海南省新高考2020届高三线上诊断性测试 数学 试卷293C及答案

2020届海南省新高考线上诊断性测试物理试题考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分。

考试时间90分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上。

3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。

第Ⅰ卷 (选择题共44分)一、单选题，每题3分，共24分。

1.下列说法正确的是A.物体的温度越高，其分子平均动能越小B.气体对容器壁的压强是大量气体分子对器壁的碰撞引起的C.只有气体才能产生扩散现象D.布朗运动是固体颗粒的分子无规则运动2.图示是一横截面为等腰直角三角形的三棱镜，其临界角为40°，光线O从它的一直角面垂直射入，关于图中画出的a、b、c三条光线，下列说法正确的是A.a是光线O的出射光B.b是光线O的出射光C.c是光线O的出射光D.a、b、c都不是光线O的出射光3.如图所示，一只气球在风中处于静止状态，风对气球的作用力大小为F、方向水平向右。

细绳与竖直方向的夹角为α，气球受到的重力为G，则细绳对气球作用力的大小为A.Fsin αB.Fcos αC.Gcos αD.F sin α4.一同学将地面上一质量m=400 g的足球沿与水平方向成θ=45°角踢出，足球与脚分开时的速度大小为10 m/s，不计空气阻力，足球可看做质点，重力加速度g=10 m/s2。

则该同学踢球时对足球做的功为A.200 JB.100 JC.20 JD.10 J5.下列说法正确的是A.若某单色光照射两种不同金属时均可产生光电效应，则其照射逸出功大的金属时，产生的光电子的最大初动能也大B.只有当裂变物质的体积小于临界体积时，才能发生链式反应C.玻尔原子理论中，核外电子从低能级轨道向高能级轨道跃迁时要放出光子D.原子核衰变时电荷数和质量数都守恒6.如图所示，在水平向右的匀强磁场中，有一倾角为α的光滑固定斜面，斜面上垂直纸面放置一根长为L、质量为m的通电直导体棒，导体棒中的电流为I、方向垂直纸面向外，导体棒刚好能静止在斜面上；重力加速度为g。

2020年海南省新⾼考数学试卷⼀、选择题（本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项符合题⽬要求的）1．（5分）设集合A＝{2，3，5，7}，B＝{1，2，3，5，8}，则A∩B＝（）A．{1，3，5，7}B．{2，3}C．{2，3，5}D．{1，2，3，5，7，8}2．（5分）（1+2i）（2+i）＝（）A．4+5i B．5i C．﹣5i D．2+3i3．（5分）在△ABC中，D是AB边上的中点，则＝（）A．2+B．﹣2C．2﹣D．+24．（5分）⽇晷是中国古代⽤来测定时间的仪器，利⽤与晷⾯垂直的晷针投射到晷⾯的影⼦来测定时间．把地球看成⼀个球（球⼼记为O），地球上⼀点A的纬度是指OA与地球⾚道所在平⾯所成⻆，点A处的⽔平⾯是指过点A且与OA垂直的平⾯．在点A处放置⼀个⽇晷，若晷⾯与⾚道所在平⾯平⾏，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的⽔平⾯所成⻆为（）A．20°B．40°C．50°D．90°5．（5分）某中学的学⽣积极参加体育锻炼，其中有96%的学⽣喜欢⾜球或游泳，60%的学⽣喜欢⾜球，82%的学⽣喜欢游泳，则该中学既喜欢⾜球⼜喜欢游泳的学⽣数占该校学⽣总数的⽐例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%6．（5分）要安排3名学⽣到2个乡村做志愿者，每名学⽣只能选择去⼀个村，每个村⾥⾄少有⼀名志愿者，则不同的安排⽅法共有（）A．2种B．3种C．6种D．8种7．（5分）已知函数f（x）＝lg（x2﹣4x﹣5）在（a，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（5，+∞）D．[5，+∞）8．（5分）若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，则满⾜xf（x ﹣1）≥0的x的取值范围是（）A．[﹣1，1]∪[3，+∞）B．[﹣3，﹣1]∪[0，1]C．[﹣1，0]∪[1，+∞）D．[﹣1，0]∪[1，3]⼆、选择题（本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分．在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9．（5分）我国新冠肺炎疫情进⼊常态化，各地有序推进复⼯复产，下⾯是某地连续11天复⼯复产指数折线图，下列说法正确的是（）A．这11天复⼯指数和复产指数均逐⽇增加B．这11天期间，复产指数增量⼤于复⼯指数的增量C．第3天⾄第11天复⼯复产指数均超过80%D．第9天⾄第11天复产指数增量⼤于复⼯指数的增量10．（5分）已知曲线C：mx2+ny2＝1．（）A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线⽅程为y＝±xD．若m＝0，n＞0，则C是两条直线11．（5分）如图是函数y＝sin（ωx+φ）的部分图象，则sin（ωx+φ）＝（）A．sin（x+）B．sin（﹣2x）C．cos（2x+）D．cos（﹣2x）12．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A．a2+b2≥B．2a﹣b＞C．log2a+log2b≥﹣2D．+≤三、填空题（本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分）13．（5分）已知正⽅体ABCD﹣A1B1C1D1的棱⻓为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥A﹣NMD1的体积为．14．（5分）斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝．15．（5分）将数列{2n﹣1}与{3n﹣2}的公共项从⼩到⼤排列得到数列{a n}，则{a n}的前n项和为．16．（5分）某中学开展劳动实习，学⽣加⼯制作零件，零件的截⾯如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆⼼，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂⾜为C，tan∠ODC＝，BH∥DG，EF＝12cm，DE＝2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的⾯积为cm2．四、解答题（本题共6⼩题，共70分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）在①ac＝，②c sin A＝3，③c＝b这三个条件中任选⼀个，补充在下⾯问题中，若问题中的三⻆形存在，求c的值；若问题中的三⻆形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内⻆A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C ＝，_______？注：如果选择多个条件分别解答，按第⼀个解答计分．18．（12分）已知公⽐⼤于1的等⽐数列{a n}满⾜a2+a4＝20，a3＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）求a1a2﹣a2a3+…+（﹣1）n﹣1a n a n+1．。

