随机信号分析试题
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完美 WORD 格式1-9 已知随机变量X的分布函数为0 , x 02F (x) kx , 0 x 1X1 , x 1求:①系数 k;②X落在区间(0.3,0.7) 内的概率;③随机变量X的概率密度。
解:第①问利用F X (x) 右连续的性质k =1P 0.3 X 0.7 P 0.3 X 0.7 P X 0.7 第②问F 0.7 F 0.3第③问f (x)Xd F(x)Xdx2x 0 x 10 else专业知识分享完美 WORD 格式x1-10 已知随机变量X 的概率密度为( ) ( )f x ke xX(拉普拉斯分布),求:①系数k ②X落在区间 (0,1)内的概率③随机变量 X的分布函数解:第①问f x dx 1 k12第②问x2P x X x F x F x f x dx1 2 2 1x1随机变量 X落在区间( x1 , x2 ] 的概率 P{ x1 X x2} 就是曲线y f x 下的曲边梯形的面积。
1P 0 X 1 P 0 X 1 f x dx1 2 1 e1第③问12 f x12xe xxe xxF x f ( x)dx1 1x x xe dx x 0 e x 02 20 1 1 1xx x xe dx e dx x 0 1 e x 02 0 2 2专业知识分享完美 WORD 格式1-11 某繁忙的汽车站,每天有大量的汽车进出。
设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001,若每天有1000 辆汽车进出汽车站,问汽车站出事故的次数不小于 2 的概率是多少?n=1- 分布 (0 1)n ,p 0,np=二项分布泊松分布n 成立,0不成立, p q高斯分布实际计算中,只需满足,二项分布就趋近于泊松分布n 10 p 0.1P X kk e==np k!汽车站出事故的次数不小于 2 的概率P(k 2) 1 P k 0 P k 10.1P(k 2) 1 1.1e 答案专业知识分享完美 WORD 格式1-12 已知随机变量 (X,Y)的概率密度为f (x, y) XY(3 x 4 y),ke x 0, y 0, 其它0求:①系数k?②( X ,Y)的分布函数?③P{0 X 1,0 X 2} ?第③问方法一:联合分布函数F XY (x, y) 性质:若任意四个实数 a ab b ,满足1, 2, 1, 2a a bb ,满足a1 a2,b1 b2 ,则P{a X a ,b Y b}F XY(a ,b ) F XY(a ,b) F XY(a ,b ) F XY(a ,b)1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1P{0X 1,0 Y 2} F XY(1,2) F XY(0,0) F XY(1,0) F XY(0,2)方法二:利用P{( x, y) D } f XY u,v dudvD2 1P{0X 1,0 Y 2} f XY x,y dxdy0 0专业知识分享完美 WORD 格式1-13 已知随机变量(X,Y) 的概率密度为f (x, y)1, 0 x 1, y x0 , 其它①求条件概率密度 f X (x| y)和f Y ( y | x) ?②判断X 和Y 是否独立?给出理由。
1. 有四批零件,第一批有2000个零件,其中5%是次品。
第二批有500个零件,其中40%是次品。
第三批和第四批各有1000个零件,次品约占10%。
我们随机地选择一个批次,并随机地取出一个零件。
(1) 问所选零件为次品的概率是多少?(2) 发现次品后,它来自第二批的概率是多少? 解:(1)用i B 表示第i 批的所有零件组成的事件,用D 表示所有次品零件组成的事件。
()()()()123414P B P B P B P B ====()()()()12341002000.050.420005001001000.10.110001000P D B P D B P D B P D B ========()11110.050.40.10.10.16254444P D =⨯+⨯+⨯+⨯=(2)发现次品后,它来自第二批的概率为,()()()2220.250.40.6150.1625P B P D B P B D P D ⨯===2. 设随机试验X求X 的概率密度和分布函数,并给出图形。
解:()()()()0.210.520.33f x x x x δδδ=-+-+-()()()()0.210.520.33F x u x u x u x =-+-+-3. 设随机变量X 的概率密度函数为()xf x ae -=,求:(1)系数a ;(2)其分布函数。
解:(1)由()1f x dx ∞-∞=⎰()()2xxx f x dx ae dx ae dx e dx a ∞∞∞---∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰所以12a =(2)()1()2xxtF x f t dt e dt --∞-∞==⎰⎰所以X 的分布函数为()1,0211,02xx e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩4.求:(1)X 与的联合分布函数与密度函数;(2)与的边缘分布律;(3)Z XY =的分布律;(4)X 与Y 的相关系数。
