中考专题复习(一)——三角函数、含参分式方程与不等式(附详细答案)

第23讲 三角函数的概念模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；2．掌握任意角的三角函数值在各象限的符号；3．会利用任意角的三角函数的定义求值；4．掌握公式一并会应用.知识点 1 任意角的三角函数的定义1、利用单位圆定义任意角的三角函数设α是一个任意角，它的终边OP 与单位圆交于点()y x P ,．三角函数定义记作符号表示正弦函数点P 的纵坐标sin αsin y α=余弦函数点P的横坐标cosαcos x α=正切函数点P 的纵坐标与横坐标的比值tan αtan (0)yx xα=≠我们将正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数sin ,y x x R=∈余弦函数cos ,y x x R=∈正切函数()tan ,2y x x k k Z ππ=≠+∈2、用角的终边上点的坐标表示三角函数如图，设若α是一个任意角，它的终边上任意一点P （不与原点重合）的坐标为(),x y ，点P 到原点的距离为(r r =，则sin y rα=，cos x r α=，tan y x α=．【注意】三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上点P 的位置无关．知识点 2 三角函数的定义域和函数值的符号1、三角函数的定义域三角函数定义域sin α{}R αα∈cos α{}R αα∈tan α,2k k Z πααπ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【说明】单位圆上,x y 的取值范围是[1,1]-，根据正弦函数、余弦函数的定义，我们可以得到正弦函数、余弦函数的值域．2、三角函数值在各象限的符号根据三角函数的定义以及单位圆上点的位置（在哪个象限），可以得到正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各个象限的符号，如下图．由于原点到角的终边上任意一点的距离r 是正值，根据三角函数的定义，值（1）正弦函数值的符号取决于纵坐标y 的符号；（2）余弦函数值的符号取决于横坐标x 的符号；（3）正切函数值的符号取决于由,x y 的符号共同决定，即,x y 同号为正，异号为负．【三角函数值的符号记忆】“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．其含义是：第一象限中各三角函数值全是正数，第二象限中只有正弦值为正数，第三象限中只有正切值为正，第四象限中只有余弦值为正．知识点 3 终边相同的角的三角函数值1、公式一：由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一：απαsin )2sin(=+k απαcos )2cos(=+k απαtan )2(tan =+k 其中Zk ∈注意：（1）利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值．（2公式一统一概括为f (k ·2π＋α)＝f (α)(k ∈Z)，或f (k ·360°＋α)＝f (α)(k ∈Z)．其特征是：等号两边是同名函数，且符号相同，即同名同号．2、特殊角的三角函数值0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°6π4π3π2π32π43π65ππ23πsin α21222312322210－1cos α12322210-21-22-23－10tan α33133-－133-知识点 4 三角函数定义的应用1、已知角α的终边上一点P 的坐标，求角α的三角函数值方法：先求出点P 到原点的距离，再利用三角函数的定义求解；2、已知角α的一个三角函数值和终边上的点P 的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值方法：先求出点P 到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题；3、已知角α的终边所在的直线方程（y kx =，0k ≠），求角α的三角函数值方法：先设出终边上的一点()(),0P a ka a ≠，求出点P 到原点的距离，再利用三角函数的定义求解（注意α的符号，对α分类讨论）考点一：由终边上的点求三角函数值例1．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴非负半轴上，点()6,8P --为角α终边上一点，则cos α=（ ）A ．45B ．45-C ．35D ．35-【变式1-1】（23-24高一下·辽宁·月考）若角α的终边经过点()1,2-，则3232sin 3cos sin 6cos 2sin cos αααααα++=-（ ）A ．BC ．12D ．110【变式1-2】（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知钝角α的终边上的一点()4,3k k -，则sin α=.【变式1-3】（23-24高一下·河北张家口·月考）已知角α的终边落在直线12y x =-上，求sin α，cos α，tan α的值．考点二：由三角函数值求终边上点的参数例2.（23-24高一上·广东揭阳·月考）在平面直角坐标系中，点M (3,)m 在角α的终边上，若sin α=m =（ ）A ．6-或1B ．1-或6C ．6D ．1【变式2-1】（23-24高一下·河南南阳·期中）已知角θ的终边经过点(,1)P m -，且3cos 5θ=-，则m =（ ）A ．43-B ．34-C ．43±D ．34±【变式2-2】（23-24高一下·江西抚州·期中）已知角α的终边经过点()3,m -，若2tan 3α=，则sin α=（ ）A ．BC ．D 【变式2-3】（23-24高一上·广东肇庆·期末）已知角α的终边经过点(5,)P t ，且12sin 13α=-，则tan α=.考点三：判断三角函数值的符号例3.（23-24高一下·云南保山·期中）（多选）下列选项中，符号为负的是（ ）A ．3πsin2B ．3πcos2C ．tan 2D ．cos2【变式3-1】（23-24高一下·辽宁大连·月考）已知()cos2,tan1P ，则点P 所在象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【变式3-2】（23-24高一下·江西南昌·月考）已知角,A B 是三角形ABC 的两个内角，则点()cos ,cos P A B （ ）A ．不可能在第一象限B ．不可能在第二象限C ．不可能在第三象限D ．不可能在第四象限【变式3-3】（23-24高一下·贵州遵义·月考）（多选）若角α的终边在第三象限，则sin 2cos 3tan 222sincostan222αααααα+-的值可能为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．4-考点四：由符号确定角所在的象限例4.（23-24高一上·宁夏吴忠·期末）若cos tan 0θθ<，则θ是第象限角．【变式4-1】（23-24高一下·北京·期中）若θ满足sin 0,tan 0θθ<>，则θ的终边在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【变式4-2】（22-23高一下·山西大同·月考）已知 sin cos 0αα<，且cos 0α>，则角α的终边位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【变式4-3】（23-24高一下·上海·月考）若θ终边不在坐标轴上，且cos cos sin sin 1θθθθ+=-，则θ在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点五：圆上的动点与旋转点例5.（23-24高一上·安徽六安·期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，动点P 、Q 从点()1,0A 出发在单位圆上运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π12弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转11π12弧度，则P 、Q 两点在第4次相遇时，点P 的坐标是（）A ．1,2⎛ ⎝B ．12⎛ ⎝C ．12⎛- ⎝D ．12⎛- ⎝【变式5-1】（23-24高一上·湖北荆州·期末）单位圆上一点P 从()0,1出发，逆时针方向运动π6弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为（ ）A ．12⎛- ⎝B ．12⎫⎪⎪⎭C ．21⎫-⎪⎪⎭D ．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【变式5-2】（23-24高一上·福建莆田·期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，动点P 、Q 从点()1,0A 出发在单位圆上运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π12弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转11π12弧度，则P 、Q 两点在第1804次相遇时，点P 的坐标是 .【变式5-3】（22-23高一下·山西忻州·开学考试）在直角坐标系xOy 中，若点P 从点()3,0出发，沿圆心在原点，半径为3的圆按逆时针方向运动11π6到达点Q ，则点Q 的坐标为（ ）A ．32⎛⎫⎪⎝⎭B ．32⎛- ⎝C ．32⎫-⎪⎪⎭D ．3,2⎛ ⎝考点六：诱导公式一的应用例6.（23-24高一下·江西吉安·月考）sin300cos0︒︒的值为（ ）A ．0B ．12C ．12-D ．【变式6-1】（23-24高一下·黑龙江绥化·月考）()sin 1050-︒=（ ）A ．12B C ．12-D ．【变式6-2】（22-23高一下·辽宁葫芦岛·期末）17sin4π的值为（ ）A ．BC ．D 【变式6-3】（23-24高一下·河南南阳·月考）29πsin 3⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．12-C D ．12一、单选题1．（23-24高一下·河南·月考）若角α的终边经过点(P -，则sin α=（ ）A B ．C D ．2．（23-24高一下·贵州仁怀·月考）()cos 300-︒的值（ ）A ．12-B ．CD ．123．（23-24高一下·河南南阳·期末）已知角α的终边经过点()()4,0m m ≠，且sin 5mα=，则m =（ ）A ．3B ．3±C ．5D ．5±4．（23-24高一下·广西桂林·月考）若角α的终边经过点()1,2sin A α-，且()0,πα∈，则α=（ ）A ．π6B ．π3C ．5π6D ．2π35．（23-24高一下·北京·月考）已知角α终边上有一点(2sin 3,2cos3)P -，则α为（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角6．（23-24高一上·浙江杭州·月考）点P 从()0,1-出发，沿着单位圆的边界顺时针运动8π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为（ ）A ．12⎫⎪⎪⎭B ．12⎛ ⎝C ．12⎛- ⎝D ．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭二、多选题7．（23-24高一下·江西吉安·月考）下列函数值中，符号为负的为（ ）A ．7sin π3B ．πcos 4⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．2π2πsincos 33D ．tan28．（23-24高一上·福建泉州·月考）若角α的终边经过点()3,4(0)P t t t ->，则下列结论正确的是（ ）A ．α是第二象限角B ．α是钝角C ．4tan 3α=-D ．点()cos ,sin αα在第二象限三、填空题9．（23-24高一上·陕西咸阳·月考）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴上，终边与单位圆交于第四象限的点P ，且点P 的横坐标为12，则sin α= ．10．（23-24高一下·河南·月考）已知角θ的终边经过点(4,)P m ，若sin θ=，则实数m =．11．（23-24高一上·内蒙古兴安盟·期末）已知tan 0x <且cos 0x <，则x 的终边在第 象限.四、解答题12．（23-24高一下·江西宜春·月考）已知角α的终边在直线y x =上，求sin cos αα+的值．13．（23-24高一上·云南昆明·月考）在平面直角坐标系xOy 中，单位圆221x y +=与x 轴的正半轴及负半轴分别交于点A ，B ，角α的始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆交于x 轴下方一点P ．(1)如图，若120POB ∠=︒，求点P 的坐标；(2)若点P 的横坐标为sin α的值．第23讲 三角函数的概念模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；2．掌握任意角的三角函数值在各象限的符号；3．会利用任意角的三角函数的定义求值；4．掌握公式一并会应用.知识点 1 任意角的三角函数的定义1、利用单位圆定义任意角的三角函数设α是一个任意角，它的终边OP 与单位圆交于点()y x P ,．三角函数定义记作符号表示正弦函数点P 的纵坐标sin αsin y α=余弦函数点P 的横坐标cos αcos x α=正切函数点P 的纵坐标与横坐标的比值tan αtan (0)yx xα=≠我们将正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数sin ,y x x R=∈余弦函数cos ,y x x R=∈正切函数()tan ,2y x x k k Z ππ=≠+∈2、用角的终边上点的坐标表示三角函数如图，设若α是一个任意角，它的终边上任意一点P （不与原点重合）的坐标为(),x y ，点P 到原点的距离为(r r =，则sin y rα=，cos x r α=，tan y x α=．【注意】三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上点P 的位置无关．知识点 2 三角函数的定义域和函数值的符号1、三角函数的定义域三角函数定义域sin α{}R αα∈cos α{}R αα∈tan α,2k k Z πααπ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【说明】单位圆上,x y 的取值范围是[1,1]-，根据正弦函数、余弦函数的定义，我们可以得到正弦函数、余弦函数的值域．2、三角函数值在各象限的符号根据三角函数的定义以及单位圆上点的位置（在哪个象限），可以得到正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各个象限的符号，如下图．由于原点到角的终边上任意一点的距离r 是正值，根据三角函数的定义，值（1）正弦函数值的符号取决于纵坐标y 的符号；（2）余弦函数值的符号取决于横坐标x 的符号；（3）正切函数值的符号取决于由,x y 的符号共同决定，即,x y 同号为正，异号为负．【三角函数值的符号记忆】“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．其含义是：第一象限中各三角函数值全是正数，第二象限中只有正弦值为正数，第三象限中只有正切值为正，第四象限中只有余弦值为正．知识点 3 终边相同的角的三角函数值1、公式一：由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一：απαsin )2sin(=+k απαcos )2cos(=+k απαtan )2(tan =+k 其中Zk ∈注意：（1）利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值．（2公式一统一概括为f (k ·2π＋α)＝f (α)(k ∈Z)，或f (k ·360°＋α)＝f (α)(k ∈Z)．其特征是：等号两边是同名函数，且符号相同，即同名同号．2、特殊角的三角函数值0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°6π4π3π2π32π43π65ππ23πsin α021222312322210－1cos α12322210-21-22-23－10tan α33133-－133-知识点 4 三角函数定义的应用1、已知角α的终边上一点P 的坐标，求角α的三角函数值方法：先求出点P 到原点的距离，再利用三角函数的定义求解；2、已知角α的一个三角函数值和终边上的点P 的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值方法：先求出点P 到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题；3、已知角α的终边所在的直线方程（y kx =，0k ≠），求角α的三角函数值方法：先设出终边上的一点()(),0P a ka a ≠，求出点P 到原点的距离，再利用三角函数的定义求解（注意α的符号，对α分类讨论）考点一：由终边上的点求三角函数值例1．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴非负半轴上，点()6,8P --为角α终边上一点，则cos α=（ ）A ．45B ．45-C ．35D ．35-【答案】D【解析】因为点()6,8P --为角α终边上，故3cos 5α==-，故选：D.【变式1-1】（23-24高一下·辽宁·月考）若角α的终边经过点()1,2-，则3232sin 3cos sin 6cos 2sin cos αααααα++=-（ ）A．BC ．12D ．110【答案】D【解析】因为角α的终边经过点()1,2-，所以sin α==cos α==所以3232sin 3cos sin 6cos 2sin cos αααααα++-3232311065525⎛⎝⎭=+ ⎛⎫⎝⎭-⨯ ⎪⎝⎭⎝⎝⎭=-⎭.故选：D【变式1-2】（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知钝角α的终边上的一点()4,3k k -，则sin α= .【答案】35/0.6【解析】因为钝角α的终边上的一点()4,3P k k -，所以0k <，则5OP k =-，故33sin 55k k α-==-，故答案为：35【变式1-3】（23-24高一下·河北张家口·月考）已知角α的终边落在直线12y x =-上，求sin α，cos α，tan α的值．【答案】答案见解析【解析】因为角α的终边落在直线12y x =-上，而直线即过第二象限也过第四象限，当角α的终边在第二象限时，在直线上取一点()2,1-，则11sin tan 22ααα======--，当角α的终边在第四象限时，在直线上取一点()2,1-，则11sin tan22ααα-======-.考点二：由三角函数值求终边上点的参数例2.（23-24高一上·广东揭阳·月考）在平面直角坐标系中，点M (3,)m 在角α的终边上，若sin α=m =（ ）A ．6-或1B ．1-或6C ．6D ．1【答案】C【解析】因点M (3,)m 在角α的终边上，则sin α==0m >，解得，6m =.故选：C.【变式2-1】（23-24高一下·河南南阳·期中）已知角θ的终边经过点(,1)P m -，且3cos 5θ=-，则m =（ ）A ．43-B ．34-C ．43±D ．34±【答案】B【解析】由题知3cos 5θ==-，解得34m =-．故选：B.【变式2-2】（23-24高一下·江西抚州·期中）已知角α的终边经过点()3,m -，若2tan 3α=，则sin α=（ ）A ．BC ．D 【答案】A【解析】因为角α的终边经过点()3,m -，且2tan 3α=，所以2tan 33m α=-=，解得2m =-，所以sin α=故选：A.【变式2-3】（23-24高一上·广东肇庆·期末）已知角α的终边经过点(5,)P t ，且12sin 13α=-，则tan α= .【答案】125-【解析】由角α的终边经过点(5,)P t ，可得r OP ==因为12sin 13α=-1213=-，所以12t =-，所以12tan 5α=-.故答案为：125-.考点三：判断三角函数值的符号例3.（23-24高一下·云南保山·期中）（多选）下列选项中，符号为负的是（ ）A ．3πsin2B ．3πcos2C ．tan 2D ．cos2【答案】ACD 【解析】3πsin12=-，3πcos 02=，故A 正确，B 错误；因为π2π2<<，是第二象限角，所以tan 20<，cos 20<，故C 、D 正确.故选：ACD ．【变式3-1】（23-24高一下·辽宁大连·月考）已知()cos2,tan1P ，则点P 所在象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】180157.3π=≈，故tan10>；18022114.6π=⨯≈，故cos2<0.故点P 在第二象限.故选：B【变式3-2】（23-24高一下·江西南昌·月考）已知角,A B 是三角形ABC 的两个内角，则点()cos ,cos P A B （ ）A ．不可能在第一象限B ．不可能在第二象限C ．不可能在第三象限D ．不可能在第四象限【答案】C【解析】对于A ，当角,A B 是锐角时，cos 0,cos 0A B >>，点P 在第一象限，错误；对于B ，当角A 是钝角，角B 是锐角时，cos 0,cos 0A B <>，点P 在第二象限，错误；对于C ，因三角形最多有一个钝角，故cos A 与cos B 不可能同时小于0，即点P 不可能在第三象限，正确；对于D ，当角A 是锐角，角B 是钝角时，cos 0,cos 0A B ><，点P 在第四象限，错误.故选：C【变式3-3】（23-24高一下·贵州遵义·月考）（多选）若角α的终边在第三象限，则sin 2cos 3tan 222sincostan222αααααα+-的值可能为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．4-【答案】BC【解析】由角α的终边在第三象限，得ππ2π2π,Z 2k k k α-+<<-+∈，则ππππ,Z 224k k k α-+<<-+∈，因此2α是第二象限角或第四象限角，当2α是第二象限角时，sin2cos 3tan 22212(3)2sincostan222αααααα+-=---=，当2α是第四象限角时，sin2cos 3tan 22212(3)4sincostan222αααααα+-=-+--=.故选：BC考点四：由符号确定角所在的象限例4.（23-24高一上·宁夏吴忠·期末）若cos tan 0θθ<，则θ是第象限角．【答案】三或四【解析】由于cos tan 0θθ<，所以cos tan θθ，一正一负，当θ是第一象限角时，cos tan θθ，均为正数，不符合，当θ是第二象限角时，cos tan θθ，均为负数，不符合，当θ是第三，或者第四象限角时，cos tan θθ，一正一负，符合，故答案为：三或四【变式4-1】（23-24高一下·北京·期中）若θ满足sin 0,tan 0θθ<>，则θ的终边在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】由sin 0θ<可知θ的终边在第三象限或第四象限或y 轴负半轴上，由tan 0θ>，可知θ的终边在第一象限或在第三象限，则θ的终边在第三象限，故选：C.【变式4-2】（22-23高一下·山西大同·月考）已知 sin cos 0αα<，且cos 0α>，则角α的终边位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】因为sin cos 0αα<，且cos 0α>,所以sin 0α<，即角α的终边位于第四象限.故选:D.【变式4-3】（23-24高一下·上海·月考）若θ终边不在坐标轴上，且cos cos sin sin 1θθθθ+=-，则θ在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】因为()22cos cos sin sin 1sin cos θθθθθθ+=-=-+,所以sin sin cos cos ,θθθθ=--=，所以cos 0,sin 0θθθ≤≤，终边不在坐标轴上所以θ在第三象限.故选：C.考点五：圆上的动点与旋转点例5.（23-24高一上·安徽六安·期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，动点P 、Q 从点()1,0A 出发在单位圆上运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π12弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转11π12弧度，则P 、Q 两点在第4次相遇时，点P 的坐标是（ ）A ．1,2⎛ ⎝B ．12⎛ ⎝C ．12⎛- ⎝D ．12⎛- ⎝【答案】C【解析】相遇时间为π11π42π81212t ⎛⎫=⨯÷+= ⎪⎝⎭秒，故P 转过的角度为π2π8123⨯=，其对应的坐标为2π2πcos ,sin 33⎛⎫ ⎪⎝⎭，即12⎛- ⎝.故选：C【变式5-1】（23-24高一上·湖北荆州·期末）单位圆上一点P 从()0,1出发，逆时针方向运动π6弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为（ ）A ．12⎛- ⎝B ．12⎫⎪⎪⎭C ．21⎫-⎪⎪⎭D ．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】点P 从()0,1出发，沿单位圆逆时针方向运动π6弧长到达Q 点，所以π23π2π6QOx ∠=+=， 所以cos ,sin 32π32πQ ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中1cos,sin 3232π2π=-=Q 点的坐标为12⎛- ⎝.故选：A.【变式5-2】（23-24高一上·福建莆田·期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，动点P 、Q 从点()1,0A 出发在单位圆上运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π12弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转11π12弧度，则P 、Q 两点在第1804次相遇时，点P 的坐标是 .【答案】12⎛- ⎝【解析】相遇时间为π11π18042π36081212t ⎛⎫=⨯÷+= ⎪⎝⎭秒，故P 转过的角度为π2π3608300π123⨯=+，故对应坐标为2π2πcos ,sin 33⎛⎫ ⎪⎝⎭，即12⎛- ⎝.故答案为：12⎛- ⎝【变式5-3】（22-23高一下·山西忻州·开学考试）在直角坐标系xOy 中，若点P 从点()3,0出发，沿圆心在原点，半径为3的圆按逆时针方向运动11π6到达点Q ，则点Q 的坐标为（ ）A ．32⎛⎫⎪⎝⎭B ．32⎛- ⎝C ．32⎫-⎪⎪⎭D ．3,2⎛ ⎝【答案】C【解析】根据题意可知，作出图示如下：根据题意可得3OP =，π6POQ ∠=，作1Q Q x ⊥轴且垂足为1Q ；利用三角函数定义可得13cos OQ POQ =⨯∠=133sin 2QQ POQ =⨯∠=；又Q 点在第四象限，所以点Q 的坐标为32⎫-⎪⎪⎭.故选：C考点六：诱导公式一的应用例6.（23-24高一下·江西吉安·月考）sin300cos0︒︒的值为（ ）A ．0B ．12C ．12-D ．【答案】D【解析】()()sin300cos0sin 300360sin 60sin60︒︒=︒-︒=-︒=-︒=.故选：D ．【变式6-1】（23-24高一下·黑龙江绥化·月考）()sin 1050-︒=（ ）A ．12B C ．12-D ．【答案】A【解析】()()1sin 1050sin1050sin 336030sin 302-︒=-︒=-⨯︒-︒=︒=.故选：A 【变式6-2】（22-23高一下·辽宁葫芦岛·期末）17sin4π的值为（ ）A ．BC ．D 【答案】D【解析】17ππsinsin 4πsin 444π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭故选：D.【变式6-3】（23-24高一下·河南南阳·月考）29πsin 3⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．12-C D ．12【答案】C【解析】29πππsin sin 10πsin 333⎛⎫⎛⎫-=-+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C一、单选题1．（23-24高一下·河南·月考）若角α的终边经过点(P -，则sin α=（ ）A B ．C D ．【答案】C【解析】因为角α的终边经过点(P -，所以sin y r α===．故选：C ．2．（23-24高一下·贵州仁怀·月考）()cos 300-︒的值（ ）A ．12-B ．CD ．12【答案】D【解析】()()1cos 300cos 36060cos 602-︒=-︒+︒=︒=，故选：D 3．（23-24高一下·河南南阳·期末）已知角α的终边经过点()()4,0m m ≠，且sin 5m α=，则m =（ ）A ．3B ．3±C ．5D ．5±【答案】B【解析】因为已知角α的终边经过点()()4,0m m ≠，且sin 5m α=，所以sin 5mα==，解得3m =±，故选：B.4．（23-24高一下·广西桂林·月考）若角α的终边经过点()1,2sin A α-，且()0,πα∈，则α=（ ）A ．π6B ．π3C ．5π6D ．2π3【答案】D【解析】由三角函数定义可得sin α=因为()0,π,sin 0αα∈>，所以1=sin α=，易知，点A 在第二象限，所以2π3α=.故选：D 5．（23-24高一下·北京·月考）已知角α终边上有一点(2sin 3,2cos3)P -，则α为（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】A 【解析】依题意，π3π2<<，则sin 30,cos30><，即2sin 30,2cos30>->，所以点P 在第一象限，即α为第一象限角.故选：A6．（23-24高一上·浙江杭州·月考）点P 从()0,1-出发，沿着单位圆的边界顺时针运动8π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为（ ）A ．12⎫⎪⎪⎭B ．12⎛ ⎝C ．12⎛- ⎝D ．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由题意，以x 轴的非负半轴为始边，以Q 所在的射线OQ 为终边的最小正角为5π6，由任意角的三角函数的定义可得，Q 的坐标为5π5π(cos,sin )66，即1()2，故选：D.二、多选题7．（23-24高一下·江西吉安·月考）下列函数值中，符号为负的为（ ）A ．7sin π3B ．πcos 4⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．2π2πsincos 33D ．tan2【答案】CD【解析】7ππ2π33=+ ,7π3∴是第一象限角，7sin π03>∴，∵π4-是第四象限角，∴πcos 04⎛⎫-> ⎪⎝⎭；∵2π3是第二象限角，∴2π2πsin0,cos 033><，∴2π2πsin cos 033<；∵π2π2<<，∴2是第二象限角，∴tan20<．故选：CD.8．（23-24高一上·福建泉州·月考）若角α的终边经过点()3,4(0)P t t t ->，则下列结论正确的是（ ）A ．α是第二象限角B ．α是钝角C ．4tan 3α=-D ．点()cos ,sin αα在第二象限【答案】ACD【解析】由点()3,4(0)P t t t ->在第二象限，可得α是第二象限角，但不一定是钝角，A 正确，B 错误；44tan 33t t α==--，C 正确；由sin 0α>，cos 0α<，则点()cos ,sin αα在第二象限，D 正确.故选：ACD.三、填空题9．（23-24高一上·陕西咸阳·月考）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴上，终边与单位圆交于第四象限的点P ，且点P 的横坐标为12，则sin α= ．【答案】【解析】依题意，设点1(,),02P y y <，由221(12y +=，得y =sin α=故答案为：10．（23-24高一下·河南·月考）已知角θ的终边经过点(4,)P m ，若sin θ=，则实数m =．【答案】2-【解析】由于角θ的终边经过点(4,)P m ，由角θ正弦的定义得：sin θ=sin θ=，=，解方程得：2254m m =+，即24m =，得2m =±，0=<，则0m <，所以2m =-．故答案是：2-.11．（23-24高一上·内蒙古兴安盟·期末）已知tan 0x <且cos 0x <，则x 的终边在第 象限.【答案】二【解析】由tan 0x <，得角x 的终边所在的象限是第二、四象限，因为cos 0x <，所以角x 的终边在第二、三象限或x 轴非正半轴上，由于上述条件要同时成立，所以x 的终边在第二象限；故答案为：二四、解答题12．（23-24高一下·江西宜春·月考）已知角α的终边在直线y x =上，求sin cos αα+的值．【解析】由题意可设角α的终边上任意一点(),A x x ，则由三角函数的定义有sin cos αα===，当0x >时，sin cosαα+==当0x <时，sin cosαα⎛+=+= ⎝.故sin cos αα+=13．（23-24高一上·云南昆明·月考）在平面直角坐标系xOy 中，单位圆221x y +=与x 轴的正半轴及负半轴分别交于点A ，B ，角α的始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆交于x 轴下方一点P ．(1)如图，若120POB ∠=︒，求点P 的坐标；(2)若点P 的横坐标为sin α的值．【答案】(1)1,2⎛ ⎝；(2)【解析】（1）过P 点作PC OA ⊥于C 点，若120POB ∠=︒，则60POC ∠=︒，又1OP =，则1,2OC CP ==由题意点P 在第四象限，所以P 的坐标为1,2⎛ ⎝.（2）由题意设P y ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，∵点P 在单位圆221x y +=上，且在x 轴下方，∴221y ⎛+= ⎝，且0y <，解得y =∴sin y α==。

