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3 高阶线性微分方程解的结构

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第-节 高阶线性微分方程【高等数学PPT课件】

第-节 高阶线性微分方程【高等数学PPT课件】

其中 k按 i 不是特征根,是单根依次取0,1.
m maxl, n
Rm ( x),Qm ( x) 都是x的m次多项式, 其系数待定.
例4 设 y 5 y 6 y f ( x)
(1) f ( x) sin x 写出 y 的形式.
(2) f ( x) x cos x
Pm ( x) 为x的m次多项式. 其中 为常数,
分析： 设 y Q( x)ex 是原方程的解，则代入
原方程，整理得
Q (2 p)Q (2 p q)Q Pm ( x) ()
综上，对 f ( x) Pm ( x)ex 型
令 y x kQm ( x)ex
y p1( x) y p2 ( x) y f1( x) f2 ( x) 的特解.
定理5 若 y1( x), y2( x) 是方程(10)的两个解, 则 y1( x) y2( x) 是方程(9)的解.
例3 设 y1 x, y2 x 2 , y3 x3 是方程 y p1( x) y p2( x) y f ( x)
定理2 若 y1( x), y2( x)是方程(9)的两个线性无关
( y1 y2

常数) 的解,
则 C1 y1( x) C2 y2( x) 是 (9)的通解.
上述定理可推广到n阶线性齐次方程。
若已知方程 y p1( x) y p2( x) y 0 有一特解 y1( x), 要求其通解, 则只要再求出该方程的另一个与 y1( x) 线性无关的特解 y2 ( x) 即可. 用降阶法求 y2( x) :
第四节 高阶线性微分方程 二、线性齐次微分方程解的结构
二阶线性齐次微分方程：
y p1( x) y p2( x) y 0 ——（9） 定理1 若 y1( x), y2( x) 是方程(9)的两个解, 则
高阶线性微分方程解的结构

高阶线性微分方程解的结构


特解的求解方法
总结词
求解高阶线性微分方程的特解通常采用常数 变易法、分离变量法、幂级数法等。
详细描述
常数变易法是通过将高阶微分方程转化为等 价的积分方程，然后求解积分得到特解的方 法。分离变量法适用于具有分离变量形式的 高阶线性微分方程，通过将方程拆分为若干 个一阶微分方程来求解特解。幂级数法是将 高阶微分方程转化为幂级数形式的等价方程
稳定性性质
稳定性具有相对性，即一个方程的解在某个 参照系下是稳定的，在另一个参照系下可能 是不稳定的。
稳定性的判断方法
代数法
通过对方程进行整理和化简，利用代数性质判断其稳定性。
图形法
通过绘制方程的解曲线，观察其随时间变化的趋势，判断其稳定性。
比较法
通过比较两个方程的解，利用已知方程解的稳定性判断另一个方程 的解的稳定性。
定义
高阶线性微分方程的通解是指满足方程的任意常数变动的解。
性质
通解具有任意常数可加性和乘性，即通解可以表示为任意常数与基础解系的线性组合。
通解的求解方法
分离变量法
01
通过将方程转化为多个一阶微分方程来求解。
积分法
02
通过对方程两边积分来求解。
幂级数法
03
通过构造幂级数来求解高阶微分方程。
通解的表示形式
高阶线性微分方程解 的结构
目录
CONTENTS
• 高阶线性微分方程的基本概念 • 高阶线性微分方程的通解 • 高阶线性微分方程的特解 • 高阶线性微分方程解的结构 • 高阶线性微分方程的稳定性
01 高阶线性微分方程的基本 概念
高阶线性微分方程的定义
定义
高阶线性微分方程是形如$y^{(n)}(x) + a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x) + cdots + a_1(x)y'(x) + a_0(x)y(x) = 0$的微分 方程，其中$y^{(n)}(x)$表示函数$y(x)$的$n$阶导数。
2.线性微分方程解的结构