(北P181,T3) 解:(1)()()()()()()(),0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1F x y u x y u x y u x y u x y u x y u x y =+++-+-++-+--()()()()()()(),0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1f x y x y x y x y x y x y x y δδδδδδ=+++-+-++-+--(2) X 的分布律为()()00.070.180.150.4010.080.320.200.60P X P X ==++===++=Y 的分布律为()()()10.070.080.1500.180.320.5010.150.200.35P Y P Y P Y =-=+===+===+= (3)Z XY =的分布律为()()()()()()()()()()111,10.080001,00.400.320.72111,10.20P Z P XY P X Y P Z P XY P X P X Y P Z P XY P X Y =-==-===-======+===+======== (4)因为()()()00.4010.600.6010.1500.5010.350.20E X E Y =⨯+⨯==-⨯+⨯+⨯=()()10.0800.7210.200.12E XY =-⨯+⨯+⨯=则()()()()ov ,0.120.600.200C X Y E XY E X E Y =-=-⨯=X 与Y 的相关系数0XY ρ=,可见它们无关。
一.填空题(共15分,每题3分)1.()D X t ⎡⎤⎣⎦=()()0725X X R R -∞=-=。
2. ()()()()()()00002222*j f t j f t j f j f z R E z t z t E ee E e e πτψπψπτπτττ++-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+===⎣⎦⎣⎦⎣⎦3. ()()()()()()()00**YX X R R h h h u h v R u v dudv τττττ∞∞=-=+-⎰⎰。
4.22118()22411222214X Q S w dw dww w dw darctg w ππππππ∞∞-∞-∞∞∞-∞-∞==+⎛⎫==== ⎪⎝⎭+⎰⎰⎰⎰ 5. ()()2XY X Y S w m m w πδ=。
二.回答题(共10分,每题2分)1. 答:随机过程X(t)在0t ∆→时满足()()()20E X t t X t ⎡⎤+∆-→⎣⎦,则称随机过程在t 时刻均方意义下连续。
2. 答:时间平均代替统计平均简化计算/工程应用3.答:均值函数和相关函数可以完全确定其n 维概率密度函数4.答:采样频率Fs=10/ k (Hz ), k = 1, 2 ,3 …5. 答:对状态i ,若正整数集合(){}:1,0ii n n p n ≥>非空,则称该集合的最大公约数L 为状态i 的周期。
若L>1, 则称状态i 为周期的,否则为非周期的。
第2页 共 页三.(15分)答:均值[]()[]()00()cos cos 1*00E X t E w t E E w t =H +Φ=H +Φ==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦………. 2 自相关函数()[]()()()()()()()[]2000002002222()()cos cos cos 22cos 2cos cos 5225X R E X t X t E w t w t w t w w E E w w E E E E τττττττσ⎡⎤=+=H +Φ++Φ⎣⎦++Φ+⎡⎤⎡⎤=H ⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=H =⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤H =+H =⎣⎦ (4)时间平均:()()()()()00000001()cos lim cos 21lim sin 21lim sin sin 20TTt TTt t X t w t w t dtTd w t Tw w T w T T w -→∞-→∞→∞=H +Φ=H +ΦH=+ΦH=+Φ--+Φ⎡⎤⎣⎦=⎰⎰ (2)相关函数平均()()()()()()()()()()()20020000020202()()cos cos 1limcos cos 2cos 22cos 1lim 22cos 1lim 22cos 2T Tt T T t T T t X X t X t w t w t w t w t dtT w t w w dt T w dt T w R ττττττττ-→∞-→∞-→∞+=H +Φ++Φ=H +Φ++Φ++Φ+=H =H =H ≠⎰⎰⎰.....................................4 因此不遍历 (3)四.(15分) 答:(1) (5)全为正常返态 (2)()21111111117312422222216p =++=……………………………………..4 (3)()111112,428f ==…………………………………………………………………2 ()1111131428f == (2)()111111111246...357...28163281632111115913...1/29/411/42816321115913...81632111111/25913...544..16326481632i ii n u nf n s s ∞=⎡⎤⎡⎤==⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=⨯+⨯+⨯+⨯+=+=⎢⎥⎣⎦⎡⎤=⨯+⨯+⨯+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=⨯+⨯+⨯+=⨯+⨯+⨯+⎢⎥⎣⎦∑.11/495811/28⎡⎤⎢⎥⎣⎦=⨯+=- (2)第4页 共 页五.