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建筑力学基本计算4结构的位移计算1、基本概念和计算要求在学习结构的位移计算时,应注意下列几点：1） 位移计算的目的主要是考虑结构的刚度计算和为力法打下基础，后一个更为重要。
2） 虚功原理是位移计算的基础，在学习时，着重要考虑由虚功原理得出的位移求解公式及其每一项的物理意义。
3） 在用单位荷载法计算位移时，关键是虚设单位力（广义力）的位置、方向和性质都必须与所求位移一一对应。
2、基本计算方法结构位移的计算方法主要有积分法和图乘法两种：1） 积分法：在用积分法计算结构位移的时候，着重考虑梁和刚架的位移计算，所以位移计算公式为∑⎰⋅=∆ds EI M M P k ，从而，只需要分段建立弯矩方程，就可以利用积分公式求出位移。
2） 图乘法：对于利用图乘法求结构的位移这是一个最重要也是最常用的方法。
最后公式为∑⋅=∆EI y Cω，从而，需要分别画出荷载作用下的M P 图和虚设单位荷载作用下的M图，就可以利用图乘公式求位移。
3、计算步骤和常用方法考试要求一般为求解常见荷载作用下梁和刚架的位移，积分法作为基础，而图乘法是最常用的方法和手段。
计算过程中要注意：1） 图乘法的三个适用条件，只要有一条不满足，就不能使用图法。
2） 在使用图乘法的基本公式时，要理解图乘法是以一个弯矩图的面积ω乘以其形心所对应的另一个直线弯矩图上的竖标y C ，再除以EI 。
特别注意竖标y C 必须从直线弯矩图上取得。
3） 要学会能正确灵活使用图乘的公式，首先要熟练掌握图乘法的计算步骤，包括支座反力的计算、弯矩图的绘制、基本图形的面积和形心、图乘时的正负号取舍等等；其次要灵活运用图乘法的技巧（即图乘法中图形叠加概念的灵活运用）。
4） 学会掌握标准抛物线的判别方法，即看抛物线顶点处的切线是否与基线相平行。
5） 用图乘法计算位移时所求位移的方向须按计算结果的正负判定，当计算结果为正，说明所求位移的方向与虚设单位力的方向一致，否则相反。
4、举例试求图（a ）所示刚架结点B 的水平位移ΔBx ，EI 为常数。
建筑力学结构位移计算
在进行建筑力学结构位移计算之前，需要进行以下步骤：
1.确定结构的几何形状和初始条件：包括结构的尺寸、形状、约束条件和受力情况等。
这些信息是进行位移计算的基础。
2.建立结构的数学模型：根据结构的几何形状和物理性质，采用适当的数学方法和假设，建立结构的数学模型。
数学模型的建立可以根据结构的类型和复杂程度而有所不同，可以基于力平衡原理和应力应变关系建立结构的静态或动态方程。
3.确定边界条件和受力情况：根据结构的约束条件和受力情况，确定结构的边界条件和受力情况。
这些信息是进行位移计算的重要输入数据。
4.求解结构的位移：根据结构的数学模型、边界条件和受力情况，使用适当的数值方法或解析方法，求解结构的位移。
常用的数值方法包括有限元法、有限差分法和变分法等。
5.分析位移结果：对求解得到的结构位移进行分析和评估。
可以比较结构的位移与设计要求的位移，并进行稳定性和安全性的评估。
如果位移超出允许范围，则需要对结构进行进一步的优化和调整。
在进行建筑力学结构位移计算时，需要考虑建筑结构本身的刚度和强度，受力情况以及结构的几何形状和材料特性等因素。
位移计算的准确性需要依赖于结构的数学模型和求解方法的选择，以及输入参数的准确性。
综上所述，建筑力学结构位移计算是一项复杂的工作，需要充分考虑结构本身的特性和受力情况。
通过建立适当的数学模型和采用合适的求解
方法，可以得到准确和可靠的结构位移结果，为结构的设计和安全评估提供有力的支持。
静定结构的位移计算——典型例题【例1】计算如图1(a)所示梁结构中跨中C 点的竖向位移，已知EI 为常数。
【解】方法一：（积分法）（1）荷载作用的实际状态以及坐标设置如图6-8(a)，其弯矩方程为：（2）虚设单位力状态，以及坐标设置如图6-8(b)，其弯矩方程为：（3）积分法求跨中的竖向位移图1方法二：图乘法（1）荷载作用的实际状态，其弯矩图如图1(c)所示； （2）虚设单位力状态，其弯矩图如图1(d)所示； （3）图乘计算跨中竖向位移【例2】计算如图2(a)所示半圆曲梁中点C 的竖向位移，只考虑弯曲变形。
已知圆弧半径为R ，EI 为常数。
CV ∆21102211112222P qlx x l M qlx q x l l x l ⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎛⎫⎪--<≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩1021122x x l M l l x l ⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩24/20/211111113()22222232l l P CVl MM ql ds x qlxdx l qlx q x l dx EI EI EI EI ⎡⎤⎛⎫∆==⨯⨯+⨯⨯--=↓⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰4222211112111311121113()222432284223232232cPCV A y MM ds EI EI ql l ql l ql ql l l l ql l EI EI EI ω∆==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=↓ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑⎰CV ∆图2【解】（1）实际荷载作用下，以任意半径与x 轴的顺时针夹角θ为自变量（图2a ），弯矩方程为（截面内侧受拉为正）：（2）虚设单位荷载状态如图2(b)所示，其弯矩方程为：（3）积分法求跨中的竖向位移【例3】如图3(a)所示梁的EI 为常数，在荷载F 作用下测得结点E 的竖向位移为9mm （向下），求截面B 处的角位移。
第三章 静定结构的位移计算
一、判断题：
1、虚位移原理等价于变形协调条件，可用于求体系的位移。
2、按虚力原理所建立的虚功方程等价于几何方程。
3、在非荷载因素(支座移动、温度变化、材料收缩等)作用下，静定结构不产生内力，但会有位移且位移只与杆件相对刚度有关。
4、求图示梁铰C 左侧截面的转角时，其虚拟状态应取：
A.;
; B.