2.线性微分方程解的结构


推广 yi(： x)(i 若 1 ,2, .n)是 n阶齐线性微
y ( n ) p 1 ( x ) y ( n 1 ) p n 1 ( x ) y p n ( x ) y 0 ..( .2 ..) .
n
的解，则它们的线性组合 y(x) ciyi(x) 也是方程 (2) 的解。 i1
当且 c1c 仅 20时 当， c 1 y 1 (x 才 ) c 2 y 2 ( 有 x ) 0 ,x I， 则 y1(x)与 y2(x)在区 I上 间线性无关。
定义: 设 y 1 ( x ) y 2 ( , x ) , , y n ( x ) 是定义在区间 I 上的 n 个函数, 若存在不全为 0 的常数 k1,k2, ,kn,使得
由e x 函 的数 e 特 x (e x ) 点 (e x ) ： ， 即 可
例 1 .求(x 方 1 )y x 程 y y 0 的通解。
解： (x 1 因 ) x 1 为 0 ，所以，
yex是原方程的一个解。
又容易看出：yx 也是原方程的一个解。
利用y： 1(x) y2(x)
常数 y1(x)、 y2(x)线性无关
( 2 ) 若 1 P ( x ) Q ( x ) 0 , 则yex是它的一个; 特解 ( 3 ) 若 1 P ( x ) Q ( x ) 0 , 则yex是它的一个 ; 特
(4 )若 h (x ) p (x ) q (x ) 0 ，则方程
h ( x ) y p ( x ) y q ( x ) y 0 , 则yex是它的一个; 特解
第四节 二阶常系数线性微分方程
一、高阶线性微分方程的一般理论 二、二阶常系数齐线性微分方程的解 三、二阶常系数非齐线性微分方程的解
高阶线性微分方程的一般理论
线性微分方程解的结构

线性微分方程解的结构

c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x) ≡ 0 x∈I ，
上线性无关。 则 y1 ( x) 与 y2 ( x) 在区间 I 上线性无关。
例
证
证明： cos 线性无关的。 证明： x 与 sin x 在任何一个区间上均为 线性无关的。
上线性相关， 若 cos x 与 sin x 在某区间 I 上线性相关，则存在不 全为零
π
2
) 上线性无关。 上线性无关。
(3) 二阶齐线性微分方程解的结构 定理 1 若 y1 ( x)、y2 ( x) 是二阶齐线性方程
y′′ + p ( x) y′ + q( x) y = 0
的两个线性无关的解， 的两个线性无关的解，则
(2)
y ( x) = c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x)
x ex W [ x, e x ] = = e x ( x − 1) ， 1 ex
从而， 线性无关。 由题意 x ≠ 1，故 W [ x, e x ] ≠ 0，从而，x 与 e x 线性无关。
由叠加原理， 由叠加原理，原方程的通解为
y = C1 x + C2 e x 。
问题： 问题：
的一个解， 如果已知 y1 ( x) 是方程 y′′ + p( x) y′ + q ( x) y = 0 的一个解， 如何求出方程的一个与 y1 ( x) 线性无关的解 y2 ( x) ?
怎么做？
′ y1 z ′ + (2 y1 + p ( x) y1 ) z = 0。
即 故有
z′ +
′ 2 y1 + p ( x) y1 z = 0。 y1
−
关于 z 的一阶线性方程
3 高阶线性微分方程解的结构

