二项分布、超几何分布、正态分布总结归纳与练习

专题49两点分布、二项分布与超几何分布【考点预测】知识点一．两点分布1、若随机变量X 服从两点分布，即其分布列为X01P 1p -p其中01p <<，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的两点分布．其中(1)P X =称为成功概率．注意：（1）两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为1；（2）两点分布又称01-分布、伯努利分布，其应用十分广泛．2、两点分布的均值与方差：若随机变量X 服从参数为p 的两点分布，则()10(1)p p E X =⨯+⨯-=p ，()(1)p D X p =-．知识点二．n 次独立重复试验1、定义一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．2、特点（1）每次试验中，事件发生的概率是相同的；（2）每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例．知识点三．二项分布1、定义一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，不发生的概率1q p =-，那么事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n k n P X k p q-==（0k =，1，2，…，n ）于是得到X 的分布列X01…k …n p 00C n n p q 111C n n p q -…C kk n k n p q -…0C nn n p q由于表中第二行恰好是二项式展开式()001110C C C C n n n k k n k nn n n n n q p p q p q p q p q --+=+++++ 各对应项的值，称这样的离散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作()X B n p ～，，并称p 为成功概率．注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即1n =时的二高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式．2、二项分布的适用范围及本质（1）适用范围：①各次试验中的事件是相互独立的；②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；③随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数．（2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的．3、二项分布的期望、方差若()X B n p ～,，则()E X np =，)(1)(np p D X =-．知识点四．超几何分布1、定义在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件}{X k =发生的概率为()k n k M N M n NC C P X k C --==，0k =，1，2，…，m ，其中}{min m M n =，，且n N ≤，M N ≤，n ，M ，*N N ∈，称分布列为超几何分布列．如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布．X01…m P 00n M N Mn N C C C --11n M N M n N C C C --…m n m M N M n NC C C --2、超几何分布的适用范围件及本质（1）适用范围：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数Y 的概率分布．（2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的．【方法技巧与总结】超几何分布和二项分布的区别（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；（2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的；而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的.【题型归纳目录】题型一：两点分布题型二：n 次独立重复试验题型三：二项分布题型四：超几何分布题型五：二项分布与超几何分布的综合应用【典例例题】题型一：两点分布例1．（2022·全国·高三专题练习）.若随机变量ξ的分布列为，其中()0,1m ∈，则下列结果中正确的是A ．()()3,E m D nξξ==B ．()()2,E m D n ξξ==C ．()()21,E m D m mξξ=-=-D ．()()21,E m D m ξξ=-=例2．（2022·河北·高三阶段练习）新型冠状病毒肺炎（CoronaVirusDisease 2019，COVID -19），简称“新冠肺炎”，是指2019新型冠状病毒感染导致的肺炎.2019年12月以来，部分医院陆续发现了多例不明原因肺炎病例，证实为2019新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病，为防止该病症的扩散与传染，某检测机构在某地区进行新冠病毒疾病调查，需要对其居民血液进行抽样化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果为阴性，则未患有该疾病.现有(),2n n n +∈≥N 个人，每人一份血液待检验，有如下两种方案：方案一：逐份检验，需要检验n 次；方案二：混合检验，将n 份血液分别取样，混合在一起检验，若检验结果呈阴性，则n 个人都未患有该疾病；若检验结果呈阳性，再对n 份血液逐份检验，此时共需要检验+1n 次.(1)若10n =，且其中两人患有该疾病，①采用方案一，求恰好检验3次就能确定患病两人的概率；②将这10人平均分成两组，则这两患者分在同一组的概率；(2)已知每个人患该疾病的概率为()01p p <<.（i ）采用方案二，记检验次数为X ，求检验次数X 的期望()E X ；（ii ）若5n =，判断方案一与方案二哪种方案检查的次数更少？并说明理由.例3．（2022·全国·高三专题练习）2022年3月，全国大部分省份出现了新冠疫情，对于出现确诊病例的社区，受到了全社会的关注．为了把被感染的人筛查出来，防疫部门决定对全体社区人员筛查核酸检测，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k 个人，把这k 个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 个人的血液全为阴性，因而这k 个人只要检验一次就够了；如果为阳性，为了明确这k 个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k 个人再逐个进行检验．假设在接受检验的人群中，随机抽一人核酸检测呈阳性概率为0.003P =，每个人的检验结果是阳性还是阴性是相互独立的．核酸检测通常有两种分组方式可以选择：方案一：10人一组；方案二：8人一组．(1)分别求出采用方案一和方案二中每组的化验次数的分布列和数学期望；(2)若该社区约有2000人，请你为防疫部门选择一种方案，并说明理由．（参考数据：80.9970.976=，100.9970.970=）变式1．（2022·全国·高三专题练习）某保险公司针对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每位职工每年只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金．保险公司把企业的所有岗位分为A 、B 、C 三类工种，从事三类工种的人数分布比例如图所示，根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表所示（并以此估计赔付概率）．工种类别A B C 赔付频率511052104110A 、B 、C 工种职工每人每年的保费分别为a 元，a 元，b 元，出险后获得的赔偿金额分别为100万元，200万元，50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元．(1)若保险公司要求利润的期望不低于保费的20%，试确定保费a ，b 所要满足的条件．(2)现有如下两个方案供企业选择：方案一、企业不与保险公司合作，企业自行拿出与保险公司赔付金额相同的赔偿金付给出险职工；方案二、企业与保险公司合作，企业负责职工保费的60%，职工个人负责保费的40%，出险后赔偿金由保险公司赔付．若企业选择方案二的支出期望（不包括职工支出）低于选择方案一的，求a ，b 所要满足的条件，并判断企业是否与保险公司合作（若企业选择方案二的支出期望低于方案一，且与（1）中保险公司所提条件不矛盾，则企业与保险公司合作）．变式2．（2022·黑龙江实验中学模拟预测（理））为考察本科生基本学术规范和基本学术素养，某大学决定对各学院本科毕业论文进行抽检，初步方案是本科毕业论文抽检每年进行一次，抽检对象为上一学年度授予学士学位的论文，初评阶段，每篇论文送3位同行专家进行评审，3位专家中有2位以上（含2位）专家评议意见为“不合格”的毕业论文，将认定为“存在问题毕业论文”.3位专家中有1位专家评议意见为“不合格”，将再送2位同行专家（不同于前3位）进行复评.复评阶段，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”，将认定为“存在问题毕业论文”.每位专家，判定每篇论文“不合格”的概率均为()01p p <<，且各篇毕业论文是否被判定为“不合格”相互独立.(1)若12p =，求每篇毕业论文被认定为“存在问题毕业论文”的概率是多少；(2)学校拟定每篇论文需要复评的评审费用为180元，不需要复评的评审费用为90元，则每篇论文平均评审费用的最大值是多少？变式3．（2022·安徽·二模（理））某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为p ，现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验5件该产品，且每件产品检验合格与否相互独立．若每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检验方案：将产品每k 个()5k ≤一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验1次或1k +次．设该工厂生产1000件该产品，记每件产品的平均检验次数为X ．（1）求X 的分布列及其期望；（2）（i ）试说明，当p 越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少；（ii ）当0.1p =时，求使该方案最合理时k 的值及1000件该产品的平均检验次数．题型二：n次独立重复试验例4．（2022·河北衡水·高三阶段练习）进入2021年以来，国家提倡大学生毕业自主创业，根据已知的调查可知，大学生创业成功与失败的概率分别为a，b，且2a b，则某高校四名大学生毕业后自主创业，其中至少有两名大学生创业成功的概率为（）A．881B．89C．724D．523例5．（2022·全国·模拟预测）某同学随机掷一枚骰子4次，则该同学得到1点或5点的次数超过2次的概率为（）A．19B．727C．827D．829例6．（2022·全国·高三专题练习）体育课上进行投篮测试，每人投篮3次，至少投中1次则通过测试．某同学每次投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A．0.064B．0.600C．0.784D．0.936变式4．（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）有甲､乙两个盒子，甲盒子中装有2个小球，乙盒子中装有4个小球，每次随机取一个盒子并从中取一个球.(1)求甲盒子中的球被取完时，乙盒子中恰剩下2个球的概率：(2)当其中一个盒子中的球被取完时，记另一个盒子恰剩下ξ个球，则求ξ的分布列与数学期望()Eξ.变式5．（2022·江苏南通·模拟预测）某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），比赛采用积分制，积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积3分，负者积0分；五局结束比赛，取胜的一方积2分，负者积1分.已知甲､乙两人比赛，甲每局获胜的概率为12.(1)在一场比赛中，甲的积分为X，求X的概率分布列；(2)求甲在参加三场比赛后，积分之和为5分的概率.变式6．（2022·河北衡水·高三阶段练习）我国出现了新冠疫情后，医护人员一直在探索治疗新冠的有效药，并对确诊患者进行积极救治.现有6位症状相同的确诊患者，分成,A B两组，A组3人，服用甲种中药，B组3人，服用乙种中药.服药一个疗程后，A组中每人康复的概率都为45，B组3人康复的概率分别为933,,1044.(1)设事件M表示A组中恰好有1人康复，事件N表示B组中恰好有1人康复，求()P MN；(2)求A组康复人数比B组康复人数多的概率.变式7．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）甲、乙两名运动员进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为23，乙胜的概率为13．比赛采用“三局两胜”制，先胜二局者获胜．商定每局比赛（决胜局第三局除外）胜者得3分，败者得1分；决胜局胜者得2分，败者得0分．已知各局比赛相互独立．(1)求比赛结束，甲得6分的概率；(2)设比赛结束，乙得X分，求随机变量X的概率分布列与数学期望．变式8．（2022·全国·高三专题练习）“民族要复兴，乡村必振兴”，为了加强乡村振兴宣传工作，让更多的人关注乡村发展，某校举办了有关城乡融合发展、人与自然和谐共生的知识竞赛.比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为35，且相互间没有影响.(1)求选手甲被淘汰的概率；(2)设选手甲在初赛中答题的个数为X，试求X的分布列和数学期望.【方法技巧与总结】（1）在解复杂的题目时，可利用“正难则反”的思想，通过考查原事件的对立事件来求其概率．（2）运用独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为n 次独立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解；在求n 次独立重复试验中事件恰好发生k 次的概率时，首先要确定好n 和k 的值，再准确利用公式求概率．（3）解决这类实际问题往往需把所求的概率的事件分拆为若干个事件，而这每个事件均为独立重复试验．题型三：二项分布例7．（2022·全国·高三专题练习）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形小木块（如图所示），并且每一排小木块数目都比上一排多一个，一排中各个小木块正好对准上面一排两个相邻小木块的正中央，从入口处放入一个直径略小于两个小木块间隔的小球，当小球从之间的间隙下落时，于是碰到下一排小木块，它将以相等的可能性向左或向右落下，若小球再通过间隙，又碰到下一排小木块.如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内，则小球落到第⑤个格子的概率是（）A ．532B ．516C ．316D ．332例8．（2022·全国·高三专题练习）从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X 为取得红球的次数，则()D X （）A ．157B ．207C ．2521D ．6049例9．（2022·全国·高三专题练习（理））某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：用时/秒[5，10](10，15](15，20](20，25]男性人数1522149女性人数511177以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立.若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能(即概率最大)是()A ．2B ．3C ．4D ．5变式9．（2022·全国·高三专题练习（理））为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，有关部门要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X 元，则()80P X ≥-=（）A ．27128B ．243256C ．43256D ．83128变式10．（2022·全国·高三专题练习）某工厂产品合格的概率均为p ，各产品合格与否相互独立．设X 为该工厂生产的5件商品中合格的数量，其中() 1.2D X =，(2)(3)P X P X =<=，则p =（）A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3变式11．（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）某种植户对一块地上的n （*n ∈N ）个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为12，且每粒种子是否发芽相互独立.如果每个坑内至少有两粒种子发芽，则不需要进行补种，否则需要补种.（1）当n 取何值时，有3个坑要补种的概率最大？最大概率为多少？（2）当4n =时，用X 表示要补种的坑的个数，求X 的分布列.变式12．（2022·江苏常州·高三阶段练习）金坛区主城区全新投放一批共享电动自行车．本次投放的电动自行车分红、绿两种，投放比例是3∶1．监管部门为了了解这两种颜色电动自行车的性能，决定从中随机抽取4辆电动自行车进行骑行体验，假设每辆电动自行车被抽取的可能性相等．(1)求抽取的4辆电动自行车中至少有3辆是绿色的概率；(2)在骑行体验中，发现红色电动自行车的综合评分较高，监管部门决定从该次投放的这批电动自行车中随机地抽取一辆绿色电动自行车，送技术部门做进一步性能检测，并规定，若抽到的是绿色电动自行车，则抽样结束：若抽取的是红色电动自行车，则将其放回后，继续从中随机地抽取下一辆电动自行车，且规定抽取的次数最多不超过()n n *∈N 次在抽样结束时，设已抽到的红色电动自行车的数量用ξ表示，问：ξ的数学期望能否超过3？变式13．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“北京冬奥会开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过手机收看的约占12，通过电视收看的约占13，其他为未收看者：(1)从被调查对象中随机选取3人，其中至少有1人通过手机收看的概率；(2)从被调查对象中随机选取3人，用X 表示通过电视收看的人数，求X 的分布列和期望．变式14．（2022·江苏·新淮高中三模）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.（Ⅰ）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？（Ⅱ）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为X ，求X 的分布列与数学期望.【方法技巧与总结】1、二项分布求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．2、二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率．解题的一般思路是：（1）根据题意设出随机变量；（2）分析出随机变量服从二项分布；（3）找到参数n，p；（4）写出二项分布的分布列；（5）将k值代入求解概率．题型四：超几何分布例10．（2022·全国·高三专题练习）一批产品共有20件，其中2件次品，18件合格品，从这批产品中任意抽取2件，则至少有1件是次品的概率是（）A．1190B．1895C．37190D．189190例11．（2022·全国·高三专题练习）从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝()A．2B．1C．3D．4例12．（2022·北京·高三专题练习）为了解顺义区某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的（1）班 （8）班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下：（x 轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数）(1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，求该生身体素质监测成绩达到优秀的概率；(2)若从以上统计的高一（4）班的10名学生中抽出2人，设X 表示2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求X 的分布列及其数学期望；(3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“1k ξ=”表示第k 班抽到的这名同学身体素质优秀，“0k ξ=”表示第k 班抽到的这名同学身体素质不是优秀()1,2,,8k =⋅⋅⋅．写出方差()()()()1234,,,D D D D ξξξξ的大小关系（不必写出证明过程）．变式15．（2022·上海·高三开学考试）研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义．中国明确提出节能减排的目标与各项措施，在公路交通运输领域，新能源汽车逐步取代燃油车是措施之一．中国某地区从2015年至2021年每年汽车总销量如图，每年新能源汽车销量占比如表．