初中数学三角函数1、勾股定理：直角三角形两直角边 a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

a 2b 2c 24、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值； 任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

tan A cot B cot A tan Bcot-1 ~3~6、 正弦、余弦的增减性：当0°w < 90°时，sin 随 的增大而增大，cos 随 的增大而减小7、 正切、余切的增减性：当0° < <90°时，tan 随 的增大而增大，cot 随 的增大而减小。

1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）一所有未知的 边和角。

依据：①边的关系： a 2b 2c 2;②角的关系：A+B=90 °；③边角关系：三角函数的定义。

（注意：尽量避免使用中间数据和除法）2、应用举例：（1）仰角：视线在水平线上方的角； 俯角：视线在水平线下方的角（2）坡面的铅直高度 h 和水平宽度I 的比叫做坡度（坡比）。

用字母i 表示，即i y 。

坡度一 般写成1: m 的形式，如i 1:5等。

把坡面与水平面的夹角记作 （叫做坡角），那么h + i tan 。

l3、 从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。

如图 3, OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。

4、 指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。

如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30° （东北方向）， 南 偏东45° （东南方向），南偏西60° （西南方向）， 北偏西60° （西北方向）。

铅垂线*视线 ‘ 仰角水平线俯角1*视线初三数学三角函数综合试题一、填空题： 1、在 Rt △ ABC 中/C = 90°, a = 2, b = 3,则 cosA =_, sinB =_ , tanB = ___ 2、直角三角形 3、已知tan ABC 的面积为24cm 2，直角边AB 为6cm , / A 是锐角，则sinA = =—, 是锐角，贝U sin 12 + ) + cos 2(40 ° 4、 cos 2(50° — _______ ? 5、 如图1,机器人从A 点，沿着西南方向，行了个4,：2单位，至U 达 60°的方向上，贝U 原来 )—tan(30)tan(60 ° + 到原点O 在它的南偏东 保留根号).A 的坐标为B 点后观察 _ (结果 NMNC 0(2)10cm 周长为36cm 则一底角的正切值为_、3的山坡走了 50米，则他离地面 米高。

A．﹣4
B．0
C．16
D．64
{ 9．使得关于 x的不等式组 -2x≤-m2+1有解，且使得关于 y的分式方程 y1-2-m2--yy= 2有非负整数解的 -2x+1≥4m-1 所有的 m的和是（ ）
A．﹣7
B．﹣1
C．0
D．2
3
{ 10．若关于 x的不等式组
x+34-1≥x2-2有解，且关于
x+2≤2(x-a)
x的不等式组
4x≥3(x-1)
2x-x2-1＜a有且只有
4
个整数解，则符合条件的所有整数 a的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
{ 22．若整数 a是使得关于 x的不等式组 x6-1＞4x-12有且只有 2个整数解，且使得且关于 y的分式方程 6x-a≥5
2yy-+13+ a1+-y1=a有非负数解，则所有满足条件的整数 a的个数为（
）
A．0
B．﹣3
C．﹣5
D．﹣8
{ 13．已知关于
x的一元一次不等式组
4(3-xx+)+a≥2＜2-2x的解集为
x＞7，且关于
y的分式方程 ayy-+35-1=
4 3-y
的解为正整数，则满足条件的所有整数 a的和为（ ）
A．﹣3
B．﹣6
C．﹣8
D．﹣11
{ 14．若关于 x的一元一次不等式组 3x4+1＞x-1的解集为 x≤a，且关于 y的分式方程 yy--2a+ 52--2yy=1 x-a≤0 有正整数解，则所有满足条件的整数 a的和为（ ）
C．1
D．2
{ 20．若数

中考复习之方程、不等式和函数的综合一、选择题：1.下列函数中，当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而增大的有【 】 ①y=x ②y=－2x ＋1 ③1y=x- ④2y=3x A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个2.已知关于x 的方程22(x 1)(x b)2++-=有唯一实数解，且反比例函数1by x+=的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大，那么反比例函数的关系式为【 】 A. 3y x =-B. 1y x =C. 2y x =D. 2y x=- 3.已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么一次函数y bx c =+和反比例函数ay x=在同一平面直角坐标系中的图象大致是【 】A ．B ．C ． D4.二次函数2()y a x m n =++的图象如图，则一次函数y mx n =+的图象经过【 】 A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、三、四象限 5. 已知：M ，N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线1y=2x上，点N 在直线y=x+3上，设点M 的坐标为（a ，b ），则二次函数y=﹣abx 2+（a+b ）x 【 】A ．有最大值，最大值为92-B ．有最大值，最大值为92C ．有最小值，最小值为92D ．有最小值，最小值为92-二、解答题1.一辆警车在高速公路的A 处加满油，以每小时60千米的速度匀速行驶．已知警车一次加满油后，油箱内的余油量y （升）与行驶时间x （小时）的函数关系的图象如图所示的直线l 上的一部分． （1）求直线l 的函数关系式；（2）如果警车要回到A 处，且要求警车中的余油量不能少于10升，那么警车可2.“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种生活方式，某家电商场计划用11.8万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共40台，三种家电的进价和售价如下表所示：（1）在不超出现有资金前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机的数量的3倍．请问商场有哪几种进货方案？（2）在“2012年消费促进月”促销活动期问，商家针对这三种节能型)品推出“现金每购满1000元送50元家电消费券一张、多买多送”的活动．在(1)的条件下若三种电器在活动期间全部售出，商家预估最多送出消费券多少张？3.在社会主义新农村建设中，衢州某乡镇决定对A、B两村之间的公路进行改造，并有甲工程队从A村向B 村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工3天，乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下的任务有甲工程队单独完成，直到公路修通．下图是甲乙两个工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）乙工程队每天修公路多少米？（2）分别求甲、乙工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数关系式．（3）若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需几天完成？4.温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球，某制笔企业欲将n件产品运往A，B，C三地销售，要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍，各地的运费如图所示。

