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二阶常系数非齐次的通解1. 引言非齐次线性微分方程是研究微分方程中的重要内容之一。
二阶常系数非齐次线性微分方程是其中的一类典型问题，其形式为：$$\frac{d^2y}{dt^2}+a\frac{dy}{dt}+by=f(t)$$其中a,b为常数，f(t)为已知函数。
本文将着重讨论这类微分方程的通解。
2. 齐次线性微分方程的通解为了解决非齐次线性微分方程，首先需要求解其对应的齐次方程：$$\frac{d^2y}{dt^2}+a\frac{dy}{dt}+by=0$$其通解可以表示为：$$y_h(t)=c_1e^{r_1t}+c_2e^{r_2t}$$其中，$r_1$，$r_2$为齐次方程的特征根，$c_1$，$c_2$为任意常数。
根据特征根的不同情况，可以将齐次方程分为三类：两个实根、两个虚根、一个实根和一个重根。
分别讨论如下。
2.1 两个实根当齐次方程的特征方程有两个实根$r_1$和$r_2$时，通解为：$$y_h(t)=c_1e^{r_1t}+c_2e^{r_2t}$$此时，$r_1$和$r_2$可以通过特征方程求得：$$r_1,\ r_2=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-4b}}{2}$$如果$a^2<4b$，则$r_1$和$r_2$是两个虚根。
2.2 两个虚根当齐次方程的特征方程有两个虚根时，通解可以表示为：$$y_h(t)=e^{\alpha t}(c_1\cos\beta t+c_2\sin\beta t)$$其中，$\alpha$和$\beta$为实数，可以通过特征方程求得：$$\alpha=-\frac{a}{2},\ \beta=\frac{\sqrt{4b-a^2}}{2}$$ 2.3 一个实根和一个重根当齐次方程的特征方程仅有一个实根$r_1$且其重根时，通解可以表示为：$$y_h(t)=(c_1+c_2t)e^{r_1t}$$其中$c_1$、$c_2$为任意常数。
二阶常系数线性齐次微分方程：＋求非齐次方程通解的方法：先求出与其对应的齐次方程＋的通解特征方程特征根判断①两个不同的实数根通解②两个相同的实数根通解③为一对共轭复根通解：再求原方程的一个特解齐次方程通解＋原方程特解即为原方程的通解＋是一个多项式）：写出原方程对应的特征方程并求解原方程对应的齐次线性方程通解确定原方程特解形式：也是一个次多项式）而的值要通过和特征方程的解确定或求出和，并将代入原方程，确定未知参数，求出特解。
二阶常系数线性齐次微分方程：y″＋py′+qy=f(x)求非齐次方程通解的方法：先求出与其对应的齐次方⇒程y″＋py′+qy=0的通解特征方程r2+pr+q=0⇒特征根r1,r2判断△①△=p2−4q>0⇔r1,r2,两个不同的实数根⇒通解y=C1er1x+C2er2x②△=p2−4q=0⇔r1=r2,两个相同的实数根⇒通解y=(C1+C2x)er1x③△=p2−4q=0⇔r1=α+iβ,r2=α−iβ为一对共轭复根⇒通解：y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)再求原方程的一个特解y∗;齐次方程通解＋原方程特解即为原方程的通解y″＋py′+qy=pm(x)eλx(pm是一个多项式）steps1：写出原方程对应的特征方程r2+pr+q=0并求解⇒原方程对应的齐次线性方程通解steps2:确定原方程特解形式：y∗=xkQm(x)eλx(Qm(x)也是一个m次多项式）
Qm(x)={c∈Rm=0ax+bm=1akxk+ak−1xk−1+⋯+a1x+a0m=k而k的值要通过λ和特征方程的解确定k={0,λ≠r1,r21,λ=r1 或r22,λ=r1=r2steps3:求出y∗′和y″，并将y∗,y∗′,y′代入原方程，确定未知参数，求出特解。
齐次方程通解＋原方程特解即为原方程的通解。
2015考研数学一真题解析：二阶常系数非齐次微分方程解的结构来源：文都教育二阶常系数非齐次微分方程是考研数学重要考点，命题形式包括二阶常系数非齐次微分方程求通解、解得结构定理及已知通解求微分方程，2015考研数学考查了本知识点，题目和解析如下： 设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( )A. 3,2,1=-==-a b cB. 3,2,1===-a b cC. 3,2,1=-==a b cD. 3,2,1===a b c【答案】A【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的逆问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解 【解析】由题意可知，212x e 、13xe -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ）二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构与通解此知识点方法和公式固定，大家只需按解得结构原理和求通解公式按部就班解答就可以了，下面文都考研数学老师帮大家复习一下此知识点。
