高二数学 解三角形和不等式

相似三角形的数学方程与不等式相似三角形是高中数学中一个重要的概念，它在几何学和代数学中具有广泛的应用。

相似三角形的数学方程与不等式可以帮助我们解决一系列关于三角形的问题，如确定边长比例、角度关系等。

本文将介绍相似三角形的数学方程与不等式，并探讨其应用。

一、相似三角形的性质相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个三角形。

若三角形ABC与三角形DEF相似，可以表示为∆ABC ∼ ∆DEF。

相似三角形具有以下性质：1. 边长比例在相似三角形中，对应边的长度成比例。

假设∆ABC ∼∆DEF，则有以下比例关系：AB/DE = BC/EF = AC/DF2. 角度关系在相似三角形中，对应角的度数相等。

也就是说，∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

二、相似三角形的数学方程相似三角形的数学方程可以帮助我们推导出边长比例和角度关系。

下面是一些常见的相似三角形数学方程：1. 边长比例的方程若已知两个相似三角形的边长比例，可以构建如下方程：AB/DE = BC/EF = AC/DF通过这个方程，我们可以根据已知条件解出未知的边长。

2. 角度关系的方程若已知两个相似三角形的一个角度关系，可以利用以下方程：∠A/∠D = ∠B/∠E = ∠C/∠F这个方程可用于求解相似三角形中未知的角度。

三、相似三角形的数学不等式相似三角形的数学不等式在解决三角形问题时发挥着重要的作用。

下面是一些常见的相似三角形数学不等式：1. 边长之比的不等式对于∆ABC和∆DEF两个相似三角形，若对应边长之间的比例关系为AB/DE > BC/EF > AC/DF，则可以推导出以下不等式：∠A > ∠D，∠B > ∠E，∠C > ∠F这个不等式告诉我们，若两个三角形的边长比例逐渐增大，则对应角度也逐渐增大。

2. 角度之比的不等式对于∆ABC和∆DEF两个相似三角形，若对应角度之间的关系为∠A > ∠D，∠B > ∠E，∠C > ∠F，则可以推导出以下不等式：AB/DE > BC/EF > AC/DF这个不等式告诉我们，若两个三角形的角度逐渐增大，则对应边长比例也逐渐增大。

一、解三角形一、知识点 1、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C=== （边角灵活转化） 2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-.（灵活变形） 3、大边对大角，小边对小角（灵活取舍单解、多解）4、内角和：在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 5、三角形五心内心：内切圆圆心，3内角平分线交点，内心到3边距离相等； 外心：外接圆圆心，3垂直平分线交点，外心到3顶点距离相等； 重心：3中线交点，每条中线被分成2:1，△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++； 垂心：3高交点，垂心及顶点四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心；旁心：1内角平分线与其他2角的外角平分线交点。

每个三角形都有3个旁心，旁心到三边等距。

【不做要求】 二、题型：（1）求未知边角：梳理已知条件，选择用什么定理；（2）判断三角形形状【思路一：等式化成角（正弦定理+内角和+诱导公式）；思路二：等式化成边（两定理联合）】 （3）求三角形面积：111222a b c S ah bh ch ===；111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===；S 二、数列一、知识点： (一)、求通项公式n a 1、已知n s 求n a ：⎩⎨⎧∈≥-==-),2()1(*11N n n S S n S a n n n 注意验证n=1。

2、已知递推公式求n a （已知首项1a ）（1）c a a n n +=+1型【构造等差数列】 （2）c ka a n n +=+1型【构造等比数列*1-k c】 （3）)(1n f a a n n +=+型【累加法】 （4）)(1n f a a n n =+型【累乘法】 (二)、n a 、n S 的最大最小问题： [不等式法]n a 最大⎩⎨⎧≥≥⇔+-11n n n n a a a a ；n a 最小⎩⎨⎧≤≤⇔+-11n n n n a a a a ；n S 最大⎩⎨⎧≤≥⇔+001n n a a ；n S 最小⎩⎨⎧≥≤⇔+01n n a a ；[函数法]：数列是特殊的函数（特别注意定义域：*N n ∈）(三)、等差等比数列必备知识点：(四)、重点题型混合型【等差等比混合--分清主次】(五)数列求和【弄清共有多少项？整理完剩余什么项？】 1、公式法【借助常用结论、公式、构造等差等比】2)1(321+=++++n n n ；6)12)(1(3212222++=++++n n n n ；4)1(2)1(3212223333+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++++n n n n n 2、错位相减法【每项为等差等比项之积/2式同乘公比，再1式减2式】 3、裂项相消法【通项可拆成两项差】111)1(1+-=+n n n n ； ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k t k n n t 11)(； n n n n -+=++111三、不等式㈠ 一元二次不等式1、解法：二次项系数化正→∆>0，解对应方程两根，大时取两边小时取中间；0≤∆时结合对应函数图像写出解集；2、注意事项：(1)解集是集合，要用描述法或区间表示。

