最新高二下学期第二次月考数学(理)

河北省邯郸市第二十四中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AB的中点，则点C到平面A1DM的距离为（）A． a B． a C． a D． a参考答案：A【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】计算题．【分析】连接A1C、MC，三棱锥A1﹣DMC就是三棱锥C﹣A1MD，利用三棱锥的体积公式进行转换，即可求出点C到平面A1DM的距离．【解答】解：连接A1C、MC可得=△A1DM中，A1D=，A1M=MD=∴=三棱锥的体积：所以 d（设d是点C到平面A1DM的距离）∴=故选A．【点评】本题以正方体为载体，考查了立体几何中点、线、面的距离的计算，属于中档题．运用体积计算公式，进行等体积转换来求点到平面的距离，是解决本题的关键．2. 如果函数的导函数是偶函数，则曲线在原点处的切线方程是（）A． B． C． D．参考答案：A试题分析：，因为函数的导数是偶函数，所以满足，即，，，所以在原点处的切线方程为，即，故选A.考点：导数的几何意义3. 若集合，，则是A．B．C．D．参考答案：B略4. 设，记，若则（）A． B．- C． D．参考答案：B5. 下列命题正确的是( )A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则参考答案：C6. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度 B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至少有一个大于60度D．假设三内角至多有二个大于60度参考答案：B略7. 椭圆上的点到直线的最大距离是（）A．3 B．C．D．参考答案：D8. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于60°，反证假设正确的是( )A. 假设三内角都大于60°B. 假设三内角都不大于60°C. 假设三内角至多有一个大于60°D. 假设三内角至多有两个大于60°参考答案：B【分析】反证法的第一步是假设命题的结论不成立，根据这个原则，选出正确的答案.【详解】假设命题的结论不成立，即假设三角形的内角中至少有一个大于60°不成立，即假设三内角都不大于60°，故本题选B.【点睛】本题考查了反证法的第一步的假设过程，理解至少有一个大于的否定是都不大于是解题的关键.9. 对于幂函数，若，则，大小关系是（）A． B．C． D．无法确定参考答案：A10. 若f(x)是偶函数且在(0,+∞)上减函数，又，则不等式的解集为（）A. 或B. 或C. 或D. 或参考答案：C∵是偶函数，，∴，∵，∴∵在上减函数，∴，∴或∴不等式的解集为或，故选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设两个独立事件和都不发生的概率为，发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率为＿＿＿＿.参考答案：12. 若x 2dx=9，则常数T的值为 ．参考答案：3【考点】定积分．【分析】利用微积分基本定理即可求得．【解答】解： ==9，解得T=3，故答案为：3．13. 给出下列3个命题：①若，则；②若，则；③若且，则，其中真命题的序号为 ▲ ．参考答案：14. 甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）．参考答案： 336 略15. 设变量满足约束条件则的最大值为________参考答案：4 16. 若在展开式中x 3的系数为－80，则a = ．参考答案：－2；17. 已知，且是第二象限角，则____________参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

2024届高二年级下学期第二次月考数学试卷一、单选题（共40分）1. 已知复数满足，（ ）z ()()31i 1i z --=+z=A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先求出复数的代数形式，再求模即可. z 【详解】由得()()31i 1i z --=+，()()()()1i 1i 1i333i 1i 1i 1i z +++=+=+=+--+.z ∴==故选：D.2. 某地政府调查育龄妇女生育意愿与家庭年收入高低的关系时，随机调查了当地3000名育龄妇女，用独立性检验的方法处理数据，并计算得，则根据这一数据以及临界值表，判断育龄妇女生育意27.326χ=愿与家庭年收入高低有关系的可信度（ ）参考数据如下：，()()()22210.8280.001,7.8790.005, 6.6350.01P P P χχχ≥≈≥≈≥≈.()()223.8410.05, 2.7060.1P P χχ≥≈≥≈A. 低于 B. 低于 C. 高于 D. 高于1%0.5%99%99.5%【答案】C 【解析】【分析】根据临界值表求得正确答案.【详解】由于，()27.326 6.635,7.879χ=∈而，()()227.8790.005, 6.6350.01P P χχ≥≈≥≈所以可信度高于. 99%故选：C3. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ）,a b 10a b ⋅= ()3,4b =- a b A. B.C.D. ()6,8-()6,8-68,55⎛⎫- ⎪⎝⎭68,55⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】向量在向量上的投影向量的定义计算即可.a b【详解】解：因为向量，且，那么，()3,4b =- 10a b ⋅=5b == 所以向量在向量上的投影向量为， a b ()3468cos ,555b a b a a b b b-⋅⎛⎫⋅=⋅=- ⎪⎝⎭ ，，故选：C.4. 已知等比数列的前n 项和为，若，则（ ）{}n a n S 153n n S t -=⨯+t =A. B. 5C.D.5-53-53【答案】C 【解析】【分析】根据条件得到，，，从而求出，，，再由数列是等比数列得到，1S 2S 3S 1a 2a 3a {}n a 3212a a a a =即可得到.t 【详解】由题意得：，，， 115S a t ==+21215S a a t =+=+312345S a a a t =++=+即，，， 15a t =+210a =330a =因为数列是等比数列，所以， {}n a 3212a a a a =即，解得：，1030510t =+53t =-故选：C .5. 如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点在同一平面内，下列结论：①,,,A B C D AE平面；②平面平面；③；④平面平面，正确命题的个数//CDF ABE //CDF AB AD ⊥ACE ⊥BDF 为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】【分析】根据题意，以正八面体的中心为原点，分别为轴，建立如图所示空间直O ,,OB OC OE ,,x y z 角坐标系，由空间向量的坐标运算以及法向量，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】以正八面体的中心为原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， O ,,OB OC OE ,,x y z 设正八面体的边长为,则2()(()()(0,,,,,0,0,A E C D F 所以，,(()(,,0,AE CD CF ===设面的法向量为，则，解得，取，即CDF (),,n x y z =CD n CF n ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩x z x y =⎧⎨=-⎩1x =()1,1,1n =-又，所以，面，即面，①正确；0AE n ⋅== AE n ⊥AE ⊄CDF AE //CDF 因为，所以，AE CF =- AE //CF 又，面，面，则面，//AB CD AB ⊄CDF CD ⊂CDF //AB CDF 由，平面，所以平面平面，②正确； AB AE A = ,AE AB ⊂ABE AEB //CDF 因为，则，所以，③正确；))(),,BAB AD ==0AB AD ⋅=u u u r u u u rAB AD ⊥易知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，ACE ()11,0,0n =u r BDF ()20,1,0n =u u r因为，所以平面平面，④正确；120n n ⋅=ACE ⊥BDF 故选：D6. 如图，在正三角形的12个点中任取三个点构成三角形，能构成三角形的数量为（ ）A. 220B. 200C. 190D. 170【答案】C 【解析】【分析】利用间接法，用总数减去不能构成三角形的情况即可.【详解】任取三个点有种，其中三点共线的有种，故能构成三角形个， 312C 353C 33125C 3C 190-=故选：C .7. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、1F 2F ()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>1F 右两支于A ，B 两点，点C 在x 轴上，，平分，则双曲线的离心率为（ ）23CB F A =2BF 1F BC ∠ΓA.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据可知，再根据角平分线定理得到的关系，再根据双曲线定23CB F A =2//CB F A 1,BF BC 义分别把图中所有线段用表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.,,a b c 【详解】因为，所以∽，23CB F A =12F AF 1F BC △设，则，设，则，． 122FF c =24F C c =1AF t =13BF t =2AB t =因为平分，由角平分线定理可知，， 2BF 1F BC ∠11222142BF F F c BC F C c ===所以，所以， 126BC BF t ==2123AF BC t ==由双曲线定义知，即，，① 212AF AF a -=22t t a -=2t a =又由得，122B F B F a -=2322BF t a t =-=所以，即是等边三角形， 222BF AB AF t ===2ABF △所以．2260F BC ABF ∠=∠=︒在中，由余弦定理知，12F BF 22212121212cos 2BF BF F F F BF BF BF +-∠=⋅⋅即，化简得， 22214942223t t ct t+-=⋅⋅2274t c =把①代入上式得． ce a==故选：A ．8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一；享有“数学王子“的称号.用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x 的最大整数，已知数列满足，，()[]f x x =[]x {}n a 12a =26a =，若，为数列的前n 项和，则（ ）2156n n n a a a +++=[]51log n n b a +=n S 11000n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭[]2023S =A. 999 B. 749 C. 499 D. 249【答案】A 【解析】【分析】根据递推关系可得为等比数列，进而可得，由累加法可求解{}1n n a a +-1145n n n a a -+=⨯-，进而根据对数的运算性质可得，根据裂项求和即可求解.151n n a +=+[]51log n n b a n +==【详解】由得，因此数列为公比为5，2156n n n a a a +++=()2115n n n n a a a a +++-=-{}1n n a a +-首项为的等比数列，故，进而根据累加法214a a -=1145n n n a a -+=⨯-得，()()()()1111112024555251n n n n n n n n a a a a a a a a ++---=+++=++-+-++=+- 由于，又，()515log log 51nn a +=+()()()5555log 5log 51log 55log 511nnnnn n <+<⨯⇒<+<+因此，则，故[]51log n n b a n +==()11000100011100011n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅⋅++⎝⎭，12110001n n S c c c n ⎛⎫=+++=- ⎪⎝⎭所以， []20231100010001100099920232023S ⎡⎤⎛⎫⎡⎤=-=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦故选：A【点睛】方法点睛：常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于n n n c a b =+{}n a {}n b ()11n a n n =+，其中为等差数列，为等比数列等. n n n c a b =⋅{}n a {}n b 二、多选题（共20分）9. 