(20分)(1)()()()2222222224216424216242241620Y X w w w w w w w S w S w H w w w w w others⎧+<⎪+⎪⎪+⎛⎫->>=⎪ ⎪+==⎝⎭⎨⎪+⎛⎫⎪+->>=- ⎪⎪+⎝⎭⎪⎩ (6)(2)()()[]22max2240224211222424281214/38/3e w H w dwH w w dw dw w w dw ∞∆=⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫=+-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦=+-+=⎰⎰⎰⎰ (7)(3)()()()()()222241644X s s s S s s s s -+-+==-+-+()()()42s H s s +=+ (7)六.(10分)()()sin Y t Xt X t ==- (2)()[]()sin sin /2E Y t E X t t =-=-⎡⎤⎣⎦ (5)样本函数为:任意一条sin 函数的取反,幅值(0 1)之间即可,周期2pi (3)七.(15分)()()()()33ˆ()cos 210sin 210Y t X t t Xt t ππ=+…………………………………………4 ()[]()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()3333ˆ3333ˆˆˆˆˆ()()cos 210cos 210cos 210sin 210sin 210cos 210sin 210sin 210,Y X XX XX X X X XX XX R E Y t Y t R t t R t t R t t R t t R R R R τττππττππττππττππτττττ=+=+++++++==-()()()()()33ˆcos 210sin 210Y X XX R R R ττπττπτ=+ (6)()()()()()()()()()()3333333333332102102(210)210(210)210210102(10)10(10)102X X Y X X X X Y X X S w S w S w jsgn w S w jsgn w S w j S f S f S f sgn f S f sgn f S f ππππππ++-=⎡⎤---+++⎣⎦+++-==⎡⎤---+++⎣⎦+ (3) (2)第6页共页9951000。
第十章随机过程的基本概念1、利用重复抛掷硬币的实验定义一个随机过程出现正面与反面的概率相等。
求:的一维分布函数和,的二维分布函数。
解:以随机变量Y记抛掷硬币的实验结果,则且<1)、当时,若,则;若,则。
于是类似可得<2)、当时,若,则;若,则。
于是2、设随机过程是。
随机变量,概率分布列为求;<1)、一维分布函数和; <2)、二维分布函数。
解:<1)因为,可取值为, ,<将A 代入即得),而,,. 所以因为.只能取0值,故(2>、因为,由所以3、设随机过程,其中与是相互独立的随机变量,均服从标准正态分布。
求的一维和二维分布。
解:因为对任意固定的是正态随机变量,故所以,服从正态分布,从而也是随机过程的一维分布。
其次,对任意固定的,则依维正态随机向量的性质,服从二维正态分布,且所以,二维分布是数学期望向量为<0,0),协方差矩阵为的二维正态分布。
4、设随机过程,其中为常数,是服从标准正态分布的随机变量。
求的一维分布函数和协方差函数。
解:故的一维分布函数为。
协方差函数是随机过程在任意两个时刻和的状态和的二阶中心混合矩其中故其中5、已知随机过程的均值函数和协方差函数是普通函数。
求随机过程的均值函数和协方差函数。
解因为是普通函数,有,故6、设有随机过程和任一实数,定义随机过程证明:和分别是的一维和二维分布函数。
解:设的一维和二维概率密度分别为和,则若考虑到对任意的是离散型随机变量,则有7、随机相位正弦波其中是正常数。
是在内均匀分布的随机变量。
求的概率密度函数、均值函数、方差函数和相关函数。
b5E2RGbCAP解:因为的概率密度函数为所以:1)、依特征函数的定义,有:<1)故由积分的性质,若是周期为的周期函数,则故 <2)比较<1)和<2)式得,的概率密度函数为2)、由定义,得3)、令,则,得8、设有两个随机过程与,其中为常数,为上均匀分布的随机变量。
姓名年级学院专业学号密封线内不答题一.填空题(每空3分共33分) 1.随机变量X ,Y 独立的条件是 。
2.若窄带信号()X t 通过一个幅度为A 的宽带系统输出()Y t ,则二者的关系为 。
3.白噪声通过理想带通系统后,其输出功率谱密度为 分布。
4.实信号)(t x 的解析信号是 。
5.随机变量X 服从0,1分布(P x p ==)1()的特征函数()X φυ= 。
6.若信号()X t 与()Y t 恒有12(,)0R t t =,则()X t 与()Y t 彼此 。
7.若信号()X t 与()Y t 无关, 如果 则 ()X t 与()Y t 独立。
8.若信号()X t 与()Y t 都是高斯信号,则()X t 与()Y t 独立的充要条件是 。
9.随机信号的平稳性包括 。
10.白噪声信号的()R τ= 。
11.随机信号()X t 均值各态历经表示 。
二、(12分)设正态分布随机变量),(~2σμN X 的特征函数。
姓名年级学院专业学号密封线内不答题三、(12分)假定三维随机变量),(~),,(321x x C X X X μ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x μ, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=820242024x C 求(1)1X 的密度函数;(2)),(21X X 的密度函数;(3)31X X +的密度函数。