2024年人教版高二数学复习知识点总结第一章函数与方程1.1 函数与映射函数的定义、函数的性质、函数的四则运算、复合函数、反函数映射的定义、映射的性质、一一映射、单射、满射1.2 一元二次函数及其应用一元二次函数的定义、一元二次函数的图像、一元二次函数的性质、一元二次函数的解析式、一元二次函数的图像与解析式的关系、一元二次函数的最值、一元二次函数的应用1.3 不等式不等式的定义、解不等式、不等式的性质、不等式的运算、一元一次不等式、一元二次不等式1.4 线性规划线性规划的定义、线性规划中的常见问题、线性规划的解法、线性规划的应用第二章三角函数与解三角形2.1 三角函数三角函数的定义、三角函数的性质、三角函数的图像、三角函数的周期、三角函数的关系式2.2 平面向量平面向量的定义、平面向量的运算、平面向量的线性运算、平面向量的数量积、平面向量的夹角、平面向量的投影、平面向量的正交2.3 解三角形解直角三角形、解一般三角形、解等腰三角形、解等边三角形、解特殊三角形、解复合三角形第三章数列与数项级数3.1 数列的概念数列的定义、数列的性质、数列的通项、数列的分类、数列的极限3.2 数列的通项公式等差数列、等比数列、等差数列与等比数列的关系、通项公式的推导方法、通项公式的应用3.3 数列的求和部分和、数列的前n项和、无穷数列的求和、等差数列的求和、等比数列的求和、部分和公式的应用3.4 级数级数的定义、级数的性质、无穷级数的收敛性、级数的求和、级数的应用第四章导数与导数应用4.1 导数的基本概念导数的定义、导数的性质、导数的基本运算、导数与函数的图像关系4.2 导数的应用函数的单调性、函数的极值、函数的曲线与切线、函数的凹凸性、函数的拐点、函数的极限与导数4.3 高阶导数和隐函数高阶导数的定义、高阶导数的求法、高阶导数的性质、隐函数的导数、隐函数的高阶导数第五章积分与积分应用5.1 不定积分不定积分的定义、不定积分的性质、不定积分的基本公式、不定积分的线性运算5.2 定积分定积分的定义、定积分的性质、定积分的线性运算、定积分的几何意义、定积分的求法5.3 微分方程微分方程的定义、微分方程的解、一阶微分方程、二阶微分方程、线性微分方程、微分方程的应用5.4 积分应用反常积分、曲线长度、曲线面积、体积、几何应用、物理应用以上是____年人教版高二数学的复习知识点总结，共计____字。

高二数学知识点总结(精选15篇)高二数学知识点总结1第一章：解三角形。

掌握正弦余弦公式及其变式和推论和三角面积公式即可。

第二章：数列。

考试必考。

等差等比数列的通项公式、前n 项和及一些性质。

这一章属于学起来很容易，但做题却不会做的类型。

考试题中，一般都是要求通项公式、前n项和，所以拿到题目之后要带有目的的去推导。

第三章：不等式。

这一章一般用线性规划的形式来考察。

这种题一般是和实际问题联系的，所以要会读题，从题中找不等式，画出线性规划图。

然后再根据实际问题的限制要求求最值。

选修中的简单逻辑用语、圆锥曲线和导数：逻辑用语只要弄懂充分条件和必要条件到底指的是前者还是后者，四种命题的真假性关系，逻辑连接词，及否命题和命题的否定的区别，考试一般会用选择题考这一知识点，难度不大;圆锥曲线一般作为考试的压轴题出现。

