二项分布和超几何分布(含答案)讲课教案

《二项分布与超几何分布》讲义在概率论与数理统计中，二项分布和超几何分布是两个非常重要的离散型概率分布。

理解和掌握这两种分布对于解决实际问题以及深入研究概率理论都具有重要意义。

一、二项分布1、定义二项分布是 n 个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布。

假设每次试验的成功概率为 p ，则在 n 次试验中，成功的次数 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布，记为 X ～ B(n, p) 。

2、概率质量函数二项分布的概率质量函数为：P(X ＝ k) ＝ C(n, k) p^k （1 p)＾（n k) ，其中 C(n, k) 表示从 n 个元素中选取 k 个元素的组合数。

3、期望和方差二项分布的期望为 E(X) ＝ np ，方差为 Var(X) ＝ np(1 p) 。

4、应用场景二项分布常用于以下场景：多次独立重复的试验，例如抛硬币多次，计算正面出现的次数。

产品的质量检验，判断一批产品中不合格品的数量。

二、超几何分布1、定义超几何分布描述了从有限 N 个物件（其中包含 M 个指定种类的物件）中抽出 n 个物件，成功抽出指定种类物件的次数 X 的概率分布。

2、概率质量函数超几何分布的概率质量函数为：P(X ＝ k) ＝ C(M, k) C(N M, n k) ／ C(N, n) 。

3、期望和方差超几何分布的期望为 E(X) ＝ n M ／ N ，方差为 Var(X) ＝ n M ／N （1 M ／ N) （N n) ／（N 1) 。

4、应用场景超几何分布常用于以下情况：不放回抽样问题，例如从一批产品中随机抽取若干个，计算其中合格品的数量。

对有限总体的抽样分析。

三、二项分布与超几何分布的区别1、试验类型二项分布是独立重复试验，每次试验的结果只有两种（成功或失败），且每次试验的成功概率相同。

超几何分布是非独立试验，每次抽样的结果会影响下一次抽样的概率。

2、总体大小二项分布的总体大小通常是无限的或者很大，而超几何分布的总体大小是有限的。

关于超几何分布与二项分布的教学设计目录1．研究背景 (1)2．新《课标》的理念基础 (1)3．教学设计 (1)3．1学习内容分析 (1)3．2学情分析 (2)3．3学习目标 (2)3．3．1知识、技能目标 (2)3．3．2过程、方法目标 (2)3．3．3情感态度与价值观目标 (2)3．3．4教学重难点分析 (2)3．3．5教法、学法分析 (3)4．教学过程 (3)4．1超几何分布 (3)4．1．1复习引入 (3)4．1．2讲解新知 (4)4．1．3应用举例 (5)4．1．4反馈练习 (5)4．1．5归纳总结 (6)4．2二项分布 (6)4．2．1复习引入 (6)4．2．2探索新知 (6)4．2．3例题说明 (7)4．2．4练习巩固 (7)4．2．5归纳小结 (8)5．总结 (8)5．1教学过程小结 (8)5．2教学内容小结 (9)5．3整式教学流程图 (11)6．教学反思 (12)参考文献 (13)摘要：离散型随机变量是高一数学选修课中的内容之一，在高中数学中占有重要地位，其中包括两种重要的分布：超几何分布与二项分布．这两种分布是本节课要重点介绍的内容．学生能分清楚这两种分布所对应的随机变量的意义，并能准确地判断出随机变量所服从的分布类型是非常重要的．因此，本教学设计的目的是：使学生易于深刻理解两种分布，并发现两种分布所对应的随机变量的意义，准确判断出随机变量的分布类型．它们之间最明显地区别在于是否有放回，并且二项分布的每次试验相互独立，不受其它试验结果的影响．二项分布是无限的总体个数，而超几何分布是有限的．深刻理解这两种分布模型，有助于提升学生对学习的自主性、积极性．增强学生发现问题，分析问题和解决问题的能力．关键词：超几何分布；二项分布；n次独立重复试验；随机变量1.研究背景对于学生的教学，应该从学生自身已有的生活经验、理性的知识程度和感性的生活认知出发，设计出适合本年级学生学习知识的教学方案，因此，国家教育部也强调数学教材应该源于生活，归于生活，最后将其应用于生活．这样可以教学中比较繁琐的内容变得简化，更易于理解．《标准》中也指出：数学活动应该建立在已有经验的基础上．新课改让老师们更有机会去大胆创新，寻找到更有益于学生学习的方法，在课本中学习真理，在实践中检验真理[1]．创新出能使学生对知识产生浓厚的学习兴趣的教学设计方案．2.新《课标》的理念基础新课标的修改，体现出要更加注重培养学生的综合素质，学生学习的自主性，探究性和积极性．学生的学习过程应当是生动的，活泼的，这应该体现在课堂学习氛围中，教师应当在教学设计中多下功夫，目的是使学生对学习产生浓厚的兴趣，在课堂上交流合作，勤于思考，积极发言．建立一个完善、亲近学生的评价体系[2]．3.教学设计3．1学习内容分析本节课是高一数学选修3-2中离散型随机变量的两种重要模型，主要介绍了书中第二章中的一些内容，共分为两个课时：第一个课时，开头首先复习巩固了离散型随机变量的概念和分布列及其性质特征，紧接着通过创设问题情境，引出了超几何分布．在这一课时中，主要是介绍超几何分布的定义及其基本性质；第二个课时，主要介绍了二项分布及其实际应用．在这节课中，通过借助实例和探究学习，使同学能够准确掌握两种分布的定义与基本特征，从而能正确区分两种分布，并加以运用在实际问题中．3．2学情分析由于学生已经具备一定的知识基础和心理认知．也具备了一定的逻辑判断能力和计算能力．所以先让同学们分别感受超几何分布和二项分布的基本特征，然后让学生体会二者的区别与联系，最后准确的区分二者，并在实际问题中能熟练应用知识[3]．3．3学习目标3．3．1知识、技能目标（1）进一步了解超几何分布与二项分布产生的实际背景，在学习超几何分布和二项分布的时候，不仅要对公式熟练应用，而且更要理解它们的推导过程，并且要将它们的联系与区别熟记于心，进一步构建并完善学生的知识体系；（2）掌握两种分布的基本性质，要能准确区分出两种分布，更重要的是能准确运用两种分布解决实际问题[4]；3．3．2过程、方法目标（1）通过自主学习，熟悉本节课的基本知识与思维逻辑方法，建构和完善知识体系[5]；（2）借助实例，通过合作交流与自主探究学习，在与同学的讨论交流中获得对两种分布的基本特征的认识，从而使学生的知识框架能够更完整的构建，这样，学生对本节课的知识也就有了更进一步的了解，在以后知识的运用过程中也会更加得心应手．3．3．3情感态度与价值观目标通过举出生活中的一个实例，使学生将注意力关注到该问题上，主动思考该问题；这样有助于鼓励学生积极主动参与进来；通过自主探究、相互合作交流，从而形成良好的激发思维和理性思考问题的品质；通过学生自主回答相关题目，增强学生的自信心，提升学生自我激励与竞争向上的品质[6]．3．3．4教学重难点分析重点：学生能够体会超几何分布和二项分布的定义；深刻掌握二者的基本性质；并且熟悉它们之间的联系和区别，能熟练区分二者．难点：学生能够充分理解超几何分布与二项分布的概念，掌握两种分布的公式，能运用公式解决一些简单的概率问题，熟悉两种分布之间的区别与联系[7]．3．3．5教法、学法分析教法：依据教师对学生已有知识经验的了解，结合此了解，通过讲授法，讨论法等，培养学生正确的思维能力，熟练掌握全面的、认真的考虑问题的方法．教师通过引导学生，使学生接受引导并观察思考问题，激发学生的主观能动性．学法：现在的课堂一定要进行改革，打破固定模式，将教师端菜变成学生点菜，鼓励他们积极地进行探究讨论，培养他们分析和解决问题的能力，提升思维活跃性，有易于之后对数学的学习[9]．4.教学过程4．1超几何分布4．1．1复习引入4．1．2讲解新知（1）创设情境在香蕉质量检测中，经常通过抽样分析新鲜香蕉与腐败香蕉的分布．现在有一批香蕉共有100箱，其中有5箱香蕉是腐败的，如果随机取出10箱香蕉，那么腐败的香蕉数的概率分布是怎样的？提出问题：用怎样的数学模型刻画上述问题？学生：分小组讨论问题，探索实例．教师：层层追问，让学生讨论解决此问题的方法，教师点拨完善．（2）讲解新知，概念形成如果从100件产品里随机抽取10件来，我们都知道等可能基本事件的个数为10100C ．{}2=X 表示随机事件“其中抽到2件不合格品”，依据分步计数原理有89525C C 种类似的，可以求得X 取其他值时对应的随机事件的概率，从而得到不合格品数X 的概率分布如下表所示：，：足满别分和),m in(,,...,3,2,1,0M n l l r l r ==就称X 服从超几何分布，记作4．1．5归纳总结（1）要想服从超几何分布必须有不放回的前提，并且超几何分布的模型是由两种有显然差别的产品构成．（2）当随机变量X 服从超几何分布时，我们只需要知道n M N 和,,这三个参数的地表示出随机变量X 的分布列．学生：请一位同学进行总结，其他同学补充．教师：完善并巩固本节课所学知识，并对本节课的知识研究线索有一个全面的认识，掌握研究方法，为今后学习其他知识奠定基础． 4．2二项分布4．2．1复习引入（1）引例：某学校的素质拓展活动中，有位学生参加投壶游戏，他进行了6次次投壶中投中的次数，求X 的分布列．阅读并回答本例题，思考交流能得出什么结论？（2）n 次独立重复试验①概念：一般地，任何一次试验之间都是相互独立的并且可以重复进行的，就称这种试验为n 次独立重复试验．说明：相互独立，即)()()()(n 21n 21A P A P A P A A A P =，其中第i 次试验的结果用),,2,1(n i A i =来表示．②性质：1）若条件相同，那么试验可以重复进行的；2）每次试验结果固定，发生或不发生；3）随机一次试验中，事件有相同的发生概率，且各次试验的结果不会相互影响． 先观察后思考：n k p p C k X P k n k k ,,2,1,0)1()(n =-==-，表三 则称随机变量X 服从二项分布， 简记为),,(~p n B X 其中p 为成功的概率． 4．2．3例题说明例1．以下两个题目中所给出的随机变量X 服从二项分布吗？（1）按照次序分别向上抛掷4枚质地不同的硬币，正面向上的次数X ;（2）有一名篮球运动员定点投篮，假若他每次投中的概率是稳定的，则他投10次中投中的次数X ；例2．古代有很多人喜欢玩投壶游戏，已知某人定点投壶的投中率为7.0，如果他每次投壶的投中率都是一样的，那么在他10次投壶游戏中：（1）恰好投中8次的概率？（2）至少投中8次的概率？4．2．4练习巩固练习：已知：一个经验丰富的老人能向人们提供正确建议的概率是93.0，三个中学生能向人们提供正确建议的概率都是6.0，那么三个中学生能否代替一个经验丰富的老人呢？4．2．5归纳小结（1）表四（2）二项分布模型的理论应用．（3）辨析超几何分布模型与二项分布模型，包括它们之间的联系和区别． 联系：超几何分布和二项分布都属于离散型分布；区别：在总容量方面．超几何分布必须满足有限个总体个数，而二项分布必须满足无限个总体个数；满足超几何分布，抽样必须是不放回的，而满足二项分布，抽样必须是有放回的．