考研数学重难点之二阶常系数线性非齐次差分方程的通解分析

二阶常系数非齐次的通解1. 引言非齐次线性微分方程是研究微分方程中的重要内容之一。

二阶常系数非齐次线性微分方程是其中的一类典型问题，其形式为：$$\frac{d^2y}{dt^2}+a\frac{dy}{dt}+by=f(t)$$其中a,b为常数，f(t)为已知函数。

本文将着重讨论这类微分方程的通解。

2. 齐次线性微分方程的通解为了解决非齐次线性微分方程，首先需要求解其对应的齐次方程：$$\frac{d^2y}{dt^2}+a\frac{dy}{dt}+by=0$$其通解可以表示为：$$y_h(t)=c_1e^{r_1t}+c_2e^{r_2t}$$其中，$r_1$，$r_2$为齐次方程的特征根，$c_1$，$c_2$为任意常数。

根据特征根的不同情况，可以将齐次方程分为三类：两个实根、两个虚根、一个实根和一个重根。

分别讨论如下。

2.1 两个实根当齐次方程的特征方程有两个实根$r_1$和$r_2$时，通解为：$$y_h(t)=c_1e^{r_1t}+c_2e^{r_2t}$$此时，$r_1$和$r_2$可以通过特征方程求得：$$r_1,\ r_2=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-4b}}{2}$$如果$a^2<4b$，则$r_1$和$r_2$是两个虚根。

2.2 两个虚根当齐次方程的特征方程有两个虚根时，通解可以表示为：$$y_h(t)=e^{\alpha t}(c_1\cos\beta t+c_2\sin\beta t)$$其中，$\alpha$和$\beta$为实数，可以通过特征方程求得：$$\alpha=-\frac{a}{2},\ \beta=\frac{\sqrt{4b-a^2}}{2}$$ 2.3 一个实根和一个重根当齐次方程的特征方程仅有一个实根$r_1$且其重根时，通解可以表示为：$$y_h(t)=(c_1+c_2t)e^{r_1t}$$其中$c_1$、$c_2$为任意常数。

二阶常系数线性齐次微分方程：＋求非齐次方程通解的方法：先求出与其对应的齐次方程＋的通解特征方程特征根判断①两个不同的实数根通解②两个相同的实数根通解③为一对共轭复根通解：再求原方程的一个特解齐次方程通解＋原方程特解即为原方程的通解＋是一个多项式）：写出原方程对应的特征方程并求解原方程对应的齐次线性方程通解确定原方程特解形式：也是一个次多项式）而的值要通过和特征方程的解确定或求出和，并将代入原方程，确定未知参数，求出特解。

二阶常系数线性齐次微分方程：y″＋py′+qy=f(x)求非齐次方程通解的方法：先求出与其对应的齐次方⇒程y″＋py′+qy=0的通解特征方程r2+pr+q=0⇒特征根r1,r2判断△①△=p2−4q>0⇔r1,r2,两个不同的实数根⇒通解y=C1er1x+C2er2x②△=p2−4q=0⇔r1=r2,两个相同的实数根⇒通解y=(C1+C2x)er1x③△=p2−4q=0⇔r1=α+iβ,r2=α−iβ为一对共轭复根⇒通解：y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)再求原方程的一个特解y∗;齐次方程通解＋原方程特解即为原方程的通解y″＋py′+qy=pm(x)eλx(pm是一个多项式）steps1：写出原方程对应的特征方程r2+pr+q=0并求解⇒原方程对应的齐次线性方程通解steps2:确定原方程特解形式：y∗=xkQm(x)eλx(Qm(x)也是一个m次多项式）
Qm(x)={c∈Rm=0ax+bm=1akxk+ak−1xk−1+⋯+a1x+a0m=k而k的值要通过λ和特征方程的解确定k={0,λ≠r1,r21,λ=r1 或r22,λ=r1=r2steps3:求出y∗′和y″，并将y∗,y∗′,y′代入原方程，确定未知参数，求出特解。

齐次方程通解＋原方程特解即为原方程的通解。

2015考研数学一真题解析：二阶常系数非齐次微分方程解的结构来源：文都教育二阶常系数非齐次微分方程是考研数学重要考点，命题形式包括二阶常系数非齐次微分方程求通解、解得结构定理及已知通解求微分方程，2015考研数学考查了本知识点，题目和解析如下： 设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( )A. 3,2,1=-==-a b cB. 3,2,1===-a b cC. 3,2,1=-==a b cD. 3,2,1===a b c【答案】A【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的逆问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解 【解析】由题意可知，212x e 、13xe -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ）二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构与通解此知识点方法和公式固定，大家只需按解得结构原理和求通解公式按部就班解答就可以了，下面文都考研数学老师帮大家复习一下此知识点。

1.二阶常系数非齐次微分方程定义—形如)(x f qy y p y =+'+''（其中q p ,为常数）的方程。

2.通解的结构—)(x f qy y p y =+'+''的通解为0=+'+''qy y p y 的通解与其本身一个特解之和。

3.特解求法：情形一：)()(x P e x f m x λ= 设方程的特解结构为：()x y e Q x λ*= ①当λ不是特征根时，)()(x Q x Q m =； ②当λ是特征单根时， )()(x xQ x Q m =；③当λ是特征重根时，)()(2x Q x x Q m =． 情形二：]sin )(cos )([)(x x R x x P e x f n L x ωωλ+= 设特解结构为 ：[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x S x x λωω*=+，其中},{n L Max m =， ①当i ωλ+不是特征方程的根时，0=k ；②当i ωλ+是特征方程的根时，1=k ； 代入原方程求出多项式(),()m m R x S x 的系数即可．。