而且有多问，一般第一问较简单，是求曲线方程，只要记住圆锥曲线的表达式难度就不大。

后面两到三问难打一般会很大，而且较费时间。

所以不建议做。

这一章属于学的比较难，考试也比较难，但是考试要求不高的内容;导数，导数公式、运算法则、用导数求极值和最值的方法。

一般会考察用导数求最值，会用导数公式就难度不大。

高二数学知识点总结2一、集合、简易逻辑（14课时，8个）1、集合；2、子集；3、补集；4、交集；5、并集；6、逻辑连结词；7、四种命题；8、充要条件。

二、函数（30课时，12个）1、映射；2、函数；3、函数的单调性；4、反函数；5、互为反函数的函数图象间的关系；6、指数概念的扩充；7、有理指数幂的运算；8、指数函数；9、对数；10、对数的运算性质；11、对数函数。

12、函数的应用举例。

三、数列（12课时，5个）1、数列；2、等差数列及其通项公式；3、等差数列前n项和公式；4、等比数列及其通顶公式；5、等比数列前n项和公式。

四、三角函数（46课时，17个）1、角的概念的推广；2、弧度制；3、任意角的三角函数；4、单位圆中的三角函数线；5、同角三角函数的基本关系式；6、正弦、余弦的诱导公式；7、两角和与差的正弦、余弦、正切；8、二倍角的正弦、余弦、正切；9、正弦函数、余弦函数的图象和性质；10、周期函数；11、函数的奇偶性；12、函数的图象；13、正切函数的图象和性质；14、已知三角函数值求角；15、正弦定理；16、余弦定理；17、斜三角形解法举例。

本讲主要复习了必修（5）数列、解三角形、不等式等三部分知识要点和考点。

在利用这些知识点解决问题时注重函数的思想、数与形结合的思想、方程的数学思想、分类讨论的数学思想、等价转化的数学思想及配方法、特值法、分离参数法等数学思想方法的应用。

考点一：数列、不等式、解三角形等基础知识的考查例1、在下列命题中，把正确命题的序号填在题后的横线上。

（1）当三角形的各角的余切成等差数列时，各角所对边的平方成等差数列（2）已知不等式①②x2－6x+8<0 ③2x2－9x+m<0若同时满足①②的x值也满足③，则m9.（3）一个等差数列和一个等比数列，其首项是相等的正数，若其第（2n+1）项是相等的，则这两个数列的第（n+1）项也是相等的。

（4）方程有解时a的取值范围是在上述命题中正确命题的序号是。

分析：（1）设三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c.由已知条件得：2cotB=cotA+cotC然后化为正、余弦。

通分再利用正、余弦定理可证：2b2=a2+c2.（2）可用特值法：先求不等式①②解集的交集。

再对m取特值验证。

也可利用二次函数的图像解决。

（3）利用等差、等比数列的通项公式表示这两个数列的第（n+1）项，然后比较大小。

或取特值验证。

（4）分离参数法：把a分离出来，用表示a，再用均值不等式求解。

解析：（1）由已知得：2cotB=cotA+cotC.利用正、余弦定理可证：2b2=a2+c2.故命题（1）是正确的。

（2）不等式①②的交集是（2，3），取m=0时，不等式化为：显然当2<x<3时，不等式成立。

故命题（2）错误另解：利用二次函数图像求解：设f（x）=2x2－9x+m，如图由已知得：（3）设数列分别是等差数列、等比数列。

首项分别是>0公差和公比分别是d、q，取n=2，q=2，由已知：即：，故==－=故，故命题（3）错误。

（4）由方程得：－（4+a）=.故此命题错误。

考点二：不等式与数列的综合应用的考查例2、已知数列{a}是首项a1＞0，q＞－1且q≠1的等比数列，设数列{b}的通项为b=a－ka（n∈N），数列{a}、{b}的前n项和分别为S，T．如果T＞kS对一切自然数n都成立，求实数k的取值范围．分析：由探寻T和S的关系入手谋求解题思路。

