等价类的定义

等价类划分法1、定义：等价类是指某个输入域的子集合。

在该子集合中，各个输入数据对于发现程序中的错误都是等效的。

并合理地假定：测试某个等价类的代表值就等于对这一类其他值的测试。

2、等价类划分是一种典型的黑盒测试方法，用这一方法设计测试用例完全不考虑程序的内部结构，只根据对程序的要求和说明，即需求规格说明书。

我们必须仔细分析和推敲说明书的各项需求，特别是功能需求。

把说明书中对输入的要求和输出的要求区别开来并加以分解。

3、等价类的划分：有效等价类：是指对于程序的规格说明来说，是合理的，有意义的输入数据所构成的集合；利用它可以检验程序是否实现了预期的功能和性能。

无效等价类：是指对于程序的规格说明来说，是不合理的，没有意义的输入数据所构成的集合；利用它可以检验程序对于无效数据的处理。

4、确定等价类的原则：一、如果输入条件规定了取值范围，或者值的个数，则可以确定一个有效等价类和两个无效等价类。

二、如果输入条件规定了输入值的集合，或者是规定了“必须如何”的条件，这时可以确立一个有效等价类和一个无效等价类。

三、如果输入条件是一个布尔量，则可以确立一个有效等价类和一个无效等价类。

四、如果规定了输入数据的一组值，而且程序要对每一个输入值分别进行处理，这时要对每一个规定的输入值确立一个等价类，而对于这组值之外的所有值确立一个等价类。

五、如果规定了输入数据必须遵守的规则，则可以确立一个有效等件类（即遵守规则的数据）和若干无效等价类（从不同角度违反规则的数据）。

六、如果确知以划分的等价类中的各元素在程序中的处理方式不同，则应进一步划分成更小的等价类。

5、等价类测试有：弱一般等价类测试、强一般等价类测试、弱健壮等价类测试、强健壮等价类测试。

边界值1、基于边界值分析方法选择测试用例的原则：1)如果输入条件规定了值的范围,则应取刚达到这个范围的边界的值,以及刚刚超越这个范围边界的值作为测试输入数据。

例如，如果程序的规格说明中规定："重量在10公斤至50公斤范围内的邮件，其邮费计算公式为……"。

离散数学等价类
离散数学是一门研究离散结构及其运算规律的数学学科，其中一个重要的概念是等价关系。

等价关系是一种对集合中元素进行分类的方法，将具有相同性质的元素划分到同一个等价类中。

在离散数学中，等价类是以等价关系划分出的子集。

对于一个给定的等价关系R，对于集合A中的元素a和b，如果a和b满足R关系，即aRb，那么a和b属于同一个等价类。

等价类的定义要满足三个性质：自反性、对称性和传递性。

举个例子来说明等价类的概念。

考虑一个集合A表示所有人的集合，定义一个等价关系R表示两个人的年龄相同。

那么对于A中的每个人，他们可以被划分到不同的等价类中，每个等价类中的人年龄相同。

例如，如果集合A中有三个人a、b和c，其中a和b的年龄相同，b和c的年龄相同，那么a、b和c分别属于两个等价类。

等价类在离散数学中有广泛的应用。

它们可以用于表示相似关系，例如在图像处理中用于图像的分割和识别。

此外，在数据库的设计和查询过程中，等价类的概念也扮演了重要的角色。

等价类的划分可以将数据集合划分成更小的、具有相似特性的子集，从而方便进行数据的管理和查询。

总之，离散数学中的等价类是根据等价关系将集合划分成具有相同性质的子集。

它们在不同领域中都有重要的应用，帮助我们理解和处理具有相似特性的元素。

⿊盒测试--等价类划分1.1. 概念等价类划分法是把程序的输⼊域划分成若⼲部分（⼦集），然后从每个部分中选取少数代表性数据作为测试⽤例。

每⼀类的代表性数据在测试中的作⽤等价于这⼀类中的其他值。

1.2 等价类划分法的应⽤1 等价类是指某个输⼊域的⼦集合。

在该⼦集合中，各个输⼊数据对于揭露程序中的错误都是等效的，并合理地假定：测试某等价类的代表值就等于对这⼀类其它值的测试.因此,可以把全部输⼊数据合理划分为若⼲等价类,在每⼀个等价类中取⼀个数据作为测试的输⼊条件,就可以⽤少量代表性的测试数据.取得较好的测试结果.等价类划分可有两种不同的情况:有效等价类和⽆效等价类。