（注：汽车总销量指新能源汽车销量与非新能源汽车销量之和）年份2015201620172018201920202021新能源汽车销量占比1.5%2%3%5%8%9%20%(1)从2015年至2021年中随机选取一年，求这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率；(2)从2015年至2021年中随机选取两年，设X 表示新能源汽车销量超过0.5万辆的年份的个数，求X 的分布列和数学期望．变式16．（2022·全国·高三专题练习）为发展业务，某调研组对A ，B 两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内(),0n n n ∈>N 个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市中随机抽取若干个进行统计.若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为415.(1)求n 的值；(2)若一次抽取4个城市，①假设抽取出的小城市的个数为X ，求X 的可能值及相应的概率；②若抽取的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率.变式17．（2022·全国·高三专题练习）北京某高校有20名志愿者报名参加2022年北京冬奥会服务工作，其中有2名老师，18名学生.若从中随机抽取()*,20n n n ∈≤N 名志愿者，用X表示所抽取的n 名志愿者中老师的人数.(1)若2n =，求X 的分布列与数学期望；(2)当n 为何值时，1X =的概率取得最大值?最大值是多少?变式18．（2022·山西大附中高三阶段练习）北京时间2022年7月25日3时13分，问天实验舱成功对接于天和核心舱前向端口，2022年7月25日10时03分，神舟十四号航天员乘组成功开启问天实验舱舱门，顺利进入问天实验舱.8月，中国空间站第2个实验舱段——梦天实验舱已运抵文昌航天发射场，计划10月发射.中国空间站“天宫”即将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识，某部门门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.(1)求乙闯关成功的概率；(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.变式19．（2022·全国·高三专题练习）某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B 两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市n（n*∈N）个人数超过1000人的大集团和4个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为1 6 .(1)在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为大集团的概率；(2)若一次抽取3个集团，假设取出小集团的个数为X，求X的分布列和期望.变式20．（2022·全国·高三专题练习）中国科研团队在研发“新冠疫苗”的过程中，为了测试疫苗的效果，科研人员以小白鼠为实验对象，进行了一些实验．(1)实验一：选取10只健康小白鼠，编号1至10号，注射一次新冠疫苗后，再让它们暴露在含有新冠病毒的环境中．实验结果发现，除2号、3号和7号小白鼠仍然感染了新冠病毒，其他小白鼠未被感染．现从这10只小白鼠中随机抽取4只进行研究，将仍被感染的小白鼠只数记作X，求X的分布列和数学期望．(2)科研人员在另一个实验中发现，疫苗可多次连续注射，小白鼠多次注射疫苗后，每次注射的疫苗对小白鼠是否有效互相不影响，相互独立．若将实验一中未感染新冠病毒的小白鼠的频率当做疫苗的有效率，那么一只小白鼠注射两次疫苗能否保证有效率达到96%？若可以请说明理由；若不可以，请问每支疫苗的有效率至少要达到多少才能满足以上要求．。

高考数学总复习考点知识讲解与提升练习专题78 二项分布、超几何分布与正态分布考点知识1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.2.借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．知识梳理1．二项分布(1)伯努利试验只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．(2)二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．(3)两点分布与二项分布的均值、方差①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．②若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．2．超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．3．正态分布(1)定义若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)222exμσ()－－，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．(2)正态曲线的特点①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；②曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．(3)3σ原则①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.(4)正态分布的均值与方差若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 常用结论1．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理． 2．超几何分布有时也记为X ～H (n ，M ，N )，其均值E (X )＝nM N， D (X )＝nM N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－M N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n －1N －1. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两点分布是二项分布当n ＝1时的特殊情形．(√)(2)若X 表示n 次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X 服从二项分布．(√) (3)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个数X 服从超几何分布．(×)(4)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”．(×) 教材改编题1．如果某一批玉米种子中，每粒发芽的概率均为23，那么播下5粒这样的种子，恰有2粒不发芽的概率是() A.80243B.8081C.163243D.163729答案A解析用X 表示发芽的粒数，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，23，则P (X ＝3)＝C 35×⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232＝80243，故播下5粒这样的种子，恰有2粒不发芽的概率为80243.2．某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布N (80,102)，则理论上在80分到90分的人数约是()A．32B．16C．8D．20答案B解析因为数学成绩近似地服从正态分布N(80,102)，所以P(|x－80|≤10)≈0.6827.根据正态密度曲线的对称性可知，位于80分到90分之间的概率是位于70分到90分之间的概率的一半，所以理论上在80分到90分的人数是12×0.6827×48≈16.3．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则P(X＝1)＝________.答案1 2解析由题意得，P(X＝1)＝C13C37C410＝12.题型一二项分布例1(1)(2023·海口模拟)某班50名学生通过直播软件上网课，为了方便师生互动，直播屏幕分为1个大窗口和5个小窗口，大窗口始终显示老师讲课的画面，5个小窗口显示5名不同学生的画面．小窗口每5分钟切换一次，即再次从全班随机选择5名学生的画面显示，且每次切换相互独立．若一节课40分钟，则该班甲同学一节课在直播屏幕上出现的时间的均值是()A．10分钟B．5分钟C．4分钟D．2分钟答案C解析每5分钟算作一轮，每一轮甲同学出现在直播屏幕上的概率为550＝110， 设他在直播屏幕上出现的轮次为X ，根据题意得，X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫8，110，E (X )＝8×110＝0.8， 设甲同学一节课在直播屏幕上出现的时间为Y (单位：分钟)， 则E (Y )＝E (5X )＝5×0.8＝4(分钟)．(2)(2022·衡阳模拟)某地政府为鼓励大学生创业，制定了一系列优惠政策．已知创业项目甲成功的概率为23，项目成功后可获得政府奖金20万元；创业项目乙成功的概率为P 0(0<P 0<1)，项目成功后可获得政府奖金30万元．项目没有成功，则没有奖励，每个项目有且只有一次实施机会，两个项目的实施是否成功互不影响，项目成功后当地政府兑现奖励．①大学毕业生张某选择创业项目甲，毕业生李某选择创业项目乙，记他们获得的奖金累计为X (单位：万元)，若X ≤30的概率为79.求P 0的大小；②若两位大学毕业生都选择创业项目甲或创业项目乙进行创业，问：他们选择何种创业项目，累计得到的奖金的均值更大？解①由已知得，张某创业成功的概率为23，李某创业成功的概率为P 0，且两人是否创业成功互不影响，记“这2人累计获得的奖金X ≤30”的事件为A ，则事件A 的对立事件为“X ＝50”， ∵P (X ＝50)＝23P 0，∴P (A )＝1－P (X ＝50)＝1－23P 0＝79，解得P 0＝13.②设两位大学毕业生都选择创业项目甲且创业成功的次数为X 1，都选择创业项目乙且创业成功的次数为X 2，则这两人选择项目甲累计获得的奖金的均值为E (20X 1)， 选择项目乙累计获得的奖金的均值为E (30X 2)， 由已知可得，X 1～B ⎝⎛⎭⎪⎫2，23，X 2～B (2，P 0)， ∴E (X 1)＝43，E (X 2)＝2P 0，∴E (20X 1)＝20E (X 1)＝20×43＝803，E (30X 2)＝30E (X 2)＝60P 0，若E (20X 1)>E (30X 2)，即803>60P 0，解得0<P 0<49；若E (20X 1)<E (30X 2)，即803<60P 0，解得49<P 0<1；若E (20X 1)＝E (30X 2)，即803＝60P 0，解得P 0＝49.综上所述，当0<P 0<49时，他们都选择项目甲进行创业，累计得到的奖金的均值更大；当49<P 0<1时，他们都选择项目乙进行创业，累计得到的奖金的均值更大； 当P 0＝49时，他们选择两项目进行创业，累计得到的奖金的均值相等．思维升华 二项分布问题的解题关键 (1)定型：①在每一次试验中，事件发生的概率相同． ②各次试验中的事件是相互独立的．③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．(2)定参：确定二项分布中的两个参数n 和p ，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率．跟踪训练1(1)已知随机变量X ～B (n ，p )，E (X )＝2，D (X )＝23，则P (X ≥2)等于()A.2027B.23C.1627D.1327答案A解析因为随机变量X ～B (n ，p )，E (X )＝2，D (X )＝23，则⎩⎨⎧np ＝2，np (1－p )＝23，解得⎩⎨⎧n ＝3，p ＝23，所以P (X ≥2)＝1－P (X ＝1)－P (X ＝0) ＝1－C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫231×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233－1－C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫230×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233－0 ＝1－29－127＝2027.(2)某中学面向全校所有学生开展一项有关每天睡眠时间的问卷调查，调查结果显示，每天睡眠时间少于7小时的学生占40%，而每天睡眠时间不少于8小时的学生只有30%.现从所有问卷中随机抽取4份问卷进行回访(视频率为概率)．①求抽取到的问卷中至少有2份调查结果为睡眠时间不少于7小时的概率；②记抽取到的问卷中调查结果为睡眠时间少于7小时的问卷份数为X ，求X 的分布列及均值E (X )．解①根据题意可知，每天睡眠时间少于7小时的学生的概率为25，每天睡眠时间不少于7小时的学生的概率为35，所以4份问卷中至少有2份结果为睡眠时间不少于7小时的概率为 P ＝1－C 04×⎝ ⎛⎭⎪⎫254－C 14×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫253＝513625.②根据题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，25，则P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫354＝81625，P (X ＝1)＝C 14×25×⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝216625，P (X ＝2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫252×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝216625，P (X ＝3)＝C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫253×35＝96625， P (X ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫254＝16625， 所以X 的分布列为所以E(X)＝4×25＝85.题型二超几何分布例22022年12月4日，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，航天员顺利出舱，神舟十四号载人飞行任务圆满完成．为纪念中国航天事业成就，发扬并传承中国航天精神，某校高一年级组织2000名学生进行了航天知识竞赛(满分：100分)并进行记录，根据得分将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，绘制出如图所示的频率分布直方图．(1)用频率估计概率，从该校随机抽取2名同学，求其中1人得分低于70分，另1人得分不低于80分的概率；(2)从得分在[60,90]的学生中利用比例分配的分层随机抽样的方法选出8名学生，若从中选出3人参加有关航天知识演讲活动，求选出的3人中竞赛得分不低于70分的人数X 的分布列及均值．解(1)每名学生得分低于70分的概率为1－(0.04＋0.02)×10＝0.4，不低于80分的概率为0.02×10＝0.2.故其中1人得分低于70分，另1人得分不低于80分的概率为C12×0.4×0.2＝425.(2)由频率分布直方图可得，8人中分数在[60,70)的有2人，[70,90]的有6人，所以X～H(3,6,8)，X的所有可能取值为1,2,3，P(X＝1)＝C16C22C38＝328，P(X＝2)＝C12C26C38＝1528，P(X＝3)＝C36C38＝514.故X的分布列为故E(X)＝3×68＝94.思维升华(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列．(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型．跟踪训练2为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期，月度滚动使用．第一阶梯：年用电量在2160度以下(含2160度)，执行第一档电价0.5653元/度；第二阶梯：年用电量在2161度到4200度内(含4200度)，超出2160度的电量执行第二档电价0.6153元/度；第三阶梯：年用电量在4200度以上，超出4200度的电量执行第三档电价0.8653元/度．某市的电力部门从本市的用户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如下：(1)计算表中编号为10的用户该年应交的电费；(2)现要在这10户中任意选取4户，对其用电情况进行进一步分析，求取到第二阶梯的户数的分布列．解(1)因为第二档电价比第一档电价每度多0.05元，第三档电价比第一档电价每度多0.3元，编号为10的用户一年的用电量是4600度，所以该户该年应交电费4600×0.5653＋(4200－2160)×0.05＋(4600－4200)×0.3＝2822.38(元)．(2)设取到第二阶梯的户数为X，易知第二阶梯有4户，则X的所有可能取值为0,1,2,3,4.P(X＝0)＝C04C46C410＝114，P(X＝1)＝C14C36C410＝821，P(X＝2)＝C24C26C410＝37，P(X＝3)＝C34C16C410＝435，P(X＝4)＝C44C06C410＝1210，故X的分布列为题型三正态分布例3(1)(多选)(2023·哈尔滨模拟)某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，X～N(μ1，σ21)，Y～N(μ2，σ22)，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是()A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性答案AC解析X，Y均服从正态分布，X～N(μ1，σ21)，Y～N(μ2，σ22)，结合正态密度函数的图象可知，μ1＝μ2，σ1<σ2，故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故A正确，B错误；甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故C正确，D错误．(2)(2022·合肥模拟)某市高三年级共有14000人参加教学质量检测，学生的数学成绩ξ近似服从正态分布N(90，σ2)(试卷满分150分)，且P(ξ≥100)＝0.3，据此可以估计，这次检测数学成绩在80到90分之间的学生人数约为()A．2800B．4200C．5600D．7000答案A解析∵ξ近似服从正态分布N(90，σ2)(试卷满分150分)，且P(ξ≥100)＝0.3，∴P(ξ≤80)＝0.3，∴P(80≤ξ≤90)＝1－0.3×22＝0.2，∴估计这次检测数学成绩在80到90分之间的学生人数约为14000×0.2＝2800.思维升华解决正态分布问题的三个关键点(1)对称轴为x＝μ.(2)标准差为σ.(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x ＝0.跟踪训练3(1)(2022·新高考全国Ⅱ)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，则P(X>2.5)＝________.答案0.14解析因为X～N(2，σ2)，所以P(X>2)＝0.5，所以P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.(2)(2022·安庆模拟)某中学开展学生数学素养测评活动，高一年级测评分值X近似服从正态分布，正态密度曲线如图①所示．为了调查参加测评的学生数学学习的方法与习惯差异，该中学决定在分数段[m ，n )内抽取学生，并确定m ＝67，且P (m ≤X ≤n )＝0.8186.在某班用简单随机抽样的方法得到20名学生的分值分布茎叶图如图②所示．若该班抽取学生分数在分数段[m ，n )内的人数为k ，则k ＝________；这k 名学生的平均分为________．(附：P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)≈0.6827，P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈0.9545，P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)≈ 0.9973)答案1074解析由图①可知，μ＝72，σ＝5， ∴随机变量X ～N (72,25)，∴P (67≤X ≤77)≈0.6827，P (62≤X ≤82)≈0.9545， ∵P (67≤X ≤n )＝0.8186＝0.9545－0.9545－0.68272，∴n ＝82，由图②可知，该班在[67,82)内抽取了10人，即k ＝10， ∴平均分为68＋70＋73＋75＋72＋71＋76＋78＋76＋8110＝74.课时精练1．已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随机抽取2件进行检测，记取到的正品数为ξ，则均值E(ξ)为()A.45B.910C．1D.65答案D解析ξ的所有可能取值为0,1,2，则P(ξ＝0)＝C22C25＝110，P(ξ＝1)＝C12C13C25＝35，P(ξ＝2)＝C23C25＝310，则E(ξ)＝0×110＋1×35＋2×310＝65.2．(2023·盐城模拟)某中学高三(1)班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得，数学成绩X～N(110,100)，则估计该班数学得分大于120分的学生人数为(参考数据：P(|X－μ|≤σ)≈0.6827，P(|X－μ|≤2σ)≈0.9545)()A．16B．10C．8D．2答案C解析因为数学成绩X～N(110,100)，所以P(X>120)＝1－P(100<X<120)2≈0.16，故估计该班数学得分大于120分的学生人数约为0.16×50＝8.3．