解三角形里的基本不等式三角形是数学中最基本的图形。

《解三角形里的基本不等式》是一个有益的数学主题。

这一主题研究三角形的基本不等式，帮助我们更好地理解三角形的结构，以及如何从结构中解释不等式。

首先，关于三角形的基本定义如下：三角形是由三条直线连接三个不同的点构成的图形，它们恰好有三个顶点和三条边。

它有三种不同类型：等腰三角形、直角三角形和斜角三角形。

其次，三角形的基本不等式是指对每个三角形，当其两个内角总度数等于180度，该不等式就成立，而不等式的特殊表示方式是：[等腰三角形]a +b = c[直角三角形]a^2 + b^2 = c^2[斜角三角形]a^2 + b^2 > c^2这种不等式可以用于计算三角形的面积，因为三角形的面积是由其顶点和边长来表示的。

对于等腰三角形，面积是由其两个半径相乘给出的，而对于直角三角形，面积是由其两个等腰边长乘以直角边长来表示的，而对于斜角三角形，面积则是由三角形的三条边长的海伦公式来表示的。

此外，三角形的基本不等式还可以用来进行根据图形来判断三角形的类型以及计算边长的长度。

如果两个内角的度数之和等于180度，则可以确定该三角形的类型。

同时，可以根据不等式求出三角形的边长，例如：已知两个内角的度数分别为60°和50°，则可以确定该三角形应该是等腰三角形，并可以利用不等式求出该三角形的边长：a+b=c，即a+b=70，这样就能确定三角形的边长了。