有效等价类:是指对于程序的规格说明来说是合理的,有意义的输⼊数据构成的集合.利⽤有效等价类可检验程序是否实现了规格说明中所规定的功能和性能。

⽆效等价类:与有效等价类的定义恰巧相反。

设计测试⽤例时,要同时考虑这两种等价类.因为,软件不仅要能接收合理的数据,也要能经受意外的考验.这样的测试才能确保软件具有更⾼的可靠性。

2划分等价类的六⼤原则：⑴在输⼊条件规定了取值范围或值的个数的情况下,则可以确⽴⼀个有效等价类和两个⽆效等价类.例：输⼊值是学⽣成绩，范围是0～100：⑵在输⼊条件规定了输⼊值的集合或者规定了“必须如何”的条件的情况下,可确⽴⼀个有效等价类和⼀个⽆效等价类.⑶在输⼊条件是⼀个布尔量的情况下,可确定⼀个有效等价类和⼀个⽆效等价类. 布尔量是⼀个⼆值枚举类型, ⼀个布尔量具有两种状态: true 和 false 。

⑷在规定了输⼊数据的⼀组值（假定n个）,并且程序要对每⼀个输⼊值分别处理的情况下,可确⽴n个有效等价类和⼀个⽆效等价类.例：输⼊条件说明输⼊字符为:中⽂、英⽂、阿拉伯⽂三种之⼀，则分别取这三种这三个值作为三个有效等价类，另外把三种字符之外的任何字符作为⽆效等价类。

⑸在规定了输⼊数据必须遵守的规则的情况下,可确⽴⼀个有效等价类（符合规则）和若⼲个⽆效等价类（从不同⾓度违反规则）⑹在确知已划分的等价类中各元素在程序处理中的⽅式不同的情况下,则应再将该等价类进⼀步的划分为更⼩的等价类3、将等价类转化成测试⽤例：按照[输⼊条件][有效等价类][⽆效等价类] 建⽴等价类表,列出所有划分出的等价类为每⼀个等价类规定⼀个唯⼀的编号.设计⼀个新的测试⽤例,使其尽可能多地覆盖尚未被覆盖地有效等价类,重复这⼀步.直到所有的有效等价类都被覆盖为⽌.设计⼀个新的测试⽤例,使其仅覆盖⼀个尚未被覆盖的⽆效等价类,重复这⼀步.直到所有的⽆效等价类都被覆盖为⽌.1.3实例 +笔记笔记等价类划分3将等价类转化对于有效等价类，使其尽可能多地覆盖尚未被覆盖地有效等价类成测试⽤例使其仅覆盖⼀个尚未被覆盖的⽆效等价类2.3实例例1：⼈寿保险费率（基本保险费0.50）Xs分析: 等价类划分、边界值分析结合使⽤序号输⼊条件输⼊类型测试数据预期结果1⼩于等于0岁（<=0岁）⽆效-1警告信息235岁以下有效20计算出⽉保险费335-59岁有效51计算出⽉保险费460岁以上有效65计算出⽉保险费边界值分析法序号边界值测试数据预期结果100警告信息23535按额外保险费2.87：计算35959按额外保险费2.87：计算46060按额外保险费6.00：计算实例2免费邮箱申请：在某⽹站申请免费信箱时，要求⽤户必须输⼊⽤户名、密码及确认密码，对每⼀项输⼊条件的要求如下：⽤户名：要求为4位以上，16位以下，使⽤英⽂字母、数字、“-”、“_”，并且⾸字符必须为字母或数字；密码：要求为6～16位之间，只能使⽤英⽂字母、数字以及“-”、“_”，并且区分⼤⼩写。

近世代数中关于集合的划分及其应⽤研究近世代数中关于集合的划分及其应⽤研究摘要我们对集合并不陌⽣，我们所熟知的集合实际上是朴素集合.那么我们为什么要讨论集合的划分呢?因为它在商群、商环、商域等其他⽅⾯中有着极其重要的应⽤.我们要研究集合的划分就必须研究等价关系，因为它们是互相决定的。

因此我们先从等价关系开始说起，之后再来探讨集合的划分，然后观察集合的划分在各⽅⾯的应⽤.第⼀章等价关系与等价类定义1.1：设S 是⼀个⾮空集合，R 是关于S 的元素的⼀个条件.如果对S 中任意⼀个有序元素对（a ，b ），我们总能确定a 与b 是否满⾜条件R ，就称R 是S 的⼀个关系（relation ）.如果a 与b 满⾜条件R ，则称a 与b 满⾜条件R ，则称a 与b 有关系R ，记做aRb ;否则称a 与b ⽆关系R.关系R 也成为⼆元关系.定义1.2：设~是集合A 上的⼀个⼆元关系，若满⾜下列性质：（1）⾃反性：?a ∈A ,a~a;（2）对称性：?a,b ∈A,a~b,则b~a;（3）传递性：?a,b,c ∈A,a~b,b~c,则a~c.则称~A 上的⼀个等价关系.当a~b 时，称a 与b 等价.定义1.3：设⼀个集合A 分成若⼲个⾮空⼦集，使得A 中每⼀个元素属于且只属于⼀个⼦集，则这些⼦集的全体成为A 的⼀个分类。