(2022·安庆模拟)高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形小木块(如图所示)，并且每一排小木块数目都比上一排多一个，一排中各个小木块正好对准上面一排两个相邻小木块的正中央，从入口处放入一个直径略小于两个小木块间隔的小球，当小球从之间的间隙下落时，碰到下一排小木块，它将以相等的可能性向左或向右落下，若小球再通过间隙，又碰到下一排小木块．如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内，则小球落到第⑤个格子的概率是()A.532B.516C.316D.332答案A解析由题意知，小球下落过程中共碰撞小木块5次，小球落到第⑤个格子需向左落下1次，向右落下4次，又小球向左、向右落下的概率均为12，故小球落到第⑤个格子的概率P ＝C 45×⎝ ⎛⎭⎪⎫124×⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝532. 4．(多选)(2021·新高考全国Ⅱ改编)某物理量的测量结果服从正态分布N (10，σ2)，下列结论中正确的是()A ．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.1)的概率越大B ．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D ．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10,10.3)的概率相等 答案ABC解析对于A ，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大，故A 正确；对于B ，由正态密度曲线的对称性可知，该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B 正确；对于C ，由正态密度曲线的对称性可知，该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C 正确；对于D ，因为该物理量一次测量结果落在(9.9，10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10，10.3)的概率不同，故D 错误．5．(多选)下列说法正确的是()A ．设随机变量X 服从二项分布B ⎝⎛⎭⎪⎫6，12，则P (X ＝3)＝516B ．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，且P (X <4)＝0.9，则P (0<X <2)＝0.4C ．甲、乙、丙三人均准备在3个旅游景点中任选一处去游玩，则在至少有1个景点未被选择的条件下，恰有2个景点未被选择的概率是17D ．E (2X ＋3)＝2E (X )＋3，D (2X ＋3)＝2D (X )＋3 答案ABC解析对于A ，若随机变量X 服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则P (X ＝3)＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝⎛⎭⎪⎫1－123＝516，故A 正确； 对于B ，因为随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，所以正态密度曲线的对称轴是直线x ＝2.因为P(X<4)＝0.9，所以P(X≥4)＝P(X≤0)＝0.1，所以P(0<X<2)＝P(2<X<4)＝0.4，故B正确；对于C，设事件A为至少有1个景点未被选择，事件B为恰有2个景点未被选择，则P(AB)＝333＝19，P(A)＝1－A3333＝79，所以P(B|A)＝P(AB)P(A)＝17，故C正确；对于D，E(2X＋3)＝2E(X)＋3，D(2X＋3)＝4D(X)，故D不正确．6．(2022·宁波模拟)一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中有1个红球、2个黑球，现随机等可能地取出小球．当有放回地依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ1；当无放回地依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ2，则()A．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)B．E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)C．E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)D．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)答案B解析依题意知，ξ1的所有可能取值为0,1,2，ξ1～B⎝⎛⎭⎪⎫2，13，所以E(ξ1)＝2×13＝23，D(ξ1)＝2×13×23＝49；当无放回地依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ2，则ξ2的所有可能取值为0,1，P(ξ2＝0)＝23×12＝13，P(ξ2＝1)＝23×12＋13×22＝23，所以E(ξ2)＝0×13＋1×23＝23，D(ξ2)＝⎝⎛⎭⎪⎫0－232×13＋⎝⎛⎭⎪⎫1－232×23＝29.所以E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)．7．某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道．现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2道题才算合格．则合格的概率为________．答案1 2解析设此人答对题目的个数为ξ，则ξ的所有可能取值为0,1,2,3，P(ξ＝0)＝C05C35C310＝112，P(ξ＝1)＝C15C25C310＝512，P(ξ＝2)＝C25C15C310＝512，P(ξ＝3)＝C35C05C310＝112，则合格的概率为P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝1 2 .8．(2023·泰安模拟)随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的职业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2022年共有10000人参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩(满分100分)作为样本，整理得到如下频数分布表：由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中，μ近似为100名样本考生笔试成绩的平均值(同一组的数据用该组区间的中点值代替)，则μ＝________.若σ＝12.9，据此估计该市全体考生中笔试成绩高于85.9的人数约为________.(结果四舍五入精确到个位)参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.答案731587解析由题意知，μ≈45×5＋55×10＋65×25＋75×30＋85×20＋95×10100＝73.易知P(X>85.9)＝P(X>73＋12.9)≈1－0.68272＝0.15865，故估计该市全体考生中笔试成绩高于85.9的人数大约为10000×0.15865≈1587.9．为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成．规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确．每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功．现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率均为35，每位选手每次编程都互不影响．(1)求乙闯关成功的概率；(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和均值，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大．解(1)乙正确完成2个程序或者3个程序则闯关成功，记乙闯关成功为事件A，则P(A)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352×25＋⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝81125. (2)由题意知，随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 310＝16，故X 的分布列为所以E (X )＝0×130＋1×310＋2×12＋3×16＝95. 所以甲闯关成功的概率为12＋16＝23，因为81125<23，所以甲闯关成功的可能性更大．10．“双减”政策，即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担的政策，“双减”政策的出台对校外培训机构的经济效益产生了严重影响．某大型校外培训机构为了降低风险，寻求发展制定科学方案，工作人员对2022年前200名报名学员的消费金额进行了统计整理，其中数据如表所示.(1)该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训转移，为了深入了解当前学生的兴趣爱好，工作人员利用比例分配的分层随机抽样方法在消费金额在区间[9,11)和[11,13)内的学员中抽取了5人，再从这5人中选取3人进行有奖问卷调查，求抽取的3人中消费金额为[11,13)的人数的分布列和均值；(2)将频率视为概率，假设该大型校外培训机构2022年所有学员的消费金额可视为服从正态分布N(μ，σ2)，μ，σ2分别为前200名报名学员消费的平均数x以及方差s2(同一区间的数据用该组区间的中点值替代)．①试估计该机构学员2022年消费金额ε在区间[5.2,13.6)内的概率(保留一位小数)；②若从该机构2022年所有学员中随机抽取4人，记消费金额在区间[5.2,13.6)内的人数为η，求η的方差．参考数据：2≈1.4；若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.9973.解(1)由题意得，抽取的5人中消费金额在区间[9,11)内的人数为25×5＝2，消费金额在区间[11,13)内的人数为35×5＝3，设抽取的3人中消费金额在区间[11,13)内的人数为X，则X的所有可能取值为1,2,3，所以P(X＝1)＝C22C13C35＝310，P(X＝2)＝C12C23C35＝35，P(X＝3)＝C02C33C35＝110，所以X的分布列为则E (X )＝1×310＋2×35＋3×110＝95.(2)①由题意得，μ＝x ＝4×0.15＋6×0.25＋8×0.3＋10×0.1＋12×0.15＋14×0.05＝8，σ2＝(4－8)2×0.15＋(6－8)2×0.25＋(10－8)2×0.1＋(12－8)2×0.15＋(14－8)2×0.05＝8，所以σ＝8＝22≈2.8，所以P (5.2≤ε<13.6)＝P (8－2.8≤ε<8＋2×2.8)≈0.6827＋0.95452≈0.8.②由题意及①得η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，45，n ＝4，p ＝45，所以D (η)＝np (1－p )＝4×45×15＝1625.11．(多选)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A ＝a 1a 2a 3a 4a 5(例如10 100)，其中A 的各位数a k (k ＝2,3,4,5)中，出现0的概率为13，出现1的概率为23，记X＝a 2＋a 3＋a 4＋a 5，则当程序运行一次时，下列选项正确的是() A ．X 服从二项分布 B ．P (X ＝1)＝481C ．X 的均值E (X )＝83D ．X 的方差D (X )＝83答案AC解析由二进制数A 的特点知，每一个数位上的数字只能为0,1，且每个数位上的数字互不影响，X 的分布列为P (X ＝k )＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ⎝ ⎛⎭⎪⎫134－k，k ＝0,1,2,3,4， 故X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫4，23，故A 正确；P (X ＝1)＝C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫231×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝881，故B 错误； E (X )＝4×23＝83，故C 正确；D (X )＝4×23×13＝89，故D 错误．12．(2022·天津模拟)某志愿者召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的志愿者队伍，欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人成为志愿者队的队长，则在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下，“抽取的3人全是男志愿者”的概率是________；若用X 表示抽取的三人中女志愿者的人数，则E (X )＝________. 答案21797解析记全是男志愿者为事件A ，至少有一名男志愿者为事件B ， 则P (AB )＝P (A )＝C 34C 37＝435，P (B )＝1－C 33C 37＝3435，故P (A |B )＝P (AB )P (B )＝4353435＝217，即在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下，“抽取的3人全是男志愿者”的概率是217，由题意可知，X服从超几何分布，E(X)＝3×37＝97.13．柯西分布是一个数学期望不存在的连续型概率分布．记随机变量X服从柯西分布为X～C(γ，x)，其中当γ＝1，x0＝0时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为f(x)＝1π(1＋x2).已知X～C(1,0)，P(|X|≤3)＝23，P(1<X≤3)＝112，则P(X≤－1)等于()A.16B.23C.14D.12答案C解析因为f(－x)＝1π(1＋x2)＝f(x)，所以该函数是偶函数，图象关于y轴对称，由P(|X|≤3)＝23，可得P(0<X<3)＝13，因为P(1<X≤3)＝1 12，所以P(0<X<1)＝13－112＝14，因此P(－1<X<0)＝14，所以P(X≤－1)＝12－14＝14.14．(2023·开封模拟)已知随机变量ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≤1)＝P(ξ≥a－3)，则1 x ＋9a－x(0<x<a)的最小值为________. 答案4解析随机变量ξ～N (1，σ2)，且P (ξ≤1)＝P (ξ≥a －3)，可得1＋a －3＝2×1，解得a ＝4，由0<x <4，可得0<4－x <4，则1x ＋9a －x ＝1x ＋94－x ＝14[x ＋(4－x )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋94－x ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋4－x x ＋9x 4－x ≥14×()10＋29＝4， 当且仅当4－x x ＝9x4－x ，即x ＝1时取等号．所以1x ＋9a －x(0<x <a )的最小值为4.。

第7讲 二项分布、超几何分布及正态分布[学生用书P207])1．事件的相互独立性(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )·P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立． (2)性质：①若事件A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )，P (A |B )＝P (A )，P (AB )＝P (A )·P (B )． ②如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B －也都相互独立． 2．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，A i (i ＝1，2，…，n )表示第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．(2)二项分布在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率是p ，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率，在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0，1，2，…，n )． (3)二项分布的均值与方差若随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，即X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．3．超几何分布(1)定义：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －M C nN，k ＝0，1，2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，即如果随机变量X 的分布列具有下表形式则称随机变量X 服从超几何分布． (2)均值若X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布，则E (X )＝nMN ．4．正态曲线的特点(1)曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； (3)曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π； (4)曲线与x 轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．1．辨明两个易误点(1)两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥．(2)运用公式P (AB )＝P (A )P (B )时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A 、B 相互独立时，公式才成立．2．理解事件中常见词语的含义(1)A ，B 中至少有一个发生的事件为A ∪B ； (2)A ，B 都发生的事件为AB ； (3)A ，B 都不发生的事件为A － B －； (4)A ，B 恰有一个发生的事件为A B －∪A －B ； (5)A ，B 至多一个发生的事件为A B －∪A －B ∪A － B －. 3．正态分布的三个常用数据 (1)P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)≈0.682 7； (2)P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)≈0.954 5； (3)P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)≈0.997 3.1．若事件E 与F 相互独立，且P (E )＝P (F )＝14，则P (EF )的值等于( )A ．0B ．116C.14 D ．12[答案] B2．已知随机变量X 服从正态分布N (0，σ2)．若P (X >2)＝0.023，则P (－2≤X ≤2)＝( ) A ．0.477 B ．0.628 C ．0.954D ．0.977C [解析] 因为μ＝0，所以P (X >2)＝P (X <－2)＝0.023， 所以P (－2≤X ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.3．(2015·高考全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.312A [解析] 3次投篮投中2次的概率为P (X ＝2)＝C 23×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P (X ＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 23×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.4.教材习题改编 抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________．[解析] 抛掷两枚骰子，当两枚骰子不出现5点和6点时的概率为46×46＝49，所以至少有一次出现5点或6点的概率为1－49＝59，用X 表示10次试验中成功的次数，则X ～B ⎝⎛⎭⎫10，59，E (X )＝10×59＝509.[答案]5095.教材习题改编 国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙去北京旅游的概率为14，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．[解析] 记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A ，“乙去北京旅游”为事件B ，又P (A －B －)＝P (A －)·P (B －)＝[1－P (A )][1－P (B )]＝⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－14＝12， 甲、乙二人至少有一人去北京旅游的对立事件为甲、乙二人都不去北京旅游，故所求概率为1－P (A － B －)＝1－12＝12.