2020年海南省新高考数学试卷副标题题号 一 二 三 四 总分 得分一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. (5分)设集合A ={2,3，5，7}，B ={1,2，3，5，8}，则A ∩B =( )A. {1,3，5，7}B. {2,3}C. {2,3，5}D. {1,2，3，5，7，8} 2. (5分)(1+2i)(2+i)=( )A. 4+5iB. 5iC. −5iD. 2+3i3. (5分)在△ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ B. CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ D. CD⃗⃗⃗⃗⃗ +2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 4. (5分)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为( )A. 20°B. 40°C. 50°D. 90°5. (5分)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )A. 62%B. 56%C. 46%D. 42%6. (5分)要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有( ) A. 2种 B. 3种 C. 6种 D. 8种 7. (5分)已知函数f(x)=lg(x 2−4x −5)在(a,+∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A. (2,+∞)B. [2,+∞)C. (5,+∞)D. [5,+∞) 8. (5分)若定义在R 的奇函数f(x)在(−∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x −1)≥0的x 的取值范围是( )A. [−1,1]∪[3,+∞)B. [−3,−1]∪[0,1]C. [−1,0]∪[1,+∞)D. [−1,0]∪[1,3] 二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9. (5分)我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是( )A. 这11天复工指数和复产指数均逐日增加；B. 这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量；C. 第3天至第11天复工复产指数均超过80%；D. 第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量；10. (5分)已知曲线C ：mx 2+ny 2=1.( )A. 若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B. 若m =n >0，则C 是圆，其半径为√nC. 若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =±√−mn x D. 若m =0，n >0，则C 是两条直线11. (5分)如图是函数y =sin(ωx +φ)的部分图象，则sin(ωx +φ)=( )A.B.C.D.12. (5分)已知a >0，b >0，且a +b =1，则( )A. a 2+b 2≥12B. 2a−b >12C. log 2a +log 2b ≥−2D. √a +√b ⩽√2三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (5分)已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点，则三棱锥A −NMD 1的体积为 ．14. (5分)斜率为的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB|= ．15. (5分)将数列{2n −1}与{3n −2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为 16. (5分)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan∠ODC =，BH // DG ，EF =12cm ，DE =2cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为 ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(10分)在①ac=√3，②csinA=3，③c=√3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA=√3sinB，，_______？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18.(12分)已知公比大于1的等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3=8．(1)求{a n}的通项公式；(2)求a1a2−a2a3+⋯+(−1)n−1a n a n+1．19.(12分)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表：SO2PM2.5[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表：SO2PM2.5[0,150](150,475][0,75](75,115](3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k)0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82820.(12分)如图，四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l．(1)证明：l⊥平面PDC；(2)已知PD=AD=1，Q为l上的点，QB=√2，求PB与平面QCD所成角的正弦值．21.(12分)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点M(2,3)，点A为其左顶点，且AM的斜率为12．(1)求C的方程；(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值．22.(12分)已知函数f(x)=ae x−1−lnx+lna．(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】 【分析】本题考查了集合的交集运算，属于基础题． 根据两集合的公共元素得出答案． 【解答】解：因为集合A ，B 的公共元素为：2，3，5 故A ∩B ={2,3，5}． 故选：C ．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了复数运算，属于基础题． 根据复数的乘法公式计算．【解答】解：(1+2i)(2+i)=2+i +4i +2i 2=5i ， 故选：B ．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查向量的表示，考查向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 利用向量加法法则直接求解． 【解答】解：在△ABC 中，D 是AB 边上的中点， 则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CD⃗⃗⃗⃗⃗ +(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：C ．4.【答案】B【解析】【分析】本题是立体几何在生活中的运用，考查空间线面角的定义和求法，属于基础题．由纬度的定义和线面角的定义，结合直角三角形的性质，可得晷针与点A 处的水平面所成角． 【解答】解：可设A 所在的纬线圈的圆心为Oˈ，OOˈ垂直于纬线所在的圆面， 由图可得∠OHA 为晷针与点A 处的水平面所成角， 又∠OAOˈ为40°且OA ⊥AH ，在Rt △OHA 中，OˈA ⊥OH ，∴∠OHA =∠OAOˈ=40°， 故选：B ．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查集合的应用，子集与交集、并集运算的转换，韦恩图的应用，是基本知识的考查．设只喜欢足球的百分比为x ，只喜欢游泳的百分比为y ，两个项目都喜欢的百分比为z ，画出图形，列出方程求解即可．【解答】解：设只喜欢足球的百分比为x ，只喜欢游泳的百分比为y ，两个项目都喜欢的百分比为z ，由题意，可得x +z =60，x +y +z =96，y +z =82，解得z =46．∴该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%．故选：C6.【答案】C【解析】【分析】本题考查不同的安排方法种数的求法，考查排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先把三名学生分成2组，再把2组学生分到两个村，利用排列组合知识直接求解．【解答】解：要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有：C32C11A22=6．故选：C．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查复合函数单调性的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．由对数式的真数大于0求得函数的定义域，令t=x2−4x−5，由外层函数y=lgt是其定义域内的增函数，结合复合函数的单调性可知，要使函数f(x)=lg(x2−4x−5)在(a,+∞)上单调递增，需内层函数t=x2−4x−5在(a,+∞)上单调递增且恒大于0，转化为(a,+∞)⊆(5,+∞)，即可得到a的范围．【解答】解：由x2−4x−5>0，得x<−1或x>5．令t=x2−4x−5，∵外层函数y=lgt是其定义域内的增函数，∴要使函数f(x)=lg(x2−4x−5)在(a,+∞)上单调递增，则需内层函数t=x2−4x−5在(a,+∞)上单调递增且恒大于0，则(a,+∞)⊆(5,+∞)，即a≥5．∴a的取值范围是[5,+∞)．故选：D．8.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性的性质，作出函数f(x)的草图，是解决本题的关键．难度中等．根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，利用分类讨论思想进行求解即可．【解答】解：∵定义在R的奇函数f(x)在(−∞,0)单调递减，且f(2)=0，f(x)的大致图象如图：∴f(x)在(0,+∞)上单调递减，且f(−2)=0；故f(−1)<0；当x=0时，不等式xf(x−1)≥0成立，当x=1时，不等式xf(x−1)≥0成立，当x−1=2或x−1=−2时，即x=3或x=−1时，不等式xf(x−1)≥0成立，当x>0时，不等式xf(x−1)≥0等价为f(x−1)≥0，此时{x>00<x−1⩽2，此时1<x≤3，当x<0时，不等式xf(x−1)≥0等价为f(x−1)≤0，即{x<0−2⩽x−1<0，得−1≤x<0，综上−1≤x≤0或1≤x≤3，即实数x的取值范围是[−1,0]∪[1,3]，故选：D．9.【答案】CD【解析】【分析】本题考查折线图表示的函数的认知和理解，考查理解能力、识图能力、推理能力，难点在于指数增量的理解与观测，属于中档题．通过复工和折线图中都有递减的部分来判断A；根据第一天和第十一天两者指数差的大小来判断B；根据图象结合复工复产指数的意义和增量的意义可判断CD；【解答】解：由图可知，这11天的复工指数和复产指数有增有减，故A错；由折线的变化程度可见这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误；第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确；第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，D正确；故选：CD．10.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查圆锥曲线方程的定义，属于中档题．根据所给条件，逐一分析对应的方程形式，结合椭圆、圆、双曲线方程的定义进行判断即可．【解答】解：A.若m>n>0，则1m <1n，则根据椭圆定义，知x21m+y21n=1表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；B .若m=n>0，则方程为x2+y2=1n ，表示半径为1√n的圆，故B错误；C.若m<0，n>0，则方程为x21m+y21n=1，表示焦点在y轴的双曲线，故此时渐近线方程为y=±√−mnx，若m>0，n<0，则方程为x21m+y21n=1，表示焦点在x轴的双曲线，故此时渐近线方程为y=±√−mnx，故C正确；D.当m=0，n>0时，则方程为y=±1√n表示两条直线，故D正确；故选：ACD．11.【答案】BC【解析】【分析】本题主要考查三角函数解析式的求解，结合函数图象求出函数的周期和ω，利用三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键．比较基础．根据图象先求出函数的周期，和ω，利用五点法求出函数的φ的值，结合三角函数的诱导公式进行转化求解即可．【解答】解：由图象知函数的周期，即，即ω=2，由五点对应法得，得，则故选：BC．12.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．直接利用不等式的性质的应用和基本不等式的应用求出结果．【解答】解：①已知a>0，b>0，且a+b=1，所以(a+b)2≤2a2+2b2，则a2+b2⩾12，故A正确．②利用分析法：要证2a−b>12，只需证明a−b>−1即可，即a>b−1，由于a>0，b>0，且a+b=1，所以：a>0，b−1<0，故B正确．③log2a+log2b=log2ab⩽log2(a+b2)2=−2，故C错误．④由于a>0，b>0，且a+b=1，利用分析法：要证√a+√b⩽√2成立，只需对关系式进行平方，整理得a+b+2√ab⩽2，即2√ab⩽1，故√ab⩽12=a+b2，当且仅当a=b=12时，等号成立．故D正确．故选：ABD．13.【答案】13【解析】【分析】本题考查利用等体积法求多面体的体积，是基础的计算题．由题意画出图形，再由等体积法求三棱锥A −NMD1的体积．【解答】解：如图，∵正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，∴S△ANM=12×1×1=12，∴V A−NMD1=V D1−AMN=13×12×2=13．故答案为：13．14.【答案】163【解析】【分析】本题考查了抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系的应用，考查了学生的计算能力，是中档题．由题意求出直线AB的方程，联立直线和抛物线方程，利用抛物线的性质转化求解即可．【解答】解：由题意可得抛物线焦点F(1,0)，直线l的方程为y=√3(x−1)，代入y2=4x并化简得3x2−10x+3=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=103；x1x2=1，∴由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=103+2=163．故答案为：163．15.【答案】3n2−2n【解析】【分析】本题主要考查等差数列的性质以及求和公式，属于基础题．首先判断{a n}是以1为首项、以6为公差的等差数列，再利用求和公式，得出结论．【解答】解：将数列{2n−1}与{3n−2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}是以1为首项、以6为公差的等差数列，故它的前n项和为n×1+n(n−1)2×6=3n2−2n，故答案为：3n2−2n．16.【答案】【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，三角形的解法，考查分析问题解决问题的能力，是难题．设大圆的半径为R，利用已知条件求出OQ、OD的长，利用tan∠ODC=求出大圆的半径R，再根据图中线段关系得出△AOH为直角三角形，最后求解图中阴影部分的面积即可．【解答】解：作AM垂直于EF，交OH、DG于S、N，垂足为M，过点O作OQ垂直于DQ，垂足为Q，∵A到直线DE和EF的距离均为7cm，∴EM=AM=7，又∵EF=12，MN=DE=2，∴NG=MF=12−7=5，AN=AM−NM=7−2=5，∴∠AGD=45°，∵BH//DG，∴∠AHO=45°，由于AG是圆弧的切线，∴AG⊥OA，∠AOH=∠ACN=45°，设大圆的半径为R，则AS=OS=√2OQ =SN =5−R √2，DQ =DN −QN =7−R√2， ∵tan∠ODC =35，∴5−R√27−R √2=35，解得R =2√2，图中阴影部分面积分为扇形AOB 和直角△AOH 的面积减去小半圆的面积， 所以S 阴影=135360×π×(2√2)2+12×2√2×2√2−12×π×1=52π+4． 故答案为：52π+4．17.【答案】解：①ac =√3．△ABC 中，sinA =√3sinB ，即b =√33a ， ac =√3，∴c =√3a ，cosC =a 2+b 2−c 22ab=a 2+a 23−3a 22√3a 23=√32， ∴a =√3，b =1，c =1． ②csinA =3． △ABC 中，，∴a =6．∵sinA =√3sinB ，即a =√3b ，∴b =2√3．cosC =a 2+b 2−c 22ab =36+12−c 22×6×2√3=√32∴c =2√3．③c =√3b.∵sinA =√3sinB ，即a =√3b ，又∵c =√3b ，与已知条件相矛盾，所以问题中的三角形不存在．【解析】本题主要考查解三角形中的正弦定理与余弦定理，熟练掌握余弦定理并灵活的应用是解本题的关键．①根据题意，结合正弦定理，可得b =√33a ，c =√3a，结合，运用余弦定理cosC =a 2+b 2−c 22ab，即可求得c =1．②根据题意，△ABC 中，csinA =asinC ，即可求得a =6，进而得到b =2√3.运用余弦定理cosC =a 2+b 2−c 22ab，即可求得c =2√3．③根据c =√3b ，sinA =√3sinB 即a =√3b ，可列式求得cosC =√36，与已知条件矛盾，所以问题中的三角形不存在．18.【答案】解：(1)设等比数列{a n }的公比为q(q >1)，则{a 2+a 4=a 1q +a 1q 3=20a 3=a 1q 2=8, ∵q >1，∴{a 1=2q =2, ∴a n =2·2n−1=2n ．(2)a 1a 2−a 2a 3+⋯+(−1)n−1a n a n+1=23−25+27−29+⋯+(−1)n−1⋅22n+1， =23[1−(−22)n ]1−(−22)=85−(−1)n 22n+35．【解析】本题考查等比数列的通项公式，前n 项求和公式，考查转化思想和方程思想，属于基础题．(1)根据题意，列方程组{a 2+a 4=a 1q +a 1q 3=20a 3=a 1q 2=8，解得a 1和q ，然后求出{a n }的通项公式；(2)根据条件，可知a 1a 2，−a 2a 3，…(−1)n−1a n a n+1，是以23为首项，−22为公比的等比数列，由等比数列求和公式，即可得出答案．19.【答案】解：(1)用频率估计概率，从而得到“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO 2浓度不超过150”的概率 P =32+18+6+8100=0.64；SO 2 PM2.5 [0,150](150,475][0,75] 64 16 (75,115]1010由K 2=n(ad−bc)2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )=100×(64×10−16×10)280×20×74×26=7.484>6.635，P(K 2≥6.635)=0.01；故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO 2浓度有关，【解析】本题考查了独立性检验的应用，用频率估计概率，属于基础题．(1)用频率估计概率，从而得到“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO 2浓度不超过150”的概率； (2)根据题目所给的数据填写2×2列联表即可；(3)计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论．20.【答案】解：(1)证明：过P 在平面PAD 内作直线l // AD ，由AD // BC ，可得l // BC ，即l 为平面PAD 和平面PBC 的交线， ∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC ， 又BC ⊥CD ，CD ∩PD =D ，∴BC ⊥平面PCD ， ∵l // BC ，∴l ⊥平面PCD ；(2)如图，以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DP 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D −xyz ， ∵PD =AD =1，Q 为l 上的点，QB =√2， ∴PB =√3，QP =1，则D(0,0，0)，A(1,0，0)，C(0,1，0)，P(0,0，1)，B(1,1，0)，设Q(1,0，1)，则DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，1)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−1)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，0)， 设平面QCD 的法向量为n⃗ =(a,b ，c)， 则{n ⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴{b =0a +c =0，取c =1，可得n⃗ =(−1,0，1)， ∴cos <n ⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=n⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ ||PB|=√3·√2=√63， ∴PB 与平面QCD 所成角的正弦值为√63．【解析】本题考查空间线面垂直的判定，以及线面角的求法，考查转化思想和向量法的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．(1)过P 在平面PAD 内作直线l // AD ，推得l 为平面PAD 和平面PBC 的交线，由线面垂直的判定和性质，即可得证；(2)以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DP 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D −xyz ，求出Q(0,1，1)，运用向量法，求得平面QCD 的法向量，结合向量的夹角公式求解即可．21.【答案】解：(1)由题意可知直线AM 的方程为：y −3=12(x −2)，即x −2y =−4，当y =0时，解得x =−4，所以a =4，椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点M(2,3)，可得416+9b 2=1，解得b 2=12，所以C 的方程：x 216+y 212=1．(2)设与直线AM平行的直线方程为：x−2y=m，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值．x−2y=m 代入椭圆方程：x216+y212=1．化简可得：16y2+12my+3m2−48=0，所以△=144m2−4×16(3m2−48)=0，即m2=64，解得m=±8，与AM距离比较远的直线方程：x−2y=8，利用平行线之间的距离为：d=8+4√1+4=12√55，|AM|==3．所以△AMN的面积的最大值：12×3√5×12√55=18．【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，椭圆的简单性质的应用，考查学生分析问题解决问题的数学素养，是偏难题．(1)利用已知条件求出A的坐标，然后求解b，得到椭圆方程．(2)设出与直线AM平行的直线方程，与椭圆联立，利用判别式为0，求出椭圆的切线方程，然后求解三角形的最大值．22.【答案】解：(1)当a=e时，f(x)=e x−lnx+1，∴f′(x)=e x−1x，∴f′(1)=e−1，∵f(1)=e+1，∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−(e+1)=(e−1)(x−1)，当x=0时，y=2，当y=0时，x=−2e−1，∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积S=12×2×2e−1=2e−1．(2)方法一：由f(x)≥1，可得ae x−1−lnx+lna≥1，即e x−1+lna−lnx+lna≥1，即e x−1+lna+lna+x−1≥lnx+x=e lnx+lnx，令g(t)=e t+t，则g′(t)=e t+1>0，∴g(t)在R上单调递增，∵g(lna+x−1)≥g(lnx)∴lna+x−1≥lnx，即lna≥lnx−x+1，令ℎ(x)=lnx−x+1，∴ℎ′(x)=1x−1=1−xx，当0<x<1时，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)单调递增，当x>1时，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)单调递减，∴ℎ(x)≤ℎ(1)=0，∴lna≥0，∴a≥1，故a的范围为[1,+∞)．方法二：由f(x)≥1可得ae x−1−lnx+lna≥1，即ae x−1−1≥lnx−lna，设g(x)=e x−x−1，∴g′(x)=e x−1>0恒成立，∴g(x)在(0,+∞)单调递增，∴g(x)>g(0)=1−0−1=0，∴e x−x−1>0，即e x>x+1，再设ℎ(x)=x−1−lnx，∴ℎ′(x)=1−1x =x−1x，当0<x<1时，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)单调递减，当x>1时，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)单调递增，∴ℎ(x)≥ℎ(1)=0，∴x−1−lnx≥0，即x−1≥lnx∵a>0，∴e x−1≥x，则ae x−1≥ax，此时只需要证ax≥x−lna，即证x(a−1)≥−lna，当a≥1时，∴a≥1，x(a−1)>0>−lna恒成立，当0<a<1时，x(a−1)<0<−lna，此时x(a−1)≥−lna不成立，综上所述a的取值范围为[1,+∞)．方法三：由题意可得x∈(0,+∞)，a∈(0,+∞)，∴f′(x)=ae x−1−1x，易知f′(x)在(0,+∞)上为增函数，①当0<a<1时，f′(1)=a−1<0，f′(1a)=ae1a−1−a=a(e1a−1−1)>0，∴存在x0∈(1,1a)使得f′(x0)=0，当x∈(1,x0)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，∴f(x)<f(1)=a+lna<a<1，不满足题意，②当a≥1时，e x−1>0，lna>0，∴f(x)≥e x−1−lnx，令g(x)=e x−1−lnx，∴g′(x)=e x−1−1x，易知g′(x)在(0,+∞)上为增函数，∵g′(1)=0，∴当x∈(0,1)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，∴g(x)≥g(1)=1，即f(x)≥1，综上所述a的取值范围为[1,+∞)．方法四：∵f(x)=ae x−1−lnx+lna，x>0，a>0，∴f′(x)=ae x−1−1x，易知f′(x)在(0,+∞)上为增函数，∵存在x0∈(0,+∞)，使得f′(x0)=ae x0−1−1x0=0，则ae x0−1=1x0，则lna+x0−1=−lnx0，即lna=1−x0−lnx0，当x∈(0,x0)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(x0,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，∴f(x)≥f(x0)=ae x0−1−lnx0+lna=1x0−lnx0+1−x0−lnx0=1x0−2lnx0+1−x0≥1∴1x0−2lnx0−x0≥0设g(x)=1x−2lnx−x，易知函数g(x)在(0,+∞)上单调递减，且g(1)=1−0−1=0，∴当x∈(0,1]时，g(x)≥0，∴x0∈(0,1]时，1x0−2lnx0−x0≥0，设ℎ(x)=1−x−lnx，x∈(0,1]，∴ℎ′(x)=−1−1<0恒成立，x∴ℎ(x)在(0,1]上单调递减，∴ℎ(x)≥ℎ(1)=1−1−ln1=0，当x→0时，ℎ(x)→+∞，∴lna≥0=ln1，∴a≥1．【解析】本题考查了导数的几何意义，以及导数和函数的最值的关系，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于难题．(1)根据导数的几何意义即可求出切线方程，可得三角形的面积；(2)方法一：不等式等价于e x−1+lna+lna+x−1≥lnx+x=e lnx+lnx，令g(t)=e t+t，根据函数单调性可得lna>lnx−x+1，再构造函数ℎ(x)=lnx−x+1，利用导数求出函数的最值，即可求出a的范围；方法二：构造两个基本不等式e x>x−1，x−1≥lnx，则原不等式转化为x(a−1)≥−lna，再分类讨论即可求出a的取值范围，方法三：利用分类讨论的思想，当0<a<1，此时不符合题意，当a≥1时，f(x)≥e x−1−lnx，令g(x)= e x−1−lnx，再根据导数和函数最值的关系即可证明，−2lnx0+1−x0≥1，lna=1−x0−lnx0，方法四：先根据导数和函数的最值的关系求出f(x)≥f(x0)=1x再求出x0的范围，再利用导数求1−x0−lnx0的范围，即可求出a的范围．。