3 高阶线性微分方程解的结构


情形2. 仅知③的齐次方程的一个非零特解 y1(x).
令 y u(x) y1(x), 代入 ③ 化简得 y1 u (2y1 P y1)u ( y1 P y1 Q y1)u f 令 z u
y1 z (2 y1 P y1) z f (一阶线性方程)
三、线性非齐次方程解的结构
定理 3. 设 y * (x) 是二阶非齐次方程
①
的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 则
y Y (x) y *(x)
②
是非齐次方程的通解 .
证: 将 y Y (x) y *(x) 代入方程①左端, 得
(Y y *) P(x) (Y y *) Q(x) (Y y *)
必需全为 0 ,
在任何区间 I 上都 线性无关.
两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:
线性相关
存在不全为 0 的
使
线性无关 线性无关
y1(x) k2 y2 (x) k1
( 无妨设
k1 0 )
y1 ( x) y2 ( x)
常数
(证明略)
思考:
中有一个恒为 0, 则
必线性 相关
解得 v1 1, v2 x ex , 积分得 v1 C1 x, v2 C2 (x 1) ex
故所求通解为 y C1x C2 ex (x2 x 1) C1x C2ex (x2 1)
例6. 求方程 x2 y (x 2) (x y y) x4的通解.
定义: 设 y1(x), y2 (x),, yn (x) 是定义在区间 I 上的
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数
使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关.
高阶线性方程解析

高阶线性方程解析

r1 r2 r3 r4 0, r5 1 原方程通解: y C1 C2 x C3x2 C4 x3 C5ex
推广 目录 上页 下页 返回 结束
例.
解方程
d4 w dx4
4w
0
(
0 ).
解: 特征方程:
(r2 2)2 2 2r2 0
即 ( r 2 2 r 2 )( r 2 2 r 2 ) 0
一、求通解 练 习 题
(提示:
线性无关的解)
三、降阶法与常数变易法
y P( x) y Q( x) y 0
(1)
1.已知齐次线性方程一个解,求与之线性无关的特解
代入(1)式, 得
解出 u(x) 得到 y2 通解为 (注：u(x)中不含常数)
y P( x) y Q( x) y 0
(1)
其根为
r1, 2
( 1 i ),
2
r3 , 4
(1i )
2
方程通解 :
we
x
2 ( C1 cos
2
x
C2
sin
x)
2
e
x
2 ( C3 cos
2
x
C4
sin
x)
2
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例. 解方程 y(4) 2 y y 0 .
解: 特征方程: r 4 2 r 2 1 0 即 (r2 1)2 0
一、概念的引入
例: 一弹簧下挂一重物, 使物体具有初始速
度
物体便离开平衡位置O,上下振动.
确定物体的振动规律
解 受力分析
物体自由振动的微分方程
2、 y py qy 0 的解法
特征方程法
将其代入上方程, 得
高阶线性微分方程解的结构

高阶线性微分方程解的结构

本文详细探讨了高阶线性微分方程解的结构。首先，对于线性齐次方程，文档阐述了其解的结构，并引入了函数的线性相关与线性无关概念，进而讨论了线性无关特解与通解的关系。通过定理和推论，展示了如何由线性无关特解构造出方程的通解。其次，对于线性非齐次方程，文档揭示了其解的结构，即一个特解与相应齐次方程通解的组合形式，并通过定理证明了这Байду номын сангаас结构的正确性。此外，还介绍了非齐次方程解的叠加原理，以及如何将相关定理推广到n阶线性非齐次方程。最后，文档介绍了常数变易法，这是一种求解非齐次方程的有效方法，通过将其解设为特定形式，并代入原方程确定未知函数，从而得到非齐次方程的通解。整个过程中，文档通过丰富的举例和严谨的证明，使读者能够深入理解线性常微分方程解的结构及其求解方法。
阶线性微分方程解的结构与通解性质

