圆的方程
自主梳理 1．圆的定义
在平面内，到___定点_____的距离等于____定长____的点的___集合_____叫圆． 2．确定一个圆最基本的要素是___.圆心_____和__半径______． 3．圆的标准方程
(x －a )2＋(y －b )2＝r 2
(r >0)，其中___(a ，b)_____为圆心，__ r __为半径． 4．圆的一般方程
x 2＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，若化为标准式，即为? ????x ＋D 22＋? ??
??y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4．
由于r 2
相当于D 2＋E 2－4F 4
．
所以①当D 2
＋E 2
－4F >0时，圆心为? ????－D 2
，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F 2．
②当D 2＋E 2
－4F ＝0时，表示一个点? ????－D 2
，－E 2．
③当D 2＋E 2
－4F <0时，这样的圆不存在． 5．确定圆的方程的方法和步骤 （1）确定圆的方程必须有三个独立条件
不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a 、b 、r 或D 、E 、F )的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值．
（2）确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程；
(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组；
(3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F 代入标准方程或一般方程 6．点与圆的位置关系
点和圆的位置关系有三种．
圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2
，点M (x 0，y 0)，
(1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2__＝__r 2
；
(2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2_>___r 2
；
(3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2___<_r 2
.
自我检测
1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是______．x 2
＋(y －2)2
＝1 2．圆x 2
－2x ＋y 2
－3＝0的圆心到直线x ＋3y －3＝0的距离为___1_____．
3．点P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2
＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( ) A ．x －y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．2x －y －5＝0
4．已知点(0,0)在圆：x 2＋y 2＋ax ＋ay ＋2a 2
＋a －1＝0外，则a 的取值范围是
_______(－1－73，－1)∪(12，－1＋7
3)____．
5．过圆x 2＋y 2
＝4外一点P (4,2)作圆的切线，切点为A 、B ，则△APB 的外接圆方程为____(x
－2)2＋(y －1)2
＝5____．
6．已知圆的方程为0862
2=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的两条弦分别为AC 和BD ，
且BD AC ⊥.则四边形ABCD 的面积最大值为（ ） A ．206 B ．306 C ．49 D ．50
7．已知两定点A(-2,0)，B(1,0)，如果动点P 满足PB PA 2=，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（ ）
A.π
B.8π
C.4π
D.9π
8．当曲线214y x =-与直线240kx y k --+=有两个相异的交点时，实数k 的取值范围是（ ） A ．5(0,)12 B ．13(,]34 C ．53(,]124 D ．5
(,)12
+∞
题型一 求圆的方程
例1 根据下列条件，求圆的方程：
(1)经过P (－2,4)、Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6；
(2)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)．
(3)求经过点A (－2，－4)，且与直线l ：x ＋3y －26＝0相切于点B (8,6)的圆的方程． 解题导引 (1)一可以利用圆的一般式方程，通过转化三个独立条件，得到有关三个待定字母的关系式求解；二可以利用圆的方程的标准形式，由条件确定圆心和半径．
(2)一般地，求圆的方程时，当条件中给出的是圆上若干点的坐标，较适合用一般式，通过解三元方程组求待定系数；当条件中给出的是圆心坐标或圆心在某直线上、圆的切线方程、圆的弦长等条件，适合用标准式．
解 (1)设圆的方程为
x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，
将P 、Q 点的坐标分别代入得
?
??
?? 2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10.
①②
又令y ＝0，得x 2
＋Dx ＋F ＝0. ③ 设x 1，x 2是方程③的两根， 由|x 1－x 2|＝6有D 2
－4F ＝36，
④
由①、②、④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8，或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0.
故所求圆的方程为
x 2＋y 2－2x －4y －8＝0，或x 2＋y 2－6x －8y ＝0. (2)方法一 如图，设圆心(x 0，－4x 0)，依题
意得4x 0－23－x 0
＝1，
∴x 0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r ＝22，
故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2
＝8.
方法二 设所求方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2
，
根据已知条件得
?????
y 0
＝－4x 0，(3－x 0
)2
＋(－2－y 0
)2
＝r 2
，|x 0
＋y 0
－1|
2
＝r ，
解得???
x 0＝1，
y
＝－4，
r ＝2 2.
因此所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8. （3）解 方法一 设圆心为C ，
所求圆的方程为x 2＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，
则圆心C ? ????－D
2
，－E 2.∴k CB ＝6＋E 28＋D 2
.
由k CB ·k l ＝－1，
∴6＋
E 28＋D 2
·? ????－13＝－1.①
又有(－2)2＋(－4)2
－2D －4E ＋F ＝0，②
又82＋62
＋8D ＋6E ＋F ＝0.③
解①②③，可得D ＝－11，E ＝3，F ＝－30.