[答案] 12相互独立事件的概率[学生用书P 208][典例引领](2016·高考山东卷节选)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望E (X )．【解】 由题意，随机变量X 可能的取值为0，1，2，3，4，6. 由事件的独立性与互斥性，得 P (X ＝0)＝14×13×14×13＝1144，P (X ＝1)＝2×(34×13×14×13＋14×23×14×13)＝10144＝572， P (X ＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144，P (X ＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝112.P (X ＝4)＝2×(34×23×34×13＋34×23×14×23)＝60144＝512，P (X ＝6)＝34×23×34×23＝36144＝14.可得随机变量X 的分布列为所以数学期望E (X )＝0×1144＋1×572＋2×25144＋3×112＋4×512＋6×14＝236.利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和．(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．(3)代入概率的积、和公式求解．(2017·开封市第一次模拟)某生物产品，每一个生产周期成本为20万元，此产品的产量受气候影响、价格受市场影响均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：(1)设X 表示1个生产周期此产品的利润，求X 的分布列；(2)连续3个生产周期，求这3个生产周期中至少有2个生产周期的利润不少于10万元的概率．[解] (1)设A 表示事件“产品产量为30吨”，B 表示事件“产品市场价格为0.6万元/吨”，则P (A )＝0.5，P (B )＝0.4，因为利润＝产量×市场价格－成本， 所以X 的所有值为50×1－20＝30，50×0.6－20＝10， 30×1－20＝10，30×0.6－20＝－2，则P (X ＝30)＝P (A －)P (B －)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P (X ＝10)＝P (A －)P (B )＋P (A )P (B －)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5， P (X ＝－2)＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0.2， 则X 的分布列为(2)设C i 表示事件“第i 个生产周期的利润不少于10万元”(i ＝1，2，3)，则C 1，C 2，C 3相互独立，由(1)知，P (C i )＝P (X ＝30)＋P (X ＝10)＝0.3＋0.5＝0.8(i ＝1，2，3)，连续3个生产周期的利润均不少于10万元的概率为P (C 1C 2C 3)＝P (C 1)P (C 2)P (C 3)＝0.83＝0.512，连续3个生产周期中有2个生产周期的利润不少于10万元的概率为P (C 1C －2C 3)＋P (C 1C 2C 3)＋P (C 1C 2C －3)＝3×0.82×0.2＝0.384，所以连续3个生产周期中至少有2个生产周期的利润不少于10万元的概率为0.512＋0.384＝0.896.独立重复试验与二项分布(高频考点)[学生用书P 209]独立重复试验与二项分布是高考命题的热点，多以解答题的形式呈现，试题难度稍大，多为中高档题目．高考对独立重复试验与二项分布的考查主要有以下两个命题角度： (1)已知二项分布，求二项分布列及均值；(2)已知随机变量服从二项分布，求某种情况下的概率．[典例引领](2017·沈阳质量监测)某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张．每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖．(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；(2)求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X 的分布列及数学期望． 【解】 (1)设“某节目的投票结果是最终获一等奖”这一事件为A ，则事件A 包括：该节目可以获两张“获奖”票，或者获三张“获奖”票．因为甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，且三人投票相互没有影响， 所以P (A )＝C 23⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫231＋C 33⎝⎛⎭⎫133＝727.(2)所含“获奖”和“待定”票票数之和X 的可能取值为0，1，2，3. P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫133＝127；P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫231⎝⎛⎭⎫132＝627＝29； P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫131＝1227＝49；P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫233＝827. 因此X 的分布列为所以X 的数学期望为EX ＝0×127＋1×627＋2×1227＋3×827＝2.(1)独立重复试验满足的条件独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)二项分布满足的条件①每次试验中，事件发生的概率是相同的． ②各次试验中的事件是相互独立的．③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生． ④随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数．[题点通关]角度一 已知二项分布，求二项分布列及均值1．小王在某社交络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个． (1)若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；(2)若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个．记乙所得红包的总钱数为X ，求X 的分布列和期望．[解] (1)设“甲恰得1个红包”为事件A ，则P (A )＝C 12×13×23＝49.(2)X 的所有可能取值为0，5，10，15，20. P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫233＝827， P (X ＝5)＝C 12×13×⎝⎛⎭⎫232＝827，P (X ＝10)＝⎝⎛⎭⎫132×23＋⎝⎛⎭⎫232×13＝627， P (X ＝15)＝C 12×⎝⎛⎭⎫132×23＝427，P (X ＝20)＝⎝⎛⎭⎫133＝127. 所以X 的分布列为E (X )＝0×827＋5×827＋10×627＋15×427＋20×127＝203.角度二 已知随机变量服从二项分布，求某种情况 下的概率2．设随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，若P (X ≥1)＝59，则P (Y ≥2)的值为( )A.3281 B ．1127C.6581D ．1681B [解析] 因为随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，又P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－(1－p )2＝59，解得p ＝13，所以Y ～B ⎝⎛⎭⎫4，13，则P (Y ≥2)＝1－P (Y ＝0)－P (Y ＝1)＝1127.超几何分布[学生用书P209][典例引领](2017·云南省第一次统一检测)某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞赛，根据比赛规则，某中学选拔出8名同学组成参赛队，其中初中学部选出的3名同学有2名女生；高中学部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛．(1)设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为事件A ，求事件A 的概率P (A )；(2)设X 为选出的4人中女生的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．【解】 (1)由已知，得P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 所以事件A 的概率为635.(2)由题意知，X 服从超几何分布， 随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4.由已知得P (X ＝k )＝C k 5C 4－k 3C 48(k ＝1，2，3，4)．所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝1×114＋2×37＋3×37＋4×114＝52.超几何分布的特点(1)对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可直接应用公式给出．(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型．一个袋中有大小相同的黑球和白球共10个．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．[解] (1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ，则P (A )＝1－C 210－xC 210＝79，得到x ＝5.故白球有5个．(2)X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝3，P (X ＝k )＝C k 5C 3－k 5C 310，k ＝0，1，2，3.于是可得其分布列为则E (X )＝0×112＋1×512＋2×512＋3×112＝32.正态分布[学生用书P210][典例引领](1)(2017·长春质检)已知随机变量X 服从正态分布N (1，σ2)，若P (X ＞2)＝0.15，则P (0≤X ≤1)＝( )A ．0.85B ．0.70C ．0.35D ．0.15(2)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)≈68.27%，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)≈95.45%)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%【解析】 (1)P (0≤X ≤1)＝P (1≤X ≤2)＝0.5－P (X ＞2)＝0.35.(2)由正态分布的概率公式知P (－3＜ξ＜3)≈0.682 7，P (－6＜ξ＜6)≈0.954 5，故P (3＜ξ＜6)＝P （－6＜ξ＜6）－P （－3＜ξ＜3）2＝0.954 5－0.682 72＝0.135 9＝13.59%，故选B ．【答案】 (1)C (2)B正态分布下的概率计算常见的两类问题(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x ＝μ对称，及曲线与x 轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．[通关练习]1．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12，则μ等于________．[解析] 根据题意，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点时，Δ＝16－4ξ<0，即ξ>4，根据正态曲线的对称性，当函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12时，μ＝4.[答案] 42．(2017·福建省毕业班质量检测)若随机变量X ～N (μ，σ2)，且P (X >5)＝P (X <－1)＝0.2，则P (2<X <5)＝________．[解析] 因为随机变量X ～N (μ，σ2)，所以正态曲线关于直线x ＝μ对称．又P (X >5)＝P (X <－1)＝0.2，所以μ＝5－12＝2，所以P (2<X <5)＝P (X >2)－P (X >5)＝0.5－0.2＝0.3.[答案] 0.3[学生用书P210])——离散型随机变量的综合问题(本题满分12分)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．[思维导图](1)记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}， A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意知A 1与A 2相互独立，A 1A 2与A 1 A 2互斥，B 1与B 2互斥，且B 1＝A 1A 2，B 2＝A 1A 2＋A 1A 2，C ＝B 1＋B 2.因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12，(2分)所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝25×12＝15，(3分)P (B 2)＝P (A 1A 2＋A 1A 2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2) ＝P (A 1)(1－P (A 2))＋(1－P (A 1))P (A 2) ＝25×⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－25×12＝12.(5分) 故所求概率为P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710.(6分)(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B ⎝⎛⎭⎫3，15.(7分) 于是P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫150⎝⎛⎭⎫453＝64125，P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫151⎝⎛⎭⎫452＝48125，P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫152⎝⎛⎭⎫451＝12125， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫153⎝⎛⎭⎫450＝1125.(10分) 故X 的分布列为(11分)X 的数学期望为E (X )＝3×15＝35.(12分)(1)解答此类问题，应注意答题要求，严格按照题目及相关知识的要求答题．(2)注意分布列要用表格的形式列出来，不要认为求出各个相应的概率就结束了．[学生用书P376(独立成册)]1．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一个发生的概率是( )A.512 B ．12C.712D ．34C [解析] 依题意，得P (A )＝12，P (B )＝16，且事件A ，B 相互独立，则事件A ，B 中至少有一个发生的概率为1－P (A －·B －)＝1－P (A －)·P (B －)＝1－12×56＝712，故选C.2．已知⎝⎛⎭⎫1x 2＋x 64展开式中的常数项为a ，且X ～N (1，1)，则P (3<X <a )＝( ) (附：若随机变量X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)≈68.27%，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)≈95.45%，P (μ－3σ<X <μ＋3σ)≈99.73%)A ．0.043B ．0.021 4C ．0.341 3D ．0.477 2B [解析] 因为⎝⎛⎭⎫1x 2＋x 64展开式中的常数项为a ，所以a ＝C 14⎝⎛⎭⎫1x 23x 6＝4.因为X ～N (1，1)，所以正态曲线关于直线x ＝1对称，因为P (－1<X <3)＝P (1－2<X <1＋2)≈95.45%，P (－2<X <4)＝P (1－3<X <1＋3)≈99.73%，所以P (3<X <4)＝12[P (－2<X <4)－P (－1<X <3)]＝12(99.73%－95.45%)＝0.021 4，故选B ．3．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________．[解析] 记不发芽的种子数为Y ，则Y ～B (1 000，0.1)，所以E (Y )＝1 000×0.1＝100.又X ＝2Y ，所以E (X )＝E (2Y )＝2E (Y )＝200. [答案] 2004．(2017·贵州省七校第一次联考)在某校2016年高三11月月考中理科数学成绩X ～N (90，σ2)(σ＞0)，统计结果显示P (60≤X ≤120)＝0.8，假设该校参加此次考试的有780人，那么试估计此次考试中，该校成绩高于120分的有________人．[解析] 因为成绩X ～N (90，σ2)，所以其正态曲线关于直线x ＝90对称．又P (60≤X ≤120)＝0.8，由对称性知成绩在120分以上的人数约为总人数的12(1－0.8)＝0.1，所以估计成绩高于120分的有0.1×780＝78人．[答案] 785．(2016·高考天津卷)某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； (2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．[解] (1)由已知，有P (A )＝C 13C 14＋C 23C 210＝13. 所以事件A 发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2.P (X ＝0)＝C 23＋C 23＋C 24C 210＝415， P (X ＝1)＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715， P (X ＝2)＝C 13C 14C 210＝415.所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝0×415＋1×715＋2×415＝1.6．为督导学校课外选修课的开展情况，某市教育督导部门从一所高中的四个选修专业中利用分层抽样的方法选出了14名学生进行调查，已知样本中各专业学生人数如下表：(1)若从这14名学生中随机选出两名，求这两名学生来自同一选修专业的概率； (2)现要从这14名学生中随机选出两名学生参加座谈，设其中来自剪纸专业的人数为X ，令Y ＝2X －1，求随机变量Y 的分布列及数学期望E (Y )．[解] (1)设“两名学生来自同一选修专业”为事件A ，则P (A )＝C 22＋C 23＋C 24＋C 25C 214＝2091.故两名学生来自同一选修专业的概率为2091.(2)因为剪纸专业有3人，非剪纸专业有11人，所以来自剪纸专业的人数X 服从超几何分布H (14，2，3)．则X 的所有可能取值是0，1，2，其中P (X ＝i )＝C i 3C 2－i11C 214(i ＝0，1，2)，对应的Y 的所有可能取值为－1，1，3.则P (Y ＝－1)＝P (X ＝0)＝C 03C 211C 214＝5591；P (Y ＝1)＝P (X ＝1)＝C 13C 111C 214＝3391；P (Y ＝3)＝P (X ＝2)＝C 23C 011C 214＝391.所以Y 的分布列为所以E (Y )＝(－1)×5591＋1×3391＋3×391＝－17.7．(2017·石家庄市第一次模考)某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员到篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图：(1)依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数； (2)在某场比赛中，考察他前4次投篮命中时到篮筐中心的水平距离的情况，并且规定：运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离不少于4米的记1分，否则扣掉1分．用随机变量X 表示第4次投篮后的总分，将频率视为概率，求X 的分布列和数学期望．[解] (1)设该运动员到篮筐中心的水平距离的中位数为x ，因为0.20×1＝0.20<0.5，且(0.40＋0.20)×1＝0.6>0.5， 所以x ∈(4，5)．由0.40×(5－x )＋0.20×1＝0.5，解得x ＝4.25，所以该运动员到篮筐中心的水平距离的中位数是4.25米．(2)由频率分布直方图可知投篮命中时到篮筐中心距离超过4米的概率为P ＝35，随机变量X 的所有可能取值为－4，－2，0，2，4. P (X ＝－4)＝⎝⎛⎭⎫254＝16625， P (X ＝－2)＝C 14⎝⎛⎭⎫253⎝⎛⎭⎫351＝96625，P (X ＝0)＝C 24⎝⎛⎭⎫252⎝⎛⎭⎫352＝216625， P (X ＝2)＝C 34⎝⎛⎭⎫251⎝⎛⎭⎫353＝216625， P (X ＝4)＝⎝⎛⎭⎫354＝81625， 所以X 的分布列为E (X )＝(－4)×16625＋(－2)×96625＋0×216625＋2×216625＋4×81625＝45.8．