已知方程表示椭圆，下列说法正确的是（ ）221124x y m m +=--A. m 的取值范围为 B. 若该椭圆的焦点在y 轴上，则 ()4,12()8,12m∈C. 若，则该椭圆的焦距为4 D. 若，则该椭圆经过点6m =10m =(【答案】BC 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质依次判断选项即可.【详解】A ：因为方程表示椭圆，221124x y m m +=--所以，解得，且，故A 错误；12040124m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩412m <<8m ≠B ：因为椭圆的焦点在y 轴上，221124x y m m +=--所以，解得，故B 正确；4120m m ->->812m <<C ：若，则椭圆方程为，6m =22162x y +=所以，从而，故C 正确；222624c a b =-=-=24c =D ：若，则椭圆方程为，10m =22126x y +=点的坐标不满足方程，即该椭圆不经过点，故D错误. ((故选：BC.10. 设等差数列的前项和为，，公差为，，，则下列结论正确的是{}n a n n S 10a >d 890a a +>90a <（ ） A.0d <B. 当时，取得最大值 8n =n S C.45180a a a ++<D. 使得成立的最大自然数是15 0n S >n 【答案】ABC 【解析】【分析】根据已知可判断，，然后可判断AB ；利用通项公式将转化为可判80a >90a <4518a a a ++9a 断C ；利用下标和性质表示出可判断D.1617,S S 【详解】解：因为等差数列中，，， {}n a 890a a +>90a <所以，，，A 正确； 80a >90a <980d a a =-<当时，取得最大值，B 正确；8n =n S ，C 正确； ()45181193243830a a a a d a d a ++=+=+=<，，()()1611689880S a a a a =+=+>11717917()1702a a S a +==<故成立的最大自然数，D 错误． 0n S >16n =故选：ABC ．11. 已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则（ ） ()1nx +A.8n =B. 的展开式中项的系数为56 ()1nx +2x C. 奇数项的二项式系数和为128 D. 的展开式中项的系数为56()21nx y +-2xy 【答案】AC 【解析】【分析】利用二项式定理求得的展开通项公式，从而得到关于的方程，解出的值判断AB ，()1nx +n n 利用所有奇数项的二项式系数和为判断C ，根据二项式定理判断D.12n -【详解】因为的展开式通项为，()1nx +1C C k k k kr n n T x x +==所以的展开式的第项的二项式系数为，()1nx +1k +C kn 所以，解得，A 正确； 26C C n n =8n =的系数为，B 错误；2x 28C 28=奇数项的二项式系数和为，C 正确； 1722128n -==根据二项式定理，表示8个相乘，()821x y +-()21x y+-所以中有1个选择，1个选择，6个选择，()21x y+-x 2y-1所以的展开式中项的系数为，D 错误；()21nx y +-2xy ()71187C C 156-=-故选：AC12. 已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为13，p .记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路X 口遇到红灯个数之和为，则（ ） Y A. ()54243P X ==B. ()109D X =C. 当时，小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为25p =216625D. 当时， 25p =()443E Y =【答案】BC 【解析】【分析】对于AB ，确定，即可求出和，对于C ，表示一天至少遇到红灯15,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()4P X =()D X 的概率为，可求出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的表达式，再将1233p +代入即可求得结果，对于D ，记为周一到周五这五天在乙路口遇到红灯的个数，则25p =ξ()5,B p ξ~，，即可求出.Y X ξ=+()E Y 【详解】对于AB ，小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，且他X 在甲路口遇到红灯的概率为， 13则，15,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，， ()44511104C 133243P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111051339D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭所以A 错误，B 正确，对于C ，由题意可知一天至少遇到一次红灯的概率为， ()112111333p p ⎛⎫---=+ ⎪⎝⎭则小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为， 32351212C 13333p p ⎛⎫⎛⎫+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，， 25p =323233551212122122216C 1C 13333335335625p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=+⨯--⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以C 正确，对于D ，记为周一到周五这五天在乙路口遇到红灯的个数，则，， ξ()5,B p ξ~Y X ξ=+所以， ()()()()1553E Y E X E X E p ξξ=+=+=⨯+当时，，所以D 错误， 25p =()121155353E Y =⨯+⨯=故选：BC三、填空题（共20分）13. 圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程为______. 2x =-20x +-=(-【答案】 ()2224x y ++=【解析】【分析】设圆心为，记点为，由已知直线与直线垂直，由此可()2,C t -(-A AC 20x -=求，再求可得圆的半径，由此可得圆的方程. t AC【详解】记圆心为点，点为点，C (-A 因为圆心在直线上，故可设圆心的坐标为， C 2x =-C ()2,t -因为圆与直线相切于点， C 20x -=(A -所以直线与直线垂直， CA 20x +-=直线的斜率为 CA 20x +-=， 1⎛=- ⎝所以，0=t 所以圆心为， ()2,0C -圆的半径为，2CA r ===所以圆的方程为. ()2224x y ++=故答案为：.()2224x y ++=14. 已知随机变量,且，若,则的最小()21N ξσ ，()()0P P a ξξ≤=≥()00x y a x y +=>>，12x y+值为_________．【答案】 32+【解析】【分析】先根据正态曲线的对称性可求，结合基本不等式可求答案. 2a =【详解】，可得正态分布曲线的对称轴为，()21,N ξσ1x =又，，即． ()()0P P a ξξ≤=≥12a∴=2a =则()(121121213332222y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当，即时，等号成立.y=2,4x y ==-故答案为：. 32+15. 已知数列是等差数列，并且，，若将，，，去掉一项后，剩{}n a 1476a a a ++=60a =2a 3a 4a 5a 下三项依次为等比数列的前三项，则为__________． {}n b 4b 【答案】## 120.5【解析】【分析】先求得，进而求得，，，，根据等比数列的知识求得. n a 2a 3a 4a 5a 4b 【详解】设等差数列的公差为，{}n a d 依题意，则，147660a a a a ++=⎧⎨=⎩1139650a d a d +=⎧⎨+=⎩解得，所以，151a d =⎧⎨=-⎩6n a n =-+所以， 23454,3,2,1a a a a ====通过观察可知，去掉后，3a 成等比数列，2454,2,1a a a ===所以等比数列的首项为，公比为，{}n b 412所以.3411422b ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭故答案为：1216. 设奇函数在上为单调递减函数，且，则不等式的解集()f x (0,)+∞()20f =3()2()05f x f x x--≤为___________【答案】 [)(]2,00,2-U 【解析】【分析】分析函数的奇偶性、单调性和取值范围，即可得到不等式的解集. 【详解】由题意，，x ∈R 在中，为奇函数且在上单调递减，()y f x =()f x ()0,∞+()20f =∴，，函数在和上单调递减，()()f x f x =--()()220f f -==(),0∞-()0,∞+∴当和时，；当和时，. (),2-∞-()0,2()0f x >()2,0-()2,+∞()0f x >∵，3()2()05f x f x x--≤∴，即，3()2()3()2()()055f x f x f x f x f x x x x ----==-≤()0f x x≥当时，解得：；当时，解得：， 0x <20x -≤<0x >02x <≤∴不等式解集为：，3()2()05f x fx x--≤[)(]2,00,2-U 故答案为：.[)(]2,00,2-U 四、解答题（共70分）17. 已知向量，，且函数.()cos ,1m x =)2,cos n x x =()f x m n =⋅（1）求函数的单调增区间；()f x （2）若中，分别为角对的边，，求的取值范围. ABC ,,a b c ,,A B C ()2cos cos -=a c B b C π26A f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】（1）πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2） 30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题知，再根据三角函数性质求解即可； ()1sin 262πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）由正弦定理边角互化，结合恒等变换得，进而得，，再根据三角函数1cos 2B =π3B =2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的性质求解即可. 【小问1详解】因为向量，，且函数()cos ,1m x =)2,cos n x x =()f x m n =⋅所以 ()211π1cos cos cos2sin 22262f x m n x x x x x x ⎛⎫=⋅=+=++=++ ⎪⎝⎭ 令，解得， πππ2π22π262k x k -+≤+≤+ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈所以，函数的单调增区间为.