∴所求圆的方程为x 2＋y 2
－11x ＋3y －30＝0.
方法二 设圆的圆心为C ，则CB⊥l，从而可得CB 所在直线的方程为y －6＝3(x －8)，即3x －y －18＝0.①
由A(－2，－4)，B(8,6)，得AB 的中点坐标为(3,1)．
又k AB ＝6＋4
8＋2
＝1，
∴A B 的垂直平分线的方程为y －1＝－(x －3)， 即x ＋y －4＝0.②
由①②联立后，解得?????
x ＝112
，y ＝－3
2.即圆心坐标为? ????11
2
，－32.
∴所求圆的半径r ＝
? ????112－82＋? ????－32－62＝1252
. ∴所求圆的方程为?
????x －1122＋? ????y ＋322＝125
2.
变式训练1 (1)已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为 ( ) A ．(x ＋1)2
＋(y －1)2
＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2
＝2 C ．(x －1)2
＋(y －1)2
＝2
D ．(x ＋1)2
＋(y ＋1)2
＝2
(2)若圆上一点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，则圆的方程是___(x －6)2
＋(y ＋3)2
＝52或(x －14)2
＋(y ＋7)2
＝
244_______________．
题型二 圆的几何性质的应用
例2 已知圆x 2＋y 2
＋x －6y ＋m ＝0和直线x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．
解 方法一 将x ＝3－2y ，
代入方程x 2＋y 2
＋x －6y ＋m ＝0，
得5y 2
－20y ＋12＋m ＝0.
设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则y 1、y 2满足条件：
y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝12＋m
5
.
∵OP⊥OQ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0. 而x 1＝3－2y 1，x 2＝3－2y 2. ∴x 1x 2＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2. ∴9－6(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0，
∴9－6×4＋5×12＋m
5
＝0，
∴m＝3，此时1＋36－3×4>0，圆心坐标为? ??
??－12，3，半径r ＝52. 方法二
如图所示，
设弦PQ 中点为M ， ∵O 1M⊥PQ， ∴kO 1M ＝2.
又圆心坐标为? ??
??－12，3， ∴O 1M 的方程为y －3＝2? ??
??x ＋12，即y ＝2x ＋4. 由方程组???
??
y ＝2x ＋4，
x ＋2y －3＝0，
解得M 的坐标为(－1,2)．
则以PQ 为直径的圆可设为(x ＋1)2
＋(y －2)2
＝r 2
.
∵OP⊥OQ，∴点O 在以PQ 为直径的圆上．
∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r 2，即r 2＝5，MQ 2＝r 2
.
在Rt △O 1MQ 中，O 1M 2＋MQ 2＝O 1Q 2
.
∴? ??
??－12＋12＋(3－2)2
＋5＝1＋－62
－4m 4.
∴m＝3.∴半径为52，圆心为? ????－12，3.
方法三 设过P 、Q 的圆系方程为
x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＋λ(x ＋2y －3)＝0．
由OP ⊥OQ 知，点O (0,0)在圆上．
∴m －3λ＝0，即m ＝3λ．
∴圆系方程可化为
x 2＋y 2＋x －6y ＋3λ＋λx ＋2λy －3λ＝0．
即x 2
＋(1＋λ)x ＋y 2
＋2(λ－3)y ＝0．
∴圆心M ? ??
??－1＋λ2，2(3－λ)2，又圆心在PQ 上．
∴－1＋λ2
＋2(3－λ)－3＝0，∴λ＝1，∴m ＝3．
∴圆心为? ????－12，3，半径为52．
变式训练2 如图，已知圆心坐标为(3，1)的圆M 与x 轴及直线y ＝3x 分别相切于A 、B 两点，另一圆N 与圆M 外切且与x 轴及直线y ＝3x 分别相切于C 、D 两点．
(1)求圆M 和圆N 的方程；
(2)过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦的长度．
解 (1)∵M 的坐标为(3，1)，∴M 到x 轴的距离为1，即圆M 的半径为1，
则圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2
＝1.
设圆N 的半径为r ， 连接MA ，NC ，OM ，
则MA⊥x 轴，NC⊥x 轴，
由题意知：M ，N 点都在∠COD 的平分线上， ∴O，M ，N 三点共线．
由Rt △OAM∽Rt △OCN 可知，
|OM|∶|ON|＝|MA|∶|NC|，即23＋r ＝1
r
?r ＝3，
则OC ＝33，则圆N 的方程为(x －33)2
＋(y －3)2
＝9.
