河南省开封市2020届高三二模考试数学(文)试题 Word版含解析

试题解析：
（Ⅰ）因为 底面 ， 平面 ，所以
又因为正方形 中， ，
所以 平面
又因为 平面 ，所以
因为 分别是 、 的中点，所以
所以
（Ⅱ）（方法一）由（Ⅰ）可知， ， ， 两两垂直，以 为 轴，以 为 轴，以 为 轴，设 ，
， ， ， ，
， ，
设平面 的一个法向量 ，
，解得
设直线 与平面 所成角为 ，则
1.设复数 ，则复数 的共轭复数的模为( )
A． B．1C．2D．
2.设全集 ，函数 的定义域为M，则 为( )
A. B. C. D.
3．偶函数 在 上单调递减，则 的大小关系是( )
A B C D不能确定
4．已知 为等差数列且公差 ，其首项 ，且 成等比数列， 为 的前 项和， ，则 的值为( )
设 ，则由题意知 ， ， ， ，
， ，
设平面 的法向量为 ，
则由 得 ，令 ，则 ， ，
所以取 ，显然可取平面 的法向量 ，
由题意： ，所以 .
由于 平面 ，所以 在平面 内的射影为 ，
所以 为直线 与平面 所成的角，
易知在 中， ，从而 ，
所以直线 与平面 所成的角为 .
【点睛】
本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和直线与平面所成角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
【解析】
【分析】
（1）设出数列的公差为d,根据等比中项列出等式，得到公差，即可得到通项公式；（2）利用裂项相消求和法可得结果.
【详解】
（1）设数列{an}的公差为d，

成立．
（1）求实数 k 的值；
（2）若 m 1 ， n 1 且求证 f (m) f (n) 10 ，求证： 9 1 16 ．
2
2
mn 3
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高三第二次模拟考试卷
文科数学（二）答 案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．【答案】C
B．若 1 x 1，则 x2 1
C．若 x 1或 x 1，则 x2 1
D．若 x 1或 x 1，则 x2 1
4焦点分别为 F1 ，F2 ，过 F2 且垂直于长轴的直线交椭圆于 A, B 两点，
则 △ABF1的周长为（ ）
A． 4
B． 6
C． 8
D．16
为
cos2
2asin (a
0)
，过点
P(1, 2)
的直线 l
的参数方程为
x
1
2t 2 （ t 为参数），l
y
2
2t 2
与 C 交于 A ， B 两点．
（1）求 C 的直角坐标方程和 l 的普通方程；
（2）若 PA ， AB ， PB 成等比数列，求 a 的值．
23．（12 分）已知定义在 R 上的函数 f (x) 2x k 2 x ， k N* ．存在实数 x0 使 f (x0 ) 2
∴△ABF1的周长为| AF1 | | BF1 | | AB | (| AF1 | | AF2 |) (| BF1 | | BF2 |) 8 ，
故选 C． 5．【答案】A
【解析】因为平面向量 a (1, 3) ， b (2, 0) ，

河南省开封市城关中学2019-2020学年高二数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设x∈R，则“x=1”是“复数z=（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由于复数z=（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数，则其实部为0，虚部不为0，故可得到x的值，再与“x=1”比较范围大小即可．【解答】解：由于复数z=（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数，则，解得x=1，故“x=1”是“复数z=（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数”的充要条件．故答案为 C．2. 为了在运行下面的程序之后得到输出16，键盘输入x应该是（）INPUT xIF x<0 THENy=(x+1)*(x+1)ELSEy=(x-1)*(x-1)END IFPRINT yENDA． 3或-3 B． -5 C．5或-3 D． 5或-5参考答案：D无3. 在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数分别为：9.4 、8.4 、9.4、9.9、9.6 、9.4、9.7去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为A．9.4 ；0.484 B．9.4 ；0.016 C．9.5 ；0.04 D．9.5 ；0.016参考答案：D略4. 如果直线与直线互相垂直，那么的值等于（）A、 B、 C、 D、..参考答案：D略5. 以下四个命题中，其中真命题的个数为（）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②对于命题p：?x∈R，使得x2+x+1＜0．则￢p：?x∈R，均有x2+x+1≥0；③“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的充分不必要条件；④命题p：“x＞3”是“x＞5”的充分不必要条件．A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：A【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；探究型；数学模型法；简易逻辑．【分析】直接由抽样方法判断①；写出特称命题否定判断②；求解对数不等式，然后利用充分必要条件的判定方法判断③；直接利用充分必要条件的判定方法判断④．【解答】解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，故①错误；②对于命题p：?x∈R，使得x2+x+1＜0．则￢p：?x∈R，均有x2+x+1≥0，故②正确；③由ln（x+1）＜0，得0＜x+1＜1，即﹣1＜x＜0，∴“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的必要不充分条件，故③错误；④命题p：“x＞3”是“x＞5”的必要不充分条件，故④错误．故选：A．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了充分必要条件的判定方法，考查了特称命题的否定，是基础题．6. 双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于3，那么点P与两个焦点所构成的三角形的周长等于A．26 B．32C．36 D．42参考答案：D7. 已知则不等式的解集是（）A． B．C． D．参考答案：B略8. 如果命题“”是真命题，则正确的是（）A．p，q均为真命题 B．p，q中至少有一个为假命题C．p，q均为假命题 D．p，q中至多有一个为假命题参考答案：B9. 曲线y=x在点P（2，8）处的切线方程为A.y=6x-12B.y=12x-16C.y=8x+10D.y=12x-32参考答案：A10. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，则角B=A. B. C. D.参考答案：B【分析】由，可得，结合余弦定理即可得到B的大小. 【详解】由，可得，根据余弦定理得，∵，∴．故应选B．【点睛】对于余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还要记住，，等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若抛物线的焦点在直线x﹣2y﹣4=0上，则此抛物线的标准方程是．参考答案：y2=16x或x2=﹣8y【考点】抛物线的标准方程．【分析】分焦点在x轴和y轴两种情况分别求出焦点坐标，然后根据抛物线的标准形式可得答案．【解答】解：当焦点在x轴上时，根据y=0，x﹣2y﹣4=0可得焦点坐标为（4，0）∴抛物线的标准方程为y2=16x当焦点在y轴上时，根据x=0，x﹣2y﹣4=0可得焦点坐标为（0，﹣2）∴抛物线的标准方程为x2=﹣8y故答案为：y2=16x或x2=﹣8y【点评】本题主要考查抛物线的标准方程．属基础题．12. 设命题p：c2＜c和命题q：对?x∈R，x2+4cx+1＞0，若p和q有且仅有一个成立，则实数c的取值范围是．参考答案：【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】通过解二次不等式求出p真的c的范围，通过解二次不等式恒成立求出q真时c 的范围；再分类讨论求出c的范围．【解答】解：若p真则有0＜c＜1若q真则有△=16c2﹣4＜0得∵p和q有且仅有一个成立∴当p真q假时有∴当p假q真有∴故答案为：13. 已知坐标平面上三点，是坐标平面上的点，且，则点的轨迹方程为．参考答案：.解析：如图，作正三角形，由于也是正三角形，所以可证得≌，所以．又因为，所以点共线．，所以P点在的外接圆上，又因为，所以所求的轨迹方程为．14. 在△ABC中,若,,,则的大小为___________.参考答案：略15. 如图，矩形ABCD中，AB=2AD=2，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE，若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，对于下列说法：①|CA|≥|CA1|②经过点A、E、A1、D的球的体积为2π③一定存在某个位置，使DE⊥A1C④|BM|是定值其中正确的说法是．参考答案：①④【考点】棱锥的结构特征．【分析】在①中，在△ADE翻转过程中，始终有|CA|≥|CA1|；在②中，A，D，E是定点，A1是动点，经过点A、E、A1、D的球的体积不是定值；在③中，AC与DE不垂直，从而DE 与A1C不垂直；在④中，取DC中点N，连MN，NB，根据余弦定理得到|BM|是定值．【解答】解：在①中，在△ADE翻转过程中，始终有|CA|≥|CA1|，故①正确．在②中，∵AD=AE=A1D=A1E=1，A，D，E是定点，A1是动点，∴经过点A、E、A1、D的球的体积不是定值，故②错误；在③中，∵A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，∴存在某个位置，使DE⊥A1C不正确，故③不正确．在④中，取DC中点N，连MN，NB，则MN∥A1D，NB∥DE，∴面MNB∥面A1DE，MB?面MNB，∴MB∥面A1DE，故④正确；∠A1DE=∠MNB，MN=是定值，NB=DE是定值，根据余弦定理得到：MB2=MN2+NB2﹣2MN?NB?cos∠MNB，∴|BM|是定值，故④正确．故答案为：①④．16. 椭圆若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点，又焦点到同侧长轴端点的距离为，求椭圆的方程．参考答案：【考点】椭圆的标准方程．【分析】由题意推出椭圆的关系，b=c，利用焦点到同侧长轴端点距离为，求出a，b，即可求出椭圆的方程．【解答】解：因为椭圆的对称轴在坐标轴，两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个顶点，所以b=c，a=b，又焦点到同侧长轴端点距离为，即a﹣c=，即a﹣b=，解得a=，b=c=1，所以当焦点在x轴时，椭圆的方程为： =1；当焦点在y轴时，椭圆的方程为=1．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，椭圆的基本性质，考查计算能力，属于中档题．17. 在直角坐标系xOy，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程式ρ=﹣4cosθ，则圆C的圆心到直线l的距离为．参考答案：【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】直线l的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式，即可得出结论．【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数），普通方程为x﹣y+1=0，圆ρ=﹣4cosθ 即ρ2=﹣4ρcosθ，即 x2+y2+4x=0，即（x+2）2+y2=4，表示以（﹣2，0）为圆心，半径等于2的圆．∴圆C的圆心到直线l的距离为=，故答案为．【点评】本题考查三种方程的转化，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

