数学与应用数学(解析函数的几个等价条件及其证明)[毕业论文]2011-05-26

高中数学的解析函数的概念与性质分析解析函数是高等数学中的一个重要概念，它在数学分析以及其他领域中都有广泛的应用。

解析函数不仅有着深刻的理论性质，还与实际问题的建模和求解密切相关。

本文将从概念和性质两个方面进行解析函数的分析，旨在帮助读者更好地理解这一概念。

一、解析函数的概念解析函数指的是在某个区域内具有导数的复数函数。

具体来说，设D是复平面上的一个区域，如果对于D内的每个z，函数f(z)在D内可导，则称f(z)为D上的解析函数。

从这个定义可以看出，解析函数是复平面上一类特殊的函数，它具有良好的连续性和光滑性质。

二、解析函数的性质1. 解析函数的充分条件解析函数的充分条件是柯西—黎曼方程（Cauchy-Riemann equation）。

设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是D上的函数，其中u(x, y)和v(x, y)是实函数，x、y是实数。

如果u(x, y)和v(x, y)在D上具有一阶连续偏导数，并且满足如下条件：∂u/∂x = ∂v/∂y，∂u/∂y = -∂v/∂x那么f(z)在D上解析。

2. 解析函数的导数解析函数的导数具有一些特殊的性质。

如果f(z)在D上解析，那么它的导数f'(z)也在D上解析，并且满足如下条件：f'(z) = ∂u/∂x + i∂v/∂x这个公式表明，解析函数的导数仍然是解析函数。