2020年海南省新高考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. (5分)设集合A ={2,3，5，7}，B ={1,2，3，5，8}，则A ∩B =( )A. {1,3，5，7}B. {2,3}C. {2,3，5}D. {1,2，3，5，7，8} 2. (5分)(1+2i)(2+i)=( )A. 4+5iB. 5iC. −5iD. 2+3i3. (5分)在△ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ B. CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ D. CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 4. (5分)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为( )A. 20°B. 40°C. 50°D. 90°5. (5分)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( ) A. 62% B. 56% C. 46% D. 42%6. (5分)要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有( ) A. 2种 B. 3种 C. 6种 D. 8种7. (5分)已知函数f(x)=lg(x 2−4x −5)在(a,+∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A. (2,+∞)B. [2,+∞)C. (5,+∞)D. [5,+∞) 8. (5分)若定义在R 的奇函数f(x)在(−∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x −1)≥0的x 的取值范围是( )A. [−1,1]∪[3,+∞)B. [−3,−1]∪[0,1]C. [−1,0]∪[1,+∞)D. [−1,0]∪[1,3]二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9. (5分)我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是( )A. 这11天复工指数和复产指数均逐日增加；B. 这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量；C. 第3天至第11天复工复产指数均超过80%；D. 第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量；10.(5分)已知曲线C：mx2+ny2=1.()A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为√nC. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±√−mnxD. 若m=0，n>0，则C是两条直线11.(5分)如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象，则sin(ωx+φ)=()A. B. C. D.12.(5分)已知a>0，b>0，且a+b=1，则()A. a2+b2≥12B. 2a−b>12C. log2a+log2b≥−2D. √a+√b⩽√2三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(5分)已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥A−NMD1的体积为．14.(5分)斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|=．15.(5分)将数列{2n−1}与{3n−2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}的前n项和为16.(5分)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，BH//DG，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(10分)在①ac=√3，②csinA=3，③c=√3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA=√3sinB，，_______？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18.(12分)已知公比大于1的等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3=8．(1)求{a n}的通项公式；(2)求a1a2−a2a3+⋯+(−1)n−1a n a n+1．19. (12分)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO 2浓度(单位：μg/m 3)，得下表：(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO 2浓度不超过150”的概率；(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表：(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO 2浓度有关？附：K 2=n(ad−bc)2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )20.(12分)如图，四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l．(1)证明：l⊥平面PDC；(2)已知PD=AD=1，Q为l上的点，QB=√2，求PB与平面QCD所成角的正弦值．21.(12分)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点M(2,3)，点A为其左顶点，且AM的斜率为12．(1)求C的方程；(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值．22.(12分)已知函数f(x)=ae x−1−lnx+lna．(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】 【分析】本题考查了集合的交集运算，属于基础题． 根据两集合的公共元素得出答案． 【解答】解：因为集合A ，B 的公共元素为：2，3，5 故A ∩B ={2,3，5}． 故选：C ．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了复数运算，属于基础题． 根据复数的乘法公式计算．【解答】解：(1+2i)(2+i)=2+i +4i +2i 2=5i ， 故选：B ．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查向量的表示，考查向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 利用向量加法法则直接求解． 【解答】解：在△ABC 中，D 是AB 边上的中点， 则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CD⃗⃗⃗⃗⃗ +(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：C ．4.【答案】B【解析】【分析】本题是立体几何在生活中的运用，考查空间线面角的定义和求法，属于基础题．由纬度的定义和线面角的定义，结合直角三角形的性质，可得晷针与点A处的水平面所成角．【解答】解：可设A所在的纬线圈的圆心为Oˈ，OOˈ垂直于纬线所在的圆面，由图可得∠OHA为晷针与点A处的水平面所成角，又∠OAOˈ为40°且OA⊥AH，在Rt△OHA中，OˈA⊥OH，∴∠OHA=∠OAOˈ=40°，故选：B．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查集合的应用，子集与交集、并集运算的转换，韦恩图的应用，是基本知识的考查．设只喜欢足球的百分比为x，只喜欢游泳的百分比为y，两个项目都喜欢的百分比为z，画出图形，列出方程求解即可．【解答】解：设只喜欢足球的百分比为x，只喜欢游泳的百分比为y，两个项目都喜欢的百分比为z，由题意，可得x+z=60，x+y+z=96，y+z=82，解得z=46．∴该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%．故选：C6.【答案】C【解析】【分析】本题考查不同的安排方法种数的求法，考查排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先把三名学生分成2组，再把2组学生分到两个村，利用排列组合知识直接求解．【解答】解：要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有：C32C11A22=6．故选：C．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查复合函数单调性的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．由对数式的真数大于0求得函数的定义域，令t=x2−4x−5，由外层函数y=lgt是其定义域内的增函数，结合复合函数的单调性可知，要使函数f(x)=lg(x2−4x−5)在(a,+∞)上单调递增，需内层函数t=x2−4x−5在(a,+∞)上单调递增且恒大于0，转化为(a,+∞)⊆(5,+∞)，即可得到a的范围．【解答】解：由x2−4x−5>0，得x<−1或x>5．令t=x2−4x−5，∵外层函数y=lgt是其定义域内的增函数，∴要使函数f(x)=lg(x 2−4x −5)在(a,+∞)上单调递增， 则需内层函数t =x 2−4x −5在(a,+∞)上单调递增且恒大于0， 则(a,+∞)⊆(5,+∞)，即a ≥5． ∴a 的取值范围是[5,+∞)． 故选：D ．8.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性的性质，作出函数f(x)的草图，是解决本题的关键．难度中等．根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，利用分类讨论思想进行求解即可． 【解答】解：∵定义在R 的奇函数f(x)在(−∞,0)单调递减，且f(2)=0，f(x)的大致图象如图：∴f(x)在(0,+∞)上单调递减，且f(−2)=0； 故f(−1)<0；当x =0时，不等式xf(x −1)≥0成立， 当x =1时，不等式xf(x −1)≥0成立，当x −1=2或x −1=−2时，即x =3或x =−1时，不等式xf(x −1)≥0成立， 当x >0时，不等式xf(x −1)≥0等价为f(x −1)≥0， 此时{x >00<x −1⩽2，此时1<x ≤3， 当x <0时，不等式xf(x −1)≥0等价为f(x −1)≤0， 即{x <0−2⩽x −1<0，得−1≤x <0，综上−1≤x≤0或1≤x≤3，即实数x的取值范围是[−1,0]∪[1,3]，故选：D．9.【答案】CD【解析】【分析】本题考查折线图表示的函数的认知和理解，考查理解能力、识图能力、推理能力，难点在于指数增量的理解与观测，属于中档题．通过复工和折线图中都有递减的部分来判断A；根据第一天和第十一天两者指数差的大小来判断B；根据图象结合复工复产指数的意义和增量的意义可判断CD；【解答】解：由图可知，这11天的复工指数和复产指数有增有减，故A错；由折线的变化程度可见这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误；第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确；第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，D正确；故选：CD．10.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查圆锥曲线方程的定义，属于中档题．根据所给条件，逐一分析对应的方程形式，结合椭圆、圆、双曲线方程的定义进行判断即可．【解答】解：A.若m>n>0，则1m <1n，则根据椭圆定义，知x21m+y21n=1表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；B.若m=n>0，则方程为x2+y2=1n ，表示半径为√n的圆，故B错误；C.若m<0，n>0，则方程为x21m+y21n=1，表示焦点在y轴的双曲线，故此时渐近线方程为y=±√−mnx，若m>0，n<0，则方程为x21m+y21n=1，表示焦点在x轴的双曲线，故此时渐近线方程为y=±√−mnx，故C正确；D.当m=0，n>0时，则方程为y=±1√n表示两条直线，故D正确；故选：ACD．11.【答案】BC【解析】【分析】本题主要考查三角函数解析式的求解，结合函数图象求出函数的周期和ω，利用三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键．比较基础．根据图象先求出函数的周期，和ω，利用五点法求出函数的φ的值，结合三角函数的诱导公式进行转化求解即可．【解答】解：由图象知函数的周期，即，即ω=2，由五点对应法得，得，则故选：BC．12.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．直接利用不等式的性质的应用和基本不等式的应用求出结果．【解答】解：①已知a>0，b>0，且a+b=1，所以(a+b)2≤2a2+2b2，则a2+b2⩾12，故A正确．②利用分析法：要证2a−b>12，只需证明a−b>−1即可，即a>b−1，由于a>0，b>0，且a+b=1，所以：a>0，b−1<0，故B正确．③log2a+log2b=log2ab⩽log2(a+b2)2=−2，故C错误．④由于a>0，b>0，且a+b=1，利用分析法：要证√a+√b⩽√2成立，只需对关系式进行平方，整理得a+b+2√ab⩽2，即2√ab⩽1，故√ab⩽12=a+b2，当且仅当a=b=12时，等号成立．故D正确．故选：ABD．13.【答案】13【解析】【分析】本题考查利用等体积法求多面体的体积，是基础的计算题．由题意画出图形，再由等体积法求三棱锥A−NMD1的体积．【解答】解：如图，∵正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，∴S△ANM=12×1×1=12，∴V A−NMD1=V D1−AMN=13×12×2=13．故答案为：13．14.【答案】163【解析】【分析】本题考查了抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系的应用，考查了学生的计算能力，是中档题．由题意求出直线AB的方程，联立直线和抛物线方程，利用抛物线的性质转化求解即可．【解答】解：由题意可得抛物线焦点F(1,0)，直线l的方程为y=√3(x−1)，代入y2=4x并化简得3x2−10x+3=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=103；x1x2=1，∴由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=103+2=163．故答案为：163．15.【答案】3n2−2n【解析】【分析】本题主要考查等差数列的性质以及求和公式，属于基础题．首先判断{a n}是以1为首项、以6为公差的等差数列，再利用求和公式，得出结论．【解答】解：将数列{2n−1}与{3n−2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}是以1为首项、以6为公差的等差数列，故它的前n项和为n×1+n(n−1)2×6=3n2−2n，故答案为：3n2−2n．16.【答案】【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，三角形的解法，考查分析问题解决问题的能力，是难题． 设大圆的半径为R ，利用已知条件求出OQ 、OD 的长，利用tan∠ODC =求出大圆的半径R ，再根据图中线段关系得出△AOH 为直角三角形，最后求解图中阴影部分的面积即可．【解答】解：作AM 垂直于EF ，交OH 、DG 于S 、N ，垂足为M ，过点O 作OQ 垂直于DQ ，垂足为Q ，∵A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，∴EM =AM =7， 又∵EF =12，MN =DE =2，∴NG =MF =12−7=5，AN =AM −NM =7−2=5， ∴∠AGD =45°，∵BH // DG ，∴∠AHO =45°， 由于AG 是圆弧的切线，∴AG ⊥OA ，∠AOH =∠ACN =45°， 设大圆的半径为R ，则AS =OS =R√2， OQ =SN =5−R √2，DQ =DN −QN =7−R√2， ∵tan∠ODC =35，∴5−R√27−R √2=35，解得R =2√2，图中阴影部分面积分为扇形AOB 和直角△AOH 的面积减去小半圆的面积， 所以S 阴影=135360×π×(2√2)2+12×2√2×2√2−12×π×1=52π+4． 故答案为：52π+4．17.【答案】解：①ac=√3．△ABC中，sinA=√3sinB，即b=√33a，ac=√3，∴c=√3a，cosC=a2+b2−c22ab =a2+a23−3a22√3a23=√32，∴a=√3，b=1，c=1．②csinA=3．△ABC中，，∴a=6．∵sinA=√3sinB，即a=√3b，∴b=2√3．cosC=a2+b2−c22ab=36+12−c22×6×2√3=√32∴c=2√3．③c=√3b.∵sinA=√3sinB，即a=√3b，又∵c=√3b，与已知条件相矛盾，所以问题中的三角形不存在．【解析】本题主要考查解三角形中的正弦定理与余弦定理，熟练掌握余弦定理并灵活的应用是解本题的关键．①根据题意，结合正弦定理，可得b=√33a，c=√3a，结合，运用余弦定理cosC=a2+b2−c22ab，即可求得c=1．②根据题意，△ABC中，csinA=asinC，即可求得a=6，进而得到b=2√3.运用余弦定理cosC=a2+b2−c22ab，即可求得c=2√3．③根据c =√3b ，sinA =√3sinB 即a =√3b ，可列式求得cosC =√36，与已知条件矛盾，所以问题中的三角形不存在．18.【答案】解：(1)设等比数列{a n }的公比为q(q >1)，则{a 2+a 4=a 1q +a 1q 3=20a 3=a 1q 2=8, ∵q >1，∴{a 1=2q =2, ∴a n =2·2n−1=2n ．(2)a 1a 2−a 2a 3+⋯+(−1)n−1a n a n+1=23−25+27−29+⋯+(−1)n−1⋅22n+1， =23[1−(−22)n ]1−(−22)=85−(−1)n22n+35．【解析】本题考查等比数列的通项公式，前n 项求和公式，考查转化思想和方程思想，属于基础题．(1)根据题意，列方程组{a 2+a 4=a 1q +a 1q 3=20a 3=a 1q 2=8，解得a 1和q ，然后求出{a n }的通项公式；(2)根据条件，可知a 1a 2，−a 2a 3，…(−1)n−1a n a n+1，是以23为首项，−22为公比的等比数列，由等比数列求和公式，即可得出答案．19.【答案】解：(1)用频率估计概率，从而得到“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO 2浓度不超过150”的概率 P =32+18+6+8100=0.64；SO 2 PM2.5 [0,150](150,475][0,75] 64 16 (75,115]1010由K 2=n(ad−bc)2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )=100×(64×10−16×10)280×20×74×26=7.484>6.635，P(K 2≥6.635)=0.01；故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO 2浓度有关，【解析】本题考查了独立性检验的应用，用频率估计概率，属于基础题．(1)用频率估计概率，从而得到“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO 2浓度不超过150”的概率；(2)根据题目所给的数据填写2×2列联表即可；(3)计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论．20.【答案】解：(1)证明：过P 在平面PAD 内作直线l // AD ，由AD // BC ，可得l // BC ，即l 为平面PAD 和平面PBC 的交线， ∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC ， 又BC ⊥CD ，CD ∩PD =D ，∴BC ⊥平面PCD ， ∵l // BC ，∴l ⊥平面PCD ；(2)如图，以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DP 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D −xyz ，∵PD =AD =1，Q 为l 上的点，QB =√2， ∴PB =√3，QP =1，则D(0,0，0)，A(1,0，0)，C(0,1，0)，P(0,0，1)，B(1,1，0)， 设Q(1,0，1)，则DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，1)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−1)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，0)， 设平面QCD 的法向量为n⃗ =(a,b ，c)， 则{n ⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴{b =0a +c =0，取c =1，可得n⃗ =(−1,0，1)， ∴cos <n ⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=n⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ ||PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3·√2=√63， ∴PB 与平面QCD 所成角的正弦值为√63．【解析】本题考查空间线面垂直的判定，以及线面角的求法，考查转化思想和向量法的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．(1)过P在平面PAD内作直线l//AD，推得l为平面PAD和平面PBC的交线，由线面垂直的判定和性质，即可得证；(2)以D为坐标原点，直线DA，DC，DP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D−xyz，求出Q(0,1，1)，运用向量法，求得平面QCD的法向量，结合向量的夹角公式求解即可．21.【答案】解：(1)由题意可知直线AM的方程为：y−3=12(x−2)，即x−2y=−4，当y=0时，解得x=−4，所以a=4，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点M(2,3)，可得416+9b2=1，解得b2=12，所以C的方程：x216+y212=1．(2)设与直线AM平行的直线方程为：x−2y=m，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值．x−2y=m代入椭圆方程：x216+y212=1．化简可得：16y2+12my+3m2−48=0，所以△=144m2−4×16(3m2−48)=0，即m2=64，解得m=±8，与AM距离比较远的直线方程：x−2y=8，利用平行线之间的距离为：d=8+4√1+4=12√55，|AM|==3．所以△AMN的面积的最大值：12×3√5×12√55=18．【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，椭圆的简单性质的应用，考查学生分析问题解决问题的数学素养，是偏难题．(1)利用已知条件求出A的坐标，然后求解b，得到椭圆方程．(2)设出与直线AM平行的直线方程，与椭圆联立，利用判别式为0，求出椭圆的切线方程，然后求解三角形的最大值．22.【答案】解：(1)当a=e时，f(x)=e x−lnx+1，∴f′(x)=e x−1x，∴f′(1)=e−1，∵f(1)=e+1，∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−(e+1)=(e−1)(x−1)，当x=0时，y=2，当y=0时，x=−2e−1，∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积S=12×2×2e−1=2e−1．(2)方法一：由f(x)≥1，可得ae x−1−lnx+lna≥1，即e x−1+lna−lnx+lna≥1，即e x−1+lna+lna+x−1≥lnx+x=e lnx+lnx，令g(t)=e t+t，则g′(t)=e t+1>0，∴g(t)在R上单调递增，∵g(lna+x−1)≥g(lnx)∴lna+x−1≥lnx，即lna≥lnx−x+1，令ℎ(x)=lnx−x+1，∴ℎ′(x)=1x −1=1−xx，当0<x<1时，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)单调递增，当x>1时，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)单调递减，∴ℎ(x)≤ℎ(1)=0，∴lna≥0，∴a≥1，故a的范围为[1,+∞)．方法二：由f(x)≥1可得ae x−1−lnx+lna≥1，即ae x−1−1≥lnx−lna，设g(x)=e x−x−1，∴g′(x)=e x−1>0恒成立，∴g(x)在(0,+∞)单调递增，∴g(x)>g(0)=1−0−1=0，∴e x−x−1>0，即e x>x+1，再设ℎ(x)=x−1−lnx，∴ℎ′(x)=1−1x =x−1x，当0<x<1时，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)单调递减，当x>1时，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)单调递增，∴ℎ(x)≥ℎ(1)=0，∴x−1−lnx≥0，即x−1≥lnx∵a>0，∴e x−1≥x，则ae x−1≥ax，此时只需要证ax≥x−lna，即证x(a−1)≥−lna，当a≥1时，∴a≥1，x(a−1)>0>−lna恒成立，当0<a<1时，x(a−1)<0<−lna，此时x(a−1)≥−lna不成立，综上所述a的取值范围为[1,+∞)．方法三：由题意可得x∈(0,+∞)，a∈(0,+∞)，∴f′(x)=ae x−1−1，x易知f′(x)在(0,+∞)上为增函数，①当0<a<1时，f′(1)=a−1<0，f′(1)=ae1a−1−a=a(e1a−1−1)>0，a)使得f′(x0)=0，∴存在x0∈(1,1a当x∈(1,x0)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，∴f(x)<f(1)=a+lna<a<1，不满足题意，②当a≥1时，e x−1>0，lna>0，∴f(x)≥e x−1−lnx，令g(x)=e x−1−lnx，∴g′(x)=e x−1−1，x易知g′(x)在(0,+∞)上为增函数，∵g′(1)=0，∴当x∈(0,1)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，∴g(x)≥g(1)=1，即f(x)≥1，综上所述a的取值范围为[1,+∞)．方法四：∵f(x)=ae x−1−lnx+lna，x>0，a>0，∴f′(x)=ae x−1−1x，易知f′(x)在(0,+∞)上为增函数，∵存在x0∈(0,+∞)，使得f′(x0)=ae x0−1−1x0=0，则ae x0−1=1x0，则lna+x0−1=−lnx0，即lna=1−x0−lnx0，当x∈(0,x0)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(x0,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，∴f(x)≥f(x0)=ae x0−1−lnx0+lna=1x0−lnx0+1−x0−lnx0=1x0−2lnx0+1−x0≥1∴1x0−2lnx0−x0≥0设g(x)=1x−2lnx−x，易知函数g(x)在(0,+∞)上单调递减，且g(1)=1−0−1=0，∴当x∈(0,1]时，g(x)≥0，∴x0∈(0,1]时，1x0−2lnx0−x0≥0，设ℎ(x)=1−x−lnx，x∈(0,1]，∴ℎ′(x)=−1−1x<0恒成立，∴ℎ(x)在(0,1]上单调递减，∴ℎ(x)≥ℎ(1)=1−1−ln1=0，当x→0时，ℎ(x)→+∞，∴lna≥0=ln1，∴a≥1．【解析】本题考查了导数的几何意义，以及导数和函数的最值的关系，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于难题．(1)根据导数的几何意义即可求出切线方程，可得三角形的面积；(2)方法一：不等式等价于e x−1+lna+lna+x−1≥lnx+x=e lnx+lnx，令g(t)=e t+ t，根据函数单调性可得lna>lnx−x+1，再构造函数ℎ(x)=lnx−x+1，利用导数求出函数的最值，即可求出a的范围；方法二：构造两个基本不等式e x>x−1，x−1≥lnx，则原不等式转化为x(a−1)≥−lna，再分类讨论即可求出a的取值范围，方法三：利用分类讨论的思想，当0<a<1，此时不符合题意，当a≥1时，f(x)≥e x−1−lnx，令g(x)=e x−1−lnx，再根据导数和函数最值的关系即可证明，−2lnx0+1−x0≥1，方法四：先根据导数和函数的最值的关系求出f(x)≥f(x0)=1xlna=1−x0−lnx0，再求出x0的范围，再利用导数求1−x0−lnx0的范围，即可求出a 的范围．。