每个⼦集称为⼀个类.类⾥任何⼀个元素称为这个类的⼀个代表.由定义可知，A 的⾮空⼦集族S={i A |i ∈I } 是A 的⼀个分类当且仅当其满⾜下列性质：（1） Ii iA ∈=A; （2）当j i ≠时，=j i A A ?，即不同的类互不相交.定理1.1 设S={i A |i ∈I } 是A 的⼀个分类，规定~为： a~b ?a 与b 同属于同⼀个类，则~是A 上的⼀个等价关系.证明：⾸先由分类的定义，~是A 的⼀个关系.⽽且，显然?a ∈A ，a~a ；⼜?a ，b ∈A ，若a~b ，则a 与b 属于同⼀个类，从⽽b~a ；?a ，b ，c ∈A ，若a~b ，b~c ，则a 与b 属于同⼀个类，b 与c 属于同⼀个类，于是a 与c 属于同⼀个类，从⽽a~c.因此~是A 上的⼀个等价关系.定理1.2 设~是A 上的⼀个等价关系，对于a ∈A ，令[a]={x|x ∈A,x~a},则A 的⼦集族是A 的⼀个分类.证明（1）?a ∈A ，因为,a~a ，所以a ∈[a]，从⽽[a]是⼀个⾮空⼦集，并且[]=∈ A a a A.（2）若[a] [b]≠?,则?c ∈[a] [b]，于是c~a ，c~b ，从⽽a~b.x ∈[a],有x~a ，于是x~b ，所以x ∈[b]，即[a]?[b].同理[b]?[a].这⾥就得到[a]=[b].所以不同的等价类互不相交.该定理中所构成的⼦集[a]称为A 的⼀个包含a 的~等价类.定义4：设~是A 上的⼀个等价关系，由A 的全体不同~等价类所组成的集合族称为A 关于~的商集，记作A/~.第⼆章商群我们研究商群必须要知道：它是由什么样的等价关系确定的什么样的等价类，然后由这些等价类构成的集合再定义⼀种什么样的运算才是商群，最后为了把⼀些较为复杂的群转化较为简单的群，再给出群的同态基本定理.⼀、什么样的等价关系我们知道由⼀个正整数m ，确定了整数间的⼀个等价关系m R ，即a m Rb ?m|a —b ，?a ，b ∈Z .其中Z 是⼀个由1⽣成的循环加群，（m ）是Z 的⼀个⼦加群，且从⽽m R 也可以认为是由Z 的⼀个⼦群（m ）所确定的.现在将这个思想推⼴到⼀般的群中，设H 是群G 的⼀个⼦群，在G 中定义⼀个关系R ：G b a H ab H a b aRb 1-1-∈?∈∈?，，且容易验证R 是⼀个等价关系.利⽤这个等价关系可以决定群G 的⼀个分类.⼆、什么样的等价类定义2.1 设H ≤G ，由等价关系R 所决定的类称为H 的陪集.定理2.1 设H ≤G ，则包含元素a 的陪集等于Ha aH 或.证明将包含元素a 的陪集记作[a].?b ∈[a]，有bRa ，即H h ba H h b a 2-111-∈=∈=且，即b=a 1h =∈a h 2Ha aH =，所以有[a]aH ?=Ha .反之，?b ∈Ha aH =，?21h h ，∈H ，使b=a h ah 21=，于是H h ba H h b a 2-111-∈=∈=且，即bRa ，从⽽b ∈[a]，所以有aH ]a [].a [Ha aH =?=因此.三、商群定理2.2 设G 是群，N G ，令G/N={aN |a ∈G},规定： ,/G bN aN N ab bN aN N ∈?=，，）（则（G/N,?）是⼀个群.证明⾸先证明?是G/N 的代数运算，即G/N 到G/N 的映射，也就是要证与代表元的选取⽆关.设aN N a 1=，，bN N b 1=则N n a a 111-∈=，.N n b b 21-1∈=因为N G ，所以11111使3111n b b n =，这样N n n n b b b n b b a a b b a ab 3231-111-111-11-111-∈====）（）（）（）（）（，从⽽（ab ）N=（11b a ）N ，所以?是G/N 的代数运算，⼜?,/G cN bN aN N ∈，，有=====N bc aN ]bc [a N ]c )ab [(cN N ab cN bN aN ）（）（）（）（），（cN bN aN ??从⽽?满⾜结合律，且,/G aN eN aN aN eN N ∈??=?，从⽽N=eN 是G/N 的单位元.?,/G aN N ∈存在,/G N a 1-N ∈使，eN aN N a N a aN -11-=?=?从⽽.aN N a 1-的逆元是因此G/N 是⼀个群. 该定理中够作的群G/N 称为G 关于N 的商群.四、有限阶群的阶和⼦群阶的关系定理2.3（Lagrange （拉格朗⽇））设G 是有限群，H 是G 的⼦群，则|G|=[G ：H]|H|证明因为G 是有限群，所以[G ：H]有限，设为k ，则G=U U H a H a 21…H a k U .