姓名年级学院专业学号密封线内不答题四、(14分)已知)()cos()()()(0t N t a t N t S t X ++=+=θω,其中θω,,0a 为常数,白噪声)(t N 的功率谱为2/0N 。
求此RC 电路输入前、后的信噪比?姓名年级学院专业学号密封线内不答题五、(15分) 1. 给出严格平稳随机过程和广义平稳随机过程的定义。
2.给出严格各态历经和广义各态历经的定义。
姓名 年级 学院 专业 学号 密封线内不答题 3.解释等效噪声带宽。
六、(14分)设随机过程()cos()X t A t ωϕ=+,其中ϕ是在(−π, π)中均匀分布的随机变量,A 、ω为常数。
第 1 页(试卷共 1 页)2007年秋季学期《随机信号分析 》课程考试 A 卷适用于:信息学院 05级电子信息工程、通信工程专业 卷面总分100分一、填空题(每2分,共20分)1. 数学期望是描述随机变量的( ),方差是用来度量随机变量偏离其( )的程度2. 随机变量的X 特征函数是( )第二特征函数是( )它们之间的关系是( )3. 两个随机变量统计,它们必然是( )相关的4. 设有实信号,)(t x 它的希尔伯特换定义是( ),反变换定义为( )5. 各态历经过程必须是( ),但平稳过程 ( )都具有各态历经性。
6. 按照随机过程的时间和状态,可以将随机过程分为( )、( )、( )和( )7. 对于高斯过程,不相关和( )是等价的,狭义平稳和( )是等价。
8. 白噪声通过理想低通系统后,功率谱密度变( ),相关性由( )变为( )9. 如果一个随机过程的功率谱密度是常数,则称它为( )三 简答 (共10分)1 叙述一维随机变量概率密度函数的性质(本小题6分)2 白噪声通过理想低通系统后,有那些变化? (本小题4分)四、计算题(共50分)1 已知随机过程的自相关函数)cos 1(21)(0τωτ+=R ,求功率谱密度 2 设连续随机变量X 的概率分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+<=21201)](2πΑsin[0.500)(x x x x x F 求(1)系数A ;(2)X 取值在(0.5,1)内的概率)15.0(<<x P 。
3 判断随机过程)cos()(Φt A t X +=ω是否平稳?其中ω为常数,Φ、A 分别为均匀分布和瑞利分布的随机变量,且相互独立。
4 平稳高斯过程)(t X 的自相关函数为ττ-=e R X 2)(,求)(t X 的一维和二维概率密度。
5 功率谱密度为2/0N 的白噪声作用到1)0(=H 的低通网络,它的等效噪声带宽为2MHz 。
若在1欧姆电阻上噪声输出平均功率是0.1W ,0N 是多少?。
随机信号分析习题一1. 设函数⎩⎨⎧≤>-=-0 ,0 ,1)(x x e x F x ,试证明)(x F 是某个随机变量ξ的分布函数.并求下列概率:)1(<ξP ,)21(≤≤ξP 。
2. 设),(Y X 的联合密度函数为(), 0, 0(,)0 , otherx y XY e x y f x y -+⎧≥≥=⎨⎩, 求{}10,10<<<<Y X P 。
3. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)52(21exp 1),(22y xy x y x f XY π 求:(1)边沿密度)(x f X ,)(y f Y(2)条件概率密度|(|)Y X f y x ,|(|)X Y f x y4. 设离散型随机变量X 的可能取值为{}2,1,0,1-,取每个值的概率都为4/1,又设随机变量3()Y g X X X ==-。
(1)求Y 的可能取值 (2)确定Y 的分布. (3)求][Y E 。
5. 设两个离散随机变量X ,Y 的联合概率密度为:)()(31)1()3(31)1()2(31),(A y A x y x y x y x f XY --+--+--=δδδδδδ试求:(1)X 与Y 不相关时的所有A 值。
(2)X 与Y 统计独立时所有A 值。
6. 二维随机变量(X ,Y )满足:ϕϕsin cos ==Y Xϕ为在[0,2π]上均匀分布的随机变量,讨论X ,Y 的独立性与相关性。
7. 已知随机变量X 的概率密度为)(x f ,求2bX Y =的概率密度)(y f .8. 两个随机变量1X ,2X ,已知其联合概率密度为12(,)f x x ,求12X X +的概率密度?9. 设X 是零均值,单位方差的高斯随机变量,()y g x =如图,求()y g x =的概率密度()Y f y\10. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数222W X Y Z X⎧=+⎨=⎩ 设X ,Y 是相互独立的高斯变量。
1-9 已知随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1X x F x kx x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求:①系数k ; ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率; ③随机变量X 的概率密度。