D.
C.=1
5、功的互等、位移互等、反力互等和位移反力互等的四个定理仅适用于线性变形体系。
6、已知M p 、M k 图，用图乘法求位移的结果为：()/()ωω1122y y EI +。
M k M p 21
y 1y 2**
ωω
( a )
M =1
7、图a 、b 两种状态中，粱的转角ϕ与竖向位移δ间的关系为：δ=ϕ 。
8、图示桁架各杆E A 相同，结点A 和结点B 的竖向位移均为零。
9、图示桁架各杆EA =常数，由于荷载P 是反对称性质的，故结点B 的竖向位移等于零。
二、计算题：
10、求图示结构铰A两侧截面的相对转角ϕA，EI = 常数。
q
11、求图示静定梁D端的竖向位移∆DV。
EI = 常数，a = 2m 。
10kN/m
12、求图示结构E点的竖向位移。
EI = 常数。
q
13、图示结构，EI=常数，M=⋅
90kN m, P = 30kN。
求D点的竖向位移。
P
14、求图示刚架B端的竖向位移。
q
15、求图示刚架结点C的转角和水平位移，EI = 常数。
q
16、求图示刚架中Ｄ点的竖向位移。
EI ＝ 常数 。
l/2
17、求图示刚架横梁中Ｄ点的竖向位移。
EI ＝ 常数 。
18、求图示刚架中D 点的竖向位移。
E I = 常数 。
q
l l l/2
19、求图示结构Ａ、Ｂ两截面的相对转角，EI ＝ 常数 。
l/23
l/3
20、求图示结构
A 、
B 两点的相对水平位移，E I = 常数。
21、求图示结构B 点的竖向位移，EI = 常数 。
l l
22、图示结构充满水后，求A 、B 两点的相对水平位移。
E I = 常数 ，垂直纸面取1 m 宽，水比重近似值取10 kN / m 3。
23、求图示刚架C 点的水平位移 ∆CH ，各杆EI = 常数 。
4m
3m
2kN/m
24、求图示刚架B 的水平位移 ∆BH ，各杆 EI = 常数 。
3m 4m
4m
q 7kN/m
25、求图示结构C 截面转角。
已知 ：q=10kN/m , P =10kN , EI = 常数 。
P
26、求图示刚架中铰C两侧截面的相对转角。
27、求图示桁架中D点的水平位移，各杆EA 相同。
D
28、求图示桁架A、B两点间相对线位移∆AB，EA=常数。
a
一
a
一
a
一
29、已知b
a
b
a
u
u
u
u]2/)
(
[sin
d
cos
sin2
⎰=，求圆弧曲梁B点的水平位移，EI=常数。
A
B
R
30
、求图示结构D点的竖向位移，杆AD的截面抗弯刚度为EI，杆BC的截面抗拉（压）刚度为EA。
a
3
31、求图示结构D点的竖向位移，杆ACD的截面抗弯刚度为EI，杆BC抗拉刚度为EA 。
32、求图示结构S杆的转角ϕS。
( EI = 常数，EA EI a
=/2)。
a
a
a a
33、刚架支座移动与转动如图，求D点的竖向位移。
/400
34、刚架支座移动如图，c1= a / 2 0 0 ，c2= a /3 0 0 ，求D点的竖向位移。
35、图示结构B支座沉陷∆= 0.01m ，求C点的水平位移。
36、结构的支座A 发生了转角θ和竖向位移∆如图所示，计算D 点的竖向位移。
θA D
l/l
l 237、图示刚架A 支座下沉 0.01l ，又顺时针转动 0.015 rad ，求D 截面的角位移。
D
0.015rad
A
h
0.01l l l
38、图示桁架各杆温度均匀升高t o C ，材料线膨胀系数为α，求C 点的竖向位移。
a
39、图示刚架杆件截面为矩形，截面厚度为h , h/l = 1/ 20 ,材料线膨胀系数为 α，求C
点的竖向位移。
C A
-3-3+t
+t
t
t l
40、求图示结构B 点的水平位移。
已知温变化t 110=℃，t 220=℃ ，矩形截面高h=0.5m ，线膨胀系数a = 1 / 105。
t 1t 2
t 4m B
1
41、图示桁架由于制造误差，AE 长了1cm ，BE 短了1 cm ，求点E 的竖向位移。
A
C B E
2cm
42、求图示结构A 点竖向位移（向上为正）∆AV 。
A
43、求图示结构C 点水平位移∆CH ，EI = 常数。
2EI l 3=6
44、求图示结构D 点水平位移 ∆DH 。
EI= 常数。
l EI l =33l k
45、BC 为一弹簧，其抗压刚度为 k ，其它各杆EA = 常数，求A 点的竖向位移。