3. 解析函数的积分解析函数的积分也是解析函数。

这个性质可以通过格林公式（Green's theorem）得到证明。

格林公式是数学分析中的重要定理，它建立了解析函数和曲线积分之间的关系。

4. 解析函数的唯一性如果两个解析函数在某个区域内相等，那么它们在整个区域上都相等。

这个性质可以通过利用解析函数的连续性和导数的唯一性得到证明。

综上所述，解析函数是复平面上一类重要的函数，具有许多重要的性质。

它们不仅在数学分析中有深刻的理论意义，还在物理学、工程学等应用领域中发挥着重要作用。

解析函数的等价条件综述程晓亮;张旭;苗艳【摘要】解析函数包括单变量解析函数、多变量解析函数.本文讨论单变量解析函数的若干等价命题,进而讨论了多变量解析函数及解析映照等问题.【期刊名称】《吉林师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(038)002【总页数】5页(P46-50)【关键词】解析函数;等价命题;柯西-黎曼方程【作者】程晓亮;张旭;苗艳【作者单位】吉林师范大学数学学院,吉林四平136000;吉林师范大学数学学院,吉林四平136000;吉林师范大学数学学院,吉林四平136000【正文语种】中文【中图分类】O186解析函数的理论经过法国数学家柯西、德国数学家黎曼和维尔斯特拉斯的开创性工作，历经众多数学家的努力，目前已经形成了非常系统的理论.1825年，柯西给出了函数f(z)在z平面上的单连通区域D内解析的柯西积分定理[1-2]，即当C为D 内任意一条围线时，积分年，维尔斯特拉斯将一个在圆盘上收敛的幂级数的和函数称为解析函数，而区域上的解析函数指的是在区域内每一个小圆盘上都能表示成幂级数的和的函数，即对于D中的任意点z0，在任意圆盘U={|z-z0|lt;r}⊂D中该函数可表示为收敛幂级数的和的形式[1-2]，即这也就是通常所说的泰勒级数.1851年，黎曼论证了复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)解析的充要条件是其实部和虚部的二元实函数u(x,y)和v(x,y)的偏导数满足=，=-，也就是我们现在所说的柯西-黎曼方程(C-R条件)[2].关于解析函数的不同定义在20世纪被证明是等价的，下面就是解析函数的定义及等价命题.若f(z)在z0的某邻域内可导，称f(z)在z0解析，z0为该函数的解析点.若函数f(z)在z0处不解析，但在z0的任一邻域总有f(z)的解析点，则称z0为f(z)的奇点[1-2].定义1.1[2] 若函数f(z)在区域D内每一点都解析，则称f(z)在区域D内解析，f(z)是区域D内的一个解析函数，也叫全纯函数或正则函数.根据解析函数的定义，从函数的实部和虚部满足的C-R方程和共轭调和关系，复积分和幂级数展开等角度分析解析函数概念的等价性.命题2.1[2-4] 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其区域D内解析的充要条件是：(1) 二元函数u(x,y),v(x,y)在区域D内可微；(2) 函数u(x,y)，v(x,y)在区域D内满足C-R方程.证明⟹设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z=x+iy处的导数为a+ib，则⟹因为二元函数u(x,y)，v(x,y)在区域D内可微且满足C-R方程，有命题2.2[2-4] 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其区域D内解析的充要条件是：(1) 二元函数u(x,y)与v(x,y)具有连续的偏导数；(2) 函数u(x,y)，v(x,y)在区域D内满足C-R方程.证明⟹设f(x)在区域D内解析，由解析函数的无穷可微性得到f ′(z)在区域D内也解析，所以f ′(z)在区域D内连续，即u(x,y)与v(x,y)的偏导数，，，在区域D内连续，C-R方程成立.⟹设，，，在区域D内连续，由二元实函数可微的充要条件可知，二元函数u(x,y)与v(x,y)在区域D内可微，则f(z)在区域D内解析得证.命题2.3[2-4] 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其区域D内解析的充要条件是：在区域D内函数v(x,y)是u(x,y)的共轭调和函数.证明⟹因为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其区域D内解析，则由C-R方程⟹由已知得f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的虚部v(x,y)是实部u(x,y)的共轭调和函数.由共轭调和函数的定义知道u(x,y),v(x,y)具有二阶偏导数，且满足拉普拉斯方程+=0，+=0,且，，，连续，又因为u(x,y),v(x,y)满足C-R方程，故f(z)在区域D内解析.命题2.4[1-4] 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其区域D内解析的充要条件是：(1) f(z)在区域D内连续;(2) 对任一围线C，只要C及其内部全含于D内，就有证明⟹设C是一条围线，D为C的内部，函数f(z)在D内解析，在上连续，则⟹设F(z)=f(ζ)dζ(z0∈D)在D内解析，且F′(z)=f(z)(z∈D).由于解析函数F(z)的导函数F′(z)还是解析的，得到f(z)在D内解析.命题2.5[1-2] 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其区域D内解析的充要条件是：f(z)在D 内任一点z0的一个完全属于D的邻域内可展成关于z-z0的幂级数，即泰勒级数. 证明⟹设f(z)在区域D内解析，a∈D,只要圆K：|z-a|lt;r⊂D则f(z)在K内能展成幂级数f(z)且展式唯一.⟹由阿贝尔定理，幂级数在其收敛圆多变量解析函数是当今数学研究的热点问题，被广泛的应用于流体力学、物理学等各个方面，下面我们就对多变量解析函数的定义进行研究.定义3.1[5] 称函数f(z)在点z∈Cn是解析的(全纯的)，如果它在这个点的某个邻域中为C-可微.定义3.2(全纯映射)[5] 设D为Cn中的一个区域， f=(f1，…，fm)：D→Cm；如果这个映射的每个分量fμ(μ=1，2，…，m)在D中全纯，则称此映射为全纯的.特别的，如果D⊂C,则称f为全纯曲线.如果U为z∈Cn的一个邻域，f:U→Cm为全纯映射，则对具任意充分小的|h|的向量h∈Cm成立展开式f(z+h)=f(z)+df(h)+o(h)，C-线性映射，df(h)=f ′(z)h称为映射f在点z的微分，其中f ′(z)=为雅可比矩阵，而h是列向量.定义3.3(双全纯映射)[5] 称区域D⊂Cm的映射为双全纯是说，如果它在D中全纯并且有逆映射g=f-1，它在G=f(D)中全纯.雅可比Jf(z)≠0当且仅当f在点z为局部双全纯.特别的，由此得到，任意全纯的相互一一映射f:D→f(D)为双全纯.在ngt;1时，双全纯性质与共形性质并不相同.命题3.1[5] 函数f(z)是全纯的充要条件是它满足C-R条件证明由全纯函数的Riemann定义，即f(z)在z∈Cn全纯是指f(z)在该点邻域具有所有一阶偏导数，k=1，2，…，n．即=，=-(C-R方程).命题3.2[5] 函数f(z)是C-可微(全纯)的充要条件是它满足2n个实方程的方程组=，=-，v=1，2，…，n.证明由全纯函数的Riemann定义知f(z)在该点邻域具有所有一阶偏导数，k=1，2，…，n．命题3.3[5] 函数f(z)是C-可微(全纯)的充要条件是它满足n个复方程组命题3.4[5] 函数f(z)是全纯的，它可展开为多重幂级注如果向量值函数解析，那么其中的每个分量函数解析；每个分量函数解析，其中的每个变量都解析.如果向量值函数F:(f1(z1，…zn),…，fm(z1，…，zn))是解析的，根据定义有：F中的每个分量函数f1(z1，…，zn),…，fm(z1，…，zn)是解析的；也就是F的每一个分量函数fi(z1，…zn)都解析，得到对任意变量zi解析，即=0.定理4.1(黎曼存在与唯一性定理)[1-2] 扩充z平面上的单连通区域D，其边界点不止一点，则有一个在D内的单叶解析函数ω=f(z)，它将D共形映射成单位圆|ω|lt;1；且当复合条件f(a)=0，f′(a)gt;0(a∈D)时，这种函数f(z)就只有一个.在C2中映射(z1,z2)→(z1,2z2)为双全纯，然而并不是共形的，而共形映射z→z/|z|2既不是全纯的也不是反全纯的.双全纯映射f:D→G=f(D)也称为(全纯)同构，而存在这种映射的区域D和G被称为双全纯等价.区域D到自身的全纯同构被称做(全纯)自同构.关于平面单连通区域的黎曼定理不可能推广到空间区域.这与在ngt;1时的超定条件有关：对区域Cn的映射f=(f1，…，fn)，柯西-黎曼条件=0由关于n个未知复函数的n2个复微分方程组成.关于单变量解析函数和多变量解析函数的定义及其比较以及相关问题的讨论，还可参阅其他文献[6-10].【相关文献】[1]沙巴特.单复变函数[M].北京：高等教育出版社，2010.[2]钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2004.[3]梁会.解析函数的几种等价条件及其应用[J].毕节学院学报,2010,25(2):49-51.[4]马雪雅.解析函数的几个等价命题及其应用[J].新疆师范大学学报,2006,25(2):103-104.[5]沙巴特.多复变函数[M].北京：高等教育出版社，2007.[6]李庆忠,程晓亮. 多复变量解析函数的一个形式化公式[J]. 吉林师范大学学报(自然科学版),2015,36(3):5-7.[7]王丽颖. 复变函数可微的又一充要条件及其应用[J]. 吉林师范大学学报(自然科学版),2006,26(3):55-57.[8]徐助跃,杨先林,蒋利群. 关于解析函数等价定理的几点注记[J]. 华中师范大学学报(自然科学版),2012,46(4):401-405.[9]龚昇.多复变数的双全纯映照[J]. 数学进展,1994,23(2):115-141.[10]RUDIN W.实分析与复分析[M].北京：机械工业出版社，2006.。