阶线性微分方程解的结构与通解性质


稳定性应用举例
控制系统设计
在控制系统中，稳定性是至关重要的指标。通过设计控制器使 得系统达到稳定状态，可以确保系统的正常运行和安全性。
生态学研究
在生态学中，研究生物种群的动态变化时，稳定性是一个重要概念。通过 分析种群的稳定性，可以预测种群的发展趋势和制定相应的保护措施。
经济学分析
在经济学中，稳定性与经济增长、通货膨胀等宏观经济指标密切相关 。通过分析经济系统的稳定性，可以为政策制定者提供决策依据。
微分方程是描述自然现象、工程技术和社会科学等领域中变量间关系的数 学模型。
微分方程按照自变量个数可分为常微分方程和偏微分方程，其中常微分方 程研究一个自变量的函数与其导数之间的关系。
微分方程在物理学、化学、生物学、经济学等领域有广泛应用。
线性微分方程定义
线性微分方程是指关于未知函数及其各 阶导数都是一次方的方程，即方程中不 会出现未知函数及其导数的二次及以上 的项。
高阶线性微分方程的通解表达式较为复杂， 一般通过特征方程、比较系数等方法求解。
通解性质分析
唯一性
对于给定的初始条件，线性微分方程的通解是唯一的。
叠加性
若y1和y2分别是线性微分方程对应于f1(x)和f2(x)的特解，则 y=c1y1+c2y2（c1、c2为任意常数）也是该方程的解。
齐次性
若y1和y2是齐次线性微分方程的解，则它们的线性组合c1y1+c2y2 （c1、c2为任意常数）也是该方程的解。
积分因子法
通过构造一个积分因子$mu(x) = e^{int p(x)dx}$，将原方程转化为$mu(x)y' + mu(x)p(x)y = mu(x)q(x)$，即 $(mu(x)y)' = mu(x)q(x)$，然后两边积分得到通解。
高阶线性微分方程

高阶线性微分方程


"丿第51讲高阶线性微分方程一一线性方程解的结构
二阶齐次线性微分方程
y" + p(x)y' + q(x)y = 0
(*)
定理1若函数和y2(x)是二阶齐次线性方程(*)的两个解, 则它们的线
性组合y =。1无3) +。2光3 )也是该方程的解，其中 和C2是任意常
数.--叠加原理
(CM ++ P(Gyi + C2y^ + q(Ciyi + C2y-^
例1 (1)函数1, COs2的sin2%在整个实轴冊上是线性相关的函数.
(2)函数1, x, x2在任何区间QM)都是线性无关的.
＞两个函数在区间/上线性相关与线性无关的充要条件： %3)，，2(乂)线性相关 存在不全为0的k 1, k2,使
313) + *2,2 3)三 0
% 3) 短 ，亠
布三—稣(无妨设* 1葺)
1)+ …+ Qn_i(x)y' + Qn3)y = f(x) 二阶
线性微分方程
y〃 + p(x)y' + q(x)y = f(x)
— 「 、 「一阶线性方程y' + p(x)y = q(x)的通解为：
[p(X)dX -[p(X)dX
/
[p(X)dX y =
Ce， + q(X)e dX
ft
____
齐次方程通解丫 非齐次方程特解y *
=(。1无"+。2,2〃) + 0(Ciyi' +。2、2‘) + q(Cl、l +。2、2)
B=+ py/ + qyi) + py^ + q，2)= o
微分方程要点概要

微分方程要点概要


4、 全微分方程（恰当方程 ）
M N M x, y dx N x, y dy 0, 其中 y x
必存在 F x, y 满足 dF x, y M x, y dx N x, y dy 可得解： F x, y c
或选折线 x0 , y0 x, y0 x, y 积分，得
x M x, y0 dx y N x, y dy c
0 0
x
y
若存在 x, y 使 (M )dx (N )dy 0 为全微分方程, 则称 ( x, y) 为积分因子。
由 M N , 得 y M M y x N N x y x
a1 x b1 y c1 dy 2、 f dx a2 x b2 y c2 a1 b1 若 , 令 u a2 x b2 y c2 a2 b2 a1x b1 y c1 0 a1 b1 若 , 先解 得唯一解 x0 , y0 a2 b2 a2 x b2 y c2 0 x X x0 dY Y 再令 , 原方程化为 g dX X y Y y0
(1) ( 2) y x k ex [ Rm ( x) cosx Rm ( x) sin x]
0 , 若 i 不是特征根； 其中k １ ， 若 i 是特征根．
R ( x) , R ( x) 为两ｍ次多项式， m maxl , n
(1) m ( 2) m
６、特殊代换
二、可降阶的高阶微分方程
一般 F x, y, y, y 0, 其中可求解形式为 y f x, y, y
1、 yn f x : 积分 n 次.
高阶线性微分方程解的结构-文档资料