⼜因为在H 和H a i 之间存在⼀个双射，所以|H a i |=|H|，因此|G|=H a 1+…+H a k =k|H|=[G ：H]|H|. 五、群的同态基本定理定理2.4（同态基本定理）设f 是群G 到G ’的同态，则（1）Kerf G ；（2）G/ Kerf ?Imf.证明（1）因为e ∈ Kerf ，所以Kerf ≠?.⼜?a ，b ∈ Kerf ，x ∈G ，即f （a ）=f （b ）=e '，则f （a 1b -）= f （a ）1b f -）（= e '1e -= e ',f(xa -1x )=f(x)f(a)1x f -）（= f(x) e '1x f -）（=e '，从⽽a 1b -，xa -1x ∈ Kerf ，因此Kerf G.（2）在G/ Kerf 到Imf 间规定⼀个法则：Φ：aKerf f （a ）.a) ? aKerf ，bKerf ∈Kerf G/ Kerf ，有aKerf=bKerf ?1a -∈Kerf ?f(1a -b)= e '1a f -）（f （b ）= e ' ? f （a ）=f （b ），从⽽Φ是⼀个G/ Kerf 到Imf 的映射.b ）?a ' ∈ Imf ，?a ∈G ，使 f （a ）= a '，于是Φ（aKerf ）= f （a ）=a '，从⽽Φ是满射.c) ? aKerf ，bKerf ∈Kerf G/ Kerf ，有Φ( aKerf)= Φ( bKerf) ? f （a ）=f （b ）?1a f -）（ f （b ）=e ' ?f(1a -b)=e ' ? 1a -b ∈Kerf ? aKerf=bKerf ，从⽽Φ是单射.d) ? aKerf ，bKerf ∈Kerf G/ Kerf ，有Φ( aKerf ?bKerf) =Φ( abKerf)=f(ab)= f （a ）f （b ）=Φ( aKerf)? Φ( aKerf)? Φ(bKerf)，从⽽Φ保持运算.因此Φ是同构.于是G/ Kerf ?Imf.第三章商环我们研究商环的思路是：在商加群的基础上再定义⼀种乘法运算，使得该种运算在某⼀⼦环下构成代数运算进⽽对该种运算构成半群且慢⾜：乘法运算对加法运算符合左分配律和右分配律，在学习过程中我们发现理想是可以在我们定义的乘法运算下满⾜上⾯条件的⼦环，因此我们先研究什么是理想，从⽽给出商环的定义，最后得出环的同态基本定理.⼀、理想定义3.1 设（R ，+，?）是⼀个环，（A ，+）是（R ，+）的⼀个⼦加群，（1）若?r ∈R ，a ∈A 有ra ∈A ，则称A 是R 的左理想；（2）若?r ∈R ，a ∈A 有ar ∈A ，则称A 是R 的右理想；（3）若A 既是R 的左理想，⼜是R 的右理想，则称A 是R 的⽴、理想，记作A R ．（4）若A R ，且A ≠R ，则称A 是R 的真理想.由定义可知理想⼀定是⼦环.⼆、商环定义3.2 设R 是环，A R ，在商群（R ，+）/(A ，+)={[x]|x ∈R}={x+A| x ∈R }中再规定：[x]?[y]=[xy]，? [x] ，[y] ∈R/A ，则（R/A ，+，?）是⼀个环（R/A 称为R 关于A 的商环或剩余类环，[x]=x+A 称为R 模A 的剩余类）.证明⾸先证明上⾯规定的乘法运算是代数运算，即与代表元的选取⽆关.设[x]=[1x ]，[y]=[1y ]，则x-1x ∈A ，y-1y ∈A.因为A 是R 的理想，所以xy-1x 1y =（x-1x ）y+1x （y-1y ）∈A ，从⽽[xy]= [1x 1y ].其次? [x]，[y] ，[z] ∈ R/A ，有（[x]?[y]）? [z]= [xy] ? [z]=[( xy)z]= [ x(yz)]= [x] ? [yz]= ([y] ? [z])，从⽽?满⾜结合律.且[x] ?（[y] +[z]）= [x] ?（[y] +[z]）=[x(y+z)]=[xy+xz]=[xy]+[xz]= [x]?[y]+ [x] ? [z] 从⽽?对+满⾜左右分配律.同理可证，?对+也满⾜右分配律.因此R/A 是⼀个环.三、环的同态基本定理定理3.1（同态基本定理）设f 是环R 到环R ’的同态，则（1） Kerf R ；（2） R/Kerf ?Imf.证明（1）Kerf 是(R ，+)的⼦加群，⼜a ?∈Kerf ，r ∈ R ，有f （ra ）=f （r ）f （a ）=f （r ）0'=0'， f （ar ）=f （a ）f （r ）=0’f(r)=0'，从⽽ra ，ar ∈Kerf R.（2）因为在R/Kerf 到Imf 间存在⼀个双射： ?：a+Kerf f （a ），且保持加法运算。