中考数学《方程与不等式》专题知识训练50题含答案 （有理数、实数、代数、因式分解、二次根式）一、单选题1．若3x ＞﹣3y ，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．x ＞yB ．x ＜yC ．x ﹣y ＞0D ．x +y ＞02．如果1x -大于0，那么x 的取值范围是（ ） A ．1x >B ．1x <C ．0x <D ．0x >3．一元一次不等式x +1＜2的解集在数轴上表示为（ ） A ． B ． C ．D ．4．不等式﹣3x≤9的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．5．用配方法解方程22990x x --=，配方后得（ ） A ．2(1)99x -=B ．2(1)100x +=C ．2(1)98x -=D ．2(1)100x -=6．若关于x 的分式方程43233m xx x +=+--有增根，则m 的值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．57．一项工程，A 独做10天完成，B 独做15天完成，若A 先做5天，再A 、B 合做，完成全部工程的23，共需（ ） A ．8天B ．7天C ．6天D ．5天8．若关于x 的方程534x kx -=+有整数解，那么满足条件的所有整数k 的和为（ ） A ．20B ．6C ．4D ．29．不等式组372378x x -≥⎧⎨-<⎩的所有整数解共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．下列运用等式性质进行的变形中，正确的是（ ） A ．如果a b =，那么23a b +=+ B ．如果a b =，那么23a b -=- C ．如果2a a =，那么1a =D ．如果a bc c=，那么a b = 11．下列是一元一次方程的是（ ） A ．231x y +=B ．20x -=C ．3x +D ．11x= 12．为了践行“绿色生活”的理念，甲、乙两人每天骑自行车出行，甲匀速骑行30公里的时间与乙匀速骑行25公里的时间相同，已知甲每小时比乙多骑行2公里，设甲每小时骑行x 公里，根据题意列出的方程正确的是( ) A ．30252=+x x B ．30252=+x x C ．30252=-x x D ．30252=-x x13．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同. 设2，3月份利润的月增长率为x ，那么x 满足的方程为( ) A ．B ．C ．D ．14．如图所示两个天平都平衡，则3个球体的质量等于（ ）个正方体的质量，括号内应填A ．2B ．3C ．4D ．515．若﹣3＜a ≤3，则关于x 的方程x ＋a ＝2解的取值范围为（ ） A ．﹣1≤x ＜5B ．﹣1＜x ≤1C ．﹣1≤x ＜1D ．﹣1＜x ≤516．下列变形中，正确的是（ ） A ．若a b =，则11a b +=-B ．若32a b =，则a b =C ．若2a b -=，则2a b =-D ．若44b a -=-，则a b =17．在2019年女排世界杯比赛中，中国队以11场全胜积32分的成绩成为女排世界杯五冠王、女排世界杯比赛积分规则如表所示，若中国队以大比分3：2取胜的场次有x 场，则根据以上信息所列方程正确的是（ ）A ．3x+2x ＝32B ．3（11﹣x ）+3（11﹣x ）+2x ＝32C ．3（11﹣x ）+2x ＝32D ．3x+2（11﹣x ）＝3218．三元一次方程组10318x y z x y x y z ++=⎧⎪+=⎨⎪=+⎩的解是（ ）A ．532x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩B ．352x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩C ．542x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩D ．431x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩19．已知4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶，现有15个矿泉水空瓶，若不交钱，最多可以喝矿泉水（ ） A ．3瓶B ．4瓶C ．5瓶D ．6瓶20．甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知如下信息：如果每小时只安排1名打字员，那么按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务，共需（ ）A ．1316小时B ．1312小时C ．1416小时D ．1412小时二、填空题21．一罐饮料净重500克，罐上注有“蛋白质含量≥0.4%”，则这罐饮料中蛋白质的含量至少为____克． 22．如果方程23252x x -+=-的解与方程72x b -=的解相同，则b =________. 23．由4x ﹣3y +6=0，可以得到用y 表示x 的式子为x =__．24．已知不等式组212(1)43x x x+>⎧⎨-+>⎩，请写出一个该不等式组的整数解___________．25．已知关于x 的一元二次方程x 2+x+m ＝0有实数根，则m 的取值范围是_____．26．若关于x 的方程()21410k x x ---=是一元二次方程，则k 的取值范围是______．27．当a ＝_____时，分式32a a +-的值为－4． 28．三角形的三边长分别为7，1+2x ，13，则x 的取值范围是___ 29．25y x +=用含x 的式子表示y 为________________________．30．若关于x ，y 的二元一次方程组2630x my x y -=⎧⎨-=⎩的解是正整数，则整数m =_______．31．某种服装打折销售，如果每件服装按标价的5折出售将亏35元，而按标价的8折出售将赚55元，则成本价为______元．32．已知A ∠与的B ∠两边分别平行，且A ∠比B ∠的3倍少20°，则A ∠的大小是__________．33．已知x ，y 满足方程组22223212472836x xy y x xy y ⎧-+=⎨++=⎩， （1）代数式224x y +的值是_____． （2）代数式112x y+的值是______．34．已知关于x ，y 的方程组225,234x y m x y m +=-⎧⎨-=-⎩的解满足1x <，2y <，则m 的取值范围为______．35．已知关于x ，y 的不等式组100x x a ->⎧⎨-⎩有以下说法：①若它的解集是1＜x ≤4，则a ＝4；①当a ＝1时，它无解；①若它的整数解只有2，3，4，则4≤a ＜5；①若它有解，则a ≥2．其中所有正确说法的序号是_____．36．若关于x ，y 的二元一次方程组221x y x y k +=⎧⎨+=+⎩的解为正数，则k 的取值范围为__．37．不等式组的解集为23113x x -<⎧⎨-≤⎩的解集为______．38．如果关于x 的方程x2+2ax ﹣b2+2=0有两个相等的实数根，且常数a 与b 互为倒数，那么a +b=_____．39．某车间 56 名工人，每人每天能生产螺栓 16 个或螺母 24 个，设有 x 名工人生产螺栓， 有 y 名工人生产螺母，每天生产的螺栓和螺母按 1：2 配套，所列方程组是________. 40．若分式方程2211x m x x x x x+-=++有增根，则m 的值是______.三、解答题 41．解下列方程： （1）3x +7＝32﹣2x ； （2）121224x x +--=+． 42．解方程：242111x x x++=---． 43．解方程组：（1）32528x y x y +=⎧⎨-=⎩；（2）234347x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩．44．某商场进货员预测某商品能畅销市场，就用8万元购进该商品，上市后果然供不应求．商场又用17.6万购进了第二批这种商品，所购数量是第一批购进量的2倍，但进货的单价贵了4元，商场销售该商品时每件定价都是58元，最后剩下150件按八折销售，很快售完．在这两笔生意中，商场共盈利多少元？ 45．当k 为何值时，方程x 2﹣6x+k ﹣1＝0， （1）两根相等； （2）有一根为0． 46．解方程组或不等式组：（1）20346x y x y +=⎧⎨+=⎩；（2）53231204x x x +≥⎧⎪⎨--<⎪⎩ 47．已知一个四位自然数N ，它的各个数位上的数字均不为0，且满足千位数字与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和对称数”，将这个四位自然数N 的千位数字和百位数字互换，十位数字和个位数字互换，得到N '，规定()101N N F N '+=． 例如：4536N =，①4536+=+，①4536是“和对称数”，()45365463453699101F +==．2346N =，①2346+≠+，①2346不是“和对称数”．(1)请判断2451、3972是不是“和对称数”，并说明理由．若是，请求出对应的()F N 的值．(2)已知A ，B 均为“和对称数”，其中100010746A a b =++，1002026B m n =++（其38a ≤≤，05b ≤≤，29m ≤≤，512n ≤≤，且均为整数），令()()32k F A F B =+，当k能被77整除时，求出所有符合条件的A 的值． 48．解决以下问题:(1)221x y ±++，的算术平方根是5，求2318x y -+的立方根； (2)的值互为相反数,求a b c 、、的值. 49．为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了“足球俱乐部1小时”活动．去年学校通过采购平台在某体育用品店购买A 品牌足球共花费2880元，B 品牌足球共花费2400元，且购买A 品牌足球数量是B 品牌数量的1.5倍，每个足球的售价，A 品牌比B 品牌便宜12元． (1)求去年A ，B 两种足球的售价；(2)今年由于参加俱乐部人数增加，需要从该店再购买A ，B 两种足球共50个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了调整，A 品牌比去年提高了5%，B 品牌比去年降低了10%，如果今年购买A ，B 两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个B 品牌足球?50．某生态柑橘园现有柑橘31吨，租用9辆A 和B 两种型号的货车将柑橘一次性运往外地销售．已知每辆车满载时，A 型货车的总费用500元，B 型货车的总费用480元，每辆B型货车的运费是每辆A型货车的运费的1.2倍．（1）每辆A型货车和B型货车的运费各多少元？（2）若每辆车满载时，租用1辆A型车和7辆B型车也能一次性将柑橘运往外地销售，则每辆A型货车和B型车货各运多少吨？参考答案：1．D【分析】利用不等式的性质由已知条件可得到x+y＞0，从而得到正确选项．【详解】①3x＞﹣3y，①3x+3y＞0，①x+y＞0．故选D．【点睛】本题考查了不等式的性质：应用不等式的性质应注意的问题，在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．2．Ax->，即可求得x的取值范围．【分析】1x-大于0即10【详解】根据题意得：x->10x>解得：1故选A．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用，把判断一个式子的值的取值范围的问题掌握不等式的问题，这是解本题的关键．3．B【分析】求出不等式的解集，表示出数轴上即可．【详解】解：不等式x+1＜2，解得：x＜1，如图所示：故选B．【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．A【详解】试题分析：本题考查了在数轴上表示不等式的解集：利用数轴表示不等式的解集体现了数形结合的思想．也考查了解一元一次不等式．先解不等式得到x≥﹣3，在数轴上表示为﹣3的右侧部分且含﹣3，这样易得到正确选项. 考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式 5．D【分析】把常数项-99移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-2的一半的平方． 【详解】把方程x 2-2x -99=0的常数项移到等号的右边，得到x 2-2x =99 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x 2-2x +1=100 配方得（x -1）2=100． 故选D ．【点睛】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 6．D【分析】根据分式方程有增根可求出3x =，方程去分母后将3x =代入求解即可. 【详解】解：①分式方程43233m xx x +=+--有增根， ①3x =，去分母，得()4323m x x +=+-， 将3x =代入，得49m +=， 解得5m =． 故选：D ．【点睛】本题考查了分式方程的无解问题，掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键． 7．C【分析】此题是工程问题，它的等量关系是A 独做的加上A 、B 合做的是总工程的23，此题可以分段考虑，A 独做了5天，合作了（x -5）天，利用等量关系列方程即可解得． 【详解】设共需x 天． 根据题意得：5112(5)()1010153x +-+= 解得：x =6． 故选C ．8．A【分析】先解方程可得75x k=-，再根据关于x 的方程534x kx -=+有整数解，k 为整数，可得51k -=±或57k -=±，从而可得答案． 【详解】解：①534x kx -=+， ①57x kx -=，即()57k x -=， 当50k -≠时， ①75x k=-， ①关于x 的方程534x kx -=+有整数解，k 为整数， ①51k -=±或57k -=±，解得：4k =或6k =或2k =-或12k =， ①()4621220++-+=，①满足条件的所有整数k 的和为20. 故选A ．【点睛】本题考查的是一元一次方程的解与方程的解法，掌握“方程的整数解的含义以及求解整数解的方法”是解本题的关键． 9．B【分析】解不等式组，得到关于x 的解集，再找出符合x 取值范围的整数解即可． 【详解】解：解不等式3x −7≥2得：x ≥3， 解不等式3x −7＜8得：x ＜5， 即不等式组的解集为：3≤x ＜5，符合3≤x ＜5的x 的整数解为：3，4共2个， 故选：B ．【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式组的方法． 10．D【分析】根据等式的基本性质进行分析判断即可．【详解】解：A 选项中，“如果a b =，那么23a b +=+”是不成立的，故不能选A ； B 选项中，“如果a b =，那么23a b -=-”是不成立的，故不能选B ；C选项中，“如果2a a=，那么1a=”不一定成立，因为a的值可能为0，故不能选C；D选项中，“如果a bc c=，那么a b=”成立，故选D.故选：D.【点睛】本题考查等式的基本性质，熟记“等式的基本性质：（1）等式的两边都加上或者减去同一个整式，所得结果仍是等式；（2）等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式”是解答本题的关键．11．B【分析】根据一元一次方程的定义逐项分析判断即可求解．【详解】解：A、不是一元一次方程，故本选项错误；B、是一元一次方程，故本选项正确；C、不是等式，即不是一元一次方程，故本选项错误；D、不是整式方程，即不是一元一次方程，故本选项错误．故选B．【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）．12．C【详解】解：设甲每小时骑行x公里，根据题意得：30252=-x x.故选C．13．D【详解】试题分析：一月份获利10万元，二月份获利10(1+x)万元，三月份获利10万元，然后根据一季度的总获利得出方程.考点：一元二次方程的应用14．D【分析】根据等式的性质求解即可．【详解】解：由图可知，2个球体的质量=5个圆柱的质量，2个正方体的质量=3个圆柱的质量，①6个球体的质量=15个圆柱的质量，10个正方体的质量=15个圆柱的质量，①6个球体的质量=10个正方体的质量，①3个球体的质量=5个正方体的质量，故选D ．【点睛】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式． 15．A【分析】先求出方程的解，再根据﹣3＜a ≤3的范围，即可求解．【详解】解：由x ＋a ＝2，得：x ＝2-a ，①﹣3＜a ≤3，①﹣1≤2-a ＜5，即：﹣1≤x ＜5，故选A ．【点睛】本题主要考查解一元一次方程以及不等式的性质，用含a 的代数式表示x ，是解题的关键．16．D【分析】根据等式的性质逐个判断即可得到答案．【详解】解：由题意可得，若a b =，则111a b b +=+>-，故A 选项错误不符合题意；若32a b =，则23a b =，故B 选项错误不符合题意； 若2a b -=，则2a b =+，故C 选项错误不符合题意；若44b a -=-，则a b =，故D 选项正确符合题意；故选D ．【点睛】本题考查等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数等式性质不变，等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数等式性质不变．17．C【分析】设中国队以大比分3：2取胜的场次有x 场，则中国队以小比分3：1或3：0取胜的场次有（11﹣x ）场，根据总积分＝3×小比分获胜的场次数+2×大比分获胜场次数，即可得出关于x 的一元一次方程．【详解】解：设中国队以大比分3：2取胜的场次有x 场，则中国队以小比分3：1或3：0取胜的场次有（11﹣x）场，依题意，得：2x+3（11﹣x）＝32．故选：C．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键. 18．A【分析】由①代入①、①消去x，解二元一次方程组得出y、z的数值，再进一步求得x的数值解决问题．【详解】10318x y zx yx y z++=⎧⎪+=⎨⎪=+⎩①②③，把①代入①得：y+z=5①，把①代入①得：4y+3z=18①，①×4–①得：z=2，把z=2代入①得：y=3，把y=3，z=2代入①得：x=5，则方程组的解为532xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩，故选A．【点睛】此题考查三元一次方程组的解法，注意逐步消元是解决问题的关键．19．C【详解】试题分析：因为15÷4=3余3空瓶，所以可换3瓶喝完，还剩3+3=6空瓶，拿出4空瓶换一瓶，还剩3个空瓶子，找人借一个瓶子凑齐四个喝完还剩一个再把这个瓶子还给那个人，故最多可以喝五瓶矿泉水．故选C．考点：命题．20．C【分析】设甲单独完成任务需要x小时，则乙单独完成任务需要（x﹣5）小时；根据信息二提供的信息列出方程并解答；根据信息三得到丙的工作效率，易得按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务所需的时间．【详解】解：设甲单独完成任务需要x小时，则乙单独完成任务需要（x﹣5）小时，则5x x -解得x ＝20．经检验x ＝20是原方程的根，且符合题意．①x =20是所列方程的解．①x -5=15．①甲的工作效率是120，乙的工作效率是115， 则丙的工作效率是110． ①一轮的工作量为：1111320151060++=． ①4轮后剩余的工作量为：52216015-=． ①还需要甲、乙分别工作1小时后，丙需要的工作量为：211115201560--=． ①丙还需要工作16小时． 故一共需要的时间是：3×4+2+16＝14 16小时． 故选：C ． 【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 21．2【分析】根据题意直接列一元一次不等式，并求解即可．【详解】解：设蛋白质的含量至少应为x 克，依题意得：0.4%500x ≥， 解得x ≥2，则蛋白质的含量至少应为2克．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意正确列出不等式是解题的关键． 22．7 【分析】先解方程23252x x -+=-，得97x =，因为这个解也是方程72x b -=的解，根据方程的解的定义，把x 代入方程72x b -=中求出b 的值． 【详解】解：由23252x x -+=-，得2420(515),x x -=-+7所以可得97277b =⨯-= 故答案为：7．【点睛】本题考查了解一元一次方程和方程的解的定义，方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．23．364y - 【详解】方程4x −3y +6=0，解得：x =364y -， 故答案为364y -． 24．0##1【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分，即可得到答案．【详解】()212143x x x +>⎧⎪⎨-+>⎪⎩①② 解不等式①得：1x >-；解不等式①得：2x <；所以不等式组的解集为：12x -<<；则其整数解为0与1．故答案为：0（或1）．【点睛】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，正确并熟练地解一元一次不等式是解题的关键．25．m≤14【分析】一元二次方程有实数根，则①≥0，建立关于m 的不等式，求出m 的取值范围．【详解】解：由题意知，①＝1﹣4m≥0， ①m≤14， 故答案为m≤14． 【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是明确当一元二次方程有实数根时，①≥0． 26．1k ≠【分析】根据一元二次方程的定义列式计算即可得解．【详解】①关于x 的方程()21410k x x ---=是一元二次方程，①10k -≠，①1k ≠，故答案为：1k ≠．【点睛】本题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．27．1【分析】根据题意列出方程即可求出答案． 【详解】解：由题意得：342a a +=--， 去分母得，()342a a +=-- ,解得，1a =，经检验1a =是分式方程的解，故答案为：1【点睛】本题考查分式方程，解题的关键是熟练运用分式方程的解法．28．3＜x ＜6【详解】试题分析：根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得13-7＜ 1+2x ＜20，解得3＜x ＜6 .考点：三角形三边之间的关系点评：该题考查了三角形三边之间的关系，已知三角形的两边长，可以求第三边的范围，即两边之差＜第三边长＜两边之和.29．y=-2x+5【分析】把x 看做已知数求出y 即可．【详解】解：方程y+2x=5，解得：y=-2x+5．故答案为：y=-2x+5．【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x 看做已知数求出y ．30．0，3，4，5【分析】先解方程组2630x myx y-=⎧⎨-=⎩，用m表示出方程组的解，根据方程组有正整数解得出m的值．【详解】解：2630x myx y-=⎧⎨-=⎩①②由①得：x＝3y ①，把①代入①得：6y−my＝6，①y＝66-m，①x＝186-m，①方程组2630x myx y-=⎧⎨-=⎩的解是正整数，①6−m＞0，①m＜6，并且66-m和186-m是正整数，m是整数，①m的值为：0，3，4，5．故答案是：0，3，4，5．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．31．185【分析】设每件服装标价为x元，再根据无论亏本或盈利，其成本价相同，列出方程，求出x的解，最后根据成本价=服装标价×折扣，即可得出答案．【详解】解：设每件服装标价为x元，根据题意得：0.5x+35=0.8x-55，解得：x=300．则每件服装标价为300元，成本价是：300×50%+35=185（元），故答案为：185．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确找出等量关系是解题的关键．32．10°或130°【分析】根据A ∠与B ∠两边分别平行，由A ∠比B ∠的3倍少20°列方程求解即可得到答案．【详解】①A ∠比B ∠的3倍少20°，①A ∠=3B ∠- 20°，①A ∠与B ∠两边分别平行，①①A 与①B 相等或互补，①当A ∠=B ∠时，得到①A =3①A - 20°，①①A =10°；①当①A +①B =180°时，得到①A =3(180°-①A )-20°，①①A =130°，故答案为：10°或130°．【点睛】此题考查平行线的性质，解一元一次方程，能正确理解两边分别平行的两个角的关系是解题的关键．33． 17 54± 【分析】（1）令224n x y m xy +==，，将原方程组可化为关于m 、n 的二元一次方程组，进行求解即可；（2）先根据完全平方公式求出25x y +=±，再将112x y+通分进行计算即可． 【详解】（1）令224n x y m xy +==，，原方程组可化为3247236m n m n -=⎧⎨+=⎩， 解得172m n =⎧⎨=⎩， 即221724x y xy +==，，故答案为：17；（2）222(2)4178254x y x y xy +=+=+=+，25x y ∴+=±1125224x y x y xy +±∴+==，故答案为：54±． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，完全平方公式的变形，异分母分式相加等，熟练掌握知识点并运用整体代入法是解题的关键．34．823m -<< 【分析】先解出方程组的解，再根据解的情况列出关于m 的不等式组，解不等式组即可求解．【详解】解：225234x y m x y m +=-⎧⎨-=-⎩①② ①+①得：x =-1-m ，将x =-1-m 代入①中，得：y =342m -， ①该方程组的解满足1x <，2y <， ①113422m m --<⎧⎪⎨-<⎪⎩， 解得：823m -<<． 故答案为：823m -<<． 【点睛】本题考查解二元一次方程组的应用、解一元一次不等式组，熟练掌握二元一次方程组、一元一次不等式组的解法，正确解出x 、y 值是解答的关键．35．①①①【分析】先求出各不等式的解集，再根据各小题的结论解答即可．【详解】解：解不等式x ﹣1＞0得，x ＞1；解不等式x ﹣a ≤0得，x ≤a ，故不等式组的解集为：1＜x ≤a ．①①它的解集是1＜x ≤4，①a ＝4，故本小题正确；①①a ＝1，x ＞1，①不等式组无解，故本小题正确；①①它的整数解只有2，3，4，则4≤a ＜5，①4≤a ＜5，故本小题正确；①①它有解，①a ＞1，故本小题错误．故答案为：①①①．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组是解题的关键. 36．13k <<【分析】先求出方程组的解，根据题意得出关于k 的不等式组，再求出不等式组的解集即可．【详解】解：解方程组221x y x y k +=⎧⎨+=+⎩得：13x k y k=-⎧⎨=-⎩， 关于x ，y 的二元一次方程组221x y x y k +=⎧⎨+=+⎩的解为正数， ∴1030k k ->⎧⎨->⎩， 解得：13k <<，故答案为：13k <<．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和解一元一次不等式组等知识点，能得出关于k 的不等式组是解此题的关键．37．22x -≤<【分析】分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得到不等式组的解集．【详解】解：23113x x -<⎧⎨-≤⎩①② 解不等式①得，x ＜2，解不等式①得，x ≥-2所以，不等式组的解集为：22x -≤<故答案为：22x -≤<．【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找（空集）．38．±2．【分析】根据根的判别式求出△=0，求出a 2+b 2=2，根据完全平方公式求出即可．【详解】解：①关于x 的方程x 2+2ax-b 2+2=0有两个相等的实数根，①①=（2a ）2-4×1×（-b 2+2）=0，即a 2+b 2=2，①常数a 与b 互为倒数，①ab=1，①（a+b ）2=a 2+b 2+2ab=2+2×1=4，①a+b=±2，故答案为±2．【点睛】本题考查了根的判别式和解高次方程，能得出等式a 2+b 2=2和ab=1是解此题的关键．39．5621624x y x y +=⎧⎨⨯=⎩【分析】此题中的等量关系有：①生产螺栓人数+生产螺母人数=56人；①每天生产的螺栓和螺母按1：2配套，那么螺栓要想与螺母的数量配套，则螺栓数量的2倍=螺母数量．【详解】解：根据生产螺栓人数+生产螺母人数=56人，得方程x+y=56；根据螺栓数量的2倍=螺母数量，得方程2×16x=24y ．列方程组为：5621624x y x y +=⎧⎨⨯=⎩故答案为5621624x y x y +=⎧⎨⨯=⎩【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，难点在于理解第二个等量关系：若要保证配套，则生产的螺母的数量是生产的螺栓数量的2倍，所以列方程的时候，应是螺栓数量的2倍=螺母数量．40．1-或2【分析】根据增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，先把分式方程去分母化为整式方程，再通过使最简公分母不为0确定增根的可能值，将其代入整式方程即可算出m 的值.【详解】解：①2211x m x x x x x+-=++， ①()2221x m x -=+，①221m x x =--. ①2211x m x x x x x+-=++有增根， ①0x =或=1x -.当0x =时，2211m x x =--=-；当=1x -时，2212m x x =--=.①m 的值为1-或2.故答案为：1-或2【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；①化分式方程为整式方程；①把增根代入整式方程即可求得相关字母的值. 41．（1）x ＝5；（2）x ＝4．【分析】（1）移项，合并同类项，系数化成1即可;（2）去分母，然后移项，合并同类项，系数化成1即可.【详解】解：（1）移项合并得：5x ＝25，解得：x ＝5；（2）去分母得：2x +2﹣4＝8+2﹣x ，移项合并得：3x ＝12，解得：x ＝4．【点睛】本题考查一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法是关键.42．13x = 【分析】观察可得最简公分母是（x +1）（x ﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【详解】解：242111x x x ++=--- 整理，得：421(1)(1)1x x x x +-=-+-- 方程两边都乘以（x +1）（x ﹣1），得4﹣（x +1）（x +2）=﹣（x 2﹣1），整理，得，3x =1， 解得1x=3． 经检验，1x=3是原方程的根．①原方程的解是1x=3．【点睛】本题考查解分式方程，注意解分式方程，结果要检验.43．（1）32x y =⎧⎨=-⎩；（2）34x y =⎧⎨=⎩． 【分析】（1）利用加减消元法求出解即可．（2）去分母后，加减法消元解方程.【详解】解：（1）32528x yx y+=⎧⎨-=⎩①②，①×2得，4x﹣2y＝16①，①+①得，7x＝21，解得x＝3，把x＝3代入①得，2×3﹣y＝8，解得y＝﹣2，所以，方程组的解是32xy=⎧⎨=-⎩；（2）方程组可化为4324347x yx y+=⎧⎨-=-⎩①②，①×4得，16x+12y＝96①，①×3得，9x﹣12y＝﹣21①，①+①得，25x＝75，解得x＝3，把x＝3代入①得，3×3﹣4y＝﹣7，解得y＝4，所以，方程组的解是34xy=⎧⎨=⎩．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．44．在这两笔生意中，商场共盈利90260元．【分析】盈利=总售价-总进价，应求出某商品的数量．总价明显，一定是根据单价来列等量关系．本题的关键描述语是：“单价贵了4元”；等量关系为：第一次的单价=第二次的单价-4．【详解】设商场第一次购进某商品x件，则第二次购进某商品2x件，根据题意得：8000017600042x x-＝．160000=176000-8x解这个方程得：x=2000．经检验：x=2000是原方程的根．商场利润：（2000+4000-150）×58+58×0.8×150-80000-176000=90260（元）．答：在这两笔生意中，商场共盈利90260元．【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．45．（1）k＝10；（2）k＝1．【分析】（1）方程由两个相等的根，则△＝0；（2）有一个根是0，则两根之积为0．【详解】解：（1）△＝36﹣4（k-1）＝40-4k，①两根相等，①①＝0，即k＝10；（2）①有一根为0，①0∆≥，即10k≤，由根与系数的关系可得，k﹣1＝0，①k＝1．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握是解题的关键．一元二次方程根的情况与判别式①的关系：（1）①＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）①=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）①＜0⇔方程没有实数根．46．（1）63xy=⎧⎨=-⎩；（2）13x-≤<【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组的解集，表示在数轴上即可．【详解】（1）解：20 346 x yx y+=⎧⎨+=⎩①②方程①可化为2x y=-①把①代入①，得解得y=-3把y=-3代入①，得x=()236-⨯-=所以原方程组的解为：63x y =⎧⎨=-⎩（2）53231204x x x +≥⎧⎪⎨--<⎪⎩①② 解不等式①得1x ≥-解不等式①得3x <所以不等式组的解集为13x -≤<将其在数轴上表示如下：【点睛】本题两个小题分别考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，根据相关题目要求按步骤求解是解题的关键47．(1)3972不是“和对称数”，2451是“和对称数”，理由见解析，()F N 值为66(2)A 的值为3746，4756，6776，5766，7786，8796【分析】（1）根据“和对称数”的定义，即可求解；（2）根据题意分别表示出()(),F A F B ，再由()()32k F A F B =+，k 能被77整除，并结合a ，m 的取值范围进行分类讨论，即可求解．【详解】（1）解：3972不是“和对称数”，①3924+≠，①3972不是“和对称数”．2451是“和对称数”，①2451+=+，。