高阶线性微分方程解的结构-文档资料

2 2 1 ,cos x ,sin x ,在( , )上都有 例如，
k y ( x ) k y ( x ) k y ( x ) 0 , x I 1 1 2 2 n n
2 2 1 cos x sin x 0
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
2 又如， 1, x , x2, 若在某区间 I 上 k k x k x 0 , 1 2 3
第十二章
是二阶线性齐次方程的两个线 y ( x ), y ( x ) 定理 2. 若 1 2
数) 是该方程的通解. (自证) 有特解 y sin x ,且 cos x ,y y 0 例如, 方程 y 2 1 y2 故方程的通解为 tan x 常数 , y1 y C cos x C sin x 1 2
第十二章
二、线性齐次方程解的结构
是二阶线性齐次方程 定理1. 若函数 y ( x ), y ( x ) 1 2 y P ( x ) y Q ( x ) y 0
也是该方程的解. (叠加原理) 证: 将 代入方程左边, 得 y C y ( x ) C y ( x ) 1 1 2 2 ] ] C2 y2 C2 y2 P ( x )[ C y [ C y 1 1 1 1
的两个解, 则 y C y ( x ) C y ( x ) (C 为任意常数 ) 1 1 2 2 1,C 2
Q ( x ) [ C y C2 y2 ] 1 1
C [ y P ( x ) y Q ( x ) y ] 1 1 1 1
C [ y P ( x ) y Q ( x ) y ] 0 2 2 2 2
是非齐次方程的通解 . 证: 将 y 代入方程①左端, 得 Y ( x ) y * ( x )

线性微分方程解的性质

线性微分方程解的性质一、线性微分方程的解的结构1.1二阶齐次线性方程y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = 0 (1)y''+P(x)y'+Q(x)y=0 \tag{1} y′′+P(x)y′+Q(x)y=0(1)定理1：如果函数 y 1 ( x ) y_1(x) y1(x)与 y 2 ( x ) y_2(x)y2(x)是方程（1）的两个解，那么y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) (2) y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x) \tag{2} y=C1y1(x)+C2y2(x)(2)也是方程（1）的解，其中 C 1 , C 2 C_1,C_2 C1,C2是任意常数。

解（2）从形式上看含有C1C_1C1和C2C_2C2两个任意常数，但它不一定是方程（1）的通解。

那么在什么情况下（2）式才是方程（1）的通解呢？要解决这个问题，还得引入新概念，即函数组的线性相关与线性无关。

设 y 1 ( x ) , y 2 ( x ) , ⋅⋅⋅ , y n ( x )y_1(x),y_2(x),···,y_n(x) y1(x),y2(x),⋅⋅⋅,yn(x)为定义在区间 I I I上的n个函数，如果存在n个不全为零的常数 k 1 , k 2 , ⋅⋅⋅ , k n k_1,k_2,···,k_n k1,k2,⋅⋅⋅,kn，使得当x ∈ I x\in I x∈I时有恒等式k 1 y 1 + k 2 y 2 + ⋅⋅⋅ + k n y n = 0k_1y_1+k_2y_2+···+k_ny_n=0 k1y1+k2y2+⋅⋅⋅+knyn=0成立，那么称这n个函数在区间I上线性相关；否则线性无关。