河南省开封市城镇完全中学2020年高二数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如果直线与直线互相垂直，那么a的值等于（）A．B．C．D．参考答案：D2. 中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天其因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达了目的地，问此人第二天走的路程里数为( )A. 76B. 96C. 146D. 188参考答案：B3. 复数z＝的共轭复数是（A）2+i （B）2－i （C）－1+i （D）－1－i参考答案：D4. 设有一个回归方程为，变量增加一个单位时，则（）A．平均增加2个单位 B．平均增加3个单位[C．平均减少2个单位 D．平均减少3个单位参考答案：B略5. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，则A＝()A. B. C. D.参考答案：A6. 曲线在点(1,2)处的切线斜率为（）A. 1B. 2C. 3D. 4参考答案：A【分析】先对函数求导，再将代入导函数，即可得出结果.【详解】因为，所以，因此，曲线在点处的切线斜率为.故选A【点睛】本题主要考查曲线在某点处的切线斜率，熟记导数的几何意义即可，属于基础题型.7. 已知原命题“若a＞b＞0，则＜”，则原命题，逆命题，否命题，逆否命题中真命题个数为（）A．0 B．1 C．2 D．4参考答案：C【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】根据逆否命题的等价性分别进行判断即可．【解答】解：若a＞b＞0，则＜成立，则原命题为真命题，则逆否命题为真命题，命题的逆命题为若＜，则a＞b＞0，为假命题，当a＜0，b＞0时，结论就不成立，则逆命题为假命题，否命题也为假命题，故真命题的个数为2个，故选：C8. 过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程是（）A． B． C． D．参考答案：D略9. 设A、B、C、D是空间不共面的四个点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD的形状是（）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形D．无法确定参考答案：C略10. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：），可得这个几何体的体积是（）A．B． C． D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，则= .参考答案：812. 已知α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，给出条件：①α∩β=?；②a⊥α，a⊥β；③a∥α，b∥α， bβ，上述条件中能推出平面α∥平面β的是__________（填写序号）参考答案：①②①若，则平面与平面无公共点，可得，①正确；②若，，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得，故②正确；③若，，则与可能平行也可能相交，且与无关，故③错误．故答案①②．13. 用两种材料做一个矩形框，按要求其长和宽分别选用价格为每米3元和5元的两种材料，且长和宽必须为整数，现预算花费不超过100元，则做成的矩形框所围成的最大面积是．参考答案：解析：设长x米，宽y米，∴6x+10y≤100即3x+5y≤50∵100≥3x+5y≥2，当且仅当3x=5y时等号成立，∵x，y为正整数，∴只有3x=24,5y=25时，此时面积xy=40平方米。

开封市2020届高三第一次模拟考试数学（文科）试题注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卷面清洁，不折叠，不破损.5.做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 参考公式：样本数据1x ，2x ，…n x 的标准差()()()222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦其中x 为样本平均数 柱体体积公式V Sh = 其中S 为底面面积，h 为高 锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高 球的表面积，体积公式24S R π= 343V R π=其中R 为球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|23A x x x =≤-≥或，B N =，则()R B C A =（ ）A.1,0,1,2B. {}1-C. {}1,0-D. {}0,1,2【答案】D【解析】 【分析】根据补集定义先求得R C A ,再根据交集运算即可求解. 【详解】集合{|2A x x =≤-或}3x ≥ 所以{}|23R C A x x =-<< 因为B N =则(){}0,1,2R B C A ⋂= 故选:D【点睛】本题考查了集合补集与交集的混合运算,属于基础题. 2.复数1a ii++的实部小于虚部，则实数a 的取值范围是（ ） A. (),0-∞ B. (),1-∞C. ()0,∞+D. ()1,+∞【答案】A 【解析】 【分析】将复数化简后求得实部与虚部,即可根据实部小于虚部求得实数a 的取值范围. 【详解】根据复数的除法运算,则()()()()()1+1+1+11111222a i i a a i a i a ai i i i +--+-===+++- 所以实部为+12a ,虚部为12a - 由实部小于虚部可知+1122a a-< 解不等式可得0a <即实数a 的取值范围为(),0-∞ 故选:A【点睛】本题考查了复数的概念,复数除法运算,属于基础题.3.已知a →,b →为非零向量，则“•0a b >”是“a →与b →夹角为锐角”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】根据向量数量积的定义式可知，若0a b ⋅>，则a 与b 夹角为锐角或零角，若a 与b 夹角为锐角，则一定有0a b ⋅>，所以“0a b ⋅>”是“a 与b 夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.4.已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点()1,2-，则tan2α=（ ） A. 34-B.34C. 43-D.43【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义可求得tan α,结合正切的二倍角公式即可求得tan2α的值. 【详解】因为角α的终边经过点()1,2-由三角函数定义可得2tan 21α-==- 根据正切的二倍角22tan tan21tan ααα=-代入可得()()2224tan 2312α⨯-==-- 故选:D【点睛】本题考查了三角函数的定义,正切二倍角公式的应用,属于基础题.5.已知定义在[]5,12m m --上的奇函数()f x ，满足0x >时，()21xf x =-，则()f m 的值为（ ） A. -15 B. -7C. 3D. 15【答案】A 【解析】【分析】根据奇函数定义域关于原点中心对称,可求得m 的值.根据奇函数性质,即可求得()f m 的值. 【详解】因为奇函数的定义域关于原点中心对称 则5120m m -+-=,解得4m =-因为奇函数()f x 当0x >时,()21xf x =-则()()()4442115f f -=-=--=-故选:A【点睛】本题考查了奇函数的定义域关于原点对称,奇函数的性质应用,属于基础题. 6.某省普通高中学业水平考试成绩按人数所占比例依次由高到低分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级，A 等级15%，B 等级30%，C 等级30%，D ，E 等级共25%.其中E 等级为不合格，原则上比例不超过5%.该省某校高二年级学生都参加学业水平考试，先从中随机抽取了部分学生的考试成绩进行统计，统计结果如图所示.若该校高二年级共有1000名学生，则估计该年级拿到C 级及以上级别的学生人数有（ ）A. 45人B. 660人C. 880人D. 900人【答案】D 【解析】 【分析】根据A 等级的人数和占比,可计算出样本容量.再根据扇形图可计算出A 、B 、C 等级一共的人数,即可估计该年级拿到C 级及以上级别的学生人数.【详解】由条形图和扇形统计图可知,在抽取的部分学生中A 等级共有10人,占样本容量的20%所以样本容量为105020%= 则样本中B 等级人数为5046%23⨯=人 由条形图可知样本中C 等级人数为12人所以在样本中C 级及以上级别的学生人数为10231245++=人 则该年级拿到C 级及以上级别的学生人数为45100090050⨯=人 故选:D【点睛】本题考查了条形图与扇形图在统计中的应用,样本与总体的关系,属于基础题. 7.国庆阅兵式上举行升旗仪式，在坡度为15︒的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60︒和30，第一排和最后一排的距离为106米，则旗杆的高度约为（ ）A. 103B. 22米C. 30米D. 35米【答案】C 【解析】 【分析】由正弦与余弦的差角公式求得sin15cos15、的值.设旗杆高为x ,根据观礼台的斜面距离和坡度可求得观礼台的水平长度和垂直高度.表示出PD 的值,再在三角形CDP 中解三角形即可求得旗杆高度.【详解】由正弦与余弦的差角公式可知()62sin15sin 4530sin 45cos30sin 30cos 45-=-=-=()62cos15cos 4530cos 45cos30sin 30sin 454+=-=+=根据题意,设旗杆高度为x ,将各个位置用点标出来如下图所示:则PQ x =,且60PAQ ∠=可得3AQ x =则由106,15AC CAB =∠= 可得62cos151061553AB DQ AC +====+62sin151061553BC AC -===-则31553CD BQ AB AQ ==+=+ (1553PD PQ DQ x =-=--因为30PCD ∠=则满足3CD PD =即(3155331553x x ⎤+=--⎦解方程可求得30x = 故选:C【点睛】本题考查了解三角形在实际问题中的应用,正弦与余弦差角公式的用法.建立合适的数学模型是解决此类问题的关键,属于基础题.8.设函数()3ln f x a x bx =+在点()1,1-处的切线经过点()0,1，则实数+a b 的值为（ ）A. -2B. -1C. 0D. 1【答案】C 【解析】【分析】函数过点()1,1-,代入可求得b .根据导数的几何意义,求得导数后将切点的横坐标带入为切线斜率,即可求得a 的值,进而求得+a b 的值.【详解】因为函数()3ln f x a x bx =+在点()1,1-处的切线经过点()0,1所以()11f =-,代入可得1b =- 因为()2'3af x bx x=+ 所以经过点()1,1-与点()0,1的斜率为()11201k --==-- 且()'13f a =- 即32a -=-,解得1a = 所以()110a b +=+-= 故选:C【点睛】本题考查了利用导数求函数切线方程的方法,利用两点间斜率公式表示出斜率,与导函数相等即可,属于基础题.9.