超几何分布与二项分布的区别与联系

§超几何分布与二项分布的区别与联系1、二项分布：一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()(1),0,1,2,...,.k k n k n P X k C p p k n -==-=此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～(,)n p ，并称p 为成功概率。

2．超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则(),0,1,2,...,.k N K M N M n NC C P X k k m C --⋅=== 此时称随机变量X 服从超几何分布。

注意：超几何分布中必须同时满足两个条件：一是抽取的产品不再放回去； 二是产品数是有限个为N （总数较少）.当这两个条件中任意一个发生改变，则不再是超几何分布.一、 当抽取的方式从无放回变为有放回，超几何分布变为二项分布【例1】从含有3件次品的10产品中有放回地逐次取，每次取一个，取3次，用X 表示次品数。

（1） 求X 的分布列；（2） 求()E X 和()D X二、 当产品总数N 很大时，超几何分布变为二项分布【例2】 从批量较大的产品中，随机取出10件产品进行质量检测，若这批产品的不合格率为0.05，随机变量ξ表示这10件产品中的不合格品数，求随机变量ξ的数学期望()E ξ【例3】根据我国相关法规则定，食品的含汞量不得超过1.00ppm，沿海某市对一种贝类海鲜产品进行抽样检查，抽出样本20个，测得含汞量（单位：ppm）数据如下表所示：（1）若从这20个产品中随机任取3个，求恰有一个含汞量超标的概率；（2）以此20个产品的样本数据来估计这批贝类海鲜产品的总体，若从这批数量很大的贝类海鲜产品中任选3个，记ξ表示抽到的产品含汞量超标的个数，求ξ的分布列及数学期望Eξ.()【例5】一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A类、B类、C类。

超几何分布与二项分布的区别是什么超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复），当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布。

超几何分布和二项分布超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复）当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布。

二项分布即重复n次独立的伯努利试验。

在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n 重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布就是伯努利分布超几何分布是统计学上一种离散概率分布。

它描述了由有限个物件中抽出n 个物件，成功抽出指定种类的物件的次数（不归还）。

在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有M件次品，抽检n件时所得次品数X=k，则P(X=k)=C（M，k）·C(N-M,n-k)/C(N,n），C（a b）为古典概型的组合形式，a为下限，b为上限，此时我们称随机变量X服从超几何分布（1）超几何分布的模型是不放回抽样（2）超几何分布中的参数是M,N,n上述超几何分布记作X~H(N,n,M）。

超几何分布超几何分布是统计学上一种离散概率分布。

它描述了从有限N个物件（其中包含M个指定种类的物件）中抽出n个物件，成功抽出该指定种类的物件的次数（不放回）。

称为超几何分布，是因为其形式与“超几何函数”的级数展式的系数有关。

超几何分布中的参数是M,N,n，上述超几何分布记作X~H(n,M,N) 。

二项分布在n次独立重复的伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p。

用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X的可能取值为0，1，…，n,且对每一个k（0≤k≤n）,事件{X=k}即为“n次试验中事件A恰好发生k次”，随机变量X的离散概率分布即为二项分布。

关于“二项分布”与“超几何分布”问题举例概率问题是历年高考必考内容，也是高考试题研究的热点话题；因此，对于这部分内容，我们在备考复习中也投入了大量的精力，作了充分的准备；然而，在平时的练习和模考中，经常会发现学生的错误频频，准确地讲：对“二项分布”和“超几何分布”的概念模糊，判断不准，互相误用，导致错误；为此，本文对“二项分布”和“超几何分布”的概念和应用作出具体的剖析. 一．基本概念 1.超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件⎨X=k ⎬发生的概率为：P(X=k)= nNkn MN k M C C C --⋅,k= 0,1,2,3,⋯⋯,m ；其中，m = min ⎨M,n ⎬,且n ≤ N , M ≤ N . n,M,N ∈ N *为超几何分布；如果一个变量X 的分布列为超几何分布列，则称随几变量X 服从超几何分布.其中，EX= n ⋅ M N2.二项分布在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X,在每次试验中，事件A 发生的概率为P ,那么在n 次独立重复试中，事件A 恰好发生k 次的概率为： P(X=k)= C n k p k (1-p)n-k (k=0,1,2,3,⋯,n),此时称随机变量X 服从二项分布. 记作：X ~ B(n,p),EX= np3.“二项分布”与“超几何分布”的联系与区别 (1)“二项分布”所满足的条件每次试验中，事件发生的概率是相同的；是一种放回抽样. 各次试验中的事件是相互独立的；●每次试验只有两种结果，事件要么发生，要么不发生；❍随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.(2)“超几何分布”的本质：在每次试验中某一事件发生的概率不相同，是不放回抽样，“当样本容量很大时，超几何分布近似于二项分布;(3)“二项分布”和“超几何分布”是两种不同的分布，但其期望是相等的.几何分布”和“二项分布”的这种“巧合”，使得“超几何分布”期望的计算大简化.共同点：每次试验只有两种可能的结果：成功或失败。