()f x πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【小问2详解】因为，()2cos cos -=a c B b C由正弦定理可得：， 2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=即，2sin cos sin cos sin cos A B C B B C =+因为， ()sin cos sin cos sin sin C B B C B C A +=+=所以，2sin cos sin A B A =因为，所以， ()0,π,sin 0A A ∈≠1cos 2B =因为，所以，所以， ()0,πB ∈π3B =2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以， πππ11sin cos 263622A f A A ⎛⎫⎛⎫+=+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以；π13cos 0,2622A f A ⎛⎫⎛⎫+=+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，的取值范围为.π26A f ⎛⎫+⎪⎝⎭30,2⎛⎫⎪⎝⎭18. 已知正项数列中，．{}n a 2113,223(2)n n n a S S a n -=+=-≥（1）求的通项公式； {}n a （2）若，求的前n 项和． 2nn na b ={}n b n T 【答案】（1） 21n a n =+（2） 2552n nn T +=-【解析】【分析】（1）根据计算即可得解；11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（2）利用错位相减法求解即可.【小问1详解】当时，，2n =2212212222324212,0S S a a a a a +=-=+=+>解得，25a =由当时，， 2n ≥21223n n n S S a -+=-得当时，，3n ≥2121223n n n S S a ---+=-两式相减得，即，()22112n n n n a a a a --+=-()()()1112n n n n n n a a a a a a ---++-=又，所以，0n a >()123n n a a n --=≥又适合上式，212a a -=所以数列是以为首项，为公差的等差数列， {}n a 32所以； 21n a n =+【小问2详解】， 2122n n n n a n b +==则， 1223521222n n n n T b b b +=+++=+++ ， 231135212122222n n n n n T +-+=++++ 两式相减得 2311322221222222n n n n T ++=++++- 211111121122222n n n -++⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭111121212212n n n +-+=+--， 152522n n ++=-所以. 2552n nn T +=-19. 如图，在四棱锥中，侧面底面，，底面是平行四边形，S ABCD -SCD ⊥ABCD SC SD =ABCD ，，，分别为线段的中点. π3BAD ∠=2AB =1AD =,MN ,CD AB（1）证明：平面；BD ⊥SMN （2）若直线与平面所成角的大小为，求二面角的余弦值. SA ABCD π6C SBD --【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理、面面垂直和线面垂直的性质可证得，，由线面垂直BD MN ⊥SM BD ⊥的判定可证得结论；（2）根据线面角的定义可知，设，取中点，根据垂直关系可以为π6SAM ∠=MN BD O = SN F O 坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果. 【小问1详解】，，，， 2AB = 1AD =π3BAD ∠=2222cos 3BD AB AD AB AD BAD ∴=+-⋅∠=即，，，BD =222AD BD AB ∴+=AD BD ∴⊥分别为中点，四边形为平行四边形，，；,M N ,CD AB ABCD //MN AD ∴BD MN ∴⊥，为中点，，SC SD = M CD SM CD ∴⊥平面平面，平面平面，平面，SCD ⊥ABCD SCD ABCD CD =SM ⊂SCD 平面，又平面，；SM ∴⊥ABCD BD ⊂ABCD SM BD ∴⊥，平面，平面.SM MN M = ,SM MN ⊂SMN BD ∴⊥SMN 【小问2详解】 连接，AM 由（1）知：平面，则与平面所成角为，即， SM ⊥ABCD SA ABCD SAM ∠π6SAM ∠=在中，，， ADM △1AD DM ==2ππ3ADC BAD ∠=-∠=，解得：2222cos 3AM AD DM AD DM ADC ∴=+-⋅∠=AM =，； 2πcos 6AMSA ∴==πtan 16SM AM ==设，取中点，连接，MN BD O = SN F OF 分别为中点，，又平面，,O F ,MN SN //OF SM ∴SM ⊥ABCD 平面，又，OF ∴⊥ABCD MN BD ⊥则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，O ,,OM OB OF,,x y z则，，，，C ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,0,12S ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭0,D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，112SB ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭()1,0,0CB =()DB = 设平面的法向量，SBC (),,n x y z =则，令，解得：，，；1020SB n x y z CB n x ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅==⎩2y =0x=z=(0,n ∴= 设平面的法向量，SBD (),,m a b c =则，令，解得：，，；1020SB m a c DB m ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅==⎩2a =0b =1c =()2,0,1m ∴= ，cos m n m n m n⋅∴<⋅>===⋅ 二面角为钝二面角，二面角的余弦值为C SBD --∴C SB D --20. 2023年1月26日，世界乒乓球职业大联盟（WTT ）支线赛多哈站结束，中国队包揽了五个单项冠军，乒乓球单打规则是首先由发球员发球2次，再由接发球员发球2次，两者交替，胜者得1分．在一局比赛中，先得11分的一方为胜方（胜方至少比对方多2分），10平后，先多得2分的一方为胜方，甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次发球中，得1分的概率为，乙在一次发球中，得1分35的概率为，如果在一局比赛中，由乙队员先发球．12（1）甲、乙的比分暂时为8：8，求最终甲以11：9赢得比赛的概率； （2）求发球3次后，甲的累计得分的分布列及数学期望． 【答案】（1）625（2）分布列见详解， 85【解析】【分析】（1）根据题意可得甲以11：9赢得比赛，则甲再得到3分，乙得到1分，且甲得到最后一分，再根据独立事件的乘法公式求概率即可；（2）根据题意可得X 的可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率列出分布列，再求其数学期望即可． 【小问1详解】甲以11：9赢得比赛，共计20次发球，在后4次发球中，需甲在最后一次获胜，最终甲以11：9赢得比赛的概率为：． 22212131236C 2525525P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【小问2详解】设甲累计得分为随机变量X ，X 的可能取值为0，1，2，3．，()212102510P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， ()2212121371C 252520P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2212131222C 25255P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()213332520P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭∴随机变量X 的分布列为： X 0123P110 720 25 320∴． ()17238012310205205E X =⨯+⨯+⨯+⨯=21. 已知某种商品的价格（单位：元）和需求量（单位：件）之间存在线性关系，下表是试营业期间记录的数据（对应的需求量因污损缺失）： 24x =价格x16 17 18 192024需求量y 5549424036经计算得，，，由前组数据计算出的关于的线性回归5211630i ix==∑52110086ii y ==∑513949i i i x y ==∑5y x 方程为. 4710y x a=-+（1）估计对应的需求量y （结果保留整数）；24x =（2）若对应的需求量恰为（1）中的估计值，求组数据的相关系数（结果保留三位小数）.24x =6r 附：相关系数. r ==328.8769≈【答案】（1）16（2） 0.575-【解析】【分析】（1）计算前五组数据价格、需求量，，代入回归直线方程求出值，再代入18x =2225y =a 即可；24x =（2）求出六组数据价格、需求量的平均值，，以及与相关系数有关的数值，代入计算即可. x 'y '【小问1详解】记前五组数据价格、需求量的平均值分别为，，x y 由题设知，. 511185i i x x ===∑51122255i i y y ===∑因为回归直线经过样本中心，所以，解得. (),x y 2224718510a =-⨯+129a =即， 4712910x y -+=所以时对应的需求量（件）. 24x =47241291610y =-⨯+≈【小问2详解】设六组数据价格、需求量的平均值分别为，，则，，x 'y '611196i i x x ===∑61111963i i y y ===∑，，.6212206ii x==∑62110342i i y ==∑514333i i i xy ==∑所以相关系数. 0.575r ==≈-22. 已知点，经过轴右侧一动点作轴的垂线，垂足为，且.记动点的(1,0)F y A y M ||||1AF AM -=A 轨迹为曲线.C （1）求曲线的方程；C （2）设经过点的直线与曲线相交于，两点，经过点，且为常数）的直(1,0)B -C P Q (1,)((0,2)D t t ∈t 线与曲线的另一个交点为，求证：直线恒过定点. PD C N QN 【答案】（1）()240y x x =>（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）设，根据距离公式得到方程，整理即可；()(),0A x y x >（2）设、、，表示出直线的方程，由点在直线上，代()11,P x y ()22,Q x y ()33,N x y PQ ()1,0B -PQ 入可得，同理可得，再表示出直线，代入可得124y y =()13231y y ty y y ++=QN ，即可得到直线过定点坐标.()()()131441y y ty y x +-=-QN 【小问1详解】解：设，则， ()(),0A x y x >()0,M y 因为，||||1AF AM -=又，整理得.0x >1x =+()240y x x =>【小问2详解】证明：设、、，()11,P x y ()22,Q x y ()33,N x y 所以， 121222121212444PQ y y y y k y y x x y y --===-+-所以直线的方程为，PQ ()11124y y x x y y -=-+因为点在直线上，()1,0B -PQ 所以，即，解得①， ()111241y x y y -=--+21112414y y y y ⎛⎫-=-- ⎪+⎝⎭124y y =同理可得直线的方程为，PN ()11134y y x x y y -=-+又在直线上，所以，易得， ()1,D t PN ()111341t y x y y -=-+1y t ≠解得②，()13231y y ty y y ++=所以直线的方程为，即③，QN ()22234y y x x y y -=-+()23234y y y x y y +=+将②式代入③式化简得，又， ()1311234y y ty y x y y y +=+124y y =即， ()131344y y ty y x y +=+即， ()()()131441y y ty y x +-=-所以直线恒过定点.QN 41,t ⎛⎫ ⎪⎝⎭。

