黄金分割法实验报告

一、实验目的1. 理解分金块问题的背景和意义；2. 掌握分治法的基本思想及其在解决分金块问题中的应用；3. 比较不同算法在解决分金块问题时的性能；4. 提高编程能力和算法设计能力。

二、实验内容1. 问题概述分金块问题是一个经典的算法问题。

问题描述如下：老板有n个金块，希望最优秀的雇员得到其中最重要的一块，最差的雇员得到其中最轻的一块。

假设有一台比较重量轻重的天平，要求设计一个算法，在尽可能少的比较次数内，将金块分为三组，使得最优秀的雇员得到最重的金块，最差的雇员得到最轻的金块。

2. 算法分析针对分金块问题，我们可以采用以下两种算法：（1）蛮力法（非递归）蛮力法的基本思想是：遍历所有可能的分组方式，找出最优解。

具体步骤如下：① 将n个金块依次编号为1至n；② 遍历所有可能的分组方式，即从第一个金块开始，将其与其他金块进行分组，然后继续对剩余的金块进行分组，直到分组完毕；③ 对于每一种分组方式，分别找出最重的金块和最轻的金块，并比较其重量；④ 找出所有分组方式中最优的分组方式，即最重的金块和最轻的金块的重量差最小。

（2）分治法分治法的基本思想是将大问题分解为若干个小问题，递归地解决这些小问题，然后合并其结果。

具体步骤如下：① 当n=1时，直接返回该金块；② 将n个金块随机分为两组，分别编号为A和B；③ 分别对A组和B组递归调用分治法，找出每组中的最重金块和最轻金块；④ 比较A组最重金块和A组最轻金块的重量差，以及B组最重金块和B组最轻金块的重量差；⑤ 根据比较结果，确定最终的最重金块和最轻金块。

三、实验步骤1. 实验环境：Python 3.72. 实验数据：随机生成100个金块，重量在1至1000之间。

3. 实验代码（1）蛮力法实现```pythondef brute_force(n):# 初始化金块重量列表weights = [i for i in range(1, n+1)]# 遍历所有可能的分组方式for i in range(1, n//2+1):for j in range(i+1, n-i+1):for k in range(j+1, n-j+1):# 计算分组方式下的最重金块和最轻金块的重量差diff_a = max(weights[i-1:k]) - min(weights[i-1:k])diff_b = max(weights[k:n]) - min(weights[k:n])# 更新最优解if diff_a < diff_b:best_a = max(weights[i-1:k])best_b = min(weights[i-1:k]) else:best_a = max(weights[k:n]) best_b = min(weights[k:n]) return best_a, best_b# 测试n = 100print(brute_force(n))```（2）分治法实现```pythondef divide_and_conquer(weights, left, right):# 当只剩一个金块时，返回该金块if left == right:return weights[left]# 将金块分为两组mid = (left + right) // 2max_a = max(weights[left:mid])min_a = min(weights[left:mid])max_b = max(weights[mid:right+1])min_b = min(weights[mid:right+1])# 比较两组金块的重量差if max_a - min_a < max_b - min_b:return max_a, min_aelse:return max_b, min_b# 测试n = 100weights = [i for i in range(1, n+1)]print(divide_and_conquer(weights, 0, n-1))```四、实验结果与分析1. 实验结果（1）蛮力法：当n=100时，运行时间约为0.6秒；（2）分治法：当n=100时，运行时间约为0.001秒。

黄金分割法实验报告院系:机电工程学院专业:机制自动化黄金分割法实验报告一.黄金分割法基本思想黄金分割法是建立在区间消去法原理基础上的试探方法,即在搜索区间[a，b]内适当插入两点x1，x2，并计算其函数值。

x1，x2将区间分成三段。

应用函数单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，使搜索区间得以缩短。

然后再在保留下来的区间上作同样的处置，如此迭代下去，是搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。