(2)由对称性可知，所求的弦长等于过A 点与MN 平行的直线被圆N 截得的弦的长度，
此弦的方程是y ＝3
3(x －3)，即x －3y －3＝0，
圆心N 到该直线的距离d ＝
32
， 则弦长为2r 2
－d 2
＝33.
题型三 与圆有关的最值问题
例3．已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2
＝1上． (1)求x ＋y 的最大值和最小值； (2)求y x
的最大值和最小值；
(3)求x 2
＋y 2
＋2x －4y ＋5的最大值和最小值．
解 (1)设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 的纵截距，所以x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距．
由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径， 即|2＋－3－t|2
＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1，
所以x ＋y 的最大值为2－1， 最小值为－2－1.(4分) (2)y x 可视为点(x ，y)与原点连线的斜率，y
x
的最大值和最小值就是过原点的直线与该圆有公共点时斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．
设过原点的直线方程为y ＝kx ，由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，即|2k －－3|
1＋k
2
＝1， 解得k ＝－2＋233或k ＝－2－23
3，
所以y x 的最大值为－2＋23
3，
最小值为－2－233
.(8分)
(3)x 2
＋y 2
＋2x －4y ＋5，
即[x －－1]2＋y －22
，其最值可视为点(x ，y)到定点(－1,2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．
又因为圆心到定点(－1,2)的距离为34，所以x 2＋y 2
＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1.
探究提高 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：①形如μ＝y －b
x －a
形式的最
值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x －a )2
＋(y －b )2
形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
变式训练3① 已知M 为圆C ：x 2
＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－
2,3)．
(1)求|MQ |的最大值和最小值；
(2)若M (m ，n )，求n －3
m ＋2的最大值和最小值．
(1)|MQ |max ＝62，|MQ |min ＝2 2 (2)n －3m ＋2
的最大值为2＋3，最小值为2－ 3
② 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2
－4x ＋1＝0. (1)求y －x 的最大值和最小值；
(2)求x 2＋y 2
的最大值和最小值．
解题导引 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：
(1)形如μ＝y －b
x －a
形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t ＝ax ＋by
形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(x －a)2＋(y －b)2
形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
解 (1)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距
b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|
2
＝3，解得b ＝－2± 6.
所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.
(2)x 2＋y 2
表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为2－02＋0－02
＝2，
所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2
＝7＋43， x 2＋y 2的最小值是(2－3)2
＝7－4 3.
题型四 与圆有关的轨迹问题
例4 已知P (4,0)是圆x 2
＋y 2
＝36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB ＝90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程．
解 设AB 的中点为R ，坐标为(x 1，y 1)， 则在Rt △ABP 中， |AR |＝|PR |.
又因为R 是弦AB 的中点，
故|AR |2＝|AO |2－|OR |2＝36－(x 12＋y 12
)，
又|AR |＝|PR |＝(x 1－4)2
＋y 21，
所以有(x 1－4)2＋y 12＝36－(x 12＋y 12
)，
即x 12＋y 12
－4x 1－10＝0. 因此点R 在一个圆上．而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹
上运动．
设Q (x ，y )，因为R 是PQ 的中点，
所以x 1＝x ＋42，y 1＝y ＋0
2.
代入方程x 12＋y 12
－4x 1－10＝0， 得? ????x ＋422＋? ??
??y 22－4·x ＋42－10＝0， 整理得x 2＋y 2
＝56.
即矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程为x 2＋y 2
＝56. 探究提高 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程； ③几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．
④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
变式训练4 设定点M (－3,4)，动点N 在圆 x 2
＋y 2
＝4上运动，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹． 解 如图所示，设P (x ，y )，
N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为?
??
??x 2，y 2
，线段MN 的 中点坐标为?
??
??x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，
故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋4
2
. 从而?
??
??
x 0＝x ＋3y 0＝y －4.
N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.
因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2
＝4，但应除去两点? ????－95，125和? ??
??－215，285(点P 在直
线OM 上时的情况)．
方法与技巧
1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数． 2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算． 失误与防范
1．求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．
2．过圆外一定点，求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．
一、选择题
1．已知圆C ：x 2
＋y 2
＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数
m 的值为
( )
A ．8
B ．－4
C ．6
D ．无法确定 2．已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，
则圆的方程是
( )
A ．x 2＋y 2－4x ＝0
B ．x 2
＋y 2＋4x ＝0
C ．x 2
＋y 2
－2x －3＝0 D ．x 2
＋y 2
＋2x －3＝0
3．在圆x 2＋y 2
－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，
则四边形ABCD 的面积为( )
A ．5 2
B ．102
C ． 15 2
D ．20 2
B [圆的方程化为标准形式为(x －1)2＋(y －3)2＝10，由圆的性质可知最长弦|AC|＝210，最短弦BD 恰以E(0,1)为中心，设点F 为其圆心，坐标为(1,3)．
故EF ＝5，∴BD＝210－5
2
＝25，
∴S 四边形ABCD ＝1
2AC·BD＝10 2.]