2020届海南省新高考线上诊断性测试数学试题第I 卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|-3<x<4},B={x|-4<x<6},则()R A B ⋂=ðA. {x|4<x<6}B. {x|-4<x<-3}∪{x|4<x<6}C. {x|4≤x<6}D. {x|-4<x≤-3}∪{x|4≤x<6}2.若复数z 的虚部小于0,||5z =,且4z z +=,则iz= A.1+3i B.2+I C.1+2i D.1- 2i3.“游客甲在海南省”是“游客甲在三亚市”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.已知函数2()5f x x mx =-+在(2,+∞)上单调递增，则m 的取值范围为A. [4,+∞)B. [2,+∞)C. (-∞,4]D. (-∞,2] 5.6324x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式的中间项为 A. -40 2.40B x - C.40 2.40D x6.现将五本相同的作文本分给甲、乙、丙三人,每人至少一本，则甲分得三本的概率是1.6A 1.3B 1.12C 2.9D 7.如图,在等腰直角△ABC 中,D,E 分别为斜边BC 的三等分点(D 靠近点B),过E 作AD 的垂线,垂足为F,则AF =u u u r 31.55A AB AC +u u u r u u u r 21.55B AB AC +u u u r u u u r 48.1515C AB AC +u u u r u u u r 84.1515D AB AC +u u u r u u u r8.已知函数241,0()22,0,x x x x f x x -⎧--+≤=⎨->⎩若关于x 的方程(f(x)-1)( f(x)-m)=0恰有5个不同的实根，则m 的取值范围为A. (1,2)B. (1,5)C. (2,3)D. (2,5)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