二.黄金分割法的程序框图针对例题3--1函数f（x）=x*x+2*x，当给定区间[-3,5]用黄金分割法求极小点三.程序#include <stdio.h> #include <math.h> double ff(double x) {double z;z=x*x+2*x;return (z);}int main(){double a,b,e,f1,f2,x1,x2;double n=0.618;int sign=1;int i=1;a=-3.0;b=5.0;e=0.001;x1=b-n*(b-a);f1=ff(x1);x2=a+n*(b-a);f2=ff(x2);printf("a=%5.3f, b=%5.3f, x1=%5.3f, x2=%5.3f, f1=%5.3f, f2=%5.3f\n",a,b,x1,x2,f1,f2);while(sign==1){if(f1>=f2){a=x1;x1=x2;f1=f2;x2=a+n*(b-a);f2=ff(x2);}else{b=x2;x2=x1;f2=f1;x1=b-n*(b-a);f1=ff(x1);}printf("第%d次循环各数值为：\n",i++);printf("a=%5.3f, b=%5.3f, x1=%5.3f, x2=%5.3f, f1=%5.3f, f2=%5.3f\n",a,b,x1,x2,f1,f2);if (fabs((b-a)/b)<e&&fabs((f2-f1)/f2)<e)sign=0;}if(sign==0)printf(" 近似解为%10.3f\n",(a+b)/2);return 0;}四.运行结果。

一、实验目的本次实验旨在通过计算机编程，加深对机械优化设计方法的理解，掌握常用的优化算法，并能够利用计算机解决实际问题。

二、实验内容1. 黄金分割法（1）实验原理黄金分割法是一种常用的优化算法，适用于一元函数的极值求解。

其基本原理是：在给定初始区间内，通过迭代计算，逐步缩小搜索区间，直到满足收敛条件。

（2）实验步骤① 设计实验程序，实现黄金分割法的基本算法。

② 编写函数，用于计算一元函数的值。

③ 设置初始区间和收敛精度。

④ 迭代计算，更新搜索区间。

⑤ 判断是否满足收敛条件，若满足则输出结果，否则继续迭代。

（3）实验结果通过编程实现黄金分割法，求解函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1在区间[0, 10]内的极小值。

实验结果显示，该函数在区间[0, 10]内的极小值为1，且收敛精度达到0.001。

2. 牛顿法（1）实验原理牛顿法是一种求解非线性方程组的优化算法，其基本原理是：利用函数的导数信息，逐步逼近函数的极值点。

（2）实验步骤① 设计实验程序，实现牛顿法的基本算法。

② 编写函数，用于计算一元函数及其导数。

③ 设置初始值和收敛精度。

④ 迭代计算，更新函数的近似值。

⑤ 判断是否满足收敛条件，若满足则输出结果，否则继续迭代。

（3）实验结果通过编程实现牛顿法，求解函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1在区间[0, 10]内的极小值。

实验结果显示，该函数在区间[0, 10]内的极小值为1，且收敛精度达到0.001。

3. 拉格朗日乘数法（1）实验原理拉格朗日乘数法是一种求解约束优化问题的优化算法，其基本原理是：在约束条件下，构造拉格朗日函数，并通过求解拉格朗日函数的驻点来求解优化问题。

（2）实验步骤① 设计实验程序，实现拉格朗日乘数法的基本算法。

② 编写函数，用于计算目标函数、约束函数及其导数。

③ 设置初始值和收敛精度。

④ 迭代计算，更新拉格朗日乘数和约束变量的近似值。

数学中的黄金分割报告：黄金分割学中报告黄金分割线黄金分割的公式是啥黄金分割比例公式篇一：数学中的黄金分割波那契数。

特点是即除前两个数（数值为1）之外，每个数都是它前面两个数之和。

菲波那契数列与黄金分割有什么关系呢？经研究发现，相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。

即f(n)/f(n-1)-→1.618?。

由于菲波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数。

但是当我们继续计算出后面更大的菲波那契数时，就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的。

一个很能说明问题的例子是五角星/正五边形。

五角星是非常美丽的，我们的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，这是为什么？因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的。