已知{}n F 是斐波那契数列，则121F F ==，12n n n F F F --=+（*n N ∈且3n ≥），下图程序框图表示输出斐波那契数列的前n 项的算法，则n =（ ）A. 10B. 18C. 20D. 22【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图的结构,计算出前几项,结合归纳推理即可得解. 【详解】1,1,1i a b === 第一次循环:2,2,3i b a === 第二次循环:3,5,8i b a === 第三次循环:4,13,21i b a ===⋅⋅⋅由以上循环可知,每循环一次,输出斐波那契数列的2项 所以当10i =时,共输出数列的20项 故选:C【点睛】本题考查了程序框图循环结构的特征,斐波那契数列的特征,归纳推理的应用,属于基础题.10.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，圆O ：2222x y a b +=+与C 在第一象限的交点为M ，若12MF F ∆的面积为ab ，则双曲线C 的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 5【答案】A 【解析】 【分析】根据M 为圆O :2222x y a b +=+与C 在第一象限的交点,结合双曲线中a b c 、、的关系可判断12MF F ∆为直角三角形.由双曲线中焦点三角形的面积公式可得a b 、的等量关系,即可求得离心率.【详解】根据题意画出图形如下图所示:圆O ：2222x y a b +=+,由双曲线中222+=a b c 可知 22a b c +=,圆心为原点 因而12F F 为圆的直径 所以1290F MF ∠=根据双曲线中焦点三角形面积公式12222tan 45tan 2MF F b b S b θ∆===由题意可得122MF F S b ab ∆==,即b a =由双曲线离心率c e a ===故选:A【点睛】本题考查了圆与双曲线的综合应用,双曲线焦点三角形的面积公式及离心率求法,属于基础题.11.将函数()sin cos f x a x b x =+的图象向右平移3π个单位长度得到()g x 的图象，若()g x 的对称中心为坐标原点，则关于函数()f x 有下述四个结论： ①()f x 的最小正周期为2π ②若()f x 的最大值为2，则1a = ③()f x 在[],ππ-有两个零点 ④()f x 在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调 其中所有正确结论的标号是（ ） A. ①③④ B. ①②④C. ②④D. ①③【答案】A 【解析】 【分析】根据辅助角公式化简()f x ,根据平移后的图像()g x 关于原点中心对称可求得()f x 解析式.根据正弦函数的图像与性质可依次判断四个选项是否正确. 【详解】函数()sin cos f x a x b x =+,由辅助角公式可得()(),tan bf x x aϕϕ=+=将()f x 图像向右平移3π单位长度可得()3g x x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭因为()g x 的对称中心为坐标原点,由正弦函数图像与性质可知()g x 过()0,0即03πϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,可得,3k k Z πϕπ=+∈则(),tan tan ,333b f x x k k k Z a πππππ⎛⎫⎛⎫=+++==∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于①()f x 的最小正周期为221T ππ==,所以①正确; 对于②若()f x 的最大值为2,则2b a=⎨=⎪⎩,解得1a =±,所以②错误03x k ππ⎛⎫++= ⎪⎝⎭,当[],x ππ∈-时,满足123x k k πππ++=,12,k k Z ∈.解方程可得3x π=-或23x π=,所以③正确; 对于④, (),tan ,33b f x x k k Z a πππ⎛⎫=++=∈ ⎪⎝⎭,则其一个单调递增区间为,232x k k Z ππππ-≤++≤∈,解得5,66k x k k Z ππππ--≤≤-∈,当0k =时满足()f x 在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调,所以④正确. 综上可知,正确的为①③④故选:A【点睛】本题考查了正弦函数的图像与性质的综合应用,辅助角公式的用法,三角函数图像平移变换,综合性较强,属于中档题.12.已知正方体的棱长为1，平面α过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线所成的角相等，则该正方体在平面α内的正投影面积是（ ）A. 2D. 4【答案】B【解析】【分析】根据正方体每条棱所在直线与平面α所成的角相等,可得该平面α的截面.由正方体的棱长及投影形状,即可求出正投影的面积.【详解】正方体的棱长为1,平面α过正方体的一个顶点,且与正方体每条棱所在直线所成的角相等,可得空间几何体及平面α如下图所示:该正方体在平面α内的正投影如下图所示:则111ABCC D A 即为该正方体在平面α内的正投影面积,该投影是正六边形.因为正方体的棱长为1,则 2AC =则由正六边形的性质可知126tan 30B M == 则11623BB B M == 所以111126322236CB B S CM BB =⨯⨯=⨯= 则11113663ABCC D A CB B S S ===故选:B【点睛】本题考查了空间中直线与平面的夹角,空间几何体在平面上的投影面积问题,对空间想象能力要求较高,属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()2,6a =-，()3,b m =，若a b a b +=-，则m =______.【答案】1【解析】【分析】根据向量加法和减法的坐标运算,先分别求得a b +与a b -,再结合向量的模长公式即可求得m 的值.【详解】向量()2,6a =-,()3,b m =则()5,6a b m +=-+,()1,6a b m -=---则25a b +=+=()()16a b m -=-+--=因为a b a b +=-=,化简可得12611237m m -+=+解得1m =故答案为: 1【点睛】本题考查了向量坐标加法和减法的运算,向量模长的求法,属于基础题.14.已知点()0,2A ，动点(),P x y 的坐标满足条件0x y x≥⎧⎨≤⎩，则PA 的最小值是______.【解析】【分析】根据不等式组,可得动点(),P x y 的可行域.结合点()0,2A 的位置,由几何关系即可求得PA 的最小值. 【详解】因为动点(),P x y 的坐标满足条件0x y x ≥⎧⎨≤⎩则动点(),P x y 运动的可行域如下图所示:由图可知,当PA与y x=垂直时, PA的值最小min22sin4522PA==⨯=故答案为: 2【点睛】本题考查了不等式表示的可行域,点到可行域距离最小值的求法,属于基础题. 15.如图，两个同心圆的半径分别为1和2，点M在大圆上从点0M出发逆时针匀速运动，点N在小圆上从点0N出发顺时针匀速运动.图中的阴影是运动一秒钟后，OM，ON分别扫过的扇形.假设动点M，N运动了两秒钟，在OM，ON扫过的扇形中任取一点，则该点落在公共区域内的概率是______.【答案】1 21【解析】【分析】根据动点运动的过程,可得2秒钟后重叠部分.分别求出总的面积和重叠部分面积,根据几何概型概率的求法即可求解.【详解】由题意可知,两秒钟后形成的图形如下图所示:大圆半径为2,小圆半径为1.重叠部分的圆心角为30 所以重叠部分的面积为2301==12360S ππ⨯⨯重 两部分总的面积为221202150174360360S πππ⨯⨯⨯⨯=+= 则点落在公共区域内的概率为4112=7127214S Sππππ=⨯=重 故答案为: 121【点睛】本题考查了几何概型概率的求法,扇形面积公式,属于基础题. 16.若数列{}n a 满足21321111222n n a a a a a a --<-<<-<，则称数列{}n a 为“差半递增”数列.若数列{}n a 为“差半递增”数列，且其通项n a 与前n 项和n S 满足()*221n n S a t n N =+-∈，则实数t 的取值范围是______.【答案】1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】根据221n n S a t =+-,利用递推公式求得数列{}n a 的通项公式.再根据新定义的意义,代入解不等式即可求得实数t 的取值范围.【详解】因()*221n n S a t n N =+-∈所以当2n ≥时, 11221n n S a t --=+-两式相减可得122n n n a a a -=-,即12n n a a -=,所以数列{}n a 是以公比2q 的等比数列当1n =时,112a t =-所以()1122n n a t -=-⋅ 则()()122111312212232222n n n n n a a t t t ----⎛⎫-=-⋅--⋅=-⋅ ⎪⎝⎭ ()()11111312212232222n n n n n a a t t t --+⎛⎫-=-⋅--⋅=-⋅ ⎪⎝⎭由“差半递增”数列的定义可知2133323222n n t t --⎛⎫⎛⎫-⋅<-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简可得3332322t t ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭解不等式可得12t 即实数t 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 故答案为: 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了数列递推公式的简单应用,等比数列通项公式在新定义里的应用,属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共50分.17.已知等差数列{}n a 满足121n n a n a ++=+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】(1) n a n =. (2) 21n n T n =+ 【解析】【分析】 （1）根据递推公式121n n a n a ++=+,带入求得首项1a .由递推可得1121n n a n a -+-=+,作差即可得等差数列的公差d ,即可得等差数列的通项公式{}n a（2）先求得等差数列的前n 项和n S ,可得1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式,根据裂项求和即可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【详解】（1）由已知{}n a 为等差数列,记其公差为d .①当2n ≥时,1121121n n nn a n a a n a +-+=+⎧⎨+-=+⎩, 两式相减可得12d d +=解得1d =②当1n =时,21121a a +=+,所以11a =.则()111n a n n =+-⨯=.（2）()12n n n S += ()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭所以111111*********n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 122111n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式,等差数列的前n 项和公式,裂项求和法的应用,属于基础题.18.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,0F ，动点Q 到点F 的距离比到y 轴的距离大1个单位长度.（1）求动点Q 的轨迹方程E ；（2）若过点F 的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，且8FA FB ⋅=-，求直线l 的方程.