解析与双解析函数的定理及相关问题研究解析函数与双解析函数的定理是数学分析中的重要概念，它们在复变函数和实分析中有广泛的应用。

下面将对解析函数与双解析函数的定理以及相关问题进行研究，并给出相关参考内容。

1. 解析函数的定理：解析函数是指在某个开集内无穷次可导的函数。

解析函数具有如下性质：- 在其定义域内解析函数的导函数仍然是解析函数。

- 在其定义域内解析函数可以表示为幂级数的形式。

- 在解析函数的定义域内，它在闭区间上的积分等于沿着该闭区间的边界线积分。

相关参考内容：- 《多复变函数与解析函数》（陈纪修著，高教出版社）- 《复变函数与积分变换》（J.L.库拉茨基著，高等教育出版社）2. 双解析函数的定理：双解析函数是指既在实轴上解析，又在与实轴平行的某个固定直线上解析的函数。

双解析函数具有如下性质：- 双解析函数可以表示为两个解析函数的和。

- 双解析函数的导函数也是双解析函数。

- 在双解析函数的定义域内，它在闭区间上的积分等于沿着该闭区间的边界线积分。

相关参考内容：- 《实变函数与函数空间》（赵如松，南开大学出版社）- 《解析函数与调和函数》（刘光亚著，高教出版社）3. 相关问题研究：解析函数与双解析函数的定理在数学分析中有广泛的应用，涉及到多个相关的问题，例如：- 解析函数的特殊类型研究：亚纯函数、全纯函数等。

- 解析函数的收敛性研究：幂级数的收敛范围等。

- 解析函数的相关定理证明：例如解析函数的零点定理、最大模定理等。

- 解析函数的应用：在数学物理领域中的应用，如电场、磁场等问题。

相关参考内容：- 《实变函数与泛函分析习题集》（杨凤武主编，北京大学出版社）- 《初等实变函数论》（陈纪修，清华大学出版社）以上是关于解析函数与双解析函数的定理及相关问题的研究，给出了相应的参考内容，供读者深入学习与研究。

解析函数的两个充要条件之间的关系打开文本图片集关键词：解析函数；二元函数；充要条件；无穷可微性复变函数是实变函数在复数域上的推广，其主要核心是解析函数。

解析函数除了拥有与实变函数相同的一些性质以外还具备一些独有的良好性质如无穷可微性，满足方程以及能展成泰勒级数等。

复分析主要通过微分、积分和级数的方法研究解析函数。

因此为了更好地研究学习解析函数，本文首先梳理判定函数解析的五个充要条件。

一、判定函数解析的五个充要条件定义1如果复变函数在区域内可微，则称是区域内的解析函数，或称在区域内解析。

若设在区域内有定义的解析函数为，则有如下五个判定函数解析的充分必要条件：充要条件1二元函数在区域内可微，在内满足方程。

充要条件2函数在区域内连续，且对内任一周线只要及其内部全部含于内且。

充要条件3对任意，只要圆含于，则在内能展成的幂级数。

充要条件4二元函数在区域内连续，且在内满足方程。

充要条件5在区域内是的共轭调和函数。

由如上的等价条件，不难看出其中的充要条件1，4，5均是利用二元实函数来描述的，也就是说利用二元实函数满足的性质就完全可以判定复变函数的解析性。

由于充要条件是一种等价关系，所以上述五个充要条件是彼此等价的。

但是，充要条件4从形式上显然是要强于充要条件1的，而且在数学分析中，多元实变函数偏导连续仅仅是该函数可微的充分不必要条件，这就让我们不得不好奇它们之间的等价性是有什么性质来保证的。

为此，我们不妨将这两个充要条件分别描述成如下两个完整的定理。

定理1函数在区域内解析的充分必要条件是二元实函数在区域内可微且在内满足方程：，.定理2函数在区域内解析的充分必要条件是二元实函数在区域内连续，在内满足方程。

二、两个充分必要条件的证明与等价在给出三个定理的具体证明之前，首先回顾一下解析函数具有着与实变函数完全不同的独有的良好性质：无穷可微性，即解析函数的导数仍为解析函数，从而它的任意阶阶导数仍为解析函数。