在2016年全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立回答全部问题．规定：至少正确回答其中2题的便可通过．已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答，2题不能回答；考生乙每题正确回答的概率都为23，且每题正确回答与否互不影响．(1)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列，并计算其数学期望； (2)试用统计知识分析比较两考生的通过能力．[解] (1)设考生甲、乙正确回答的题目个数分别为ξ，η，则ξ的可能取值为1，2，3，P (ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (ξ＝2)＝C 24C 12C 36＝35，P (ξ＝3)＝C 34C 02C 36＝15，所以考生甲正确回答题数的分布列为E (ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.又η～B ⎝⎛⎭⎫3，23，其分布列为所以E (η)＝np ＝3×23＝2.(2)因为D (ξ)＝(2－1)2×15＋(2－2)2×35＋(2－3)2×15＝25，D (η)＝np (1－p )＝3×23×13＝23，所以D (ξ)<D (η)．因为P (ξ≥2)＝35＋15＝0.8，P (η≥2)＝1227＋827≈0.74，所以P (ξ≥2)>P (η≥2)．从回答对题数的数学期望考查，两个水平相当；从回答对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2题的概率考查，甲通过的可能性大．因此可以判断甲的通过能力较强．9．(2017·湖南衡阳一中月考)上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为1或2的人去淘宝购物，掷出点数大于2的人去京东商城购物，且参加者必须从淘宝和京东商城中选择一家购物．(1)求这4个人中恰有2人去淘宝购物的概率；(2)用X ，Y 分别表示这4个人中去淘宝购物的人数和去京东商城购物的人数，求这4个人中去淘宝购物的人数大于去京东商城购物的人数的概率；(3)记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列与数学期望E (ξ)．[解] (1)每个人去淘宝购物的概率都为13，去京东商城购物的概率都为1－13＝23，这4个人中恰有2人去淘宝购物的概率为C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫1－132＝827. (2)由题意可知X ～B (4，p )⎝⎛⎭⎫其中p ＝13， 则P (X ＝k )＝C k 4p k (1－p )4－k(k ＝0，1，2，3，4)， 这4个人中去淘宝购物的人数大于去京东商城购物的人数的概率为P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝19. (3)ξ可取0，2，4，P (ξ＝0)＝P (X ＝2)＝827，P (ξ＝2)＝P (X ＝1)＋P (X ＝3)＝4081，P (ξ＝4)＝P (X ＝0)＋P (X ＝4)＝1781.所以随机变量ξ的分布列为E (ξ)＝14881.10．云南省2016年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100 000名高中男生的身高服从正态分布N (170.5，16)．现从云南省某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5 cm 和187.5 cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[157.5，162.5)，第2组[162.5，167.5)，…，第6组[182.5，187.5]，如图是按上述分组方式得到的频率分布直方图．(1)试评估该校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况； (2)求这50名男生身高在177.5 cm 以上(含177.5 cm)的人数；(3)从这50名男生身高在177.5 cm 以上(含177.5 cm)的人中任意抽取2人，该2人中身高排名(从高到低)在全省前135名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若ξ～N (μ，σ2)，则 P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.682 7， P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5， P (μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3.[解] (1)由频率分布直方图知，该校高三年级男生平均身高为160×0.1＋165×0.2＋170×0.3＋175×0.2＋180×0.1＋185×0.1＝171.5(cm)，该校高三年级男生的平均身高高于全省高中男生身高的平均值170.5(cm)．(2)由频率分布直方图知，后两组频率和为0.2，所以人数和为0.2×50＝10，即这50名男生中身高在177.5 cm 以上(含177.5 cm)的人数为10.(3)因为P (170.5－3×4<ξ≤170.5＋3×4)≈0.997 3， 所以P (ξ≥182.5)＝1－0.997 32＝0.001 35，又0.001 35×100 000＝135.所以身高在182.5 cm 以上(含182.5 cm)的高中男生可排进全省前135名．因为该校这50名男生中身高在182.5 cm 以上(含182.5 cm)的有5人，身高在177.5 cm 以上(含177.5 cm)的有10人，随机变量ξ可取0，1，2，于是P (ξ＝0)＝C 25C 210＝1045＝29，P (ξ＝1)＝C 15C 15C 210＝2545＝59，P (ξ＝2)＝C 25C 210＝1045＝29.所以E (ξ)＝0×29＋1×59＋2×29＝1.。

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结55 二项分布与超几何分布、正态分布高考 概览 高考在本考点的常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为5分、12分，中等难度考纲研读1.理解n 次独立重复试验的模型及二项分布2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单应用3．借助直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义4．能解决一些简单的实际问题一、基础小题1．设随机变量X ～N (1,52)，且P (X ≤0)＝P (X ≥a －2)，则实数a 的值为() A ．4 B ．6 C.8 D ．10答案 A解析 x ＝0与x ＝a －2关于x ＝1对称，则a －2＝2，a ＝4.故选A.2．设随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则P (X ＝3)＝( )A.516 B ．316 C.58 D ．38答案 A解析 X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，由二项分布可得，P (X ＝3)＝C 36×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝516. 3．15个村庄中有7个交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( ) A ．P (X ＝2) B ．P (X ≤2) C ．P (X ＝4) D ．P (X ≤4) 答案 C解析 X 服从超几何分布，故P (X ＝k )＝C k 7C 10－k 8C 1015，k ＝4. 4．一试验田某种作物一株生长果实个数x 服从正态分布N (90，σ2)，且P (x <70)＝0.2，从试验田中随机抽取10株，果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X ，且X 服从二项分布，则X 的方差为( )A ．3B ．2.1 C.0.3 D ．0.21答案 B解析 ∵x ～N (90，σ2)，且P (x <70)＝0.2，∴P (x >110)＝0.2，∴P (90≤x ≤110)＝0.5－0.2＝0.3，∴X ～B (10,0.3)，则X 的方差为10×0.3×(1－0.3)＝2.1.故选B.5．袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( )A.25 B ．35 C.18125 D ．54125答案 D解析 袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次抽到黄球的概率为P 1＝35，所以3次中恰有2次抽到黄球的概率是P ＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫352×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝54125.6．(多选)抛掷一枚质地均匀的硬币三次，若记出现“三个正面”“三个反面”“二正一反”“一正二反”的概率分别为P 1，P 2，P 3，P 4，则下列结论中正确的是( )A ．P 1＝P 2＝P 3＝P 4B ．P 3＝2P 1C ．P 1＋P 2＋P 3＋P 4＝1D ．P 4＝3P 2答案 CD解析 根据伯努利试验的概率计算公式，可得P 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，P 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，P 3＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝38，P 4＝C 13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝38，P 1＝P 2＜P 3＝P 4，故A 错误；P 3＝3P 1，故B 错误；P 1＋P 2＋P 3＋P 4＝1，故C 正确；P 4＝3P 2，故D 正确．故选CD.7．某市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N (100，σ2)，已知P (80≤ξ≤100)＝0.40，若按成绩采用分层随机抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取的份数为________．答案 10解析 P (ξ>120)＝12[1－2P (80≤ξ≤100)]＝0.10，所以应从120分以上的试卷中抽取100×0.10＝10份．8．甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为45；乙第一次射击的命中率为78，若第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为34，如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为12.乙若射中，则不再继续射击．则甲三次射击命中次数的期望为________，乙射中的概率为________．答案 1256364解析 甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为45，则甲击中的次数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，45，∴甲三次射击命中次数的期望为E (X )＝3×45＝125.由题意可得乙射中的概率为P ＝78＋18×34＋18×14×12＝6364.二、高考小题9．(2022·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N (10，σ2)，下列结论中不正确的是( )A ．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B ．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D ．该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等答案 D解析 对于A ，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故A 正确；对于B ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5，故B正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中小于9.99的概率与大于10.01的概率相等，故C正确；对于D，因为该物理量在一次测量中落在(9.9,10)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所以在一次测量中落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D错误．故选D.10．(2022·全国Ⅲ卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X ＝4)<P(X＝6)，则p＝()A．0.7 B．0.6C．0.4 D．0.3答案B解析∵D(X)＝np(1－p)，∴p＝0.4或p＝0.6.∵P(X＝4)＝C410p4(1－p)6<P(X＝6)＝C610p6(1－p)4，∴(1－p)2<p2，可知p>0.5.∴p＝0.6.故选B.三、模拟小题11．(2022·广东惠州第二次模拟)已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，且P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，若μ＝4，σ＝1，则P(5<X≤6)≈()A．0.1359 B．0.1859 C．0.2718 D．0.6827答案A解析由P(3≤X≤5)≈0.6827，得P(4≤X≤5)≈0.68272＝0.34135，由P(2≤X≤6)≈0.9545，得P(4≤X≤6)≈0.95452＝0.47725，所以P(5<X≤6)＝P(4≤X≤6)－P (4≤X ≤5)≈0.47725－0.34135＝0.1359.故选A.12．(2022·宁夏吴忠市青铜峡市高级中学月考)有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次(每次1件)，若X 表示取得次品的次数，则P (X ≤2)＝( )A.38 B ．1314 C.45 D ．78答案 D解析 因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为48＝12.从中取3次，X 为取得次品的次数，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，P (X ≤2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝1)＋P (X ＝0)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12＋C 13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝78.故选D. 13．(2022·浙江省杭州市高级中学高考仿真模拟)已知在盒中有红色、黄色、白色的球各4个，现从中任意摸出4个球，则摸出白球个数的期望是( )A.13 B ．23 C.43 D ．53答案 C解析 设摸出的白球的个数为X ，则X ＝0,1,2,3,4，所以P (X ＝0)＝C 48C 412＝1499，P (X ＝1)＝C 14C 38C 412＝224495，P (X ＝2)＝C 24C 28C 412＝168495，P (X ＝3)＝C 34C 18C 412＝32495，P (X ＝4)＝C 44C 08C 412＝1495.所以摸出白球的期望是E (X )＝0×1499＋1×224495＋2×168495＋3×32495＋4×1495＝43.14．(多选)(2022·广东肇庆第二次统一检测)已知两种不同型号的电子元件(分别记为X ，Y )的使用寿命均服从正态分布，X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是()参考数据：若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545.A．P(μ1－σ1≤X≤μ1＋2σ1)≈0.8186B．P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)C．P(X≤σ2)<P(X≤σ1)D．对于任意的正数t，有P(X≤t)>P(Y≤t)答案ABD解析对于A，P(μ1－σ1≤X≤μ1＋2σ1)≈(0.6827＋0.9545)×12＝0.8186，故A正确；对于B，由正态分布密度曲线，可知μ1<μ2，所以P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故B正确；对于C，由正态分布密度曲线，可知σ1<σ2，所以P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故C错误；对于D，对于任意的正数t，有P(X≤t)>P(Y≤t)，故D正确．故选ABD.15．(多选)(2022·辽宁名校联盟高三联考)在3n(n∈N*)次独立重复试验中，每次试验的结果只有A，B，C三种，且A，B，C三个事件之间两两互斥．已知在每一次试验中，事件A，B发生的概率均为25，事件C发生的概率为15.则()A．事件A发生次数的数学期望为6n 5B ．A ，B ，C 三个事件发生次数的数学期望之和为3nC ．事件B ，C 发生次数的方差之比为43D ．A ，B ，C 三个事件各发生n 次的概率为C n 3n C n 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫252n ⎝ ⎛⎭⎪⎫15n 答案 ABD解析 由题意可知，事件B ∪C ＝∁U A ，A ∪C ＝∁U B ，A ∪B ＝∁U C ，所以事件A ，B ，C 均看作二项分布．对于A ，期望值E ＝3np A ＝6n 5，即A 正确；对于B ，期望值之和E总＝3np A ＋3np B ＋3np C ＝6n 5＋6n 5＋3n 5＝3n ，即B 正确；对于C ，事件B 发生次数的方差D 1＝3np B (1－p B )＝18n 25，事件C 发生次数的方差D 2＝3np C (1－p C )＝12n 25，则D 1D 2＝1812＝32，即C 不正确；对于D ，从3n 次中选择n 次为事件A ，则为C n 3n ，从余下的2n 次中选择n 次为事件B ，则为C n 2n ，所以各发生n 次的概率为C n 3n C n 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫252n ⎝ ⎛⎭⎪⎫15n ，即D 正确． 16．(2022·新高考八省联考)对一个物理量做n 次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差εn ～N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2n ，为使误差εn 在(－0.5,0.5)内的概率不小于0.9545，至少要测量________次(若X ～N (μ，σ2)，则P (|X －μ|<2σ)≈0.9545)．答案 32解析 根据正态曲线的对称性知，要使误差εn 在(－0.5，0.5)内的概率不小于0.9545，则(μ－2σ，μ＋2σ)⊆(－0.5,0.5)，又μ＝0，σ＝2n ，所以0.5≥22n ，解得n ≥32.17．(2022·福建省宁化第一中学高三9月第二次月考)已知随机变量X ～B (4，p )，方差D (X )的最大值为________，当方差D (X )最大时，⎝⎛⎭⎪⎫4px －1x 6的展开式中1x 2的系数为________．答案 1 60解析 因为随机变量X ～B (4，p )，D (X )＝4p (1－p )≤4⎣⎢⎡⎦⎥⎤p ＋(1－p )22＝1，当且仅当p ＝12时取等号．由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫4px －1x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6，其展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r 26－r C r 6x 6－2r ，令6－2r ＝－2，则r ＝4，所以展开式中1x 2的系数为(－1)4×22×C 46＝60.一、高考大题1．(2022·天津高考)设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．(1)用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；(2)设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率．解 (1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为23，故X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，从而P (X ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫133－k ，k ＝0,1,2,3. 所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝3×23＝2.(2)设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y ，则Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，且M ＝{X ＝3，Y ＝1}∪{X ＝2，Y ＝0}．