5. 总结5．1教学过程小结本节课内容主要分为两个课时．第一个课时，先温习上节课所学到有关随机变量等内容的性质，然后，导入一个日常生活中比较常见的问题，引起同学们对本节课的学习兴趣，从而引出超几何分布的概念，最后加以练习运用．在第二个课时中，我们先回顾了上节课所学的内容，然后通过引例引出n 次独立重复试验，进而引出二项分布的定义，并结合例题加以熟悉掌握．最后，总结归纳二项分布与超几何分布的联系与区别．在整个教学过程当中，主要强调激发学生的自主学习性，课堂积极性和探究思考的能力．从而使学生能更深刻的掌握知识，奠定知识基础，运用到实际生活当中．5．2教学内容小结5．3整式教学流程图1．超几何分布2．二项分布6.教学反思本章以超几何分布和二项分布这两个具体的概率模型为重点内容，使学生在有关分布的内容上有了清晰的认知．面对一些随机现象也能够认识其本质．在本节课的学习中，通过概念讲授和结合实例的方法，学生进一步认识到超几何分布和二项分布所刻画的随机现象，并感悟出这两种模型的共同特点．本节课的教学目标是学生对超几何分布与n次独立重复试验以及二项分布的概念有深刻的理解，并熟练掌握，并且能够将超几何分布与二项分布概念模型区分开来，并能用这两种分布概率模型解决一些实际问题．为实现这个教学目标，本课的教学过程分为两个课时，第一个课时，首先，教师引导学生复习回顾随机变量、离散型随机变量、分布列以及性质，紧接着通过现实生活中的一个实际问题引出一个紧扣超几何分布的概率问题，激发学生的求知欲望;稍后给出例题和练习题让学生稳固新知，运用新知．第二课时与第一课时运用了相似的教学方法，复习回顾——n次独立重复试验——二项分布——例题引入——巩固练习．通过层层递进的问题，引导学生充分认识二项分布这个概率模型，理解二项分布概念的内涵与外延，最后，整体总结了超几何分布与二项分布的区别与联系．通过本节课的学习，不仅使学生熟练掌握课堂知识，而且对他们的自主探究能力有了更深的培养，提升了他们的主观能动性，有助于之后的学习．参考文献[1]孙名符，谢海燕．新高中数学课程标准与原教学大纲的比较研究[J]．数学教育学报，2004，13(1):62-67．[2]冷婵．高中数学教师对概率统计及其教学认识调查研究[D]．大连:辽宁师范大学，2008．[3]中华民共和国教育部．普通高中数学课程标准(实验)．北京:人民教育出版社，2003．[4]皮连生．教学设计:心理学的理论与技术[M]．北京:高等教育出版社，2000:1-6．[5]张祖忻．教学设计—基本原理与方法．上海外语教育出版社[M]，1992:10-13．[6]向黎．教学设计:揭示教学的审美存在[D]．湖南:湖南师范大学，2009．[7]郭成．课堂教学设计[M]．北京:人民教育出版社，2006:4-24．[8]王琳琳．概率古典定义教学中应该注意的问题[J]．金融理论与教学，2010(4):34-37．[9]史宁中，孔凡哲，秦德生．统计的意义、思想、方法及其课程教学设计—数学教育热点问题系列访谈录之二[J]．小学青年教师，2005(4):53-58．[10]李月琴．高中数学统计部分教学研究[D]．河北:河北师范大学，2007(6)．[11]王玉香．高中新课程下统计教学的问题研究[D]．重庆:西南大学，2010．[12]Hald 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概率与统计专题02 二项分布与超几何分布常见考点考点一 二项分布典例1．溺水､校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.在竞赛中，甲､乙两个中学代表队相遇，假设甲队3人回答正确的概率均为23，乙队3人回答正确的概率分别为12，23，34，且两队各人回答问题正确与否互不影响. (1)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率； (2)求甲队总得分X 的分布列和数学期望. 【答案】(1)19；(2)分布列见解析，()2E X =. 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式及互斥事件加法公式求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率；（2）由题意有{0,1,2,3}X =，利用二项分布概率公式求各可能值对应的概率，进而写出分布列，再根据分布列求期望即可. (1)由题设，甲队得2分，即2人答对1人答错，概率为2213224()(1)339P C =-=， 乙队得1分，即1人答对2人答错，概率为211112111312342342344P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 所以甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率1219P P P =⨯=. (2)由题设，{0,1,2,3}X =，且3033211(0)()()3327P X C ===，2123212(1)()()339P X C ===，1213214(2)()()339P X C ===，0303218(3)()()3327P X C ===，甲队总得分X的分布列如下：所以1248 ()01232279927E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.变式1-1．党的十九届五中全会强调“创新”在我国现代化建设中的重要战略地位，确保发展经济着力点放在实体经济上，为促进经济活力，拉动市场经济快速发展，必须大力推进大众创业、万众创新．某几位大学毕业生自主创业创办了一家服务公司，该公司提供A、B两种民生消费产品（人们购买时每次只买其中一种）服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买A产品的概率为23，购买B产品的概率为13，而前一次购买A产品的人下一次来购买A产品的概率为14，购买B产品的概率为34，前一次购买B产品的人下一次来购买A产品的概率为12，购买B产品的概率也是12，如此往复．记某人第n次来购买A产品的概率为n P．(1)求2P；(2)记第二次来公司购买产品的3个人中有X个人购买A产品，3人是否购买A产品相互独立，求X 的分布列和数学期望．【答案】(1)21 3P=(2)分布列见解析，数学期望为1【解析】【分析】（1）根据概率公式求出2P；（2）根据二项分布的概率公式求得X的各种取值所对应的概率，再计算出期望即可.(1)某人第2次来购买A产品的概率为2P,即221111 34323P=⨯+⨯=；(2)由题意得13,3X B⎛⎫⎪⎝⎭，其中X的可能取值有3，2，1，0，故()3333312C 731323P X -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===，()323221222C 339P X -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()313111241C 339P X -⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()003031280C 3327P X -⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 故X 的分布列为X 的数学期望为()124832101279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 变式1-2．某通讯商场推出一款新手机，分为甲、乙、丙、丁4种不同的配置型号.该商场对近期售出的100部该款手机的情况进行了统计，绘制如下表格:(1)每售出一部甲、乙、丙、丁配置型号的手机可分别获得利润600元、400元、500元、450元，根据以上100名消费者的购机情况，求该商场销售一部该款手机的平均利润；(2)该商场某天共销售了4部该款手机，每销售一部该款手机的型号相互独立，其中甲配置型号手机售出的数量为X ，将样本频率视为概率，求X 的概率分布列及期望. 【答案】(1)475(2)分布列见解析，1EX = 【解析】 【分析】（1）根据给定频数表直接计算平均数作答.（2）由题意，X 服从二项分布，即1~(4,)4X B ，根据二项分布的概率公式和期望公式即得解 (1) 依题意，25600404001550020450475100x ⨯+⨯+⨯+⨯==，所以该商场销售一部手机的平均利润为475元.(2)该商场每销售一部手机，该手机为甲配置型号手机的概率为2511004=， 由题意，甲配置型号手机售出的数量为X 服从二项分布，即1~(4,)4X B ， 则X 所有可能取值为0,1,2,3,4，4413()()()(0,1,2,3,4)44k k kP X k C k -===，故X 的分布列为：由二项分布的期望公式：1414EX np ==⨯=.变式1-3．某学习网按学生数学成绩的水平由高到低分成甲､乙两档，进行研究分析，假设学生做对每道题相互独立，其中甲､乙档学生做对每道题的概率分别为p ，58p ，现从甲､乙两档各抽取一名学生成为一个学习互助组合.(1)现从甲档中选取一名学生，该生5道题做对4道题的概率为()f p ，求出()f p 的最大值点0p ； (2)若以0p 作为p 的值，①求每一个互助组合做对题的概率；②现选取n 个组合，记做对题的组数为随机变量X ，当90X =时，()P X 取得最大值，求相应的n 和()E X .【答案】(1)045p = (2)①0.9；②答案见解析 【解析】 【分析】（1）由题可知()()()4445151f p C p p p p =-=-，然后利用导数可求出函数的最大值点，（2）①记事件A 为一个互助组合做对题，事件B 为一个互助组合中甲档中的学生做对题，事件C 为一个互助组合中乙档中的学生做对题，根据题意求出(),()P B P C ，然后利用对立事件的概率公式求解即可，②由题意知随机变量(),0.9X B n ，然后根据题意利用二项分布的概率公式列不等式组可求得结果(1)由题可知()()()4445151f p C p p p p =-=-，()()3545f p p p '=-，令()0f p '=，得45p =，当40,5p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '>，()f p 在40,5⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；当4,15p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '<，()f p 在4,15⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.