有理指数幂及其运算.ppt

解析： 函数 y＝|3x－1|的图象是由函数 y＝3x 的图象向下平移一个单位 后，再把位于 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴 上方得到的，函数图象如图所示．
由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以 k 的取值范围为(－∞，0].
答案： (－∞，0]
指数函数的性质及应用
角度一 比较指数幂的大小
解析： (1)由函数 y＝kx＋a 的图象可得 k<0，0<a<1.因为函数的图象与 x 轴交点的横坐标大于 1，所以 k>－1，所以－1<k<0.函数 y＝ax＋k 的图象可以 看成把 y＝ax 的图象向右平移－k 个单位长度得到的，且函数 y＝ax＋k 是减函 数，故此函数与 y 轴交点的纵坐标大于 1，结合所给的选项，选 B.
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
n (1)
an
＝(n
a
)n＝a(n∈N＋).(
)
m
(2)分数指数幂 an
可以理解为mn
个 a 相乘．(
)
(3)函数 y＝3·2x 与 y＝2x＋1 都不是指数函数．( )
(4)若 am<an(a>0，且 a≠1)，则 m<n.( )
答案： (1)× (2)× (3)√ (4)×
角度二 解简单的指数方程或不等式
(1)若
，则函数 y＝2x 的值域是( )
1 A．8，2
1 B．8，2
C．－∞，18
D．[2，＋∞)
4x，x≥0， (2)已知实数 a≠1，函数 f(x)＝2a－x，x<0， 若 f(1－a)＝f(a－1)，则 a 的
值为________．
解析： (1)因为

根据n, m, p的取值不同，图像形状各 异。
03
幂函数运算规则与技巧
同底数幂相乘除法则
01
02
03
同底数幂相乘
底数不变，指数相加。公 式：a^m × a^n = a^(m+n)
同底数幂相除
底数不变，指数相减。公 式：a^m ÷ a^n = a^(m-n)
举例
2^3 × 2^4 = 2^(3+4) = 2^7；3^5 ÷ 3^2 = 3^(5-2) = 3^3
在幂函数中，指数a可以取任意实数，但不同的a值会导致函数性质的不
同。学生需要注意区分不同a值对应的函数性质。
02 03
函数定义域
幂函数的定义域与指数a的取值有关。例如，当a≤0时，函数定义域为 非零实数集；当a>0且a为整数时，函数定义域为全体实数集。学生需 要注意根据指数a的取值来确定函数的定义域。
计算圆的面积
$S=pi r^2$，$r$为圆半 径，利用幂函数表示圆的 面积与半径关系。
增长率、衰减率问题中应用
细菌增长模型
假设细菌以固定比例增长，则细 菌数量与时间关系可用幂函数表
示。
放射性物质衰变
放射性物质衰变速度与剩余质量 之间的关系可用幂函数描述。
投资回报计算
投资回报率与时间关系可用幂函 数表达，用于预测未来收益。
利用积的乘方法则进行化简
如(ab)^n = a^n × b^n
举例
化简(x^2y)^3 ÷ (xy^2)^2，结果为x^4y
04
幂函数在生活中的应用举例
面积、体积计算中应用
计算正方形面积
$S=a^2$，其中$a$为正 方形边长，利用幂函数表 示面积与边长关系。

D. b > a > 1 O
思路二:
1b a
x
数形结合
26
题型三：幂函数性质的应用
3.比较下列各组数的大小：
< 1
1
(1)1.32 ____ 1.4 2
解后反思 两个数比较
(2)0.261
_>____
0.271
大小，何时 用幂函数模
(3)(5.2)2 _<____(5.3)2
型，何时用 指数函数模
即 log2 a log2 b 0 log2 1
a b 1 所以答案选C． 25
能力提升
变②：若0 < loga 2 < logb 2,则
C
()
A. 0 < a < b < 1 y
B. 0 < b < a < 1
1
C. a > b > 1
x=2
y= logb x
y= loga x
解析式 y = a x ( a > 0, a≠1)
y
图 象 0<a<1
y a>1
1
（描点）
1
0
x
0
x
y = log a x ( a > 0, a≠1)
y 0<a<1
y a>1
01
x
01
x
定义域
R
(0 , +∞)
值域
(0 , +∞)
R
定点
都过点(0,1)
都过点(1,0)
范围
x<0时,y>1；x>0时,y>10；<x<1时 x>0时 x<0时 y>0