由题意知事件{X ＝3，Y ＝1}与{X ＝2，Y ＝0}互斥，且事件{X ＝3}与{Y ＝1}，事件{X ＝2}与{Y ＝0}均相互独立，从而由(1)知P (M )＝P ({X ＝3，Y ＝1}∪{X ＝2，Y ＝0})＝P (X ＝3，Y ＝1)＋P (X ＝2，Y ＝0)＝P (X ＝3)P (Y ＝1)＋P (X ＝2)P (Y ＝0)＝827×29＋49×127＝20243.2．(2022·全国Ⅰ卷)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p (0<p <1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )，求f (p )的最大值点p 0；(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p 0作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？解(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝C220p2(1－p)18.因此f′(p)＝C220[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2C220p(1－p)17(1－10p)．令f′(p)＝0，得p＝0.1.当p∈(0,0.1)时，f′(p)>0；当p∈(0.1,1)时，f′(p)<0.所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.(2)由(1)知，p＝0.1.①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝490.②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．由于E(X)>400，故应该对余下的产品作检验．3．(2022·全国Ⅰ卷)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性；②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2， (16)用样本平均数x－作为μ的估计值μ^，用样本标准差s作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查．剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ<Z<μ＋3σ)＝0.9974,0.997416≈0.9592, 0.008≈0.09.解(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.0026，故X～B(16,0.0026)．因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997416≈0.0408.X的数学期望E(X)＝16×0.0026＝0.0416.(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．②由x －＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为μ^＝9.97，σ的估计值为σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115×(16×9.97－9.22)＝10.02.因此μ的估计值为10.02.i ＝116x 2i ≈16×0.2122＋16×9.972≈1591.134， 剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115×(1591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为0.008≈0.09. 二、模拟大题4．(2022·江苏省百校联考高三第一次考试)冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届，第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行，为了弘扬奥林匹克精神，增强学生的冬奥会知识，某市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动．为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在全市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：(1)现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，求选出的2所学校参与旱地冰壶人数在30以下的概率；(2)某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导．规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”．在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1，在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”，能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由．解(1)记“选出的两所学校参与旱地冰壶人数在30以下”为事件A.参与旱地冰壶人数在30以下的学校共6所，随机选择2所学校共C26＝15种，所以P(A)＝C26C210＝1 3.因此选出的2所学校参与旱地冰壶人数在30以下的概率为13.(2)答案不唯一．示例一：可以认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化，理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为C23×0.12×0.9＋C33×0.13＝0.028.指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化．示例二：无法确定．理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为C23×0.12×0.9＋C33×0.13＝0.028.虽然概率非常小，但是也可能发生，所以无法确定甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化．5．(2022·山东省潍坊市五县市高三联考)2022年8月，体育总局和教育部联合提出了《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》．某地区为落实该意见，初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分．某学校在初三上学期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到频率分布直方图(如图所示)，且规定计分规则如下表：每分钟[155,165)[165,175)[175,185)[185,215]跳绳个数得分17181920(1)(2)若该校初三年级所有学生的跳绳个数X服从正态分布N(μ，σ2)，用样本数据的平均值和方差估计总体的数学期望和方差，已知样本方差s2≈169(各组数据用中点值代替)，根据往年经验，该校初三年级学生经过训练，正式测试时跳绳个数都有明显进步，假设中考正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10，现利用所得正态分布模型：①预估全年级恰好有2000名学生时，正式测试每分钟跳182个以上的人数；(结果四舍五入到整数)②若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.解(1)由频率分布直方图得，得分为17,18的人数分别为100×0.006×10＝6,100×0.012×10＝12，由题意知两人得分之和不大于35分，即为两人得分均为17分，或两人中1人得分为17分，1人得分为18分．故两人得分之和不大于35分的概率为P＝C 26＋C16C112C2100＝291650.(2)x－＝160×0.06＋170×0.12＋180×0.34＋190×0.30＋200×0.1＋210×0.08＝185(个)，又σ2≈s2≈169，∴σ≈13，∴正式测试时，μ＝195，σ≈13，∴μ－σ≈182.＝0.84135，①P(X>182)≈1－1－0.682720．84135×2000＝1682.7≈1683(人)．∴预估正式测试每分钟跳182个以上的人数为1683.②在全年级所有学生中任取1人，每分钟跳绳个数在195以上的概率约为0.5，即ξ～B(3,0.5)，∴P(ξ＝0)≈C03×(1－0.5)3＝0.125，P(ξ＝1)≈C13×0.5×(1－0.5)2＝0.375，P(ξ＝2)≈C23×0.52×(1－0.5)＝0.375，P(ξ＝3)≈C33×0.53＝0.125，∴ξ的分布列为E(ξ)≈3×0.5＝1.5.6．(2022·辽宁省渤海大学附属高级中学高三上学期第一次考试)随着我国国民消费水平的不断提升，进口水果也受到了人们的喜爱，世界各地鲜果纷纷从空中、海上汇聚中国：泰国的榴莲、山竹、椰青，厄瓜多尔的香蕉，智利的车厘子，新西兰的金果猕猴桃等水果走进了千家万户．某种水果按照果径大小可分为五个等级：特等、一等、二等、三等和等外，某水果进口商从采购的一批水果中随机抽取500个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：(1)求恰好有3个水果是二等级别的概率；(2)若水果进口商进口时，将特等级别与一等级别的水果标注为优级水果，则用分层随机抽样的方法从这500个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，Y 表示抽取的优级水果的数量，求Y 的分布列及数学期望E (Y )．解 (1)设从500个水果中随机抽取一个，抽到二等级别水果的事件为A ， 则P (A )＝250500＝12，有放回地随机抽取6个，设抽到二等级别水果的个数为X ，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，所以恰好抽到3个二等级别水果的概率为P (X ＝3)＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝516. (2)用分层随机抽样的方法从500个水果中抽取10个，则其中优级水果有3个，非优级水果有7个．现从中抽取3个，则优级水果的数量Y 服从超几何分布，所有可能的取值为0,1,2,3. 则P (Y ＝0)＝C 37C 310＝724，P (Y ＝1)＝C 27C 13C 310＝2140，P (Y ＝2)＝C 17C 23C 310＝740，P (Y ＝3)＝C 33C 310＝1120.所以Y的分布列如下：所以E(Y)＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.。

专题17 二项分布、超几何分布与正态分布一、考情分析二、经验分享知识点1 独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，其中A i (i ＝1，2，…，n )是第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n ).(2)二项分布在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0，1，2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率.知识点2 正态分布 (1)正态分布的定义如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝⎠⎛abφμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分布，记为X ～N (μ，σ2).其中φμ，σ(x )＝12πσe(x －μ)22σ2(σ>0).(2)正态曲线的性质①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交，与x 轴之间的面积为1； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826； ②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9544； ③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.9974. 【知识必备】1.相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P (AB )＝P (A )P (B )，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P (A ∪B )＝P (A )＋P (B ).2.若X 服从正态分布，即X ～N (μ，σ2)，要充分利用正态曲线的关于直线X ＝μ对称和曲线与x 轴之间的面积为1.知识点3、两点分布如果随机变量X 的概率分布表为其中0<p <1，则称离散型随机变量X 服从两点分布． 知识点4、超几何分布1.概念：一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝r )＝C r M C n －rN －MC n N(r ＝0,1,2，…，l )．即其中l ＝min(M ，n )，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.如果一个随机变量X 的概率分布具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布．2.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数X 的概率分布三、题型分析重难点题型突破01 古典概型与二项分布例1．（2021·全国高二专题练习（理））甲、乙两名运动员练习定点投球，已知在该点每次投篮甲命中的概率是0.8，乙命中的概率是0.9，每人投两次，则甲、乙都恰好命中一次的概率为（ ） A ．0.32 B ．0.18 C ．0.50 D ．0.0576【答案】D 【分析】利用相互独立事件的概率求得结果. 【详解】甲命中一次的概率为12C ×0.8×(1－0.8)＝0.32，乙命中一次的概率为12C ×0.9×(1－0.9)＝0.18，他们投篮命中与否相互独立，所以甲、乙都恰好命中一次的概率为P ＝0.32×0.18＝0.0576. 故选：D.【变式训练1-1】．（2021·浙江温州市·高三三模）已知随机变量ξ，η满足(2,)B p ξ，21ηξ+=，且3(1)4P ξ≤=，则()D η的值为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【分析】由二项分布的性质推导出23(1)14P p ξ≤=-=，解得12p =，从而求出D ξ，再由12ηξ=-，利用方差的性质能求出D η. 【详解】解：因为随机变量ξ满足(2,)B p ξ， 3(1)4P ξ≤=， 所以有23(1)14P p ξ≤=-=，即12p =.则11121222D ξ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，12ηξ=-，42D D ηξ==.故选：C.【变式训练1-2】．（2021·全国高三其他模拟（理））春天是万物生长的季节，春节过后学生甲利用课余时间在花盆中播种了4粒虞美人种子，若每粒种子发芽的概率为23，则这4粒种子中至少有3粒发芽的概率为（ ） A ．827B ．1927 C ．1627D ．1127【答案】C 【分析】解法一：符合题意的情况是3粒发芽和4粒发芽，结合二项分布概率公式计算可得结果； 解法二：确定所求事件的对立事件，利用二项分布概率公式和对立事件概率公式可求得结果. 【详解】解法一：这4粒种子中至少3粒发芽有3粒发芽和4粒发芽两种情况，则这4粒种子中至少有3粒发芽的概率为3434442123216481633381818127P C C ⎛⎫⎛⎫⨯+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=. 解法二：设这4粒种子中至少有3粒发芽为事件A ，则()()1P A P A =-43221244121211613333327C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⨯⨯-⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：C. 【点睛】思路点睛：求解复杂问题的概率首先要正确分析所求事件的构成，将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算．求相互独立事件同时发生的概率的主要方法：①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．例2．（2021·全国高一课时练习）小宁某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率.【答案】（1）0.398；（2）0.994.【分析】结合独立事件的乘法公式即可.【详解】解：用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件.则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P(A)＝0.2，P(B)＝0.3，P(C)＝0.1.（1）由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为P1＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.（2）三列火车至少有一列正点到达的概率为P2＝1－P(A B C)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.【变式训练2-1】．（2021·辽宁高三月考）为了强化体育锻炼，增强青少年体质，国家规定将体育科目纳入高中阶段学校考试招生录取计分科目，并以体育固本行动，开展好学校特色体育项目，大力发展校园体育特色，让每位学生掌握1至2项运动技能，希望学校根据地域特点，大力推广田径、足球、篮球、排球、羽毛球等基础和特色项目．为了增加篮球活动的趣味性，学校设计了如下活动方案：甲、乙两位同学轮流进行投篮比赛，投中自己得1分，对方得0分；不中对方得1分，自己得0分，无论谁投篮，每投一次为一轮比赛，规定当一人比另一人多3分或进行完9轮投篮后，活动结束．假设甲、乙两位同学投篮命中率都为12，且两人投球命中与否相互独立．已知现在已经进行了3轮投篮比赛，甲得分2分，乙得分1分，在此基础上继续比赛．（I）只有当一人比另一人多3分时，得分高者才能获得游戏奖品，求甲获得游戏奖品的概率；（II）设X表示该活动结束时所进行的比赛的总轮数，求X的分布列及数学期望．【答案】（I）2964；（II）分布列见解析，618.【分析】（I）利用独立重复试验的概率及互斥事件的概率公式求解即可；（II）求出理数学随机变量X的可能取值，求出概率得到分布列，然后可求得数学期望.【详解】（I ）由题可知，甲获胜即甲以4:1，5:2，6:3获胜，所以，甲获得游戏奖品的概率4611112925222264P ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （II ）X 的所有可能取值为5，7，9，111(5)224P X ==⨯=， 44113(7)22216P X ⎛⎫⎛⎫==⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，9(9)1(5)(7)16P X P X P X ==-=-==. 所以X 的分布列为则X 的数学期望()579416168E X =⨯+⨯+⨯=． 【点睛】方法点睛：求解离散型随机变量X 的数学期望的方法步骤： （1）求出X 的可能取值；（2）计算出X 取每一个可能值时的概率； （3）写出X 的分布列；（4）根据分布列计算出X 的数学期望. 重难点题型突破02 正态分布例3．（多选题）（2021·全国高三其他模拟）甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩（百分制）分别服从正态分布()211,N μσ，()222,N μσ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（ ）附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈．A ．乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩B ．甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩C ．甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近D ．若15σ=，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587 【答案】ACD 【分析】根据甲、乙两类正态分布的密度曲线图象，得出平均数的大小，再判断命题是否正确即可． 【详解】A 中，由曲线知，甲同学的平均成绩为75，乙同学的平均成绩为85，故乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩，A 正确，B 错；C 中，甲密度曲线图象比乙密度曲线图象更凸起、更瘦，所以甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近，C 正确；D 中，若15σ=，则甲同学成绩高于80分的概率约为10.50.68260.15872-⨯=，故D 正确， 故选：ACD【变式训练3-1】．（2021·重庆高三三模）已知随机变量X 服从正态分布()()26,0N σσ>，若()3=0.8P X >，则()39P x <<=（ ）A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.8【答案】C 【分析】根据正态分布曲线的对称性计算概率．