定理1的证明：（充分性）由及的可微性有对于内任意一点，其中及是的高阶无穷小。

解析函数的等价条件及其应用周春梅【摘要】根据柯西—黎曼方程、柯西积分定理以及解析函数的幂级数表示,详细地分析了解析函数的六个等价条件,并给出了具体应用.【期刊名称】《宁夏师范学院学报》【年(卷),期】2019(040)007【总页数】5页(P102-106)【关键词】解析函数;柯西积分定理;柯西-黎曼方程;幂级数;等价条件【作者】周春梅【作者单位】宁夏师范学院数学与计算机科学学院,宁夏固原756000【正文语种】中文【中图分类】O174.5解析函数是复分析的主要研究对象,是指在区域内处处可微的函数.一个复函数对应着两个二元实函数,它有着一元实函数所没有的特性,如解析函数在其解析区域内有无穷可微性,即任意阶导数都存在,且各阶导数在此区域内也解析等.徐助跃[1]等根据二元函数的可微性分析出了解析函数的4个新的等价定理.程晓亮[2]等在单变量解析函数的基础上,讨论了多变量解析函数及解析映照等问题.吴大勇[3]针对复变函数课程的特点,根据在教学过程中遇到的问题,做了一些研究和探讨,提出了一些相应的教学改革措施.钱睿深[4]总结了复变函数课程教学过程中所采取的教学措施,就提高教师专业素养、改革教学方法方面提出了一些建议.秦宝侠[5]对复变函数课程的教学现状做了分析,提出利用多媒体和网络对教学方法和教学手段进行改革.为了更好地学习解析函数的性质,本文根据解析函数的实、虚部及其满足的柯西-黎曼方程,柯西积分定理以及解析函数的幂级数表示等方面分析了解析函数的等价条件,并给出具体的应用,用六个等价条件对同一典型例题进行解答,充分体现几个等价条件之间的联系与区别.1 柯西-黎曼方程下的解析函数条件1[6] 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的等价条件是(i) 二元函数u(x,y),v(x,y)在区域D内可微;(ii) u(x,y),v(x,y)在区域D内满足柯西-黎曼方程.证明充分性由u(x,y),v(x,y)在区域D内可微知,在区域D内任一点z(x,y)有其中，η1,η2是的高阶无穷小.再由柯西-黎曼方程,设ux=vy=α,uy=-vx=-β,有Δf=Δu+iΔv=αΔx-βΔy+η1+i(βΔx+αΔy+η2)=(α+iβ)(Δx+iΔy)+η1+iη2,即令由于η1,η2是的高阶无穷小,当Δz→0时，η→0,所以即f(z)在z处可导,由z的任意性,得f(z)在区域D内可微，即在区域D内解析.必要性设z(x,y)为区域D内任一点,由f(z)在区域D内解析,得f(z)在z(x,y)处可微,即f(z)=f′(z)Δz+τΔz,其中,令f′(z)=α+iβ,Δz=Δx+iΔy,Δf=Δu+iΔv,则上式可写为Δu+iΔv=αΔx-βΔy+i(βΔx+αΔy)+τ1+iτ2,这里τ1=Re(τΔz),τ2=Im(τΔz),是|Δz|的高阶无穷小,由上式得由二元实函数的微分定义知u、v在点z(x,y)处可微,且ux=α=vy,uy=-β=-vx.条件2 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是(i) ux,uy,vx,vy在区域D内连续;(ii) u(x,y),v(x,y)在区域D内满足柯西-黎曼方程.证明充分性由于二元函数可微性的充分条件是偏导数连续,所以根据条件1可得函数f(z)在区域D内解析.必要性已知函数f(z)在区域D内解析,则其实、虚部u(x,y),v(x,y)一定满足柯西-黎曼方程,再由解析函数的无穷可微性知,f(z)在区域D内存在各阶导数,且各阶导数也解析,特别地,f′(z)在区域D内解析,则必有ux,uy,vx,vy在区域D内连续.条件3 设u(x,y),v(x,y)在区域D内有1阶连续偏导数,则f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件为证明由条件2知,只需验证u(x,y),v(x,y)在区域D内满足柯西-黎曼方程.由条件故定理得证.条件4 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是:在区域D内v(x,y)是u(x,y)的共轭调和函数.证明充分性由条件可知,u(x,y),v(x,y)都是区域D内的调和函数,即有连续的二阶偏导数,又因为v(x,y)是u(x,y)的共轭调和函数,则u(x,y),v(x,y)满足柯西-黎曼方程,即ux=vy,uy=-vx,由条件2得,f(z)在区域D内解析.必要性由f(z)在区域D内解析,得u(x,y),v(x,y)都是区域D内的调和函数,且u(x,y),v(x,y)满足C.-R.方程，即v(x,y)是u(x,y)的共轭调和函数.2 柯西积分定理下的解析函数柯西积分定理:设函数f(z)在单连通区域D内解析,C为区域D内任一周线,则∮f(z)dz=0.条件5 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是(i) f(z)在区域D内连续;(ii) 对区域D内任一周线C,有∮f(z)dz=0.证明充分性设z0为D内任一点,作z0的领域K:|ξ-z0|<ρ含于D内,利用莫雷拉定理得,f(z)在圆K内解析,由z0的任意性,f(z)在区域D内解析.必要性由柯西积分定理直接得到.3 幂级数表示下的解析函数幂级数的和函数在其收敛圆内解析,且解析函数在其解析区域内的任何圆内都可展开成幂级数,即泰勒级数.条件6 函数f(z)在区域D内解析的充要条件是:f(z)在区域D内任一点z0的邻域内可展成z-z0的幂级数.证明充分性作z0的邻域K:|z-z0|<r含于D内,由条件得则幂级数的和函数f(z)在圆K内解析,特别地,f(z)在z0处解析,由z0的任意性,f(z)在区域D内解析.必要性由泰勒定理直接得出,函数f(z)在其解析区域内的任一点的邻域内都可展成泰勒级数,即幂级数.4 应用根据以上六个等价条件对下面的例题进行解答.例函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析,试证函数也在区域D内解析.证法1 由函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析,得二元函数u(x,y),v(x,y)在区域D内可微;且u(x,y),v(x,y)在区域D内满足柯西-黎曼方程,即ux=vy,uy=-vx,(1)而故要使函数也在区域D内解析,只需 vx=-uy,vy=-(-ux)=ux成立,此式为(1)式,所以函数也在区域D内解析.证法2 由函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析,得ux,uy,vx,vy在区域D内连续;且u(x,y),v(x,y)在区域D内满足柯西-黎曼方程,即ux=vy,uy=-vx,而由证法1可知函数和函数f(z)的柯西-黎曼方程是统一的,故函数也在区域D内解析. 证法3 由函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析,得ux,uy,vx,vy在区域D内连续;且u(x,y),v(x,y)在区域D内满足柯西-黎曼方程,即ux=vy,uy=-vx,故函数也在区域D内解析.证法4 由函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析,得ux,uy,vx,vy在区域D内连续;且u(x,y),v(x,y)在区域D内满足柯西-黎曼方程,即ux=vy,uy=-vx,根据共轭调和函数的概念得到,此时v是u在区域D内的共轭调和函数,那么-u是v 在区域D内的共轭调和函数.而由-u是v在区域D内的共轭调和函数得,函数也在区域D内解析.证法5 由函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析,设C为D内任一周线,C的内部含于D内,则∮f(z)dz=0,而在区域D内连续,且故函数也在区域D内解析.证法6 由函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析,设z0是区域D内的任意一点, 作z0的邻域K:|z-z0|<r含于D内,则故在z0处解析,由z0的任意性,函也在区域D内解析.5 结论从文中的前4个条件可以得出柯西-黎曼方程是判断复变函数在一点可微或在一个区域内解析的主要条件,在哪一点不满足,函数在那一点不可微;在哪一个区域不满足,函数在那一个区域内就不解析[6].当然,这并不是判断函数可微或者解析的唯一条件.条件5是从复积分的角度出发,利用柯西积分定理得出的解析函数的等价条件.条件6是从复级数的角度出发,利用泰勒定理得出的解析函数的等价条件.从具体应用来看,理解各个等价条件之间的区别与联系很重要.在教学过程中,要引导学生边学边总结,学会用归类的方法整理所学知识.解决同一个问题的方法有多种,但要明白各个方法之间的区别与联系,以便于灵活应用.参考文献:【相关文献】[1] 徐助跃,杨先林,蒋利群.关于解析函数等价定理的几点注记[J].华中师范大学学报,2012,46(4):401-405.[2] 程晓亮,张旭,苗艳.解析函数的等价条件综述[J].吉林师范大学学报,2017,38(2):46-50.[3] 吴大勇.复变函数教学方法研究[J].内蒙古财经大学学报,2017,15(2):134-137.[4] 钱睿深.关于《复变函数》课程教学改革的建议[J].呼伦贝尔学院学报,2017,25(2):141-142.[5] 秦宝侠.基于能力培养的复变函数教学改革研究[J].齐鲁师范学院学报,2018,33(6):20-24.[6] 钟玉泉.复变函数论 [M].北京：高等教育出版社,2013.。