知识点一 一元一次方程及其解法1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠．注意：x 前面的系数不为0．2．一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 3．一元一次方程0(0)ax b a +=≠的求解步骤知识点二 二元一次方程（组）及解法1．二元一次方程：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 2．二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩．4．二元一次方程组的解法（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．知识点三分式方程及其解法1．分式方程：分母中含有的方程叫做分式方程；2．分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程。

（2）解分式方程的一般步骤：第一步：，将分式方程转化为整式方程；第二步：解整式方程；第三步：．（3）增根：在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为的根，称为方程的增根。

因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为的根是增根应舍去。

（4）产生增根的原因：将分式方程化为整式方程时，在方程两边同乘以使最简公分母为的因式。

知识点四一元二次方程及其解法1．一元二次方程：只含有个未知数（一元），并且未知数最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

【例2】某片绿地形〉图所示，其中匕4=60°,AB±BC f AD'CD,ng二200/n,CZ?=100/n.求8C的长.（精确到Is.73^1.732）解题思路：本题的解题关键是构造直角三角形，构造的原则是不能破环匕4所以连结NC不 行.延长和8C交于一点£（如图1）,这样既构造出了直角三角形，又保全了特殊街&；或过点Q作矩形ABEF（如图2）来求解.【例3】如图,已知正方形49口）中，£为8匚上一点.将正方形折叠起来，使京N和点£重合，折痕为M/V.若tanQ£N=?,£?C+（T=10.（1）求以他的面积；（2）求sin ZENB的值.解题思踣：将tan A4£V=|与DC Q=10结合起来，可求出相关线段的长，为解朝铺平道路.【例4】如图，容轮沿折线K—8—C从4出发经8田到C匀速航行，货轮从的中点Q出发沿某一方向匀i:线航行，将一批物品送达客轮.两船同时起航，并同时到达折度4—8—C上 的桌点£处，已知4g=8C=2O0海里，^ABC=90°,客?觥麋的2倍，(1)选择：两船相遇之处£点()〜/ZA.在象础上//ZB.在线段8C上c—-----------pnC.可以在线段上，也可以在线段8C上(2)求货轮从出发到两船相遥共航行了多少海里？(结果保留根号)(南宗市中考试题)解题思85:对于(2),过。

作DF'CB于£设DE=X,建立关于x的方程.【例5］若直角三角形的两个洗角A, B的正弦是方程x2+px+g=0的两个根.(1)那么，实数们g应海足哪些条｛牛？(2)如果日，q满足这些条件，方程/+哗+。

二0的两个根是否等于直角三角形的两个说角凡〃的正弦？(江苏肯竟葡国解题思路：解本例的关健是建立严密约束条件下的含不等式、等式的混合组，需综舍运用一元:次三角函数的知识与方法.【例6】设子，b,(■是直角三角形的三边，。

1、锐角三角函数要点一：锐角三角函数的基本概念 一、选择题1.（2009·漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan α的值是（ ）A ．35B ．43 C ．34 D ．452.（2008·威海中考）在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝13，则sin B ＝（ ）A ．1010 B ．23C ．34D ．310103.（2009·齐齐哈尔中考）如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．23 B ．32 C ．34 D ．434.（2009·湖州中考）如图，在Rt ABC △中，ACB ∠=Rt ∠，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（ ） A ．3sin A =B ．1tan 2A = C ．3cosB = D ．tan 3B =5.（2008·温州中考）如图，在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的中线，已知2CD =，3AC =，则sin B 的值是（ ）A ．23B ．32C ．34D ．436.（2007·泰安中考）如图，在ABC △中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于D ，若23AC =，32AB =，则tan BCD ∠的值为（ ）（A ）2 （B ）22 （C ）63（D ）33二、填空题7.（2009·梧州中考）在△ABC 中，∠C ＝90°， BC ＝6 cm ，53sin =A ，则AB 的长是 cm ． .（2009·孝感中考）如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ．9.（2009·庆阳中考）如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5A =，则这个菱形ACBD的面积= cm 2．答案：60 三、解答题10.(2009·河北中考) 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得sin ∠DOE =1213．（1）求半径OD ；（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降， 则经过多长时间才能将水排干？ 【11.（2009·綦江中考）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE ．（1）求证：ABE △DFA ≌△；（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值．12.（2008·宁夏中考）如图，在△ABC 中，∠C =90°，sin A =54，AB =15，求△ABC 的周长和tan A 的值．DABCEFOEC D14.（2007·芜湖中考）如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan cos B DAC =∠，(1) 求证：AC=BD ； (2)若12sin 13C =，BC =12，求AD 的长．要点二、特殊角的三角函数值 一、选择题1.（2009·钦州中考）sin30°的值为（ ）A ．32B ．22C ．12D ．33答案：C2.（2009·长春中考）．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOC OC ∠==°，，则点B 的坐标为（ ）A ．2，B ．2)，C ．211)，D ．(121)，答案：C3.(2009·定西中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ） A ．8米 B ．3 C 83米 D 43米4.（2008·宿迁中考）已知α为锐角，且23)10sin(=︒-α，则α等于（ ） Ａ．︒50 Ｂ．︒60 Ｃ．︒70 Ｄ．︒805.（2008·毕节中考） A （cos60°，－tan30°）关于原点对称的点A 1的坐标是（ ）A ．1323⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，B ．3323⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，C ．1323⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， D ．1322⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 6.（2007·襄樊中考）计算：2cos 45tan 60cos30+等于（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）3 二、填空题7. （2009·荆门中考）104cos30sin 60(2)(20092008)-︒︒+---=______．答案：238.（2009·百色中考）如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B 与钢缆固定点C 的距离为4米，钢缆与地面的夹角为60º，则这条钢缆在电线杆上的固定点A 到地面的距离AB 是 米．（结果保留根号）．答案：439.（2008·江西中考）计算：（1）1sin 60cos302-= ． 答案：1410.（2007·济宁中考）计算sin 60tan 45cos30︒-︒︒的值是 。