智才艺州攀枝花市创界学校二中二零二零—二零二壹高二下学期第二次月考数学试卷(理科)一、选择题〔此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕1.，且，那么实数的值是〔〕A.0B.1C. D.【答案】C【解析】【分析】先计算，再求得，利用模的计算公式求得a.【详解】∵，∴∴＝3,得，那么，∴a=，应选：C．【点睛】此题主要考察复数模的运算、虚数i的周期，属于根底题．2.①是三角形一边的边长，是该边上的高，那么三角形的面积是，假设把扇形的弧长，半径分别看出三角形的底边长和高，可得到扇形的面积；②由，可得到，那么①、②两个推理依次是A.类比推理、归纳推理B.类比推理、演绎推理C.归纳推理、类比推理D.归纳推理、演绎推理【答案】A【解析】试题分析：根据类比推理、归纳推理的定义及特征，即可得出结论．详解：①由三角形性质得到圆的性质有相似之处，故推理为类比推理；②由特殊到一般，故推理为归纳推理．应选：A．点睛：此题考察的知识点是类比推理，归纳推理和演绎推理，纯熟掌握三种推理方式的定义及特征是解答此题的关键．满足,那么〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由求得，利用复数的除法运算法那么化简即可.【详解】由得，所以=，应选A．【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考察复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、一共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考察除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.=(i是虚数单位),那么复数的虚部为〔〕A.iB.-iC.1D.-1【答案】C【解析】故答案为C的导数是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将f〔x〕＝sin2x看成外函数和内函数，分别求导即可．【详解】将y＝sin2x写成，y＝u2，u＝sinx的形式．对外函数求导为y′＝2u，对内函数求导为u′＝cosx，故可以得到y＝sin2x的导数为y′＝2ucosx＝2sinxcosx＝sin2x应选：D．【点睛】此题考察复合函数的求导，熟记简单复合函数求导,准确计算是关键,是根底题=的极值点为()A. B.C.或者D.【答案】B【解析】【分析】首先对函数求导，判断函数的单调性区间，从而求得函数的极值点，得到结果.【详解】==，函数在上是增函数，在上是减函数，所以x=1是函数的极小值点，应选B.【点睛】该题考察的是有关利用导数研究函数的极值点的问题，属于简单题目.()A.5B.6C.7D.8【答案】D【解析】时，时，应选D．与直线及所围成的封闭图形的面积为()A. B. C. D.【答案】D【解析】曲线与直线及所围成的封闭图形如下列图，图形的面积为，选.考点：定积分的简单应用.9.某校高二(2)班每周都会选出两位“进步之星〞,期中考试之后一周“进步之星〞人选揭晓之前,小马说:“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生〞,小赵说:“一定没有我,肯定有小宋〞,小宋说:“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星〞,小谭说:“小赵说的对〞.这四人中有且只有两人的说法是正确的,那么“进步之星〞是()A.小马、小谭B.小马、小宋C.小赵、小谭D.小赵、小宋【答案】C【解析】【分析】根据题意，得出四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，“进步之星〞是小赵和小谭．【详解】小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生〞，假设小马说假话，那么小赵、小宋、小谭说的都是假话，不合题意，所以小马说的是真话；小赵说：“一定没有我，肯定有小宋〞是假话，否那么，小谭说的是真话，这样有三人说真话，不合题意；小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星〞，是真话；小谭说：“小赵说的对〞，是假话；这样，四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，且“进步之星〞是小赵和小谭．应选：C．【点睛】此题考察了逻辑推理的应用问题，分情况讨论是关键,是根底题目．,直线过点且与曲线相切,那么切点的横坐标为()A. B.1 C.2 D.【答案】B【解析】【分析】设出切点坐标，求出原函数的导函数，得到曲线在切点处的切线方程，把点〔0，﹣e〕代入，利用函数零点的断定求得切点横坐标．【详解】由f〔x〕＝e2x﹣1，得f′〔x〕＝2e2x﹣1，设切点为〔〕，那么f′〔x0〕，∴曲线y＝f〔x〕在切点处的切线方程为y〔x﹣〕．把点〔0，﹣e〕代入，得﹣e，即，两边取对数，得〔〕+ln〔〕﹣1＝0．令g〔x〕＝〔2x﹣1〕+ln〔2x﹣1〕﹣1，显然函数g〔x〕为〔，+∞〕上的增函数，又g〔1〕＝0，∴x＝1，即＝1．应选：B．【点睛】此题考察利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考察函数零点的断定及应用，是中档题．f(x)的导函数f'(x)的图象如下列图,f(-1)=f(2)=3,令g(x)=(x-1)f(x),那么不等式g(x)≥3x-3的解集是() A.[-1,1]∪[2,+∞) B.(-∞,-1]∪[1,2]C.(-∞,-1]∪[2,+∞)D.[-1,2]【答案】A【解析】【分析】根据图象得到函数f〔x〕的单调区间，通过讨论x的范围，从而求出不等式的解集．【详解】由题意得：f〔x〕在〔﹣∞，1〕递减，在〔1，+∞〕递增，解不等式g〔x〕≥3x﹣3，即解不等式〔x﹣1〕f〔x〕≥3〔x﹣1〕，①x﹣1≥0时，上式可化为：f〔x〕≥3＝f〔2〕，解得：x≥2，②x﹣1≤0时，不等式可化为：f〔x〕≤3＝f〔﹣1〕，解得：﹣1≤x≤1，综上：不等式的解集是[﹣1，1]∪[2，+∞〕，应选：A．【点睛】此题考察了函数的单调性问题，考察导数的应用，分类讨论思想,准确判断f(x)的单调性是关键，是一道中档题．在上存在导函数，对于任意的实数，都有，当时，.假设，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：∵，设，那么，∴为奇函数，又，∴在上是减函数，从而在上是减函数，又等价于，即，∴，解得．考点：导数在函数单调性中的应用.【思路点睛】因为，设，那么，可得为奇函数，又，得在上是减函数，从而在上是减函数，在根据函数的奇偶性和单调性可得，由此即可求出结果.二、填空题〔此题一共4小题，每一小题5分，一共20分〕为纯虚数，那么实数的值等于__________．【答案】0【解析】试题分析：由题意得，复数为纯虚数，那么，解得或者，当时，〔舍去〕，所以.考点：复数的概念.，，那么__________〔填入“〞或者“〞〕．【答案】.【解析】分析：利用分析法，逐步分析，即可得到与的大小关系.详解：由题意可知，那么比较的大小，只需比较和的大小，只需比较和的大小，又由，所以，即，即.点睛：此题主要考察了利用分析法比较大小，其中解答中合理利用分析法，逐步分析，得出大小关系是解答的关键，着重考察了推理与论证才能.15.．【答案】．【解析】试题分析：根据定积分性质：，根据定积分的几何意义可知，表示以为圆心，1为半径的圆的四分之一面积，所以，而，所以．考点：定积分．，假设对任意实数都有，那么实数的取值范围是____________.【答案】【解析】构造函数，函数为奇函数且在上递减，即，即，即，所以即恒成立，所以，所以，故实数的取值范围是．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕〔i为虚数单位〕．〔1〕当时，求复数的值；〔2〕假设复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．【答案】〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕【解析】【分析】〔Ⅰ〕将代入，利用复数运算公式计算即可。

上学期第二次月考高二数学卷（理）考试时间：120分钟 满分：150一、选择题（每小题5分，共12题）1、已知全集{,,,,}U a b c d e =，{,,}M a c d =，{,,}N b d e =，则N M C U ⋂)( = （ ）A ．{}bB ．{}dC ．{,}b eD ．{,,}b d e2、 5()a x x +（x R ∈）展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于（ ）A ．-1B ．12 C ．1 D ．23、某公司新招聘8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，则不同的分配方案共有（ ）A. 24种B. 36种C. 38种D. 108种4、计算888281808242C C C C ++++ ＝（ ）A 、62B 、82C 、83 D 、63 5、一个盒子里有6只好晶体管,4只坏晶体管,任取两次,每次取一只,每次取后不放回,则若已知第一只是好的,则第二只也是好的概率为( ) A.23 B.512 C.59 D.796、已知△ABC 的重心为P ，若实数λ满足：AB AC AP λ+=，则λ的值为A ．2B ．23C ．3D ．67、在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有 （ ）A ．34种B ．48种C ．96种D ．144种8、35(1(1+的展开式中x 的系数是（A ）4- （B ）2- （C ）2 （D ）49、某体育彩票规定: 从01到36共36个号码中抽出7个号码为一注，每注2元 某人想先选定吉利号18，然后再从01到17中选3个连续的号，从19到29中选2个连续的号，从30到36中选1个号组成一注，则此人把这种要求的号买全，至少要花( )A.1050元B. 1052元C. 2100元D. 2102元10、9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品来检查，至少有两件一等品的种数是（ ）A.2524C C ⋅ B.443424C C C ++ C.2524C C + D.054415342524C C C C C C ⋅+⋅+⋅11、已知,)(为偶函数x f x x f x x f x f 2)(,02),2()2(=≤≤--=+时当，若*,(),n n N a f n ∈=则2011a = ( )A ．1B ．21C ． 14D ．1812、如图，在A 、B 间有四个焊接点，若焊接点脱落，而可能导致电路不通，如今发现A 、B 之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有 （ ）A ．10B ．13C ．12D ．15二、填空题（每小题5分，共4小题）13、已知(1-2x)n的展开式中，二项式系数的和为64，则它的二项展开式中，系数最大的是第_____________项.14、乒乓球比赛采用7局4胜制，若甲、乙两人实力相当，获胜的概率各占一半，则打完5局后仍不能结束比赛的概率等于_.15、同时投掷三颗骰子，至少有一颗骰子掷出6点的概率是_____________ (结果要求写成既约分数）.16、用5种不同颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，共有_______种不同的涂色方案。

福建省龙岩第一中学2022-2023学年高二下学期第二次月
考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
9．总和生育率有时也简称生育率，是指一个人口群体的各年龄别妇女生育率的总和．
为了了解中国人均GDP x （单位：万元）和总和生育率y 以及女性平均受教育年限z
（单位：年）的关系，采用2012~2022近十年来的数据(),,(1,2,,10)i i i
x y z i =L 绘制了
散点图，并得到回归方程ˆ7.540.33z x =+，ˆ 2.880.41y x =-，对应的相关系数分别为1
r ，2r ，则（ ）
A ．人均
GDP 和女性平均受教育年限正相关
B ．女性平均受教育年限和总和生育率负相关
C ．22
12
r r <D ．未来三年总和生育率将继续降低
10．现有来自两个社区的核酸检验报告表，分装2袋，第一袋有5名男士和5名女士的报告表，第二袋有6名男士和4名女士的报告表．随机选一袋，然后从中随机抽取2
四、解答题
17．某新能源汽车公司对其产品研发投资额x（单位：百万元）与其月销售量y（单位：千辆）的数据进行统计，得到如下统计表和散点图.