所以()f p 的最大值点045p = (2)①记事件A 为一个互助组合做对题，事件B 为一个互助组合中甲档中的学生做对题，事件C 为一个互助组合中乙档中的学生做对题， 则4()5P B =，()451582P C =⋅=，()()()11110.952P A P B P C =-=-⋅=.②由题意知随机变量(),0.9X B n ，()()0.90.10,1,2,,kk n k nP X k C k n -==⨯⨯=⋅⋅⋅ 因为()90P X =最大，所以9090909191919090908989890.90.10.90.10.90.10.90.1n n n n n n nn C C C C ----⎧⨯⨯≥⨯⨯⎨⨯⨯≥⨯⨯⎩，解得901999n ≤≤， 因为n 是整数，所以99n =或100n =， 当99n =时，()990.989.1E X np ==⨯=； 当100n =时，()1000.990E X np ==⨯=考点二 超几何分布典例2．共享电动车（sharedev ）是一种新的交通工具，通过扫码开锁，实现循环共享.某记者来到中国传媒大学探访，在校园喷泉旁停放了10辆共享电动车，这些电动车分为荧光绿和橙色两种颜色，已知从这些共享电动车中任取1辆，取到的是橙色的概率为0.4P =，若从这些共享电动车中任意抽取3辆.(1)求取出的3辆共享电动车中恰好有一辆是橙色的概率；(2)求取出的3辆共享电动车中橙色的电动车的辆数X 的分布列与数学期望. 【答案】(1)12；(2)分布列见解析，数学期望为65. 【解析】 【分析】（1）先求出两种颜色的电动车各有多少辆，然后根据超几何分布求概率的方法即可求得答案； （2）先确定X 的所有可能取值，进而求出概率并列出分布列，然后根据期望公式求出答案. (1)因为从10辆共享电动车中任取一辆，取到橙色的概率为0.4，所以橙色的电动车有4辆，荧光绿的电动车有6辆.记A 为“从中任取3辆共享单车中恰好有一辆是橙色”，则()2164310C C 1C 2P A ⨯==. (2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.所以()3064310C C 10C 6P X ⨯===，()2164310C C 11C 2P X ⨯===， ()()1264310C C 32C 10P X P A ⨯====，()0364310C C 13C 30P X ⨯===. 所以分布列为数学期望()1131601236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.变式2-1．为了更好满足人民群众的健身和健康需求，国务院印发了《全民健身计划（20212025-）》．某中学为了解学生对上述相关知识的了解程度，先对所有学生进行了问卷测评，所得分数的分组区间为(]50,60、(]60,70、(]70,80、(]80,90、(]90,100，由此得到总体的频率分布直方图，再利用分层抽样的方式随机抽取20名学生进行进一步调研，已知频率分布直方图中a 、b 、c 成公比为2的等比数列．(1)若从得分在80分以上的样本中随机选取2人，用X 表示得分高于90分的人数，求X 的分布列及期望；(2)若学校打算从这20名学生中依次抽取3名学生进行调查分析，求在第一次抽出1名学生分数在区间(]70,80内的条件下，后两次抽出的2名学生分数在同一分组区间(]80,90的概率． 【答案】(1)分布列见解析，期望为1； (2)257. 【解析】 【分析】（1）求出a 的值，分析可知随机变量X 的可能取值有0、1、2，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进一步可求得随机变量X 的数学期望值；（2）记事件:A 第一次抽出1名学生分数在区间(]70,80内，记事件:B 后两次抽出的2名学生分数在同一分组区间(]80,90内，利用条件概率公式可求得所求事件的概率. (1)解：由题意得2b a =，4c a =，因为10101010101a b c b a ++++=，所以0.01a =． 由分层抽样，抽出的20名学生中得分位于区间(]50,60内有200.12⨯=人， 位于(]60,70内有200.24⨯=人，位于(]70,80内有200.48⨯=人， 位于(]80,90内有200.24⨯=人，位于区间(]90,100学生有200.12⨯=人， 这样，得分位于80分以上的共有6人，其中得分位于(]90,100的有2人，所以X 的可能取值有0、1、2，()3436C 10C 5P X ===，()214236C C 31C 5P X ===，()124236C C 12C 5P X ===， 所以X 的分布列为：所以()1310121555E X =⨯+⨯+⨯=. (2)解：记事件:A 第一次抽出1名学生分数在区间(]70,80内， 记事件:B 后两次抽出的2名学生分数在同一分组区间(]80,90内，则()82205P A ==，()1284320C A 4A 1519P AB ==⨯，由条件概率公式可得()()()4521519257P AB P B A P A ==⨯=⨯. 变式2-2．十三届全国人大四次会议3月11日表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要．纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”．某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流、大束流、高能、特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28nm ，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案．此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献．该企业使用新技术对某款芯片进行试生产，该厂家生产了两批同种规格的芯片，第一批占60%，次品率为6%；第二批占40%，次品率为5%．为确保质量，现在将两批芯片混合，工作人员从中抽样检查． (1)从混合的芯片中任取1个，求这个芯片是合格品的概率；(2)若在两批产品中采取分层抽样方法抽取一个样本容量为15的样本，再从样本中抽取3片芯片，求这3片芯片含第二批片数X 的分布列和数学期望． 【答案】(1)0.944 (2)分布列见解析，65【解析】 【分析】（1）设事件B = “任取一个芯片是合格品”，事件1A =“产品取自第一批”，事件2A =“产品取自第二批”，则12A A Ω=且1A 、2A 互斥，由全概率公式可得答案；（2）求出X 的可取值和概率可得分布列. (1)设事件B = “任取一个芯片是合格品”，事件1A =“产品取自第一批”， 事件2A =“产品取自第二批”，则12A A Ω=且1A 、2A 互斥；由全概率公式可知：()()()()()1122P B P A P B A P A P B A =+， 所以()()()0.610.060.410.050.944P B =⨯-+-=. (2)由条件可知：第一批芯片数：9，第二批芯片数：6； X 的可取值为0，1，2，3；()393158412045565C P X C ====；()21963152161455C C P X C ===；()129631513527245591C C P X C ====；()36315204345591C P X C ====所以X 的分布列为：所以()12216274601236545591915E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 变式2-3．某班组织冬奥知识竞赛活动，规定首轮比赛需要从6道备选题中随机抽取3道题目进行作答.假设在6道备选题中，甲正确完成每道题的概率都是23且每道题正确完成与否互不影响，乙能正确完成其中4道题且另外2道题不能完成. (1)求甲至少正确完成其中2道题的概率；(2)设随机变量X 表示乙正确完成题目的个数，求X 的分布列及数学期望()E X ；(3)现规定至少正确完成其中2道题才能进入下一轮比赛，请你根据所学概率知识进行预测，谁进入下一轮比赛的可能性较大，并说明理由. 【答案】(1)2027(2)分布列见详解；()2E X = (3)乙；理由见详解 【解析】 【分析】（1）结合独立重复试验概率公式即可求解；（2）判断1,2,3X =，结合超几何分布公式求出对应概率，写出分布列，求出期望； （3）比较两人正确完成题目数大于等于2对应概率，即可做出判断. (1)设随机变量η表示甲正确完成题目的个数，则当2η=时，()2232142339P C η⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当3η=时，()333283327P C η⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则甲至少正确完成其中2道题的概率为482092727P =+=；(2)由题可知，1,2,3X =，()()()1221304242423336661311,2,3555C C C C C C P X P X P X C C C ⋅⋅⋅=========，则X的分布列为：()1311232555E X =⨯+⨯+⨯=；(3)由（1）（2）可知()20227P η≥=，()425P X ≥=，因为420527>，所以乙进入下一轮比赛的可能性较大.考点三 二项分布与超几何分布的区分典例3．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]．由此得到样本的频率分布直方图如图．（1）根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；（3）从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．【答案】（1）12件；（2）答案见解析；（3）答案见解析.【解析】【分析】（1）结合频率分布直方图求解(1)；（2）结合超几何分布及古典概型求X的分布列；（3）先分析Y服从二项分布，再利用公式求解．【详解】（1）质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件)．（2）重量超过505克的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件∴P(X＝0)＝228240CC＝63130，P(X＝1)＝111228240C CC＝2865，P(X＝2)＝212240CC＝11130，∴X的分布列为（3）根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为1240＝310.