自适应均衡算法LMS研究
一、自适应滤波原理与应用
所谓自适应滤波器，就是利用前一时刻已获得的滤波器参数等结果，自动地调节现时刻的滤波器参数，以适应信号和噪声未知的或随时间变化的统计特性，从而实现最优滤波。根据环境的改变，使用自适应算法来改变滤波器的参数和结构。
1.1均衡器的发展及概况
均衡是减少码间串扰的有效措施。均衡器的发展有史已久，二十世纪60年代前，电话信道均衡器的出现克服了数据传输过程中的码间串扰带来的失真影响。但是均衡器要么是固定的，要么其参数的调整是手工进行。1965年，Lucky在均衡问题上提出了迫零准则，自动调整横向滤波器的权系数。1969年，Gerhso和Porkasi，Milier分别独立的提出采用均方误差准则(MSE)。1972年，ungeboekc将LMS算法应用于自适应均衡。1974年，Gedard 在kalmna滤波理论上推导出递推最小均方算法RLS(Recursive least-squares)。LMS类算法和RLS类算法是自适应滤波算法的两个大类。自适应滤波在信道均衡、回波抵消、谱线增强、噪声抑制、天线自适应旁瓣抑制、雷达杂波抵消、相参检测、谱估计、窄带干扰抑制、系统辨识、系统建模、语音信号处理、生物医学、电子学等方面获得广泛的应用。
1.2均衡器种类
均衡技术可分为两类：线性均衡和非线性均衡。这两类的差别主要在于自适应均衡器的输出被用于反馈控制的方法。如果判决输出没有被用于均衡器的反馈逻辑中，那么均衡器是线性的；如果判决输出被用于反馈逻辑中并帮助改变了均衡器的后续输出，那么均衡器是非线性的。
图1.1 均衡器的分类
1.3自适应算法LMS 算法
LMS 算法是由widrow 和Hoff 于1960年提出来的,是统计梯度算法类的很重 要的成员之一。它具有运算量小,简单,易于实现等优点。
LMS 算法是建立在Wiener 滤波的基础上发展而来的。Wiener 解是在最小均方误差(MMSE)意义下使用均方误差作为代价函数而得到的在最小误差准则下的最优解。因其结构简单、稳定性好,一直是自适应滤波经典有效的算法之一,被广泛应用于雷达、通信、声纳、系统辨识及信号处理等领域。
1.3.1 MSE 的含义
LMS 算法的推导以估计误差平方的集平均或时平均（即均方误差，MSE ）为基础。下面先介绍MSE 的概念。
设计一个均衡系统如下图所示：
图1.2
图1.2中的均衡器为一FIR 横式滤波器，其结构如图1.3所示。其输入矢量为
[]T
M n x n x n x n )1(,),1(),()(+--=Λx （1.1）
加权矢量（即滤波器抽头系数矢量）为
[]T
M w w w ,,,21Λ=w （1.2）
可知滤波器的输出
*1*)()()1()(ˆw x x w n n i n x w n y
T H M
i i ==+-=∑= （1.3）
则有
)()()(ˆ)()(n n d n y
n d n e H x w -=-= （1.4） 其中H 表示共轭转置。根据最小均方误差准则，最佳的滤波器抽头系数矢量
opt
w 应
{
}2
)
(n e E
w f =）（ （1.5）
使得性能函数—均方误差为最小。式（1.5）称为均方误差性能函数。
图1.3时域FIR 横式滤波器
在指定的信道条件下，）（w f 为各滤波器抽头系数的函数。现在来研究系统处于平稳
状态时的情况。将式（1.4）代入式（1.5）可得
{}w
R w r w r w xx
H
xd
H
xd
H
n d E
+--=*
2
)()
(
{
}{}w R w r w xx
H
xd H n d E +-=Re 2)
(2
（1.6）
其中
xd
r 表示)(n d 和)(n x 的互相关矢量。
)
(n xx R 表示)(n x 的自相关矩阵。
对（1.6）式两端对w 求导，并令导数为零，得到：
xd
xx r w R = （1.7）
当xx R 为满秩时，从而可得到该横式滤波器抽头系数的最优维纳解为：
xd
xx opt r R w 1
-= （1.8）
LMS 迭代算法
由式（1.8）知Wiener 滤波器的抽头系数的直接计算需要矩阵求逆，当M 较大时，计算量较大且由于信号和干扰环境的变化常须对求逆过程不断进行。所以常用其它递推求解的方法。
下面我们介绍从最陡下降法来推导LMS 算法。根据最陡下降法，有： )
()()1(w f n n w ∇-=+μw w （1.9）
其中，
)
(w f w ∇为)(w f 的梯度，而μ为常数并被称为步长因子。又因为：
xd
xx w w f r w R 22)(-=∇ （1.10）
为了实现上述迭代算法需要知道梯度
)
(w f w ∇的精确值，这就要求输入信号)(n x 和
)(n d 平稳且其二阶统计特性已知。这时才能根据信号)(n x 和需要信号)(n d 的采样值来估
计
xx
R 和
xd
r ，从而寻找
opt
w 。
为了克服上述困难和减少求解每次迭代的计算量的问题。一种粗略的但是却是十分有效的计算
)
(w f w ∇的近似方法是：直接取
2
)
(n e 作为均方误差
{
}2
)
(n e E
的估计值，即
{
}2
2
)
()
(ˆ)(ˆn e n e E w f w
w
w ∇
=∇=∇ （1.11）
由式（1.4）可得
)
()(2)
(2
n n e n e w x -=∇ （1.12）
将式（1.11）和式（1.12）代入式（1.9）得