征后，计划用()
ln
=+作为月销售量y关于产品研发投资额
y bx a
根据统计表和参考数据，求出y关于x的回归方程；
(2)根据回归方程和参考数据，当投资额为11百万元时，预测。

高二下学期第二次月考数学（理）试题一、选择题（60分）1．复数2i 1i -3⎪⎭⎫⎝⎛+＝( )A ．－3＋4iB ．－3－4iC ．3－4iD ．3＋4i2曲线3x y =在点)1,1(处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为（ ）A.34 B.37 C.35 D.38 3、已知直线kx y =是x y ln =的切线，则k 的值为（ ）A.e 2 B.e 1- C.e 1 D.e2- 4.设集合{}{}21,2,,M N a ==则 “1a =”是“N M ⊆”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件8. 设,,x y R ∈ 则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 9、设常a R ∈，集合A ＝{|(1)()0x x x a --≥}，B ＝{|1x x a ≥-}，若AB ＝R ，则a 的取值范围为（ ）A ．（－∞，－2）B ．（－∞，2］C ．（2，＋∞）D ．［2，＋∞）10．已知f (x )＝x 3＋x ，若a ，b ，c ∈R ，且a ＋b >0，a ＋c >0，b ＋c >0，则f (a )＋f (b )＋f (c )的值( ) A ．一定大于0 B ．一定等于0 C ．一定小于0 D ．正负都有可能11．若点P 在曲线y ＝x 3－3x 2＋(3－3)x ＋34上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A ．[0，π2)B ．[0，π2)∪[2π3，π)C ．[2π3，π)D ．[0，π2)∪(π2，2π3]12.等比数列{a n }中a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215二、填空题（20分）13、函数13)(3+-=x x x f 在闭区间]0,3[-上的最大值与最小值分别为： 14.由曲线2y x =与2x y =所围成的曲边形的面积为________________ 15．观察下列不等式213122+< 353121122<++474131211222<+++……照此规律，第五个．．．不等式为 . 16. 函数g (x )＝ax 3＋2(1－a )x 2－3ax 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3内单调递减，则a 的取值范围是________．三、解答题（共6题，70分）17．(10分)已知集合P ＝{x |x 2－8x -20≤0}， S ＝{x |1-m ≤x ≤1+m }(1)是否存在实数m ，使”x ∈P ”是”x ∈S ”的充要条件？若存在，求m 的取值范围；若不存在说明理由；(2)是否存在实数m ，使”x ∈P ”是”x ∈S ”的必要条件？若存在，求m 的取值范围。

2023-2024学年河南省南阳市高二下学期第二次月考联考（6月）数学检测试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 抛物线的焦点为F ，点M 在C 上，，则M 到y 轴的距离是（）2:16C y x =12MF =A. 4 B. 8 C. 10 D. 122. 如图，四棱锥S －ABCD 的底面ABCD 是菱形，且，60BAD SAB SAD ∠=∠=∠=︒AB ＝AS ＝1，则SC=（）A. 1110,022a b <<<<ξC ．减小，增大D ．减小，减小4. 已知变量，的关系可以用模型拟合，设，其变换后得到一组数据如下：x y y =c·we kxz =lny x 16171819z50344131由上表可得线性回归方程，则( )z =?4x +?a c =A. B. C. D. 4e4109e1096.若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）(1,b )y =ln (x +1)A ．B ．ln2<b <2b >1C ．D ．0<b <ln2b >ln27. 数列的前n 项和为，对一切正整数n ，点在函数的图象上，{}n a n S (),n n S 2()2f x x x =+且，则数列的前n 项和（）n b n *=∈N )1n ≥{}n b n T =A B1--C --8. 若其中为自然对数的底数，则，，的大小关系是( )e )a b c A. B. C. D. c <b <ac <a <b c <a <bb <c <a a <c <b二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，，，为//,//BC AD EF AD 4,2AD AB BC EF ====ED FB ==M 的中点，则下列说法正确的是（ ）AD A ．BD AD ⊥B ．平面//BM CDEC ．与平面BF EMBD ．平面与平面所成夹角的正弦值为BFM EMB 111310．已知函数，则（ ）()()()1ln 1f x ax x x=-+-图A ．()()()1ln 1,(0)1a x f x a x x x+=-+->+'B ．当时，的极大值为，无极小值2a =-()f x 0C ．当时，的极小值为，无极大值2a =-()f x 0D ．当时，恒成立，的取值范围为0x ≥()0f x ≥a 12⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，11. 已知双曲线：，、分别为双曲线的左，右顶点，、为左、C x 2a 2y 2b2=1(a >0,b >0)A B F 1F 2右焦点，，且，，成等比数列，点是双曲线的右支上异于点的任意一点，|F 1F 2|=2c a b c P C B 记，的斜率分别为，，则下列说法正确的是( )PA PB k 1k 2 A. 当轴时，PF 2⊥x B. 双曲线的离心率e =1+52C. 为定值k 1k 21+52D. 若为的内心，满足，则I S △IPF 1=S △IPF 2+xS △IF1F 2(x ∈R )x =5?12三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12. 已知数列满足 ，若 为数列 的前{a n }S n {a n }n 项和，则___S 10=13．设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>12F F 、2F y C 于A ，B 两点，若，则C 的离心率为．1||13,||10F A AB ==14. 已知关于 的不等式 (其中 ). 的解集中恰有两个整数，则x 2x <(ax ?a )e x(x ∈R )a <1实数的取值范围是_________a 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2023学年第二学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科（答案在最后）考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一、选择题：本题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.抛物线24x y =的准线方程为（）A.=2y -B.2x =- C.1y =- D.=1x -【答案】C 【解析】【分析】求出焦参数p ，根据焦点的位置确定准线方程．【详解】由题意焦点在y 轴正半轴，24p =，2p =，所以准线方程为1y =-．故选：C ．2.数列1，53，52，…的通项公式可能是（）A.211n n a n +=+ B.211n n a n +=+ C.221n n a n =- D.221n n a n -=【答案】A 【解析】【分析】代入即可结合选项逐一排除.【详解】当2n =时，对于B 中2221352153a +==≠+，当3n =时，对于C 中2339523152a ==≠⨯-，对于D 中3223155392a ⨯-==≠，四个选项中只有211n n a n +=+同时满足11a =，253a =，352a =.故选：A3.已知直线1l ：10mx y ++=，2l ：()3230x m y m +++=，若12//l l ，则m 的值为（）A.1B.－3C.1或－3D.－1或3【答案】B 【解析】【分析】根据直线平行得到方程，求出3m =-或1，检验后得到答案.【详解】由题意得()230m m +-=，解得3m =-或1，当3m =-时，直线1l ：310x y -++=，2l ：390x y --=，两直线平行，满足要求.当1m =时，直线1l ：10x y ++=，2l ：10x y ++=，两直线重合，舍去，故选：B4.已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，则下列命题正确的是（）A.若//m n 且n ⊂α，则//m αB.若//m α且n ⊂α，则//m nC.若m α⊥且n ⊂α，则m n ⊥D .若αβ⊥且m α⊂，则m β⊥【答案】C 【解析】【分析】根据线面平行，线面垂直，面面垂直的判定和性质依次判断各选项.【详解】对于A ，若//m n ，n ⊂α，则//m α或m α⊂，故A 错误；对于B ，若//m α，n ⊂α，则//m n 或m 与n 异面，故B 错误；对于C ，由线面垂直的性质定理可知C 正确；对于D ，若αβ⊥，m α⊂，则m 可能在β内，可能与β平行，可能与β相交，故D 错误.故选：C.5.已知点()4,2P -和圆Q ：()()224216x y -+-=，则以PQ 为直径的圆与圆Q 的公共弦长是（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】由题可得以PQ 为直径的圆的方程，两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，后由弦长公式可得答案.【详解】由题可得()4,2Q ，则以PQ 为直径的圆的圆心坐标为()0,2，半径为4，则PQ 为直径的圆的方程为：()22216x y +-=.将两圆方程相减可得公共弦方程为：2x =.则圆Q 圆心到公共弦方程距离为2，又圆Q 半径为4，则公共弦长为：=.故选：D6.江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽AB =水面上升5米，则水面宽为（）A.米 B. C.米D.30米【答案】D 【解析】【分析】设双曲线方程为()222210,0y x a y a a-=><，如图建立直角坐标系，水面上升5米后，设水面宽为CD ，设D (),5x a --.由题可得()10B a --，代入方程可得a ，后可得x ，即可得答案.【详解】设双曲线方程为()222210,0y x a y a a-=><，如图建立直角坐标系.水面上升5米后，设水面宽为CD ，设D (),5x a --，其中0x >.又由题可得()10B a --，代入双曲线方程可得：()()222221050011050020a a a a a a+-=⇒+-=⇒=，则D (),25x -.