2023年九年级数学中考复习《不等式和不等式组》分类专题集训(一)不等式过关训练➢典例精讲1．如果关于x的不等式（a+2020）x﹣a＞2020的解集为x＜1，那么a的取值范围是（）A．a＞﹣2020B．a＜﹣2020C．a＞2020D．a＜20202．已知关于x的不等式（a+3b）x＞a﹣b的解集为x＜﹣，则关于x的一元一次不等式bx﹣a＞0的解集为．3．若关于x的不等式ax＜﹣bx+b（a，b≠0）的解集为x＞，则关于x的不等式ax＞2bx+b的解集是．4．已知关于x的不等式3x﹣2a＜4﹣5x有且仅有三个正整数解，则满足条件的整数a的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个5．若关于x的不等式7x+9＞2x+a的负整数解为﹣2，﹣1，则a的取值范围是．➢课后训练1．已知关于x的不等式（2﹣a）x＞3的解集为，则a的取值范围是（）A．a＞0B．a＜0C．a＞2D．a＜22．若关于x的不等式（2m﹣n）x﹣m＞5n的解集为x＜，则关于x的不等式（m﹣n）x＞m+n的解集为（）A．x＜B．x＞C．x＞5D．x＜53．已知关于x的不等式3（a﹣b）x+a﹣5b＞0的解集为x＜1，则关于x的不等式ax≥4b的解集为．4．若关于x的不等式3x﹣m≤0的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是（）A．m≥9B．9＜m＜12C．m＜12D．9≤m＜125．若关于x的不等式2x﹣m≥0的负整数解为﹣1，﹣2．﹣3．则m的取值范围是．(二)不等式组过关训练➢典例精讲一、两同问题1．若关于x的不等式组的解集为x≥2，则m的取值范围是（）A．m≥﹣2B．m≤2C．m＜2D．m＝22．若关于x的不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是（）A．a≥2B．a＜﹣2C．a＞2D．a≤2二、有解、无解问题3．若不等式组有解，则a的取值范围是（）A．a≤B．a≤4C．1≤a≤4D．a≥4．若不等式组无解，则m的取值范围为（）A．m≤8B．m＜8C．m≥8D．m＞8三、整数解问题5．关于x的不等式组的解中恰有4个整数解，则a的取值范围是（）A．18≤a≤19B．18≤a＜19C．18＜a≤19D．18＜a＜196．关于x的不等式组有且只有4个整数解，则常数m的取值范围是．7．若关于x的不等式组的解集中至少有6个整数解，则正数a的最小值是（）A．1B．2C．D．8．（2019•沙坪坝区校级二模）若数m使关于x的一元一次不等式组至多有4个整数解，则非负整数m的值之和是（）A．6B．10C．15D．219．（2022•渝中区校级模拟）如果关于x的不等式组有且仅有2个奇数解，则符合条件的所有整数m的和是（）A．15B．21C．28D．3610.已知关于x的不等式组的所有整数解的和为7，则a的取值范围是．➢课后训练一、两同问题1．不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（）A．m＞3B．m≥3C．m＜3D．m≤32．若关于x的不等式组的解集是x≤a，则a的取值范围是（）二、有解、无解问题3．若不等式组有解，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣36B．a≤﹣36C．a≥﹣36D．a＞﹣364．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是．三、整数解问题5．若关于x的不等式组恰好只有2个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．3B．4C．6D．16．关于x的不等式组恰有三个整数解，那么m的取值范围为（）A．﹣1＜m≤0B．﹣1≤m＜0C．0≤m＜1D．0＜m≤17．关于x的不等式组的解集中至少有7个整数解，则整数a的最小值是（）A．4B．3C．2D．18．（2022秋•沙坪坝区校级月考）若数m使关于x的一元一次不等式组至多5个整数解，则则整数m的最大值是（）A．7B．8C．9D．109．（2022秋•渝中区校级月考）若数a使关于y的不等式组恰好有两个奇数解，则符合条件的所有整数a的和是（）A．7B．8C．9D．1010．若关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣7，则m的取值范围是．（三）方程与不等式组综合过关训练➢典例精讲1．（2020春•渝中区校级期末）关于x的方程3﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负整数，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（）A．5B．2C．4D．62．若数a使关于x的方程＝﹣﹣1有非负数解，且关于y的不等式组恰好有两个偶数解，则符合条件的所有整数a的和是（）A．﹣22B．﹣18C．11D．123．（2021秋•渝中区校级期末）整数a使得关于x，y的二元一次方程组的解为正整数（x，y均为正整数），且使得关于x的不等式组无解，则所有满足条件的a的和为（）A．9B．16C．17D．304．如果关于x的不等式组的解集为x＞4，且整数m使得关于x，y的二元一次方程组的解为整数（x，y均为整数），则符合条件的所有整数m的和是（）A．﹣2B．2C．6D．10➢课后训练1．（2022秋•九龙坡区校级月考）若整数a使关于x的方程x+2a＝1的解为负数，且使关于的不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．5B．7C．9D．102．（2022秋•沙坪坝区校级期末）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥，且关于y 的方程3y﹣2＝的解为非负整数，则符合条件的所有整数m的积为（）A．2B．7C．11D．103．（2021春•沙坪坝区期末）关于x、y的方程组的解是正整数，且关于t的不等式组有解，则符合条件的整数m的值的和为．参考答案与试题解析➢典例精讲1．如果关于x的不等式（a+2020）x﹣a＞2020的解集为x＜1，那么a的取值范围是（）A．a＞﹣2020B．a＜﹣2020C．a＞2020D．a＜2020【解答】解：∵不等式（a+2020）x﹣a＞2020的解集为x＜1，∴a+2020＜0，解得，a＜﹣2020，故选：B．2．已知关于x的不等式（a+3b）x＞a﹣b的解集为x＜﹣，则关于x的一元一次不等式bx﹣a＞0的解集为x＜﹣．【解答】解：∵不等式（a+3b）x＞a﹣b的解集是x＜﹣，∴a+3b＜0，即a＜﹣3b，∵，即8a＝﹣12b，，∵a+3b＜0，2a+3b＝0，则a＞0，b＜0，∴bx﹣a＞0的解集为x＜﹣．故答案为：x＜﹣．3．若关于x的不等式ax＜﹣bx+b（a，b≠0）的解集为x＞，则关于x的不等式ax＞2bx+b的解集是x ＞﹣1．【解答】解：ax＜﹣bx+b，（a+b）x＜b，∵关于x的不等式ax＜﹣bx+b（a，b≠0）的解集为x＞，∴＝，且a+b＜0，∴a＝b＜0，∴ax＞2bx+b变为﹣bx＞b，∴x＞﹣1，故答案为x＞﹣1．4．已知关于x的不等式3x﹣2a＜4﹣5x有且仅有三个正整数解，则满足条件的整数a的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个【解答】解：解不等式3x﹣2a＜4﹣5x得：x＜，∵关于x的不等式3x﹣2a＜4﹣5x有且仅有三个正整数解，是1，2，3，∴3＜≤4，解得：10＜a≤14，∴整数a可以是11，12，13，14，共4个，故选：B．5．若关于x的不等式7x+9＞2x+a的负整数解为﹣2，﹣1，则a的取值范围是﹣6≤a＜﹣1．【解答】解：解不等式得：x＞，∵负整数解是﹣1，﹣2，∴﹣3≤＜﹣2．∴﹣6≤a＜﹣1．故答案为：﹣6≤a＜﹣1．➢课后训练1．已知关于x的不等式（2﹣a）x＞3的解集为，则a的取值范围是（）A．a＞0B．a＜0C．a＞2D．a＜2【解答】解：根据题意得：2﹣a＜0，解得：a＞2．故选：C．2．若关于x的不等式（2m﹣n）x﹣m＞5n的解集为x＜，则关于x的不等式（m﹣n）x＞m+n的解集为（）A．x＜B．x＞C．x＞5D．x＜5【解答】解：不等式（2m﹣n）x﹣m＞5n，变形得：（2m﹣n）x＞5n+m，根据已知解集为x＜，得到＝，且2m﹣n＜0，即2m＜n，整理得：4m+20n＝26m﹣13n，即33n＝22m，整理得：3n＝2m，即m＝1.5n，n＜0，代入所求不等式得：0.5nx＞2.5n，解得：x＜5．故选：D．3．已知关于x的不等式3（a﹣b）x+a﹣5b＞0的解集为x＜1，则关于x的不等式ax≥4b的解集为x≤2．【解答】解：不等式移项得：3（a﹣b）x＞5b﹣a，由不等式的解集为x＜1，得到a﹣b＜0，且＝1，整理得：a＜b，且4a＝8b，即a＝2b，∴a＜0，则不等式ax≥4b变形得：x≤＝2，故答案为：x≤2．4．若关于x的不等式3x﹣m≤0的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是（）A．m≥9B．9＜m＜12C．m＜12D．9≤m＜12【解答】解：移项，得：3x≤m，系数化为1，得：x≤，∵不等式的正整数解为1，2，3，∴3≤＜4，解得：9≤m＜12，故选：D．5．若关于x的不等式2x﹣m≥0的负整数解为﹣1，﹣2．﹣3．则m的取值范围是﹣8＜m≤﹣6．【解答】解：∵2x﹣m≥0，∴2x≥m，∴x≥，∵不等式组的负整数解为﹣1，﹣2．﹣3，∴﹣4＜≤﹣3，则﹣8＜m≤﹣6，故答案为：﹣8＜m≤﹣6．➢典例精讲一、两同问题1．若关于x的不等式组的解集为x≥2，则m的取值范围是（）A．m≥﹣2B．m≤2C．m＜2D．m＝2【解答】解：，解x﹣m＞0，得：x＞m，解5﹣2x≤1，得：x≥2，∵不等式组的解集是x≥2，∴m＜2，故选：C．2．若关于x的不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是（）A．a≥2B．a＜﹣2C．a＞2D．a≤2【解答】解：解不等式组，由①可得：x＜2，由②可得：x＜a，因为关于x的不等式组的解集是x＜2，所以，a≥2，故选：A．二、有解、无解问题3．若不等式组有解，则a的取值范围是（）A．a≤B．a≤4C．1≤a≤4D．a≥【解答】解：，解不等式①得：x≥1，解不等式②得：x≤4a，又∵不等式组有解，∴4a≥1，解得：a≥，故选：D．4．若不等式组无解，则m的取值范围为（）A．m≤8B．m＜8C．m≥8D．m＞8【解答】解：解不等式＜﹣1得：x＞8，又∵不等式组无解，∴m≤8，故选：A．三、整数解问题5．关于x的不等式组的解中恰有4个整数解，则a的取值范围是（）A．18≤a≤19B．18≤a＜19C．18＜a≤19D．18＜a＜19【解答】解：不等式组整理得：，解得：a﹣2＜x＜21，由不等式组恰有4个整数解，得到整数解为17，18，19，20，∴16≤a﹣2＜17，解得：18≤a＜19，故选：B．6．关于x的不等式组有且只有4个整数解，则常数m的取值范围是．【解答】解：，解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x＜m+5，∴原不等式组的解集为﹣1≤x＜m+5，由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为﹣1，0，1，2，∴2＜m+5≤3，∴﹣2＜m≤﹣故答案为﹣2＜m≤﹣．7．若关于x的不等式组的解集中至少有6个整数解，则正数a的最小值是（）A．1B．2C．D．【解答】解：解不等式x﹣a≤0，得：x≤a，解不等式2x+3a≥0，得：x≥﹣a，则不等式组的解集为﹣a≤x≤a，∵不等式至少有6个整数解，则a+a≥5，解得a≥2．a的最小值是2．故选：B．8．（2019•沙坪坝区校级二模）若数m使关于x的一元一次不等式组至多有4个整数解，则非负整数m的值之和是（）A．6B．10C．15D．21【解答】解：解不等式组，得﹣1＜x≤，∵至多有4个整数解，＜4，解得m＜7；∴故满足条件的所有非负整数m的值之和为0+1+2+3+4+5+6＝21，故选：D．9．（2019•渝中区校级模拟）如果关于x的不等式组有且仅有2个奇数解，则符合条件的所有整数m的和是（）A．15B．21C．28D．36【解答】解：解不等式组，得：﹣＜x＜，∵不等式组有且仅有2个奇数解，∴-1＜≤1，解得：0＜m≤8，所以所有满足条件的整数m的值为1，2，3，4，5，6，7，8，和为36．故选：D．10.已知关于x的不等式组的所有整数解的和为7，则a的取值范围是7≤a＜9或﹣3≤a＜﹣1．【解答】解：，∵解不等式①得：x，解不等式②得：x≤4，∴不等式组的解集为＜x≤4，∵关于x的不等式组的所有整数解的和为7，∴当时，这两个整数解一定是3和4，∴，∴7≤a＜9，当时，整数解是﹣2，﹣1，0，1，3和4，∴﹣3，∴﹣3≤a＜﹣1，∴a的取值范围是7≤a＜9或﹣3≤a＜﹣1．故答案为：7≤a＜9或﹣3≤a＜﹣1．➢课后训练一、两同问题1．不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（）A．m＞3B．m≥3C．m＜3D．m≤3【解答】解：解不等式3（x+1）＞12，得：x＞3，∵不等式组的解集为x＞3，∴m≤3，故选：D．2．若关于x的不等式组的解集是x≤a，则a的取值范围是（）A．a≤2B．a＞﹣2C．a＜﹣2D．a≤﹣2【解答】解：解不等式﹣2x﹣1＞3，得：x＜﹣2，解不等式a﹣x≥0，得：x≤a，∵不等式组的解集为x≤a，∴a＜﹣2，故选：C．二、有解、无解问题3．若不等式组有解，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣36B．a≤﹣36C．a≥﹣36D．a＞﹣36【解答】解：不等式组整理得：，由不等式组有解，得到a﹣1＞﹣37，解得：a＞﹣36．故选：D．4．（2020春•陇西县期末）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是a≥﹣2．【解答】解：，解①得：x＞a+3，解②得：x＜1．根据题意得：a+3≥1，解得：a≥﹣2．故答案是：a≥﹣2．三、整数解问题5．若关于x的不等式组恰好只有2个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．3B．4C．6D．1【解答】解：解不等式组得：＜x＜2，由关于x的不等式组恰好只有2个整数解，得﹣1≤＜0，即0≤a＜4，满足条件的整数a的值为0、1、2、3，整数a的值之和是0+1+2+3＝6，故选：C．6．关于x的不等式组恰有三个整数解，那么m的取值范围为（）A．﹣1＜m≤0B．﹣1≤m＜0C．0≤m＜1D．0＜m≤1【解答】解：，解不等式①可得x＞m，解不等式②可得x≤3，由题意可知原不等式组有解，∴原不等式组的解集为m＜x≤3，∵该不等式组恰好有三个整数解，∴整数解为1，2，3，∴0≤m＜1．故选：C．7．关于x的不等式组的解集中至少有7个整数解，则整数a的最小值是（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：，解①得x≤2a，解②得x＞﹣a．则不等式组的解集是﹣a＜x≤2a．∵不等式至少有7个整数解，则2a+a＞7，解得a＞2．整数a的最小值是3．故选：B．8．（2019秋•沙坪坝区校级月考）若数m使关于x的一元一次不等式组至多5个整数解，则则整数m的最大值是（）A．7B．8C．9D．10【解答】解：不等式组的解为，∵至多5个整数解，∴＜5，∴m＜，故选：B．9．（2020秋•渝中区校级月考）若数a使关于y的不等式组恰好有两个奇数解，则符合条件的所有整数a的和是（）【解答】解：不等式组整理得：，解得：＜y＜4，由不等式组有解且恰好有两个奇数解，得到奇数解为3，1，∴﹣1≤＜1，∴﹣3≤a＜5，则满足题意a的值有﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5四个，则符合条件的所有整数a的和是9．故选：C．10．若关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣7，则m的取值范围是﹣3＜m≤﹣2或2＜m≤3．【解答】解：解不等式+3＞﹣1，得：x＞﹣4.5，∵不等式组的整数解的和为﹣7，∴不等式组的整数解为﹣4、﹣3或﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2，则﹣3＜m≤﹣2或2＜m≤3，故答案为：﹣3＜m≤﹣2或2＜m≤3．➢典例精讲方程与不等式综合含参问题1．（2020春•渝中区校级期末）关于x的方程3﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负整数，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（）A．5B．2C．4D．6【解答】解：解方程3﹣2x＝3（k﹣2）得x＝，∵方程的解为非负整数，∴≥0，即k≤3，即非负整数k＝1，3，不等式组整理得：，由不等式组无解，得到k＞﹣1，∴﹣1＜k≤3，即整数k＝0，1，2，3，当k＝0时，x＝4.5，不是整数；当x＝2时，k＝1.5，不是整数，两个k的值不符合题意，舍去；综上，k＝1，3，则符合条件的整数k的值的和为4．故选：C．2．若数a使关于x的方程＝﹣﹣1有非负数解，且关于y的不等式组恰好有两个偶数解，则符合条件的所有整数a的和是（）【解答】解：去分母得：3ax+3＝﹣14x﹣6，解得：x＝﹣，∵关于x的方程＝﹣﹣1有非负数解，∴3a+14＜0，∴a＜﹣，不等式组整理得：，解得：＜y＜4，由不等式组有解且恰好有两个偶数解，得到偶数解为2，0，∴﹣2≤＜﹣1，∴﹣7≤a＜﹣3，则满足题意a的值有﹣7，﹣6，﹣5，则符合条件的所有整数a的和是﹣18．故选：B．3．（2019秋•渝中区校级期末）整数a使得关于x，y的二元一次方程组的解为正整数（x，y均为正整数），且使得关于x的不等式组无解，则所有满足条件的a的和为（）A．9B．16C．17D．30【解答】解：解方程组得：，∵方程组的解为正整数，∴a﹣3＝1或a﹣3＝2或a﹣3＝5或a﹣3＝10，解得a＝4或a＝5或a＝8或a＝13；解不等式（2x+8）≥7，得：x≥10，解不等式x﹣a＜2，得：x＜a+2，∵不等式组无解，∴a+2≤10，即a≤8，综上，符合条件的a的值为4、5、8，则所有满足条件的a的和为17，故选：C．4．如果关于x的不等式组的解集为x＞4，且整数m使得关于x，y的二元一次方程组的解为整数（x，y均为整数），则符合条件的所有整数m的和是（）A．﹣2B．2C．6D．10【解答】解：解不等式＞0，得：x＞m，解不等式﹣x＜﹣4，得：x＞4，∵不等式组的解集为x＞4，∴m≤4，解方程组得，∵x，y均为整数，∴m＝4或m＝10或m＝2或m＝﹣4，又m≤4，∴m＝﹣4或m＝4或m＝2，则符合条件的所有整数m的和是2，故选：B．➢课后训练1．（2019秋•九龙坡区校级月考）若整数a使关于x的方程x+2a＝1的解为负数，且使关于的不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．5B．7C．9D．10【解答】解：解方程x+2a＝1得：x＝1﹣2a，∵方程的解为负数，∴1﹣2a＜0，解得：a＞0.5，∵解不等式①得：x＜a，解不等式②得：x≥4，又∵不等式组无解，∴a≤4，∴a的取值范围是0.5＜a≤4，∴整数和为1+2+3+4＝10，故选：D．2．（2020秋•沙坪坝区校级期末）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥，且关于y 的方程3y﹣2＝的解为非负整数，则符合条件的所有整数m的积为（）A．2B．7C．11D．10【解答】解：解不等式≤2x，得：x≥，解不等式2x+7≤4（x+1），得：x≥，∵不等式组的解集为x≥，∴≤，解得m≤5，解方程3y﹣2＝，得：y＝，∵方程的解为非负整数，∴符合m≤5的m的值为2和5，则符合条件的所有整数m的积为10，故选：D．3．（2019春•沙坪坝区期末）关于x、y的方程组的解是正整数，且关于t的不等式组有解，则符合条件的整数m的值的和为5．【解答】解：，①﹣②得：3y＝7﹣m，解得：y＝，把y＝代入①得：x＝，由方程组的解为正整数，得到7﹣m与8+m都为3的倍数，∴m＝1，4，不等式组整理得：，即﹣1≤t≤m，由不等式组有解，得到m＝1，4，综上，符合条件的整数m的值的和为1+4＝5．故答案为：5．。

锐角三角函数与特殊角4、（2013四川宜宾）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足=，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E=；④S△DEF=4．其中正确的是①②④（写出所有正确结论的序号）．考点：相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理．分析：①由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得：=，DG=CG，继而证得△ADF∽△AED；②由=，CF=2，可求得DF的长，继而求得CG=DG=4，则可求得FG=2；③由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得tan∠E=；④首先求得△ADF的面积，由相似三角形面积的比等于相似比，即可求得△ADE的面积，继而求得S△DEF=4．解答：解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴=，DG=CG，∴∠ADF=∠AED，∵∠F AD=∠DAE（公共角），∴△ADF∽△AED；故①正确；②∵=，CF=2，∴FD=6，∴CD=DF+CF=8，∴CG=DG=4，∴FG =CG ﹣CF =2； 故②正确； ③∵AF =3，FG =2， ∴AG ==，∴在Rt △AGD 中，tan ∠ADG ==，∴tan ∠E =；故③错误；④∵DF =DG +FG =6，AD ==，∴S △ADF =DF •AG =×6×=3，∵△ADF ∽△AED ， ∴=（）2，∴=，∴S △AED =7，∴S △DEF =S △AED ﹣S △ADF =4；故④正确． 故答案为：①②④．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．5、(2013年武汉)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是⋂AB 的中点，连接P A ，PB ，PC ．（1）如图①，若∠BPC ＝60°，求证：AP AC 3=； （2）如图②，若2524sin =∠BPC ，求PAB ∠tan 的值．第22题图①第22题图②解析：（1）证明：∵弧BC ＝弧BC ，∴∠BAC ＝∠BPC ＝60°．又∵AB ＝AC ，∴△ABC 为等边三角形∴∠ACB ＝60°，∵点P 是弧AB 的中点，∴∠ACP ＝30°，又∠APC ＝∠ABC ＝60°，∴AC ＝3AP ．（2）解：连接AO 并延长交PC 于F ，过点E 作EG ⊥AC 于G ，连接OC ． ∵AB ＝AC ，∴AF ⊥BC ，BF ＝CF ．∵点P 是弧AB 中点，∴∠ACP ＝∠PCB ，∴EG ＝EF ． ∵∠BPC ＝∠FOC ，∴sin ∠FOC ＝sin ∠BPC=2524． 设FC ＝24a ，则OC ＝OA ＝25a ， ∴OF ＝7a ，AF ＝32a ．在Rt △AFC 中，AC 2＝AF 2+FC 2，∴AC ＝40a ．在Rt △AGE 和Rt △AFC 中，sin ∠FAC ＝ACFCAE EG =， ∴aaEG a EG 402432=-，∴EG ＝12a ． ∴tan ∠PAB ＝tan ∠PCB=212412==a a CF EF ．一．选择题1．（2013兰州，9，3分）△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A ．∠B 、∠C 的对边，如果a 2+b 2=c 2，那么下列结论正确的是（ ）A ．csinA =aB ．bcosB =cC ．atanA =bD ．ctanB =b 考点：勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义．分析：由于a 2+b 2=c 2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC 是直角三角形，且∠C =90°，再根据锐角三角函数的定义即可得到正确选项． 解答：解：∵a 2+b 2=c 2，∴△ABC 是直角三角形，且∠C =90°．A ．sinA =，则csinA =a ．故本选项正确；B ．cosB =，则cosBc =a ．故本选项错误；C ．tanA =，则=b ．故本选项错误；第22（2）题图D ．tanB =，则atanB =b ．故本选项错误．故选A ．点评：本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理的逆定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 2．（2013湖北孝感，8，3分）式子的值是﹣﹣（+1点3 .[2013湖南邵阳，9，3分]在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A - 12 +(cos B - 12 )2=0，则∠C 的度数是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°知识考点：特殊角的三角函数值，绝对值，非负数的性质.审题要津：根据两个非负数相加和为0，这两个非负数的值都为0可分别求出∠A 、∠B 的角度数，从而求出∠C 的度数.满分解答：解：由题意知⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A - 12 =0，cos B - 12 =0所以∠A =45°，∠B=45°.故∠C=180°-∠A -∠B=180°-45°-45°=90°.故选C.名师点评：本题是常见的计算型试题，考查考生的综合运算能力，熟练掌握特殊角的三角函数值，绝对值，非负数的性质是解题的关键.4．（2013•东营，5，3分）将等腰直角三角形AOB 按如图所示放置，然后绕点O 逆时针旋转90︒至A OB ''∆的位置，点B 的横坐标为2，则点A '的坐标为（ ）A ．(1，1)B ．C ．(－1，1)D ．(答案：C解析：在Rt AOB ∆中，2OB =，45AOB ∠=︒，OAAOB OB∠=，所以2cos 22OA OB AOB =∠==，所以OA '=，过A '作A C y '⊥轴于点C ，在Rt A OC '∆，45A OC '∠=︒，OA '=，sin A CA OC A O''∠='，2sin 21A C A O A OC '''=∠==，又因为⊙O 1A C '==，且点A '在第二象限，所以点A '的坐标为（－1，1）． 5. （2013杭州3分）在Rt △ABC 中，∠C =90°，若AB =4，sinA =，则斜边上的高等于（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B ．【解析】根据题意画出图形，如图所示， 在Rt △ABC 中，AB =4，sinA =， ∴BC =ABsinA =2.4， 根据勾股定理得：AC ==3.2，∵S △ABC =AC •BC =AB •CD ， ∴CD ==【方法指导】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，以及三角形的面积求法，熟练掌握定理及法则是解本题的关键6. （2013•衢州3分）如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B 处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m ，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB ）为1.6m ，则这棵树的高度为（ ）（结果精确到0.1m ，≈1.73）．3.5m【解析】设CD=x ，在Rt △ACD 中，CD=x ，∠CAD=30°， 则AD=x ，在Rt △CED 中，CD=x ，∠CED=60°， 则ED=x ，由题意得，AD ﹣ED=x ﹣x=4，解得：x=2，则这棵树的高度=2+1.6≈5.1m．【方法指导】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．7.（2013四川乐山，6，3分）如图，已知第一象限内的点A 在反比例函数2y x=上，第二象限的点B 在反比例函数k y x=上，且OA ⊥OB ，，则k 的值为【 】A ．－3B ．－6C ．－4D ．-8．（2013重庆市，6，4分）计算6tan 45°－2cos 60°的结果是（ ）A ．B ．4C ．D ．5【解析】6tan 45°－2cos 60°＝6³1－2³12＝5． 【方法指导】本题考查特殊锐角三角函数值．熟练记忆特殊锐角三角函数值，并掌握实数运算法则是准确求解的前提． 10．（2013重庆，9，4分）如图，在△ABC 中，∠A =45°，∠B =30°，CD ⊥AB ，垂足为D ，CD =1，则AB 的长为（ ）A ．2B ．32C ．133+ D ．13+ 【答案】D【解析】在Rt△ACD 中，∠ADC =90°，∠A =45°，∴∠ACD =∠A =45°，∴AD = CD =1． 在Rt△BCD 中，∠BDC =90°，∠B =30°，∴BD =330tan 1tan =︒=B CD ，∴AB =AD +BD =31+，故选D ．【方法指导】本题考查了对锐角三角函数的识记，以及用三角函数的知识解直角三角形．求一般三角形边的长度，可以通过求作高，转化为直角三角形解答；在含有特殊角的直角三角形中，已知两个元素（至少有一条边），可以用三角函数的定义、勾股定理、直角三角形两内角互余的关系，求出所有未知的边或角；锐角三角函数，表示的是直角三角形中边、角之间的关系，三者之间可以相互转化：c a A =sin ，则a ＝c ²sinA ，c ＝A a sin ；cb A =cos ，则b ＝c ²cosA ，c ＝A b cos ；b a A =tan ，则a ＝btanA ；Aab tan =．11．(2013湖北荆门，11，3分)如图，在半径为1的⊙O 中，∠AOB ＝45°，则sin C 的值为( )A【答案】B【解析】如图2，过点B 作BD ⊥AC 于D ，∵OB ＝1，∠AOB ＝45°，∴BD ＝ODADADBC（第9题图）(第11题) 图2＝1Rt △ABD 中，AB ．∴sin C ＝AB ACB ．【方法指导】∵∠AOB ＝2∠C ，∴∠C ＝22.5°．此题说明sin22.5cos22.5tan22.51． 二．填空题2．（2013湖北孝感，15，3分）如图，两建筑物的水平距离BC 为18m ，从A 点测得D 点的俯角α为30°，测得C 点的俯角β为60°．则建筑物CD 的高度为 12 m （结果不作近似计算）．BCD E CD=BE （中，AE=DE•tan∠ADE=18³tan30°=6（AE=18=12．3．（2013²鞍山，13，2分）△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，cosA＝，则BC的长．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．分析：首先利用余弦函数的定义求得AC的长，然后利用勾股定理即可求得BC的长．解答：解：∵cosA＝，∴AC＝AB•cosA＝8³＝6，∴BC＝＝＝2．故答案是：2．点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．4. 2013杭州4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：①sinA=；②cosB=；③tanA=；④tanB=，其中正确的结论是（只需填上正确结论的序号【答案】．②③④【解析】如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，∴sinA==，故①错误；∴∠A=30°，∴∠B=60°，∴cosB=cos60°=，故②正确；∵∠A=30°，∴tanA=tan30°=，故③正确；∵∠B=60°，∴tanB=tan60°=，故④正确．【方法指导】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．5（2013四川内江，22，6分）在△ABC 中，已知∠C=90°，sinA+sinB =，则sinA ﹣sinB= ± ． A+2sinAcosA=，∴2sinAcosA=，=6. （2013浙江台州，14，5分）如图，在⊙O 中，过直径AB 延长线上的点C 作⊙O 的一条切线，切点为D ，若AC=7，AB=4，则sinC 的值为 ．【答案】：52． 【解析】连结OD ，∵AB=4，则OA=OB=OC=2，OC=5，由于CD 为⊙O 的切线，则∠ODC=90°，∴sinC=25OD OC 。