解:第①问 利用()X F x 右连续的性质 k =1第②问{}{}{}()()0.30.70.30.70.70.30.7P X P X F P X F =<<=<≤-=-第③问 201()()0X X xx d F x f x elsedx ≤<⎧==⎨⎩1-10已知随机变量X 的概率密度为()()xX f x kex -=-∞<<+∞(拉普拉斯分布),求:①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解: 第①问 ()112f x dx k ∞-∞==⎰ 第②问{}()()()211221x x P x X x F x F x f x dx <≤=-=⎰随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。
{}{}()()1010101112P X P X f x dxe -<<=<≤==-⎰第③问()102102xx e x f x e x -⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩()00()110022111010222xx xxx x x x F x f x dxe dx x ex e dx e dxx e x -∞-∞---∞=⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪+>->⎪⎪⎩⎩⎰⎰⎰⎰1-11 某繁忙的汽车站,每天有大量的汽车进出。
设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001,若每天有1000辆汽车进出汽车站,问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少?,(01)p q λ→∞→→∞→−−−−−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−−−→n=1n ,p 0,np=n 成立,0不成立-分布二项分布泊松分布高斯分布汽车站出事故的次数不小于2的概率()()P(2)101k P k P k ≥=-=-= 答案0.1P(2)1 1.1k e -≥=-100.1n p ≥≤实际计算中,只需满足,二项分布就趋近于泊松分布()np!k e P X k k λλλ-===1-12 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为(34)0,0(,)0x y XY kex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩,,其它求:①系数k ?②(,)X Y 的分布函数?③{01,02}P X X <≤<≤?第③问 方法一:联合分布函数(,)XY F x y 性质:若任意四个实数1212,,,a a b b ,满足1212,a a b b ≤≤,则121222111221{,}(,)(,)(,)(,)XY XY XY XY P a X a b Y b F a b F a b F a b F a b <≤<≤=+--{01,02}(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)XY XY XY XY P X Y F F F F ⇒<≤<≤=+--方法二:利用(){(,)},XY DP x y D f u v dudv∈∈⎰⎰)(210{01,02},XY P X Y f x y dxdy <≤<≤=⎰⎰1-13 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为101,(,)0x y xf x y ⎧<<<=⎨⎩,,其它 ①求条件概率密度(|)X f x y 和(|)Y f y x ?②判断X 和Y 是否独立?给出理由。
1. 有四批零件,第一批有2019个零件,其中5%是次品。
第二批有500个零件,其中40%是次品。
第三批和第四批各有1000个零件,次品约占10%。
我们随机地选择一个批次,并随机地取出一个零件。
(1) 问所选零件为次品的概率是多少?(2) 发现次品后,它来自第二批的概率是多少? 解:(1)用i B 表示第i 批的所有零件组成的事件,用D 表示所有次品零件组成的事件。
(2)发现次品后,它来自第二批的概率为, 2. 设随机试验X求X 的概率密度和分布函数,并给出图形。
解:()()()()0.210.520.33f x x x x δδδ=-+-+- 3. 设随机变量X 的概率密度函数为()xf x ae -=,求:(1)系数a ;(2)其分布函数。
解:(1)由()1f x dx ∞-∞=⎰所以12a =(2)()1()2xxtF x f t dt e dt --∞-∞==⎰⎰所以X 的分布函数为4.求:(1)X 与的联合分布函数与密度函数;(2)与的边缘分布律;(3)Z XY =的分布律;(4)X 与Y 的相关系数。
(北P181,T3) 解:(1)(2) X 的分布律为 Y 的分布律为(3)Z XY =的分布律为 (4)因为 则X 与Y 的相关系数0XY ρ=,可见它们无关。
5. 设随机变量()~0,1X N ,()~0,1Y N 且相互独立,U X YV X Y =+⎧⎨=-⎩。
(1) 随机变量(),U V 的联合概率密度(),UV f u v ;(2) 随机变量U 与V 是否相互独立? 解:(1)随机变量(),X Y 的联合概率密度为由反函数 22u v x u vy +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩,1112211222J ==--, (2)由于, 222244414uv u v e π+---⎛⎫⎛⎫=⨯⎪⎪⎪⎪⎭⎭所以随机变量U 与V 相互独立。
6. 已知对随机变量X 与Y ,有1EX =,3EY =,()4D X =,()16D Y =,0.5XY ρ=,又设3U X Y =+,2V X Y =-,试求EU ,EV ,()D U ,()D V 和(,)Cov U V 。
