；（例子86）基本体系——一组单跨超静定梁；（例子87）基本方程——平衡条件。

（例子88）因此，位移法分析中应解决的问题是：①确定单跨梁在各种因素作用下的杆端力。

②确定结构独立的结点位移。

③建立求解结点位移的位移法方程。

下面先看第一个问题：确定单跨梁在各种因素作用下的杆端力。

2、杆端力和杆端位移的正负规定：杆端转角θA 、θB，弦转角β＝Δ/l都以顺时针为正。

杆端弯矩对杆端以顺时针为正，对结点或支座以逆时针为正。

剪力使分离体有顺时针转动趋势时为正，否则为负。

（与材料力学相同）3、等截面直杆的形常数：由单位杆端位移引起的单跨超静定梁的杆端力。

如右图两端固定梁，由右端单位转角作用下产生的杆端力，可用力法求解，并令：得到杆端弯矩（即形常数）为：各种情形的形常数都可有力法求出如下表：4、等截面直杆的载常数:仅由跨中荷载引起单跨超静定梁的杆端力称为载常熟，也叫固端力。

确定位移法基本未知量的方法确定位移法是一种常用的力学分析方法，它通过确定物体在空间中的位移来求解其他相关的物理量。

在这种方法中，位移是基本未知量，而其他物理量如速度、加速度、力等可以从位移中推导得出。

本文将介绍确定位移法的基本原理和具体应用方法。

一、确定位移法的基本原理确定位移法基于牛顿第二定律和运动学基本公式，通过对物体的运动轨迹和受力情况进行分析，确定物体在空间中的位移。

具体而言，位移可以通过以下步骤确定：1. 确定物体的运动轨迹：物体在运动过程中会留下一条轨迹，可以通过观察和测量得到。

根据轨迹的形状和特征，可以确定物体的运动方式和路径。

2. 分析受力情况：根据牛顿第二定律F=ma，可以推导出物体所受合力与物体的加速度之间的关系。

通过分析物体所受的各个力和加速度的关系，可以确定物体在不同时刻的加速度。

3. 积分求解位移：根据运动学基本公式v=at和s=vt，可以得到物体的速度与加速度之间的关系，以及位移与速度之间的关系。

通过对加速度和速度的变化进行积分，可以求解物体在不同时刻的位移。

二、确定位移法的应用方法确定位移法广泛应用于力学分析和工程设计中，下面将以几个具体的应用场景来说明这种方法的应用。

1. 自由落体运动：假设一个物体在重力作用下自由下落，我们可以通过观察物体的运动轨迹和分析受力情况来确定物体下落的位移。

根据重力加速度的大小和方向，可以计算出物体在不同时刻的加速度，并通过积分求解出物体在不同时刻的位移。

2. 弹簧振子运动：考虑一个弹簧振子在竖直方向上的简谐振动，我们可以通过观察振子的运动轨迹和分析受力情况来确定振子的位移。

根据弹簧的劲度系数和振子的质量，可以计算出振子在不同时刻的加速度，并通过积分求解出振子在不同时刻的位移。

3. 刚体转动：当一个刚体绕固定轴线转动时，我们可以通过观察刚体的运动轨迹和分析受力情况来确定刚体的位移。

根据刚体所受的转动力矩和转动惯量，可以计算出刚体在不同时刻的角加速度，并通过积分求解出刚体在不同时刻的位移。

第六章位移法和力矩分配法一、基本内容及学习要求本章内容包括：位移法的基本概念，位移法基本未知量的确定，位移法的计算步骤和示例，位移法的典型方程，力矩分配法的基本概念，力矩分配法计算连续梁和无结点线位移刚架，超静定结构的受力分析和变形特点等。

重点是位移法的基本原理及用位移法计算刚架，力矩分配法的基本原理和计算方法。

位移法是解算超静定结构的基本方法之一，力矩分配法是由位移法演变出来的常用渐进解法。

通过本章学习应达到：(1)掌握位移法的基本原理，准确判定位移法的基本未知量。

(2)灵活应用等截面单跨超静定梁的转角位移方程[教材式(5—3)～(5—6)]或表5—1，确定各种外因影响下的杆端弯矩和杆端剪力。

(3)熟练掌握位移法计算超静定梁和刚架的方法及步骤。

对照力法典型方程，加深对位移法典型方程的理解。

(4)掌握力矩分配法的计算原理和步骤，会计算连续梁和无结点线位移刚架。

(5)初步了解超静定结构的受力特点和变形性能。

根据不同结构选择合理的计算方法。

二、学习指导(一)位移法的解题思路§6—l以两跨连续梁为例说明了位移法的解题思路：(1)把超静定结构转化为由单跨超静定梁构成的组合体，用后者代替前者计算。

(2)利用单跨梁已知的转角位移方程，应用变形协调条件，建立结点位移与单跨梁杆端内力问的关系。

(3)根据组合体与原结构受力一致应满足的平衡条件，建立以结点位移为基本未知量的位移法方程。

(4)解方程求出结点位移，进而计算单跨梁的杆端内力。

教材§6—3以示例阐明了位移法的计算步骤和实际应用。

此外，教材§6—4介绍了建立位移法方程的另一途径，即首先选取基本结构，然后根据基本结构受力和变形应与原结构一致的条件建立位移法典型方程，求出其系数和自由项，同样解方程求得结点位移并绘出最后弯矩图。

其实，两种方式本质完全相同，只是建立方程的途径不同而已。

针对图6．1 a所示刚架的计算过程，可做如下扼要对比(表6．1)。