二项分布？还是超几何分布
二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用
这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．下面举例进行对比辨析．例 1 袋中有 8 个白球、 2 个黑球，从中随机地连续抽取 3 次，每次取 1 个球．求：（ 1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列；
（ 2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．
解：（ 1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1， 2， 3．又由于每次取到黑球的概率
均为1
， 3 次取球可以看成 3 次独立重复试验，则
1
，．55
0312
∴ P(X 0) C301
464 ；P(X 1)C31
1
448 ；
5512555125
21
P(X 3) C33
130
P(X 2) C321
412 ；4 1 ．5512555125
因此， X 的分布列为
X0123
P
6448121 125125125125
（2）不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为0， 1，2，且有：
P(Y 0)C20C837
；P(Y1)C21C82
7
；P(Y2)C22C81 1 ．
C10315C10315C10315
因此， Y 的分布列为
Y012
771
P
1515
15
例 2 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40 件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(490,495] ， (495,500] ，,, ，(510,515] ，由此得到样本的频率分布直方图，如图4
（ 1）根据频率分布直方图，求重量超过505 克的产品数量 ,
（ 2）在上述抽取的40 件产品中任取 2 件，设 Y 为重量超过505 克
的产品数量，求Y 的分布列；
（ 3）从该流水线上任取 5 件产品，求恰有 2 件产品的重量超过505
克的概率。
17.解 : (1)重量超过 505克的产品数量是 :
40 (0.05
5+0.01 5)=40 0.3=12.
(2)Y 的分布列为 :
Y 0 1 2
P
C 282 C 281 C 121
C 122
C 402
C 402
C 402
(3)设所取的 5件产品中 , 重量超过 505克的产品件数为随机变量 Y, 则Y B(5, 3
),
10
2 3 2 7 3
3087 从而 P(Y=2)=C 5( 10 )( 10 ) =
10000 .
即恰有 2件产品的重量超过 505克的概率为
3087
.
10000
超几何分布与二项分布特点
(A) 判断一个随机变量是否服从超几何分布 , 关键是要看随机变量是否满足超几何分布的特征 :
一个总体 ( 共有 N 个) 内含有两种不同的事物 A(M 个) 、 B(N M 个) , 任取 n 个 , 其中恰有 X 个
A . 符合该条件的即可断定是超几何分布
C M k C N n
k M
, 按照超几何分布的分布列 P( X k)
C N n
（ k 0,1,2, , m ）进行处理就可以了 . (B) 二项分布必须同时满足以下两个条件
: ①在一次试验中试验结果只有
A 与 A 这两个 , 且事件 A 发生的概
率为 p , 事件 A 发生的概率为 1 p ；②试验可以独立重复地进行 , 即每次重复做一次试验 , 事件 A 发生的概率都是同一常数 p , 事件 A 发生的概率为 1 p .
辨析：通过 2 个例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分
布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题
时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的．例 1 与例 2 中的 EX=EY=0.6 注意
▲ 超几何分布和二项分布都是离散型分布
超几何分布和二项分布的判断方法
（ 1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； （ 2）超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复）
（ 3）当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布。
二项分布、超几何分布、正态分布练习题
一、选择题
1．设随机变量 ξ～ B 6，
1
，则 P(ξ＝ 3)的值为 (
)
2
5 B.
3
C.
5
D.
7
A. 16
16
8
16
2．设随机变量 ξ～ B(2， p)，随机变量 η ～ B(3， p)，若 P(ξ≥ 1) 5
，则 P(η≥ 1) ＝ ()
＝9
1 5 8
19 A. 3
B.9
C.27
D. 27
3．一袋中有 5 个白球， 3 个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球
出现 10 次时停止，设停止时共取了
ξ次球，则 P(ξ＝ 12)＝ (
)
10
3
10
5 2 9
3 9 5 2 3 9
5 9 3 2
9 3 9
5
2
A ． C 12
8
·
B ．
C 11
8
8
·
C ． C 11
8
·
D ．C 11
8
·
8
8
8
8
4．在 4 次独立重复试验中，随机事件
A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生 2 次的概率，则
事件 A 在一次试验中发生的概率 p 的取值范围是 (
)
A ． [0.4,1)
B ． (0,0.6]
C ． (0,0.4]
D ． [0.6,1)
5．已知随机变量
2
)
ξ服从正态分布 N(2， σ)， P(ξ≤ 4)＝ 0.84，则 P(ξ＜ 0)＝ (
A ． 0.16
B ． 0.32
C ．0.68
D ．0.84
二、填空题
6．某篮运动员在三分线投球的命中率是
1
，他投球 10 次，恰好投进 3 个球的概率 ________．
2
7．从装有 3 个红球， 2 个白球的袋中随机取出两个球，设其中有 X 个红球，则 X 的分布列为 ______．
8.某厂生产的圆柱形零件的外径ε～ N(4,0.25) ．质检人员从该厂生产的
1000 件零件中随机抽查一件，
测得它的外径为 5.7 cm. 则该厂生产的这批零件是否合格 ________．
三、解答题
9、为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核
辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售 . 已知某产品第一轮检测不合格的概率
为 1 ，第二轮检测不合格的概率为
1
，两轮检测是否合格相互没有影响 .
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（Ⅰ）求该产品不能销售的概率；
（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利
40 元；如果产品不能销售，则每件产品亏损
80 元（即获利 - 80 元） . 已知一箱中有产品 4 件，记一箱产品获利 X 元，求 X 的分布列，并求出均值 E(X).