方程与不等式专题。

一．选择题（共12小题）1．使得关于x的不等式组有解，且使分式方程有非负整数解的所有的m的和是（）A．﹣1 B．2 C．﹣7 D．02．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（）A．k＜1且k≠0 B．k≠0 C．k＜1 D．k＞13．不论x，y取何实数，代数式x2﹣4x+y2﹣6y+13总是（）A．非实数B．正数C．负数D．非正数4．关于x的分式方程﹣=1有增根，则m的值为（）A．1 B．4 C．2 D．05．有一个底面半径为10cm，高为30cm的圆柱形大杯中存满了水，把水倒入一个底面直径为10cm的圆柱形小杯中，刚好倒满12杯，则小杯的高为（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm6．某商店出售两件衣服，每件卖了200元，其中一件赚了25%，而另一件赔了20%，那么商店在这次交易中（）A．赚了10元B．亏了10元C．赚了20元D．亏了20元7．已知关于x的方程x﹣=﹣1的解是正整数，则符合条件的所有整数a的积是（）A．12 B．36 C．﹣4 D．﹣128．方程|2x﹣1|﹣a=0恰有两个正数解，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜0 B．﹣1＜a＜1 C．0＜a＜1 D．＜a＜19．按国家2011年9月1日起实施的有关个人所得税的规定个人月工资（薪金）中，扣除国家规定的免税部分3500元后的剩余部分为应纳税所得额，全月应纳税所得额不超过1500元的税率为3%，超过1500元至4500元部分的税率为10%，若小明妈妈某月缴了145元的个人所得税，则她的月工资是（）A．6000元B．5500元C．2500元D．2000元10．分式方程=无解，则m的值为（）A．2 B．1 C．1或2 D．0或211．若关于x的分式方程有增根，则k的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．112．已知关于x的不等式组有五个整数解，m的取值范围是（）A．﹣4≤m＜﹣3 B．﹣8≤m＜﹣6 C．4＜m≤6 D．4≤m＜6二．填空题（共10小题）13．已知点P（x，y）位于第二象限，并且y≤2x+6，x、y为整数，则点P的个数是．14．若不等式组无解，则m的取值范围是．15．敌我两军相距14千米，敌军于1小时前以4千米/小时的速度逃跑，现我军以7千米/小时的速度追击小时后可追上敌军．16．已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n ﹣1）=﹣6，则a的值为．17．已知x，y均为实数，且满足关系式x2﹣2x﹣6=0，y2﹣2y﹣6=0，则=．18．若不等式组无解，则m的取值范围是．19．一座桥长1200米，一列火车以每秒20米的速度通过这座桥，火车车身长300米，则火车从上桥到离开需要秒．20．若实数a，b满足（a2+b2）（a2+b2﹣8）+16=0，则a2+b2=．21．方程=x﹣1的根为．22．要使关于x的方程有唯一的解，那么m≠．三．解答题（共6小题）23．已知方程组的解x、y满足x+y＜1，且m为正数，求m的取值范围．24．一件夹克衫先按成本提高50%标价，再以8折（标价的80%）出售，结果获利28元，求这件夹克衫的成本是多少元？25．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=6m，AC=8m，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速运动，已知点P移动的速度是20cm/s，点Q移动的速度是10cm/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的？26．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为，根据上面的信息解答：（1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？（2）求出原方程组的正确解．27．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2=﹣1①，这个数i 叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a，b 为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．如果只把i当成代数，则i将符合一切实数运算规则，但要根据①式变通来简便运算．（不要把复数当成高等数学，它只是一个小学就学过的代数而已！它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．）例题1：i3=i2•i=﹣1•i=﹣i；i4=i3•i=﹣i•i=﹣i2=﹣（﹣1）=1例题2：（2+i）+（3﹣4i）=（2+3）+（1﹣4）i=5﹣3i（5+i）×（3﹣4i）=15﹣20i+3i ﹣4i2=15﹣17i+4=19﹣17i同样我们也可以化简===2i也可以解方程x2=﹣1，解为x1=i，x2=﹣i．读完这段文字，请你解答以下问题：（1）填空：i5=，i6=；（2）计算：（2+i）2；（3）在复数范围内解方程：x2﹣x+1=0．28．为了更好的保护美丽图画的邛海湿地，西昌市污水处理厂决定先购买A、B 两型污水处理设备共20台，对邛海湿地周边污水进行处理，每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640吨，2台A型污水处理设备和3台B 型污水处理设备每周可以处理污水1080吨．（1）求A、B两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨？（2）经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于4500吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少？方程与不等式专题。

初中数学方程与不等式之分式方程知识点总复习附答案解析(1)一、选择题1．关于x 的分式方程230+=-x x a解为4x =，则常数a 的值为( ) A ．1a = B ．2a =C ．4a =D ．10a =【答案】D 【解析】 【分析】根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a 的一次方程，解得a 的值即可． 【详解】解：把x=4代入方程230+=-x x a，得 23044a +=-， 解得a=10．经检验，a=10是原方程的解 故选D ．点睛：此题考查了分式方程的解，分式方程注意分母不能为0．2．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x 件衬衫，则所列方程为（ ）A ．10000x ﹣10=147000(140)0x + B ．10000x +10=147000(140)0x + C ．100000(140)0x -﹣10=14700x D ．100000(140)0x -+10=14700x【答案】B 【解析】 【分析】根据题意表示出衬衫的价格，利用进价的变化得出等式即可． 【详解】解：设第一批购进x 件衬衫，则所列方程为：10000x +10=()1470001400x +．故选B ．此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题关键．3．如果关于x 的分式方程11222a x x-+=--有整数解，且关于x 的不等式组43(1)211(1)22x x x x a ≥-⎧⎪⎨-+<-⎪⎩有且只有四个整数解，那么符合条件的所有整数a 的和是（ ） A ．4 B ．-2C ．-3D ．2【答案】A 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整数方程的解，不等式组整理后，由解只有四个整数解，确定出a 的值，求出之和即可． 【详解】解：分式方程去分母得：1-a+2x-4=-1， 解得：22a x +=，且222a +≠，a 为偶数， 即2a ≠，a 为偶数，不等式组整理得：34x a x ≥-⎧⎪⎨⎪⎩＜，由不等式组只有四个整数解，得到x=-3，-2，-1，0，可得0＜4a≤1，即0＜a≤4，即a=1，2，3，4， 经检验a=4， 则和为4， 故选：A ． 【点睛】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．已知关于x 的分式方程211x k x x-=--的解为正数，则k 的取值范围为（ ） A ．20k -<< B ．2k >-且1k ≠- C ．2k >-D ．2k <且1k ≠【答案】B 【解析】 【分析】先用k 表示x ，然后根据x 为正数列出不等式，即可求出答案.解：211x k x x-=--Q， 21x kx +∴=-， 2x k ∴=+，Q 该分式方程有解，21k ∴+≠， 1k ∴≠-， 0x Q >， 20k ∴+>， 2k ∴>-，2k ∴>-且1k ≠-， 故选：B ． 【点睛】本题考查的是分式方程，熟练掌握分式方程是解题的关键.5．对于非零实数a 、b ，规定a ⊗b ＝21a b a-．若x ⊗（2x ﹣1）＝1，则x 的值为（ ） A ．1 B ．13 C ．﹣1D ．-13【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】解：根据题中的新定义可得：()21x x ⊗-=21121x x x-=-， 解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解， 故选A ． 【点睛】本题考查了新定义、解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．6．若关于x 的分式方程233x mx x -=--有增根，则m 的值是（ ） A ．1- B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】根据分式方程的增根的定义得出x-3=0，再进行判断即可． 【详解】 去分母得：x-2=m ， ∴x=2+m ∵分式方程233x mx x -=--有增根， ∴x-3=0， ∴x= 3， ∴2+m=3， 所以m=1， 故选：B ． 【点睛】本题考查了对分式方程的增根的定义的理解和运用，能根据题意得出方程x-3=0是解此题的关键，题目比较典型，难度不大．7．从4-，2-，1-，0，1，2，4，6这八个数中，随机抽一个数，记为a ．若数a 使关于x 的一元二次方程()22240x a x a --+=有实数解．且关于y 的分式方程1311y a y y+-=--有整数解，则符合条件的a 的值的和是（ ） A ．6- B ．4- C ．2- D ．2【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次方程()22240x a x a --+=有实数解，确定a 的取值范围，由分式方程1311y a y y+-=--有整数解，确定a 的值即可判断． 【详解】方程()22240x a x a --+=有实数解，∴△=4(a −4)2−4a 2⩾0， 解得a ⩽2∴满足条件的a 的值为−4，−2，−1，0，1，2方程1311y a y y+-=-- 解得y=2a+2 ∵y 有整数解 ∴a=−4，0，2，4，6综上所述，满足条件的a 的值为−4，0，2， 符合条件的a 的值的和是−2 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程根据方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；以及分式方程解的定义：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫分式方程的解．8．把分式方程11122x x x--=--，的两边同时乘以x-2，约去分母，得（ ） A ．1-(1-x)=1 B ．1+(1-x)=1C ．1-(1-x)=x-2D ．1+(1-x)=x-2【答案】D 【解析】 【分析】本题需要注意的有两个方面：①、第二个分式的分母为2－x ，首先要化成x －2；②、等式右边的常数项不要漏乘． 【详解】 解：11122x x x--=-- 11+122x x x -=-- 两边同时乘以x-2，约去分母，得1+(1-x)=x-2 故选：D 【点睛】本题考查解分式方程．9．某一景点改造工程要限期完成，甲工程队独做可提前一天完成，乙工程队独做要误期6天，现由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，若设工程期限为x 天，则下面所列方程正确的是( ) A ．4116x x x +=+- B ．416x x x =-+ C ．4116x x x +=-- D ．4116x x x +=-+ 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据工程期限为x 天，结合题意得出甲每天完成总工程的11x -，而乙每天完成总工程的16x +，据此根据题意最终如期完成了工程进一步列出方程即可. 【详解】∵工程期限为x 天，∴甲每天完成总工程的11x -，乙每天完成总工程的16x +， ∵由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成， ∴可列方程为：4116x x x +=-+， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，根据题意正确找出等量关系是解题关键.10．为有效落实党中央“精准扶贫”战略决策，某市对农村实施“户户通”修路计划，已知该市计划在某村修路5000m ，在修了1000m 后，由于引入新技术，工作效率提高到原来的1.2倍，结果提前5天完成了任务.若设原来每天修路 m x ，则可列方程为( ) A ．50004000100051.2x x x=+- B ．5000100040005 1.2x x x +=+ C ．5000400010005 1.2x x x -=+ D ．5000100040005 1.2x x x-=+ 【答案】D 【解析】 【分析】本题依题意可知等量关系为原计划工作时间-实际工作时间=5，根据等量关系列出方程即可.【详解】设原来每天修路xm ，引入新技术后每天修路1.2xm ，实际工作天数为（100040001.2x x+），原计划工作天数为5000x天，根据题意得， 5000100040005 1.2x x x -=+， 故选D. 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意是解答应用题的关键，找出题中的等量关系，列出关系式．11．对于实数a 、b ，定义一种新运算“⊗”为：23a b a ab⊗=-，这里等式右边是通常的四则运算．若32x x ⊗⊗（﹣）＝，则x 的值为（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．2【答案】B 【解析】 【分析】利用题中的新定义变形已知等式，然后解方程即可． 【详解】根据题中的新定义化简得：339342x x=+-，去分母得：12﹣6x =27+9x ，解得：x =﹣1，经检验x =﹣1是分式方程的解． 故选B ． 【点睛】本题考查了新定义和解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．12．已知关于x 的分式方程213x mx -=-的解是非正数，则m 的取值范围是（ ） A ．3m ≤ B ．3m <C ．3m >-D ．3m ≥-【答案】A 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程解为正数确定出m 的范围即可 【详解】213x mx -=-， 方程两边同乘以3x -，得23x m x -=-，移项及合并同类项，得3x m =-，Q 分式方程213x mx -=-的解是非正数，30x -≠，30(3)30m m -≤⎧∴⎨--≠⎩， 解得，3m ≤， 故选：A ． 【点睛】此题考查分式方程的解，解题关键在于掌握运算法则求出m 的值13．如果关于x 的分式方程2ax 423x x 3++=--有正整数解，且关于y 的不等式组()3y 34yy a⎧-⎨≥⎩＞无解，那么符合条件的所有整数a 的和是（ ） A ．﹣16 B ．﹣15C ．﹣6D ．﹣4【答案】D 【解析】 【分析】先根据分式方程有正整数解确定出a 的值，再由不等式组无解确定出满足题意的a 的值，求出之和即可． 【详解】解：分式方程去分母得：2+ax ﹣2x+6＝﹣4， 整理得：(a ﹣2)x ＝﹣12(a ﹣2≠0)， 解得：x 12a 2=--， 由分式方程有正整数解，得到a ＝1，0，﹣1，﹣2，﹣4，﹣10， 当a ＝﹣2时，x ＝3，原分式方程无解， 所以a ＝1，0，﹣1，﹣4，﹣10， 不等式组整理得：y<9y a-⎧⎨≥⎩，由不等式组无解，即a≥﹣9，∴符合条件的所有整数a 有1，0，﹣1，﹣4， ∴a ＝1，0，﹣1，﹣4，之和为﹣4， 故选：D ． 【点睛】此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．若关于x 的分式方程2233x mx x -=--有增根，则m 的值为（ ）． A ．3 B．CD．【答案】D 【解析】解关于x 的方程2233x mx x -=--得：26x m =-， ∵原方程有增根，∴30x -=，即2630m --=，解得：m = 故选D.点睛：解这类题时，分两步完成：（1）按解一般分式方程的步骤解方程，用含待定字母的式子表示出方程的根；（2）方程有增根，则把（1）中所得的结果代入最简公分母中，最简公分母的值为0，由此即可求得待定字母的值.15．关于x的方程2111axx x-=++的解为非正数，且关于x的不等式组22533a xx+⎧⎪+⎨⎪⎩„…无解，那么满足条件的所有整数a的和是（）A．﹣19 B．﹣15 C．﹣13 D．﹣9【答案】C【解析】解：分式方程去分母得：ax﹣x﹣1=2，整理得：（a﹣1）x=3，由分式方程的解为非正数，得到31a-≤0，且31a-≠﹣1，解得：a＜1且a≠﹣2．不等式组整理得：224axx-⎧≤⎪⎨⎪≥⎩，由不等式组无解，得到22a-＜4，解得：a＞﹣6，∴满足题意a的范围为﹣6＜a＜1，且a≠﹣2，即整数a的值为﹣5，﹣4，﹣3，﹣1，0，则满足条件的所有整数a的和是﹣13，故选C．点睛：此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．2017年，全国部分省市实施了“免费校车工程”．小明原来骑自行车上学，现在乘校车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同．已知小明家距学校5千米，若校车速度是他骑车速度的2倍，设小明骑车的速度为x千米/时，则下面所列方程正确的为()A．5x＋16＝52xB．5x＝52x＋16C．5x＋10＝52xD．5x－10＝52x【答案】B【解析】【分析】设小明骑车的速度为x千米/小时，校车速度为2x千米/小时，等量关系为：小明骑车所走的时间减去校车所走的时间=10分钟，据此列方程．【详解】设小明骑车的速度为x千米/小时，校车速度为2x千米/小时，由题意得, 5x＝52x＋16所以答案为B.【点睛】本题考查了分式方程，解题的关键是根据实际问题列出分式方程.17．《九章算术》中记录的一道题目译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（）A．900900213x x⨯=+-B．900900213x x=⨯+-C．900900213x x⨯=-+D．900900213x x=⨯-+【答案】A【解析】【分析】设规定时间为x天，可得到慢马和快马需要的时间，根据快马的速度是慢马的2倍的速度关系即可列出方程．【详解】解：设规定时间为x天，则慢马需要的时间为（x+1）天，快马的时间为（x-3）天，∵快马的速度是慢马的2倍∴900900213 x x⨯=+-故选A．【点睛】本题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系即可列方程．18．甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（）A．1806x+=1206x-B．1806x-=1206x+C．1806x+=120xD．180x=1206x-【答案】A【解析】分析：直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案．详解：设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为：1806 x+=1206x-．故选A．点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间和速度是解题关键．19．从4-，1-，0，2，5，8这六个数中，随机抽一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组0331016x a x -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩无解，且关于y 的分式方程2233y a y y -+=--有非负数解，则符合条件的a 的值的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】由不等式组无解确定出a 的一个取值范围、由分式方程其解为非负数确定a 的一个取值范围，综上可确定a 的最终取值范围，根据其取值范围即可判定出满足题意的值．【详解】 解：0331016x a x -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩①②解①得，x a <解②得，2x ≥∵不等式组无解∴2a ≤ ∵2233y a y y-+=-- ∴83a y -= ∵关于y 的分式方程2233y a y y -+=--有非负数解 ∴803a y -=≥且833a -≠ ∴8a ≤且a≠-1∴综上所述，2a ≤且1a ≠-∴符合条件的a 的值有4-、0、2共三个．故选：C【点睛】本题考查了不等式（组）的解法、分式方程的解法，能根据已知条件确定a 的取值范围是解决问题的关键．20．若关于x 的方程244x a x x =+--有增根，则a 的值为（ ） A ．-4B ．2C ．0D ．4【答案】D【解析】【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．让最简公分母x-4=0，得到x=4．再将x=4代入去分母后的方程即可求出a=4.【详解】解：由分式方程的最简公分母是x-4，∵关于x 的方程244x a x x =+--有增根， ∴x-4=0，∴分式方程的增根是x=4． 关于x 的方程244x a x x =+--去分母得x=2(x-4)+a, 代入x=4得a=4故选D ．【点睛】 本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．。