关于二项分布与超几何分布问题区别举例Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】关于“二项分布”与“超几何分布”问题举例一．基本概念 1.超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件X=k 发生的概率为：P(X=k)=n Nk n MN k M C C C --⋅,k= 0,1,2,3,,m ；其中，m = minM,n,且n N , M N . n,M,N N 为超几何分布；如果一个变量X 的分布列为超几何分布列，则称随几变量X 服从超几何分布.其中，EX= n MN2.二项分布在n次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X,在每次试验中，事件A 发生的概率为P,那么在n次独立重复试中，事件A恰好发生k次的概率为：P(X=k)= C n k p k(1-p)n-k(k=0,1,2,3,,n),此时称随机变量X服从二项分布.记作：X B(n,p),EX= np3.“二项分布”与“超几何分布”的联系与区别(1)“二项分布”所满足的条件每次试验中，事件发生的概率是相同的；是一种放回抽样.各次试验中的事件是相互独立的；每次试验只有两种结果，事件要么发生，要么不发生；随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.(2)“超几何分布”的本质：在每次试验中某一事件发生的概率不相同，是不放回抽样，“当样本容量很大时，超几何分布近似于二项分布;合”，使得“超几何分布”期望的计算大简化.共同点：每次试验只有两种可能的结果：成功或失败。

不同点：1、超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取；2、超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”；联系：当产品的总数很大时，超几何分布近似于二项分布。

因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的． 二．典型例题例1：袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求：（1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列；（2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率均为15，3次取球可以看成3次独立重复试验，则1~35X B ⎛⎫⎪⎝⎭，． 03031464(0)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴；12131448(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 21231412(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 333141(3)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因此，X 的分布列为（2）．不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为０，1，2，且有：03283107(0)15C C P Y C ===；12283107(1)15C C P Y C ===；21283101(2)15C C P YC ===．因此，Y 的分布列为例2.在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：(1) 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.(2) 记：X表示“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的数量”，求X 的分布列并求EX;分析：由题可知：从10件产品中分别任取两次得到“一等品”或“二等品”的概率是不相等的，因此是一种不放回抽样;随机变量 X服从超几何分布.解：(1) 记A1：取出3件一等品；A2：取出2件一等品；A3：取出1件一等品，二件三等品.A1、A2、A3互斥，P(A 1)= C 33C 103 = 1120 , P(A 2)= C 32C 71C 103 =740,P(A 3)= C 31C 72C 103 = 340 ; 所以，P =P(A 1)+ P(A 2)+ P(A 3)= 31120 .(2)X=0，1，2，3; X 服从超几何分布，所以P(X=0)= P(一件一等品，一件二等品，一件三等品)=310131413C C C C =310;P(X=1)=P （二件一等品，一件二等品） =3101423C C C =110; P(X=2)=P(三件一等品，一件二等品)=3101433C C C =130 ; P(X=3)= P （三件一等品，零件二等品）= 3100433C C C = 1120;EX = nM N = 3310=说明：谨防错误地认为随机变量X 服从二项分布，即：XB(3, 31120).例3.从某高中学校随机抽取16名学生，经校医检查得到每位学生的视力，其中“好视力”4人,以这16人的样本数据来估计整个学校的整体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记X表示抽到“好视力”学生的人数，求X的分布列及数学期望.分析：本题就是从“该校（人数很多）任选3人”，由此得到“好视力”人数X，若每次从该校任取一名学生为“好视力”这一事件的概率显然是相等的，因为该校“人数很多”相当于“有放回抽样”，因此，随机变量X服从“二项分布”而不是“超几何分布”.解：由题可知：X= 0,1,2,3；由样本估计总体，每次任取一人为“好视力”的概率为： P = 416 = 14，则XB(3,14 );P(X=0)= C 30( 14 )0(1- 14)3-0 = 2764; P(X=1)= C 31( 14 )1(1- 14)3-1 = 2764 ;P(X=2)= C 32( 14 )2(1- 14 )3-2 = 964 ;P(X=3)= C 33( 14 )3(1- 14 )3-3 = 164;EX = 3×14 = 34. 说明：假设问题变为：“从16名学生中任取3名，记X 表示抽到“好视力”学生的人数，求X 的分布列及数学期望”.那么X 服从“超几何分布”，即：P(X=k)= 3163124C C C k k ，(X=0,1,2,3)，其中,数学期望值不变，即为：EX= 3×416 = 34.。