4．若直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2
＝1相交，则P (a ，b )
( )
A ．在圆上
B ．在圆外
C ．在圆内
D ．以上都有可能
5．圆x 2＋y 2
＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0 (a 、b ∈R )对称，则ab
的取值范围是( )
A.? ????－∞，14
B.? ????0，14
C.? ????－14，0
D.? ??
??－∞，14
6．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2
－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是( )
A ．3－ 2
B ．3＋ 2
C ．3－22 D.3－2
2
7．已知函数y ＝1－(x －1)2
，x ∈[1,2]，对于满足1
④(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]>0.其中正确结论的个数为 ( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 二、填空题
8．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则
圆C 的方程为__(x ＋1)2＋y 2
＝2______________．
9．设直线ax －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2
＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则a ＝___0_____.
10．已知点M (1,0)是圆C ：x 2
＋y 2
－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是___ x ＋y －1＝0 _______．
11．直线x －2y －2k ＝0与2x －3y －k ＝0的交点在圆x 2
＋y 2
＝9的外部，则k 的范围是
______.? ????－∞，－35∪? ????35，＋∞______________． 12．过原点O 作圆x 2
＋y 2
－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ 的长为___4_____．
三、解答题
13．根据下列条件，求圆的方程：
(1)经过A (6,5)、B (0,1)两点，并且圆心C 在直线3x ＋10y ＋9＝0上； (2)过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2)． 解 (1)∵AB 的中垂线方程为3x ＋2y －15＝0，
由????? 3x ＋2y －15＝0，3x ＋10y ＋9＝0，解得?
????
x ＝7，y ＝－3. ∴圆心为C(7，－3)．又|CB|＝65，
故所求圆的方程为(x －7)2＋(y ＋3)2
＝65. (2) 设圆的一般方程为
x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，
则????
?
1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0.
解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.
∴所求圆的方程为x 2
＋y 2
－2x －4y －95＝0.
14．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410. (1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．
解 (1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)， ∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)， 即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ，b )， 则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.
①
又直径|CD |＝410，∴|PA |＝210， ∴(a ＋1)2
＋b 2
＝40
②
由①②解得????? a ＝－3b ＝6或?
????
a ＝5
b ＝－2
∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)，∴圆P 的方程为(x ＋3)2
＋(y －6)2
＝40或(x －5)2
＋(y ＋2)2
＝40.
15．已知圆M 过两点A (1，－1)，B (－1，1)，且圆心M 在直线x ＋y －2＝0上． (1)求圆M 的方程；
(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆M 的两条切线，A 、
B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．
解 (1)设圆M 的方程为(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
(r >0)，
根据题意得：?????
(1－a )2
＋(－1－b )2
＝r 2
(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2
，
a ＋
b －2＝0
解得a ＝b ＝1，r ＝2，
故所求圆M 的方程为(x －1)2
＋(y －1)2
＝4. (2)由题意知，四边形PAMB 的面积为 S ＝S △PAM ＋S △PBM ＝12|AM ||PA |＋1
2|BM ||PB |.
又|AM |＝|BM |＝2，|PA |＝|PB |， 所以S ＝2|PA |，
而|PA |＝|PM |2
－|AM |2
＝|PM |2
－4， 即S ＝2|PM |2－4.
因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点
P ，使得|PM |的值最小，
所以|PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|
32＋4
2
＝3， 所以四边形PAMB 面积的最小值为S min ＝2|PM |2min －4＝232
－4＝2 5.