将D 点坐标代入双曲线方程可得：2625115400400x x -=⇒=，则D ()15,25-.又由对称性可得()15,25C --，则水面上升5米，则水面宽为30米.故选：D7.在正三棱台111ABC A B C -中，111132A B AA AB ===，11A B AB O ⋂=，则异面直线OC 与1BC 所成角的余弦值是（）A.13B.23C.33D.23【答案】B 【解析】【分析】如图建立空间直角坐标系，根据向量法求异面直线所成角.【详解】取AB 中点1O ，取11A B 中点Q ，连接1QO ，O 在1QO 上，且1332QO =，因为在正三棱台111ABC A B C -中，所以1O C AB ⊥，111QC A B ⊥，又111132A B AA AB ===，113333,2O C QC ==，在梯形11O CC Q 中，过点1C 作11C R O C ⊥，垂足为R ，过点Q 作1QS O C ⊥，垂足为S ，过点O 作1OT O C ⊥，垂足为T ，所以//OT QS ，则1111OT OO O T QSO QO S==，设1,C R h RC x ==，在1Rt C RC 和1Rt QSO 中，2222221111CC RC C R QS QO O S -===-，即22223333322x x ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得3x =6h =，因为1A OQ 与1BOO 相似，所以11112OQ A Q OO O B==，即112623,3333OT QS O T O S ====，如图，分别以11,O B O C 所在直线为x 轴，y 轴，过1O 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，11A B AB O ⋂=，所以()()(13263,0,0,,0,,0,,33B C C O ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，(13,,0,,33BC CO ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，设异面直线OC 与1BC 所成角为α，则111cos cos ,3BC COBC CO BC COα⋅===，故选：B.8.如图，是由一系列直角三角形拼接而成的几何图形，已知1122311n n OA A A A A A A -===⋅⋅⋅==，记1OA ，2OA ，…，n OA 的长度构成的数列为{}n a ，则202411i ia =∑的整数部分是（）A.87B.88C.89D.90【答案】B【解析】【分析】根据等差数列、放缩法、裂项求和法等知识进行分析，从而确定正确答案.【详解】由题意知，1122311n n OA A A A A A A -===⋅⋅⋅==，且12OA A △，23OA A △，…，1n n OA A -△都是直角三角形，所以11a =，且2211n n a a -=+，所以数列{}2n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以()20242111111,1ni ia n n a ==+-⨯==∑，1111++<++121=+++1189=<=，11+++21=++288==，即188891<++，所以所求整数部分都是88.故选：B.【点睛】方法点睛：定义法：若1n n a a +-=常数，则{}n a 是等差数列；等差中项法：若122n n n a a a ++=+，则{}n a 是等差数列.数列求和的方法可以考虑等差数列的前n 项和公式，也即公式法，也可以考虑利用裂项求和法.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错和不选的得0分.9.已知向量()1,2,0a =- ，()2,4,0b =-，则下列正确的是（）A.//a bB.a b⊥ C.2b a= D.a 在b方向上的投影向量为()1,2,0-【答案】ACD 【解析】【分析】ABC 选项，根据2b a =得到//a b 且2b a = ，AC 正确，B 错误；D 选项，利用投影向量的求解公式得到答案.【详解】ABC 选项，由题意得2b a =，故//a b 且2b a = ，AC 正确，B 错误；D 选项，a 在b方向上的投影向量为()01,2,a b b b b-⋅--⋅⋅=-，D 正确.故选：ACD10.若正项数列{}n a 为等比数列，公比为q ，其前n 项和为n S ，则下列正确的是（）A.数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列B.数列{}lg n a 是等差数列C.若{}n a 是递减数列，则01q <<D.若13n n S r -=-，则1r =【答案】ABC 【解析】【分析】设正项等比数列{}n a 的首项为1a ，则通项公式11n n a a q-=，利用等比、等差数列的定义可判定A 、B ，由10n n a a +-<，可求q 的范围，判断C ，由n S 求出1a ，再由正项数列的条件，得r 的范围，判断D .【详解】设正项等比数列{}n a 的首项为1a ，则通项公式11n n a a q-=，则()2212111n n a a q -=，所以()2221122212111111n n n n a a q q a a q +-==，所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为211a ，公比为21q 的等比数列，A 正确；则()1lg 1lg lg n a n q a =-+，所以数列{}lg n a 是以1lg a 为首项，以lg q 为公差的等差数列，故B 正确；若{}n a 是递减数列，则()110n n n n n a a a q a a q +-=-=-<，因为0n a >，则0q >，则01q <<，C 正确；若13n n S r -=-，则1110a S r ==->，则1r <，D 错误.故选：ABC11.如图所示，抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过点A ，B 作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，则（）A.A ，B 两点的纵坐标之和为常数B.在直线l 上存在点P ，使90APB ∠>︒C.1,,A O B 三点共线D.在直线l 上存在点P ，使得APB △的重心在抛物线上【答案】CD 【解析】【分析】对于A ：设出直线方程，与抛物线联立，通过韦达定理来判断；对于B ：通过计算PA PB ⋅的正负来判断；对于C ：通过计算1,OA OB k k 是否相等来判断；对于D ：求出重心，代入抛物线方程，看方程是否有解来判断.【详解】对于A ：设直线AB 的方程为2px ty =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立222p x ty y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2220y pty p --=，所以122y y pt +=，不为常数，A 错误；对于B ：设,2p P m ⎛⎫-⎪⎝⎭，122y y pt +=，212y y p =-，则()()11221212,,2222p p p p PA PB x y m x y m x x y m y m⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+-⋅+-=+++-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()221212121224p p x x x x y y m y y m =++++-++()()()221221212122424y y p p t y t p y y m y y m p =+++++-++⎡⎤⎣⎦42222222424p p p pt p p ptm m p ⎡⎤=+++--+⎣⎦()222220p t ptm m pt m =-+=-≥则90APB ∠≤ ，故在直线l 上不存在点P ，使90APB ∠>︒，B 错误；对于C ：由题可得112212,2OA OB y y yk k p x p ===--，则1121121121112222OA OB p py y ty y y py x y k k x p px px ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭-=+==()221212112220p y y ty y p t p tpx px ++-===，所以1=OA OB k k ，即1,,A O B 三点共线，C 正确；对于D ：设,2p P m ⎛⎫-⎪⎝⎭，又()212122x x t y y p pt p +=++=+，则APB △的重心坐标为12122,33p x x y y m ⎛⎫+- ⎪++ ⎪⎪⎝⎭，即2222,33p pt pt m ⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭，代入抛物线方程得22222233p pt pt m p ++⎛⎫=⋅⎪⎝⎭整理得22224830m ptm p t p +--=，()222222221648348120p t p t p p t p ∆=++=+>，所以在直线l 上存在点P ，使得APB △的重心在抛物线上，D 正确.故选：CD12.在正三棱锥S ABC -中，,,SA SB SC 两两垂直，2AB =，点M 是侧棱SC 的中点，AC 在平面α内，记直线BM 与平面α所成角为θ，则当该三棱锥绕AC 旋转时θ的取值可能是（）A.53°B.60°C.75°D.89°【答案】AB 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线BM 与平面α所成角的正弦，求其范围，然后比较角的大小即可.【详解】因为,,SA SB SC 两两垂直，如图建立空间直角坐标系：则)()(2,,,0,0,2AB C M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭则(,0,2AC BM ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，设面α的法向量为(),,n x y z =，则0n AC ⋅=+=，取1x =可得()1,,1n y =，所以sin BM nBM nθ⋅==⋅ ，令12y t -=，则12y t =+==当0=t时，0=，sin 0θ=，则0θ=，当0t ≠时，=又229113188142399t t t ⎛⎫⎛⎫++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤=，所以sin θ≤=又sin 602︒=<，()1sin 75sin 304522224+︒=︒+︒=⨯则当该三棱锥绕AC 旋转时θ的取值可能是AB.故选：AB.【点睛】方法点睛：对于线面角，可通过建立空间直角坐标系将其表示出，然后求其范围.非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.