正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形。

由于五角星的顶角是36度，这样也可以得出黄金分割的数值为2Sin18度。

编辑本段生活实例植物叶子，千姿百态，生机盎然，给大自然带来了美丽的绿色世界。

尽管叶子形状随种而异，但它在茎上的排列顺序(称为叶序)，却是极有规律的。

你从植物茎的顶端向下看，经细心观察，发现上下层中相邻的两片叶子之间约成137.5°角。

如果每层叶子只画一片来代表，第一层和第二层的相邻两叶之间的角度差约是137.5°，以后二到三层，三到四层，四到五层??两叶之间都成这个角度数。

植物学家经过计算表明：这个角度对叶子的采光、通风都是最佳的。

叶子的排布，多么精巧！今人惊讶的是，人体自身也和0.618密切相关。

对人体解剖很有研究的意大利画家达·芬奇发现，人的肚脐位于身长的0.618处。

科学家们还发现，当外界环境温度为人体温度的0.618倍时，人会感到最舒服。

古希腊帕提依神庙由于高和宽的比是0.618，成了举世闻名的完美建筑。

建筑师们发现，按这样的比例来设计殿堂，殿堂更加雄伟、壮丽；去设计别墅，别墅将更加舒适、美丽。

实验设计与数据处理黄⾦分割法和分数法
例题：已知某材料合成的反应温度范围为340～420℃，请分别采⽤黄⾦分割法与分数法进⾏试验合成温度点的优选过程，详细写出试验设计过程并总结试验次数。

假设在试验范围内合成率是温度的单峰函数，温度为400℃时，产品的合成率最⾼。

1、黄⾦分割法：
（1）第⼀个实验点位置：（420-340）*0.618+340=389.4，取390℃
（2）第⼆个试验点的位置：420+340-390=370
由题⽬中告知，最佳温度为400，因⽽390℃的转化率⼤于370，删去340-370摄⽒度。

（3）第三个试验点是： 420+370-390=400℃
分析得 400℃的转化率⼤于390 再删去370-390℃段
（4）第四个试验点的位置： 420+390-400=410
此时转化率低于400摄⽒度时，因⽽最佳温度为400℃
2、分数法
第⼀个试验点是：（420-340）*5/8+340=390
第⼆个试验点是：（420-340）*3/5+340=370
分析得， 390℃，370℃的转化率都低于400℃，因⽽舍去340-370℃段
第三个试验点（420-370）*3/5+370=400
400摄⽒度的转化率⼤于390摄⽒度，因⽽舍去370-390段
第四个试验点：（420-390）*2/3+390=410
分析得 410的转化率低于400，因⽽最佳温度为400℃。

优选法中的黄金分割法
黄金分割法是优化方法中的经典算法,以算法简单、效果显著而著称,是许多优化算法的基础.但它只适用于一维区间[a,b] 上的凸函数.其基本思想是:依照“去坏留好”原则、对称原则以及等比收缩原则来逐步缩小搜索范围.以具体的单参数变量优选来说,根据工程经验选取搜索区间为[a,b],并在该变量区间内评价函数 Q (x) 存在单值极点.在[a,b] 中取试验点 x = a + 0. 382(b - a), x = a + 0. 618(b - a) ,并分别求得 Q (x1) 和 Q(x2) 的值.如果 Q (x1) > Q(x2) ,则 x2 为较佳点,令 a = x1 ;如果 Q (x1)< Q(x2) ,则x1为较佳点,令b = x2,获得新区间,重新计算新的实验点,求取新的评价函数值,比较决定取舍区间.如此反复,经过数次优选,就可根据控制精度要求,选取两个较近试验点的平均值作为优选点,其优选过程及新旧区间几何关系如图1所示.该算法每次可将搜索区间缩小0.382倍或0. 618倍,直至缩为一点,是一个收敛速度极快的一维搜索方法。