【答案】(1) 24y x = (2) 1y x =-或1y x =-+.【解析】【分析】（1）由抛物线定义可知动点的轨迹为抛物线,根据题意可得准线方程,由准线方程可求得抛物线的方程.（2）当斜率不存在时,带入FA FB ⋅检验是否成立；当斜率存在时,设出直线方程,联立抛物线,根据韦达定理可得1212,x x x x +⋅.由向量数量积定义即可得关于k 的方程,解方程即可求得k 的值.【详解】（1）根据抛物线的定义,知动点Q 的轨迹是以F 为焦点,以1x =-为准线的抛物线 所以动点Q 的轨迹方程E 为：24y x =（2）①当l 的斜率不存在时,可知48FA FB ⋅=-≠-,不符合条件②当l 的斜率存在且不为0时,设l ：()1y k x =-, 则()214y k x y x⎧=-⎨=⎩,联立可得()2222240k x k x k -++=, 设()11,A x y ,()22,B x y ,则212224k x x k++=,121x x ⋅=. 因为向量FA ,FB 方向相反,所以()()1211FA FB FA FB x x ⋅=-=-++()121224148x x x x k ⎛⎫=-+++=-+=- ⎪⎝⎭所以21k =,即1k =±所以直线l 的方程为1y x =-或1y x =-+.【点睛】本题考查了抛物线的定义及标准方程的求法,直线与抛物线相交时满足条件的直线方程求法,属于基础题.19.底面ABCD 为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体.若4DA DH DB ===，3AE CG ==.（1）求证：EG DF ⊥；（2）求三棱锥F BEG -的体积.【答案】(1)证明见解析；83 【解析】【分析】（1）根据直线与平面垂直的关系,可得EG ⊥平面BDHF ,即可证明EG DF ⊥.（2）根据条件可证明 EA ∥平面BCGF ,即点A 到平面BCGF 的距离等于点E 到平面BCGF 的距离.根据等体积可知F BEG E BGF A BGF V V V ---==,即可求得三棱锥F BEG -的体积.【详解】（1）证明：连接AC ,由//AE CG 可知四边形AEGC 为平行四边形所以//EG AC .由题意易知AC BD ⊥,AC BF ⊥所以EG BD ⊥,EG BF ⊥,因为BD BF B =所以EG ⊥平面BDHF又DF ⊂平面BDHF所以EG DF ⊥（2）设AC BD O =,EG HF P =由已知可得平面//ADHE 平面BCGF所以//EH FG同理可得//EF HG ,所以四边形EFGH 为平行四边形所以P 为EG 的中点,O 为AC 的中点 所以//OP AE且3OP =,4DH =由平面几何知识,得2BF = 所以142BFG S BF BC ∆=⨯⨯= 因为//EA FB ,FB ⊂平面BCGF ,EA ⊄平面BCGF所以//EA 平面BCGF所以点A 到平面BCGF 的距离等于点E 到平面BCGF 的距离,为3所以1233F BEG E BGF A BGF BFG V V V S ---∆===⨯833= 【点睛】本题考查了直线与平面的垂直证明,利用等体积法求三棱锥的体积.转换顶点时,注意利用线面平行的性质,属于中档题.20.某次高三年级模拟考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A ，B 两道题目中任选一题作答.某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，作为下一步教学的参考依据，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001~900.（1）若采用系统抽样法抽样，从编号为001~090的成绩中用简单随机抽样确定的成绩编号为025，求样本中所有成绩编号之和；（2）若采用分层抽样，按照学生选择A 题目或B 题目，将成绩分为两层.已知该校高三学生有540人选做A 题目，有360人选做B 题目，选取的样本中，A 题目的成绩平均数为5，方差为2，B 题目的成绩平均数为5.5，方差为0.25.（i ）用样本估计该校这900名考生选做题得分的平均数与方差；（ii ）本选做题阅卷分值都为整数，且选取的样本中，A 题目成绩的中位数和B 题目成绩的中位数都是5.5.从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据做进一步调查，求取到的两个成绩来自不同题目的概率.【答案】(1)4300；(2) （i ）平均数为5.2，方差为1.36.（ii ）35 【解析】【分析】（1）根据系统抽样的特征,各个编号成等差数列,根据等差数列的首项与公差即可求得前10项的和.（2）根据分层抽样特征可知抽出的样本中A 题目的成绩有6个,B 题目的成绩有4个.求出10名学生的总成绩,即可得10名学生的平均成绩.根据所给A 题目和B 题目的平均数和方差,将方差公式变形,即可求得10名学生的成绩方差.从选取的成绩可知,A 题目中超过平均成绩的有3人,B 题目超过平均值的有2人,根据古典概型概率求法,用列举法把所有情况列举出来,即可得解.【详解】（1）由题易知,若按照系统抽样的方法,抽出的编号可以组成以25为首项,以90为公差的等差数列,故样本编号之和即为该数列的前10项之和, 所以1010910259043002S ⨯=⨯+⨯=. （2）（i ）由题易知,若按照分层抽样的方法,抽出的样本中A 题目的成绩有6个,按分值降序分别记为1x ,2x ,…,6x ；B 题目的成绩有4个,按分值降序分别记为1y ,2y ,3y ,4y . 记样本的平均数为x ,样本的方差为2s .由题意可知,()()126123410x x x y y y y x ++⋅⋅⋅+++++=56 5.54 5.210⨯+⨯== ()()()()22225.250.2520.250.2i i i i x x x x -=--=--⨯-+⎡⎤⎣⎦,1,2,,6i =⋅⋅⋅()()()()22225.2 5.50.3 5.520.3 5.50.3i i i i y y y y -=-+=-+⨯-+⎡⎤⎣⎦,1,2,,4i =⋅⋅⋅()()()()()22222126142 5.2 5.2 5.2 5.2 5.210x x x y y s -+-+⋅⋅⋅+-+-+⋅⋅⋅+-=222600.260.25400.3413.6 1.361010⨯-+⨯+⨯++⨯=== 所以,估计该校900名考生选做题得分的平均数为5.2,方差为1.36.（ii ）本选做题阅卷分值都为整数,且选取的样本中,A 题目成绩的中位数和B 题目成绩的中位数都是5.5,易知样本中A 题目的成绩大于样本平均值的成绩有3个,分别为1x ,2x ,3x ,B 题目的成绩大于样本平均值的成绩有2个,分别为1y ,2y .从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据共有种10方法,为：()12,x x ,()13,x x ,()23,x x ,()12,y y ,()11,x y ,()21,x y ,()31,x y ,()12,x y ,()22,x y ,()32,x y ,其中取到的两个成绩来自不同题目的取法共有6种,为：()11,x y ,()21,x y ,()31,x y ,()12,x y ,()22,x y ,()32,x y ,记“从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据,取到的两个成绩来自不同题目”为事件A ,所以()63105P A ==. 【点睛】本题考查了简单随机抽样中的系统抽样与分层抽样的方法与特征,平均数及方差的求法,古典概型概率的求法.方差公式的应用与变形是解决问题的关键,属于中档题.21.已知函数()sin x a f x x e=+，a R ∈，e 为自然对数的底数. （1）当1a =时，证明：(],0x ∀∈-∞，()1f x ≥；（2）若函数()f x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在极值点，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2) ()0,1a ∈【解析】【分析】（1）将1a =带入解析式,求得导函数,并判断当(],0x ∈-∞时函数的单调性,根据函数单调性求得函数在(],0x ∈-∞时的最小值,即可证明.（2）先求得导函数,讨论在a 的不同取值范围内函数的单调情况,根据函数的单调情况判断其极值的个数,即可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）证明:当1a =时,()1sin x f x x e =+,则()1'cos x f x x e -=+, 当(],0x ∈-∞时,01x e <≤,则11x e-≤-,又因为c o s 1x ≤, 所以当(],0x ∈-∞时,()1'cos 0x f x x e-=+≤,仅0x =时,()'0f x =, 所以()f x 在(],0-∞上是单调递减,所以()()01f x f =≥,即()1f x ≥.（2）()'cos x a f x x e-=+,因为,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,所以cos 0x >,0x e >, ①当0a ≤时,()'0f x >恒成立,所以()f x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,没有极值点. ②当0a >时,()'cos x a f x x e-=+在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增, 因为2'02f a e ππ⎛⎫-=-⋅< ⎪⎝⎭,()'01f a =-+. 当1a ≥时,,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()()''010f x f a ≤=-+≤ 所以()f x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减,没有极值点. 当01a <<时,()'010f a =-+>,所以存在0,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,使()0'0f x = 当0,2x x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()'0f x <,()0,0x x ∈时,()'0f x > 所以()f x 在0x x =处取得极小值,0x 为极小值点.综上可知,若函数()f x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在极值点,则实数()0,1a ∈. 【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性,并根据单调性求得最值来证明不等式成立.对参数进行分类讨论,讨论在不同范围内函数的单调情况及最值情况.是高考的重点和难点,属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多选，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为ρ=（1）求曲线1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；（2）设P 是曲线1C 上一点，此时参数4πϕ=，将射线OP 绕原点O 逆时针旋转3π交曲线2C 于点Q ，记曲线1C 的上顶点为点T ，求OTQ ∆的面积.【答案】(1) 1C ：()221sin 2ρθ+=，2C ：222x y +=.(2) 46- 【解析】【分析】（1）根据参数方程与直角坐标方程的转化,先将1C 的参数方程转化为直角坐标方程.根据极坐标与直角坐标方程的转化,再将直角坐标方程转化为极坐标方程.根据极坐标与直角坐标方程的转化,将2C 的极坐标方程转化为直角坐标方程.（2）根据参数4πϕ=求得P 的极坐标.根据变换过程可得点Q 的极坐标,根据三角形面积为12OTQ Q S OT x ∆=⋅即可求得OTQ ∆的面积.【详解】（1）由已知可得1C ：2212x y += 则极坐标方程为()221sin 2ρθ+= 2C ：222xy +=.（2）设点Q 的横坐标为Q x ,则由已知可得12OTQ Q S OT x ∆=⋅ 且直角坐标P ⎛⎝,极坐标2P θ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,其中sin θ=cos θ= 极坐标3Q πθ⎫+⎪⎭,则有3Q x πθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ 所以11212OTQ Q S OT x ∆=⨯⨯=⋅4=-. 【点睛】本题考查了参数方程、直角坐标方程和极坐标方程的转化,利用极坐标方程求三角形的面积,属于中档题.23.已知a ，b ，c 为一个三角形的三边长.证明：（1）3b c a a b c++≥； （2）22a b c >++.【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；【解析】【分析】（1）根据三项基本不等式,可直接证明不等式成立.（2>同理证明b >,c >后,将不等式左右两边分别相加即可证明.【详解】（1）证明:由三项基本不等式可知3b c a a b c ++≥= 不等式得证.（2）证明:由于a ,b ,c 为一个三角形的三边长,则有：2b c a =++>,>a =>,b >c >,相加得：a b c >++,左右两边同加a b c ++得：()22a b c >++所以22a b c >++不等式得证.【点睛】本题考查了不等式的简单证明,基本不等式在证明不等式中的用法,属于中档题.。