1.二阶常系数非齐次微分方程定义—形如)(x f qy y p y =+'+''（其中q p ,为常数）的方程。
2.通解的结构—)(x f qy y p y =+'+''的通解为0=+'+''qy y p y 的通解与其本身一个特解之和。
3.特解求法：情形一：)()(x P e x f m x λ= 设方程的特解结构为：()x y e Q x λ*= ①当λ不是特征根时，)()(x Q x Q m =； ②当λ是特征单根时， )()(x xQ x Q m =；③当λ是特征重根时，)()(2x Q x x Q m =． 情形二：]sin )(cos )([)(x x R x x P e x f n L x ωωλ+= 设特解结构为 ：[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x S x x λωω*=+，其中},{n L Max m =， ①当i ωλ+不是特征方程的根时，0=k ；②当i ωλ+是特征方程的根时，1=k ； 代入原方程求出多项式(),()m m R x S x 的系数即可．。
考研高等数学重难点的解析考研高等数学重难点的解析我们在准备考研数学的复习时，需要把高等数学的重难点知识掌握好。
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考研高等数学知识点的总结高等数学：从科目上看，从数一到数三，分量最重的都是高等数学，它在数一、数三中占了56%，在数二中更是占了百分之78%，因此科目上的重头戏在高数。
通过对2013考研数学考纲以及历年真题的分析，新东方在线的老师对高数的重难点进行了梳理、总结：一、函数、极限、连续部分：极限的运算法则、极限存在的准则(单调有界准则和夹逼准则)、未定式的极限、主要的等价无穷小、函数间断点的判断以及分类，还有闭区间上连续函数的性质(尤其是介值定理)，这些知识点在历年真题中出现的概率比较高，属于重点内容，但是很基础，不是难点，因此这部分内容一定不要丢分。
二、微分学部分：主要是一元函数微分学和多元函数微分学，其中一元函数微分学是基础亦是重点。
一元函数微分学，主要掌握连续性、可导性、可微性三者的关系，另外要掌握各种函数求导的方法，尤其是复合函数、隐函数求导。
微分中值定理也是重点掌握的内容，这一部分可以出各种各样构造辅助函数的证明，包括等式和不等式的证明，这种类型题目的技巧性比较强，应多加练习。
函数的凹凸性、拐点及渐近线，也是一个重点内容，在近几年考研中常出现。
曲率部分，仅数一考生需要掌握，但是并不是重点，在考试中很少出现，记住相关公式即可。
多元函数微分学，掌握连续性、偏导性、可微性三者之间的关系，重点掌握各种函数求偏导的方法。
多元函数的应用也是重点，主要是条件极值和最值问题。
方向导数、梯度，空间曲线、曲面的切平面和法线，仅数一考生需要掌握，但是不是重点，记忆相关公式即可。
三、积分学部分：一元函数积分学的一个重点是不定积分与定积分的计算。
这个对于有些来说可能不难，但是要想用简便的方法解答还是需要多花点时间的。
在计算过程中，会用到不定积分/定积分的基本性质、换元积分法、分部积分法。
求二阶线性常系数非齐次微分方程通解的方法摘要：二阶线性常系数非齐次微分方程在常微分方程的理论和应用中占有重要地位，本文提出了三种解法。
一种是课本介绍的常数变易法，先求得对应的齐次微分方程的基本解组，然后求非齐次方程的通解；第二种是对某些特殊类型的非齐次方程，可以运用比较系数法方便求解；第三种是在先求得对应的齐次微分方程一个特解的情况下，将二阶线性常系数非齐次微分方程转化为可降阶的微分方程，得出了一种运算量较小的二阶线性常系数非齐次微分方程通解的一般公式，并用实例证明该方法是可行的。
关键词：二阶常系数非齐次微分方程;通解；特解；基本解组1.引言微分方程和日常生活联系是比较紧密的，在一些天文学、力学、人口发展模型、交通流模型等的求解过程中，经常会导出微分方程。
而二阶常系数线性微分方程作为一类最基础最重要的微分方程，探讨求出它通解的方法就显得至关重要。