.A. 2 C D + CAB. CD - 2 C AC. 2 C D - CAD. CD + 2 C A2020 年普通高等学校招生全国统一考试数学（海南）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试 卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1、设集合 A ={2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8},则 AB =（）A. {1，3，5，7}B. {2，3}C. { 2，3，5}D.{1，2，3，5，7，8}2、 (1 + 2i)(2 + i) =（ ）A. 4 + 5iB. 5iC. - 5iD. 2 + 3i3、在∆ABC 中，D 是 AB 边上的中点，则→ =（CB）→ →→ →→ →→ →4、日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为 O ），地球上一点 A 的纬度是指 OA 与地球赤道所在平面所成角，点 A 处的水平面是指过点 A 且与 OA 垂直的平面.在点 A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬 40o ，则晷针与点 A 处的水平面所成角为（ ）A. 20oB. 40oC. 50oD. 90o5、某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 96％的学生喜欢足球或游泳，60％的学生喜欢足球，82％的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 （ ）A.62 %B.56%C.46%D.42%6、要安排 3 名学生到 2 个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）A.2种B.3种C.6种D.8种7、已知函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)上单调递增，则a的取值范围是（）A.(2,+∞)B.[2,+∞)C.(5,+∞)D.[5,+∞)8、若定义在R上的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是（）A.[-1,1][3,+∞)B.[-3,-1][0,1]C.[-1,0][1,+∞)D.[-1,0][1,3]二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9.我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确是（）的A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加;B.这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;C.第3天至第11天复工复产指数均超过80%;D.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;10、已知曲线C:mx2+ny2=1（）A.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若m=n>0，则C是圆，其半径为为nC.若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±-D.若m=0,n>0，则C是两条直线m n x) B . sin( - 2 x ) C. cos(2 x + ) D . cos(- 2x)2 2sin A = 3 sin B, C = π11、右图是函数 y = sin(ωx + ϕ) ，则 sin(ω x + ϕ) = （）A. sin( x + π π π 5π3 3 6 612、已知 a > 0, b >0,且 a +b =1，则（ ）A. a 2+ b 2≥ 1 1B . 2a -b > C. log a + log b ≥ -2 D . a + b ≤ 22 2三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13、已知正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 的棱长为 2，M 、N 分别为 BB 1、AB 的中点，则三棱锥 A -NMD 1的体积为14、斜率为 3 的直线过抛物线 C : y 2 = 4 x 的焦点，且与 C 交于 A,B 两点，则 | AB |=15、将数列{2n -1}与 { 3n - 2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则 {a }的前 n 项和为n16、某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆心，A 是圆弧 AB 与直线 AG 的切点， B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点，四边形DEFG 为矩形， BC ⊥DG ，垂足为 C ， tan ∠ODC =35，BH // DG, EF = 12cm , DE = 2cm , A 到直线 DE 和 EF 的距离均为 7cm ，圆孔半径为 1cm ，则图中阴影部分的面积为cm 2四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17、（10 分）在①ac= 3 ,② c sin A =3,③c = 3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在,求 c 的；若问题中的三角形不存在，说明理由.问 题 ： 是 否 存 在 ∆ABC ， 它 的 内 角 A, B,C 的 对 边 分 别 为a, b , c ， 且6 ,?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18、（12分）已知公比大于1的等比数列{a}满足a+a=20,a=8n243（1）求{a}的通项公式；n（2）求a a-a a+...+(-1)n-1a a1223n n+119、（12分）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度（单位：μg/m3m），得下表：PM2.5[0,35](35,75](75,115]SO2[0,50]3263(50,15]1887(150,475]41210（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO浓度不超过150”的概率；2（2）根据所给数据，完成下面的2⨯2列联表：SO2PM2.5[0,150](150,475][0,75](75,115]（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99％的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO浓2度有关？附：n(ad-bc)2K2=, (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k)0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828（20、12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=l，Q为l上的点，QB=2，求PB与平面QCD所成角的正弦值.21、已知椭圆C：x2y2+a2b2=1(a>b>0)且过点M(2,3),点A为其左顶点且AM的斜率为12（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求AMN的面积的最大值.22、已知函数f(x)=ae x-1-ln x+ln a（1）当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f(x)≥1，求a的取值范围.3.在 ABC 中，D 是 AB 边上的中点，则 C B =（）【详细解答及点评】一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求的）1.设集合 A ={2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，则 A B =（） A. {1，3，5，7} B. {2，3} C. {2，3，5} D. {1，2，3，5，7，8}【答案】C 【解析】根据集合交集的运算可直接得到结果.【解答】因为 A ={2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，所以故选：C【点评】本题考查的是集合交集的运算，较简单.2. (1+ 2i)(2 + i) =（）A. 4 + 5iB. 5iC. -5iD. 2 + 3i【答案】B 【解析】直接计算出答案即可.【解答】 (1+ 2i)(2 + i) = 2 + i + 4i + 2i 2 = 5i故选：B【点评】本题考查的是复数的计算，较简单.→A. 2CD + CAB. CD - 2CAC. 2CD - CAD. CD + 2CA【答案】C 【解析】根据向量的加减法运算法则算出即可. 【解答】CB = CA + AB = CA + 2 A D = CA + 2 (CD- CA )= 2CD - CA故选：C【点评】本题考查的是向量的加减法，较简单.4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把 地球看成一个球(球心记为 O)，地球上一点 A 的纬度是指 OA 与地球赤道所在平面所成角，点 A 处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（）A.20°B.40°C.50°D.90°【答案】B【解析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点A处的纬度，计算出晷针与点A处的水平面所成角.【解答】画出截面图如下图所示，其中CD是赤道所在平面的截线；l是点A处的水平面的截线，依题意可知O A⊥l；AB是晷针所在直线.m是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知m//CD、根据线面垂直的定义可得AB⊥m..由于∠AOC=40︒,m//CD，所以∠OAG=∠AOC=40︒，由于∠OAG+∠GAE=∠BAE+∠GAE=90︒，所以∠BAE=∠OAG=40︒，也即晷针与点A处的水平面所成角为∠BAE=40︒.故选：B【点评】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题.5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A.62%B.56%C.46%D.42%【答案】C【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，然后根据积事件的概率公式P(A⋅B)=P(A)+P(B)-P(A+B)可得结果.【解答】记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A·B，(A+B)=0.96，则P(A)=0.6，P(B)=0.82，P所以P(A⋅B)=P(A)+P(B)-P(A+B)=0.6+0.82-0.96=0.46所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C.【点评】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.6.要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A.2种B.3种C.6种D.8种【答案】C【解析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.【解答】第一步，将3名学生分成两个组，有C1C2=3种分法32第二步，将2组学生安排到2个村，有A2=2种安排方法2所以，不同的安排方法共有3⨯2=6种故选：C【点评】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.7.已知函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)上单调递增，则a的取值范围是（）A.(2,+∞)B.[2,+∞)C.(5,+∞)D.[5,+∞)【答案】D【解析】首先求出f(x)的定义域，然后求出f(x)=lg(x2-4x-5)的单调递增区间即可.【解答】由x2-4x-5>0得x>5或x<-1(x)的定义域为(-∞,-1)⋃(5,+∞)所以f因为y=x2-4x-5在(5,+∞)上单调递增所以f(x)=lg(x2-4x-5)在(5,+∞)上单调递增所以a≥5故选：D【点评】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.⎨或 ⎨ 或 x = 0 -2 ≤ x - 1 ≤ 0或x - 1 ≥ 2 0 ≤ x - 1 ≤ 2或x - 1 ≤ -2. 8.若定义在 R 的奇函数 f(x)在 (-∞,0) 单调递减，且 f(2)=0，则满足 xf ( x - 1) ≥ 0 的 x 的取值范围是（）A. [-1,1] [3, +∞ )C. [-1,0] ⋃ [1,+∞)B. [-3, -1] [0,1]D. [-1,0] ⋃ [1,3]【答案】D 【解析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 f ( x ) 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于 零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【解答】因为定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 在 (-∞,0) 上单调递减，且 f (2) = 0 ，所以 f ( x ) 在 (0, +∞) 上也是单调递减，且 f ( -2) = 0 ， f (0) = 0 ，所以当 x ∈ (-∞, -2) ⋃ (0,2) 时， f ( x ) > 0 ，当 x ∈ (-2,0) (2, +∞ ) 时， f ( x ) < 0 ，所以由 xf ( x - 1) ≥ 0 可得：⎧ x < 0 ⎧ x > 0⎩ ⎩ 解得 -1≤ x ≤ 0 或1 ≤ x ≤ 3 ，所以满足 xf ( x - 1) ≥ 0 的 x 的取值范围是[-1,0] ⋃ [1,3] ，故选：D.【点评】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题 二、选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分）9.我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11 天复工复产指数折线 图，下列说法正确的是（ ）A. 这 11 天复工指数和复产指数均逐日增加;B. 这 11 天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;【解答】对于 A ，若 m > n > 0 ，则 mx 2 + ny 2 = 1 可化为 1 对于 C ，若 mn < 0 ，则 mx 2 + ny 2 = 1 可化为 1 C. 第 3 天至第 11 天复工复产指数均超过 80%;D. 第 9 天至第 11 天复产指数增量大于复工指数的增量; 【答案】CD 【解析】注意到折线图中有递减部分，可判定 A 错误；注意考查第 1 天和第 11 天的复工复产指数的差的大小， 可判定 B 错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定 C D 正确.【解答】由图可知，第 1 天到第 2 天复工指数减少，第 7 天到第 8 天复工指数减少，第 10 天到第 11 复工指数减少，第 8 天到第 9 天复产指数减少，故 A 错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第 11 天的复产指标与复工指标的差，所以这 11 天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故 B 错误;由图可知，第 3 天至第 11 天复工复产指数均超过 80%，故 C 正确;由图可知，第 9 天至第 11 天复产指数增量大于复工指数的增量，故 D 正确;【点评】本题考查折线图表示的函数的认知与理解，考查理解能力，识图能力，推理能力，难点在 于指数增量的理解与观测，属中档题.10.已知曲线 C : mx 2 + ny 2 = 1 .（）A. 若 m>n>0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上B. 若 m=n>0，则 C 是圆，其半径为 nC. 若 mn<0，则 C 是双曲线，其渐近线方程为 y = ± - m nxD. 若 m=0，n>0，则 C 是两条直线 【答案】ACD 【解析】结合选项进行逐项分析求解，m > n > 0 时表示椭圆，m = n > 0 时表示圆，mn < 0 时表示双曲线，m = 0, n > 0 时表示两条直线.x 2 y 2+ = 11m n，1 1 因为 m > n > 0 ，所以<，mn即曲线 C 表示焦点在 y 轴上的椭圆，故 A 正确；对于 B ，若 m = n > 0 ，则 mx 2 + ny 2 = 1 可化为 x 2 + y 2 = 1 n，此时曲线 C 表示圆心在原点，半径为nn的圆，故 B 不正确；x 2 y 2+ = 1 1 mn，A. sin(x + ）C. cos(2x + ）D. cos( 【解答】由函数图像可知： T 2 π5π 时， y = -1∴ 2 ⨯ + ϕ = + 2k π (k ∈ Z ) ，x = 312 2y = sin 2 x + π + 2k π ⎪ = sin 2 x + + ⎪ = cos 2 x + ⎪ = sin - 2 x ⎪ .2 π π ⎫ π ⎫3 6 2 ⎭ 6 ⎭2020 年海南高考数学试卷此时曲线 C 表示双曲线，由 mx 2+ ny 2= 0 可得 y = ± - mnx ，故 C 正确；对于 D ，若 m = 0, n > 0 ，则 mx 2 + ny 2 = 1 可化为 y 2 =1n，y =±n ，此时曲线 C 表示平行于 x 轴的两条直线，故 D 正确；n故选：ACD.【点评】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数 学运算的核心素养.11.下图是函数 y= sin(ωx+φ)的部分图像，则 sin(ωx+φ)= （ ）π3B. sin( π- 2 x )3π 5π 6 6- 2x)【答案】BC 【解析】首先利用周期确定ω 的值，然后确定ϕ 的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结 果.2 π π 2π 2π= π - = ，则 ω = = = 2 ，所以不选 A,2 3 6 2 T π当解得：ϕ = 2k π + 2π (k ∈ Z )，3即函数的解析式为：⎛ ⎫ ⎛ ⎛ ⎛ π ⎫ ⎝ ⎭ ⎝ ⎝ ⎝ 3 ⎭π ⎫ 5π = - cos( - 2 x )6 ⎭ 6⎛(【解答】对于 A ， a+ b = a 1 ⎫ 1 1 ⎛ + (1 - a )2= 2a2- 2a + 1 = 2 a - ⎪ 对于 C ， log a + log b = log ab ≤ log2 ⎝ 2 ⎭⎪ 2而 cos 2 x + ⎝⎪故选：BC.【点评】已知 f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困 难的是求待定系数 ω 和 φ，常用如下两种方法：(1)由 ω＝2πT即可求出 ω；确定 φ 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升 或下降)的“零点”横坐标x0，则令 ωx0＋φ＝0(或 ωx0＋φ＝π)，即可求出 φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出 ω 和 φ，若对 A ，ω 的符号或对 φ 的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 12.已知 a>0，b>0，且 a+b=1，则（ ）A. a 2+ b 2≥ 1 1B. 2a -b >2 2C. log a + log b ≥ -2D.22a +b ≤ 2【答案】ABD 【解析】根据 a + b = 1 ，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.2 22 2 + ≥ ， ⎝ 2 ⎭ 2 2当且仅当 a = b = 1 2时，等号成立，故 A 正确；对于 B ， a - b = 2a - 1 > -1 ，所以 2a -b > 2-1 =12 ⎛ a + b ⎫22 2 2，故 B 正确；1 = log = -2 ， 241当且仅当 a = b = 时，等号成立，故 C 不正确；2对于 D ，因为 (a +b )= 1 + 2 ab ≤ 1 + a + b = 2 ，所以 a + b ≤ 2 ，当且仅当 a = b =12时，等号成立，故 D 正确；故选：ABD【点评】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考 查数学运算的核心素养.