河南省开封市外语高级中学2020年高二数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在△ABC中，若a2=b2+c2﹣bc，则角A的度数为（）A．30°B．150°C．60°D．120°参考答案：A【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理即可得出．【解答】解：∵a2=b2+c2﹣bc，∴cosA===，A∈（0°，180°）．∴A=30°，故选：A．2. 已知圆C：x2+y2=4上所有的点满足约束条件，当m取最小值时，可行域（不等式组所围成的平面区域）的面积为（）A．48 B．54 C．24D．36参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据三角形的面积最小求出m的最小值，结合三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，要使圆C：x2+y2=4上所有的点满足约束条件，则m≥2，则m取最小值2时，阴影部分的面积最小，由得，即C（2，﹣6），由得，即A（2，12），由得，即B（﹣4，0），则三角形的面积S= [2﹣（﹣4）][12﹣（﹣6）]= =54，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，以及三角形的面积的计算，根据图象求出m的最小值是解决本题的关键．3. 在数列{a n}中，，，，依次计算，，后，猜想a n的表达式是（）A．B．C．D．参考答案：A由题意，数列{a n}中，，所以由此可推测数列{a n}的表达式为，故选A.4. 在中，不可能（）A．大于 B．小于 C．等于 D．大于或小于参考答案：C略5. 对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）=2x3﹣3x2+，则g（）+g（）+…+g（）=（）A．100 B．99 C．50 D．0参考答案：B【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（，1）对称，即f（x）+f（1﹣x）=2，即可得到结论．【解答】解：∵g（x）=2x3﹣3x2+，∴g′（x）=6x2﹣6x，g″（x）=12x﹣6，令g″（x）=0，解得：x=，而g（）=1，故函数g（x）关于点（，1）对称，∴g（x）+g（1﹣x）=2，∴g（）+g（）+…+g（）=g（）+g（）+g（）+g（）+…+g（）+g（）+g（）=2×49+1=99，故选：B．【点评】本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键．求和的过程中使用了倒序相加法．6. 已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a=( )A.1B.2C.-1D.-2参考答案：B略7. 设F1，F为椭圆C1： +=1，（a1＞b1＞0）与双曲线C2的公共左、右焦点，它们在第一象限内交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|=2，若椭圆C1的离心率e∈[，]，则双曲线C2的离心率的取值范围是（）A．[，] B．[，++∞）C．（1，4] D．[，4]参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】如图所示，设双曲线C2的离心率为e1，椭圆与双曲线的半焦距为c．由椭圆的定义及其题意可得：|MF2|=|F1F2|=2c，|MF1|=2a﹣2c．由双曲线的定义可得：2a﹣2c﹣2c=2a1，即a﹣2c=a1，可得﹣2=，利用e∈[，]，即可得出双曲线C2的离心率的取值范围．【解答】解：如图所示，设双曲线C2的离心率为e1．椭圆与双曲线的半焦距为c．由椭圆的定义及其题意可得：|MF2|=|F1F2|=2c，|MF1|=2a﹣2c．由双曲线的定义可得：2a﹣2c﹣2c=2a1，即a﹣2c=a1，∴﹣2=，∵e∈[，]，∴∈[，]，∴∈[，]．∴e1∈[，4]．故选：D．8. 已知函数则的值为A．-20 B．-10 C．10 D．20参考答案：D9. 盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机抽取4个，那么为( )A．恰有1个坏的概率B．恰有2个好的概率C．4个全是好的概率 D．至多2个坏的概率参考答案：B试题分析：恰有1个坏的概率为＝.恰有2个好的概率为＝.故选B.考点：古典概型概率10. 若，满足约束条件，则目标函数的最大值是．．．．参考答案：．实数，满足不等式组，则可行域如图，作出，平移，当直线通过时，的最大值是．故选．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 当时，下面的程序段输出的结果是_____________;IF THENelsePRINT y参考答案：612. 在三棱锥中，侧棱两两互相垂直，面积分别为则三棱锥的外接球的体积为参考答案：略13. 设，利用课本中推导等差数列的前项和的公式的方法，可求得的值为：。

河南省开封市第二职业高级中学2019-2020学年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知双曲线的一个焦点为,且双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的方程为（）A． B. C. D.参考答案：D2. 不等式|x﹣5|+|x+1|＜8的解集为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣2，6）C．（6，+∞）D．（﹣1，5）参考答案：B【考点】绝对值不等式的解法．【分析】由条件利用绝对值的意义，求得绝对值不等式|x﹣5|+|x+1|＜8的解集．【解答】解：由于|x﹣5|+|x+1|表示数轴上的x对应点到5、﹣1对应点的距离之和，而数轴上的﹣2和6对应点到5、﹣1对应点的距离之和正好等于8，故不等式|x﹣5|+|x+1|＜8的解集为（﹣2，6），故选：B．3. 若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（）A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3参考答案：B4. 已知函数（其中）的最小正周期为π，函数，若对，都有，则的最小正值为（）A. B. C. D.参考答案：B由函数的最小正周期为，可求得=2∴f（x）=，===2sin（+），∴又，∴x=是g(x)的一条对称轴，代入+中，有+=(k,解得=(k,k=1时，，故选B.5. 已知三个平面，若，相交但不垂直，分别为内的直线，则参考答案：B6. 若，则值为（）A．﹣ B． C． D．参考答案：B考点：函数的值；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题．分析：由先把代入“﹣x+3”求出f（）的值，再根据此值的大小代入“x+1”，求出的值．解答：解：由题意知，，∴f（）=﹣+3=，则f[f（）]=+1=．故选B．点评：本题是分段函数求值问题，对应多层求值按“由里到外”的顺序逐层求值，一定要注意自变量的值所在的范围，然后代入相应的解析式求解．7. （文）已知圆C的方程为，当圆心C到直线的距离最大时，的值为A． B． C． D．5参考答案：A8. 若函数上既是奇函数又是增函数，则函数的图象是参考答案：C略9. 我国古代秦九韶算法可计算多项式的值，当多项式为时，求解它的值所反映的程序框图如图所示，当时输出的结果为（）A．15 B．5 C．16 D．11参考答案：D考点：程序框图.10. 在ΔABC中，角所对的边分别为，满足：则等于（）（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数的图象过点（1,1）,那的反函数的图象一定经过点_____参考答案：（1，3）12. 已知集合P={,,,1,2}，集合的所有非空子集依次记为：，设分别是上述每一个子集内元素的乘积.(如果的子集中只有一个元素，规定其积等于该元素本身)，那么．参考答案：513. 已知数列{a n}的前n项和S n＝2n＋n－1，则a1＋a3＝．参考答案：714. 在数列{a n}中，满足，（且），则a8=__________．参考答案：.【分析】根据已知条件可得为等差数列，借助等差数列的通项公式可得.【详解】因为，所以为等差数列，公差，首项为1，所以其通项公式为，所以.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，根据递推关系式得出等差数列是求解关键，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.15. 已知函数,若函数的图像经过点（3，），则___;若函数是上的增函数，那么实数a的取值范围是参考答案：2；若函数的图像经过点（3，），则，解得。

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50 kg 箱产量≥50 kg
旧养殖法
新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较．
P（K2≥k） 0.050
附：
k
3.841
0.010 6.635
0.001 10.828
K2
n(ad bc)2
（2）当 M，N，B，E 四点共面时，求 C 到平面 MNBE 的距离.
19.（12 分） 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，
2（文科）
测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：
（1）记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50 kg”，估计 A 的概率；
第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17.（12 分）
△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．已知 cos B 1 ， 2
．△ABC 的面积
是否存在最大值？若存在，求对应三角形的三边；若不存在，说明理由.
的 n 的最小值为
A. 8
B. 9
C.10
D.11
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.曲线 y x+1ex 在点 0,1 处的切线方程为
.