应用上述概念可知，对于两个函数的情形，它们线性相关与否，只要看它们的比是否为常数；如果比为常数，那么它们就线性相关；否则就线性无关。

高阶线性微分方程汇总

P( x) y2 Q( x) y2 ] 0 证毕 C2 [ y 2
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定理１说明齐次方程的解符合叠加原理．
y P ( x ) y Q( x ) y 0
(1)
问题: y C1 y1 C2 y2 一定是(1)的通解吗？ 不一定！
y1 ( x )和y2 ( x )满足什么条件时y C1 y1 C 2 y2 才是(1)的通解？ 例如,
d uC d uC Em 2 2 0 uC sin t 2 dt LC dt 如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得 d 2 uC d uC 2 2 0 uC 0 2 dt dt
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化为关于 uc 的方程:
故有
i E~
2
q ‖ q K
(1)
也是该方程的解. 证: 将 y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) 代入方程左边, 得
] P( x)[ C1 y1 C2 y2 C2 y 2 ] [ C1 y1
Q( x) [ C1 y1 C2 y2 ]
P( x) y1 Q( x) y1 ] C1 [ y1
‖ q K q
L C
i ~ E∼
根据回路电压定律:
在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0
di q E L Ri 0 dt C
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d uC d 2 uC RC LC uC Em sin t 2 dt dt R R 1 令 , 0 2L LC L C 串联电路的振荡方程:
第六节 高阶线性微分方程
一、函数的线性相关与线性无关 二、二阶线性微分方程举例 三、线性微分方程解的结构 *四、常数变易法

高等数学高阶线性微分方程

x
(k )
(t , c1 ,, cn k )
第三步: 对上式求k次积分,即得原方程的通解
x (t , c1 ,, cn ), 这里c1 ,, cn为任常数
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 15
d 5x 1 d 4x 0的通解. 例1 求方程 5 4 dt t dt d 4x 解 令 y, 则方程化为 4 dt dy 1 y0 dt t 这是一阶方程,其通解为 y ct, 4 d x 即有 ct, 4 dt
南京航空航天大学 理学院 数学系 14
2007年8月
F (t , x( k ) , x( k 1) ,, x( n ) ) 0
解题步骤:
(1)
令x ( k ) y, 则方程化为 第一步:
F (t , y, y ' ,, y ( n k ) ) 0
第二步: 即 求以上方程的通解
y (t , c1 ,, cnk )
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 20
3 已知齐线性方程的非零特解,进行降阶
(1) 设x x1 0是二阶齐线性方程 d 2x dx p(t ) q(t ) x 0, 2 dt dt
的非零解 令
(3)
x x1 y
则
x x1 y x y
' ' ' 1
x x1 y 2 x y x y
d x k 恰好是将所要解的奇次方程中的 k 换成 dt
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 5
k
特征方程的根
一个单实根 一个k阶重根 一对单复根 i
微分方程通解的对应项
ce x 对应一项

高阶微分方程解的结构-精选文档

并不是通解
为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与
线性无关概念.
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y ( x ), y ( x ), , y ( x ) 定义: 设 是定义在区间 I 上的 1 2 n
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数 k 使得 , k , , k , 1 2 n 则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关.
的两个解, 则 y C y ( x ) C y ( x ) (C 为任意常数 ) 1 1 2 2 1,C 2
Q ( x ) [ C y C2 y2 ] 1 1
C [ y P ( x ) y Q ( x ) y ] 1 1 1 1
C [ y P ( x ) y Q ( x ) y ] 0 2 2 2 2
2 2 1 ,cos x ,sin x ,在( , )上都有 例如，
k y ( x ) k y ( x ) k y ( x ) 0 , x I 1 1 2 2 n n
2 2 1 cos x si
2 又如， 1, x , x2, 若在某区间 I 上 k k x k x 0 , 1 2 3
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二、线性齐次方程解的结构
是二阶线性齐次方程 定理1. 若函数 y ( x ), y ( x ) 1 2 y P ( x ) y Q ( x ) y 0
也是该方程的解. (叠加原理) 证: 将 代入方程左边, 得 y C y ( x ) C y ( x ) 1 1 2 2 ] ] C2 y2 C2 y2 P ( x )[ C y [ C y 1 1 1 1
第七节 高阶线性微分方程解的结构