超几何分布与二项分布超几何分布与二项分布是两种常见的离散概率分布，它们在统计学和概率论中有着广泛的应用。

本文将介绍这两种分布的定义、概率密度函数、期望值和方差，以及它们的区别和联系。

一、超几何分布超几何分布描述的是从有限个物件中抽出指定数量的元素，不放回地抽取的这个过程中，恰好抽取某些元素的概率。

在一个包含 $N$ 个物件的集合中，其中 $K$ 个物件具有某种特征，设从中不放回地抽取 $n$ 个物件，则随机变量 $X$ 表示其中具有该特征的物件的个数。

超几何分布的概率质量函数为：$$P(X=k)=\frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$$其中 $\binom{a}{b}$ 表示从 $a$ 个不同元素中取出 $b$ 个元素的组合数。

超几何分布的期望值为$$E(X)=\frac{nK}{N}$$方差为$$Var(X)=n\frac{K}{N}\left(1-\frac{K}{N}\right)\cdot\frac{N-n}{N-1}$$二、二项分布二项分布是把一次独立试验成功的概率为 $p$，失败的概率为 $1-p$ 的 Bernoulli 试验独立重复进行 $n$ 次，成功的次数就是随机变量 $X$ 的取值。

二项分布的概率质量函数为：$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$$$Var(X)=np(1-p)$$超几何分布与二项分布都是描述随机试验的离散概率分布，但二者的基本假设不同。

超几何分布假设实验进行过程中不放回，且每次结果取决于前一次结果，因此从同一总体中取出的每个样本在某种意义上都不一定相互独立。

二项分布则假设每次实验结果独立，即试验的结果不受之前结果的影响。

此外，当超几何分布的总体 $N$ 无限大时，其概率分布可以近似为二项分布。

这是因为当总体 $N$ 很大时，从总体中取出一个相对较小的 $n$ 个样本时，每个样本的相对大小都可以视为独立的 Bernoulli 试验，也就是说超几何分布变得近似独立分布，因此可以用二项分布来近似替代。

超几何分布和二项分布
超几何分布与二项分布是统计分析中常用的概率分布，它们通常
在不同的环境中应用。

深入了解这两种分布有助于我们理解统计模型，并精确地将现实世界与数学理论联系起来。

首先，超几何分布是一种分布，它描述了一件事情中事件发生的
概率。

这件事情可以是抛洒抛骰子，当抛n次投掷骰子时，超几何分
布就可以描述这次投掷中，某个特定的数字骰子的概率分布。

特别的，如果我们观察那些有共同特征的事件发生的情况，超几何分布可以描
述该情况的发生概率。

其次，二项分布是另一种分布，它是超几何分布的一般化。

也就
是说，二项分布是一种由n个独立试验组成的随机实验，每次试验能
返回True或False两种结果。

在该实验中，某种指定的结果“True”
发生的概率就是超几何分布，而当观察两个或更多事件发生的状况，
就将特征整合到二项分布中去了。

此外，超几何分布和二项分布都可以用于模拟不同事件的发生概率。

超几何分布用于模拟单次实验的发生概率，而二项分布则可以用
于模拟两个或更多事件发生的状况。

也就是说，超几何分布更偏向于
简单的一次实验，而二项分布则可以用来模拟现实世界更复杂的事件
发生概率。

最后，超几何分布和二项分布都是统计学中常用的概率分布形式。

超几何分布用于模拟单次实验的发生概率，适用于单一特征的实验；
二项分布则可以模拟多事件发生的情况，通常在多特征实验中使用。

理解这两种概率分布的基本原理和应用，将有助于理解统计模型，帮
助我们更准确地把现实世界与数学理论联系起来。

二项分布和超几何分布的区别超几何分布和二项分布的区别：超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取〔独立重复〕当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布。

超几何分布和二项分布的区别：超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取〔独立重复〕当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布。

超几何分布和二项分布的区别一样点：
超几何分布和二项分布都是离散型分布
超几何分布和二项分布的区别：
〔1〕超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
〔2〕超几何分布是“不放回〞抽取，而二项分布是“有放回〞抽取〔独立重复〕。

〔3〕当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布。

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