14.为应对新冠疫情，许多企业在非常时期转产抗疫急需物资，某工厂转产甲、乙、丙、丁四 种不同型号的防疫物资，产量分别为 200，400，300，100 件．为检验产品的质量，现用分层 抽样的方法从以上所有的产品中抽 取 60 件进行检验，则应从甲种型号的产品中抽取________ 件． 15.已知直线 l : x 2 y 4 0 与圆 x2 +y2 4 交于 A, B 两点，过 A, B 分别做 l 的垂线与 x 轴交于

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分类计算得到从两类符合中任取2个符号排列,则组成不同的十进制数为0,1,2,3,即可计算得到概率．
【详解】根据题意,不同符号可分为三类：
第一类：由两个“─”组成,其二进制为：11（2）＝3（10）；
第二类：由两个“﹣﹣“组成,其二进制为：00（2）＝0（10）；
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断,即可得到结论．
【详解】由a＞b,
①当a＞b≥0时,不等式a|a|＞b|b|等价 a•a＞b•b,此时成立．
②当0＞a＞b时,不等式a|a|＞b|b|等价为﹣a•a＞﹣b•b,即a2＜b2,此时成立．
③当a≥0＞b时,不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞﹣b•b,即a2＞﹣b2,此时成立,
即充分性成立；
由a|a|＞b|b|,
①当a＞0,b＞0时,a|a|＞b|b|去掉绝对值得,（a﹣b）（a+b）＞0,
因为a+b＞0,所以a﹣b＞0,即a＞b．
②当a＞0,b＜0时,a＞b．
③当a＜0,b＜0时,a|a|＞b|b|去掉绝对值得,（a﹣b）（a+b）＜0,
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
连接 交 于点E,连接AE,求角 即可．
【详解】如图,连接 交 于点E,连接AE,
正方体中,证得： 平面 ,
所以 与平面 所成的角为 ,
设正方体的边长为 ,
在 中,求得： , ,
,所以 ,

2020年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x≤-2或x≥3}，B=N，则B∩（∁R A）=（）A. {-1，0，1，2}B. {-1}C. {-1，0}D. {0，1，2}2.复数的实部小于虚部，则实数a的取值范围是（）A. （-∞，0）B. （-∞，1）C. （0，+∞）D. （1，+∞）3.设与都是非零向量，则“”是“向量与夹角为锐角”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边经过点（1，-2），则tan2α=（）A. B. C. D.5.已知定义在[m-5，1-2m]上的奇函数f（x），满足x＞0时，f（x）=2x-1，则f（m）的值为（）A. -15B. -7C. 3D. 156.某省普通高中学业水平考试成绩按人数所占比例依次由高到低分为A，B，C，D，E五个等级，A等级15%，B等级30%，C等级30%，D，E等级共25%．其中E 等级为不合格，原则上比例不超过5%．该省某校高二年级学生都参加学业水平考试，先从中随机抽取了部分学生的考试成绩进行统计，统计结果如图所示．若该校高二年级共有1000名学生，则估计该年级拿到C级及以上级别的学生人数有（）A. 45人B. 660人C. 880人D. 900人7.2009年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10米，则旗杆的高度为（）米．A. 20B. 30C. 30D. 358. 设函数f （x ）=a ln x +bx 3在点（1，-1）处的切线经过点（0，1），则实数a +b 的值为（ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 19. 已知{F n }是斐波那契数列，则F 1=F 2=1，F n =F n -1+F n -2（n ∈N *且n ≥3），如图程序框图表示输出斐波那契数列的前n 项的算法，则n =（ ） A. 10 B. 18 C. 20 D. 22 10. 已知双曲线C ：的左、右焦点分别为F 1，F 2，圆O ：x 2+y 2=a 2+b 2与C 在第一象限的交点为M ，若△MF 1F 2的面积为ab ，则双曲线C 的离心率为（ ）A. B. C. 2 D. 11. 将函数f （x ）=a sin x +b cos x 的图象向右平移个单位长度得到g （x ）的图象，若g（x ）的对称中心为坐标原点，则关于函数f （x ）有下述四个结论： ①f （x ）的最小正周期为2π②若f （x ）的最大值为2，则a =1 ③f （x ）在[-π，π]有两个零点 ④f （x ）在区间[-，]上单调其中所有正确结论的标号是（ ） A. ①③④ B. ①②④ C. ②④ D. ①③12. 已知正方体的棱长为1，平面α过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线所成的角相等，则该正方体在平面α内的正投影面积是（ ）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知向量，，若，则m =______．14. 已知点A （0，2），动点P （x ，y ）的坐标满足条件，则|PA |的最小值是______．15.如图，两个同心圆的半径分别为1和2，点M在大圆上从点M0出发逆时针匀速运动，点N在小圆上从点N0出发顺时针匀速运动．图中的阴影是运动一秒钟后，OM，ON分别扫过的扇形．假设动点M，N运动了两秒钟，在OM，ON扫过的扇形中任取一点，则该点落在公共区域内的概率是______．16.若数列{a n}满足，则称数列{a n}为“差半递增”数列．若数列{a n}为“差半递增”数列，且其通项a n与前n项和S n满足，则实数t的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}满足a n+1+n=2a n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和，求数列的前n项和T n．18.在平面直角坐标系xOy中，已知点F（1，0），动点Q到点F的距离比到y轴的距离大1个单位长度．（1）求动点Q的轨迹方程E；（2）若过点F的直线l与曲线E交于A，B两点，且，求直线l的方程．19.底面ABCD为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体．若DA=DH=DB=4，AE=CG=3．（1）求证：EG⊥DF；（2）求三棱锥F-BEG的体积．20.某次高三年级模拟考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，作为下一步教学的参考依据，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001～900．（1）若采用系统抽样法抽样，从编号为001～090的成绩中用简单随机抽样确定的成绩编号为025，求样本中所有成绩编号之和；（2）若采用分层抽样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层．已知该校高三学生有540人选做A题目，有360人选做B题目，选取的样本中，A题目的成绩平均数为5，方差为2，B题目的成绩平均数为5.5，方差为0.25．（i）用样本估计该校这900名考生选做题得分的平均数与方差；（ii）本选做题阅卷分值都为整数，且选取的样本中，A题目成绩的中位数和B题目成绩的中位数都是5.5．从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据做进一步调查，求取到的两个成绩来自不同题目的概率．21.已知函数，a∈R，e为自然对数的底数．（1）当a=1时，证明：∀x∈（-∞，0]，f（x）≥1；（2）若函数f（x）在上存在极值点，求实数a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=（1）求曲线C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（2）设P是曲线C1上一点，此时参数φ=，将射线OP绕原点O逆时针旋转交曲线C2于点Q，记曲线C1的上顶点为点T，求△OTQ的面积．23.已知a，b，c为一个三角形的三边长．证明：（1）++≥3；（2）＞2．答案1.【答案】D2.【答案】A3.【答案】B4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】D7.【答案】B8.【答案】C9.【答案】B10.【答案】A11.【答案】D12.【答案】B13.【答案】114.【答案】15.【答案】16.【答案】17.【答案】解：（1）由已知{a n}为等差数列，记其公差为d．①当n≥2时，，两式相减可得d+1=2d，所以d=1，②当n=1时，a2+1=2a1+1，所以a1=1．所以a n=1+n-1=n；（2），，所以=．【解析】（1）设等差数列的公差为d，将已知等式中的n换为n-1，相减可得公差d=1，再令n=1，可得首项，进而得到所求通项公式；（2）由等差数列的求和公式可得S n，求得，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．本题考查等差数列的定义、通项公式和求和公式，以及数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）根据抛物线的定义，知动点Q的轨迹是以F为焦点，以x=-1为准线的抛物线，所以动点Q的轨迹方程E为：y2=4x．（2）①当l的斜率不存在时，可知，不符合条件；②当l的斜率存在且不为0时，设l：y=k（x-1），则，联立可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1•x2=1．因为向量，方向相反，所以=，所以k2=1，即k=±1，所以直线l的方程为y=x-1或y=-x+1．【解析】（1）由抛物线的定义可知求出Q的轨迹方程；（2）设直线方程与抛物线联立，根与系数的关系及数量积可得直线l的方程．考查抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．19.【答案】（1）证明：连接AC，由AE∥CG，AE=CG，可知四边形AEGC为平行四边形，∴EG∥AC，由题意知AC⊥BD，AC⊥BF，∴EG⊥BD，EG⊥BF，∵BD∩BF=B，∴EG⊥平面BDHF，又DF⊂平面BDHF，∴EG⊥DF；（2）解：设AC∩BD=O，EG∩HF=P，由已知可得：平面ADHE∥平面BCGF，∴EH∥FG，同理可得：EF∥HG，∴四边形EFGH为平行四边形，得P为EG的中点，又O为AC的中点，∴OP∥AE且OP=AE，由OP=3，DH=4，由梯形中位线定理得BF=2．∴．∵EA∥FB，FB⊂平面BCGF，EA⊄平面BCGF，∴EA∥平面BCGF，∴点A到平面BCGF的距离等于点E到平面BCGF的距离，为．∴=．【解析】（1）连接AC，由题意可知四边形AEGC为平行四边形，得到EG∥AC，再由已知证明EG⊥BF，可得EG⊥平面BDHF，进一步得到EG⊥DF；（2）设AC∩BD=O，EG∩HF=P，由已知证明EH∥FG，EF∥HG，得到四边形EFGH 为平行四边形，则P为EG的中点，由OP=3，DH=4，由梯形中位线定理得BF=2．求出三角形BFG的面积，再证明EA∥平面BCGF，可得点A到平面BCGF的距离等于点E到平面BCGF的距离．然后利用等积法求三棱锥F-BEG的体积．本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20.【答案】解：（1）由题意知，若按照系统抽样的方法，抽出的编号可以组成以25为首项，以90为公差的等差数列，所以样本编号之和即为该数列的前10项之和，所以；（2）（i）由题意知，若按分层抽样的方法，抽出的样本中A题目的成绩有6个，按分值降序分别记为x1，x2， (x6)B题目的成绩有4个，按分值降序分别记为y1，y2，y3，y4；记样本的平均数为，样本的方差为s2；由题意可知，=，，i=1，2， (6)，i=1，2， (4)=；所以估计该校900名考生选做题得分的平均数为5.2，方差为1.36．（ii）本选做题阅卷分值都为整数，且选取的样本中，A题目成绩的中位数和B题目成绩的中位数都是5.5，易知样本中A题目的成绩大于样本平均值的成绩有3个，分别为x1，x2，x3；B题目的成绩大于样本平均值的成绩有2个，分别为y1，y2；从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据共有种10方法，为：（x1，x2），（x1，x3），（x2，x3），（y1，y2），（x1，y1），（x2，y1），（x3，y1），（x1，y2），（x2，y2），（x3，y2），其中取到的两个成绩来自不同题目的取法共有6种，为：（x1，y1），（x2，y1），（x3，y1），（x1，y2），（x2，y2），（x3，y2）；记“从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据，取到的两个成绩来自不同题目”为事件A，所以．【解析】（1）按照系统抽样方法抽出的编号组成等差数列，计算编号之和即为该数列的前10项和，求出即可；（2）（i）由题意分别计算样本的平均数和方差，由此估计所求的平均数和方差；（ii）由题意知样本中A、B题目的成绩大于样本平均值的成绩个数，用列举法求出基本事件数，再计算所求的概率值．本题考查了统计数据分析与古典概型的概率计算问题，也考查了分析问题与解答问题的能力，是中档题．21.【答案】解：（1）当a=1时，，则，当x∈（-∞，0]时，0＜e x≤1，则，又因为cos x≤1，所以当x∈（-∞，0]时，，仅x=0时，f'（x）=0，所以f（x）在（-∞，0]上是单调递减，所以f（x）≥f（0）=1，即f（x）≥1．（2），因为，所以cos x＞0，e x＞0，①当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，所以f（x）在上单调递增，没有极值点．