最后，三角形基本不等式也可以应用于其他数学领域，例如可以用来分析复杂几何图形的性质，从而解决其他科学问题。

另外，三角形的基本不等式也被用于航海和航空行业，以帮助航海家和飞行员判断他们的位置。

本文详细讨论了三角形里的基本不等式，包括它的定义、性质、不同类型的特征、在解三角形中的应用以及在其他领域的应用。

这项研究将有助于我们更好地理解三角形的结构，从而更好地解释它的基本不等式。

高二数学都学哪些知识点高二数学学习的知识点数学是一门重要的科学学科，对于高中学生来说，数学是必修的一门学科。

高二是数学学科的重要阶段，学生在这一年需要掌握并牢固基础知识，为高考做好准备。

下面将重点介绍高二数学学习的知识点。

一、函数与方程1.1 函数的概念和性质：自变量、因变量、定义域、值域、奇偶性、单调性等。

1.2 一次函数：直线的斜率和截距，两点确定一条直线等。

1.3 二次函数：顶点、对称轴、平移、拉伸等。

1.4 不等式与方程：一元一次方程、一元二次方程、一元一次不等式、一元二次不等式等。

二、三角函数与解三角形2.1 三角函数的定义和性质：正弦、余弦、正切等。

2.2 三角函数的图像与性质：周期性、奇偶性等。

2.3 解三角形：正弦定理、余弦定理、面积公式等。

三、向量与坐标系3.1 向量的定义和性质：向量的模、方向、垂直、平行、共线等。

3.2 平面直角坐标系：直角坐标系的表示、距离公式等。

3.3 向量的运算：向量的加法、减法、数量积、向量积等。

四、数列与数列的极限4.1 数列的概念和性质：通项、公比、和等。

4.2 等差数列与等比数列：首项、公差、公比等。

4.3 数列求和：等差数列求和公式、等比数列求和公式等。

4.4 数列的极限：极限的定义、收敛与发散等。

五、导数与微分5.1 导数的概念和性质：导数的定义、导数的几何意义、导数的运算法则等。

5.2 常见函数的导数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等。

5.3 函数的最值和单调性：极值点、临界点、函数单调性的判断等。

5.4 微分：微分的定义、微分的应用等。

六、概率与统计6.1 概率的基本概念：随机事件、样本空间、几何概率等。

6.2 条件概率与独立性：条件概率的计算、独立事件与互斥事件等。

6.3 统计与频率分布：频数、频率、频率分布表等。

6.4 统计图表的应用：条形图、折线图、饼图、直方图等。

以上是高二数学学习中的主要知识点，这些知识点涵盖了数学的基本理论和应用技巧，对于学生的数学学习和解题能力的提升至关重要。

高二数学必修五 第一章解三角形一、本章知识结构：二、基础要点归纳1、三角形的性质： ①.A+B+C=π,222A B Cπ+=-⇒sin()sin A B C +=, cos()cos A B C +=-,sincos 22A B C+= ②.在ABC ∆中,a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ⇔sin A ＞sin B ,A ＞B ⇔cosA ＜cosB, a ＞b ⇔A ＞B③.假设ABC ∆为锐角∆，那么A B +＞2π,B+C ＞2π,A+C ＞2π; 22a b +＞2c ，22b c +＞2a ，2a ＋2c ＞2b2、正弦定理与余弦定理： ①.正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C === (2R 为ABC ∆外接圆的直径) 111sin sin sin 222ABCS ab C bc A ac B ∆=== ②.余弦定理：2222cos a b c bc A =+-222cos 2b c a A bc +-=2222cos b a c ac B =+-222cos 2a c b B ac+-=2222cos c a b ab C =+-222cos 2a b c C ab+-=〔必修五〕第二章、数列一、本章知识结构：二、本章要点归纳：1、数列的定义及数列的通项公式：①.()n a f n =，数列是定义域为N 的函数()f n ，当n 依次取1，2，⋅⋅⋅时的一列函数值。

②.n a 的求法：i.归纳法。

ii.11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 假设00S =，那么n a 不分段；假设00S ≠，那么n a 分段。

iii. 假设1n n a pa q +=+，那么可设1()n n a m p a m ++=+解得m,得等比数列{}n a m +。

iv. 假设()n n S f a =，那么先求1a ，再构造方程组：11()()n n n n S f a S f a ++=⎧⎨=⎩得到关于1n a +和n a 的递推关系式.2.等差数列：① 定义：1n n a a +-=d 〔常数〕,证明数列是等差数列的重要工具。

高中数学知识系列之三角函数，解三角形的基本公式、概念及应用1三角不等式：（1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.2 同角三角函数的基本关系式 ：22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ， 3 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 4 和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.sin cos a b αα+)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ). 5 二倍角公式及降幂公式sin 2sin cos ααα=22tan 1tan αα=+. 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-221tan 1tan αα-=+. 22tan tan 21tan ααα=-.sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2ααααα-==+ 221cos 21cos 2sin ,cos 22αααα-+==6 三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期2||T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期||T πω=. 三角函数的图像：7 正弦定理 ：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆的半径）. 2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ⇔===::sin :sin :sin a b c A B C ⇔=8余弦定理：2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-.9面积定理：（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)OAB S ∆=2,2a b c S r r a b c ∆∆∆+==++斜边内切圆直角内切圆－10三角形内角和定理：在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A Bπ+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 11实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么： (1) 结合律：λ(μa )=(λμ) a ;(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa ;(3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb .12a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b |cos θ。