经过()()0,2,1,0A B -两点的直线的方向向量为()1,k ，则k =______．【答案】2【解析】【分析】方向向量与BA平行，由此可得．【详解】由已知(1,2)BA =，()1,k 是直线AB 的方向向量，则2k =，故答案为：2.14.已知数列{}n a 为等比数列，163a =，公比12q =，若n T 是数列{}n a 的前n 项积，当n T 取最大值时，n =______.【答案】6【解析】【分析】先求出{}n a 的通项公式，当111n n a a +≥⎧⎨≤⎩时，其前n 项积n T 最大，得解.【详解】由题意可得11632n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，*N n ∈，12n n T a a a ∴=⋅L ，且0n a >，当111n n a a +≥⎧⎨≤⎩时，n T 最大，即11631216312n n-⎧⎛⎫⨯≥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⨯≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得6n =.故答案为：6.15.已知某圆锥底面直径与母线长之比为6:5，其内切球半径为1，则此圆锥的体积等于______.【答案】32π9##32π9【解析】【分析】画出圆锥的轴截面后进行分析，注意利用三角形面积公式与内切圆半径的关系()12S a b c r =++，然后利用圆锥体积公式即得.【详解】圆锥的轴截面如图所示：设该圆锥的底面直径为6x ，则底面半径为3x .因为底面直径与母线长之比为6:5，所以母线长5x ，所以该圆锥的高4h x ==,因为内切球的半径为1，根据面积相等，可得圆锥轴截面的面积为()1164556122x x x x x ⨯⨯=++⨯，解得23x =，所以圆锥的底面半径为2，高为83，所以此圆锥的体积211832ππ23339V Sh ==⨯⨯=.故答案为：32π9.16.已知双曲线C 的渐近线方程为y x =±，两顶点为A ，B ，双曲线C 上一点P 满足3PA PB =，则tan APB ∠=______.【答案】43##113【解析】【分析】先设(),P x y ，根据3PA PB =列出方程，得到222502x ax y a -++=，联立椭圆方程得到53,44P a a ⎛⎫± ⎪⎝⎭，作出辅助线，得到tan 3APD ∠=，1tan 3BPD ∠=，利用正切的差角公式求出答案.【详解】不妨设双曲线C 的方程为()2220x y aa -=>，A ，B 为左右顶点.设(),P x y ，因为3PA PB =，所以()()222299x a y x a y ++=-+，化简得：222502x ax y a -++=，则222222502x y a x ax y a ⎧-=⎪⎨-++=⎪⎩，解得5434x a y a⎧=⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩，所以53,44P a a ⎛⎫± ⎪⎝⎭，不妨设P 在第一象限，作PD x ⊥轴于D ，则34PD a =，544a a BD a =-=，94AD AB BD a =+=，故94tan 334a AD APD a PD ∠===，14tan 334a BD BPD a PD ∠===，()13tan tan 43tan tan 11tan tan 3133APD BPD APB APD BPD APD BPD -∠-∠∠=∠-∠===+∠⋅∠+⨯.故答案为：43四、解答题：共6大题，共70分，其中第17题10分，第18题~第22题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，749=S ，59a =.（1）求n S ；（2）若3S 、118S S -、k S 成等比数列，求k 的值.【答案】（1）2n S n =（2）19k =【解析】【分析】（1）设等差数列的首项为1a ，公差为d ，依题意得到方程组，解得1a 、d ，即可求出通项公式与n S ；（2）由（1）可得3S 、118S S -、k S 的值，再根据等比中项的性质得到方程，求出k .【小问1详解】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，由749=S ，59a =，所以715176749249S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩，解得121d a =⎧⎨=⎩，所以21n a n =-，则()21212n n n S n +-==.【小问2详解】由（1）可知2339S ==，11857S S -=，2k S k =，又3S 、118S S -、k S 成等比数列，所以()21183k S S S S -=⋅，即22579k =⨯，解得19k =或19k =-（舍去），19k ∴=.18.已知圆C 的圆心在直线25y x =+上，且过()2,4A -，()2,6B 两点.（1）求圆C 的方程；（2）已知l ：()()()131510m x m y m ++--+=，若直线l 与圆C 相切，求实数m 的值.【答案】（1）()2255x y +-=（或2210200x y y +-+=）（2）35m =或3m =【解析】【分析】（1）方法一：设出圆心(),a b ，根据CA CB =和圆心在直线25y x =+上得到方程组，求出0a =，5b =，得到圆心和半径，得到答案；方法二：求出AB 的中垂线方程，联立25y x =+得到圆心坐标，进而得到半径，得到圆的方程；（2）利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，求出实数m 的值.【小问1详解】方法一：设圆心C 的坐标为(),a b ，则25b a =+，又CA CB =，则=，即250a b +-=，解得0a =，5b =，所以圆C 的半径r AC ==，所以圆C 的方程是()2255x y +-=（或2210200x y y +-+=）.方法二：AB 的中点坐标为()0,5，12AB k =，则AB 的中垂线方程为25y x =-+.则2525y x y x =+⎧⎨=-+⎩，解得05x y =⎧⎨=⎩，所以圆心C 的坐标为()0,5，所以圆C 的半径r AC ==，所以圆C 的方程是()2255x y +-=（或2210200x y y +-+=）.【小问2详解】设圆心C 到直线的距离为d ，由题意可得d ==，平方整理后可得251890m m -+=，解得35m =或3m =.19.如图，已知斜三棱柱111ABC A B C -，底面ABC 是正三角形，12AA AB ==，11A AB A AC∠=∠，点N 是棱11B C 的中点，AN =.（1）求证：1BC AA ⊥；（2）求平面1A AN 与平面ANB 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）34【解析】【分析】（1）取BC 的中点M ，连接AM ，1A B ，1AC ，1A M ，即可证明AM BC ⊥、1A M BC ⊥，从而得到BC ⊥平面1AA M ，即可得证；（2）解法一：连接MN ，1A N ，利用余弦定理求出AMN ∠，在平面1NMAA 中，过点M 作1MD A N ⊥交1A N 于点D ，则DM AM ⊥，从而建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；解法二：连接MN ，利用余弦定理求出AMN ∠，作MF AN ⊥于F ，连接BF ，即可得到BFM ∠为二面角B AN M --的平面角，再由锐角三角函数计算可得.【小问1详解】取BC 的中点M ，连接AM ，1A B ，1AC ，1A M ，∵三棱柱111ABC A B C -中，AB BC CA ==，∴AM BC ⊥，又∵11A AB A AC ∠=∠，∴11A AB A AC ≌△△，∴11A B A C =，∴1A M BC ⊥，又1A M AM M = ，1,A M AM ⊂平面1AA M ，∴BC ⊥平面1AA M ，又1AA ⊂平面1AA M ，∴1BC AA ⊥.【小问2详解】方法一：连接MN ，1A N ，在AMN 中，13AN =，3AM =2MN =，所以222cos 22AM MN AN AMN AM MN +-∠==-⋅，则150AMN ∠=︒，显然1//MN BB 且1MN BB =，11//BB AA 且11BB AA =，所以1MN AA //且1MN AA =，所以四边形1NMAA 为平行四边形，则1//MA NA ，在平面1NMAA 中，过点M 作1MD A N ⊥交1A N 于点D ，则DM AM ⊥，则60NMD ∠=︒，所以sin 301DM MN =︒=，如图建立空间直角坐标系，则)A，()0,1,0B，()N ，所以)1,0BA =-，()AN =-，设平面ABN 的法向量为(),,n x y z =，则0n BA y n AN z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取(n =，又平面1AA N 的一个法向量()0,1,0m =，∴cos ,4n m n m n m ⋅==，所以平面1A AN 与平面ANB 的夹角的余弦值为34.方法二：显然1//MN BB 且1MN BB =，11//BB AA 且11BB AA =，所以1MN AA //且1MN AA =，所以四边形1NMAA 为平行四边形，连接MN ，在AMN中，AN =，AM =2MN =，即2223cos 22AM MN AN AMN AM MN +-∠==-⋅，即150AMN ∠=︒.作MF AN ⊥于F ，连接BF .因为BC ⊥平面AMN ，AN ⊂平面AMN ，所以AN BC ⊥，又BC MF M = ，,BC MF ⊂平面BMF所以AN ⊥平面BMF ，BF ⊂平面BMF ，所以AN BF ⊥，所以BFM ∠为二面角B AN M --的平面角.在AMN 中，11sin15022AN FM AM MN =︒，解得13FM =.则BF =，所以cos 4FM BFM BF ∠==.所以平面1A AN 与平面ANB的夹角的余弦值为4.20.已知点F 为抛物线C ：()2201y px p =<<的焦点，点()0,1A x 在抛物线C 上，且54AF =.（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，设直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，且1212k k ⋅=-，求证：直线l 过定点.【答案】（1）2y x =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义与点()0,1A x 在抛物线C 上列式求解即可；（2）方法一：分直线斜率存在于不存在两种情况，联立直线与抛物线的方程，得出韦达定理，进而表达12k k ⋅再化简即可；方法二：设()211,M t t ，()222,N t t ，代入1212k k ⋅=-化简，结合直线l 的方程为()221112221t t y t x t t t --=--即可.