减少率为 10%.
探索点一 指数函数的概念
【例 1】 函数 y=(a2-3a+3)ax 是指数函数,则( )
A.a=1 或 a=2
B.a=1
C.a=2
D.a>0,且 a≠1
解析:由指数函数的定义,得
解得 a=2.
答案:C
方法规律 指数函数的解析式的三个关注点
(1)底数是大于 0 且不等于 1 的常数; (2)指数函数的自变量必须在指数的位置上;
解析:因为函数y=(a-2)ax是指数函
数, 答案:C 所以a-2=1,解得a=3,故选C.
二、指数增长(衰减)模型 [知识梳理] 指数增长(衰减)模型 设原有量为 N,每次的增长率为 p,经过 x 次增长,该量增
长到 y,则 y=N(1+p)x(x∈N,)形如 y=kax(k∈R,且 k≠0,a>0, 且 a≠1)的函数是刻画指数 增长或指数 衰减变化规律的非
(2)某市现在人口总数为 100 万人,如果年平均增长率为 1.2%,试解答下列问题.
①试写出该市人口总数 y(单位:万人)与时间 x(单位:年) 之间的函数解析式;
②计算 10 年以后该市人口总数(精确到 1 万人).
解:①1 年后该市人口总数为 100+100×1.2%=100(1+1.2%)(万人), 2 年后该市人口总数为 100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100(1+1.2%)2(万人), 3 年后该市人口总数为 100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2×1.2%=100(1+1.2%)3(万人), ……x 年后该市人口总数为 100(1+1.2%)x(万人). 故所求函数解析式为 y=100(1+1.2%)x. ②10 年后该市人口总数为 100(1+1.2%)10=100×1.01210≈ 100×1.127=112.7(万人)≈113(万人). 所以 10 年后该市人口总数约为 113 万人.

。
积的乘方时，将每个因 数分别乘方，然后再相
乘。
复合指数法则的实例
$(a^m)^n = a^{mn}$
$(a^m)^n$表示$a$的$m$次方的$n$次 方，根据复合指数法则 a^m times a^n$
根据同底数幂相乘的规则，$a^{m+n}$可 以化简为$a^m times a^n$。
详细描述
指数函数在许多实际问题中都有应用，如人口增长、复利计算、放射性物质的衰变等。通过建立数学 模型，我们可以利用指数函数的性质和图像解决这些问题，从而更好地理解和预测事物的变化趋势。
CHAPTER
04
复合指数法则与运算
复合指数法则的概念
指数法则
指数法则是一种数学运算规则， 用于表示一个数的指数幂。
指数的性质
当底数相同时，指数相加 表示乘法，指数相减表示 除法。
指数的运算顺序
先乘方后乘除，先括号后 加减。
指数的起源与历史
起源
指数概念最早可以追溯到古希腊 数学家欧几里得的《几何原本》 ，其中对指数进行了初步的探讨 。
发展历程
随着数学的发展，指数概念逐渐 完善，经历了文艺复兴、牛顿和 莱布尼茨等人的贡献，最终形成 了现代数学中的指数概念。
指数运算的技巧
简化指数式
利用幂的性质，如$a^{m} times a^{n} = a^{m+n}$，$a^{m} div a^{n} = a^{m-n}$等，简化复杂的指数式。
同底数幂的乘法与除法
当底数相同时，可以直接根据指数进行乘法或除法运算。
科学记数法
将大数表示为$a times 10^{n}$的形式，便于计算和比较大小。
非零实数的0次幂为1
同底数幂的除法法则

增 函数
减 函数
常用结论
1.指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，－1，a1. 2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y ＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函 数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大.
自主诊断
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
B.0
√C.1
D.2
由函数y＝a·2x是指数函数，得a＝1， 由y＝2x＋b是指数函数，得b＝0，所以a＋b＝1.
自主诊断
3.已知关于x的不等式
1x－4 3
≥3－2x，则该不等式的解集为
√A.[－4，＋∞)
B.(－4，＋∞)
C.(－∞，－4)
D.(－4,1]
不等式13x－4≥3－2x，即 34－x≥3－2x， 由于y＝3x是增函数， 所以4－x≥－2x，解得x≥－4， 所以原不等式的解集为[－4，＋∞).
第二章
§2.7 指数与指数函数
课标要求
1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指 数幂的运算性质. 2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象. 3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用.
内容索引
第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型
课时精练
第一部分
√B.
(a
2 3
b
1 2
)(3a
11
2b3
)
1 3
a
1
6b
5 6
9a(a
0,
b
0)
√C. 3 9＝3 3