②当a＞0时，在区间上单调递增，因为，f'（0）=-a+1．当a≥1时，时，f'（x）≤f'（0）=-a+1≤0，所以f（x）在上单调递减，没有极值点．当0＜a＜1时，f'（0）=-a+1＞0，所以存在，使f'（x0）=0，当时，f'（x）＜0，x∈（x0，0）时，f'（x）＞0，所以f（x）在x=x0处取得极小值，x0为极小值点．综上可知，若函数f（x）在上存在极值点，则实数a∈（0，1）．【解析】（1）把a=1代入，直接用导数法证明即可；（2）对f（x）求导，，对a进行讨论，判断函数f（x）的极值，确定a的范围．本题考查了导数的综合应用及极值点引出的含参问题，综合性高，难度较大．22.【答案】解：（1）由（φ为参数），消去参数φ，可得曲线C1的普通方程为，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ-2=0．由ρ=，得ρ2=2，则C2的直角坐标方程为x2+y2=2；（2）当φ=时，P（1，），sin∠xOP=，cos，将射线OP绕原点O逆时针旋转，交曲线C2于点Q，又曲线C1的上顶点为点T，∴|OQ|=，|OT|=1，则=．【解析】（1）由（φ为参数），消去参数φ，可得曲线C1的普通方程，结合x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C1的极坐标方程．由ρ=，得ρ2=2，则C2的直角坐标方程可求；（2）当φ=时，P（1，），sin∠xOP=，cos，将射线OP绕原点O逆时针旋转，交曲线C2于点Q，又曲线C1的上顶点为点T，求出|OQ|=，|OT|=1，再求出∠QOT的正弦值，代入三角形面积公式求解．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查计算能力，是中档题．23.【答案】解：（1）a，b，c＞0，++≥3•；当且仅当a=b=c取等号，故原命题成立；（2）已知a，b，c为一个三角形的三边长，要证＞2，只需证明，即证2，则有，即，所以，同理，，三式左右相加得2，故命题得证．【解析】（1）利用三元的均值不等式直接证明即可；（2）要证＞2，只需证明，即证2，由，即得，累加即可证明．考查了基本不等式的应用，中档题．。

2020年河南省六市高三第二次联考文科数学试题参考答案一、选择1-5 CBABC 6-10 BDCCA 11-12 DA 二、填空13. 2 14. 3 15. ）（6,1- 16. 23 17解：（Ⅰ）∵．①∴当n=1时，可得41=a ，..................................................1分当n ≥2时，．②...........................2分①—②可得： ＝（2n ﹣1）+1=2n ， ................................4分∴．n=1时也满足................................................5分 ∴..............................................................6分（Ⅱ）=............................................8分∴S n ， .........................10分又4019>n S ，可得19>n ，.....................................................11分 可得最小正整数n 为20．....................................................12分 18解：（Ⅰ）证明：因为G 为AE 中点，2AD DE ==所以DG AE ⊥............................................................1分 因为平面ADE ⊥平面ABCE ，平面ADE I 平面ABCE AE =，DG ⊂平面ADE ， 所以DG ⊥平面ABCE ．.....................................................3分在直角三角形ADE 中，易求22AE =则2AD DEDG AE⋅==．.............4分 所以四棱锥D ABCE -的体积为1(15)222232D ABCE V -+⨯=⨯=．…………6分（Ⅱ）在BD 上存在点P ，使得//CP 平面ADE 且45BP BD =...................7分 过点C 作//CF AE 交AB 于点F ，过点F 作//FP AD 交DB 于点P ，连接PC 因为CF//A E ，AE ⊂平面,ADE CF ⊄平面ADE ,所以CF //平面ADE , 同理//FP 平面ADE ,又因为CF PF F ⋂=，所以平面CFP //平面ADE ．.................................................9分因为CP ⊂平面CFP ，所以//CP 平面ADE ．所以在BD 上存在点P ，使得//CP 平面ADE ..............................10分 因为四边形AECF 为平行四边形，所以1==CE AF ，即4=BF 故45BP BF BD AB ==所以在BD 上存在点P ，使得//CP 平面ADE 且45BP BD =..............12分 19解：（Ⅰ）设事件A 为“随机选取一天，这一天该快递公司的骑手的人均日快递业务量不少于65单”.依题意，快递公司的人均日快递业务量不少于65单的频率分别为：0.20.150.05，，因为0.20.150.050.4++=所以()P A 估计为0.4. ....................................................4分（Ⅱ）设事件B 为“从五名骑手中随机选取2人，至少有1名骑手选择方案（2）” 从五名骑手中随机选取2名骑手，有10种情况，即{甲，乙} ，{甲，丙}，{甲，丁}，{甲，戊}，{乙，丙}，{乙，丁}，{乙，戊}，{丙，丁} {丙，戊} ,{丁，戊}.......................................6分 其中至少有1名骑手选择方案（2）的情况为{甲，丁}，{甲，戊} ，{乙，丁}，{乙，戊}，{丙，丁}，{丙，戊}，{丁，戊}共7种情况， 所以7()10P B =.............................................8分 （Ⅲ）方法1：快递公司的骑手人均日快递量的平均数是：300.05400.05500.2600.3700.2800.15900.0562⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=因此，方案（1）日工资约为50623236+⨯= ............................10分 方案(2)日工资约为()10062445190 236+-⨯=<故骑手应选择方案（1） ............................................................12分 方法2： 设骑手每日完成快递业务量为n 单方案（1）的日工资*1503()y n n =+∈N ，方案（2）的日工资*2*100,44,1005(44),44,n n y n n n ⎧≤∈⎪=⎨+->∈⎪⎩NN当17n <时，12y y <.依题意知25n ≥，所以这种情况不予考虑当25n ≥时，令()503100544n n +>+- 则85n < .................10分即若骑手每日完成快递业务量在85单以下，则方案（1）日工资大于方案（2）日工资，而依题中数据，每日完成快递业务量超过85单的频率是0.05 ，较低，故建议骑手应选择方案（1）................12分 方法3：设骑手每日完成快递业务量为n 单，方案（1）的日工资*1503()y n n =+∈N ，方案（2）的日工资*2*100,44,1005(44),44,n n y n n n ⎧≤∈⎪=⎨+->∈⎪⎩NN所以方案（1）日工资约为1400.051700.052000.22300.32600.22900.153200.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯236=..........10分方案（2）日工资约为1000.051000.051300.21800.32300.22800.153300.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯194.5= 因为236194.5>，所以建议骑手选择方案（1）. ………12分20解：（Ⅰ）()()21212,0x ax f x x a x x x-+'=-+=> ………………1分1x =Q 时，()f x 取得极值.()0,31f a ∴'==. ……………………………2分 .()()()2211231 x x x x f x x x---+'∴==解()0f x '>得102x <<或1x > 解()0f x '<得112x <<……………4分()f x ∴的单调增区间为10,,(1,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭. …………5分（Ⅱ）()()221,0x ax f x x x -+'=>()f x Q 存在两个极值点∴方程()0f x '=即2210x ax -+=在(0,)+∞上有两个不等实根 ∴212180,02a x x ∆=->=>，1202a x x +=> ………………………………………6分 ()()22212221112121ln ln f x f x x ax x x ax x x x x x -+-+--=--2121212121ln ln ln ln 2x x x x a x x a x x x x --=+-+=-+--……………………………7分∴所证不等式()()212142f x f x ax x a >---等价于2121ln ln 4x x x x a ->-……………………8分 即212121ln ln 2x x x x x x ->-+……………………………………………………………………9分不妨设210x x >>，即证2212111ln 21x x x x x x ->+.………………………………………………10分令211x t x =>，()()21ln 1t h t t t -=-+,()()()()222114011t h t t t t t -'=-=>++， ()h t ∴在(1,)+∞上递增.()()10h t h ∴>=. …………………………………………………………………………11分2212111ln 21x x xx x x -∴>+成立.()()212142f x f x a x x a ∴>---成立. ……………………………12分 21解：（Ⅰ）由题知点Q 到F 的距离||QF 等于Q 到y 轴的距离加2 所以||QF 等于Q 到直线2x =-的距离.............................2分 由抛物线的定义可知:点Q 的轨迹W 是以F 为焦点，以2-=x 为准线的抛物线.................................3分 所以动点Q 的轨迹W 的方程为x y 82=.....................................4分（Ⅱ）设直线AM 的方程为2)4(+-=y m x ）（0>m ，与x y 82=联立，得0163282=-+-m my y ，则0)1632(4642>-⨯-=∆m m ，1100><<∴>m m m 或Θ， .......................................................6分设 ),(),,(2211y x N y x M ，则m y 841=+，即481-=m y ，以m 1-代替m ，得482--=my ， 则向量NM →在y 轴正方向上的投影为)1(821mm y y +=- .................9分设函数)1(8)(mm m f +=，则)(m f 在）（1,0上单调递减，在），（∞+1上单调递增，从而16)1()(=>f m f ...............................................................11分故向量在y 轴正方向上的投影的取值范围为），（∞+16.............12分22.解：（1）由曲线1C的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）消去参数得40x +-=，cos ,sin x y ρθρθ==由得,cos sin 4ρθθ+= 即cos sinsin cos266ππρθρθ+=即曲线1C 的极坐标方程为sin()26πρθ+= …………………………3分由222y x +=ρ，22222(12sin )3,23x y y ρθ+=++= 即2213x y +=……………5分 （2）设1(,)A ρθ,2(,)2B πρθ+,3(,)D ρθ,4(,)2C πρθ+ 故2221222222113391912sin 12cos 4412sin 12cos 416()2AOB S ρρθθθθ∆==≥=+++++， 即AOB ∆面积的最小值为34，当且仅当12ρρ=（即4πθ=）时取“=” ……………8分法2：:222211cos sin 13ρθρθ+=，222222sin cos 13ρθρθ+=，故22121143ρρ+=22121221143ρρρρ∴≤+=，当且仅当12ρρ=（即4πθ=）时取“=” …………………………8分 121324AOB S ρρ∆=≥ 此时34112222sin()cos()4646COD S ρρππππ∆==++g 48cos 3π== 故所求四边形的面积为329844-= ……………………………………………………10分23. 证明：（1）,,0a b c >Q ，∴222111()4f x x x a c b =+++-222111()4x x c b a ≥+--+2221114a b c=++ ∴2221114a b c++1= ……………………………………………………3分 由柯西不等式得222(4)a b c ++222111()4a b c++2(111)9≥++=当且仅当2a b c ====”∴22249a b c ++≥ ……………………………………………………5分（2） 22112,a b ab +≥Q22111,4b c bc +≥221114a c ac+≥（以上三式当且仅当2a b c ====”） ………………………………………7分 将以上三式相加得211ab bc ac ++≤2221112()24a b c++= 即111122ab bc ac++≤ ……………………………………………………10分。