从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2，且Y～B3 (2,)10，P(Y＝k)＝223311010k k kC-⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以P(Y＝0)＝22710C⎛⎫⎪⎝⎭＝49100，P(Y＝1)＝123721 101050C⨯=，P(Y＝2)＝2223910100 C⎛⎫=⎪⎝⎭.∴Y的分布列为变式3-1．2021年7月18日第30届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举行．为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中m的值，并估计这50名学生成绩的中位数；(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记ξ为3人中成绩在[80，90)的人数，求ξ的分布列和数学期望；(3)转化为百分制后，规定成绩在[90，100]的为A等级，成绩在[70，90)的为B等级，其它为C等级．以样本估计总体，用频率代替概率，从所有参加生物学竞赛的同学中随机抽取100人，其中获得B等级的人数设为η，记B 等级的人数为k 的概率为()P k η=，写出()P k η=的表达式，并求出当k 为何值时，()P k η=最大？ 【答案】(1)0.012m =，68 (2)分布列见解析，911(3)100100()(0.4)(0.6)kk k P k C η-==，0k =，1，3，⋅⋅⋅，40，40 【解析】 【分析】（1）利用频率之和为1列方程，化简求得m 的值，根据由频率分布直方图计算中位数的方法，计算出中位数.（2）结合超几何分布的知识计算出ξ的分布列和数学期望.（3）根据二项分布的知识求得()P k η=，由此列不等式，解不等式来求得()P k η=的最大值时对应的k 的值. (1)由频率分布直方图的性质可得，(0.0040.0220.030.0280.004)101m +++++⨯=， 解得0.012m =， 设中位数为m ，0.004100.02210(60)0.30.5m ⨯+⨯+-⨯=，解得68m =．(2)[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组频率之比为0.28:0.12:0.047:3:1=，∴从[70，80)，[80，90)，[90，100]中分别抽取7人，3人，1人，ξ所有可能取值为0，1，2，3，3831156(0)165C P C ξ===，218331128(1)55C C P C ξ===，12833118(2)55C C P C ξ===，333111(3)165C P C ξ===，故ξ的分布列为：故5628819)012316555551651(1E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． (3)B 等级的概率为(0.0280.012)100.4+⨯=，B 等级为1000.440⨯=，100100()(0.4)(0.6)kk k P k C η-==，0k =，1，3，⋅⋅⋅，40，令1001199100100(0.4)(0.6)(0.4)(0.6)kk k k k k C C -++-≥∴，10011101100100(0.4)(0.6)(0.4)(0.6)k k k k k k C C ----≥∴，由∴可得，0.60.41001k k ≥-+，解得39.4k ≥，由∴可得，0.40.6(101)k k ≥-，解得40.4k ≤，故40k =时，()P k η=取得最大．变式3-2．某学校为了解学生课后进行体育运动的情况，对该校学生进行简单随机抽样，获得20名学生一周进行体育运动的时间数据如表，其中运动时间在(]7,11的学生称为运动达人．（1）从上述抽取的学生中任取2人，设X 为运动达人的人数，求X 的分布列；（2）以频率估计概率，从该校学生中任取2人，设Y 为运动达人的人数，求Y 的分布列． 【答案】（1）分布列见解析；（2）分布列见解析. 【解析】 【分析】（1）题目考查超几何分布，任取2人中，运动达人的人数可能为0，1，2，分别求概率即可 （2）题目考查二项分布，每个人是否是运动达人的概率是不变的，从而可求分布列 【详解】解：（1）X 的可能取值为0，1，2，()2822014095C P X C ===，()1181222048195C C P X C ⋅===，()21222033295C P X C ===，X ∴的分布列为：（2）由表中数据可得，抽到运动达人的频率为35，将频率视为概率，则随机变3~2,5Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，()202240525P Y C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()12231215525P Y C ==⨯⨯=，()222392525P Y C ⎛⎫===⎪⎝⎭， Y ∴的分布列为：变式3-3．袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球． (1)若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为X ，求X 的分布列； (2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为Y ，求Y 的分布列． 【答案】(1)分布列见解析 (2)分布列见解析 【解析】 【分析】（1）有放回抽样时，取到黑球的次数13,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，可能的取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得X 的分布列．（2）不放回抽样时，取到的黑球个数()~10,3,2Y H ，可能的取值为0，1，2，分别求出对应的概率，即可得Y 的分布列． (1)解：若每次抽取后都放回，则每次抽到黑球的概率均为21825=+． 而3次取球可以看成3次独立重复试验，因此13,5XB ⎛⎫⎪⎝⎭，所以 03031464(0)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12131448(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21231412(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，333141(3)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因此X 的分布列为：(2)解：若每次抽取后都不放回，则随机抽取3次可看成随机抽取1次，但1次抽取了3个，因此黑球数Y 服从参数为10，3，2的超几何分布，即()~10,3,2Y H ，因此03283107(0)15C C P Y C ===，12283107(1)15C C P Y C ===，21283101(2)15C C P Y C ===．因此，Y 的分布列为：巩固练习练习一 二项分布1．电子科技公司研制无人机，每架无人机组装后每周要进行1次试飞试验，共进行3次.每次试飞后，科研人员要检验其有否不良表现.若在这3次试飞中，有不良表现不超过1次，则该架无人机得6分，否则得2分.假设每架无人机3次检验中，每次是否有不良表现相互独立，且每次有不良表现的概率均为12.(1)求某架无人机在3次试飞后有不良表现的次数X 的分布列和方差；(2)若参与试验的该型无人机有m 架，在3次试飞试验中获得的总分不低于4m 分，即可认为该型无人机通过安全认证.现有6架无人机参与试飞试验，求该型无人机通过安全认证的概率是多少？ 【答案】(1)分布列见解析，()34D X = (2)2132【解析】 【分析】（1）由题意得X 服从二项分布13,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入公式，分别求得(0),(1),(2),(3)P X P X P X P X ====，写出分布列，代入公式，即可求得方差.（2）由题意得获得6分的架数可取3、4、5、6，先求得该型无人机获得6分的概率，再求得通过安全认证的概率，即可得答案. (1) 由题意得13,2XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则()03031110228P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()2131312812P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⋅⋅，()2231322182P X C ⎛⎫== ⋅=⎪⎭⋅⎝，()3331113228P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，()1133224D X =⨯⨯=； (2)当6m =时，424.m =设该型6架无人机获得6分的架数为x ，则获得2分的架数为()6x -， 由题意可得()62641224x x x +-=+≥，解得3x ≥，x ∈N ，则x 的取值有3、4、5、6，记“某架无人机获得6分”为事件A ，则()0321331111122222P A C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 记“6架无人机参与试飞试验，该型无人机通过安全认证”为事件B ，则()33425634566666111111121222222232P B C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2．接种新冠疫苗，可以有效降低感染新冠肺炎的几率，某地区有A ，B ，C 三种新冠疫苗可供居民接种，假设在某个时间段该地区集中接种第一针疫苗，而且这三种疫苗的供应都很充足，为了节省时间和维持良好的接种秩序，接种点设置了号码机，号码机可以随机地产生A ，B ，C 三种号码（产生每个号码的可能性都相等），前去接种第一针疫苗的居民先从号码机上取一张号码，然后去接种与号码相对应的疫苗（例如：取到号码A ，就接种A 种疫苗，以此类推）．若甲，乙，丙，丁四个人各自独立的去接种第一针新冠疫苗．（1）求这四个人中恰有一个人接种A 种疫苗的概率；（2）记甲，乙，丙，丁四个人中接种A 种疫苗的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 【答案】（1）3281；（2）分布列见解析；期望为43．