高考数学复习圆的方程专题练习（附答案）圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定。以下是圆的方程专题练习，请考生查缺补漏。 一、填空题 1.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0 和x轴都相切，则该圆的标准方程是________. [解析] 设圆心C(a，b)(a0，b0)，由题意得b=1. 又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1， 解得a=2或a=-(舍). 所以该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1. [答案] (x-2)2+(y-1)2=1 2.(2019南京质检)已知点P(2,1)在圆C：x2+y2+ax-2y+b=0上，点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________. [解析] 因为点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆上， 该直线过圆心，即圆心满足方程x+y-1=0， 因此-+1-1=0，解得a=0，所以圆心坐标为(0,1). [答案] (0,1) 3.已知圆心在直线y=-4x上，且圆与直线l：x+y-1=0相切于点P(3，-2)，则该圆的方程是________. [解析] 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，与y=-4x
联立可求得圆心为(1，-4). 半径r=2，所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8. [答案] (x-1)2+(y+4)2=8 4.(2019江苏常州模拟)已知实数x，y满足 x2+y2-4x+6y+12=0，则|2x-y|的最小值为________. [解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1，令 x=2+cos ， y=-3+sin ，则|2x-y|=|4+2cos +3-sin | =|7-sin (-7-(tan =2). [答案] 7- 5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0(a0，b0)对称，则+的最小值是________. [解析] 由圆的对称性可得，直线2ax-by+8=0必过圆心(-2,4)，所以a+b=2.所以+=+=++52+5=9，由=，则a2=4b2，又由a+b=2，故当且仅当a=，b=时取等号. [答案] 9 6.(2019南京市、盐城市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，若圆x2+(y-1)2=4上存在A，B两点关于点P(1，2)成中心对称，则直线AB的方程为________. [解析] 由题意得圆心与P点连线垂直于AB，所以kOP==1，kAB=-1， 而直线AB过P点，所以直线AB的方程为y-2=-(x-1)，即
圆的方程经典题目 1．求满足下列条件的圆的方程 （1）过点A(5,2)和B(3,-2)，且圆心在直线32-=x y 上;（2）圆心在835=-y x 上，且与两坐标轴相切;（3）过ABC ?的三个顶点)5,5()2,2()5,1(C B A 、、---;（4）与y 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且直线 x y =截圆所得弦长为72；（5）过原点，与直线1:=x l 相切，与圆1)2()1(:2 2 =-+-y x C 相外切；（6）以C(1,1)为圆心，截直线2-=x y 所得弦长为22;（7）过直线042:=++y x l 和圆0142:2 2 =+-++y x y x C 的交点，且面积最小的圆的方程. （8）已知圆满足①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为1:3③圆心到直线02:=-y x l 的距离为52.0，求该圆的方程. （9）求经过)3,1()2,4(-B A 两点且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程 2、已知方程0916)41(2)3(24222=++-++-+m y m x m y x 表示一个圆（1）求实数m 的取值范围 （2）求该圆半径r 的取值范围（3）求面积最大的圆的方程（4）求圆心的轨迹方程 1. 已知圆252 2 =+y x , 求下列相应值
（1）过)4,3(-的切线方程（2）过)7,5(的切线方程、切线长；切点弦方程、切点弦长 （3）以)2,1(为中点的弦的方程 （4）过)2,1(的弦的中点轨迹方程 （5）斜率为3的弦的中点的轨迹方程 2. 已知圆 062 2 =+-++m y x y x 与直线032=-+y x 相交于Q P 、两点，O 为坐标原点，若OQ OP ⊥，求实数m 的值． 3、已知直线b x y l +=:与曲线21:x y C -=有两个公共点，求b 的取值范围 4、一束光线通过点)18,25(M 射到x 轴上，被反射到圆25)7(:2 2 =-+y x C 上.求： （1）通过圆心的反射线方程，（2）在x 轴上反射点A 的活动范围. 5、圆03422 2 =-+++y x y x 上到直线0=++m y x 的距离为2的点的个数情况 已知两圆01010:2 2 1=--+y x y x O 和04026:2 2 2=--++y x y x O （1）判断两圆的位置关系 （2）求它们的公共弦所在的方程 （3）求公共弦长 （4）求公共弦为直径的圆的方程． 题型五、最值问题 思路1：几何意义 思路2：参数方程 思路3、换元法 思路4、函数思想 1. 实数y x ,满足012462 2 =+--+y x y x （1）求 x y 的最小值 （2）求2 2y x ++32-y 的最值；（3）求y x 2-的最值（4）|143|-+y x 的最值 2. 圆25)2()1(:2 2=-+-y x C 与)(047)1()12(:R m m y m x m l ∈=--+++．（1）证明：不论m 取什么实数直线l 与圆C 恒相交（2）求直线l 被圆C 截得最短弦长及此时的直线方程 3、平面上有A （1,0），B （-1,0）两点，已知圆的方程为()()2 2 2342x y -+-=.⑴在圆上求一点1P 使△AB 1P 面积最大并求出此面积;⑵求使2 2 AP BP +取得最小值时的点P 的坐标. 4、已知P 是0843:=++y x l 上的动点，PB PA ,是圆01222 2 =+--+y x y x 的两条切线，A 、B 是切点， C 是圆心，那么四边形PACB 的面积的最小值为 5、已知圆的方程为0862 2=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为_________ 6、已知圆的方程为0862 2=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的互相垂直的弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为_________