《不等式与解三角形》zdj11 ()()()),1000001201n n a b b a a b b c b c a b c R a c b c a b c ac bc a b c ac bc a b c d a c b d a b c d ac bd a b a b n N n a b n N n ++⊗>⇔<⊗>>⇒>⊗>∈⇔+>+⎧⎨⊗>>⇒>><⇒<⎩⊗>>⇒+>+⊗>>>>⇒>⊗>>⇒>∈>⊗>>∈>反对称性：； 传递性：且； 可加性：；基本性质可乘性：且；且；性加法：且； 乘法：且； 乘方：且； 质运算性质开方：且；不等式()()()()(){}{}22121212110<10002||a b ab a b ax bx c ax bx c a x x x x x x x x x x x R ⎧⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎨⎪⊗>>⇒⎪⎪⎩⎩++>++>≠⊗<><<⊗∅ 倒数：且；标准形式：或； 解法：数形结合法； 3步骤：一化、二算、三作、四写；若解集具有或或的形式，则、一定为其对应方程的根；反解一元不等式若解集为或，则根据“不等号”与“解集”确定对应函数的图象，进而依据图象列条件处理二次题4不等式型()()()()00000Ax By C B Ax By C Ax By C Ax By C Ax ⎧⎪⎪⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎨⎪→→∆→⎨⎪⎪⎪→∆→→⎪⎪⎪⎪⎩⎩++><><++>++=++<+ ；含参不等式：定型定开口定判别式定根的大小；二次方程根的分布问题：依据对应二次函数图象处理，列条件需要考虑“开口判别式对称轴特殊点”；直线定界，特殊点定域；二元一次不等式1时，表示直线上下方区域；表示平面区域，判定方法 表示直线线性规划()()()()000By C x y z l l ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 下上方区域；2定义：求线性目标函数在线性约束条件下的最值问题，称为线性规划问题，满足线性约束条件的解叫做可行解， 由所有的可行解组成的集合叫做可行域，使目标函数取得最值的可行解叫做最优解；利用图解法设变量、、； 得线性约束条件及目标函数； 作可行域；3处理线性规划 作直线，并平移，确定最优解所对应的位置； 求最优解，进而问题的步骤()()())()1,22y b z ax by z x a z a b a b R a b +⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪-⎪⎧=+=⎪⎪-⎨⎪⎪⎪⎩⎩+∈= 求目标函数的最值；4求整点最优解的方法： 平移直线，网格定点； 调整优解法；型如的整式问题利用截距处理； 型如的分式问题利用斜率公式处理；5题型型如形式：其中，当且仅当时取“=?条件：一正、二定、应用均值不等式()()()214,,1110,01243x y R xy P x y x y x y R x y S x y xy S a b a b x y R a b t x y x y x y x y a b a b ab a +++⎧⎪⎧∈=+⎪⎪⎪⎪⎪∈+=⎪⎨⎪⎨⎪⎛⎫⎪⎪+∈+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎩⎩>>+=≤≤ 三等、四同；已知、，若积为定值，则当时，和有最小值已知、，若和为定值，则当时，和有最大值；类型已知分式、、为常数为定值则整式的最值可利用处理；若实数且；；结论()())(()()()()()()()max min 117440,4ab b ab k y x k x a f x a f x a f x a f x a f x a f x ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎧≥+≥⎪⎪⎨⎡⎪=+>∞⎣⎩⎧⎧⎪⊗⎪⎨⎪>⇔><⇔<⎨⎪⎩⎪⊗><⎪⎩⎩ ； ；对号函数的单调性：在-与上是增函数；在与上是减函数；数形结合法；恒成立问题分离参数法：恒成立；恒成立；常见题型不等式有解问题：或有解问题可利用数轴数形结合处理；()()()22222222212sin sin sin 22cos 2cos 2a b c R R ABC A B C a b c bc A b a c ac B c b a a ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⊗===∆⊗=+-=+-=+-定义：由三角形中的已知元素求出所有未知元素的过程；正弦定理： 其中为外接圆半径；依解余弦定理：；；据三角形()()cos 1111sin sin sin 2222sin 2sin 2sin sin 23cos cos ABC ABC b C S BC h h BC S ab C ac B bc A ABC A B A B A B A B a b A B ABC A B A B π∆∆⎧⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⊗=⋅===⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎧⎪∆=⇔=+=>⇔>⇔>⎪⎪⎨⎪⎪∆<⇔>⎩⎪⎪⎩ ；三角形面积公式：其中为边上的高；；中，或；；结论：中，；。

人教版高二数学上向量的三角形不等式归纳向量在高中数学教学中具有较强的实用性，下面是店铺给大家带来的人教版高二数学上向量的三角形不等式归纳，希望对你有帮助。

高二数学向量的三角形不等式1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;① 当且仅当a、b反向时，左边取等号;② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。

2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。

① 当且仅当a、b同向时，左边取等号;② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。

高中数学学习方法(1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。

记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。

(2)建立数学纠错本。

把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。

争取做到：找错、析错、改错、防错。

达到：能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。

(3)熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。

(4)经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然;经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。

(5)阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自学力度，拓展自己的知识面。

(6)及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。

(7)学会从多角度、多层次地进行总结归类。

如：①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。

(8)经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。

高中数学知识系列之三角函数，解三角形的基本公式、概念及应用1三角不等式：（1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.2 同角三角函数的基本关系式 ：22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ， 3 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 4 和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.sin cos a b αα+)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ). 5 二倍角公式及降幂公式sin 2sin cos ααα=22tan 1tan αα=+.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-221tan 1tan αα-=+. 22tan tan 21tan ααα=-. sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2ααααα-==+221cos 21cos 2sin ,cos 22αααα-+==6 三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期2||T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期||T πω=. 三角函数的图像：7 正弦定理 ：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆的半径）. 2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ⇔===::sin :sin :sin a b c A B C ⇔=8余弦定理：2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-.9面积定理：（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)OAB S ∆=2,2a b c S r r a b c ∆∆∆+==++斜边内切圆直角内切圆－10三角形内角和定理 ：在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 11实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么： (1) 结合律：λ(μa )=(λμ) a ;(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa ;(3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb .12a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b |cos θ。