解析的充要条件
函数解析的充要条件：
1、f'(z)=df/dz唯一存在。

f'(z)=(∂u/∂x)+(∂v/∂x)i=(∂v/∂y)-(∂u/∂y)i。

2、满足C-R方程（柯西黎曼方程）—(∂u/∂x)=(∂v/∂y)(∂v/∂x)=-(∂u/∂y)。

同部偏导相等，异部偏导相反。

区域上处处可微的复函数称为单演函数，后人又把它们称为全纯函数、解析函数。

B.黎曼从这一定义出发对复函数的微分作了深入的研究，后来，就把上述的偏微分方程组称为柯西-黎曼方程，或柯西-黎曼条件。

由于解析函数概念可推广为广义解析函数（基于把解析函数的实部、虚部所满足的柯西－黎曼方程组推广为较一般的一阶偏微分方程组），因此解析函数边值问题也可推广为广义解析函数边值问题，这是把函数论与偏微分方程结合起来的一个方向。

Five of analytic functions equivalent description解析函数的五种等价叙述Analytic function ：Definition 1. A function ()z f of the complex variable z is analytic in an open set if it has a derivative at each point in that set 。

2. If we should speak of a function ()z f that is analytic in a set S which is not open , it is to be understood that ()z f is analytic in an open set containing S 。

3. In particular , ()z f is analytic at a point z 0if it isanalytic throughout some neighborhood of z 0。

Equivalent description:定理 1 函数()()()y x i y x z f ,,νμ+=在区域D 内解析的充要条件是：二元函数(,)u x y ，(,)v x y 在区域D 内可微并且函数(,)u x y ，(,)v x y 在区域D 内满足..C R -条件。

Theorem 1 ：A function ()()()y x i y x z f ,,νμ+= is analytic in a domain D if and only if ()y x ,μ and ()y x ,ν are differentiable and satisfy the Cauchy-Riemann equations ()()y x y x yx,,νμ=，()()y x y x xy,,νμ-= at every point of D .Example : To show that the function xyi z f yxz2)(222⋅+-==isanalytic everywhere. Proof: Because xyy x y x yx 2),(,),(22=-=νμ.Thus v xyy xy x -=-===2,2μνμ.So),(),,(y x y x νμ are differentiable and satisfy theCauchy-Riemann equations, Hence xyi z f yxz2)(222⋅+-== is analytic everywhere.定理 2 函数()()()y x i y x z f ,,νμ+=在区域D 内为解析函数的充要条件是：(,)u x y 与(,)v x y 具有连续的偏导数，且满足..C R -方程。

解析函数的等价命题一、摘要本文从定义出发，逐步拓展，并且从不同角度对解析函数的等价命题进行总结，并予以简略证明，从而使得解析函数在复变函数中的重要性得以体现。

二、关键词：解析函数 C-R 条件 幂级数 积分三、引言：解析函数定义：设函数),(),()(y x iv y x u z f +=，z 在区域D 内有定义如果函数f （z ）在z0及z0的邻域内处处可导，那么称f （z ）在在z0解析。

如果f （z ）在区域D 内每一点解析，那么称f （z ）在D 内解析，或称f （z ）是D 内的一个解析函数。

四、正文：等价命题①（从f （z ）的角度来看）：f （z ）在区域D 内解析⇔ f （z ）在区域D 内可导（可微）由定义，f （z ）在z 0及z 0的邻域内处处可导，则f （z ）在区域D 内可导（可微）。

注：1． 只对区域内解析成立，函数在点上的解析性与点上的可微性是不等价的。

2． 利用此命题可直接得到初等函数在其定义区间内是解析的。

如函数2)(z z f =，z e z f =)(是初等函数，可由此等价命题来判断上述函数在整个复平面上解析。

等价命题②（从),(),()(y x iv y x u z f +=的角度来看）：f （z ）在区域D 内解析⇔),(y x u ,),(y x v 在区域D 内可微且满足C-R 方程。

证明：充分性：设),(),()(y x iv y x u z f +=iy x z +=，D z ∈ib a z f +=')(,a ,b ∈R若D z z ∈∆+则 ()()()(||)f z z f z a bi z o z +∆-=+∆+∆ )0|(|→∆z 其中0≠∆+∆=∆y i x z ，x ∆，y ∆∈R 。

所以有 |)(|)()()(z o y a x b i y b x a z f z z f ∆+∆+∆+∆-∆=-∆+另一方面，(,)(,)u x x y y u x y a x b y o +∆+∆-=∆-∆+(,)(,)v x x y y v x y b x a y o +∆+∆-=∆-∆+其中)0)()((22→∆+∆y x 。