高等数学7-6高阶线性微分方程—解的结构

1，cos 2 x , sin 2 x 线性相关
y1 ( x ) 常数， 特别地: 若在 I 上有 y2 ( x ) 则函数 y 1 ( x ) 与 y 2 ( x ) 在 I 上线性无关.
定理 2：如果 y1 ( x ) 与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个线性 无关的特解, 那么 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1)的 通解.
例如 y y 0,
y1 cos x , y 2 sin x ,
y C1 cos x C 2 sin x .
y2 且 tan x 常数, y1
为通解.
2.二阶非齐次线性方程的解的结构:
定理 3 设 y 是二阶非齐次线性方程
( 2)
*
y P ( x ) y Q ( x ) y f ( x )
( D)
C1 ( e x e 2 ) C 2 ( e x e x )
*三、降阶法与常数变易法
1.齐次线性方程求线性无关特解------降阶法
设 y1是方程 (1)的一个非零特解，
令 y2 u( x ) y1
代入(1)式, 得
y1 u ( 2 y1 P ( x ) y1 ) u ( y1 P ( x ) y1 Q ( x ) y1 ) u 0, 即 y1 u ( 2 y1 P ( x ) y1 ) u 0,
xc1 ( x ) e x c ( x ) 0 2 c1 ( x ) e x c ( x ) x 1 2
c1 ( x ) x C 1，
c1 ( x ) 1 解得 c ( x ) xe x 2
x
c 2 ( x ) xe

高等数学：6-3-1 高阶线性微分方程解的结构


个解 y1 x , y2 e x , y3 e2x ,求此方程满足初始条件
y(0) 1, y(0) 3的特解.
解: y2 y1 与 y3 y1是对应齐次方程的解, 且
y2 y3
y1 y1
ex x e2x x
常数
因而线性无关, 故原方程通解为
y C1(e x x) C2(e2x x)
1. 特征方程 有两个相异实根
则微分方程
有两个线性无关的特解:
因此方程的通解为 y C1 er1 x C2 er2 x
2. 特征方程有两个相等实根
则微分方程有一个特解
设另一特解
( u (x) 待定)
代入方程得:
er1 x [ ( u 2 r1u r12u ) p(u r1u ) q轭复根
对应的线性无关特解
例4.
的通解.
解:特征方程 r 4 2 r 3 5 r 2 0, 根:
r1 r2 0, r3 , 4 1 2 i
因此原方程通解为
y C1 C2 x e x ( C3 cos 2 x C4 sin2 x )
例5. 解方程 y(5) y(4) 0.
故方程的通解为
y1 cos x, y2 sin x,
常数
y C1 cos x C2 sin x.
推论.
是 n 阶齐次方程
的 n 个线性无关解, 则方程的通解为
y C1 y1 Cn yn (Ck为任意常数) 2.二阶非齐次线性方程解的结构:
定理 3 设 y*是二阶非齐次线性方程
y P( x) y Q( x) y f ( x)
例3 求方程 y 2 y 5 y 0的通解. 解 特征方程为 r 2 2r 5 0 ,
解得 r1，2 1 2i ,
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因此该方程的通解为
定理 4.
分别是方程
y P(x) y Q(x) y fk (x) (k 1, 2,, n )
的特解,
是方程
n
y P(x) y Q(x) y fk (x)
k 1
的特解. (非齐次方程之解的叠加原理)
定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程.
成正比, 方向相反. 建立位移满足的微分方程.
解: 取平衡时物体的位置为坐标原点,
建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移为 x(t).
o
(1) 自由振动情况. 物体所受的力有:
x
弹性恢复力
(虎克定律)
x
阻力
据牛顿第二定律得
令 2 n , k 2 c , 则得有阻尼自由振动方程:
m
m
d d
C1[ y1 P(x) y1 Q(x) y1] C2 [ y2 P(x) y2 Q(x) y2 ] 0 证毕
说明:
y C1y1(x) C2 y2 (x) 不一定是所给二阶方程的通解.
例如,
是某二阶齐次方程的解, 则
也是齐次方程的解
但是
并不是通解
为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.
必需全为 0 ,
在任何区间 I 上都 线性无关.
两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:
线性相关
存在不全为 0 的
使
线性无关 线性无关
y1(x) k2 y2 (x) k1
( 无妨设
k1 0 )
y1 ( x) y2 ( x)
常数
(证明略)
思考:
中有一个恒为 0, 则
必线性 相关
定理 2.
是二阶线性齐次方程的两个线
性无关特解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
数) 是该方程的通解. (自证)
例如, 方程
有特解
且
y2 y1