本文给出的三种求解二阶线性常系数非齐次微分方程的方法中，常数变易法和降阶法可方便地求出一般方程通解，但要求被积函数可积，当被积函数不可积时可采用数值解法，本文不作详述。
2. 二阶线性常系数非齐次微分方程设二阶线性常系数非齐次微分方程：)(x f qy y p y =+'+'' (1)其中q p ,为实常数, )(x f 为其定义域内连续函数。
则方程(1)对应的齐次线性方程为：y ''0=+'+qy p (2)本文给出了三种求解二阶线性常系数非齐次微分方程的方法： 2.1常数变易法由线性微分方程的相关知识可知，如果已知(1)对应的齐次线性微分方程(2)的基本解组，那么非齐次线性微分方程的任一解可由求积得到。
因此，求非齐次线性微分方程(1)的通解，关键是求出齐次线性微分方程的基本解组。
下面介绍的常数变易法对于高阶线性常系数非齐次微分方程也适用。
考虑n 阶线性常系数非齐次微分方程 ：)(1)1(1)(x f y p y p yp y n n n n =+'+++-- (3) 2.1.1求基本解组对于常系数线性微分方程(3)，有一种求基本解组的方法——欧拉待定指数函数法（又称为特征根法）。
差分方程的解法及应用随着科学技术的不断进步，人类对于数学这一学科的探索和研究也越来越深入。
在数学的众多分支中，差分方程是一种重要的数学工具。
它具有广泛的应用领域，比如利用差分方程可以对物理、化学、生态学和经济学等领域中的一些现象进行建模和预测。
一、差分方程的定义与类型差分方程是一种描述序列之间关系的数学工具。
简单来说，差分方程就是一种具有递推性质的方程。
通过对序列中前一项和后一项之间的差值进行分析，差分方程可以对序列之间的关系进行确定。
根据差分方程的形式，我们可以将其分为线性差分方程和非线性差分方程两种类型。
线性差分方程通常可以表示为：$$a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+···+c_ka_{n-k}+F(n)$$其中，$a_n$表示数列中第n项的值，$F(n)$为非齐次项，$c_1,c_2,...,c_k$为系数。
非线性差分方程则不具有这种明显的简洁形式，但是常常可以利用变量代换的方法将其转化为线性差分方程的形式求解。
二、差分方程的求解方法差分方程的解法依赖于方程的类型和系数，不同的差分方程往往需要使用不同的方法进行求解。
1.一阶线性差分方程一阶线性差分方程的形式通常为：$$a_n=c·a_{n-1}+F(n)$$其中，$c$为常数，$F(n)$为非齐次项。
为求解这种类型的差分方程，我们可以采用欧拉定理，得到方程的通解为：$$a_n=A·c^n+\frac{F(n)}{1-c}$$其中$A$是待定系数。
2.二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程的形式通常为：$$a_n=c_1·a_{n-1}+c_2·a_{n-2}+f(n)$$其中$c_1,c_2$为常数，$f(n)$为非齐次项。
为了求解这种类型的差分方程，我们需要先找到其特征方程：$$\lambda^2-c_1\lambda-c_2=0$$然后，我们可以根据该特征方程的根以及非齐次项来计算该方程的通解。
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题大家好，今天我们来探讨一下二阶常系数非齐次线性微分方程的解法及一些例题。
我们要明白什么是二阶常系数非齐次线性微分方程。
简单来说，就是一个未知函数y与其导数y关于t的关系式，形式如下：dy/dt + A*y = B*exp(ct)其中，A、B、c是已知常数，t是自变量。
这个方程的解法有很多种，但是我们今天主要讨论两种方法：一种是分离变量法，另一种是特征线法。
我们来看一下分离变量法。
分离变量法的基本思想是把未知函数y看作两个函数的和，一个是指数函数e^(ct),另一个是线性函数y(t)。
这样一来，我们就可以用积分的方法求解这个方程了。
具体步骤如下：1. 把方程改写为：e^(ct) = y(t) B/A*ln|y(t)|2. 对两边取对数：ln|y(t)| = ct ln|y(t)| ln(B/A)3. 对上式两边求积分：∫[0,∞] ln|y(t)| dt = ∫[0,∞] (ct ln|y(t)| ln(B/A)) dt4. 根据积分公式和性质，我们可以得到：y(t) * e^(-bt) = B/A * e^(-bt) * |y(t)|^n + C,其中n是一个待定常数5. 通过比较系数，我们可以得到：y(t) = (B/A)^n * |y(t)|^n6. 这样我们就得到了二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解。