【解析】 【分析】（1）记四个人中恰有一个人接种A 疫苗的事件为M ，则()5141233P M C ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）1~4,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，然后算出答案即可.【详解】（1）记四个人中恰有一个人接种A 疫苗的事件为M ，则()51412323381P M C ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以四个人中恰有一个人接种A 疫苗的概率为3281． （2）由题意可知，X 的取值依次为0，1，2，3，4．且1~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()44120,1,2,3,433k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故随机变量X 的分布列为()43E X np ==．3．足球比赛全场比赛时间为90分钟，在90分钟结束时成绩持平，若该场比赛需要决出胜负，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采取“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下：①两队应各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜：②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5次可能射中的球数，则不需再踢，譬如：第4轮结束时，双方进球数比为2：0，则不需再踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜.(1)已知小明在点球训练中射进点球的概率是35.在一次赛前训练中，小明射了3次点球，且每次射点球互不影响，记X 为射进点球的次数，求X 的分布列及数学期望.(2)现有甲、乙两校队在淘汰赛中（需要分出胜负）相遇，120分钟比赛后双方仍旧打平，须互罚点球决出胜负.设甲队每名球员射进点球的概率为35，乙队每名球员射进点球的概率为12.每轮点球中，进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.求在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出的概率.【答案】(1)分布列见解析，期望为95； (2)2432500. 【解析】 【分析】（1）根据题意3~(3,)5X B ，即可计算分布列及期望；（2）“甲VS 乙：3:0”记为事件1A ， “甲VS 乙：3:1”记为事件2A ，此两互斥事件的和即为所求事件，分别计算两事件的概率，求和即得解. (1)依题意，3~(3,)5X B ，X 的可能取值为：0,1,2,3，3123383336(0)(1);(1)(1)512555125P X P X C ==-===⋅⋅-=；22333354327(2)()(1);(3)()551255125P X C P X ==⋅⋅-====.X 的分布列为：39()355E X ∴=⨯=.(2)记“在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出”为事件A .依题意知：在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出，甲乙两队进球数比为:“甲VS 乙：3:0”记为事件1A ，或“甲VS 乙：3:1”记为事件2A ，则12A A A =+，且1A 与2A 互斥.依题意有：224133331923181()()(1)(1)355522555165000P A C =-⨯-=⨯⨯⨯⨯=， 312221323343311133311()()(1)(1)()(1)(1)5522255522P A C C C =-⨯-+-⨯- 4444443131812852521000=⨯⨯+⨯⨯=， 12128181243()()()()500010002500A P A A P P P A A ∴=+=+=+=. 4．血液检测是诊断是否患某疾病的重要依据，通过提取病人的血液样本进行检测，样本的某一指标会呈现阳性或阴性.若样本指标呈阳性，说明该样本携带病毒；若样本指标呈阴性，说明该样本不携带病毒.根据统计发现，每个疑似病例的样本呈阳性（即样本携带病毒）的概率均为()01p p <<.现有4例疑似病例，分别对其进行血液样本检测.多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要携带病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性.若混合样本呈阳性，则将该组中各个样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则该组各个样本均为阴性.现有以下两种方案：方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验.在该疾病爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”.(1)若13p =，求这4例疑似病例中呈阳性的病例个数X 的分布列；(2)若将该4例疑似病例样本进行化验，且方案二比方案一更“优”，求p 的取值范围， 【答案】(1)答案见解析(2)01p <<【解析】 【分析】（1）由题意知，1~4,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布的概率计算公式即可求解；（2）方案一中，期望为4；方案二中，设化验次数为Y ，则Y 的所以可能取值为2，4，6，计算出Y 的取值对应的概率，然后根据期望公式求出()E Y ，从而即可求解. (1)解：由题意知，1~4,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()4411601381P X C ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭；()3141132113381P X C ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭； ()22241124821338127P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()334118313381P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()444114381P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.则这4例疑似病例中呈阳性的病例个数X 的分布列为：(2)解：方案一中，逐个化验，化验次数为4，期望为4；方案二中，设化验次数为Y ，则Y 的所以可能取值为2，4，6， 每组两个样本化验呈阴性的概率为()21p -，设()21x p =-，则()22P Y x ==；()()1241P Y C x x ==-；()()261P Y x ==-.所以()()()22122416164E Y x C x x x x =⨯+⨯-+⨯-=-， 若方案二比方案一更“优”，则()644E Y x =-<，解得12x >，即()2112x p =->，解得01p <<所以当01p <<时，方案二比方案一更“优”.练习二 超几何分布5．为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核.记X 表示学生的考核成绩，并规定85X >为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：.(1)从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核为优秀的概率； (2)从图中考核成绩满足[]70,79X ∈的学生中任取3人，设Y 表示这3人中成绩满足8510X -≤的人数，求Y 的分布列和数学期望； (3)根据以往培训数据，规定当8510.510X P ⎛-⎫≤≥ ⎪⎝⎭时培训有效.请你根据图中数据，判断此次冰雪培训活动是否有效，并说明理由. 【答案】(1)15(2)分布列见解析，()158E Y = (3)有效，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据茎叶图求出满足条件的概率即可；（2）分析可知变量Y 的可能取值有0、1、2、3，计算出随机变量Y 在不同取值下的概率，可得出随机变量Y 的分布列，进一步可求得()E Y 的值； （3）求出满足85110X -≤的成绩有16人，求出85110X P ⎛-⎫≤ ⎪⎝⎭，即可得出结论. (1)解：设该名学生的考核成绩优秀为事件A ，由茎叶图中的数据可知，30名同学中，有6名同学的考核成绩为优秀，故()15P A =. (2)解：由8510X -≤可得7595X ≤≤，所以，考核成绩满足[]70,79X ∈的学生中满足8510X -≤的人数为5， 故随机变量Y 的可能取值有0、1、2、3，()3338C 11C 56P Y ===，()213538C C 151C 56P Y ===，()123538C C 152C 28P Y ===，()3538C 53C 28P Y ===， 所以，随机变量Y 的分布列如下表所示：因此，()115155150123565628288E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=. (3) 解：由85110X -≤可得7595X ≤≤，由茎叶图可知，满足7595X ≤≤的成绩有16个， 所以851610.51030X P ⎛-⎫≤=≥⎪⎝⎭，因此，可认为此次冰雪培训活动有效. 6．某校高三2班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中小学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，学校提供了：除草､翻地､播种､浇水四个项目.规定女生等可能的从中选择1个或者2个项目进行劳动学习，男生等可能的从中选择1个或者2个或者3个项目进行劳动学习，每参加1个劳动项目的学习获得10分，求：(1)在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率；。