高三数学一轮复习 1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21++=+n n n a S S ， . ①283-=+a a ；②287-=S ；③2a ，4a ，5a 成等比数列； 请在①②③这三个条件中选择一个，填入题中的横线上，并解答下面的问题： （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最小值并指明相应n 的值. 解：（1）21++=+n n n a S S ，21=-∴+n n a a ∴数列{}n a 是公差2=d 的等差数列。 选①2-922-183=+∴=+d a a a 解得10-1=a 122-=∴n a n 选②287-=S 解得10-1=a 122-=∴n a n 选③由2a ，4a ，5a 成等比数列得522 4a a a =即())4)((3112 1d a d a d a ++=+ 解得10-1=a 122-=∴n a n （2）解法一：令?? ?≥≤+001n n a a 即???≥-≤-0 1020 122n n 解得65≤≤n ∴当65==n n 或时，n s 取得最小值，且最小值为30- 解法二：)11(-=n n s n ∴当65==n n 或时，n s 取得最小值，且最小值为30- 2.在①231a b b =+，②44a b =，③255-=s 中选择一个作为条件，补充在下列题目中，使得正整数 k 的值存在，并求出正整数k 的值 设等差数列{}n a 的前n 项和为n s ，{}n b 是等比数列，★_______，51a b =，32=b ，81-5=b 是否存在正整数k ，1+k k s s ，21++k k s s 解：32=b ，81-5=b 3-=∴q 151-==∴a b 274=∴b 011 ++∴k k k a s s 0221 +++∴k k k a s s ，0-12 d a a k k =∴++ 若存在正整数k ，1+k k s s ，21++k k s s ，那么等差数列{}n a 的前n 项和为n s 必然为开口向上() 0 d 的函数模型，在条件选择的时候，选择条件②2744==a b ，由151-==a b 显然公差()0 d ，由
45分钟滚动基础训练卷(十) [考查范围：第32讲～第35讲 分值：100分] 一、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，把答案填在答题卡相应位置) 1．不等式|x －2|(x －1)<2的解集是________． 2．已知x 是1,2，x,4,5这五个数据的中位数，又知－1,5，－1 x ，y 这四个数据的平均数 为3，则x ＋y 最小值为________． 3．已知函数f (x )＝? ???? 2x 2＋1(x ≤0)， －2x (x >0)，则不等式f (x )－x ≤2的解集是________． 4．已知集合A ＝{x |y ＝lg(2x －x 2)}，B ＝{y |y ＝2x ，x >0}，R 是实数集，则(?R B )∩A ＝________. 5．设实数x ，y 满足????? x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0， 则u ＝y x －x y 的取值范围是________． 6．[2011·广州调研] 在实数的原有运算法则中，定义新运算a b ＝a －2b ，则|x (1－ x )|＋|(1－x )x |>3的解集为________． 7．已知函数f (x )＝x 2－cos x ，对于??? ?－π2，π 2上的任意x 1，x 2，有如下条件：①x 1>x 2；②x 21>x 22；③|x 1|>x 2.其中能使f (x 1)>f (x 2)恒成立的条件序号是________． 8．已知函数f (x )＝2x ＋a ln x (a <0)，则f (x 1)＋f (x 2)2________f ???? x 1＋x 22(用不等号填写大小关系)． 二、解答题(本大题共4小题，每小题15分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 9．设集合A 为函数y ＝ln(－x 2－2x ＋8)的定义域，集合B 为函数y ＝x ＋1 x ＋1 的值域，集合C 为不等式? ???ax －1 a (x ＋4)≤0的解集． (1)求A ∩B ； (2)若C ??R A ，求a 的取值范围． 10．已知二次函数y ＝f (x )图象的顶点是(－1,3)，又f (0)＝4，一次函数y ＝g (x )的图象过(－2,0)和(0,2)． (1)求函数y ＝f (x )和函数y ＝g (x )的解析式； (2)当x >0时，试求函数y ＝f (x ) g (x )－2 的最小值．
高二数学辅导资料(三) 内容：圆与方程 本章考试要求 考试内容 要求层次A B C 圆与方程 圆的标准方程与一般方程√ 直线与圆的位置关系 √ 两圆的位置关系√ 用直线和圆的方程解决简单的问 题 √空间直角坐标系 空间直角坐标系√ 空间两点间的距离公式√ 一、圆的方程 【知识要点】 圆心为，半径为的圆的标准方程为： 时，圆心在原点的圆的方程为：. 圆的一般方程，圆心为点，半径，其中. 圆系方程：过圆：与圆： 交点的圆系方程是 （不含圆）, 当时圆系方程变为两圆公共弦所在直线方程. 【互动探究】 考点一求圆的方程 问题1．求满足下列各条件圆的方程： 以两点，为直径端点的圆的方程是 求经过，两点，圆心在直线上的圆的方程；