接下来，我们可以通过凑特解的方法得到原方程的通解。
下面我们来看一下特征线法。
特征线法的基本思想是找到一个特征线，使得它与原方程有相同的极值点。
具体步骤如下：1. 对于特征线l:y = x + c,代入原方程得：x + c = x + A*y B*exp(ct) => A*y =B*exp(ct) + c => y = (B/A)*exp(ct) + c/A2. 由于特征线l与原方程有相同的极值点，所以我们可以得到原方程的通解为：y = (B/A)^n * exp(ct) + c/A * (x x0)^n3. 其中，x0是特征线的交点的横坐标，n是待定常数。
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题嘿，伙计们！今天我们来聊聊一个非常有趣的话题——二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题。
让我给你简单解释一下这个概念。
你知道吗，微分方程就像是一个神秘的世界，里面有很多奇妙的现象。
而二阶常系数非齐次线性微分方程就是这个世界里的一个谜题。
它的意思是说，这个方程有两个未知数，其中一个未知数的最高次数是2,而且方程中没有齐次项。
听起来好像很难懂，但别担心，我会用最简单的语言来解释给你听。
我们来看一个例子。
假设我们有一个问题：求解下面的二阶常系数非齐次线性微分方程：y'' + 3y' + 2y = x^2这个问题看起来很复杂，但是我们可以用一种叫做“分离变量”的方法来解决。
具体步骤如下：1. 我们把方程中的x^2移到等式左边，得到一个新的方程：y'' + 3y' + 2y x^2 = 02. 然后，我们把这个新方程看作是一个关于y的二次方程。
为了求解这个二次方程，我们可以先求出它的两个根，分别是y1和y2。
3. 我们根据这两个根和原方程的关系，就可以求出x的值。
这个方法虽然看起来有点复杂，但是其实很简单。
只要你掌握了这种方法，就可以轻松地解决很多类似的问题。
当然啦，还有很多其他的方法可以用来解决二阶常系数非齐次线性微分方程，比如“积分因子法”等等。
但是我觉得，还是分离变量的方法最简单、最直观。
好了，现在我们已经知道了如何解决二阶常系数非齐次线性微分方程的问题。
接下来，我要给你讲一个有趣的故事。
从前，有一个叫小明的小男孩，他非常喜欢学习数学。
有一天，他在家里发现了一本旧书，里面记载了很多神奇的数学知识。
其中就包括了二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。
小明觉得这个方法非常神奇，于是决定试着去解决一些实际问题。
有一天，小明的爷爷给他出了一道难题：求解下面的二阶常系数非齐次线性微分方程：y''' + 6y'' + 4y' + 3y = x^3小明看了看这个方程，觉得非常有挑战性。
二阶常系数非齐次微分方程的通解要求给出二阶常系数非齐次微分方程的通解，我们先来回顾一下二阶常系数齐次微分方程的通解形式。
对于二阶常系数齐次微分方程：$$\frac{d^2y}{dt^2}+a\frac{dy}{dt}+by=0$$我们可以设其解为$y=e^{rt}$，其中$r$为待定常数。
将$y=e^{rt}$代入上式，得到：$$r^2e^{rt}+are^{rt}+be^{rt}=0$$化简上式，可得：$$r^2+ar+b=0$$这是一个二次方程，我们可以使用求根公式来解得$r_1$和$r_2$。
对于$r_1$和$r_2$为实数的情况，通解形式为：$$y=c_1e^{r_1t}+c_2e^{r_2t}$$其中$c_1$和$c_2$为待定常数。
对于$r_1$和$r_2$为复数的情况，通解形式为：$$y=e^{at}(c_1\cos(bt)+c_2\sin(bt))$$其中$c_1$和$c_2$为待定常数。
接下来我们来讨论二阶常系数非齐次微分方程的通解形式。
对于非齐次微分方程：$$\frac{d^2y}{dt^2}+a\frac{dy}{dt}+by=f(t)$$其中$f(t)$为已知函数，我们首先要找到它的一个特解。
特解可以通过猜测的方法或变异参数法求得。
当特解已知时，我们可以将其带入原方程，然后设通解为特解加上齐次方程的通解。
设特解为$y_p$，齐次方程的通解为$y_c$，则原方程的通解可以表示为：$$y=y_c+y_p$$接下来，我们讨论特解的求解方法。
1.猜测方法：根据非齐次项的形式，我们可以猜测特解的形式，然后将其带入原方程，求解得到特解。