一、填空题(20)1、 若 E [ X (t 1 )Y (t 2 )] m X (t 1 )m Y (t 2 ) ,则随机过程 X (t )与Y (t )(不相关、独立、正交);若联合平稳过程 X (t )、Y (t ) 的互功率谱密度 S XY ( ) 0 ,则X (t )与Y (t )(不相关、独立、正交);若 f XY ( x , t ; y , t )f X ( x , t ) f Y ( y , t ) ,则 X (t )、Y (t ) 在同一时刻(不相关、独立、正交)。
2、 若随机过程 X (t ) 的相关时间为 1 ,Y (t ) 的相关时间为 2 , 2 ,则X (t ) 比1Y (t ) 的相关性要 , X (t ) 的起伏特性比Y (t ) 的要3、 两个高斯分布律的随机变量的卷积是 分布律,它的均值和方差是原来两个高斯分布律的均值和方差的 。
4、 白噪声通过理想低通系统后,功率谱密度变 ,相关性由 变为 。
二、简答题:(10)1、给出功率谱密度与相关函数的关系。
(5)2、给出狭义平稳随机过程和广义平稳随机过程的定义。
(5) 三、考虑如图所示的系统,假定 X (t )、Y (t ) 是统计独立的广义平稳随即过程。
求:(1)、根据 R X ( )、R Y ( ) ,求 R Z ( ) ; (2)、根据 G X ( )、G Y ( ) ,求 G Z ( ) ;X 2 (t ) 的自相关函数。
四、已知 X (t ) 是 0 均值的高斯过程,求Y (t )五、如图所示,若 X (t ) 为平稳随机过程。
证明Y (t )的功率谱密度为:G Y ( ) 2G X ( )(1 cos)六、有限带宽的白噪声是具有如下常数功率谱密度函数的随机过程:B B ⎧⎪a , 0 () 2() 2G ( ) ⎨ ⎪⎩0, 其它X 其中: 0 为中心频率,B 为带宽,a 为常数,求自相关函数 R N ( ) ;b2七、设一随机过程 X (t ) ,其中 E [ X (t )] b , R ( ) b ( ) 通过一物理可实现系统,其 X冲击响应为 h (t ) e atu (t ) ,求稳态输出Y (t ) 的自相关函数。
《随机信号分析》练习题一、 概念题1.叙述随机试验的三个条件。
2.写出事件A 的概率P(A)所满足的三个条件。
3.何谓古典概型?其概率是如何计算的? 4.两个事件独立的充要条件。
5.两个随机变量独立的充要条件。
6.两个随机过程的独立是如何定义的?7.随机变量X 服从正态分布,写出其概率密度函数表达式,并说明其中各个参数的意义。
8.简述一维随机变量分布函数F (x )的性质。
9.已知连续型随机变量X 的分布特性,分别用分布函数)(x F X 和概率密度函数)(x f X 表示概率}{21x X x P ≤<。
10. 随机变量X 的特征函数)(μX C 是如何定义的?写出由)(μX C 计算k阶矩)(k X E 的公式。
11.设X 1,X 2,…,Xn 为相互独立的随机变量,其特征函数分别为C 1(μ),C 2(μ),…,Cn(μ),设∑==n i i X Y 1,则C Y (μ)=?12. 对于一般的复随机变量,其数学期望、方差、协方差各是实数还是复数?13. 写出随机过程X(t)的n 维分布函数定义式。
14. 简述随机过程宽平稳性与严平稳性的区别。
15. 平稳过程与各态历经过程有何关系?16. 设平稳随机过程X(t)的自相关函数为R X (τ),X(t)依均方意义连续的条件是?17. 已知平稳随机过程X(t)、Y(t)的相关时间分别为X τ和Y τ,若X τ>Y τ,说明X(t) 与Y(t)的起伏程度那个较大?18. 两个随机过程广义联合平稳的条件是什么?19. 平稳随机过程)(t X 的功率谱密度)(ωX G 的物理意义是什么?)(ωX G 与物理谱密度有何关系?20. 白噪声的功率谱密度和自相关函数有何特点? 21. 简述维纳-辛钦定理并写出其表达式。
22. 何为线性系统?23. 写出希尔伯特变换器的频率响应、幅频响应和相频响应表达式。
24. 写出窄带过程的准正弦表达式和莱斯表达式。
《随机信号分析》练习题一、 概念题1.叙述随机试验的三个条件。
2.写出事件A 的概率P(A)所满足的三个条件。
3.何谓古典概型?其概率是如何计算的? 4.两个事件独立的充要条件。
5.两个随机变量独立的充要条件。
6.两个随机过程的独立是如何定义的?7.随机变量X 服从正态分布,写出其概率密度函数表达式,并说明其中各个参数的意义。
8.简述一维随机变量分布函数F (x )的性质。
9.已知连续型随机变量X 的分布特性,分别用分布函数)(x F X 和概率密度函数)(x f X 表示概率}{21x X x P ≤<。
10. 随机变量X 的特征函数)(μX C 是如何定义的?写出由)(μX C 计算k阶矩)(k X E 的公式。
11.设X 1,X 2,…,Xn 为相互独立的随机变量,其特征函数分别为C 1(μ),C 2(μ),…,Cn(μ),设∑==n i i X Y 1,则C Y (μ)=?12. 对于一般的复随机变量,其数学期望、方差、协方差各是实数还是复数?13. 写出随机过程X(t)的n 维分布函数定义式。
14. 简述随机过程宽平稳性与严平稳性的区别。
15. 平稳过程与各态历经过程有何关系?16. 设平稳随机过程X(t)的自相关函数为R X (τ),X(t)依均方意义连续的条件是?17. 已知平稳随机过程X(t)、Y(t)的相关时间分别为X τ和Y τ,若X τ>Y τ,说明X(t) 与Y(t)的起伏程度那个较大?18. 两个随机过程广义联合平稳的条件是什么?19. 平稳随机过程)(t X 的功率谱密度)(ωX G 的物理意义是什么?)(ωX G 与物理谱密度有何关系?20. 白噪声的功率谱密度和自相关函数有何特点? 21. 简述维纳-辛钦定理并写出其表达式。