解析函数的几个等价条件的证明及其应用通过证明，可以看出如果要将一个函数分成二部分，我们只要取对应点间的距离，比如-1和0，它们的距离为6，如果- 1和0间的距离也是6，那么这两个函数的图像都在第一象限，当然如果我们再细心观察，还会发现它们有交点。

我们可以知道，函数y=mx+b的图像上任何一点m，均可以用y=mx+b和b作为两个变量x和m的坐标表示出来。

若a和b是对应点（相互对称），则上式可写成：mx+b=ax+m-b=mx+m-b+6-2b=mx+m-b+6-b-4-b=mx+m-b+2=mx+m-b+2-b+4=mx-b-4+4=mx-b+4+4-b=mx-b+4+4-b=mx-b+4-4=mx-b+4+4-b=mx-b+4+4-b。

（注意：不要把-4和4带入上述公式中）（ 1）如果函数f： [-1， 0];[-3， 3]连续，则f(0)=f(-1)=f(3)=0。

（ 2）如果，函数f： [-1， 0];[-3， 3]连续，且f(-1)=0， f(3)=1，则函数f： [-1， 0];[-3， 3]存在最小值，最小值为f(-1)=0。

（ 3）如果，函数f： [-1， 0];[-3， 3]连续，且f(-1)=0， f(3)=1，则函数f： [-1， 0];[-3， 3]存在最大值，最大值为f(-1)=0。

（注意：不要把4和4带入上述公式中）（ 4）如果，函数f： [-1， 0];[-3， 3]存在最大值，且f(-1)=0，f(3)=1，则函数f： [-1， 0];[-3， 3]存在最小值，最小值为f(-1)=0。