【详解】因为X 服从正态分布()()26,0N σσ>，()3=0.8P X >，所以(9)(3)1(3)0.2P X P X P X ≥=≤=->=， 所以(39)1(3)(9)0.6P X P X P X <<=-≤-≥=． 故选：C ．【变式训练3-2】．（2021·贵州贵阳市·贵阳一中高三月考（理））已知某随机变量ξ服从正态分布N (1，32)，则P (27ξ-<<)为（ ）(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，2σ)，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，(22)95.44%P μσξμσ-<<+=)A ．87.22%B ．13.59%C ．27.18%D ．81.85%【答案】D 【分析】由P (27ξ-<<)(2)P =-<<+，结合所给条件，即可得解.【详解】因为p (-2<ξ<4) ()68.26%P =-<<+=μσξμσ，p (-5<ξ<7)= (22)95.44%P μσξμσ-<<+=，所以p (-2<ξ<7)=68.26%+12(95.44%-68.26%)=81.85%， 故选：D.例4．（2021·河南郑州市·高三二模（理））已知某生产线的生产设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸X （单位：mm ）服从正态分布(280,25)N ．（1）从该生产线生产的零件中随机抽取10个，求至少有一个尺寸小于265mm 的概率；（2）为了保证生产线正常运行，需要对生产设备进行维护，包括日常维护和故障维修，假设该生产设备使用期限为四年，每一年为一个维护周期，每个周期内日常维护费为5000元，若生产设备能连续运行，则不会产生故障维修费；若生产设备不能连续运行，则除了日常维护费外，还会产生一次故障维修费．已知故障维修费第一次为2000元，此后每增加一次则故障维修费增加2000元．假设每个维护周期互相独立，每个周期内设备不能连续运行的概率为14．求该生产设备运行的四年内生产维护费用总和Y 的分布列与数学期望．参考数据：若~(,2)Z N μσ，则()0.6827P p Z σμσ-<<+=，(22)0.9545P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974Z μσμσ-<<+=，100.99870.9871≈．【答案】（1）0.0129；（2）分布列见解析；期望为22000． 【分析】（1）根据~(280,25)X N ，利用3σ原则求解；．（2）易得Y 的所有可能取值为20000，22000，24000，26000，28000，分别求得其相应的概率，列出分布列，再求期望. 【详解】（1）因为~(280,25)X N ， 则280μ=，5σ=，2653μσ=-， 所以10.9974(265)0.00132P X -<==， 所以从该生产线生产的零件中随机抽取10个，至少有一个尺寸小于265mm 的概率为：10101(10.0013)10.99870.0129P =--=-≈．（2）由题意可得Y 的所有可能取值为20000，22000，24000，26000，28000，4381(20000)4256P Y ⎛⎫===⎪⎝⎭， 31413108(22000)44256P Y C ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭，22241354(24000)44256P Y C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 3341312(26000)44256P Y C ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭，411(28000)4256P Y ⎛⎫===⎪⎝⎭，所以Y的分布列为：数学期望8110854121()200002200024000260002800022000 256256256256256E Y=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】思路点睛：求离散型随机变量分布列、数学期望、方差的基本思路：一审：随机变量的意义是什么？它的可能取值有哪几个？二审：随机变量的每个取值对应事件是什么？利用何种概率模型求其概率？三审：利用相应公式求概率，并列出分布列．四审：分布列中各概率的和为1吗？五审：求数学期望与方差．【变式训练4-1】．（2021·福建三明市·高三其他模拟）为促进物资流通，改善出行条件，驻某县扶贫工作组引入资金新建了一条从该县到市区的快速道路.该县脱贫后，工作组为了解该快速道路的交通通行状况，调查了行经该道路的各种类别的机动车共1000辆，对行车速度进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图：（1）试根据频率分布直方图，求样本中的这1000辆机动车的平均车速(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；（2）设该公路上机动车的行车速度v服从正态分布()2,Nμσ，其中μ，2σ分别取自该调查样本中机动车的平均车速和车速的方差2s(经计算2210.25s=).（i ）请估计该公路上10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数(精确到个位)：（ii ）现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆，设车速低于85千米/时的车辆数为X ，求X 的数学期望.附注：若()2~,N ξμσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+=，()220.9545P μσξμσ-<≤+=，()330.9973P μσξμσ-<≤+=.参考数据：229841=.【答案】（1）70.5千米/时；（2）（i ）1587辆，（ii ）()8.4135E X =. 【分析】（1）利用频率直方图，确定各组中点值i a ，由6110()i ii v a f ==∑即可求平均车速.（2）由题设易知(70.5,210.25)vN ，（i ）(85)()P v P v μσ≥=≥+，结合所提供的三段区间概率值求概率，进而求10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数. （ii ）由（i ）知车速低于85千米/时的概率，则(10,0.84135),X B 利用二项分布的期望公式即可求期望.【详解】（1）由图知：(450.01550.015650.02750.03850.015950.01)1070.5v =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=千米/时.∴这1000辆机动车的平均车速为70.5千米/时. （2）由（1）及题设知：(70.5,210.25)vN ，则70.5,14.5μσ==，（i ）1()(85)()0.158652P v P v P v μσμσμσ--≤≤+≥=≥+==，∴10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数100000.158651587⨯≈辆. （ii ）由（2）知：车速低于85千米/时的概率为10.158650.84135P =-=，故(10,0.84135),X B∴()100.841358.4135E X =⨯=. 重难点题型突破03 超几何分布例5．（2020·全国高三专题练习（理））在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于46781015C C C 的是（ ） A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)【答案】C 【分析】根据超几何分布列式求解即可． 【详解】X 服从超几何分布，P (X ＝k )＝10781015k k C C C -，故k ＝4， 故选：C.【变式训练5-1】．（2021·浙江杭州市·高二课时练习）一个口袋中有7个大小相同的球，其中红球3个，黄球2个，绿球2个.现从该口袋中任取3个球，设取出红球的个数为ξ，则()E ξ=______. 【答案】97【分析】先确定随机变量的取值0,1,2,3ξ=，再分别计算对应的概率，最后利用期望的计算公式即得结果. 【详解】依题意，设取出红球的个数为ξ，则0,1,2,3ξ=，而口袋中有红球3个，其他球4个，故()34374035C P C ξ===，()12343718135C C P C ξ===，()21343712235C C P C ξ===，()33375313C C P ξ===， 故()418121459012335353535357E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯==. 故答案为：97. 【点睛】 方法点睛：求离散型随机变量的期望的步骤：（1）先确定随机变量的取值12,,...,n x x x ξ=；（2）再计算每个变量所对应的概率(),1,2,3,...,i i P x p i n ξ===；（3）利用公式()112233...n n E x p x p x p x p ξ=++++，计算得到期望即可.【变式训练5-2】．（多选题）（2021·湖南高三月考）在一个袋中装有质地大小一样的6黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X ，则下列结论正确的是（ ） A ．3(2)7P X ==B ．随机变量X 服从二项分布C ．随机变量X 服从超几何分布D ．8()5E X =【答案】ACD 【分析】利用超几何分布判断B 、C 的正误，求出随机变量X 的概率和数学期望值判断A 、D 的正误即可得解. 【详解】由题意知随机变量X 服从超几何分布，故B 错误，C 正确； 随机变量X 的所有可能为0，1，2，3，4，46410C 1(0)C 14P X ===，1346410C C 8(1)C 21P X ===，2246410C C 3(2)C 7P X ===，3146410C C (3)C P X ==435=， 44410C 1(4)C 210P X ===， 故18341812341421()7352105E X ，故A ，D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】易错点睛：超几何分布和二项分布的区别：（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；（2）超几何分布是“不放回”抽取，而二项分布是“有放回”抽取（独立重复）； （3）当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布.【变式训练5-3】．（多选题）（2021·长沙市·湖南师大附中高三二模）下列命题中，正确的命题有（ ） A ．已知随机变量服从二项分布(),B n p ，若()30E X =，()20D X =，则23p = B ．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C ．设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()1102P p ξ-<≤=- D ．若某次考试的标准分X 服从正态分布()90,900N ，则甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过90分的概率为38【答案】BCD 【分析】对四个选项一一判断：对于A:根据二项分布的数学期望和方差的公式,直接计算； 对于B:根据数据方差的计算公式可以判断； 对于C ：由正态分布的图象的对称性可以判断； 对于D:利用独立重复试验的概率计算公式计算即可. 【详解】根据二项分布的数学期望和方差的公式，可得()30E X np ==，()()120D X np p =-=，解得13p =，所以A 错误； 根据数据方差的计算公式可知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，所以B 正确；由正态分布的图象的对称性可得()()12112110222P p P p ξξ->--<≤===-，所以C 正确；甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过90分的概率2231131228C ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：BCD。

高考数学专题 二项分布、超几何分布与正态分布问题【高考真题】1．(2022·新高考Ⅱ) 在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）. 【知识总结】 1．二项分布一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p (0<p <1)，用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k ，k ＝0,1,2，…，n . E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )． 2．超几何分布一般地，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品，从N 件产品中随机抽取n 件(不放回)，用X 表示抽取的n 件产品中的次品数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝m ，m＋1，m ＋2，…，r .其中n ，N ，M ∈N *，M ≤N ，n ≤N ，m ＝max{0，n －N ＋M }，r ＝min{n ，M }．E (X )＝n ·MN.3．正态分布解决正态分布问题的三个关键点 (1)对称轴x ＝μ. (2)样本标准差σ.(3)分布区间：利用3σ原则求概率时，要注意利用μ，σ分布区间的特征把所求的范围转化为3σ的特殊区间．【题型突破】1．2021年3月6日，习近平总书记强调，教育是国之大计、党之大计．要从党和国家事业发展全局的高度，坚守为党育人、为国育才，把立德树人融入思想道德教育、文化知识教育、社会实践教育各环节，贯穿基础教育、职业教育、高等教育各领域，体现到学科体系、教学体系、教材体系、管理体系建设各方面，培根铸魂、启智润心．某中学将立德树人融入到教育的各个环节，开展“职业体验，导航人生”的社会实践教育活动，让学生站在课程“中央”．为了更好了解学生的喜好情况，根据学校实际将职业体验分为：救死扶伤的医务类、除暴安良的警察类、百花齐放的文化类、公平正义的法律类四种职业体验类型，并在全校学生中随机抽取100名学生调查意向选择喜好类型，统计如下：在这100名学生中，随机抽取了3名学生，并以统计的频率代替职业意向类型的概率(假设每名学生在选择职业类型时仅能选择其中一类，且不受其他学生选择结果的影响)．(1)求救死扶伤的医务类、除暴安良的警察类这两种职业类型在这3名学生中都有选择的概率；(2)设这3名学生中选择除暴安良的警察类的随机变量为X，求X的分布列与均值．2．“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地．为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响).(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；(2)设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．3．某市某中学为了了解同学们现阶段的视力情况，现对高三年级2 000名学生的视力情况。

第1页共13页2023年高考数学一轮总复习第51讲：二项分布、超几何分布、正态分布【教材回扣】1．二项分布：(1)概念：一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p (0<p <1)，用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝________________，k ＝0,1,2，…，n .如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量X 服从____________________，记作______________．(2)均值与方差：如果X ～B (n ，p )，那么E (X )＝________，D (X )＝________．2．超几何分布(1)概念：一般地，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品，从N 件产品中随机抽取n 件(不放回)，用X 表示抽取的n 件产品中的次品数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝____________，k ＝m ，m ＋1，m ＋2，…，r .其中n ，N ，M ∈N *，M ≤N ，n ≤N ，m ＝max{0，n －N ＋M }，r ＝min{n ，M }．如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X 服从超几何分布．(2)均值：E (X )＝np .3．正态分布：(1)有关概念：对任意的x ∈R ，f (x )＝1σ2πe －(x －μ)22σ2>0(μ∈R ，σ＞0为参数)，我们称f (x )为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线，若随机变量X 的概率分布密度函数为f (x )，则称随机变量X 服从正态分布，记作__________________．特别地，当μ＝__________，σ＝________时称随机变量X 服从标准正态分布．(2)正态曲线的特点：①它的图象在□10________上方；②x 轴和曲线之间的区域的面积为□11________；③曲线是单峰的，它关于直线□12________对称；④曲线在x ＝μ处，达到峰值1σ2π；⑤当|x |无限增大时，曲线无限接近□13________.(3)均值与方差：若x ～N (μ，σ2)，则E (X )＝□14________，D (X )＝□15________.【题组练透】题组一判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1．二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k ，k ＝0,1,2，…，n 表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生的次数的概率分布．()2．二项分布和超几何分布都是放回抽样．()3．正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．()4．一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．()题组二教材改编。