过点的圆与直线相切于点，则圆的方程是? 考点二圆的标准方程与一般方程 问题2．方程表示圆，则的取值范围是 考点三轨迹问题 问题3.点与圆上任一点连线的中点轨迹方程是 问题4．设两点，，动点到点的距离与到点的距离的比为，求点的轨迹. 二、直线和圆、圆与圆的位置关系 【知识要点】 直线与圆的位置关系 位置关系相切相交相离 几何特征 代数特征 将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式 为，圆的半径为，圆心到直线的距离为,则直线与 圆的位置关系满足以下关系： 直线截圆所得弦长的计算方法： 利用垂径定理和勾股定理：（其中为圆的半径，直线到圆心的距离）. 圆与圆的位置关系：①设两圆的半径分别为和，圆心距为，则两圆的位置关系满足关系： 位置关系外离外切相交内切内含 几何特征 代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解 ②设两圆，，若两圆相交，则两圆的公共弦所在的直线方程 是 相切问题的解法：
圆的方程 ()() 2 2 2x a y b r -+-= 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b 和半径r ①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材119P 例2 往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理 2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解） 条件 方程形式 圆心在原点 ()222 0x y r r +=≠ 过原点 ()()()2 2 2 2 2 20x a y b a b a b -+-=++≠ 圆心在x 轴上 ()()2 2 2 0x a y r r -+=≠ 圆心在y 轴上 ()()2 2 2 0x y b r r +-=≠ 圆心在x 轴上且过原点 ()()2 2 2 0x a y a a -+=≠ 圆心在y 轴上且过原点 ()()2 2 2 0x y b b b +-=≠ 与x 轴相切 ()()()2 2 2 0x a y b b b -+-=≠ 与y 轴相切 ()()()2 2 2 0x a y b a a -+-=≠ 与两坐标轴都相切 ()()()2 2 2 0x a y b a a b -+-==≠ 二、一般方程 ()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 1.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：如教材122P 例r 4 2.2 2 40D E F +->常可用来求相关参数的范围 三、点与圆的位置关系 1.判断方法：点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值： （1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值
第1页 共64页 高考数学总复习教案 第一章-集合 考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件． 考试要求： （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． （2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义． §01. 集合与简易逻辑 知识要点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分： 二、知识回顾： （一） 集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ?，同时A B ?，那么A = B. 如果C A C B B A ???，那么，. [注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×） ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ，则C B A = ?， C A B = ? C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ?）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }二、四象限的点集. ③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集.
2019届高三数学一轮复习方案 为备战2019年高考，合理有效利用各种资源科学备考，特制定本方案，来完成高三数学一轮复习； 一、指导思想 立足课本，以纵向为主，顺序整理，真正落实“低起点，勤反复、滚动式复习”，抓牢三基，重视展现和训练思维过程，总结和完善解题程序，渗透和提炼数学思想方法，加强章节知识过关，为二轮（条件允许可进行三轮）复习打下坚实的基础，大约在2019年年初结束。 二、复习要求 1、在一轮复习中，指导学生对基础知识、基本技能进行梳理，使之达到系统化、结构化、完整化；通过对基础题的系统训练和规范训练，使学生准确理解每一个概念，能从不同角度把握所学的每一个知识点、所有可能考查到的题型，熟练掌握各种典型问题的通法。 2、一轮复习必须面向全体学生，降低复习起点，在夯实“双基”的前提下，注重培养学生的能力，包括：空间想象、运算求解、推理论证、数据处理等基本能力。复习教学要充分考虑到本班学生的实际水平，坚决反对脱离学生实际的任意拔高和只抓几个“优生”放弃大部分“差生”的不良做法，不做或少做无效劳动，加大分层教学和个别指导的力度，狠抓复习的针对性、实效性，提高复习效果。 3、在将基础问题学实学活的同时，重视数学思想方法的复习。
一定要把复习内容中反映出来的数学思想方法的教学体现在一轮复习的全过程中，使学生真正领悟到如何灵活运用数学思想方法解题。必须让学生明白复习的最终目标是新题会解，而不是单单立足于陈旧题目的熟练。 三、一轮复习进度表 1、理科 日期一轮复习主要内容用卷 8月1日--8月7日第1讲集合 第2讲命题及重要条件 第3讲 逻辑联结词与全称命题、特称命题 限时小 题训练 8月8日--9月28日第4讲函数概念及其表示 第5讲函数的单调性与最值（二次） 第6讲函数的奇偶性与周期性 第7讲二次函数与幂函数 第8讲指数与指数函数 第9讲对数与对数函数 第10讲函数的图象 第11讲函数与方程 第13讲变化率与导数、导数的运算 第14讲导数在研究函数中的应用 第15讲定积分与微积分基本定理 限时小 题训练 导数强 化练习 复习卷