22. 何为线性系统?23. 写出希尔伯特变换器的频率响应、幅频响应和相频响应表达式。
24. 写出窄带过程的准正弦表达式和莱斯表达式。
1.10 利用MATLAB 提供的disttool 命令熟悉常用概率密度和概率分布函数,改变分布的参数,观察曲线的变化。
解:
程序:
图像:
图像(一)
图像(二)
图像(三)
1.11 设随机变量X~N(2,0.52),编写计算P{
2.11<X<2.22}的MATLAB 程序,并给出计算结果。
解:
程序:
1.12 编写画出N(1,1/4)的概率密度和概率分布函数图形的MATLAB 程序,并给出绘图的结果。
解:
程序:
图像:
1.13 用MATLAB 画出二维正态概率密度和二维正态概率分布的图形。
解:
图像:
1.14 已知二维随机变量(X,Y )的联合概率密度为
{exp[(2)]
0,0(,)0f A x y x y x y -+>>=其他
利用 MATLAB 的符号运算功能,求(1)待定系数 A ; (2)P{X>2,Y>1}; (3)边缘分布 fX(x)和 fY(y)。
解:
程序:。
1. 2. 3. 4. 5.6.有四批零件,第一批有2000个零件,其中5%是次品。
第二批有500个零件,其中40%是次品。
第三批和第四批各有1000个零件,次品约占10%。
我们随机地选择一个批次,并随机地取出一个零件。
(1) 问所选零件为次品的概率是多少?(2) 发现次品后,它来自第二批的概率是多少?解:(1)用i B 表示第i 批的所有零件组成的事件,用D 表示所有次品零件组成的事件。
()()()()123414P B P B P B P B ====()()()()12341002000.050.420005001001000.10.110001000P D B P D B P D B P D B ========()11110.050.40.10.10.16254444P D =⨯+⨯+⨯+⨯=(2)发现次品后,它来自第二批的概率为,()()()()2220.250.40.6150.1625P B P D B P B D P D ⨯===7. 8.9. 设随机试验X 的分布律为求X 的概率密度和分布函数,并给出图形。
解:()()()()0.210.520.33f x x x xδδδ=-+-+-()()()()0.210.520.33F x u x u x u x =-+-+-10.11. 设随机变量X 的概率密度函数为()xf x ae -=,求:(1)系数a ;(2)其分布函数。
解:(1)由()1f x dx ∞-∞=⎰()()2xxx f x dx ae dx ae dx e dx a ∞∞∞---∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰所以12a =(2)()1()2xxtF x f t dt e dt --∞-∞==⎰⎰所以X 的分布函数为()1,0211,02xx e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩12.13.14.X Y求:(1)X 与Y 的联合分布函数与密度函数;(2)X 与Y 的边缘分布律;(3)Z XY =的分布律;(4)X 与Y 的相关系数。
第一章1、有朋自远方来,她乘火车、轮船、汽车或飞机的概率分别是0.3,0.2,0.1和0.4。
如果她乘火车、轮船或者汽车来,迟到的概率分别是0.25,0.4和0.1,但她乘飞机来则不会迟到。
如果她迟到了,问她最可能搭乘的是哪种交通工具?解:P (A )=0.3P (B )=0.2P (C )=0.1P (D )=0.4P (E |A )=0.25E -迟到,由已知可得P (E |B )=0.4P (E |C )=0.1P (E |D )=0全概率公式:P (E )=P (EA )+P (EB )+P (EC )+P (ED )贝叶斯公式:P (A |E )=P (EA )P (E |A )⋅P (A )0.075P (E )=P (E )=0.165=0.455P (B |E )=P (E |B )⋅P (B )0.08P (E )=0.165=0.485P (C |E )=P (E |C )⋅P (C )0.01P (E )=0.165=0.06P (D |E )=P (E |D )⋅P (D )P (E )=0综上:坐轮船⎧2x -x 3、设随机变量X 服从瑞利分布,其概率密度函数为f ⎪e 2σX 2x(x )=⎨2,⎪σX⎩0,数σX>0,求期望E (X )和方差D (X )。
考察:已知f x(x ),如何求E (X )和D (X )?x >0式中,常x <E (X )=⎰x ⋅f (x )dx-∞22D (X )=E [(X -m x)]=⎰(X -m x)f (x )dx-∞∞∞D (X )=E (X )-E (X )⇒E (X )=⎰x 2⋅f (x )dx-∞222∞6、已知随机变量X 与Y ,有EX =1,EY =3,D (X )=4,D (Y )=16,ρXY=0.5,令U =3X +Y ,V =X -2Y ,试求EU 、EV 、D (U )、D (V )和Cov (U ,V )。
随机信号分析习题五:1. 非周期平稳过程()X t 的自相关函数为2()X R a be ττ-=+式中,a 和b 是正实常数,系统的冲激响应为()()t h t e U t -Ω=其中Ω为正实常数,求该系统输出过程的均值。
2. 假设低通滤波器的传输函数与冲激响应如下1()1H w jwRC =+,11()RCh t e RC-=输入为白噪声,其功率谱密度为0()2X G w N =,求 (1) 滤波器输出功率谱密度;(2) 滤波器输出自相关函数; (3) 证明322131321()()(),(0)Y Y Y Y R t t R t t R t t t t t R ---=>>3. 设有冲激响应为()h t 的线性系统,系统输入()X t 为零均值、平稳过程,该过程的自相关函数为()()X R τδτ=问:()h t 具备什么条件,可使输入过程()X t 与输出过程()Y t 在时刻1t t =的随机变量不相关。