【小问1详解】由题意得：0052421p x px ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得0121p x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，或0214p x =⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去），所以抛物线C 的方程为2y x =.【小问2详解】方法一：①当直线l 斜率存时，设直线l ：()0y kx m k =+≠，()11,M x y ，()22,N x y ，则2y xy kx m⎧=⎨=+⎩，消去x ，整理得20ky y m -+=，则140km ∆=->，121y y k +=，12m y y k⋅=，而()()()121212121212111111111y y k k x x y y y y y y --⋅=⋅==--+++++112k m k ==-++，整理得310m k ++=，所以13m k =--，所以直线l ：()1331y kx k k x =--=--，所以直线l 过定点()3,1-.②当直线l 斜率不存在时，设直线l ：()0,1x m m m =>≠，则(M m，(,N m，则1211111112k k m m m --⋅=⋅==----，得3m =，所以直线l ：3x =，则点()3,1-在直线l 上.综上：直线l 过定点()3,1-.方法二：设()211,M t t ，()222,N t t ，则()()1212221212111111112t t k k t t t t --⋅=⋅==---++，则()12123t t t t =--+，直线l 的方程为()221112221t t y t x t t t --=--，则()()12122112211221311131t t t t y x x x t t t t t t t t t t --+=+=+=--+++++，所以直线l 过定点()3,1-.21.已知数列{}n a 满足12a =，()()*111pn n na pa n a +-=+-∈N .（1）若0p =，求数列{}3nn a ⋅的前n 项和n S ；（2）若1p =，设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：112n T ≤<.【答案】（1）1321344n n n S ++=-+⋅（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由数列{}n a 递推公式可得其通项公式，再由错位相减法求数列{}3nn a ⋅的前n 项和；（2）若1p =，可得()111n n n a a a +-=-，从而111111n n n a a a +=---，利用裂项相消法推导出前n 项和为n T ，再由n T 的单调性可证明不等式成立.【小问1详解】当0p =时，则111n na a +-=，得11n n a a +-=，所以11n n a a +-=，所以数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列.所以()2111n a n n =+-⨯=+，则()313nnn a n ⋅=+⋅，所以()2323334313nn S n =⨯+⨯+⨯+++⋅ ，()2341323334313n n S n +=⨯+⨯+⨯+++⋅ ，两式相减得()234126333313nn n S n +-=+++++-+⋅ ()()21131361313n n n -+⨯-=+-+⋅-，所以1321344n n n S ++=-+⋅.【小问2详解】当1p =时，由111n n na a a +-=-，得211n n n a a a +=-+，所以()2212110n n n n n a a a a a +-=-+=->，所以数列{}n a 单调递增，因为12a =，所以2n a ≥，又由111n n na a a +-=-，可得()111n n n a a a +-=-，所以()11111111n n n n n a a a a a +==----，即111111n n n a a a +=---，则1212231111111111111111111111n n n n n T a a a a a a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪--------⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，所以1111n n T a +=--，易知1111n a +⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭为递增数列，且23a =，所以21111111211n a a +=-≤-<--，即：112n T ≤<.【点睛】数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()d d ≠0的等差数列，利用裂项相消法求和.22.已知离心率为2的双曲线1C ：()222210,0x y a b a b -=>>过椭圆2C ：22143x y +=的左，右顶点A ，B .（1）求双曲线1C 的方程；（2）()()0000,0,0P x y x y >>是双曲线1C 上一点，直线AP ，BP 与椭圆2C 分别交于D ，E ，设直线DE 与x 轴交于(),0Q Q x ，且20102Q x x λλ⎛⎫=<<⎪⎝⎭，记BDP △与ABD △的外接圆的面积分别为1S ，2S ，的取值范围.【答案】（1）22143x y -=（2）,4⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据椭圆与双曲线的基本量求解即可；（2）方法一：设直线AP ：()0022y y x x =++，()11,D x y ，联立直线与双曲线的方程，结合()00,P x y 在双曲线上，化简可得104x x =，同理04Q x x =，代入20Q x x λ=化简，结合双曲线方程可得233,P λλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，再根据正弦定理，结合sin sin BDP ADB ∠=∠代入化简可得=，再根据102λ<<求解范围即可；方法二：设直线DE ：x ty m =+，()11,D x y ，()22,E x y ，联立方程得出韦达定理，再根据P ，A ，D 三点共线，P ，B ，E 三点共线，列式化简可得002222x m m x --=++，进而可得02x λ=，结合双曲线方程可得2,P λλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，再根据正弦定理，结合sin sin BDP ADB ∠=∠=再根据102λ<<求解范围即可.【小问1详解】由题意得：22222c a c a b a ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪⎩，解得b =所以双曲线1C 的方程为22143x y -=.【小问2详解】方法一：设直线AP ：()0022y y x x =++，()11,D x y ，则()0022223412y y x x x y ⎧=+⎪+⎨⎪+=⎩，消y 得：()()()2222000222000416163120222y y y x x x x x ⎡⎤+++-=⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦，得：()()220012200161222324y x x x y-+-=++，又因为()00,P x y 在双曲线上，满足2200143x y -=，即22004312y x =-，所以()()()()()()2222000001222200000008626246224246232432312y x x x x x x x x x y x x -+--+-+--====+++++-，即104x x =.同理设直线BP ：()0022y y x x =--，()22,E x y ，可得204x x =，所以04Q x x =.因为20Q x x λ=，所以2004x x λ=，因为00x >，所以02x λ=.把02x λ=代入双曲线方程得2204143y λ-=，解得033y λ=，则点2,P λλ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.设DBP 与ABD △的外接圆的半径分别为1r ，2r ，由正弦定理得12sin PB r BDP=∠，22sin AB r ADB=∠，因为180ADB BDP ∠+∠=︒，所以sin sin BDP ADB ∠=∠.12BP r r AB===因为102λ<<，所以12λ>13,4∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.方法二：设直线DE ：x ty m =+，()11,D x y ，()22,E x y ，则223412x ty m x y =+⎧⎨+=⎩，消x 得：()2223463120t y tmy m +++-=，所以122634tm y y t -+=+，212231234m y y t -=+，得()2121242m y y y y mt-=+，因为P ，A ，D 三点共线，则011022y y x x =++，因为P ，B ，E 三点共线，则022022y y x x =--，两式相除得()()1202102222y x x y x x --=++，而()()()()()()()()()()()()2121121212122121122122422222222422m y y m m y y x y ty m ty y m y y x y ty m ty y m y m y y m m y-++--+-+-===+++++-+++()()()()()()121222222222m m y m y m mm m y m y ⎡⎤-++--⎣⎦==+⎡⎤+++-⎣⎦.因为20Q x x λ=，所以20m x λ=.因为002222x m m x --=++，所以2002002222x x x x λλ--=++，得02x λ=，把02x λ=代入双曲线方程得2204143y λ-=，解得033y λ=，则点2,P λλ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.设DBP 与ABD △的外接圆的半径分别为1r ，2r ，由正弦定理得12sin PB r BDP=∠，22sin AB r ADB=∠，因为180ADB BDP ∠+∠=︒，所以sin sin BDP ADB ∠=∠，12BP r r AB===因为102λ<<，所以12λ>13,4∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点晴：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,A x y B x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x 或y 的一元二次方程，注意判别式的判断;（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +，12x x （或12y y +，12y y ）的形式；。