常用的猜测形式有：多项式、指数函数、三角函数、幂函数等。
2.变异参数法：假设特解为$y_p=u(t)y_c$，其中$y_c$为齐次方程的通解，$u(t)$为待定函数，代入原方程得到：$$\frac{d^2(u(t)y_c)}{dt^2}+a\frac{d(u(t)y_c)}{dt}+b(u(t)y_c)=f(t)$$化简后，整理得到：$$y_c\left[\frac{d^2u(t)}{dt^2}+a\frac{du(t)}{dt}+bu(t)\right]+\left[\frac{d^2y_c}{dt^2}+a\frac{dy_c}{dt}+by_c\right]u(t) =f(t)$$由于$\frac{d^2y_c}{dt^2}+a\frac{dy_c}{dt}+by_c=0$，所以上式可化简为：$$y_c\left[\frac{d^2u(t)}{dt^2}+a\frac{du(t)}{dt}+bu(t)\right] = f(t)$$我们可以通过选择合适的$u(t)$，使得$\frac{d^2u(t)}{dt^2}+a\frac{du(t)}{dt}+bu(t)$为一常数或一个已知函数。
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题在学习高等数学的过程中，二阶常系数非齐次线性微分方程是一个重要的知识点。
理解和掌握它的解法，对于解决许多实际问题和理论研究都具有重要意义。
首先，我们来了解一下二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式：＄y'＇＋ py' ＋ qy ＝ f(x)＄，其中$p$、＄q$是常数，＄f(x)＄是一个已知函数。
其解法的关键在于先求出对应的齐次方程的通解，然后再求出非齐次方程的一个特解，最终将两者相加得到非齐次方程的通解。
对于齐次方程$y'＇＋ py' ＋ qy ＝ 0$，我们可以通过特征方程$r^2＋ pr ＋ q ＝ 0$来求解。
特征方程的根有三种情况：1、两个不相等的实根$r_1$和$r_2$，此时齐次方程的通解为$y_c＝ C_1e^｛r_1x} ＋ C_2e^｛r_2x}＄。
2、两个相等的实根$r$，通解为$y_c ＝（C_1 ＋C_2x)e^｛rx}＄。
3、一对共轭复根$＼alpha ＼pm ＼beta i$，通解为$y_c ＝ e^｛＼alpha x}（C_1\cos\beta x ＋ C_2\sin\beta x)＄。
接下来，我们重点讨论如何求非齐次方程的特解。
根据$f(x)＄的形式，通常使用待定系数法来求解。
常见的$f(x)＄形式有以下几种：1、＄f(x) ＝ P_n(x)e^｛＼lambda x}＄，其中$P_n(x)＄是$x$的$n$次多项式。
若$＼lambda$不是特征根，设特解为$y_p ＝ Q_n(x)e^｛＼lambda x}＄，其中$Q_n(x)＄是与$P_n(x)＄同次的待定多项式。
若$＼lambda$是特征方程的单根，设特解为$y_p ＝ xQ_n(x)e^｛＼lambda x}＄。
若$＼lambda$是特征方程的重根，设特解为$y_p ＝ x^2Q_n(x)e^｛＼lambda x}＄。
2、＄f(x) ＝ e^｛＼lambda x}P_l(x)＼cos\omega x ＋ Q_m(x)＼sin\omega x$若$＼lambda ＼pm ＼omega i$不是特征根，设特解为$y_p ＝ e^｛＼lambda x}R_{l+m}（x)＼cos\omega x ＋ S_{l+m}（x)＼sin\omegax$，其中$R_{l+m}（x)＄和$S_{l+m}（x)＄是与$P_l(x)＄和$Q_m(x)＄同次的待定多项式。
2018考研数学重难点之二阶常系数线性非齐次差分方程的通解分析
差分方程除了用于对离散变量建立离散数学模型外，也可用于将连续变量及其连续数学模型离散化，换句话说，就是将微分方程离散化为差分方程，这对于难以求出精确解的微分方程来说具有重要的作用，事实上微分方程的数值解法就是如此，它通过差分方程来求出微分方程的近似解。
下面本文对二阶常系数线性非齐次差分方程的求解方法做些分析总结，供有兴趣的2018考研的同学拓展思路参考。
一、二阶常系数线性非齐次差分方程的通解
从前面的分析我们看到，二阶常系数线性非齐次差分方程的通解与二阶常系数线性非齐次微分方程的通解有非常相似的结论，比如其通解都是其特解与对应齐次方程的通解之和，而齐次方程的通解可以通过特征根求出，对于几类常见的自由项blob.png类型，包括：多项式、指数函数及二者乘积，其相应差分方程的特解也与微分方程的情形很类似，当然，二者还是有有些差别的，这一点希望大家注意。