中考分类汇总三角函数问题及答案题1 在△ABC 中，AB >AC ，AD 为∠BAC 的平分线，AD 的垂直平分线交BC 的延长线于点F ，分别交AB ，AC 于点E ，点G .题1图（1）求证：DF 2 ＝BF •CF .（2）如果AC ∶AB ＝3∶4，求CF ∶BF .（3）如果，ABAC ＝x ，BF ＝y ，写出y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．题2 如图所示，△ABC 与△EFD 为等腰直角三角形，AC 与DE 重合，AB ＝EF ＝9，∠BAC ＝∠DEF ＝90°．固定△ABC ，将△EFD 绕点A 顺时针旋转，当DF 边与AB 边重合时，旋转终止，不考虑旋转开始和结束时的重合情况，设DE ，DF （或它们的延长线）分别交BC （或它的延长线）于点G ，H ，如图所示．题2图（1）始终相似的三角形是和．（2）设CG ＝x ，BH ＝y ，求y 关于x 的函数关系式．（3）当x 为何值时，△AGH 是等腰三角形．题3 如图所示，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，E 是AC 边上的一个动点（不与A ，C 重合），CF ⊥BE 于点F .题3图（1）BC 2 ＝•＝•（填写有关线段的乘积）．（2）求证：BF •AE ＝FD •AB .（3）若BC ＝3，BD ＝1.8，CE ＝x ，FD ＝y ，写出y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．题4 如图所示，矩形DEFG 内接于锐角△ABC ，AH 是BC 边上的高，AH ＝6，BC ＝12.题4图（1）FG ＝2EF ，求矩形DEFG 的面积．（2）若FG ＝x ，S 矩形DEFG ＝y ，写出y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．题5 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝30°，BC ＝8，点D 在边BC 上，点E 在线段DC 上，DE ＝4，△FDE 是等边三角形，边DF 交边AB 于点M ，边EF 交边AC 于点N .题5图（1）求证：△BMD ∽△CNE .（2）设BD ＝x ，五边形ANEDM 的面积为y ，写出y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．题6 已知AB ＝2，AD ＝4，∠DAB ＝90°，AD ∥BC ，E 是射线BC 上的动点（点E 与点B 不重合），M 是线段DE 的中点．题6图（1）设BE ＝x ，△ABM 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域．（2）连接BD ，交线段AM 于点N ，如果以A ，N ，D 为顶点的三角形与△BME 相似，求线段BE 的长．题7 如图所示，正方形ABCD 中，AB ＝1，点G 为CD 边的中点，点E 为BC 边上任一点（点E 与点B 、点C 不重合）．设BE ＝x ，过点E 作EF ∥GA 交AB 于点F ．设梯形AFEG 的面积为y ，写出y 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围．题7图题8 如图所示，△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝AC ＝3，E 为BC 上任意一点，EP ⊥AB 于点P ，过点E 作AB 平行线交AC 于点F ，设BP ＝x ，四边形APEF 面积为y .题8图（1）写出y 与x 的函数关系式．（2）x 取何值时，四边形APEF 面积为？题9 如图所示，有一块直角梯形铁皮ABCD ，AD ＝3 cm，BC ＝6 cm，DC ＝4 cm，现要截出矩形EFCG （点E 在AB 上，与点A 、点B 不重合）．设BE ＝x ，矩形EFCG 周长为y .题9图（1）写出y 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围．（2）x 取何值时，矩形EFCG 的面积等于直角梯形ABCD 面积的题10 如图所示，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ＝5，AD ＝6，BC ＝12．点E 在AD 边上，AE ＝2，F 为AB 上任一点（点F 与点A ，B 不重合）．过点F 作FG ∥CE 交BC 于点G ．设BF ＝x，四边形EFGC 面积为y .题10图（1）写出y 与x 的函数关系式．（2）x 取何值时，EG ⊥BC ？题11 如图所示，△ABC 中，点M 在BC 边上移动（不与点B ，C 重合），作ME ∥CA 交AB 于点E ，作MF ∥AB 交AC 于点F ，S＝10 cm2 ．设，四边形AEMF 面积为y ，写出y 与x △ABC的函数关系式，并指出x 的取值范围．题11图题12 如图所示，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边长为8，BC 边上的高为6，∠B 和∠C 都为锐角，M 为AB 上的一个动点（点M 与点A，B 不重合）．过点M 作MN ∥BC ，交AC 于点N ，在△AMN 中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h.题12图（1）请你用含x 的代数式表示h.（2）将△AMN 沿MN 折叠，使△AMN 落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为A 1 ，△A 1 MN 与四边形BCNM 重叠部的面积为y ，当x 为何值时，y 最大？最大值为多少？1．（1）提示：如图所示，连接AF ，因为EF 是AD 的垂直平分线，所以DF ＝AF ，∠ADF ＝∠DAF ，∠B ＋∠BAD ＝∠DAC ＋∠CAF ，又AD 为∠BAC 的角平分线，所以∠B ＝∠FAC ．因为∠BFA ＝∠CFA ，所以△ABF ∽△CAF ，得到AF 2＝BF •CF ，因此DF 2＝BF •C F .题1答案图（2）9∶16．提示：由（1）的结论△ABF ∽△CAF 得，因此CF ∶BF ＝9∶16.（3）．提示：因为AD 为∠BAC 的角平分线，．因为BC ＝6，所以．由（1）的结论DF2＝BF •CF ，代入得.2．（1）△AGH ，△ABH ．提示：因为∠AGC ＝∠B ＋∠BAG ＝∠BAG ＋∠EAF ＝∠BAH ，又∠B ＝∠ACB ＝45°，所以△AGC ∽△HAB ，得∠GAC ＝∠H ，所以△AGC ∽△HGA .（2）．提示：因为△AGC ∽△HGA ，所以 .（3）或9．提示：①当时，∠GAC ＝∠H<∠HAG ，所以AG <GH ，AH >GH ，所以△AGH 不可能是等腰三角形．②当时，见图（a），易得时，见图（b），因为△AGC ∽△HGA ，又因为在△ACG 中只可能AC ＝GC ，所以AG ＝AH ，得CG ＝AC ＝9.题2答案图3．（1）BC 2 ＝AB •BD ＝BE •BF ．提示：由条件易得△ACB∽△CDB ，，因此BC 2 ＝AB •BD ＝BE •BF .（2）提示：由（1）的结论得AB •BD ＝BE •BF ，又因为∠ABE ＝∠ABE ，所以△ABE ∽△FBD ，从而得到，因此BF •AE ＝FD •AB .（3）．提示：因为BC ＝3，BD ＝1.8，BC 2 ＝AB •BD ，得到AB ＝5，AC ＝4，．又因为BC 2 ＝BE •BF ，得到．由（2）中结论BF •AE ＝FD •FB得.4．（1）18．提示：设DG ＝a ，因为GF ∥DE ，所以，得a ＝3，因此S 矩形DEFG ＝3×6＝18.（2）．提示：由（1）中的结论，所以，NH ＝DG ＝．5．（1）提示：由题意得∠BDM ＝180°－∠FDC ＝180°－∠FED ＝∠CEN ．又因为AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C ，因此△BMD ∽△CNE .题5答案图（2）．提示：如图所示，作MH ⊥BC ，由条件在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝30°，BC ＝8，易得．因为MD ＝BD ＝x ，∠MDH ＝60°，所以，又因为△BMD ∽△CNE ，所以，因此 .6．（1）．提示：如图所示，取AB 中点H ，连接MH ．由M 为DE 的中点，易得MH ∥BE ，所以，又AB ⊥BE ，所以MH ⊥AB ，因此．题6答案图（2）8或2．提示：因为以A ，N ，D 为顶点的三角形与△BME 相似，又易证得∠DAM ＝∠EBM ．① 当∠ADN ＝∠BEM 时，因为AD∥BE ，所以∠ADN ＝∠DBE ，得∠BEM ＝∠DBE ，DB ＝DE ，易得BE ＝2AD ，因此BE ＝8；② 当∠ADB ＝∠BME 时，因为AD ∥BE ，所以∠ADB ＝∠DBE ，∠DBE ＝∠BME ．又因为∠BED ＝∠MEB ，所以△BED ∽△MEB ；得，即BE 2＝EM •DE ，因此，解得x 1 ＝2，x 2 ＝－10（舍去），即线段BE 的长为2．综上所述，所求线段BE 的长为8或2.7．．提示：如图所示，延长AG ，BC 交于点H ，所以CH ＝AD ＝1，，y ＝S 阴＝S ABCD －S △FBE －S △ECG －S △ADG ，．题7答案图8．（1）．提示：∠B ＝30°，PE ＝，△ABC ∽△EFC ，．（2）x＝2或x ＝ .9．（1）．提示：如图所示，过点A 作AH ⊥BC ，点H 为垂足，，FC ＝（舍去）．题9答案图10．（1）．提示：如图所示，延长CE 和BA 延长线交于点H ，AH ＝1，，BG ＝2x ，过点A 作AQ ⊥BC ，垂足为点Q ，AQ ＝4，过点F 作FM ⊥BC ，垂足为点M ，，y 阴＝S 梯形ABCD －S △BFG －S △EDC －S △AFE ， .题10答案图11．y ＝－20x 2 ＋20x （0<x <1）．提示：设S △BME ＝S 1 ，S △FMC ＝S 2 ，（1－x ）2，y ＝10－S 1 －S 2 ＝1 －20x2 ＋20x （0<x <1）．12．（1） ．提示：因为MN ∥BC ，△AMN ∽△ABC ，.题12答案图（2）当时，y 最大，最大为8．提示：已知△AMN ≌△A 1MN ，△A 1 MN 的边MN 上的高为h .① 当点A 1 落在四边形BCNM 内或B边上时，y ＝S △A MN ＝；② 当A 1 落在四边形BCNM 外时，如图所示（4<x <8），设△A 1 EF 的边EF 上的高为h 1 ，则 ．因为EF ∥MN ，△AMN∽△ABC ，所以△A 1 EF ∽△ABC ，所以综上所述，当0<x ≤4时，，y 最大＝8；所以对于重叠部分的面积来说，当时，y 最大，y 最大＝8.。

中考11题含参分式方程与不等式组专题练习1（一中2021级初三上入学测试）若关于x 的一元一次不等式组53212x x x a+⎧≥+⎪⎨⎪≤⎩有解且最多有7个整数解；且关于y 的分式方程23111y a a y y+++=--有非负数解，则所有满足条件的整数a 有（ ）个． A ．1B ．2C ．3D ．42（一中2021级初三上国庆作业一）若关于x 的不等式组1223122310x x x x a -⎧+≤⎪⎪⎨⎪-<-⎪⎩有且仅有5个整数解，且关于y 的分式方程2344a y y y-=+--有正整数解，则满足条件的所有整数a 的个数为（ ） A. 6B. 5C. 4D. 33（一中2020级初三下押题卷）从-2,-1,0,3,4,5,7这7个树种，随机抽取一个数记为a ，是关于x 的分式方程6211ax x x x --=--有整数解，且使关于y 的不等数组242320y a y -⎧<⎪⎨⎪--≤⎩至少有三个整数解，则多有整数解则符合条件的整数a 的和为（ ）11、A 6 B 2 C 3 D 44（一中2020级初三下数学一模试卷）已知抛物线y ＝﹣x 2+（k ﹣1）x +3，当x ＞2时，y 随x 的增大而减小，并且关于x 的分式方程的解为正数．则符合条件的所有正整数k 的和为（ ）A ．8B ．10C ．13D ．155（一中2020级初三下假期作业补充）关于x 的一元一次不等式组11(42)423122x a x x ⎧--≤⎪⎪⎨-⎪<+⎪⎩的解集是x a ≤，且使关于y 的分式方程32211a y y--=--有非负整数解，则符合条件的所有整数a 的和为 A.8 B.9 C.2 D.36（一中2020级初三下第二次模拟）若数a 使关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≤-->-xa x x x 5425223有且只有4个整数解，且使关于y 的分式方程1424-=-+-+ya y a y 有整数解，则符合条件的所有整数a 的积为（ ） A ．6 B ．12 C ．48 D ．967（一中2020级初三下定时练习四）如果数m 使关于x 的方程（m +1）x 2﹣（2m ﹣1）x +m ＝0有实数根，且使关于x 的分式方程有正分数解，那么所有满足条件的整数m 的值的和为（ ）A ．﹣6B ．﹣5C ．﹣4D ．﹣38（一中2020级初三下定时训练七）若关于x 的不等式组12333114312x x a x ⎧+>⎪⎪⎨+--⎪->-⎪⎩的解集为3x >，且关于x 的分式方程133x a a x x +-=+-的解为非正数，则所有符合条件的整数a 的和为（ ） A.11 B.14 C.17 D.209（一中2020级九上定时作业二）若关于x 的不等式组0313132a x x x -⎧≥⎪⎪⎨-+⎪+<⎪⎩至少有六个整数解，且关于y 的分式方程2122ay y y-+=--的解为整数，则符合条件的所有整数a 有（ ▲ ）个 A.0 B.1 C.2 D.310（重庆一中2020级九下定时训练一）已知a 为实数，关于y x ,的二元一次方程组⎩⎨⎧-=+=-a y x a y x 212532的解的乘积小于零，且关于x 的分式方程22231--=-x a x x 有非负数解，则下列a 的值全都符合条件的是（ ） A ．1,1,2-- B ．2,1,1- C ．1,32,1- D ．2,0,1-11（重庆一中2020级九下半期考试）若关于x 的分式方程xx x a --=--13312的解为整数，且关于x 的不等式组431322()6x x x a x +-⎧->⎪⎨⎪->+⎩的解为正数，则符合条件的整数a 有（ ▲ ）个. A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个12（重庆一中2020级九上第二次定时作业）如果关于x 的方程2121=-++-x x x ax 有整数解，且关于x 的函数()2211y ax a x a =+-++与x 轴有交点，那么满足条件的整数a 的个数是（ ▲ ）．A. 2B. 3C. 4D. 513（重庆一中2020级九上其中考试）若关于x 的不等式组112+3236x x x a x+-⎧≤⎪⎨⎪-≤-⎩的解集为1x ≤，且使关于y 的分式方程2111a y y y---=++的解为非 正数，则符合条件的所有整数a 的和为（ ▲ ）A ．3-B ．6-C ．7-D ．10-14（重庆一中2020级九上期末测试）已知关于x 的分式方程012321=--+--x x ax 有整数解，且关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<---≥a x x x x 212)1(34有且只有3个负整数解，则符合条件的所有整数a 的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．415（重庆一中2020级九下周测五）若数a 使关于x 的方程17123ax x +=--有非负数解，且关于y 的不等式172222212y y y a y--⎧-<⎪⎨⎪+>-⎩恰好有两个偶数解，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A -22B -18C 11D 1216（重庆一中2020级九下期中测试模拟）已知关于x 的分式方程211x k x x -=--的解为正数，则k 的取值范围为 A.2k >- B.2k >-或1k ≠ C.2k < D.21k k <≠且答案：1.答案：B2.答案：D3.【答案】B4.答案：C ．5.答案：C6.答案：B7.答案：C．8.答案：C9.答案：A10答案：B11.答案：A12.答案：C13.答案：C14.答案：A15.答案：C 16.答案：D。

2023年中考专训：分式方程与不等式综合高频题姓名：完成题数：正确题数：一、难点突破➢解集为。

（同大/同小）例1．若关于x的不等式组的解集为x≥2，则m的取值范围是．例2．若关于x的不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是．➢有解/无解例1．若不等式组有解，则a的取值范围是．例2．若不等式组无解，则m的取值范围为．➢不等式组含参：整数解问题例1．关于x的不等式组恰有4个整数解，则a的取值范围是．例2．关于x的不等式组至少有4个整数解，则a的取值范围是．例3．关于x的不等式组最多有4个整数解，则a的取值范围是．例4．关于x的不等式组有解且最多有4个整数解，则a的取值范围是．例5．关于x的不等式组恰有4个奇数解，则a的取值范围是．例6．关于x的不等式组恰有4个偶数解，则a的取值范围是．例7. 已知关于x的不等式组的所有整数解的和为7，则a的取值范围是．例8．若关于x的不等式组至少有6个整数解，则整数a的最小值是是．解集为。

（同大/同小）练1．不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是．练2．若关于x的不等式组的解集是x≤a，则a的取值范围是．➢有解/无解练1．若不等式组有解，则实数a的取值范围是．练2．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是．➢不等式组含参：整数解问题练1．关于x的不等式组有且只有4个整数解，则m的取值范围是．练2．关于x的不等式组至少有4个整数解，则m的取值范围是．练3．关于x的不等式组至多有4个整数解，则m的取值范围是．练4．关于x的不等式组有解且至多有4个整数解，则m的取值范围是．练5．关于x的不等式组有且只有4个奇数解，则m的取值范围是．练6．关于x的不等式组有且只有4个偶数解，则m的取值范围是．练7. 若关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣7，则m的取值范围是．练8．关于x的不等式组的解集中至少有7个整数解，则整数a的最小值是．不等式组综合巩固作业姓名： 完成题数： 正确题数：➢ 方程与不等式综合1.关于x 的不等式组恰有三个整数解，那么m 的取值范围为 ．2.关于x 的不等式组至少三个整数解，那么m 的取值范围为 ．3.关于x 的不等式组至多三个整数解，那么m 的取值范围为 ．4.关于x 的不等式组有解且至多三个整数解，那么m 的取值范围为 ．5.关于x 的不等式组恰有三个奇数解，那么m 的取值范围为 ．6.关于x 的不等式组恰有三个偶数解，那么m 的取值范围为 ．7．若关于y 的不等式组的所有整数解的和是5，则a 的取值范围为 ．8．关于x 的不等式组的解集中至少有7个整数解，则整数a 的最小值是 ．二、分式方程与不等式综合含参问题1．（2022·重庆市育才中学二模）若关于x 的一元一次不等式组91331x x x a +⎧+≥⎪⎨⎪>+⎩的解集为3x ≥，且关于y 的分式方程122+=---y a y y 有正整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ）A ．10B ．12C ．18D ．202．（2022·重庆八中九年级阶段练习）关于x 的分式方程331122ax x x x --+=--的解为正数，且使关于y 的一元一次不等式组32122y y y a-⎧≤-⎪⎨⎪+>⎩有解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．﹣6 B ．﹣5 C ．﹣4 D ．﹣33．（2022·重庆·二模）若关于x 的方程111a x a x x ++=+-的解为负数，且关于y 的不等式组21131()02y y y a -⎧-≥⎪⎪⎨⎪-->⎪⎩无解．则所有满足条件的整数a 的值之积是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．04．如果关于x 的不等式组24533464x x x a +⎧≤⎪⎨⎪->-⎩有且只有四个整数解，且关于y 的分式方程127844ay y y -+=---的解为非负数，则符合条件的所有整数a 的个数为（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．（2022·重庆市育才中学一模）若关于x 的不等式组()32212x a x x -≤⎧⎨->+⎩ 至少有两个正整数解，且关于x 的分式方程(1)5155a x x x-+=---有正整数解，则符合条件的所有整数a 的和为（ ） A ．15 B ．16 C ．18 D ．196．已知关于x 的不等式组4(21)784x x x a -<⎧⎨-≥⎩恰有3个整数解，且关于y 的分式方程343222y ay y y y --=---的解为正数，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．4-B ．5-C ．4D ．5 7．（2022·重庆八中一模）已知关于x 的分式方程412222m x x -=--的解为整数，且关于y 的不等式组43323m y y y +<⎧⎨+>-+⎩有解且至多有2个整数解，则符合条件的整数m 的和为（ ） A ．﹣20 B ．﹣16 C ．﹣12 D ．﹣10分式方程与不等式综合含参考答案一、难点突破➢解集为。