4. 设n X 是纯随机序列,且在1+与1-间均匀分布,试利用下列滤波方程求出n W ,n Z 与nY 的自相关函数与功率谱密度。
1n n n W X X -=- 122n n n n Z X X X --=++112n n n Y Y X -=-+5. 线性系统()H j ω的输入为平稳过程()x t ,其功率谱为()x S ω,设()y t 为输出。
(1) 求误差过程()()()e t y t x t =-的功率谱密度函数()e S ω; (2) 考虑RC 电路,设输入为一个二元波过程,求()e S ω。
6. 一个平均电路如下图所示(1) 证明系统的冲激响应函数为1,0()0,t Th t others ≤≤⎧=⎨⎩ (2) 设输入过程()X t 的功率谱密度为()X S ω,求输出过程()Y t 的功率谱密度。
7. 设输入为白噪声过程()X t ,其自相关函数为0()()X R S τδτ=。
随机信号分析习题四:1. 已知平稳过程()X t 的相关函数如下,试求它的功率谱密度(1) 0()cos ,0a X R ew a τττ-=>(2) 0001,()0,X T T R T ττττ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩2. 设()X t 为一个随机电报波过程,它的一个样本函数如图所示。
已知在任一时刻波形取A +和A -的概率相同,在时间间隔τ内波形变号的次数n 服从参数为λ的泊松分布()(,)!n P n e n λτλττ-=(1) 求()X t 的自相关函数; (2) 求()X t 的功率谱密度函数。
3. 已知平稳过程()X t 和()Y t 的功率谱密度为2424()109X w S w w w +=++242()32Y w S w w w =++求()X t 和()Y t 的自相关函数和均方值。
4. 若()X t 是平稳随机过程,如图所示证明过程()Y t 的功率谱密度为()2()(1cos )Y X S w S w wT =+5. 设()S w 是一个平稳过程的功率谱密度函数,证明22()d S w dw 不可能是平稳过程的功率谱密度函数。
6. 设随机过程()cos()X t a t =Ω+Θ,其中a 为常量,Ω和Θ为相互独立的随机变量,且Θ均匀分布于(0,2)π,Ω的一维概率密度为偶函数,即()()a a f w f w =-,求证()X t 的功率谱密度为2()()X a S w a f w π=7. 设()X t 和()Y t 是联合平稳的。
试证明{}{}Re ()Re ()XY YX S w S w = {}{}Im ()Im ()XY YX S w S w =-8. 给定一个随机过程0()cos()X t A w t =+Θ式中,A 和0w 为常数,Θ为均匀分布于(0,2)π的随机变量 (1) 求()X t 的平均功率; (2) 求()X t 的功率谱密度。
9. 若平稳过程()X t 的功率谱密度为()X S w ,又有0()()cos Y t aX t w t =式中,a 为常数,求功率谱密度()Y S w 。
姓名
年
级
学
院
专业
学
号
密
封
线
内
不
答
题
一.填空题(每空3分共18分) 1.随机信号功率谱的物理意义是 。
2.广义各态历经是指 。
3.白噪声通过理想低通系统后,功率谱为 。
4.希尔伯特变换中系统的冲激响应()h t = 传递函数()H ω= 。
5.随机信号()X t 的解析函信号是 。
二.判断题(每小题3分共15分) 1.随机变量X ,Y 独立,则有()()()E XY E X E Y =。
( ) 2.理想白噪声过程在不同时刻的两个状态独立。
( ) 3.212ττ++可以成为平稳过程的自相关函数。
( ) 4.功率谱密度S ()X ω是实函数并且是偶函数。
( ) 5.实平稳随机过程()X t 通过线性时不变系统的输出为()Y t ,则有 S ()S ()S ()S ()X Y XY YX ωωωω= ( ) 三.(12分)若有一随机变量X ,其概率密度函数为1
()()2ax f t e u t -=。
求:(1)a 的值;
(2)X 的特征函数()X v Φ;
(3)随机变量21Y X =+,求Y 的一阶概率密度函数。
四.(15分)已知随机相位正弦信号()0()cos X t t ωΦ=+
, 0ω为常数,Φ为在[0,2π]内均匀分布的随机变量。
试求:
(1)()X t 的数学期望和自相关函数;
(2)判定 ()X t 是否为平稳过程;
(3)计算()X t 的功率谱密度。
姓名
年
级
学
院
专业
学
号
密
封
线
内
不
答
题
五.(15分)若输入信号00()cos()X t X t ω=++Φ作用于图XX 所示RC 电路,其中0X 为[0,1]上均匀分布的随机变量,Φ为[0,2π]上均匀分布的随机变量,并且0X 与Φ彼此独立。
求输出信号Y(t)的功率谱与相关函数。
六.(15分)复随机过程0()()j t Z t e ω+Φ=,式中0ω为常数,Φ是在(0,2)π上均匀分布的随机变量。
求:(1)[()()]E Z t Z t τ*+和[()()]E Z t Z t τ+;(2)信号的功率谱。
七. (15分) 平稳随机过程()X t 作用到冲激响应分别为1()h t 和2()h t 的
串联系统。
用1()h t 、
2()h t 和()X t 的自相关函数()X R 表示的1()Y t 和2()Y t 的互相关函数,并计算1()Y t 和2()Y t 的功率谱。
)。