第四章 4．1 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
请做：随堂巩固验收
第四章 4．1 第2课时
第四章 4．1 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
温馨提示：(1)对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个 确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果．
(2)a－b＝a1b(a>0，b 是正无理数)． (3)定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩 充到了实数范围．
第四章 4．1 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
第四章 4．1 第2课时
题型二 指数幂的运算 【典例 2】 计算：
课标A版·数学·必修第一册
[思路导引] 利用指数幂的运算性质化简求值．版·数学·必修第一册
第四章 4．1 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
利用指数幂的运算性质化简求值的方法 (1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为 分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序． (2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数 的符号，则可以对根式进行化简运算．
第四章 4．1 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
[答案]
(1)±3 5
(2)－
3 3
第四章 4．1 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
解决条件求值问题的一般方法——整体代入法 对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入 求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数 式恰当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过 “整体代入法”巧妙地求出代数式的值． 利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a>0，b>0)：
1．学会根式与分数指数幂之间的相互转化． 2．掌握用有理数指数幂的运算性质化简求值． 3．了解无理数指数幂的意义．

先将根式化为分数指数幂的形式，再运用分数指数幂的运算性
质进行化简.
11
11
7
【解析】(1)原式＝a3 ·a4 ＝a3 ＋4 ＝a12 .
111
111
7
(2)原式＝a2 ·a4 ·a8 ＝a2 ＋4 ＋8 ＝a8 .
23
23
13
(3)原式＝a3 ·a2 ＝a3 ＋2 ＝a 6 .
1
1
2 13
213
73
了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的条
件.
1
【正解】由(－a)2 知－a≥0，故 a－1<0.
11
∴(1－a)[(a－1)－2(－a)2 ]2
＝(1－a)(1－a)－1·(－a)14＝(－a)14 .
【警示】在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无
隐含条件，在出现根式时要注意是否为偶次方根，被开方数是
(1)4 2＋1·23－2 2·64－3 ；
11
(2)
a－b
1
1
－a＋b1－2a21 ·b2
a2 ＋b2
a2 －b2
【解析】(1)原式＝22 2＋2·23－2 2·2－4＝21＝2.
1
1
1
1
1
1
(2)原式＝a2
＋b2 ·a2 a21＋b12
－b2
－a21 a2
－b2
1
－b2
2
1
＝a2
1
－b2
－ a 1 2
方法二：a2＋a－2＝a2＋2aa－1＋a－2－2aa－1
＝(a＋a－1)2－2＝25－2＝23.
1
1
(2)∵(a2 －a－2 )2＝a＋a－1－2＝5－2＝3，

活动 5 巩固练习，提升素养
3
解 （1）4 a3 a 4；
（2）6
x2
2
x6
1
；（注意：此处不能化简为 x 3
)
1
（3）
4 53
1
3
54
3
5 4.
特别提示
请注意观察，表示过程中哪些数字位置未变，哪些
数字位置发生了变化，是如何变化的？
活动 5 巩固练习，提升素养
解
（1）
27
1 3
1
1
27 3
情感目标 通过本节课学习，使学生养成乐于学习、勇于探索的良好品质
核心素养
通过思考、讨论等活动，提升数学运算、直观想象、逻辑推理和数学建模等 核心素养．
活动 3 巩固练习，提升素养
例2 化简.
（1） 3 3 a3 ；（2）4 3 4 .
活动 3 巩固练习，提升素养
解 （1）3 3 a3 3 a ； （2）4 3 4 3 3 .
数学
基础模块（下册）
第四单元 指数函 数与对数函数
4.1.1有理数指数幂
人民教育出版社
第四单元 指数函数与对数函数 4.1.1有理数指数幂
学习目标
知识目标 理解根式、幂及其相关知识的概念，理解有理数指数幂的概念；
能力目标
学生运用自主探讨、合作学习，明了有整数指数幂推广到有理数指数幂的方 法，，明确n次方根与算数根区别，掌握根式的性质及有理数指数幂的运算法 则，提高其发现问题、分析问题及解决问题能力；
调动思维，探究新知 在活初动中4，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
这样，幂指数的概念就从整数指数幂推广到了有理 数指数幂，只要每一个有理数指数幂有意义，整数指数幂的 运算性质对有理数指数幂就同样适用.