中考数学专题复习《方程与不等式》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一 单选题1．下列等式变形错误的是（ ）A ．若 33x y -=- 则 0x y -=B ．若112x x -= 则 12x x -= C ．若 13x -= 则 4x =D ．若 342x x += 则 324x x -=-2．用配方法解一元二次方程2870x x +-= 则方程可化为（ ）A ．2(4)23x +=B ．2(8)23x +=C ．2(4)9x +=D ．2(8)9x +=3．在解方程3157246x x -+-= 时 第一步去分母 去分母后结果正确的是（ ） A ．12(31)12212(57)x x --⨯=+ B ．3(31)1222(57)x x --⨯=+ C ．3(31)322(57)x x --⨯=+D ．3(31)22(57)x x --⨯=+4．下列方程为一元一次方程的是（ ）A ．+2=3 x yB ．5y =C ．22x x =D ．12y y+= 5．《九章算术》中记载：“今有善田一亩 价三百 恶田七亩 价五百．今并买一顷 价钱一万．问善恶田各几何？”其大意是：今有好田1亩 价值300钱 坏田7亩 价值500钱．今共买好 坏田1顷（1顷=100亩） 价钱10000钱．问好 坏田各买了多少亩？设好田买了x 亩 坏田买了y 亩 则下面所列方程组正确的是（ ） A ．{x +y =100300x +7500y =10000 B ．{x +y =100300x +5007y =10000 C ．{x +y =1007500x +300y =10000D ．{x +y =1005007x +300y =100006．已知方程组35ax by ax by +=-⎧⎨-=⎩的解是12x y =-⎧⎨=⎩则2a b -的值是（ ） A ．3B ．－3C ．5D ．－57．如图 由矩形和三角形组合而成的广告牌紧贴在墙面上 重叠部分（阴影）的面积是4m 2 广告牌所占的面积是 30m 2（厚度忽略不计） 除重叠部分外 矩形剩余部分的面积比三角形剩余部分的面积多2m 2 设矩形面积是xm 2 三角形面积是ym 2 则根据题意 可列出二元一次方程组为（ ）A ．{x +y −4=30(x −4)−(y −4)=2B ．{x +y =26(x −4)−(y −4)=2C ．{x +y −4=30(y −4)−(x −4)=2D ．{x −y +4=30x −y =28．为了奖励学习认真的同学 班主任老师给班长拿了40元钱 让其购买奖品 现有单价为4元的A 种学习用品和单价为6元的B 种学习用品可供选择 若40元钱恰好花完 则班长的购买方案有（ ） A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种9．若x y < 则下列不等式中不成立的是（ ）A ．22x y -<-B ．22x y -<-C ．22x y ->- D ．22x y ->-10．已知公式12111R R R =+ （ 12R R ≠ ） 则表示 1R 的公式是（ ） A ．212R RR RR -=B ．212RR R R R =-C ．1212()R R R R R +=D ．212RR R R R=-二 填空题11．已知2x =是方程230x x m -+=的解 则m 的值为 ． 12． 已知a ＝120222023+ b ＝120232023+ c ＝120242023+ 则代数式 2（a 2＋b 2＋c 2-ab-bc-ac ）的值是 ．13．若一元二次方程 22(1)310k x x k -++-= 有一个根为 0x = 则k= ．14．今年春节某超市组装了甲 乙两种礼品盆 他们都是由 ,,a b c 三种零食组成 其中甲礼品盒装有3千克 a 零食 1千克 b 零食 1千克 c 零食 乙礼品盒装有2千克 a 零食 2千克 b 零食 2千克 c 零食 甲 乙两种礼品盒的成本均为盆中 ,,a b c 三种零食的成本之和.已知每千克 a 的成本为10元 乙种礼品盒的售价为60元 每盒利润率为25%甲种每盒的利润率为50%当甲 乙两种礼盒的销售利润率为13时 该商场销售甲 乙两种礼盒的数量之比是 . 三 解答题15．计算：（1）解方程组：{y =2x −5 ①7x −3y =20 ② （2）解不等式：32523x x --> （3）解不等式组：523923x x ->⎧⎨-<⎩（4）解不等式组：{5x −12≤2(4x −3)x+42<3−6x−1616．解方程：241x - + 21x + ＝ 1xx - 17．小红和小凤两人在解关于x y 的方程组 {ax +3y =5 ，bx +2y =8 .时 小红只因看错了系数a 得到方程组的解为 {x =−1 ，y =2 . 小凤只因看错了系数b 得到方程组的解为 {x =1 ，y =4 .求a b 的值和原方程组的解.18．阅读理解下列材料然后回答问题：解方程:x²-3|x|+2=0解：（1）当x≥0时 原方程化为x²-3x+2=0 解得： 1x =2 2x =1 （ 2 ）当x ＜0时 原方程化为x²+3x+2=0 解得： 1x =1 2x =-2. ∴原方程的根是 1x =2 2x =1 3x =1 4x =-2. 请观察上述方程的求解过程 试解方程x²-2|x-1|-1=0.19．如图 在矩形ABCD 中剪去正方形ABFE 后 剩下的矩形EFCD 与原矩形ABCD 相似．求矩形ABCD 的宽和长的比．20．为了丰富市民的文化生活 我市某景点开放夜游项目．为吸引游客组团来此夜游 特推出了如下门票收费标准：标准一：如果人数不超过20人 门票价格为60元/人标准二：如果人数超过20人 每超过1人 门票价格降低2元 但门票价格不低于50元/人．（1）当夜游人数为15人时 人均门票价格为 元 当夜游人数为25人时 人均门票价格为 元（2）若某单位支付门票费用共1232元 则该单位这次共有多少名员工去此景点夜游？21．已知 422(2)50a a b y y+--+= 是关于y 的一元一次方程.（1）求 ,a b 的值. （2）若 2a x =-是 2211632x x x m--+-+= 的解 求 b m a m +-- 的值.22．新冠疫情以来 口罩成为了生活和工作的必需品.某口罩生产企业主要生产过滤式和供气式两种口罩.有过滤式口罩机和供气式口罩机各 10 台 统计发现 去年每台过滤式口罩机的产量比每台供气式口罩机多 60 万个 过滤式口罩的出厂价为 0.2 元/个 供气式口罩的出厂价为 4 元/个 两种口罩全部售出 总销售额为 10200 万元.（1）去年每台供气式口罩机的产量为多少万个？（2）今年 为了加大口罩供应量 该企业优化了生产方法 在保持口罩机数量不变的情况下 预计每台过滤式口罩机和供气式口罩机的产量将在去年基础上分别增加 2%a 和 %a .由于过滤式口罩更受市场欢迎 出厂价将在去年的基础上上涨 %a 而供气式口罩的出厂价保持不变 两种口罩全部售出后总销售额将增加20%17a 求 a 的值. 23．定义一种新运算“a ⊗ b”：当a≥b 时 a ⊗ b=a+2b 当a ＜b 时 a ⊗ b=a-2b.例如：3 ⊗ (-4)=3(8)(5)+-=- ()61262430-⊗=--=- .（1）填空：（-3） ⊗ （-2）=（2）若 (34)(5)(34)2(5)x x x x -⊗+=-++ 则x 的取值范围为 （3）已知 (57)(2)1x x -⊗-> 求x 的取值范围（4）利用以上新运算化简： ()()2235102m m m m ++⊗- .答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】A.若 33x y -=- 则 0x y -= 正确B.若112x x -= 两边同乘以2 则 22x x -= 故错误 C.若 13x -= 则 4x = 正确 D.若 342x x += 则 324x x -=- 正确 故答案为：B.【分析】等式的基本性质：（1）等式两边同加（或减）同一个数（或式子） 结果仍相等 （2）在不等式两边同乘一个数 或除以一个不为0的数 结果仍相等。

初中数学方程与不等式之分式方程知识点总复习含答案解析(1)一、选择题1．关于x的方程无解，则m的值为（）A．﹣5 B．﹣8 C．﹣2 D．5【答案】A【解析】解：去分母得：3x﹣2=2x+2+m①．由分式方程无解，得到x+1=0，即x=﹣1，代入整式方程①得：﹣5=﹣2+2+m，解得：m=﹣5．故选A．2．方程24222xxx x=-+--的解为（）A．2 B．2或4 C．4 D．无解【答案】C【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】去分母得：2x=（x﹣2）2+4，分解因式得：（x﹣2）[2﹣（x﹣2）]=0，解得：x=2或x=4，经检验x=2是增根，分式方程的解为x=4，故选C．【点睛】此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．某医疗器械公司接到400件医疗器械的订单，由于生产线系统升级，实际每月生产能力比原计划提高了30%，结果比原计划提前4个月完成交货．设每月原计划生产的医疗器械有x件，则下列方程正确的是（）A．400400(130%)x x-+＝4 B．400400(130%)x x-+＝4C．400400(130%)x x--＝4 D．4004004(130%)x x-=-【答案】A【解析】【分析】根据“原计划所用时间-实际所用时间=4”可得方程．设每月原计划生产的医疗器械有x 件，根据题意，得：()4004004130%x x -=+ 故选A ． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．4．已知关于x 的分式方程211x kx x-=--的解为正数，则k 的取值范围为（ ） A ．20k -<< B ．2k >-且1k ≠- C ．2k >-D ．2k <且1k ≠【答案】B 【解析】 【分析】先用k 表示x ，然后根据x 为正数列出不等式，即可求出答案. 【详解】 解：211x kx x-=--Q， 21x kx +∴=-， 2x k ∴=+，Q 该分式方程有解，21k ∴+≠， 1k ∴≠-， 0x Q >， 20k ∴+>， 2k ∴>-，2k ∴>-且1k ≠-， 故选：B ． 【点睛】本题考查的是分式方程，熟练掌握分式方程是解题的关键.5．从4-，2-，1-，0，1，2，4，6这八个数中，随机抽一个数，记为a ．若数a 使关于x 的一元二次方程()22240x a x a --+=有实数解．且关于y 的分式方程1311y a y y+-=--有整数解，则符合条件的a 的值的和是（ ） A ．6-B ．4-C ．2-D ．2【解析】 【分析】由一元二次方程()22240x a x a --+=有实数解，确定a 的取值范围，由分式方程1311y a y y+-=--有整数解，确定a 的值即可判断． 【详解】方程()22240x a x a --+=有实数解，∴△=4(a −4)2−4a 2⩾0， 解得a ⩽2∴满足条件的a 的值为−4，−2，−1，0，1，2 方程1311y a y y+-=-- 解得y=2a+2 ∵y 有整数解 ∴a=−4，0，2，4，6综上所述，满足条件的a 的值为−4，0，2， 符合条件的a 的值的和是−2 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程根据方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；以及分式方程解的定义：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫分式方程的解．6．甲队修路120 m 与乙队修路100 m 所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m ，设甲队每天修路xm.依题意，下面所列方程正确的是A ．120100x x 10=- B ．120100x x 10=+ C ．120100x 10x=- D ．120100x 10x=+ 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】甲队每天修路xm ，则乙队每天修（x －10）m ，因为甲、乙两队所用的天数相同，所以，120100x x 10=-. 故选A.7．某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本，求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x 本资料，列方程正确的是（ ） A ．240120420x x-=- B ．240120420x x -=+ C ．120240420x x -=- D ．120240420x x -=+ 【答案】D 【解析】 【分析】设第一次买了x 本资料，则第二次买了(x ＋20)本资料，由等量关系第二次比第一次优惠了4列出方程即可解答． 【详解】解：设第一次买了x 本资料，则第二次买了(x ＋20)本资料， 根据题意可得：120240420x x -=+ 故选：D 【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，设出未知数，找到等量关系是解题的关键．8．张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x 千米，依题意，得到的方程是（ ）A ．1515112x x -=+ B ．1515112x x -=+ C ．1515112x x -=- D ．1515112x x -=- 【答案】B 【解析】 【分析】设小李每小时走x 千米，则小张每小时走（x+1）千米，根据题意可得等量关系：小李所用时间-小张所用时间=半小时，根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：设小李每小时走x 千米，依题意得：1515112x x -=+ 故选B ． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系列出方程．9．某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m 的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路xm ，则根据题意可得方程( ) A ．240024008(120%)x x -=+ B ．240024008(120%)x x -=+C ．240024008(120%)x x-=-D ．240024008(120%)x x-=- 【答案】A 【解析】 【分析】求的是原计划的工效，工作总量为2400，根据工作时间来列等量关系．本题的关键描述语是：“提前8小时完成任务”；等量关系为：原计划用的时间-实际用的时间=8． 【详解】原计划用的时间为：2400x ，实际用的时间为：()2400120%x +．所列方程为：2400x-()2400120%x +=8．故选A 【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题应用的等量关系为：工作时间=工作总量÷工效．10．关于x 的分式方程230+=-x x a解为4x =，则常数a 的值为( ) A ．1a = B ．2a =C ．4a =D ．10a =【答案】D 【解析】 【分析】根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a 的一次方程，解得a 的值即可． 【详解】解：把x=4代入方程230+=-x x a，得 23044a +=-， 解得a=10．经检验，a=10是原方程的解故选D ．点睛：此题考查了分式方程的解，分式方程注意分母不能为0．11．对于实数a 、b ，定义一种新运算“⊗”为：23a b a ab⊗=-，这里等式右边是通常的四则运算．若32x x ⊗⊗（﹣）＝，则x 的值为（ ） A ．-2 B ．-1C ．1D ．2【答案】B 【解析】 【分析】利用题中的新定义变形已知等式，然后解方程即可． 【详解】根据题中的新定义化简得：339342x x=+-，去分母得：12﹣6x =27+9x ，解得：x =﹣1，经检验x =﹣1是分式方程的解． 故选B ． 【点睛】本题考查了新定义和解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．12．如果关于x 的方程2430ax x +-=有两个实数根，且关于x 的分式方程233x a a x x -+=--有整数解，则 符合条件的整数a 有（ ）个． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次方程根的判别式求得a 的取值范围，再解分式方程，利用解为整数分析得出答案． 【详解】解：因为：关于x 的方程2430ax x +-=有两个实数根， 所以：244(3)0a -⨯-≥，且0a ≠， 解得：43a ≥-且0a ≠，因为：233x a a x x-+=--， 所以：23x a ax a -+=-， 所以：(1)22a x a -=+，当1a =时，方程无解，当1a ≠时，方程的解为224211a x a a +==+--， 因为x 为整数且3x ≠，所以1a -是4的约数，所以11,12,14,a a a -=±-=±-=± 所以a 的值为：3,1,0,2,3,5--， 又因为：43a ≥-且0a ≠，1,a ≠ 3x ≠，所以3,0,5a a a =-==不合题意舍掉， 所以a 的值为：1,2,3,-． 故选B ． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式方程的解的情况，掌握知识点并能注意到分式方程的增根是解题关键．13．2019年7月30日阳朔至鹿寨高速公路建成通车，已知从阳朔至鹿寨国道的路程为150km ，现在高速路程缩短了20km ，若走高速的平均车速是走国道的2.5倍，所花时间比走国道少用1.5小时，设走国道的平均车速为/xkm h ，则根据题意可列方程为（ ）A ．15020150 1.52.5x x --=B ．150150201.52.5x x --= C ．15015020 1.52.5x x --= D ．150201501.52.5x x --= 【答案】C 【解析】 【分析】根据“走高速用的时间比走国道少花1.5小时”列出方程即可得出答案. 【详解】根据题意可得，走高速所用时间150202.5x -小时，走国道所用时间150x小时即150150201.52.5x x --= 故答案选择C. 【点睛】本题考查的是分式方程在实际生活中的应用，根据公式“路程=速度×时间”及其变形列出等式是解决本题的关键.14．某车间加工12个零件后，采用新工艺，工效比原来提高了50%，这样加工同样多的零件就少用1小时，那么采用新工艺前每小时加工的零件数为 （ ） A ．3个 B ．4个C ．5个D ．6个【答案】B【解析】 【分析】根据题意，找出题目的等量关系，列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得：12121(150%)x x -=+， 解得：4x =；经检验，4x =是原分式方程的解.∴那么采用新工艺前每小时加工的零件数为4个； 故选：B ． 【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，其中找出方程的关键语，找出数量关系是解题的关键．注意解分式方程需要检验．15．若整数a 使关于x 的分式方程111a x a x x ++=-+的解为负数，且使关于x 的不等式组1()022113x a x x ⎧-->⎪⎪⎨+⎪-≥⎪⎩无解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．10【答案】C 【解析】 【分析】解分式方程和不等式得出关于x 的值及x 的范围，根据分式方程的解不是增根且为负数和不等式组无解得出a 的范围，继而可得整数a 的所有取值，然后相加． 【详解】解：解关于x 的分式方程111a x ax x ++=-+，得x ＝−2a+1， ∵x ≠±1， ∴a ≠0，a≠1， ∵关于x 的分式方程111a x a x x ++=-+的解为负数， ∴−2a+1＜0， ∴12a >，解不等式1()02x a-->，得：x＜a，解不等式2113xx+-≥，得：x≥4，∵关于x的不等式组1()022113x axx⎧-->⎪⎪⎨+⎪-≥⎪⎩无解，∴a≤4，∴则所有满足条件的整数a的值是：2、3、4，和为9，故选：C．【点睛】本题主要考查分式方程的解和一元一次不等式组的解，熟练掌握解分式方程和不等式组的方法，并根据题意得到a的范围是解题的关键．16．学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（）A．10000x﹣90005x-=100 B．90005x-﹣10000x=100C．100005x-﹣9000x=100 D．9000x﹣100005x-=100【答案】B【解析】【分析】直接利用购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本得出等式进而得出答案．【详解】科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为：9000 x5 -﹣10000x=100，故选B．【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.17．甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做6个，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相等，求甲每小时做中国结的个数．如果设甲每小时做x个，那么可列方程为( )A．30x＝456x+B．30x＝456x-C ．306x -＝45x D ．306x +＝45x【答案】A 【解析】 【分析】设甲每小时做x 个，乙每小时做（x+6）个，根据甲做 30 个所用时间与乙做 45 个所用时间相等即可列方程. 【详解】设甲每小时做 x 个，乙每小时做（x+6）个， 根据甲做 30 个所用时间与乙做 45 个所用时间相等可得30x =456x +. 故选A ． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找到关键描述语，正确找出等量关系是解决问题的关键．18．某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x 台机器，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）A ．60048040x x =- B ．60048040x x =+ C ．60048040x x =+ D ．60048040x x =- 【答案】B 【解析】 【分析】由题意分别表达出原来生产480台机器所需时间和现在生产600台机器所需时间，然后根据两者相等即可列出方程，再进行判断即可． 【详解】解：设原计划每天生产x 台机器，根据题意得：48060040x x =+. 故选B ． 【点睛】读懂题意，用含x 的代数式表达出原来生产480台机器所需时间为480x天和现在生产600台机器所需时间为60040x +天是解答本题的关键．19．某农场开挖一条480米的渠道，开工后，实际每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x 米，那么所列方程正确的是（ ）A ．480x ＋480+20x ＝4 B ．480x －480+4x ＝20 C ．480x －480+20x ＝4 D ．4804x -－480x＝20 【答案】C【解析】【分析】根据题意列出方程即可．【详解】由题意得 480x －480+20x ＝4 故答案为：C ．【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，掌握解分式方程的方法是解题的关键．20．已知关于x 的分式方程22124x mx x x --=+-无解，则m 的值为（ ） A ．0B ．0或-8C ．-8或-4D ．0或-8或-4 【答案】D【解析】【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．【详解】解：分式方程去分母得：（x−2）2−mx ＝（x ＋2）（x−2），整理得：（4＋m ）x ＝8，当m ＝−4时整式方程无解；当x ＝−2时原方程分母为0，此时m ＝−8；当x ＝2时原方程分母为0，此时m ＝0，故选：D ．【点睛】本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解分两种情况：去分母后所得整式方程无解；分式方程产生增根；是需要识记的内容．。