二项分布与超几何分布辨析二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．下面举例进行对比辨析． 例 袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求： （1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列； （2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列． 解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则1~35X B ⎛⎫⎪⎝⎭，．3031464(0)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴；12131448(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；21231412(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；333141(3)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因此，X 的分布列为2．不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为0，1，2，且有：03283107(0)15C C P Y C ===；12283107(1)15C C P Y C ===；21283101(2)15C C PY C ===．因此，Y 的分布列为辨析：通过此例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的．超几何分布和二项分布都是离散型分布超几何分布和二项分布的区别：超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； 超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复） 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布二项分布、超几何分布、正态分布一、选择题1．设随机变量ξ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (ξ＝3)的值为( ) A.516 B.316 C.58 D.7162．设随机变量ξ ～ B (2，p )，随机变量η ～ B (3，p )，若P (ξ ≥1) ＝59，则P (η≥1) ＝( )A.13B.59C.827D.19273．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P (ξ＝12)＝( )A ．C 1012⎝⎛⎭⎫3810·⎝⎛⎭⎫582B ．C 911⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫582·38C ．C 911⎝⎛⎭⎫589·⎝⎛⎭⎫382D ．C 911⎝⎛⎭⎫389·⎝⎛⎭⎫582 4．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( )A ．[0.4,1)B ．(0,0.6]C ．(0,0.4]D ．[0.6,1)5．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ＜0)＝( ) A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84 二、填空题6．某篮运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率________．(用数值作答) 答案：151287．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出两个球，设其中有X 个红球，则X 的分布列为________．8.某厂生产的圆柱形零件的外径ε1000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7 cm.则该厂生产的这批零件是否合格________． 答案：不合格三、解答题9．一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A 类、B 类、C 类．检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有C 类产品或2件都是B 类产品，就需要调整设备，否则不需要调整．已知该生产线上生产的每件产品为A 类品，B 类品和C 类品的概率分别为0.9,0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响．(1)求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；(2)若检验员一天抽检3次，以ξ表示一天中需要调整设备的次数，求ξ的分布列．10.甲、乙两人参加2010年广州亚运会青年志愿者的选拔．打算采用现场答题的方式来进行，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．(1)求甲答对试题数ξ的概率分布； (2)求甲、乙两人至少有一人入选的概率．参考答案1、解析：P (ξ＝3)＝C 36⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫1－123＝516. 答案：A2、解析：∵P (ξ≥1) ＝2p (1－p )＋p 2＝59， ∴p ＝13 ，∴P (η≥1) ＝C 13⎝⎛⎭⎫13⎝⎛⎭⎫232＋C 23⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫23＋C 33⎝⎛⎭⎫133＝1927，故选D.3、解析：P (ξ＝12)表示第12次为红球，前11次中有9次为红球，从而P (ξ＝12)＝C 911·⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫582×38. 答案：B4、解析：C14p (1－p )3≤C24p 2(1－p )2，即2(1－p )≤3p ，∴p ≥0.4.又∵p <1，∴0.4≤p <15、解析：∵P (ξ≤4)＝0.84，μ＝2，∴P (ξ＜0)＝P (ξ＞4)＝1－0.84＝0.16.故选A.6、解析：由题意知所求概率P ＝C 310⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫127＝15128. 7、解析：这是超几何分布，P (X ＝0)＝C 03C 22C 25＝0.1；P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝0.6; P (X ＝2)＝C 23C 02C 25＝0.3，分布列如下表：8、解析：根据3σ原则，在4－3×0.5＝2.5~4＋3×0.5＝5.5之外为异常，所以这批零件不合格． 9、解析：(1)设A i 表示事件“在一次抽检中抽到的第i 件产品为A 类品”，i ＝1,2. B i 表示事件“在一次抽检中抽到的第i 件产品为B 类品”，i ＝1,2. C 表示事件“一次抽检后，设备不需要调整”． 则C ＝A 1·A 2＋A 1·B 2＋B 1·A 2.由已知P (A i )＝0.9，P (B i )＝0.05 i ＝1,2. 所以，所求的概率为P (C )＝P (A 1·A 2)＋P (A 1·B 2)＋P (B 1·A 2) ＝0.92＋2×0.9×0.05＝0.9.(2)由(1)知一次抽检后，设备需要调整的概率为p ＝P (C )＝1－0.9＝0.1，依题意知ξ～B (3,0.1)，ξ的分布列为10、解析：(1)P (ξ＝0)＝C 34C 310＝130，P (ξ＝1)＝C 16·C 24C 310＝310，P (ξ＝2)＝C 26·C 14C 310＝12，P (ξ＝3)＝C 36C 310＝16，其分布列如下：(2)法一：设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则P (A )＝C 26C 14＋C 36C 310＝60＋20120＝23， P (B )＝C 28C 12＋C 38C 310＝56＋56120＝1415.因为事件A 、B 相互独立，∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 P()A ·B ＝P ()A ·P ()B ＝⎝⎛⎭⎫1－23⎝⎛⎭⎫1－1415＝145， ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P ＝1－P()A ·B ＝1－145＝4445.答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445.法二：甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为 P ＝P ()A ·B＋P ()A ·B ＋P ()A ·B ＝23×115＋13×1415＋23×1415＝4445. 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445。

专题05二项分布、超几何分布与正态分布一、单选题1．（2020·全国高二课时练习）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子4次,设X 表示向上一面出现6点的次数,则X 的数学期望()EX 的值为（ ） A ．13 B ．49 C ．59 D ．232．（2020·全国高二课时练习）甲、乙两人分别独立参加某高校自主招生考试,若甲、乙能通过面试的概率都是23,则面试结束后通过的人数X 的数学期望是（ ） A ．43 B ．119 C ．1 D ．893．（2021·河南驻马店市·高三期末（理））已知~(20,)X B p ,且()6E X =,则()D X =（ ） A ．1.8 B ．6 C ．2.1 D ．4.24．（2021·山东德州市·高二期末）已知随机变量X 服从二项分布(),XB n p ,若()54E X =,()1516=D X ,则p =（ ）A ．14B ．13C ．34D ．45 5．（2020·全国高二课时练习）已知圆2228130+--+=x y x y 的圆心到直线()10kx y k +-=∈Z 的距离为若14,4XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则使()P X k =的值为（ ） A ．23 B ．35C ．13D ．27646．（2021·辽宁大连市·高三期末）2020年12月4日,中国科学技术大学宣布该校潘建伟等科学家成功构建76光子的量子计算原型机“九章”,求解数学算法“高斯玻色取样”只需要200秒,而目前世界最快的超级计算机要用6亿年,这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家.“九章”求得的问题名叫“高斯玻色取样”,通俗的可以理解为量子版本的高尔顿钉板,但其实际情况非常复杂.高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的,如图,每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子,上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间,从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球,白球向下降落的过程中,首先碰到最上面的钉子,碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下,于是又碰到下一层钉子.如此继续下去,直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口放进一个白球,则其落在第③个格子的概率为（ ）A ．1128B ．7128C ．21128D ．351287．（2020·江苏省苏州中学园区校高二月考）设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(21)(1)P m P m ξξ<+=>-,则实数m 的值是（ ）A ．23B ．43C ．53D ．28．（多选）（2021·全国高二课时练习）如城镇小汽车的普及率为75%,即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车,若从如城镇中任意选出5个家庭,则下列结论成立的是( )A ．这5个家庭均有小汽车的概率为2431024B ．这5个家庭中,恰有三个家庭拥有小汽车的概率为2764C ．这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车D ．这5个家庭中,四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为81128 9．（多选）（2020·全国高三专题练习）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数12345A a a a a a =（例如10100）其中A 的各位数中()2,3,4,5k a k =出现0的概率为13,出现1的概率为23,记2345X a a a a =+++,则当程序运行一次时（ ）A ．X 服从二项分布B ．()8181P X ==C ．X 的期望()83E X =D ．X 的方差()83V X =10．（2020·江苏南京市·南京田家炳高级中学高三期中）下列命题中,正确的命题是（ ）A ．已知随机变量服从二项分布(),B n p ,若()30E x =,()20D x =,则23p =B ．已知34n n AC =,则27n =C ．设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ,若()1P p ξ>=,则()1102P p ξ-<<=- D ．某人在10次射击中,击中目标的次数为X ,()~10,0.8X B ,则当8X =时概率最大.二、填空题11．（2021·江西高三其他模拟（理））已知随机变量ξ服从正态分布()23,N σ,()60.84P ξ≤=,则()0P ξ≤=______.12．（2020·福建三明市·高二期末）已知某批零件的长度误差X 服从正态分布()2,N μσ,其密度函数()()222,12x x e μσμσϕπσ--=的曲线如图所示,则σ=______；从中随机取一件,其长度误差落在()3,6内的概率为______. （附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ,则()0.6826P μσξμσ-<≤+=,()220.9544P μσξμσ-<≤+=,()330.9974P μσξμσ-<≤+=.）三、解答题13．（2021·全国高二课时练习）某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组：[30,40),[40,50),[90,100],整理得到如下频率分布直方图：（1）若该样本中男生有55人,试估计该学校高三年级女生总人数；（2）若规定小于60分为“不及格”,从该学校高三年级学生中随机抽取一人,估计该学生不及格的概率；90,100为“优秀”.用频率估计概率,从该校高三年级随机抽取三人,记（3）若规定分数在[80,90)为“良好”,[]该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为X,求X的分布列和数学期望.14．（2020·全国高三专题练习（理））袋子中有1个白球和2个红球．（1）每次取1个球,不放回,直到取到白球为止,求取球次数X的分布列；（2）每次取1个球,有放回,直到取到白球为止,但抽取次数不超过5次,求取球次数X的分布列；（3）每次取1个球,有放回,共取5次,求取到白球次数X的分布列．15．（2021·全国高三其他模拟）某商场举行有奖促销活动,凡10月13日当天消费每超过400元（含400元）,均可抽奖一次,抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球（其中红球有3个,白球有3个）,抽奖方案设置两种,顾客自行选择其中的一种方案．方案一：从抽奖箱中,一次性摸出2个球,若摸出2个红球,则打6折；若摸出1个红球,则打8折；若没摸出红球,则不打折．方案二：从抽奖箱中,有放回地每次摸取1个球,连摸2次,每摸到1次红球,立减100元．（1）若小方、小红均分别消费了400元,且均选择抽奖方案一,试求他们其中有一人享受6折优惠的概率．（2）若小勇消费恰好满600元,试比较说明小勇选择哪种方案更划算．16．（2021·全国高二课时练习）第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行,共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA-V200W ,已知这种球的质量指标ξ (单位:g )服从正态分布N (270,25).比赛赛制采取单循环方式,即每支球队进行11场比赛(采取5局3胜制),最后靠积分选出最后冠军积分规则如下:比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分,负队积0分;而在比赛中以3:2取胜的球队积2分,负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队,设每局比赛中国队取胜的概率为p(0<p<1).（1）如果比赛准备了1000个排球,估计质量指标在(260,265]内的排球个数(计算结果取整数).f p.（2）第10轮比赛中,记中国队3:1取胜的概率为()（i）求出f(p)的最大值点0p;（ii）若以0p作为p的值记第10轮比赛中,中国队所得积分为X,求X的分布列.σ),则p(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6826,p(μ-2σ<X <μ+2σ)≈0.9644.参考数据:ζ ~N(u,2。

一、单项选择题1．设随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，若P (X ＝0)＝49，则D (Y )等于()A.23B.43C.49D.892．(2023·福建名校联盟大联考)甲、乙两选手进行羽毛球单打比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，采用三局两胜制，则甲以2∶1获胜的概率为()A.827 B.427 C.49 D.293．(2023·枣庄模拟)某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩X 近似服从正态分布N (72,82)，则数学成绩位于(80,88]的人数约为()参考数据：P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)≈0.6827，P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈0.9545，P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)≈0.9973.A ．455B ．2718C ．6346D ．95454．已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随机抽取2件进行检测，记取到的正品数为ξ，则均值E (ξ)为()A.45B.910C ．1 D.655．32名业余棋手组队与甲、乙2名专业棋手进行车轮挑战赛，每名业余棋手随机选择一名专业棋手进行一盘比赛，每盘比赛结果相互独立，若获胜的业余棋手人数不少于10名，则业余棋手队获胜．已知每名业余棋手与甲比赛获胜的概率均为13，每名业余棋手与乙比赛获胜的概率均为14，若业余棋手队获胜，则选择与甲进行比赛的业余棋手人数至少为()A ．24B ．25C ．26D ．276．(2024·赤峰模拟)某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共10张券，客户从中任意抽取2张，若至少抽中1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖．客户甲每天都参加1次抽奖活动，一个月(30天)下来，发现自己共中奖11次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券有()A ．1张B ．2张C ．3张D ．4张二、多项选择题7．(2023·莆田模拟)“50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，某地区高三男生的“50米跑”测试成绩ξ(单位：秒)服从正态分布N (8，σ2)，且P (ξ≤7)＝0.2.从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个，其中成绩在(7,9)的个数记为X，则() A．P(7<ξ<9)＝0.8B．E(X)＝1.8C．E(ξ)>E(5X)D．P(X≥1)>0.98．(2023·汕头模拟)一个袋子有10个大小相同的球，其中有4个红球，6个黑球，试验一：从中随机地有放回摸出3个球，记取到红球的个数为X1，均值和方差分别为E(X1)，D(X1)；试验二：从中随机地无放回摸出3个球，记取到红球的个数为X2，均值和方差分别为E(X2)，D(X2)，则()A．E(X1)＝E(X2)B．E(X1)>E(X2)C．D(X1)>D(X2)D．D(X1)<D(X2)三、填空题9．(2023·石家庄模拟)某市中学举办了一次“亚运知识知多少”的知识竞赛．参赛选手从7道题(4道多选题，3道单选题)中随机抽题进行作答，若某选手先随机抽取2道题，再随机抽取1道题，则最后抽取到的题为多选题的概率为________．10．(2023·唐山模拟)近年来，理财成为了一种趋势，老黄在今年买进某个理财产品．设该产品每个季度的收益率为X，且各个季度的收益之间互不影响，根据该产品的历史记录，可得P(X>0)＝2P(X≤0)．若老黄准备在持有该理财产品4个季度之后卖出．则至少有3个季度的收益为正值的概率为________．11．(2024·南开模拟)一个盒子中装有5个电子产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中每次抽取1个产品．若抽取后不再放回，则抽取三次，第三次才取得一等品的概率为________；若抽取后再放回，共抽取10次，则平均取得一等品________次．12．(2023·聊城模拟)某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值x i(i＝1,2,3，…，100)，经计算错误!i＝7200，错误!2i＝100×(722＋36)．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布N(μ，σ2)，则估计该市高中生身体素质的合格率为________．(用百分数作答，精确到0.1%)参考数据：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.四、解答题13．某家具城举办了一次家具有奖促销活动，消费每超过1万元(含1万元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种．方案一：从装有10个形状与大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，则打5折；若摸出2个红球和1个黑球，则打7折；若摸出1个白球2个黑球，则打9折，其余情况不打折．方案二：从装有10个形状与大小完全相同的小球(其中红球2个，黑球8个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减2000元．(1)若一位顾客消费了1万元，且选择抽奖方案一，试求该顾客享受7折优惠的概率；(2)若某顾客消费恰好满1万元，试从均值的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？14．某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛类奖励规则如下：得分在[70,80)内的学生获得三等奖，得分在[80,90)内的学生获得二等奖，得分在[90,100]内的学生获得一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，该市随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中σ≈15，μ为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：(1)若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生人数(结果四舍五入到整数)；(2)若从所有参赛学生中(参赛学生数大于10000)随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．参考数据：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.。