三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.已知正方体 ABCD -A1B1C1D1 的棱长为 2，M 、N 分别为 BB1、AB 的中点，则三棱锥 A -NMD1 的体积为____________⨯1⨯1⨯ 2 = ..3 3【答案】 13【解析】利用V A - NMD 1 = V D 1 - AMN 计算即可.【解答】因为正方体 ABCD -A1B1C1D1 的棱长为 2，M 、N 分别为 BB1、AB 的中点所以VA - NMD 1 = V D 1 - AMN= 3 ⨯231 1 1故答案为：13【点评】在求解三棱锥的体积时，要注意观察图形的特点，看把哪个当成顶点好计算一些14.斜率为 3 的直线过抛物线 C ：y2=4x 的焦点，且与 C 交于 A ，B 两点，则 AB =________．【答案】163【解析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去 y 并整 理得到关于 x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果【解答】∵抛物线的方程为 y 2 = 4 x ，∴抛物线的焦点 F 坐标为 F (1,0) ，又∵直线 AB 过焦点 F 且斜率为 3 ，∴直线 AB 的方程为： y = 3( x -1)代入抛物线方程消去 y 并化简得 3x 2 - 10 x + 3 = 0 ，解法一：解得 x = 1 13 , x = 321 16所以 | AB |= 1 + k 2| x - x |= 1 + 3⋅ | 3 - |= 12解法二： ∆ = 100 - 36 = 64 > 0设 A( x 1, y 1 ), B( x 2 , y 2 ) ，则 x 1 + x 2 = 10 3,过 A, B 分别作准线 x = -1 的垂线，设垂足分别为 C , D 如图所示.3.2A B|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=x+1+x+1=x+x+2=161212故答案为：163【点评】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题15.将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．【答案】3n2-2n【解析】首先判断出数列{2n-1}与{3n-2}项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.【解答】因为数列{2n-1}是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列{3n-2}是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{an}是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以{a}的前n项和为n⋅1+n(n-1)⋅6=3n2-2n，n故答案为：3n2-2n.【点评】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.16.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，是圆弧AB与直线AG的切点，是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=35，BH//DG，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．【答案】4+【解析】52π.在直角△OQD中，OQ=5-2因为tan∠ODC=OQ=，所以21-32r=25-52r，22等腰直角△OAH的面积为S=⨯22⨯22=4；224()=3π，⨯22226，）利用tan∠ODC=3求出圆弧AB所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形AOB的面积，求5出直角△OAH的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得【解答】设O B=OA=r，由题意AM=AN=7，EF=12，所以NF=5，因为AP=5,所以∠AGP=45︒，因为BH//DG，所以∠AHO=45︒，因为AG与圆弧AB相切于A点，所以O A⊥AG，即△OAH为等腰直角三角形；2r，DQ=7-r，223DQ5解得r=22；1113π扇形AOB的面积S=⨯2215π所以阴影部分的面积为S+S-π=4+12.故答案为：4+5π2.【点评】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在①ac=3，②c sin A=3，③c=3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC，它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且sin A3sin B，C=π则：sin A=1- -⎪=，此时：c sin A=m⨯=3，则：c=m=23.6,B=π-(A+C),sinA=3sin(A+C)=3sin A+6⎭+3cosA?∴sinA=-3cosA,∴tanA=-3,∴A=2π________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】详见解析【解析】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到c的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得t anA的值，得到角A,B,C的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解.【解答】解法一：由sin A3sin B可得：a=3，b不妨设a=3m,b=m(m>0)，则：c2=a2+b2-2ab cos C=3m2+m2-2⨯3m⨯m⨯32=m2，即c=m.选择条件①的解析：据此可得：ac=3m⨯m=3m2=3，∴m=1，此时c=m=1.选择条件②的解析：据此可得：c os A=b2+c2-a2m2+m2-3m21==-2bc2m22，⎛1⎫233⎝2⎭22选择条件③的解析：可得c m==1，c=b，b m与条件c=3b矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：∵sinA=3sinB,C=π∴⎛⎝π⎫⎪,sinA=3sin(A+C)=3sinA?3122，π,∴B=C=,36若选①，ac=3,∵a=3b=3c,∴3c2=3,∴c=1;【答案】（1） a = 2n ；（2） - (-1)n55({a }的公比为 q(q>1)，则 ⎧⎨a 2 + a 4 = a 1q + a 1q 3 = 20 ， ⎩a 3 = a 1q 2 = 8⎣ ⎦n.若选②， csinA = 3 ,则3c = 3 , c = 2 3 ;2若选③,与条件 c = 3b 矛盾.【点评】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出 现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时， 注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．18.已知公比大于1 的等比数列{a } 满足 a + a = 20, a = 8 ． n 2 4 3（1）求{a n } 的通项公式；（2）求 a a - a a +⋯+ (-1)n -1 a a 1 22 3nn +1 .8 22n +3 n【解析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式； (2)首先求得数列{-1)n -1a a}的通项公式，然后结合等比数列前 n 项和公式求解其前 n 项和即可.n n +1【解答】(1) 设等比数列n整理可得： 2q 2 - 5q + 2 = 0 ，q > 1,q = 2, a = 2 ，1数列的通项公式为： a = 2 ⋅ 2n -1 = 2n . n(2)由于： (-1)n -1 a an n +1= (-1)n -1 ⨯ 2n ⨯ 2n +1 = (-1)n -1 22n +1 ，故：a a - a a +⋯+ (-1)n -1 a a1 22 3nn +1= 23 - 25 + 27 - 29 +⋯+ (-1)n -1 ⋅ 22n +1=【点评】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握 等比数列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100 天空气中的 PM2.5 和 SO 浓度（单位： μg/m 3），得下表：2【解答】 1）由表格可知，该市 100 天中，空气中的 PM 2.5 浓度不超过 75，且 SO 2 浓度不超过 150（1）估计事件“该市一天空气中 PM2.5 浓度不超过 75 ，且 S O 浓度不超过150 ”的概率；2（2）根据所给数据，完成下面的 2 ⨯ 2 列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99% 的把握认为该市一天空气中 P M2.5 浓度与 S O 浓度有2关？n(ad - b c)2附： K 2 = ，(a + b )(c + d )(a + c)(b + d )【答案】（1） 0.64 ；（2）答案见解析；（3）有. 【解析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果； （2）根据表格中数据可得 2 ⨯ 2 列联表；（3）计算出 K 2，结合临界值表可得结论.（的天数有 32 + 6 + 18 + 8 = 64 天，所以该市一天中，空气中的 PM 2.5 浓度不超过 75，且 SO 2 浓度不超过 150 的概率为 （2）由所给数据，可得 2 ⨯ 2 列联表为：64 100= 0.64 ；SO2[0,150] (150,475] 合计PM 2.52020年海南高考数学试卷[0,75]641680(75,115]合计1074102620100（3）根据2⨯2列联表中的数据可得n(ad-bc)2100⨯(64⨯10-16⨯10)23600K2===≈7.4844>6.635，(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)80⨯20⨯74⨯26481因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关.【点评】本题考查了古典概型的概率公式，考查了完善2⨯2列联表，考查了独立性检验，属于中档题.20.如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，QB=2，求PB与平面QCD所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）63.【解析】（1）利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得AD//l，利用线面垂直的判定定理证得AD⊥平面PDC，从而得到l⊥平面PDC；（2）根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点Q(m,0,1)，之后求得平面QCD的法向量以及向量PB的坐标，求得cos<n,PB>，即可得到直线PB与平面QCD所成角的正弦值.【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AD//BC，因为AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD//平面PBC，又因为AD⊂平面P AD，平面P AD平面PBC=l，⎩x+z=0n PB =2020年海南高考数学试卷所以AD//l，因为在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，所以AD⊥DC,∴l⊥DC,且PD⊥平面ABCD，所以AD⊥PD,∴l⊥PD,因CD PD=D所以l⊥平面PDC；（2）如图建立空间直角坐标系D-xyz，因为PD=AD=1，则有D(0,0,0),C(0,1,0),A(1,0,0),P(0,0,1),B(1,1,0)，设Q(m,0,1)，则有DC=(0,1,0),DQ=(m,0,1),PB=(1,1,-1)，因为QB=2，所以有(m-1)2+(0-1)2+(1-0)2=2⇒m=1设平面QCD的法向量为n=(x,y,z)，⎧DC⋅n=0⎧y=0则⎨，即⎨，⎩DQ⋅n=0令x=1，则z=-1，所以平面Q CD的一个法向量为n=(1,0,-1)，则cos<n,PB>=n⋅PB1+0+112+02+(-1)2⋅12+12+12=26=.2⨯33根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于|cos<n,PB>|=6 3所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值为6 3.【点评】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和性质，线面垂直.=1(a>b>0)过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为，联立直线方程x-2y=m与椭圆方程+=1，()的判定和性质，利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值，属于中档题目21.已知椭圆C：x2y2+a2b212（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.【答案】（1）x2y2+=1；（2）12.1612【解析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N到直线AM的距离即可求得三角形面积的最大值.【解答】(1)由题意可知直线AM的方程为：y-3=当y=0时，解得x=-4，所以a=4，12(x-2)，即x-2y=-4.椭圆C:x2y2+a2b2=1(a>b>0)过点M(2，3)，可得4+9=1，16b2解得b2=12.x2y2所以C的方程：+=1.1612(2)设与直线AM平行的直线方程为：x-2y=m，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.x2y21612可得：3(m+2y)2+4y2=48，化简可得：16y2+12my+3m2-48=0，所以∆=144m2-4⨯163m2-48=0，即m2=64，解得m=±8，= f (1) = 1 ,符合题意；当 a>1 时，可证 f '( ) f '(1) < 0 ，从而 f ' (x )存在零点 x > 0 ，使 a x max ，进而根据不等式恒成立的意义与 AM 距离比较远的直线方程： x - 2 y = 8 ，直线 AM 方程为： x - 2 y = -4 ，点 N 到直线 AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得： d = 8 + 4 1 + 4 = 12 5 5 ，由两点之间距离公式可得| AM |=(2 + 4)2 + 32 = 3 5 .1 12 5 △所以 AMN 的面积的最大值： ⨯3 5 ⨯ 2 5= 18 . 【点评】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜 率、三角形的面积等问题．22.已知函数 f ( x ) = ae x -1 - ln x + ln a ．（1）当 a = e 时，求曲线 y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若 f （x ）≥1，求 a 的取值范围．【答案】（1） 2 （2）[1, +∞)e -1 【解析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐标， 最后根据三角形面积公式得结果；（2）解法一：利用导数研究，得到函数 f (x )得导函数 f ’(x ) 的单调递增，当 a=1 时由 f ’(1) = 0 得f (x ) min 1 0得 f '( x 0 ) = aex 0-1 - 1 0= 0 ，得到 f ( x ) min ，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基 本不等式可以证得 (x ) ≥ 1 恒成立；当 0 < a < 1 时，研究 f (1) .即可得到不符合题意.综合可得 a 的取值范围.解法二：利用指数对数的运算可将 f (x ) ≥ 1转化为e lna + x -1 + lna + x -1 ≥ e lnx + lnx ,令 g (x ) = e x + x ,上述不等式等价于 g (lna + x -1) ≥ g (lnx ),注意到 g (x )的单调性，进一步等价转化为 lna ≥ lnx - x + 1 ，令 h (x ) = lnx - x + 1,利用导数求得 h (x )得到关于 a 的对数不等式，解得 a 的取值范围.∴所求三角形面积为 11 1 当 a > 1 时， < 1 ，∴e 1-1 < 1 ，∴ f '( ) f '(1) = a(e a -1- 1)(a - 1) < 0, a a= 0，且当 x ∈ (0, x ) 时 f '( x ) < 0 ，当x ∈ ( x , +∞) 时 f '( x ) > 0 ，∴ a e x 0-1 = 1x【解答】（1） f ( x ) = e x - ln x + 1 ，∴ f '( x ) = e x- 1 ，∴ k = f '(1) = e - 1 . x f (1)= e + 1 ，∴切点坐标为(1,1+e),∴函数 f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 y - e - 1 = (e - 1)(x - 1) ,即 y = (e -1)x + 2 ,∴ 切线与坐标轴交点坐标分别为 (0,2),( -2,0) , e - 1-2 2 ⨯ 2⨯| |= 2 e - 1 e - 1;（2）解法一： f ( x ) = ae x -1- ln x + ln a ,∴ f '( x ) = ae x -1 - 1 ，且 a > 0 .x设 g ( x ) = f '( x ) ,则 g '( x ) = ae x -1 + 1 x 2 > 0,∴g(x)在 (0, +∞) 上单调递增，即 f '( x ) 在 (0, +∞) 上单调递增，当 a = 1 时， f '(1) = 0 ,∴ f (x ) min = f (1) =1 ,∴ f (x ) ≥ 1 成立.1 a∴存在唯一 x 0 > 0 ，使得 f '( x 0 ) = ae x 0-1 - 1x 00 0 x 0，∴ ln a + x 0 - 1 = - ln x 0 ，因此 f ( x )min = f ( x ) = ae x 0-1 - ln x + ln a0 0 = 1x 0 1 + ln a + x - 1 + ln a ≥ 2ln a - 1 + 2⋅ x = 2ln a + 1 >10 0 0∴ f (x ) > 1, ∴ f (x ) ≥ 1 恒成立；当 0 < a < 1 时， f (1) = a + ln a < a < 1,∴ f (1) < 1, f ( x ) ≥ 1 不是恒成立.综上所述，实数 a 的取值范围是[1,+∞).解法二： f (x ) = ae x -1 - lnx + lna = e lna + x -1 - lnx + lna ≥ 1等价于e lna + x -1 + lna + x - 1 ≥ lnx + x = e lnx + lnx ,令 h (x ) = lnx - x + 1,则 h ' (x ) = 1令 g (x ) = e x + x ,上述不等式等价于 g (lna + x -1) ≥ g (lnx ),显然 g (x )为单调增函数，∴又等价于 l na + x -1 ≥ lnx ，即 l na ≥ lnx - x + 1 ，1 - x - 1 = x x在 (0,1) 上 h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上 h’(x)<0,h(x)单调递减，∴ h (x ) m ax =h (1) = 0 ,lna ≥ 0，即a ≥ 1 ，∴a 的取值范围是[1,+∞).【点评】本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类 讨论思想和等价转化思想，属较难试题.。