黄金分割法实验报告一、实验目的1.加深对机械优化设计方法的基本理论和算法步骤的理解。

2.培养独立编制、调试计算机程序的能力。

3.掌握常用优化程序的使用方法。

4.培养灵活运用优化设计方法解决工程实际问题的能力。

二、实验要求1.明确黄金分割法基本原理及程序框图。

2.编制黄金分割法程序。

3.用考核题对所编制程序进行考核。

三．实验内容1.实验基本原理简述2、程序的流程图3.编制黄金分割法程序#include"stdio.h"#include"conio.h"#include"math.h"#define e 0.001#define tt 0.01float function(float x){float y=8*pow(x,3)-2*pow(x,2)-7*x+3; /*求解一维函数*/ return(y);}void finding(float a[3],float f[3]){float t=tt,a1=0.0,f1;int i=0,ia=0;a[0]=0; /* 初始区间的下界值*/f[0]=function(a[0]);for(i=0;;i++){a[1]=a[0]+t;f[1]=function(a[1]);if(f[1]<f[0]) break;if(fabs(f[1]-f[0])>=e){t=-t; a[0]=a[1]; f[0]=f[1];}else {if(ia==1) return;t=t/2; ia=1;} }for(i=0;;i++){a[2]=a[1]+t; f[2]=function(a[2]); if(f[2]>f[1]) break;t=2*t;a[0]=a[1]; f[0]=f[1];a[1]=a[2]; f[1]=f[2];}if(a[0]>a[2]){a[1]=a[0]; f1=f[1];a[0]=a[2]; f[0]=f[2];a[2]=a1; f[2]=f1;}return;}float gold(float *ff){float a1[3], f1[3],a[4],f[4];float aa;int i;finding(a1,f1);a[0]=a1[0]; f[0]=f1[0];a[3]=a1[2]; f[3]=f1[2];a[1]=a[0]+0.382*(a[3]-a[0]); a[2]=a[0]+0.618*(a[3]-a[0]); f[1]=function(a[1]);f[2]=function(a[2]);for( i=0;;i++){if(f[1]>=f[2]){a[0]=a[1]; f[0]=f[1];a[1]=a[2]; f[1]=f[2];a[2]=a[0]+0.618*(a[3]-a[0]); f[2]=function(a[2]);}else { a[3]=a[2]; f[3]=f[2];a[2]=a[1]; f[2]=f[1];a[1]=a[0]+0.382*(a[3]-a[0]); f[1]=function(a[1]);}if((a[3]-a[0])<e){ aa=(a[1]+a[2])/2; *ff=function(aa); break;}}return(aa);}void main(){float xx,ff;xx=gold(&ff);printf("\nThe Optimal Design Result Is:\n"); printf("\n\tx*=%f\n\tf*=%f",xx,ff);getch();}4．程序运行结果x*=0.629867f*=-0.203425。

最优化⽅法三分法+黄⾦分割法+⽜顿法最优化_三等分法+黄⾦分割法+⽜顿法⼀、实验⽬的1. 掌握⼀维优化⽅法的集中算法；2. 编写三分法算法3. 编写黄⾦分割法算法4. 编写⽜顿法算法⼆、系统设计三分法1.编程思路：三分法⽤于求解单峰函数的最值。

对于单峰函数，在区间内⽤两个mid将区间分成三份，这样的查找算法称为三分查找,也就是三分法。

在区间[a,b]内部取n=2个内等分点，区间被分为n+1=3等分，区间长度缩短率=1 3 .各分点的坐标为x k=a+b−an+1⋅k (k=1,2) ，然后计算出x1,x2,⋯;y1,y2,⋯;找出y min=min{y k,k=1,2} ，新区间(a,b)⇐(x m−1,x m+1) .coding中，建⽴left,mid1,mid2,right四个变量⽤于计算，⽤新的结果赋值给旧区间即可。

2.算法描述function [left]=gridpoint(left,right,f)epsilon=1e-5; %给定误差范围while((left+epsilon)<right) %检查left,right区间精度margin=(right-left)/3; %将区间三等分,每⼩段长度=marginm1=left+margin; %left-m1-m2-right，三等分需要两个点m2=m1+margin; %m2=left+margin+marginif(f(m1)<=f(m2))right=m2; %离极值点越近，函数值越⼩(也有可能越⼤，视函数⽽定)。

else %当f(m1)>f(m2),m2离极值点更近。

缩⼩区间范围，逼近极值点left=m1; %所以令left=m1.endend %这是matlab的.m⽂件，不⽤写return.黄⾦分割法1.编程思路三分法进化版，区间长度缩短率≈0.618.在区间[a,b]上取两个内试探点，p i,q i要求满⾜下⾯两个条件：1.[a i,q i]与[p i,b i]的长度相同，即b i−p i=q i−a i;2.区间长度的缩短率相同，即b i+1−a i+1=t(b i−a i)]2.算法描述⾃⼰编写的：function [s,func_s,E]=my_golds(func,left,right,delta)tic%输⼊: func:⽬标函数，left,right:初始区间两个端点% delta：⾃变量的容许误差%输出: s,func_s:近似极⼩点和函数极⼩值% E=[ds,dfunc] ds,dfunc分别为s和dfunc的误差限%0.618法的改进形式：每次缩⼩区间时，同时⽐较两内点和两端点处的函数值。