（注意：不要把4和4带入上述公式中）这就是利用解析方程的等价条件将函数“拆开”的三种情况。

注意： f(x)=y-解析方程组，即f(x)=0-x方程无解， f(x)=0-x方程有解，其他类似。

证明这个条件需要注意以下几点：（ 1） f(x)=0-x 方程无解，所以f(x)=0-x在函数图像上任何一点均可表示为一条直线。

解析函数的各种等价条件及其应用1引言解析函数是复变函数研究的主要对象，对于解析函数的各种等价条件及其应用前人已做了不少很详细的研究．在复变函数中，关于复变函数解析的充要条件除了用导数的定义及公式引出外，还有一个十分重要的柯西—黎曼方程，另外还可以借助很多相关定理，如柯西积分定理及其逆定理，再结合积分、级数等相关知识来刻画．因此，如何灵活应用复变函数解析方面的知识显的至关重要．下面就从解析函数的定义出发来刻画解析函数的各种等价条件．2 解析函数的定义及其相关定理2.1解析函数的定义用复变函数在一点极限的概念，函数连续定义以及函数在一点可微的概念引出解析函数在一点、一个区域和闭域的定义，主要有如下定义定义 1[]()12829P -P 如果函数)(z f 在0z 点及0z 点的某个邻域内处处可微，称函数)(z f在0z 点解析．定义2[]()249P 如果函数)(z f 在区域D 内可微，则称)(z f 为区域D 内的解析函数，或称函数)(z f 在区域D 内解析.定义3[]()343P 若存在区域G ，使闭区域D G ⊂，且函数)(z f 在区域G 内解析，则称)(z f 在闭区域D 上解析．由定义可知，解析函数这一重要概念，是与相伴区域密切联系的，可以这样说，函数在区域内解析与函数在区域内可微是等价的．但须注意，函数在一点处解析和可微是两个不等价的概念，即函数在一点解析必定在这一点可微，反之则不成立．2.2 解析函数的相关定理 定理1[]()42122P -P （柯西-黎曼方程） 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内有定义，那么函数)(z f 在点iy x z +=可微的充分与必要条件是：（1）在点iy x z +=，),(y x u 及),(y x v 可微； （2）,u v u vx y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂．简称..-C R 方程..-C R 方程是判断复变函数解析的必要条件．在哪个区域内不满足它，函数在哪个区域就不解析．而在现行教材中，判断函数解析的等价条件还有如下定理定理2[]()253P 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内有定义，且在D 内一点iy x z +=可微，则必有（1）偏导数y x y x v v u u ,,,在点),(y x 存在；（2）),(y x u ，),(y x v 在点),(y x 满足..-C R 方程．定理3[]()256P 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析的充分条件是（1）y x y x v v u u ,,,在D 内连续；（2）),(),,(y x v y x u 在D 内满足..-C R 方程．并且()u v v u u u v v f z i i i i x x y y x y y x∂∂∂∂∂∂∂∂'=+=-=-=+∂∂∂∂∂∂∂∂ 定理4[]()2104P 设函数)(z f 在z 平面上的单连通区域D 内解析， C 为D 内任一条周线，则⎰=Cdz z f 0)(．称为柯西积分定理．判断单值复变函数)(z f 在区域G 中解析，除了用导数的定义及公式外，还可以借助有关定理，如柯西积分定理的逆定理——摩勒拉定理．定理5[]()2128P 若函数)(z f 在单连通区域D 内连续，且对D 内任一周线C ，有⎰=Cdz z f 0)(，则)(z f 在D 内解析．称为摩勒拉定理．定理6[]()2132P 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析，则在区域D 内),(y x v 必为),(y x u 的共轭调和函数．定理7[]()2132133P -P 设),(y x u 是在单连通区域D 内的调和函数，则存在由()()()00,,,x y x y u uv x y dx dy C y x∂∂=-++∂∂⎰所确定的函数),(y x v ，使()u iv f x +=是D 内的解析函数． 定理8[]()2158159P -P （1）幂级数0()()nn n f z c z a ∞==-∑ （1.1）的和函数)(z f 在其收敛R a z K <-:（0R <≤+∞）内解析． （2）在K 内，幂级数（1.1）可以逐项求导至任意阶，即()()()()1!12p p p fz p c p pc z a +=++-+()()()11n pn n n n p c z a -+--+-+．()1,2,p = （1.2）还有，（1.1）和（1.2）的收敛半径R 相同．(3)()()()0,1,2,!p p f a c p p ==．在研究解析函数时，幂级数之所以重要，还在于定理8的逆命题也是一个重要定理．即有定理9[]()2159162P -P （泰勒定理） 设函数)(z f 在区域D 内解析， D a ∈，只要圆R a z K <-:含于D ．则)(z f 在K 内能展成幂级数0()()nn n f z c z a ∞==-∑，其中系数()11()()2()!n n n f f a c d i a n ρζζπζ+Γ==-⎰ （:a ρζρΓ-=，R <<ρ0；0,1,2,n =）且展式是惟一的．3 解析函数的各种等价条件及其应用3.1 等价条件1及其应用条件1 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析的充要条件是（1）二元函数),(),,(y x v y x u 在区域D 内可微； （2）),(),,(y x v y x u 在D 内满足..-C R 方程． 由定理1和定义2可知该条件成立． 用此条件可以判断函数在某区域是否解析． 例1 判断函数()()322333f z x xy i x y y=-+-的解析性． 解 由()()()()3223,,33f z u x y v x y x xy i x y y =+=-+-得到()()3223,3,,3u x y x xy v x y x y y =-=-在复平面上可微又因为222233,33,6,6u v u vx y x y xy xy x y y x∂∂∂∂=-=-=-=∂∂∂∂显然),(),,(y x v y x u 满足..-C R 方程 由条件1可知，函数)(z f 在复平面上解析例2 证明函数()f z 在0z =处不解析 证明 设iy x z +=，),(),()(y x iv y x u z f += 则()(),,0u x y v x y =在点0z =处()()000,00,00limlim 0x x z u x u u x x x∆→∆→=∆-∂===∂∆∆()()0000,0,00limlim 0y y z u y u u y x y ∆→∆→=∆-∂===∂∆∆0,0z z v v xy==∂∂==∂∂可见函数()f z 在0z =处满足..-C R 方程． 令i z re θ∆=∆ 则()()00000lim lim lim i i z z z f z f f z z e r e θθ∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆∆极限随θ的不同而不同，故函数()f z 在0z =不可微． 因此函数()f z 在0z =不解析这个例子也说明了..-C R 方程是函数解析的必要条件而非充分条件． 3.2 等价条件2及其应用二元函数的可微性可以通过偏导数连续判断出来，因此由条件1出发，再应用解析函数的无穷可微性可得到解析函数的等价条件，也就是根据解析函数任意阶导数存在，可以得到应用起来更方便的条件．条件2 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析的充要条件是（1）y x y x v v u u ,,,在D 内连续；（2）),(),,(y x v y x u 在D 内满足..-C R 方程． 证明 由定理3推出充分性．必要性 由定理2知，条件（2）的必要性成立，再由解析函数的无穷可微性，即解析函数的导数还是解析函数， 可知()f z '必在D 内连续．所以y x y x v v u u ,,,必在D 内连续．证毕由于复变函数的表示法不同，我们可以根据题目中的具体函数而灵活应用．条件2在证明复变函数解析性方面有很广泛的应用，是复变函数论中判断函数是否解析的最重要的方法之一．例3 判断函数zzz f -=1)(的解析性． 解 令θi re z =则r r ir r z f θθθθ2sin sin 2cos cos )(---=又因为()cos cos 2,r u r r θθθ-=，()sin sin 2,r v r rθθθ-=-2cos r u r θ-=，2sin r v r θ=，r r u --=θθθ2sin 2sin ，cos 2cos 2r v rθθθ+=- 四个偏导数处处不满足..