一、选择题（每题5分，共60 分）1、ΔABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若1sin 3A =，b B =，则a 等于A.C.32D.3222sin sin sin ABC A B C ABC ∆+<∆2、在中，若，则的形状是（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定3、已知{}n a 是等差数列，且23101148a a a a +++=，则67a a += ( )A ．12B ．16C ．20D ．244、数列{}n a 中，若1111,(2,)21nn a a n n N a -==≥∈-，则2013a 的值为（ ） A ．－1 B ．12C ．1D ．2 5、若正项等比数列{}n a 满足14331,13,log n n a a S b a ===，则数列{}n b 的前10项和是()A.65B.－65C.25D.－256、已知数列{}n a 为等差数列且17134a a a π++=，则212tan()a a +的值为( )A.7、已知不等式2230x x --<的整数解构成等差数列{}n a 的前三项，则数列{}n a 的第四项() A.3 B.－1 C.2 D.3或－18、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1200O B a O A a O C =+且A B C 、、三点共线(该直线不过点O )，则200S =A.100B.101C.200D.2019、若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式≤① ab 1；② 222b +≥③ a ；333b +≥④ a ； 11+2a b≥⑤，对一切满足条件的,a b 恒成立的所有正确命题是（ ） A.①②③ B .①③⑤ C C. ①②④ D.③④⑤10、不等式220x mx n >＋＋的解集是{|32}x x x ＞或＜－，则二次函数22y x mx n ＝＋＋的表达式是( )A ．22212y x x ＝＋＋ B ．22212y x x ＝－＋ C ．22212 y x x ＝＋－ D ．22212y x x ＝－－11、已知点P x y （，）在不等式组2010220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域上运动，则z x y =-的取值范围是（ ）A.［-2，-1］B.［-2，1］C.［-1，2］D.［1，2］12、不等式组221030x x x ⎧-<⎪⎨-≥⎪⎩的解集是（ ）二、填空题（每空5分，共20 分）13、1111+++3156399＝________. 14、已知实数,x y 满足约束条件02x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则24z x y =+15、已知不等式2230x x <－－的解集为A ，不等式260x x <＋－的解集是B ，不等式20x ax b <＋＋的解集是A B那么a b ＋等于 。