考点一
考点二
指数与指数幂运算
◆角度1.根式的运算
例1下列各式正确的是(
8
A. a8 =a
4
4
C. (-4) =-4
)
B.a0=1
5
D. (-π)5 =-π
答案 D
解析 对于A,当a为负数时等式不成立,故A不正确;
对于B,a0=1,当a=0时无意义,故B不正确;
对于C,左边为正,右边为负,故C不正确;
3.指数函数的图象与性质
y=ax
a>1
(a>0且a≠1)
0<a<1
图象
定义域
值域
性质
R
(0,+∞)
过定点(0,1)
当x>0时,y>1;
当x>0时,0<y<1;
当x<0时,0<y<1
当x<0时,y>1
在R上是增函数
在R上是减函数
y=ax的图象与y=a-x=( 1 )x的图象关于y轴对称(a>0且

a≠1)
5
对于 D, (-)5 =-π,故 D 正确.故选 D.
考点一
考点二
◆角度2.分数指数幂运算
例2化简下列各式(a>0,b>0).
(1)
1
3 ·
;
1
a-1 b-1
2
(2) 1
÷
b a
- 3 -2
2

a
解 (1)原式=
1 1
3 ·2
2
3
.
=
1 1
1
2 2
-1 2
(2)原式= 1 2 ÷

当 有意义时，
叫做根式，n叫做根指数。
（2）
说明：
3．根式性质：
01
02
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
03
分数指数幂（有理指数幂）：
负分数指数幂：
正分数指数幂：
（3）0的任何次方根是0,对吗?
思考：
5.有理指数幂运算法则：
规定:0的正分数次幂是0,0的负分数次幂没有意义.
注意：（1）对于既含有分数指数幂，又含有根式的式子， 一般把根式 统一化成分数指数幂的形式，以便于计算。 如果根式中的根指数不同，也应化成分数指数幂的形式。 对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示， 但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既含有分 母又含有负指数。
4
小结：
， 则x叫做a的n次方根
如果存在实数x，使得
2．拓展：
（1）正数a的偶次方根有两个，它们互为相反数，记为
（2）负数的偶次方根在实数范围内不存在。
问题：a的n次方根一定存在吗？ 如果存在，有几个？
（3）正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数。都记为 。
（1）正数a的正n次方根，叫做a的 n次算术根。
注意：一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数， 化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进 行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的。
三、无理指数：
实数指数幂：
运算法则
根式和根式的性质：
1
指数幂的拓展：
2
实数指数幂的运算律：
3
实数指数幂的运算律的应用。
实数指数幂及运算
PLEASE ENTER YOUR TITLE HERE
汇报人姓名
掌握实数指数幂的拓展过程中的不变性质。 掌握根式和有理数指数幂的意义 注意指数幂的拓展过程中的底数的约束条件

例 2 求值：
（1）16
3 4
；（2）
25
1 2
；（3）
1 3
3
；（4） 125 64
3 2
解： 3
（1）164
3
24 4
43
24
23
8；
1
（2） 25 2
1
52 2
21
52
51 1 5
（3） 1 3 3
3 1 3 33 27
2
（4） 125 3 64
2
53 3
43
32 1
53
32
43
52 1 16
4.1.1 有理数指数幂
湘教版（2019）必修第一册
学习目标
1.了解根式及其性质. 2.了解分数指数幂的意义 3.能利用实数指数幂的运算性质进行指数运算.
学习重点
根式的概念, 分式指数冥的概念及运算法则
学习难点
根式概念和分式指数幂的理解，根式与分式指数幂的互化， 根式、分数指数幂及其运算法则的综合应用.
解析：对于
A，原式
1
(3a)3 3
0.3a1
3a 10 3
a
10a2
(a
0) ，故
A
正确；
1 2 1 2 1 1 1 1
对于
B，原式
a3
1
b3
1
a3
b3
1
a3
1
b3
1
a3
1
b3
(a, b
0)
，故
B
正确；
a3 b3
a3 b3
对于 C，原式
1
1
1
(2 2 3)2 (3 2 2)2 2 [(2 2 3)2 ]2 (3 2 2)2 2 (2 2 3)(3 2 2) 1 ，故 C