等价关系中等价类的定义
等价关系是理论集合上的一种重要概念，它定义了一种交换和重新分类的方式，为集合的构造提供理论基础。

等价关系包括一组等价类，而等价类则是一类含有至少二个元素的集合，这些集合间等价，可以互相替换。

等价类是集合的一种量化抽象表达。

它是指在一定环境下，在一般意义上都具
有相同特征的不同类别，它们可以把相同类别的所有元素归纳到一个等价类中，使得这些元素具有相同的特征。

例如，在计算机科学中，在形式语言中，所有的源文本样式都能够归纳到一个等价类中，这个等价类对应着一组语言规则，使得每一种源文本样式都与另一种源文本样式具有相同的语义。

这类思想在组合数学中同样有所应用，即非等价逻辑关系，这类逻辑关系涉及
相同长度的有序序列，每一个有序序列都属于一个不同的等价类，具有相同的语义。

综上所述，等价类是一种重要的概念，它在数学、计算机科学等领域都具有重
要应用。

等价类是一组元素集合，它们具有相同的特征，可以通过相同的规则将不同的元素归纳到一类中，形成等价关系，为集合的构造提供理论基础。

等价类划分法：一、方法简介1.定义是把所有可能输入的数据，即程序的输入域划分策划国内若干部分（子集），然后从每一个子集中选取少数具有代表性的数据作为测试用例。

方法是一种重要的、常用的黑盒测试用例设计方法。

2.划分等价类等价类是指某个输入域的子集合。

在该子集合中，各个输入数据对于揭露程序中的错误都是等效的，并合理地假定：测试某等价类的代表值就等于对这一类其他值的测试，因此，可以把全部输入数据合理划分为若干等价类，在每一个等价类中取一个数据作为测试的输入条件就可以用少量代表性的测试数据取得较好的测试结果。

等价类划分有两种不同的情况：有效等价类和无效等价类。

1）有效等价类是指对于程序的规格说明来说是合理的、有意义的输入数据构成的集合。

利用有效等价类可检验程序是否实现了规格说明所规定的功能和性能。

2）无效等价类指对程序的规格说明是不合理的或无意义的输入数据所构成的集合。

对于具体的问题，无效等价类至少应有一个，也可能多个。

设计测试用例时，要同时考虑这两种等价类。

因为软件不仅要能接收合理的数据，也要能经受意外的考验，这样的测试才能确保软件具有更高的可靠性。

3.划分等价类的标准1)完备测试、避免冗余2)划分等价类重要的是：集合的划分、划分为互不相交的一组子集，而子集的并是整个集合3)并是整个集合：备性4)子集互不相交：保证一种形式的无冗余性5)同一类中标识（选择）一个测试用例，同一等价类中，往往处理相同，相同处理映射到“相同的执行路径”。

4.划分等价类的方法1)在输入条件规定了取值范围或值的个数的情况下，则可以确立一个有效等价类和两个无效等价类。

如：输入值是学生成绩，范围是0~100；2）在输入条件规定了输入值的集合或者规定了“必须如何”的条件的情况下，可确立一个有效等价类和一个无效等价类：3）在输入条件是一个布尔量的情况下，可确定一个有效等价类和一个无效等价类。

4）在规定了输入数据的一组值（假定n个），并且程序要对每一个输入值分别处理的情况下，可确立n个有效等价类和一个无效等价类。