2020届海南省新高考线上诊断性测试地理试题考生注意：1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分。

考试时间90分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上。

3.本试卷主要考试内容：海南省新高考综合测试。

考生注意：1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分。

考试时间90分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上。

3.本试卷主要考试内容：海南省新高考综合测试。

第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

右图是2012~2017年我国东南沿海某市的常住人口数量及人口出生率和自然增长率。

者为后两M图化统计，其中、N 变1~3题。

据此完成年该市1.2012~2017 数值先下降后增长A.M 常住人口数量先增后减B. 数值先增长后下降C.N．D.自然增长人数超过外来人散2.2013~2017年影响该市N数值变化的主要因素是A.育龄妇女数量B.社会保障制度D. 城市医疗设施C.人口生育政策3.近几年来，该市M数值变化直接导致A.就业机会减少B.婴幼儿用品需求增加D.保姆市场需求萎缩C.养老产业兴起波黑地处巴尔干半岛腹地，自然资源丰富。

电力产业是波黑的支柱产业，平均每年出口电量30亿千瓦时。

但饱受战争摧残，内战后，波黑已有20多年未修建过电厂。

由中国承建并于2016年1月发电的斯坦纳里火电站对波黑意义重大。

据此完成4~6题。

4.波黑发展电力产业的基础条件最可能是A.煤炭资源丰富B.电力设施齐全D. 发电效率较高C. 政策大力支持5.内战后，波黑20多年未修建电厂的主要原因是A.电力需求较小B.当地经济落后D.环保压力增大 C.基础设施破坏严重6.斯坦纳里火电站的建成有利于波黑A.满足电力供应B.增加外汇收入D. 实现产业升级 C.优化能源结构下图示意位于广州中心CBD的某商业综合体出发去往城市各地在地铁通行前后题。

绝密★启用前2020届海南省新高考高三线上诊断性测试数学试题1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合{}|34A x x =-<<，{}|46B x x =-<<，则()A B =R（ ）A ．{}|46x x <<B ．{}{}43||46x x x x -<<-⋃<<C ．{} 6|4x x ≤< D ．{}{}43||46x x x x -<≤-⋃≤<2．若复数z 的虚部小于0，|z |=4z z +=，则iz =（ ） A ．13i +B ．2i +C ．12i +D ．12i -3．“游客甲在海南省”是“游客甲在三亚市”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数2()5f x x mx =-+在()2,+∞上单调递增，则m 的取值范围为（ ） A ．[)4,+∞B ．[)2,+∞C ．(],4-∞D ．(] ,2-∞5．62x ⎛ ⎝的展开式的中间项为（ ） A ．-40B ．240x -C ．40D ．240x6．现将五本相同的作文本分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲分得三本的概率是（ ） A ．16B ．13C ．112D ．297．如图，在等腰直角ABC ∆中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），……○…………装…………线…………○※※请※※不※※要※※在※※装……○…………装…………线…………○过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =（ ）A ．3155AB AC + B ．2155AB AC + C ．481515AB AC +D ．841515AB AC +8．已知函数241,0()22,0,xx x x f x x -⎧--+≤=⎨->⎩若关于x 的方程()()()()1 0f x f x m --=恰有5个不同的实根，则m 的取值范围为（ ） A ．() 1,2 B ．()1,5 C ．()2,3D ．(2,5)二、多选题9．如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断正确的是（ ）A ．1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了13B ．1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势C ．2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例D ．2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率π…………○……：___________班级：____…………○……A ．()f x 的最小正周期为π B ．曲线()y f x =关于(,0)3π对称C ．()f x D ．曲线()y f x =关于6x π=对称11．已知P 是椭圆22:12x C y +=上的动点，Q 是圆22(51:1)D x y ++=上的动点，则（ ）A ．CB ．C C ．圆D 在C 的内部D ．PQ 12．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，异面直1AB 与1C F 所成角的余弦值为m ，则（ ）A ．3m =B ．直线1A E 与直线1C F 共面C ．3m = D ．直线1A E 与直线1C F 异面第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 三、填空题13．若lg lg 0x y +=，则49x y +的最小值为__________.14．已知P 为双曲线C ：2214y x -=右支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，且……装…………○※※不※※要※※在※※装※※……装…………○______.15．四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB，AC，AD两两垂直，且1AB=，2AC=，3AD=，则四面体ABCD的体积为____，球O的表面积为____16．若曲线(1)1xmy xe xx=+<-+存在两条垂直于y轴的切线，则m的取值范围为____.17．在①3cos5A=，cos C=，②sin sin sinc C A b B=+，60B=，③2c=，1cos8A=三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3a=，______，求ABC的面积S.四、解答题18．如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，E为AB的中点，,1,3,PD CE AE PD PC⊥===（1）证明：AD⊥平面PCD．（2）求DA与平面PCE所成角的正弦值.19．某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.（1）根据以上数据完成22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.○…………外○…………内（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为p （每次抽奖互不影响，且p 的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X （元）的分布列并求其数学期望.附：参考公式和数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.附表：)20k20．在数列{}n a ，{}n b 中，111a b ==，1331n n n a a b n +=---，1331n n n b b a n +=-++.等差数列{}n c 的前两项依次为2a ，2b . （1）求{}n c 的通项公式； （2）求数列(){}nn n ab c +的前n 项和n S .21．如图，已知点F 为抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点，过点F 的动直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，且当直线l 的倾斜角为45°时，16MN =.（2）试确定在x 轴上是否存在点P ，使得直线PM ，PN 关于x 轴对称？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.22．已知函数()()2ln 1sin 1f x x x =+++，函数()1ln g x ax b x =--（,,0a b ab ∈≠R ）. （1）讨论()g x 的单调性；（2）证明：当0x ≥时，()31f x x ≤+. （3）证明：当1x >-时，()()2sin 22exf x x x <++.参考答案1．D 【解析】 【分析】根据补集的运算法则，求出集合A 的补集，再求交集即可得解. 【详解】因为{}|34A x x =-<<，{}|46B x x =-<<， 所以(){}{}|43|46B x x x A x ⋂=-<≤-⋃≤<R.故选：D 【点睛】此题考查集合的补集运算和交集运算，属于简单题目，考查基础知识的掌握. 2．C 【解析】 【分析】根据4z z +=可得()2z mi m =+∈R ，结合模长关系列方程，根据虚部小于0即可得解. 【详解】由4z z +=，得()2z mi m =+∈R ，因为||z ==1m =±. 又z 的虚部小于0，所以2z i =-，12iz i =+. 故选：C 【点睛】此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解. 3．B 【解析】 【分析】根据三亚与海南省的关系，结合充分条件和必要条件的关系判定. 【详解】因为三亚是海南省的一个地级市，所以如果甲在三亚市，那么甲必在海南省，反之不成立，故选：B. 【点睛】此题考查充分条件和必要条件的辨析，关键在于弄清概念，准确识别三亚与海南省两者之间的关系. 4．C 【解析】 【分析】根据二次函数的单调性，考虑对称轴与2的关系求解不等式. 【详解】因为()f x 在(2,)+∞上单调递增，所以22m≤，即4m ≤. 故选：C 【点睛】此题考查根据二次函数的单调性求参数的取值范围，关键在于熟练掌握二次函数的基本性质，准确列出不等关系求解，需要注意考虑端点处等号能否成立. 5．B 【解析】 【分析】根据二项式定义可知62x ⎛ ⎝一共有7项，通项为()6162k kkk T C x -+⎛= ⎝可知第4项为中间项，计算可得.【详解】解：62x ⎛ ⎝的展开式的通项为()6162k kkk T C x -+⎛= ⎝则中间项为313333234631(2)202404T x x C x -⨯⎛⎛⎫=⨯⨯-⨯=- ⎪ ⎭⎝=⎝. 故选：B. 【点睛】本题考查求二项式展开式中指定项的计算问题，属于基础题.6．A 【解析】 【分析】列出树状图分别分析三人分得书的数目情况，根据古典概型求解. 【详解】将甲、乙、丙三人分得的作文本的数量用树状图列举如下：故所求概率16P =. 故选：A 【点睛】此题考查求古典概型，关键在于准确得出基本事件总数，利用树状图解决问题通俗易懂，需要注意此题是五本相同的书. 7．D 【解析】 【分析】设出等腰直角三角形ABC 的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得cos DAE ∠，由此得到45AF AD =，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将45AF AD =表示为以,AB AC 为基底来表示的形式. 【详解】设6BC =，则2AB AC BD DE EC =====，AD AE ===，101044cos 2105DAE +-∠==⨯， 所以45AF AF AD AE ==，所以45AF AD =.因为()1133AD AB BC AB AC AB =+=+-2133AB AC =+， 所以421845331515AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭. 故选：D 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题. 8．A 【解析】 【分析】作出函数图象，1f x 有2个实根，故方程()f x m =有3个实根，结合函数图象即可得出参数的取值范围. 【详解】 由()()()()10f x f x m --=，得1fx或()f x m =，作出()y f x =的图象，如图所示，由图可知，方程1f x 有2个实根，故方程()f x m =有3个实根，故m 的取值范围为1,2.故选：A 【点睛】此题考查根据方程的根的个数求参数的取值范围，关键在于将问题等价转化，作出函数图象，数形结合求解. 9．ABC 【解析】【分析】根据曲线图可得ABC 正确，2月8日到2月10日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了544，2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了737，D 说法不正确. 【详解】1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有87例，其中西安32例，所以西安所占比例为321873>，故A 正确； 由曲线图可知，1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势，故B 正确；2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了21311697-=例，故C 正确；2月8日到2月10日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了988858844-=，2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了887477437-=，显然753744>，故D 错误. 故选：ABC 【点睛】此题考查曲线图，根据图象特征判断选项说法是否正确，关键在于识图，弄清图中的数据变化. 10．ACD 【解析】 【分析】根据三角恒等变换化简可得()26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可得到其最小正周期，对称轴和对称中心以及最值. 【详解】1()sin 2sin 2cos 22226f x x x x x π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，则T π=，()f x3()66f πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭曲线()y f x =关于6x π=对称，32()036f πππ⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭，曲线()y f x =不关于,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称. 故选：ACD 【点睛】此题考查三角函数的性质，根据三角恒等变换求函数解析式，根据性质得最小正周期，对称轴和对称中心以及最值. 11．BC 【解析】 【分析】根据椭圆的性质可得焦距和离心率，求出||PD 的最小距离即可得到圆与椭圆的位置关系. 【详解】依题意可得c ==C 的焦距为6e ==.设(,)(P x y x ≤≤，则22222256441||(1)(1)1665555x PD x y x x ⎛⎫=++=++-=++≥> ⎪⎝⎭，所以圆D 在C 的内部，且||PQ =. 故选：BC. 【点睛】此题考查椭圆的基本量的计算，求椭圆上的点到圆上点的距离的取值范围，利用函数性质求解最值. 12．BC 【解析】 【分析】连接EF ，11A C ，1C D ，DF ，易得11//EF A C ，在三角形1DC F 中，由余弦定理求解1cos DC F ∠，即可得到m .【详解】连接EF ，11A C ，1C D ，DF ，//EF AC ，根据长方体性质可得11//EF A C ， 所以直线1A E 与直线1C F 共面.根据长方体性质11//AB C D ，所以异面直线1AB 与1C F 所成角为1DC F ∠.设1AA =12AB ==，则DF =1C F 1C D =由余弦定理，得1cos 3m DC F =∠==故选：BC 【点睛】此题考查空间直线的平行关系判断，根据直线平行，求直线的夹角，常用平行直线关系，利用余弦定理求异面直线夹角， 13．12 【解析】 【分析】由lg lg 0x y +=，得()10,0xy x y =>>，利用基本不等式即可得解. 【详解】因为lg lg 0x y +=，所以()10,0xy x y =>>，所以4912x y +≥=. 等号成立的条件为49x y =，即32,23x y ==时取得最小值. 故答案为：12 【点睛】此题考查利用基本不等式求最值，关键在于熟练掌握基本不等式的使用条件，注意考虑等号成立的条件. 14．6 【解析】 【分析】根据双曲线方程，可得实轴，虚轴12A A ，12B B 的长，再根据12A A ，12B B ，1PF 成等比数列，求出1PF 的值，最后根据双曲线的定义求出2PF 的值. 【详解】解：2214y x -=1222A A a ∴==，1224B B b ==， 12A A ，12B B ，1PF 成等比数列212112A A PF B B ∴⋅=，解得18PF =，2826PF a ∴=-=故答案为：6 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题. 15．1 14π 【解析】 【分析】①根据四面体的特征，利用锥体体积公式求解，②利用补图法可得该四面体的外接球与以AB ，AC ，AD 为长宽高的长方体的外接球相同，求出体对角线长度即直径，即可得解. 【详解】因为AB ，AC ，AD 两两垂直，且1AB =，2AC =，3AD =， 所以四面体ABCD 的体积11123132V =⨯⨯⨯⨯=， 该四面体的外接球与以AB ，AC ，AD 为长宽高的长方体的外接球相同，球O 的表面积为24142ππ⎛⨯=⎪⎝⎭. 故答案为：①1，②14π 【点睛】此题考查求锥体体积，解决几何体的外接球问题，需要积累常见几何体外接球半径的求解方法，以便于解题中能够事半功倍. 16．427,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】 【分析】将题目等价转化为当1x <-时导函数有两个零点，分离参数求解. 【详解】由题意可得，2(1)0(1)xmy x e x '=+-=+， 即3(1)xm x e =+在(,1)-∞-上有两个不同的解.设3()(1)(1)xf x x e x =+<-，2()(1)(4)xf x x e x '=++. 当4x <-时，()0f x '<；当41x -<<-时，()0f x '>. 函数在(,4)-∞-单调递减，(4,1)--单调递增， 所以min 427()(4)f x f e =-=-，当1x <-时，()0f x <， 由洛必达法则32(1)3(1)6(1)6lim lim lim lim 0x x xx x x x x x x x e e e e ----→-∞→-∞→-∞→-∞+++====--故427,0m e ⎛⎫∈-⎪⎝⎭. 故答案为：427,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】此题考查根据导数的几何意义解决切线问题，转化为函数零点问题，常用分离参数讨论函数单调性解决问题.17．答案不唯一，具体见解析 【解析】 【分析】若选①，首先根据同角三角函数的基本关系求出sin A ，sin C ，再根据两角和的正弦公式求出sin B ，由正弦定理求出边b ，最后由面积公式求出三角形的面积.若选②，由正弦定理将角化边结合余弦定理求出边c ，最后由面积公式求出三角形的面积. 若选③，由余弦定理求出边b ，由同角三角函数的基本关系求出sin A ，最后由面积公式求出三角形的面积. 【详解】 解：选① ∵3cos 5A =，cos C =， ∴4sin 5A =，sin C =， ∴()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+4355=+=，由正弦定理得3sin 254sin 205a Bb A⨯===，∴1199sin 32220540S ab C ==⨯⨯=. 选②∵sin sin sin c C A b B =+， ∴由正弦定理得22c a b =+. ∵3a =，∴223b c =-.又∵60B =， ∴222192332b c c c =+-⨯⨯⨯=-， ∴4c =，∴1sin 2S ac B ==选③∵ 2c =，1cos 8A =， ∴ 由余弦定理得222123822b b +-=⨯，即2502b b --=，解得52b =或2b =-（舍去）.sin 8A ∴==∴ABC 的面积115sin 2222816S bc A ==⨯⨯⨯=.故答案为：选①为9940；选②为③为16. 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式解三角形，属于基础题.18．（1）证明见解析（2【解析】 【分析】（1）通过证明PD AD ⊥，AD CD ⊥即可证明线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用向量方法求解线面角的正弦值. 【详解】（1）证明：因为E 为AB 的中点，1AE =，所以2CD AB ==，所以222CD PD PC +=，从而PD CD ⊥. 又PD CE ⊥，CD CE C =，所以PD ⊥底面ABCD ，所以PD AD ⊥. 因为四边形ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥. 又CDPD D =，所以AD ⊥平面PCD.（2）解：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示， 则()2,0,0A ，()0,0,3P ，()2,1,0E ，()0,2,0C ， 所以()2,1,3PE =-，()2,1,0EC =-，()2,0,0DA =. 设平面PCE 的法向量为(),,n x y z =，则0PE n EC n ⋅=⋅=，即23020x y z x y +-=⎧⎨-+=⎩，令3x =，得()3,6,4n =.361cos ,61||||n DA n DA n DA ⋅==，故DA 与平面PCE【点睛】此题考查证明线面垂直，求直线与平面所成角的正弦值，关键在于熟练掌握线面垂直的判定定理，熟记向量法求线面角的方法.19．(1)见解析，有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.(2)分布列见解析，数学期望75 【解析】 【分析】（1）完善列联表，计算214403.841247K =>得到答案. （2）先计算13p =，分别计算()16527P X ==，()2709P X ==，()4759P X ==，()88027P X ==，得到分布列，计算得到答案. 【详解】（1）22⨯列联表如下：()22901220401814405 3.84130605238247K ⨯⨯-⨯==>>⨯⨯⨯，因此有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关. （2）X 可能取值为65，70，75，80，且10201903p +==. ()3331165327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()22312270339P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， ()21312475339P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()3032880327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 所以X 的分布列为12486570758075279927EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了列联表，分布列，意在考查学生的应用能力和计算能力.20．（1）810n c n =-（2）2(49)236n n S n +=-+【解析】 【分析】（1）根据递推公式计算22a =-，26b =，利用等差数列公式计算得到答案.（2）将题目中两式相加得到()112n n n n a b a b +++=+，故{}n n a b +是首项为2，公比为2的等比数列，计算得到通项公式，再利用错位相减法计算得到答案. 【详解】（1）∵111a b ==，∴22a =-，26b =，则{}n c 的公差为()628d =--= 故{}n c 的通项公式为28(1)810n c n n =-+-=-. （2）1331n n n a a b n +=---，①1331n n n b b a n +=-++，②①+②得()112n n n n a b a b +++=+.又112a b +=，从而{}n n a b +是首项为2，公比为2的等比数列，故2nn n a b +=.()()8102nn n n a b c n =+-22262(810)2n n S n =-⨯+⨯++-， 23122262(810)2n n S n +=-⨯+⨯++-，()231248222(810)2n n n n S S n +-=-++++--，即()1114824(810)2(188)236n n n n S n n +++-=-+---=--，即2(49)236n n S n +=-+.【点睛】本题考查了通项公式，错位相减法，变换得到()112n n n n a b a b +++=+是解题的关键.21．（1）28y x =（2）存在唯一的点()2,0P -，使直线PM ，PN 关于x 轴对称【解析】【分析】（1）当直线l 的倾斜角为45°，则l 的斜率为1，则直线方程为2p y x =-，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理可得123x x p +=，根据焦点弦公式12MN x x p =++，求出p 的值，即可得到抛物线方程.（2）假设满足条件的点P 存在，设(),0P a ，当直线l 不与x 轴垂直时，设l 的方程为()2y k x =-（0k ≠），联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，因为直线PM ，PN 关于x 轴对称，所以0PM PN k k +=，即可求出a 的值. 当直线l 与x 轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM ，PN 关于x 轴对称，此时只需P 与焦点F 不重合即可.【详解】解：（1）当直线l 的倾斜角为45°，则l 的斜率为1， ,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，l ∴的方程为2p y x =-. 由2,22,p y x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得22304p x px -+=. 设()11,M x y ，()22,N x y ，则123x x p +=，∴12416x x p M p N ++===，4p =，∴抛物线C 的方程为28y x =.（2）假设满足条件的点P 存在，设(),0P a ，由（1）知()2,0F ，①当直线l 不与x 轴垂直时，设l 的方程为()2y k x =-（0k ≠），由()22,8,y k x y x ⎧=-⎨=⎩得()22224840k x k x k -++=， ()22222484464640k k k k ∆=+-⋅⋅=+>，212248k x x k++=，124x x =. ∵直线PM ，PN 关于x 轴对称，∴0PM PN k k +=，()112PM k x k x a -=-，()222PN k x k x a-=-. ∴()()()()()()122112128(2)222240a k x x a k x x a k x x a x x a k+--+--=-+++=-=⎡⎤⎣⎦，∴2a =-时，此时()2,0P -.②当直线l 与x 轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM ，PN 关于x 轴对称，此时只需P 与焦点F 不重合即可.综上，存在唯一的点()2,0P -，使直线PM ，PN 关于x 轴对称.【点睛】 本题考查抛物线的焦点弦公式的应用，直线与抛物线的综合问题，属于中档题.22．（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出()g x 的定义域，导函数，对参数a 、b 分类讨论得到答案.（2）设函数()()()31h x f x x =-+，求导说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可得证.（3）由（1）可知1ln x x ≥+，可得()()22sin sin 1e 1ln 1e x x x x ⎡⎤++≥+⎣⎦，即()()2sin 1e 2ln 1sin 1x x x x ++++≥又()()22sin sin 22e 1e x x x x x ++>+即可得证. 【详解】（1）解：()g x 的定义域为()0,∞+，()a g x x b x'=-， 当0a >，0b <时，()0g x '>，则()g x 在()0,∞+上单调递增；当0a >，0b >时，令()0g x '>，得b x a >，令()0g x '<，得0b x a <<，则()g x 在0,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 当0a <，0b >时，()0g x '<，则()g x 在()0,∞+上单调递减；当0a <，0b <时，令()0g x '>，得0b x a <<，令()0g x '<，得b x a >，则()g x 在0,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； （2）证明：设函数()()()31h x f x x =-+，则()2cos 31x x h x '=+-+. 因为0x ≥，所以(]20,21x ∈+，[]cos 1,1x ∈-， 则()0h x '≤，从而()h x 在[)0,+∞上单调递减，所以()()()()3100h x f x x h =-+≤=，即()31f x x ≤+.（3）证明：当1a b ==时，()1ln g x x x =--.由（1）知，()()min 10g x g ==，所以()1ln 0g x x x =--≥，即1ln x x ≥+.当1x >-时，()210x +>，()2sin 1e 0x x +>，则()()22sin sin 1e 1ln 1e x x x x ⎡⎤++≥+⎣⎦， 即()()2sin 1e 2ln 1sin 1x x x x ++++≥，又()()22sin sin 22e 1e x x x x x ++>+， 所以()()2sin 22e 2ln 1sin 1x x x x x ++>+++，即()()2sin 22e x f x x x <++.【点睛】本题考查利用导数研究含参函数的单调性，利用导数证明不等式，属于难题.。