-C R 方程，所以)(z f 在z 平面上处处不解析．例4 证明函数)sin (cos )(y i y e z f x-=在z 平面上解析． 证明 因y e y x u x cos ),(=，y e y x v xsin ),(-=故y e u x x cos =，y e v x x sin -=，y e u x y sin -=，y e v xy cos -=在z 平面上处处连续，且x y u v =，y x u v -= 所以)(z f 在z 平面上解析． 3.3 等价条件3及其应用我们知道，复积分的值与路径无关的条件，或沿区域内任何闭曲线积分值为零的条件，可能与被积函数的解析性及解析区域的单连通性有关，也就是定理3，这是研究复变函数的钥匙．我们可以利用此定理及其逆定理得出函数解析的一个等价条件．条件3 函数)(z f 在区域D 内解析的充要条件是（1）)(z f 在D 内连续；（2）对任一周线C ，只要C 及其内部包含于D 内，就有⎰=Cdz z f 0)(．证明 由定理4可知条件3的必要性成立．充分性 区域ρξ<-0:z K 是D 内任一点0z 的一个邻域．只要ρ充分小． 根据定理5，就知道函数)(z f 在圆K 内解析．又因为0z 为G 内任一点，所以函数)(z f 在G 内解析．证毕由条件3可知，如果函数)(z f 在单连通区域D 内解析，那么函数)(z f 在D 内的任何一条封闭曲线C 的积分值为零．例5 求积分⎰-C z dz3的值，其中C 为正向圆周2=z ．解 因为被积函数1()3f z z =-只有一个奇点3=z ．而3=z 在2=z 的外部，所以)(z f 在2z ≤内解析．由条件3得03C dzz =-⎰．由定理4可知，如果在单连通区域D 内函数)(z f 解析，则沿D 内任一曲线L 的积 分()Lf d ζζ⎰只与其起点和终点有关，而与积分路径无关，因此，结合数学分析中积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式），若()z Φ为函数()f z 在单连通区域D 内的任意一个原函数， 则()()()0zz f d z z ζζ=Φ-Φ⎰ （z ，0zD ∈）例6 计算积分()2sin Czz dz +⎰，其中C 为摆线:()()sin ,1cos x a y a θθθθ=-=-从0θ=到2θπ=的一段．解 因为被积函数()2sin f z z z =+在z 平面上解析，所以积分只与路径的起点、终点有关，而与路径无关．当0θ=时，0z = 当2θπ=时，2z x a π== 故C 可以简化成沿实轴的路径 所以()()222sin sin aCzz dz xx dx π+=+⎰⎰()2333018cos cos 2133ax x a a πππ⎡⎤=-=-+⎢⎥⎣⎦ 从例题可以看出此条件适合于被积函数实部与虚部的积分比较好计算的情况． 3.4 等价条件4及其应用复变函数中，满足..-C R 方程是函数解析的一个重要条件，而解析函数与共轭调和函数之间也存在很多联系．因此，我们可以根据共轭调和函数的定义及定理推导函数解析的等价条件．定义4[]()2131P 如果二元实函数),(y x H 在区域D 内有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程0xx yyH H H ∆=+=，则称),(y x H 为区域D 内的调和函数，其中2222x y∂∂∆≡+∂∂．定义 5[]()2131P 在区域D 内满足..-C R 方程的两个调和函数),(),,(y x v y x u 中，),(y x v 称为),(y x u 在区域D 内的共轭调和函数．在此，u 与v 不可调换顺序．根据定理6和定理7我们可以得出解析函数的又一个等价条件条件4 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析的充要条件是在区域D 内),(y x v 是),(y x u 的共轭调和函数．由条件4及相关定义，可知，如果已知一个调和函数),(y x u ，我们可求得它的共轭调和函数),(y x v ，从而构成一个解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=．同理，如果已知一个调和函数),(y x v ，我们也可以求出它的共轭调和函数),(y x u ，构成一个解析函数．这类问题，一般是用..-C R 方程去求解．我们看下面的例子例7 验证233),(xy x y x u -=是z 平面上的调和函数，求解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=使0)0(=f ．解 2233y x u x -=，xy u y 6-=，x u xx 6=，6yy u x =-因为0xx yy u u +=所以 ),(y x u 是z 平面上的调和函数． 由..-C R 方程．2233y x v u x y ==-得出()()()22,()33x v x y u dy x x y dy x ϕφ=+=-+⎰⎰所以 ()23,3()v x y x y y x ϕ=-+．再由..-C R 方程得'6()6x y v xy x xy u ϕ=+==-23(,)3v x y x y y c =-+ 所以()()3f z i z c =+因此3(0)(0)0f i c =+=,得0=c 所以解析函数为3()f z z =．但有时此方法较多且繁，我们还可以通过下面这种比较简便的方法来解决．解 由于),(y x u 为调和函数． 所以c dy y x xydx dy y x xydx y x v y x x x +-++-+=⎰⎰)33(6)33(6),(),()0,(22)0,()0,0(22c y y x c dy y x y+-=+-=⎰322023)33(．可得3(0)(0)0f i c =+=,得0=c 所以解析函数为3()f z z =．3.5 等价条件5及其应用综合定理8和定理9可得出刻画解析函数的又一等价条件条件5 函数)(z f 在区域D 内解析的充要条件是)(z f 在D 内任一点a 的邻域内可展成a z -的幂级数．例8 将ze 展成z 的幂级数，并指明其收敛范围． 解 由于()()1n zzz z ee ====，0,1,2,n=所以211!2!!n z z z z e n =+++++ （*）注意到ze 在整个z 平面上处处解析，故ze 的解析区域的边界为∞， 而原点到∞的距离R =+∞所以（*）式在整个z 平面上处处成立注意任意一个具有非零收敛半径的幂级数在其收敛圆内收敛于一个解析函数．例9将函数3)(z z f ==⎭按1-z 的幂展开，并指明其收敛范围． 解31333)]1(1[1)1(1-+=-+=z z z])1(!)131()131(311[2311n n z n n i -+--++-=∑∞=收敛范围为11<-z4 总结综上所述，解析函数的各种等价条件对我们更深刻地理解复变函数提供了很大的帮助.若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内满足..-C R 方程，而且(),u x y 和(),v x y 具有一阶连续偏导数，那么函数()f z 在D 内解析，也就是利用条件1和条件2可用来判断函数在某区域内的解析性和不解析性；条件3可用来计算某些复变函数的积分，特别是一些被积函数的实部和虚部容易被计算的积分；另外，若已知一个调和函数，求满足特定条件的解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的问题，可利用条件4来分析解决；最后条件5则根据函数()f z 在区域D 内任一点是否可以展成z a -形式的幂级数来判断函数的解析性，并根据相关性质为我们求幂级数的收敛区域提供了一种更为简单的方法．在证明和计算过程中，我们可以根据题目的具体要求灵活选择适当的方法解决，使问题简单化．得注意的是，在条件3的应用中都是被积函数在包围积分路径的单连通区域内解析或有一个奇点的情况下进行积分的，解题时应注意．通过刻画解析函数的各种等价条件，使我们知道了解析函数在复变函数中的重要性，它几乎贯穿了复变函数论的始终，因此，更进一步探讨解析函数的各种等价条件是非常必要的．参考文献：[1] 盖云英，包革军．复变函数与积分变换[M] ．北京：科学教育出版社，2001 [2] 钟玉泉．复变函数论[M]（第三版）．北京：高等教育出版社，2004 [3] 杨林生．复变函数[M]．高等教育出版社，2001[4] 余家荣．复变函数[M]（第四版）．北京：高等教育出版社，2004 [5] 马立新．复变函数学习指导[M]．山东：山东大学出版社，2004 [6] 郑建华．复变函数[M]．北京：清华大学出版社，2005[7] 薛以峰，李红英，翟发辉．复变函数与积分变换[M]．华东理工大学出版社，2001 [8] 李建林． 复变函数与积分变换 导教⋅导学⋅导考[M]．西北工业大学出版社，2001 [9] Marsden JE ．1973．Basic Complex Analysis ．San Francisco ：WH Freeman and Company。