tan
x
常数, 故方程的通解为
推论.
是 n 阶齐次方程
的 n 个线性无关解, 则方程的通解为
y C1y1 Cn yn (Ck为任意常数)
定理 5. 给定 n 阶非齐次线性方程
无关特解, 的通解为
是对应齐次方程的 n 个线性 是非齐次方程的特解, 则非齐次方程
Y (x) y(x)
齐次方程通解 非齐次方程特解
例3. 设线性无关函数
都是二阶非齐次线
性方程 y P(x) y Q(x) y f (x)的解, C1,C2 是任意 常数, 则该方程的通解是 ( D ).
n 阶线性微分方程的一般形式为
y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y f (x) f (x) 0 时, 称为非齐次方程 ; f (x) 0 时, 称为齐次方程.
复习: 一阶线性方程 y P(x) y Q(x)
通解: y C e P (x)d x e P (x)d x Q(x) e P (x)d x dx
(B) C1y1 C2 y2 (C1 C2 ) y3; (C) C1y1 C2 y2 (1 C1 C2 ) y3;
提示:
(89 考研 )
y1 y3, y2 y3 都是对应齐次方程的解,
二者线性无关 . (反证法可证)
例4. 已知微分方程 y p(x) y q(x) y f (x) 有三
三、线性非齐次方程解的结构
定理 3. 设 y * (x) 是二阶非齐次方程
①
的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 则
y Y (x) y *(x)
②
是非齐次方程的通解 .
证: 将 y Y (x) y *(x) 代入方程①左端, 得
(Y y *) P(x) (Y y *) Q(x) (Y y *)
f (x) 0 f (x)
(Y P(x)Y Q(x)Y )
故 y Y (x) y * (x) 是非齐次方程的解, 又Y 中含有
两个独立任意常数, 因而 ② 也是通解 .
证毕
例如, 方程 对应齐次方程
有特解 有通解
Y C1 cos x C2 sin x
齐次方程通解Y 非齐次方程特解 y
二、线性齐次方程解的结构
定理1. 若函数 y1(x), y2 (x) 是二阶线性齐次方程 y P(x) y Q(x) y 0
的两个解, 则 y C1y1(x) C2 y证: 将 y C1y1(x) C2 y2 (x) 代入方程左边, 得 [C1y1 C2 y2 ] P(x)[C1y1 C2 y2 ] Q(x)[C1y1 C2 y2 ]
2
t
x
2

2n
dx dt

k
2
x

0
(2) 强迫振动情况. 若物体在运动过程中还受铅直外力
F H sin pt 作用，令 h H，则得强迫振动方程:
m
d2x dt2

2n
dx dt

k
2
x

h
sin
pt
例1 的方程可归结为如下形式:
y p(x) y q(x) y f (x), 为二阶线性微分方程.
个解 y1 x , y2 ex , y3 e2x , 求此方程满足初始条件 y(0) 1, y(0) 3 的特解 .
解: y2 y1 与 y3 y1 是对应齐次方程的解, 且
定义: 设 y1(x), y2 (x),, yn (x) 是定义在区间 I 上的
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数
使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关.
例如，
在( , )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
又如，
若在某区间 I 上
则根据二次多项式至多只有两个零点 , 可见
§3 高阶线性微分方程解的结构
一、二阶线性微分方程举例
二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构 *四、常数变易法
一、二阶线性微分方程举例
例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,
当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 若用手向 下拉物体使它离开平衡位置后放开, 物体在弹性力与阻 力作用下作往复运动, 阻力的大小与运动速度