超几何分布与二项分布教学设计知识与技能：1、进一步了解并熟悉超几何分布与二项分布产生的实际背景，理解超几何分布的导出过程，理解独立重复试验与二项分布的关系，进一步建构并完善知识体系与结构；2、明确两种分布基本特征，能正确区分两种分布，能准确运用两种概率分布分析解决实际问题；3、训练提升运算能力、数学阅读与理解能力，分析与解决实际问题的能力。

过程与方法：1、通过自主学习，熟化基本知识与思想方法，完成知识体系建构；2、借助实例，通过合作与探究学习，在讨论交流中实现对两种分布本质特征的再认识，完善知识结构，达到深刻理解与准确应用。

情感态度与价值观：以学生考试中的正、误两种解答导入，引发学生对问题与解决方法的关注度，激发学生积极主动参与数学思维活动；通过主动探究、合作学习、相互交流，形成良好地思维习惯和理性思考问题的思维品质；借助高考真题的解析，增强学习的自信心，增强学生敢于超越并勇于超越的自我激励与竞争进取的意志品质。

教学重点：二项分布与超几何分布的辨别与应用教学难点：二项分布与超几何分布的区别与运用教学媒体：多媒体教学方法：讨论探究与讲授相结合课型：复习课教学流程和情境设计超几何分布与二项分布教学案一、基础知识复习回顾（课前自主学习）1、超几何分布的概念与基本公式（1）产生背景、基本特征、概率与均值公式（2）判断一个随机变量是否服从超几何分布的关键要素2、n次独立重复试验3、二项分布的的概念与基本公式（1）产生背景、基本特征、概率与均值公式（2）判断一个随机变量是否服从二项分布的关键要素4、两点分布5、三种分布间的联系6、课前热身练习选修2-3 习题2.2 B组第3题二、建构网络深化理解（课堂合作探究）1、解题回放与辨析考题：某中学“低碳生活”研究小组同学利用寒假在三个小区进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观Array念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这两族人数占各自小区总人数的比例如右表：（1）从A B C、、三个社区中各选一人，求恰好有2人是非低碳族的概率；（2）在B小区中随机选择20户，从中抽取的3户中“非低碳族”数量为X，求X的分布列和EX．2、问题分析与探究实例假定某批产品共有100个，其中有5个次品，采用不放回抽样和放回抽样两种不同抽样方式从中取出10个产品，那么次品数 X的概率分 布与期望如何？3、知识归纳与深化（1）试结合上述实例与选修2-3习题2.2 B组第3题的解答，回答下面的问题：问题1上述抽样问题中两种分布的基本特征是什么？之间有何关联和异同？问题2 应用二项分布的前提条件有哪些？哪些的背景下可用二项分布解决问题？4、例题解析与示范例1、某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(]490,495，(]495,500,…,(]510,515，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示．（1）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列．（2）从流水线上任取5件产品，求产品的重量超过505克的产品数量ξ的期望． 5、练习巩固与反馈1．某人参加一次综合能力测试，已知在备选题的10道题中能答出其中的4道题，按规定，测试从备选题中随机抽取3道题进行测试，求答对题数X 的分布列。

4.2.3 二项分布与超几何分布4．能用超几何分布解决一些简单的实际问题．(难点)知识点一 n 次独立重复试验在相同的条件下，__________试验，各次试验的结果________，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．知识点二 二项分布若将事件A 发生的次数设为X ，发生的概率为p ，不发生的概率q ＝1－p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是P (X ＝k )＝____________(k ＝0,1,2，…，n )，于是得到X 的分布列n n nq n －k ＋…＋C n n p n q 0各对应项的值，称这样的离散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，记做____________．知识点三 超几何分布设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件(M <N )，从所有物品中任取n 件(n ≤N )，则这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为________________(0≤m ≤l ，l 为n 和M 中较小的一个)，则称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．〖基础自测〗1．独立重复试验满足的条件是________．(填序号) ①每次试验之间是相互独立的；②每次试验只有发生和不发生两种情况； ③每次试验中发生的概率是相等的； ④每次试验发生的条件是相同的．2．一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为________．3．设10件产品中有3件次品，现从中抽取5件，则C 23C 37C 510表示( )A ．5件产品中有3件次品的概率B ．5件产品中有2件次品的概率C ．5件产品中有2件正品的概率D ．5件产品中至少有2件次品的概率题型一 独立重复试验中的概率问题例1 (1)某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击三次，且他每次射击是否击中目标之间没有影响，有下列结论：①他三次都击中目标的概率是0.93； ②他第三次击中目标的概率是0.9；③他恰好2次击中目标的概率是2×0.92×0.1； ④他恰好2次未击中目标的概率是3×0.9×0.12.其中正确结论的序号是________．(把正确结论的序号都填上)(2)某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)： ①5次预报中恰有2次准确的概率； ②5次预报中至少有2次准确的概率；③5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．方法归纳独立重复试验概率求法的三个步骤1．判断：依据n 次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验． 2．分拆：判断所求事件是否需要分拆．3．计算：就每个事件依据n 次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．跟踪训练1 甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为23，没有平局．若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率为________．题型二 二项分布例2 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列．状元随笔 (1)首先判断ξ是否服从二项分布，再求分布列．(2)注意“首次遇到”“或到达”的含义，并明确η的取值．再求η取各值的概率．方法归纳1．本例属于二项分布，当X 服从二项分布时，应弄清X ～B (n ，p )中的试验次数n 与成功概率p .2．解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次．跟踪训练2 在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做每道题的可能性均为12，且各人的选择相互之间没有影响．(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的人数为ξ名，求ξ的分布列．题型三 超几何分布的分布列例3 在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X 的分布列．状元随笔方法归纳求超几何分布的分布列时，关键是分清其公式中M ，N ，n 的值，然后代入公式即可求出相应取值的概率，最后写出分布列．跟踪训练3 袋中有4个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从袋中随机抽取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．(1)求得分X 的分布列； (2)求得分大于6分的概率．题型四 独立重复试验与二项分布综合应用状元随笔 1.王明在做一道单选题时，从A ，B ，C ，D 四个选项中随机选一个答案，他做对的结果数服从二项分布吗？两点分布与二项分布有何关系？〖提示〗 做一道题就是做一次试验，做对的次数可以为0次、1次，它服从二项分布．两点分布就是一种特殊的二项分布，即是n ＝1的二项分布．2．王明做5道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？为什么？〖提示〗 服从二项分布．因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做5道题可以看成“一道题”重复做了5次，做对的道数就是5次试验中“做对”这一事件发生的次数，故他做对的“道数”服从二项分布．3．王明做5道单选题，其中2道会做，其余3道均随机选一个答案，他做对的道数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？〖提示〗 不服从二项分布．因为会做的两道题做对的概率与随机选取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点．判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是否是n 次独立重复试验，随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．例4 甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分． (1)求随机变量ξ的分布列；(2)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P (AB )．状元随笔 (1)由于甲队中每人答对的概率相同，且正确与否没有影响，所以ξ服从二项分布，其中n ＝3，p ＝23.(2)AB 表示事件A ，B 同时发生，即甲、乙两队总得分之和为3且甲队总得分大于乙队总得分．方法归纳对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A ＋B 还是AB ，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n 次独立重复试验的概率公式求解．跟踪训练4 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列．