2020年河南省开封市中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.参考答案：D略2. 已知函数. 设关于x的不等式的解集为A, 若, 则实数a的取值范围是A、 B、 C、D、参考答案：【知识点】特殊值法；分类讨论；M2【答案解析】A 解析：解：取,(1)x<0时，解得，(2) 时，解得;(3) 时，解得.综上知，时，，符合题意，排除B、D；，取时，f（x）=x|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，（1）x＜-1时，解得x＞0，矛盾；（2）-1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；（3）x＞0时，解得x＜-1，矛盾；综上，a=1，A=?，不合题意，排除C，故选A．【思路点拨】我们可以直接取特殊值，根据已知进行分类讨论.3. 设F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，满足?=0，且3||=4||，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．5参考答案：D【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义可知|PF2|﹣|PF1|=2a，进而根据3||=4||，分别求得|PF2|和|PF1|，根据勾股定理建立等式求得a和c的关系，则离心率可得．【解答】解：由?=0，可得PF1⊥PF2，∵3||=4||，|PF1|﹣|PF2|=2a，∴|PF2|=6a，|PF1|=8a；在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，∴4c2=64a2+36a2，解得e==5故选D．【点评】本题主要考查了双曲线的应用．考查了学生对双曲线定义和基本知识的掌握．4. 设M是边BC上任意一点,N为AM的中点,若,则λ+μ的值为( )A．B． C. D．1参考答案：A试题分析：设，则=∴故选A．5. 函数y＝的单调递增区间是( )A．(1，2) B．(1，＋∞) C．(1，2)和(2，＋∞)D．(1，2)或(2，＋∞)参考答案：C6. 式子的值为（）A． B.4 C. D. 2参考答案：C略7. 已知变量x，y，满足约束条件，则z=2x－y的最大值为A．2 B．3 C．4 D．6参考答案：A8. 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为( )A．3 B．4 C．5 D．6 B第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，，此时满足条件，输出，选B.9. 执行右边的程序框图，若输入a=1,b=1,c=-1，则输出的结果满足（）A.B.C.D. 无解参考答案：C试题分析：模拟执行程序框图，计算e，f的取值范围即可得解．模拟执行程序框图，可得a=1，b=1，c=-1d=5满足条件d≥0， , 输出e，f的值．由于故选：C．考点：程序框图10. 下列各式中值为的是 （ ） A ． B ． C ． D ．参考答案： B因为，选B.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知直线和圆心为C 的圆相交于A ，B 两点，则线段AB 的长度等于__________.参考答案：12. 如图，在半径为1的扇形中，，为弧上的动点，与交于点，则的最小值是参考答案：13. 已知变量x ，y ，满足：，则z=2x+y的最大值为．4【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，根据可行域移动目标函数，根据直线的截距得出最优解． 【解答】解：作出约束条件表示的可行域如图：由z=2x+y 得y=﹣2x+z ．由图形可知当直线y=﹣2x+z 经过B 点时，直线的截距最大，即z 最大．解方程组，得B （1，2）．∴z 的最大值为z=2×1+2=4． 故答案为：4．14. 设实数x ，y 满足，则的最小值为 .参考答案：415. 已知函数y=f （x ）是定义在R 上的单调递增函数，且1是它的零点，若f （x 2+3x ﹣3）＜0，则实数x 的取值范围为 ．参考答案：（﹣4，1）【考点】函数单调性的性质．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】利用函数单调性的性质，将不等式进行转化求解即可．【解答】解：∵y=f（x）是定义在R上的单调递增函数，且1是它的零点，∴不等式f（x2+3x﹣3）＜0等价为f（x2+3x﹣3）＜f（1），即x2+3x﹣3＜1，即x2+3x﹣4＜0，解得﹣4＜x＜1，故答案为：（﹣4，1）【点评】本题主要考查函数单调性的应用，利用函数零点的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．16. 已知数列：具有性质P：对任意，与两数中至少有一个是该数列中的一项，现给出以下四个命题：①数列0，1，3具有性质P；②数列0，2，4，6具有性质P；③若数列A具有性质P，则；④若数列具有性质P，则.其中真命题的序号是 .（填上所有正确命题的序号）参考答案：①③④略17. 设，函数，若对任意的，都有成立，则的取值范围为．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020年河南省开封市萑第三中学高二数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 用反证法证明“方程至多有两个解”的假设中，正确的是A. 至多有一个解B. 有且只有两个解C. 至少有三个解D. 至少有两个解参考答案：C2. 已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)及f′(5)分别为()A．3,3 B．3，－1C．－1,3 D．－1，－1参考答案：B略3. 执行下面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是()A．8 B．5C．3 D．2参考答案：C4. 如图，H为四棱锥P﹣ABCD的棱PC的三等分点，且PH=HC，点G在AH上，AG=mAH．四边形ABCD为平行四边形，若G，B，P，D四点共面，则实数m等于（）A．B．P，D C．D．参考答案：C【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】若G，B，P，D四点共面，则G即为AH与平面PBD的交点，连接AC，BD交于点O，连接PO，则G即为PO与AH的交点，取HC的中点E，连接OE，结合三角形的中位线定理，可得答案．【解答】解：如下图所示：若G，B，P，D四点共面，则G即为AH与平面PBD的交点，连接AC，BD交于点O，连接PO，则G即为PO与AH的交点，如下图所示：在截面PAC中，O为AC的中点，H为PC的三等分点，取HC的中点E，连接OE，则OE=AH=2GH，故GH=AH，即AG=AH，故m=．故选：C5. 已知均为单位向量，它们的夹角为，那么（）A B C D 参考答案：A略6. 凸六边形有多少条对角线（）A．6 B．9 C．12 D．18参考答案：B7. 在△中，若，则等于（）A． B．C． D．参考答案：D8. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中错误的是（）A．若，则∥B．若∥，∥，则∥C．若∥，则∥D．若是异面直线，∥，∥，则∥参考答案：C因为，垂直于同一直线的两平面平行，所以，A正确；因为，平面平行具有“传递性”，所以，B正确；由平面平行的判定定理可知，若∥，则∥，不正确；由平面平行的判定定理可知，若是异面直线，∥，∥，则∥，正确，故选C。

2020年河南省开封市县第二中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”意思是某人要走三百七八里的路程，第一天脚步轻快有力，走了一段路程，第二天脚痛，走的路程是第一天的一半，以后每天走的路程都是前一天的一半，走了六天才走完这段路程．则下列说法错误的是（）A．此人第二天走了九十六里路B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C．此人第三天走的路程占全程的D．此人后三天共走了42里路参考答案：C【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求第二天的，第三天的，后三天的路程，即可得到答案．【解答】解：记每天走的路程里数为{a n}，由题意知{a n}是公比的等比数列，由S6=378，得=378，解得：a1=192，∴a2=a1q=192×=96，此人第一天走的路程比后五天走的路程多192﹣=6，a3=a1q2=192×=48， =＞前3天周的路程为192+96+48=336，则后3天走的路程为378﹣336=42，故选：C．2. 设函数是定义在R上的以5为周期的奇函数，若，则a的取值范围是（）A． B．C．D．参考答案：A3. 已知函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝（）参考答案：B4. 已知数列是各项均为正数的等比数列，若，则等于（）A、 B、 C、 D、参考答案：略5. “微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为9元，被随机分配为1.49元，1.31元，2.19元，3.40元，0.61元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】基本事件总数n==10，再利用列举法求出其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的情况种数，帖经能求出甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率．【解答】解：所发红包的总金额为10元，被随机分配为1.49元，1.81元，2.19元，3.41元，0.62元，0.48元，共6份，供甲、乙等6人抢，每人只能抢一次，基本事件总数n==10，其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的情况有：（0.61，3.40），（1.49，3.40），（1.31，3.40），（2.19，3.40），共有4种，∴甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率p==．故选：A．6. 见右侧程序框图，若输入，则输出结果是A.51B.49C.47D.45参考答案：A7. 已知是等差数列，,则( )A.190B.95 C .170 D.85参考答案：A8. 函数f(x)=2|x|,g(x)=?x2+2则f(x)·g(x)的图象只可能是参考答案：C略9. 若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，则此几何体的表面积是（）A．24πB．C．D．32π参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；数形结合；空间位置关系与距离．【分析】几何体的表面积是圆柱的侧面积与半个求的表面积、圆锥的侧面积的和．【解答】解：圆柱的侧面积为S1=2π×2×4=16π，半球的表面积为，圆锥的侧面积为，所以几何体的表面积为；故选C．【点评】本题考查了几何体的三视图以及表面积的计算．属于基础题．10. 如图，若一个空间几何体的三视图中，直角三角形的直角边长均为1，则该几何体的体积为（）A． B． C．1 D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某圆锥底面半径为4，高为3，则此圆锥的侧面积为．参考答案：20π【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．【解答】解：∵圆锥的底面半径为4，高为3，∴母线长为5，∴圆锥的侧面积为：πrl=π×4×5=20π，故答案为：20π．12. 如图，在等腰直角三角形中，斜边，过点作的垂线，垂足为；过点作的垂线，垂足为；过点作的垂线，垂足为；…，依此类推，设，，，…，，则________.参考答案：13. 定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0(x1≠x2)，有>0.则f(－2)，f(1)，f(3)从小到大的顺序是________．参考答案：f(3)<f(－2)<f(1)14. 定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的，，令⊙，下面说法错误的是( )（A）若与共线，则⊙（B）⊙⊙（C）对任意的，有⊙⊙（D）⊙参考答案：B15. 已知向量=（1,2），=（0,1），=（-1，m）．若（+2）∥，则实数m=．参考答案：﹣4【考点】平行向量与共线向量．【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列出方程解方程即可．【解答】解：向量，则+2=（1，4），又，∴m﹣4×（﹣1）=0，解得m=﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理的应用问题，是基础题．16. 设等差数列满足：，公差，若当且仅当时，数列的前项和取最大值，则首项的取值范围为__________________。