第13讲解三角形中恒等式与不等式问题【考点分析】考点一：解三角形中常用恒等式①射影定理：Ab B ac A c C a b B c C b a cos cos ,cos cos ,cos cos +=+=+=②三角形内角和定理：22,ππ=++=++C B A C B A ，所以()()C C B A sin sin sin =-=+π，同理()A C B sin sin =+，()B C A sin sin =+，()()C C B A cos cos cos -=-=+π，同理()A C B cos cos -=+，()B C A cos cos -=+，()()C C B A tan tan tan -=-=+π，同理()A C B tan tan -=+，()B C A tan tan -=+，所以2cos 22sin 2sin C C B A =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+π，同理2cos 2sin A C B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+，2cos 2sin B C A =⎪⎭⎫ ⎝⎛+，③正切恒等式：CB AC B A tan tan tan tan tan tan =++考点二：解三角形中常见不等式关系①任意三角形的内角和为180°；三条边满足：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.②大边对大角，小边对小角，B A b a B A sin sin >⇔>⇔>，所以在ABC ∆中B A B A sin sin >>是的充要条件③在锐角ABC ∆中，一定有A C C B B A cos sin ,cos sin ,cos sin >>>，即一个角的正弦值一定大于另一个角的余弦值，从而可以得到锐角ABC ∆中，一定有CB AC B A cos cos cos sin sin sin ++>++【典型例题】【例1】在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AB c =，AC b =，BC a =，则下列关系不成立的是（）A ．cos a cB =⋅B ．tan tan 1A B ⋅=C ．cos b c A =⋅D ．tan a b B =【例2】已知ABC ∆的内角A 、B 、C 满足()()sin 2si 1n s n 2i A A B C C A B +-+=--+，面积S 满足12S ≤≤，记a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边，则下列不等式一定成立的是（）A ．()8bc b c +>B ．()ab a b +>C ．612abc ≤≤D ．1224abc ≤≤【例3】ABC 的三边分别为a ,b ,c ,若ABC 是锐角三角形,则（）A ．sin cos A B <B ．tan tan 1A B >C ．cos()0A B +>D ．sin()sin A B C+>【例4】（多选题）在ABC 中，角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，则下列关系恒成立的是（）A ．若A B >，则sin sin A B>B ．()cos 22cos2A B C +=C ．sin sin 22A B C +=D ．若cos2cos2A B >，则A B<【例5】（多选题）在ABC 中，给出下列四个命题，其中正确的命题是（）A ．若A B <，则sin sin A B<B ．若sin sin A B <，则A B <C ．若A B >，则11tan 2tan 2A B >D ．若A B >，则22cos cos A B>【例6】如图，已知△ABC 内有一点P ，满足PAB PBC PCA α∠=∠=∠=．(1)证明：sin sin PB ABC AB α=．(2)若90ABC ∠= ，1AB BC ==，求PC ．【例7】在锐角ABC 中，已知sin sin 2sin sin sin 6c C a A b A C B π⎡⎤⎛⎫-=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，其中,,a b c 分别是ABC 的内角,,A B C 的对边.(1)求角A 的大小；(2)试比较2b 与a 的大小.【例8】在ABC 中，求证：（1）()()222222tan tan 0a b c A a b c B --+-+=；（2）2222cos 2cos 211A B a b a b-=-.【题型专练】1．在ABC 中，内角A ，B ､C 所对的边分别为a ､b ､c ，ABC 的面积为S ，下列与ABC 有关的结论，正确的是（）A ．若ABC 为锐角三角形，则sin cos A B>B ．若A B >，则sin sin A B>C ．若cos cos a A b B =，则ABC 一定是等腰三角形D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C++=2．对于ABC ，有如下命题，其中正确的有（）A ．若sin 2sin 2AB =，则ABC 是等腰三角形B ．若ABC 是锐角三角形，则不等式sin cos A B >恒成立C ．若222sin sin cos 1A B C ++<，则ABC 为锐角三角形D ．若2||AC AB AB ⋅> ，则ABC 为钝角三角形3．下列命题中是真命题的有（）A ．存在α，β，使()tan tan tan αβαβ-=-B ．在ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则ABC 是等腰三角形C ．在ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件D ．在ABC 中，若5cos 13A =，4sin 5B =则cosC 的值为3365或63654．在ABC 中，下列说法正确的是（）A ．若ABC 是锐角三角形，则sin cos A B<B ．若A B >，则sin sin A B>C ．不存在ABC 满足cos cos 0A B +≤D ．若2C π>，则22sin sin sin C A B>+5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边外别为a ，b ，c ，下列说法中正确的是（）A ．若A B >，则sin sin A B>B ．若cos cos a b B A =，则ABC 为等腰三角形C ．sin sin sin +=+a b c A B CD ．若tan tan tan 0A B C ++<，则ABC 为钝角三角形6．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若3a =)cos cos 0A C C b A ++=.（1）求角A ；（2）若AD 为ABC 的角平分线，证明：111AC AB AD +=.7．在ABC 中，A B C <<，且tan A ，tan B ，tan C 均为整数．(1)求A 的大小；(2)设AC 的中点为D ，求证：BC BD =．8．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()tan tan 2tan tan cos cos A B A B B A+=+．（1）证明：2a b c +=；（2）求C 的最大值．9．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 为AB 的中点.（1）证明：CD =.（2）已知4a =，6b =，4CD =，求ABC 的面积.。

三角形与不等式（高二、高三）
应晓曾
【期刊名称】《数理天地：高中版》
【年(卷),期】2004(000)008
【摘要】看完贵刊2004年第4期中的《用重心公式解三角二例》一文后，我感
受颇深．三角形与不等式之间的确有很多相通点，想到自己原来做题时也有所发现，就将它们作一简要总结与大家共享。

【总页数】1页(P48)
【作者】应晓曾
【作者单位】江西省瑞昌市江州造船厂子弟学校高二（2）班332207
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.化归转化思想在解三角形中的应用--对高三学生解三角形的思维障碍的思考
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三角形不等式的综合4.用不等式自动发现与判定程序agl2010研究涉及两个三角
形的不等式5.三角形与其一个同内心有关的内接三角形面积比的不等式
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