题型五 二项分布与超几何分布的综合应用例5 在一次购物抽奖活动中，假设抽奖箱中10张奖券，其中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，看完结果后放回抽奖箱， ①若只允许抽奖一次，求中奖次数X 的分布列； ②若只允许抽奖二次，求中奖次数X 的分布列． (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值为Y 元，求Y 的分布列．状元随笔 (1)从10张奖券中抽取1张，其结果有中奖和不中奖两种，故X ～(0,1)．从10张奖券中有放回的抽取2张，每次有中奖和不中奖两种，故X ～B(2，p)(2)从10张奖券中任意抽取2张，其中含有中奖的奖券的张数X(X ＝1,2)服从超几何分布．方法归纳区别超几何分布与二项分布问题的两个关键点1．判断一个随机变量是否服从超几何分布时，关键是从总数为N 件的甲乙两类元素，其中甲类元素数目M 件，从所有元素中一次任取n 件，这n 件中含甲类元素数目X 服从超几何分布．2．判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是否是n 次独立重复试验，随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．本题有放回的抽奖就属于二项分布．跟踪训练5 甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是23.(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率； (2)设甲答对题目的个数为X ，求X 的分布列．教材反思4．2.3 二项分布与超几何分布新知初探·自主学习知识点一重复地做n 次 相互独立 知识点二 C k n p k q n －k X ～B (n ，p ) 知识点三P (X ＝m )＝C m M C n －m N －MC n N〖基础自测〗1．〖解 析〗由n 次独立重复试验的定义知①②③④正确．〖答 案〗①②③④2．〖解 析〗抛掷一枚硬币出现正面的概率为12，由于每次试验的结果不受影响，故由独立重复试验可知，所求概率为P ＝C 13⎝⎛⎭⎫12⎝⎛⎭⎫122＝38.〖答 案〗383．〖解 析〗根据超几何分布的定义可知C 23表示从3件次品中任选2件，C 37表示从7件正品中任选3件，故选B.〖答 案〗B 课堂探究·素养提升例1 〖解 析〗 (1)三次射击是三次独立重复试验，故正确结论的序号是①②④. (2)①记预报一次准确为事件A ，则P (A )＝0.8. 5次预报相当于5次独立重复试验，2次准确的概率为P ＝C 25×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.②“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P ＝C 05×(0.2)5＋C 15×0.8×0.24＝0.006 72≈0.01.所以所求概率为1－P ＝1－0.01＝0.99.所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99. ③说明第1,2,4,5次中恰有1次准确．所以概率为P ＝C 14×0.8×0.23×0.8＝0.02 048≈0.02，所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.〖答 案〗 (1)①②④ (2)见解析跟踪训练1 〖解 析〗“甲获胜”分两类：①甲连胜两局；②前两局中甲胜一局，并胜最后一局．即P ＝⎝⎛⎭⎫232＋C 12×23×13×23＝2027. 〖答 案〗2027例2 〖解 析〗 (1)ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，ξ的分布列为P (ξ＝k ) ＝C k 5⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫235－k ，k ＝0,1,2,3,4,5. 故ξ的分布列为 (2)η的分布列为P (η＝k )＝P (前k 个是绿灯，第k ＋1个是红灯)＝⎝⎛⎭⎫23k ·13，k ＝0,1,2,3,4； P (η＝5)＝P (5个均为绿灯)＝⎝⎛⎭⎫235. 故η的分布列为跟踪训练2 〖解 析〗(1)设事件A 表示“甲选做第14题”，事件B 表示“乙选做第14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“A ∩B ＋A －∩B －”，且事件A ，B 相互独立．∴P (A ∩B ＋A －∩B －)＝P (A )P (B )＋P (A －)P (B －)＝12×12＋⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－12＝12. (2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，12. ∴P (ξ＝k )＝C k 4⎝⎛⎭⎫12k ⎝⎛⎭⎫1－124－k ＝C k 4⎝⎛⎭⎫124(k ＝0,1,2,3,4)． ∴随机变量ξ的分布列为例3 〖解 析〗 X 的可能取值是1,2,3.P (X ＝1)＝C 16·C 22C 38＝328；P (X ＝2)＝C 26·C 12C 38＝1528；P (X ＝3)＝C 36·C 02C 38＝514.故X 的分布列为跟踪训练3 〖解 析〗(1)从袋中任取4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红，共四种情况，得分分别为5分，6分，7分，8分，故X 的可能取值为5,6,7,8.P (X ＝5)＝C 14C 33C 47＝435，P (X ＝6)＝C 24C 23C 47＝1835，P (X ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235，P (X ＝8)＝C 44C 47＝135.故所求分布列为(2)根据随机变量X 的分布列可以得到大于6分的概率为P (X >6)＝P (X ＝7)＋P (X ＝8)＝1235＋135＝1335. 例4 〖解 析〗 (1)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且P (ξ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫1－233＝127， P (ξ＝1)＝C 1323⎝⎛⎭⎫1－232＝29， P (ξ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫1－23＝49， P (ξ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫233＝827. 所以ξ的分布列为(2)用C 表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D 表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB ＝C ∪D ，且C ，D 互斥，又P (C )＝C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫1－23⎣⎡23×13×12＋13×23×12＋⎦⎤13×13×12＝1034，P (D )＝C 33⎝⎛⎭⎫233⎝⎛⎭⎫13×13×12＝435， 由互斥事件的概率公式得P (AB )＝P (C )＋P (D ) ＝1034＋435＝3435＝34243. 跟踪训练4 〖解 析〗记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3.由题意知A 1，A 2，A 3相互独立，B 1，B 2，B 3相互独立，C 1，C 2，C 3相互独立，A i ，B j ，C k (i ，j ，k ＝1,2,3且i ，j ，k 互不相同)相互独立，用P (A i )＝12，P (B j )＝13，P (C k )＝16.(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率．P ＝3! P (A 1B 2C 3)＝6P (A 1)P (B 2)P (C 3)＝6×12×13×16＝16.(2)方法一：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知，η～B ⎝⎛⎭⎫3，13，且ξ＝3－η，所以P (ξ＝0)＝P (η＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫133＝127，P (ξ＝1)＝P (η＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫23＝29，P (ξ＝2)＝P (η＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫13⎝⎛⎭⎫232＝49，P (ξ＝3)＝P (η＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫233＝827. 故ξ的分布列是D i ，i ＝1,2,3.由已知，D 1，D 2，D 3相互独立，且P (D i )＝P (A i ∪C i )＝P (A i )＋P (C i )＝12＋16＝23，所以ξ～B ⎝⎛⎭⎫3，23，即P (ξ＝k )＝C k 3⎝⎛⎭⎫23k ⎝⎛⎭⎫133－k ，k ＝0,1,2,3. 故ξ的分布列是例5 〖解 析〗 (1)①抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X 的取值只有0和1两种情况．P (X ＝1)＝C 14C 110＝410＝25，则P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)＝1－25＝35.因此X 的分布列为②从10张奖券中有放回的抽取2张，每次有中奖和不中奖两种，故X ～B ⎝⎛⎭⎫2，25(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．故所求概率P ＝C 14C 16＋C 24C 06C 210＝3045＝23.②Y 的所有可能取值为0,10,20,50,60，且 P (Y ＝0)＝C 04C 26C 210＝1545＝13，P (Y ＝10)＝C 13C 16C 210＝1845＝25，P (Y ＝20)＝C 23C 06C 210＝345＝115，P (Y ＝50)＝C 11C 16C 210＝645＝215，P (Y ＝60)＝C 11C 13C 210＝345＝115.因此随机变量Y 的分布列为跟踪训练5 〖解 析〗(1)设甲、乙闯关成功分别为事件A ，B ，则P (A －)＝C 14×C 22C 36＝420＝15， P (B －)＝⎝⎛⎭⎫1－233＋C 23×23×⎝⎛⎭⎫1－232＝127＋29＝727， 则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是 1－P (A － B －)＝1－P (A －)·P (B －)＝1－15×727＝128135.(2)由题知X 的可能取值是1,2.P (X ＝1)＝C 14×C 22C 36＝15，P (X ＝2)＝C 24×C 12＋C 34C 36＝45，则X 的分布列为。