2020年海南省普通高中高考调研测试数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|214A x x =<-<，{}2|4120B x x x =--，则()AB =R（ ）A. ()2,1--B. ()3,6-C. (]3,6-D. ()6,2-【答案】B 【解析】 【分析】 算出集合B ，求出B R，直接进行交集运算即可.【详解】因为{}|31A x x =-<<-，{}|26B x x =-<<R，所以(){}|36AB x x =-<<R.故选：B【点睛】本题考查集合的并集、补集运算，属于基础题. 2.已知复数1z i =-，z 为z 的共轭复数，则1zz+=（ ） A.32i+ B.12i+ C.132i- D.132i+ 【答案】C 【解析】 【分析】求出z ，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数. 【详解】121312z i iz i +--==+. 故选：C【点睛】本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题. 3.已知向量0,2a ，()23,b x =，且a 与b 的夹角为3π，则x =（ ）A. -2B. 2C. 1D. -1【答案】B【解析】 【分析】 由题意cos3a b a bπ⋅=，代入解方程即可得解.【详解】由题意21cos322a b a bx π⋅===，所以0x >，且2x ，解得2x =.故选：B.【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题. 4.“ln ln m n <”是“22m n <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的定义域及单调性，可得,m n 的关系，结合充分必要条件性质即可判断. 【详解】若ln ln m n <，根据对数函数的定义域及单调性可知0m n <<，可得22m n <，因而具有充分关系；若22m n <，则m n <，当0,0m n <<时对数函数无意义，因而不具有必要性； 综上可知“ln ln m n <”是“22m n <”的充分不必要条件 故选：A.【点睛】本题考查了充分必要条件的定义域判断，对数函数与图像性质的应用，属于基础题.5.若双曲线221mx ny +=(0m >)mn=（ ） A.14B. 14-C. 4D. 4-【答案】D 【解析】 【分析】将双曲线的方程化成标准形式，再利用离心率公式得到关于,m n 的方程，即可得答案；【详解】因为221mx ny +=(0m >)可化为22111x y m n-=-(0m >)，所以e ==22141b n a m-==，即4m n =-.故选：D.【点睛】本题考查已知双曲线的离心率求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意双曲线方程先化成标准形式.6.张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥A BCD -的每个顶点都在球O 的球面上，AB ⊥底面BCD ，BC CD ⊥，且AB CD ==2BC =，利用张衡的结论可得球O 的表面积为（ ）A. 30B. C. 33D.【答案】B 【解析】 【分析】由,,BC CD AB BC AB CD ⊥⊥⊥判断出球心的位置，由此求得求的直径.利用张恒的结论求得π的值，进而根据球的表面积公式计算出球的表面积. 【详解】因为BC CD ⊥，所以BD =AB ⊥底面BCD ，所以球O 的球心为侧棱AD 的中点， 从而球O.利用张衡的结论可得25168π=，则π=所以球O的表面积为2410ππ==⎝⎭故选：B【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，考查中国古代数学文化，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.7.已知f (x )=-1x x e e a+是定义在R 上的奇函数，则不等式f (x -3)<f (9-x 2)的解集为（ ）A. (-2,6)B. (-6,2)C. (-4,3)D. (-3,4)【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数的性质可得1a =，进而可知()f x 在R 上为增函数，转化条件得239x x -<-，解一元二次不等式即可得解.【详解】因为()1x x e f x e a-=+是定义在R 上的奇函数，所以()()011f f +-=，即11101e e e a a e--+=++，解得1a =，即()12111x x x e f x e e -==-++， 易知()f x 在R 上为增函数. 又()()239f x f x -<-，所以239x x-<-，解得43x -<<.故选：C.【点睛】本题考查了函数单调性和奇偶性的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.8.已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且521n n S n T n +=-，则76a b =（ ） A.67B.1211C.1825 D.1621【答案】A 【解析】 【分析】由条件可设(5)n S kn n =+，(21)n T kn n =-，然后计算出7a 和6b 即可. 【详解】因为等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且521n n S n T n +=-， 所以可设(5)n S kn n =+，(21)n T kn n =-，所以77618a S S k=-=，66521b T T k=-=，所以7667ab=.故选：A【点睛】本题考查的是等差数列前n项和的特点，属于基础题.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重(单位：kg)情况如柱形图1所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如柱形图2所示.对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是（）A. 他们健身后，体重在区间[90,100)内的人数增加了2个B. 他们健身后，体重在区间[100,110)内的人数没有改变C. 因为体重在[100,110)内所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响D. 他们健身后，原来体重在区间[110,120)内的肥胖者体重都有减少【答案】ABD【解析】【分析】根据两个柱形图中的数据逐一判断即可【详解】体重在区间[90,100)内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人，故人数增加了2个，A正确；他们健身后，体重在区间[100,110)内的百分比没有变，所以人数没有变，B正确；他们健身后，已经出现了体重在[80,90)内的人，健身之前是没有这部分体重的，C错误；因为图2中没有体重在区间[110,120)内的比例，所以原来体重在区间[110,120)内的肥胖者体重都有减少，D正确.故选：ABD【点睛】本题考查的是以柱形图为背景的统计知识，属于基础题.10.将函数()sin 31f x x x =+的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，给出下列关于()g x 的结论：①它的图象关于直线59x π=对称；②它的最小正周期为23π；③它的图象关于点11,118π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称；④它在519,39ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.其中正确的结论的编号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④【答案】BC 【解析】 【分析】根据图象的变换得出()g x 的解析式，然后利用三角函数的知识逐一判断即可.【详解】因为()sin 312sin 313f x x x x π⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，所以()2sin 312sin 31636g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令362x k πππ+=+，得()39k x k Z ππ=+∈，所以59x π=不是对称轴①错误，②显然正确，令36x k ππ+=，得()318k x k Z ππ=-∈，取2k =，得1118x π=，故关于点11,118π⎛⎫⎪⎝⎭对称，③正确， 令232,262k x k k Z πππππ-++∈，得2223939k k xππππ-+， 取2k =，得101399xππ，取3k =，得161999xππ，所以④错误. 所以选项BC 正确. 故选：BC【点睛】本题考查的是三角函数的图象及其性质，在解决本类题目时，一般是把x ωϕ+当成整体.11.若104a =，1025b =，则（ ） A. 2a b +=B. 1b a -=C. 281g 2ab >D.lg 6b a ->【答案】ACD 【解析】【分析】根据指数和对数的关系将指数式化成对数式，再根据对数的运算法则计算可得. 【详解】解：由104a =，1025b =，得lg 4a =，lg 25b =，则lg 4lg 25lg1002a b ∴+=+==，25lg 25lg 4lg 4b a ∴-=-=， 25lg101lg lg 64=>> lg6b a ∴->24lg 2lg 54lg 2lg 48lg 2ab ∴=>=，故正确的有：ACD 故选：ACD .【点睛】本题考查对数的运算，对数和指数的互化，属于基础题.12.已知函数()sin cos f x x x x x =+-的定义域为[)2,2ππ-，则（ ） A. ()f x 为奇函数B. ()f x 在[)0,π上单调递增C. ()f x 恰有4个极大值点D. ()f x 有且仅有4个极值点 【答案】BD 【解析】 【分析】由函数的定义域不关于原点对称，可知函数是非奇非偶函数，求出函数的导数， 利用导数分析函数的单调性与极值.【详解】解：因为()f x 的定义域为[)2,2ππ-，所以()f x 是非奇非偶函数，()sin cos f x x x x x =+-()()1cos cos sin 1sin f x x x x x x x '∴=+--=+，当0,x时，()0f x '>，则()f x 在0,上单调递增.显然()00f '≠，令()0f x '=，得1sin x x=-， 分别作出sin y x =，1y x=-在区间[)2,2ππ-上的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间[)2,2ππ-上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故()f x 在区间[)2,2ππ-上的极值点的个数为4，且()f x 只有2个极大值点. 故选：BD .【点睛】本题考查函数 的奇偶性，有利于导数研究函数的极值与单调性，属于中档题. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()212,034log ,0xx x f x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+>⎩,则()()8f f =______.【答案】5 【解析】【分析】先将8x =代入解析式可得()81f =-,再求()1f -即可 【详解】由题,()24log 88431f =-+=-+=-,所以()()()1125381f f f -⎛⎫+= ⎪⎝⎭=-= 故答案为：5【点睛】本题考查分段函数求值,考查指数、对数的运算14.某工厂质检部要对即将出厂的1000个零件进行质检，已知每个零件质检合格的概率为0.95，且每个零件质检是否合格是相互独立的，设质检合格的零件数为X ，则随机变量X 的方差DX =________. 【答案】47.5 【解析】 【分析】由题意得到~(1000,0.95)X B ，然后即可算出答案.【详解】由题意可知，~(1000,0.95)X B ，10000.95(10.95)47.5DX =⨯⨯-=. 故答案为：47.5【点睛】本题考查的是二项分布的知识，较简单. 15.已知0a >，0b >，且2a b +=，则515a b+的最小值是________. 【答案】185【解析】 【分析】由条件可得511511526()525255b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后利用基本不等式求解即可.【详解】因为2a b +=，所以511511526()525255b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为0,0a b >>，所以525b a a b +≥(当且仅当53a =，13b =时，等号成立)，所以511261825255a b⎛⎫+≥⨯+=⎪⎝⎭.故答案为：185【点睛】本题考查的是利用基本不等式求最值，属于典型题.16.在正方体1111ABCD A B C D-中，E为棱CD上一点，且2CE DE=，F为棱1AA的中点，且平面BEF与1DD交于点G，与1AC交于点H，则1DGDD=______，1AHHC=______.【答案】 (1).16(2).38【解析】【分析】由线面平行的性质可得//BF GE，即可得到AF DGAB DE=，又2CE DE=，则1DGDD可求. 连接AC交BE于M，过M作1//MN CC，MN与1AC交于N，连接FM，则H为FM与1AC的交点，根据三角形相似可得线段的比.【详解】解：1111ABCD A B C D-是正方体∴面11//A B BA面11C D DCBF⊂面11A B BA//BF∴平面11CDD C，面BFGE面11C D DC GE=则//BF GE ，则AF DG AB DE =，即12DG DE =，又2CE DE =，则116DG DD =. 连接AC 交BE 于M ，过M 作1//MN CC ，MN 与1AC 交于N ，连接FM ，则H 为FM 与1AC 的交点.因为//AB CE ，所以32AM AB MC CE ==，则132AN A C M MC N ==.所以135MN CC =，所以65MN HN FA AH ==，故138AH HC =. 故答案为：16；38【点睛】本题考查线面平行的性质及判定，属于基础题.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17.在①cos 220B B +=，②2cos 2b C a c =-，③b a =三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若_____，且a ，b ，c 成等差数列，则ABC ∆是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】①；证明见解析 【解析】 【分析】选择①：由余弦降幂公式代入即可求得sin B ，结合a ，b ，c 成等差数列可得2b a c =+，3B π=，代入余弦定理公式，即可得2b ac =，结合等式2b a c =+可求得a c =，进而证明ABC ∆为等边三角形.【详解】选择①cos 220B B -+=，证明：则由余弦降幂公式可得212sin 20B B -+=，即(2sin sin 0B B =，由0B π<<可得sin 2B =，又因为a ，b ，c 成等差数列，则B 为锐角， 则2b a c =+，3B π=，由余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-， 代入可得()223b a c ac =+-，即2b ac =，则22a c ac +⎛⎫= ⎪⎝⎭，化简可得()20a c -=， 即a c =，又因为3B π=，所以ABC ∆为等边三角形.【点睛】本题考查了三角函数解析式的化简应用，余弦降幂公式化简三角函数式，余弦定理解三角形，等差中项性质的应用，综合性较强，属于中档题.18.设等差数列{}n n a b -的公差为2，等比数列{}n n a b +的公比为2，且12a =，11b =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}22nn a +的前n 项和nS．【答案】（1）121322n n n a --+⨯=（2）n S =2525n n ⨯+- 【解析】 【分析】（1）根据题意可得21n na b n ，132n n n a b -+=⨯，联立解方程可得数列{}n a 的通项公式；（2）通过分组求和法可得数列{}22nn a +的前n 项和nS.【详解】解：（1）因为12a =，11b =，所以111a b -=，113a b +=，依题意可得，()12121n n a b n n -=+-=-， 132n n n a b -+=⨯，故121322n n n a --+⨯=；（2）由（1）可知，1222152n n n a n -+=-+⨯，故()()113215122n n S n -=+++-+⨯+++()()21215215252n n n n n +-=+⨯-=⨯+-.【点睛】本题考查等差数列，等比数列的通项公式，考查分组法求和，是基础题.19.在四棱锥P ﹣ABCD 中，△PAB 是边长为2的等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，BC ＝CD ＝1，PD 2=.（1）证明：AB ⊥PD.（2）求二面角A ﹣PB ﹣C 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理、线面垂直的性质进行证明即可； （2）由AD 2+BD 2＝AB 2，可得AD ⊥BD ，以D 为原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，根据空间向量夹角公式进行求解即可. 详解】（1）证明：连结BD ，∵在四棱锥P ﹣ABCD 中，△PAB 是边长为2的等边三角形， 底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，BC ＝CD ＝1，PD 2=∴BD ＝AD 112=+=∴AD 2+PD 2＝AP 2，BD 2+PD 2＝PB 2，∴AD⊥PD，BD⊥PD，∵AD∩BD＝D，∴PD⊥平面ABCD，∵AB⊂平面ABCD，∴AB⊥PD.（2）解：∵AD2+BD2＝AB2，∴AD⊥BD，以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则A 2，0，0），B（02，0），C（2222-，0），P（0，02），PA=22，，，PB=（02，2-），PC=（222，2-，设平面ABP的法向量n=（x，y，z），则220220n PA x zn PB y z⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，取x＝1，得n=（1，1，1），设平面PBC的法向量()111,,m x y z=，则11111220222022m PB y zm PC x y z⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取11z=，得m=（﹣1，1，1），设二面角A﹣PB﹣C的平面角为θ，则二面角A﹣PB﹣C的余弦值为：cosθ13m nm n⋅==⋅.【点睛】本题考查了线面垂直判定定理和性质的应用，考查了利用空间向量求二面角问题，考查了推理论证能力和数学运算能力.20.某工厂为提高生产效率，需引进一条新的生产线投入生产，现有两条生产线可供选择，生产线①：有A ，B 两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.02，0.03.若两道工序都没有出现故障，则生产成本为15万元；若A 工序出现故障，则生产成本增加2万元；若B 工序出现故障，则生产成本增加3万元；若A ，B 两道工序都出现故障，则生产成本增加5万元.生产线②：有a ，b 两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.04，0.01.若两道工序都没有出现故障，则生产成本为14万元；若a 工序出现故障，则生产成本增加8万元；若b 工序出现故障，则生产成本增加5万元；若a ，b 两道工序都出现故障，则生产成本增加13万元.（1）若选择生产线①，求生产成本恰好为18万元的概率；（2）为最大限度节约生产成本，你会给工厂建议选择哪条生产线？请说明理由. 【答案】（1）0.0294.（2）应选生产线②.见解析 【解析】 【分析】（1）由题意转化条件得A 工序不出现故障B 工序出现故障，利用相互独立事件的概率公式即可得解；（2）分别算出两个生产线增加的生产成本的期望，进而求出两个生产线的生产成本期望值，比较期望值即可得解.【详解】（1）若选择生产线①，生产成本恰好为18万元，即A 工序不出现故障B 工序出现故障，故所求的概率为()10.020.030.0294-⨯=.（2）若选择生产线①，设增加生产成本为ξ(万元)，则ξ的可能取值为0，2，3，5.()()()10.0210.0300.9506P ξ==-=⨯-， ()()20.020.010.19403P ξ⨯-===， ()()310.020.030.0294P ξ⨯==-=, ()50.020.020.0006P ξ⨯===,所以()00.950620.019430.029450.00060.13E ξ⨯+⨯+⨯+⨯==万元； 故选生产线①的生产成本期望值为150.1315.13+= (万元).若选生产线②，设增加的生产成本为η（万元），则η的可能取值为0，8，5，13.()()()10.0410.010.95040P η=-==⨯-， ()()0.0410.8010.0396P η=⨯-==， ()()10.040.5010.0096P η=-⨯==， ()0.040.0110.00034P η=⨯==，所以()00.950480.039650.0096130.00040.37E η⨯+⨯+⨯+⨯==， 故选生产线②的生产成本期望值为140.3714.37+= (万元)， 故应选生产线②.【点睛】本题考查了相互独立事件的概率，考查了离散型随机变量期望的应用，属于中档题.21.已知O 为坐标原点，(2,0)A -，(2,0)B ，直线AG ，BG 相交于点G ，且它们的斜率之积为34-.记点G 的轨迹为曲线C . （1）若射线0)x y =与曲线C 交于点D ，且E 为曲线C 的最高点，证明：//OD AE .（2）直线:(0)l y kx k =≠与曲线C 交于M ，N 两点，直线AM ，AN 与y 轴分别交于P ，Q 两点.试问在x 轴上是否存在定点T ，使得以PQ 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出T 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析； （2）存在定点(T ，使得以PQ 为直径的圆恒过点T . 【解析】 【分析】（1）设点()G x y ,，根据34GA GBk k ⋅=-，求得点G 的轨迹方程为221(2)43x y x +=≠±，联立方程组，解答,D E 坐标，结合斜率公式，即可求解. （2）设00(,)M x y ，则00(,)N x y --，解得0022P y y x =+,022Q y y x =-，假设顶点T ，使得PQ为直径的圆恒过点T ，则2OP OQ OT ⋅=，求得2220434Ty x x ==-，即可得到结论. 【详解】（1）设点()G x y ,，因为34GA GB k k ⋅=-，即3224y y x x ⋅=-+-，整理得点G 的轨迹方程为221(2)43x y x +=≠±，联立方程组221430)x y x y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得D且E ，所以OD AE k k ==，所以//OD AE . （2）设00(,)M x y ，则00(,)N x y --， 所以直线AM 的方程为00(2)2y y x x =++，令0x =，解得0022P y y x =+,同理可得022Q y y x =-, 假设定点T ，使得PQ 为直径的圆恒过点T ，则2OP OQ OT ⋅=,即2T P Q x y y =-，又由2200143x y +=，可得22020434T y x x ==-，所以(T ， 即在x轴上存在定点(T ，使得以PQ 为直径的圆恒过点T.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 22.已知函数22()1e xf x ax ax =++-.（1）若函数()()g x f x '=，试讨论()g x 的单调性； （2）若(0,)x ∀∈+∞，()0f x <，求a 的取值范围. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）(],2-∞ 【解析】 【分析】（1）由于函数2()()22e xg x x ax f a ==+-'，得出()2()22exg x a '=--，分类讨论当0a ≤和0a >时，()'g x 的正负，进而得出()g x 的单调性；（2）求出()22e (21)21x f x x a x ⎛⎫'=+- ⎪+⎝⎭，令()0f x '=，得22e 21x a x =+，设22()21x eh x x =+，通过导函数()h x '，可得出()h x 在(0,)+∞上的单调性和值域，再分类讨论2a ≤和2a >时，()f x 的单调性，再结合(0,)x ∀∈+∞，()0f x <恒成立，即可求出a 的取值范围.【详解】解：（1）因为2()()22e xg x x ax f a ==+-'， 所以()22()24e22e xx g x a a '=-=--，①当0a ≤时，()0g x '<，()g x 在R 上单调递减. ②当0a >时，令()0g x '>，则1ln 22a x <；令()0g x '<，则1ln 22ax >， 所以()g x 在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递增，在1ln ,22a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减. 综上所述，当0a ≤时，()g x 在R 上单调递减；当0a >时，()g x 在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1ln ,22a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减.（2）因为22()1e xf x ax ax =++-，可知(0)0f =，2()22e xf x ax a '=+-222e (21)2e (21)21x xa x x a x ⎛⎫=+-=+- ⎪+⎝⎭，令()0f x '=，得22e21xa x =+.设22()21xe h x x =+，则228e ()(21)x x h x x '=+. 当0x >时，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞上单调递增，所以()h x 在(0,)+∞上的值域是(2,)+∞，即22221x e x >+.当2a ≤时，()0f x '=没有实根，且()0f x '<，()f x 在(0,)+∞上单调递减，()(0)0f x f <=，符合题意.当2a >时，(0)2h a =<，所以22e ()21xh x a x ==+有唯一实根0x ，当()00,x x ∈时，()0f x '>，()f x 在()00,x 上单调递增，()(0)0f x f >=，不符合题意. 综上，2a ≤，即a 的取值范围为(],2-∞.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和根据恒成立问题求参数范围，还运用了构造函数法，还考查分类讨论思想和计算能力，属于难题.。