二项分布与超几何分布一n重伯努利试验1．n重伯努利试验：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．2．n重伯努利试验的共同特征：(1)同一个伯努利试验重复做n次．(2)各次试验的结果相互独立．注意点：在相同条件下，n重伯努利试验是有放回地抽样试验．二二项分布的推导二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．注意点：(1)由二项式定理可知，二项分布的所有概率和为1.(2)两点分布与二项分布的关系：两点分布是只进行一次的二项分布．n重伯努利试验概率求法的三个步骤(1)判断：依据n重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为n重伯努利试验．(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆．(3)计算：就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．三二项分布的简单应用利用二项分布求解“至多”“至少”问题的概率，其实质是求在某一范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．四二项分布的均值与方差1．若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．2．若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．解决此类问题第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步代入相应的公式求五二项分布的实际应用二项分布的实际应用类问题的求解步骤(1)根据题意设出随机变量；(2)分析随机变量服从二项分布；(3)求出参数n和p的值；(4)根据二项分布的均值、方差的计算公式求解．六二项分布的性质二项分布概率最大问题的求解思路七超几何分布超几何分布：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n 件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．注意点：(1)在超几何分布的模型中，“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取n件”．(2)超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③实质是古典概型．八超几何分布的概率超几何分布的概率计算公式给出了求解这类问题的方法，可以直接运用公式求解，但是不能机械地记忆公式，要在理解公式意义的前提下进行记忆．九、超几何分布的分布列求超几何分布的分布列的步骤十超几何分布的均值求超几何分布均值的步骤(1)验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值．(2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率．(3)利用均值公式求解．十一、二项分布与超几何分布的区别与联系不放回抽样服从超几何分布，放回抽样服从二项分布，求均值可利用公式代入计算．十二超几何分布的综合应用超几何分布常应用在产品合格问题、球盒取球(两色)问题、男女生选举问题等，这类问题有一个共同特征，就是对每一个个体而言，只研究其相对的两种性质而不涉及其他性质，如产品的合格与不合格、球的红色与非红色、学生的性别等．考点一二项分布【例1】(2020·重庆市第七中学校高二月考)若随机变量14,2X B⎛⎫⎪⎝⎭～，则()21E X+=( )A．2B．3C．4D．5【练1】(2021·北京房山区·高二期末)已知某种药物对某种疾病的治愈率为34，现有3位患有该病的患者服用了这种药物，3位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为( )A．2764B．964C．364D．34考点二超几何分布【例2】(2020·全国高二单元测试)现对某高校16名篮球运动员在多次训练比赛中的得分进行统计，将每位运动员的平均成绩所得数据用频率分布直方图表示如下．(如：落在区间[10，15)内的频率/组距为0.0125)规定分数在[10，20)，[20，30)，[30，40)上的运动员分别为三级篮球运动员、二级篮球运动员、一级篮球运动员，现从这批篮球运动员中利用分层抽样的方法选出16名运动员作为该高校的篮球运动员代表．(1)求a的值和选出篮球运动员代表中一级运动员的人数；(2)若从篮球运动员代表中选出三人，求其中含有一级运动员人数X的分布列；(3)若从该校篮球运动员中有放回地选三人，求其中含有一级运动员人数Y的期望．【练2】(2020·辽宁沈阳市)在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求：(1)取出的3个球中红球的个数为X ，求X 的数学期望；(2)取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率．考点三 二项分布与超几何分布综合运用【例3】(2020·浙江台州市·高二期中)2020年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方案二：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.(1)若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；(2)若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？【练3】(2020·甘肃省会宁县第四中学) 2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可吸入肺颗粒物.我国 2.5PM 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 2.5PM 日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标，某试点城市环保局从该市市区2019年上半年每天的 2.5PM 监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如下茎叶图所示(十位为茎，个位为叶).(1)在这15天的 2.5PM日均监测数据中，求其中位数；(2)从这15天的数据中任取2天数据，记ξ表示抽到 2.5PM监测数据超标的天数，求ξ的分布列及数学期望；(3)以这15天的 2.5PM日均值来估计该市下一年的空气质量情况，则一年(按365天计算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级.练习答案1.（2021高二下·顺德期末）某射手每次射击击中目标的概率固定，他准备进行n（n∈N∗）次射击，设击中目标的次数记为X，已知P(X=1)=P(X=n−1)且E(X)=4，则D(X)=（）A.14B.12C.1D.22.（2021高二下·湖北期中）若离散型随机变量X~B(4,23)，则E(X)和D(X)分别为（）A.83，169B.83，89C.89，83D.169，833.（2021高二下·武功月考）由12名志愿者组成的医疗队中，有5名共产党员，现从中任选6人参加抗洪抢险，用随机变量X表示这6人中共产党员的人数，则下列概率中等于C53C73C126的是()A.P(X≤2)B.P(X＝2)C.P(X≤3)D.P(X＝3)4.（2021高二下·南海期末）有一批谷类种子，如果每1粒种子发芽的概率为12，那么插下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（）A.38B.14C.18D.34)，则函数f(x)=x2+4x+ξ存5.（2021高二下·淄博期末）设随机变量ξ服从二项分布B(5,12在零点的概率是.6.（2021高二下·赣州期末）设随机变量X~N(3,σ2)，且P(X>1)=0.66，则P(X>5)=．7.（2021高二下·锦州期末）随机变量ξ~B(n,p)，若E(ξ)=30，D(ξ)=20，则n=.8.（2021·深圳模拟）重庆奉节县柑橘栽培始于汉代，历史悠久．奉节脐橙果皮中厚、脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果、中国国际农业博览会金奖等荣誉．据统计，奉节脐橙的果实横径（单位：mm）服从正态分布N(80,52)，现任取10个奉节脐橙，设其果实横径在[75,90)的个数为X，则E(X)=．附：若X~N(u,σ2)，则P(μ−σ<X<μ+σ)=0.6827；P(μ−2σ<X<μ+2σ)=0.9545．9.（2021·肇庆模拟）为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的指示精神，小明和小亮两名同学每天利用课余时间进行羽毛球比赛.规定每一局比赛中获胜方记2分，失败方记0分，没有平局，谁先获得10分就获胜，比赛结束.假设每局比赛小.明获胜的概率都是23（1）求比赛结束时恰好打了7局的概率；（2）若现在是小明6：2的比分领先，记X表示结束比赛还需打的局数，求X的分布列及期望.10.（2021·滨州模拟）国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个重点城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%．某市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万人左右的320个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区产生的垃圾数量超过28（吨/天）的确定为“超标”社区：垃圾量X[12.5,15.5)[15.5,18.5)[18.5,21.5)[21.5,24.5)[24.5,27.5)[27.5,30.5)[30.5,33.5)频数56912864附：若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<X≤μ+2σ)≈0.9545, P(μ−3σ<X≤μ+3σ)≈0.9974．（1）在频数分布表中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，求这50个社区这一天产生的垃圾量的平均值x̅（精确到0.1）；（2）若该市人口数量在两万人左右的社区一天产生的垃圾量X大致服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ，σ2分别近似为（1）中样本的平均值x̅，方差s2，经计算s约为5.2．请利用正态分布知识估计这320个社区一天中“超标”社区的个数；（3）通过研究样本原始数据发现，抽取的50个社区中这一天共有8个“超标”社区，市政府决定对这8个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查，现计划在这8个“超标”社区中随机抽取5个进行跟踪调查，设Y为抽到的这一天产生的垃圾量至少为30.5吨的社区个数，求Y的分布列与数学期望．精讲答案【例1】【答案】D【解析】因为14,2X B⎛⎫⎪⎝⎭～，所以1422EX=⨯=，所以()21215E X EX+=+=.故选：D.【练1】【答案】B【解析】由已知3位患者被治愈是相互独立的，每位患者被治愈的概率为34，则不被治愈的概率为1 4所以3位患者中恰有1为患者被治愈的概率为12133194464P C⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B【例2】【答案】(1)a＝0.0250，4人；(2)答案见解析；(3)3 4 .【解析】(1)由频率分布直方图知：(0.0625＋0.0500＋0.0375＋a＋2×0.0125)×5＝1，∴a＝0.0250.其中为一级运动员的概率为(0.012 5＋0.037 5)×5＝0.25，∴选出篮球运动员代表中一级运动员为0.25×16＝4人．(2)由已知可得X的可能取值分别为0，1，2，3，P(X＝0)＝312316CC＝1128，P(X＝1)＝21243161C CC⋅＝3370，P(X＝2)＝24113162C CC⋅＝970，P(X＝3)＝34316CC＝1140，∴X 的分布列为 X123P1128 3370970 1140(3)由已知得Y ～B 1(3,)4，∴E (Y )＝np ＝3×14＝34，∴含有一级运动员人数Y 的期望为34.【练2】【答案】(1)910；(2)13.【解析】(1)取出的3个球中红球的个数为X ，可能取值为：0，1，2，3， 所以()37310350120p X C C===， ()2731016331120p X C C C===，()1731022132120p X C C C===，()3103313120p X C C===． 所以X 的数学期望()35632119012312012012012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. (2)设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件A ，“恰好取出1个红球和2个黑球”为事件1A ，“恰好取出2个红球”为事件2A ，“恰好取出3个红球”为事件3A ，而()12341310320C C P A C ==，()()21372310217212040C C P A P X C =====，()()3037331013120C C P A P X C ⋅====， 所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为：()()()()123371120401203P A P A P A P A =++=++=． 【例3】 【答案】(1)114400；(2)选择第二种方案更合算. 【解析】(1)选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则()21213101120C C P A C ==， 所以两位顾客均享受到免单的概率为()()114400P P A P A =⋅=； (2)若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为0、500、700、1000.()212131010120C C P X C ===，()21273107500120C C P X C ===， ()1217310770040C C P X C ===，()177911000112012040120P X ==---=.故X 的分布列为，X0 500 700 1000P1120 7120 740 91120所以()177910500700100091012012040120E X =⨯+⨯+⨯+⨯=(元). 若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则1000200Z Y =-，由已知可得3~3,10Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()3931010E Y =⨯=，所以()()()10002001000200820E Z E Y E Y =-=-=(元). 因为()()E X E Z >，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算. 【练3】【答案】(1)45；(2)分布列见解析，45；(3)219. 【解析】(1)由茎叶图可得中位数是45. (2)依据条件，ξ服从超几何分布：其中15N =，6M =，2n =，ξ的可能值为0,1,2，()026921512035C C P C ξ===，()116921518135C C P C ξ===，()2069215512357C C P C ξ====，所以ξ的分布列为：ξ12P 1235183517()121814012353575E ξ=⨯+⨯+⨯=. (3)依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为93=155P =， 一年中空气质量达到一级或二级的天数为η， 则3365,5B η⎛⎫ ⎪⎝⎭，33652195E η=⨯=，∴一年中平均有219天的空气质量达到一级或二级.练习答案1. 【答案】 D【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型【解析】设某射手每次射击击中目标的概率为p(0<p<1)，由题意可得击中目标的次数记为X∼B(n,p)，因为P(X=1)=P(X=n−1)，所以C n1p(1−p)n−1=C n n−1p n−1(1−p)整理可得(1−p)n−2=p n−2，所以1−p=p可得：p=12，因为E(X)=np=12n=4，可得：n=8，所以D(X)=np(1−p)=8×12×(1−12)=2，故答案为：D.【分析】根据题意由X∼B(n,p)，利用二项分布的性质即可得出方程，由此求解出n和p 的值，从而计算出结果即可。