集合 1、集合的含义 把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)． 2、集合中元素的三个特征 (1)确定性：给定集合A ，对于某个对象x ，“x ∈A ”或“x ?A ”这两者必居其一且仅居其一． (2)互异性：集合中的元素互不相同． (3)无序性：在一个给定的集合中，元素之间无先后次序之分． 3、集合的表示 (1)把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法称为列举法． (2)把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法称为描述法．常 用形式是：{x |p }，竖线前面的x 叫做集合的代表元素，p 表示元素x 所具有的公共属性． (3)用平面上一段封闭的曲线的内部表示集合，这种图形称为Venn 图．用Venn 图、数 轴上的区间及直角坐标平面中的图形等表示集合的方法称为图示法． 4、元素与集合的关系 如果x 是集合A 中的元素，则说x 属于集合A ，记作x ∈A ；若x 不是集合A 中的元素，就说x 不属于集合A ，记作x ?A ． 5、常用数集的符号表示 6、有限集与无限集 含有有限个元素的集合叫有限集，含有无限个元素的集合叫无限集． 例1：若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B ．98 C ．0 D ．0或 9 8 例2：说出下列三个集合的含义：①{x |y ＝x 2}；②{y |y ＝x 2}；③{(x ，y )|y ＝x 2}．
1．子集 例如：A＝{0,1,2}，B＝{0,1,2,3}，则A、B的关系是A?B或B?A． 2．真子集 A B(或 B A) 例如：A＝{1,2}, B＝{1,2,3}，则A、B的关系是A B(或B A) 3．相等 若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B. 例如：若A＝{0,1,2}，B＝{x,1,2}，且A＝B，则x＝0. 4．空集 没有任何元素的集合叫空集，记为?. 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集
2012届高三数学一轮基础知识复习第一部分 集合 1．理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ； 2．数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 3．（1）含n 个元素的集合的子集数为2n ,真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n －2； （2）;B B A A B A B A =?=?? 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 第二部分 函数与导数 1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。 2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ； ⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 2 2 2 2b a b a a b +≤ +≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x a 、x sin 、x cos 等）；⑨导数法 3．复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法： ① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b 解出 ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y =； ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性； ③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性 ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．； ⑵)(x f 是奇函数?f(－x)=－f(x)；)(x f 是偶函数?f(－x)= f(x) ⑶奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ； ⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； ⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义： ①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈??当21x x <时有12()()f x f x <；
1 圆的方程练习题 1.圆x 2+y 2 -4x=1的圆心及半径分别是 ( ) A .(2,0),5 B . C . D .(2,2),5 2 .方程x 2+y 2 +2x-4y-6 =0表示的图形是 ( ) A .以(1,- 2)为圆心 B .以(1,2)为圆心 为半径的圆 C .以(-1, -2)为圆心 D .以( -1,2)为圆心 3.过点A (6,0),B (1,5),且圆心在直线2x-7y+8=0上的圆的方程为( ) A .(x+3)2+(y+2)2=13 B .(x+3)2+(y-2)2 =13 C .(x-3)2+(y-2)2=13 D .(x-3)2+(y+2)2 =13 4.方程(x-a )2+(y-b )2 =0的图形是 ( ) A .一个圆 B .两条直线 C .两条射线 D .一个点 5.已知点A (2,4),B (8,-2),以AB 为直径的圆的方程 ( ) A .(x-5)2+(y-1)2=18 B .(x-5)2+(y-1)2 =72 C .(x+5)2+(y+1)2=18 D .(x+5)2+(y+1)2 =72 6.与圆x 2+y 2 -2x+4y+3=0的圆心相同,半径是5的圆的方程是( ) A .(x-1)2+(y+2)2=25 B .(x-1)2+(y+2)2 =5 C .(x+1)2+(y-2)2=25 D .(x+1)2+(y-2)2 =5 7.已知圆x 2+y 2 +2x-4y-a=0的半径为3,则 ( ) A .a=8 B .a=4 C .a=2 D .a=14 8.圆心在C (-1,2),半径为 ( ) 11A. B.2213cos 1C. D.23sin 2x x y y x x y y θθ θθ θθ θθ ? ?=+=-+????=-=?????=-+=-+????=+?=+??
梗概： 1、关于圆与直线的三种位置关系的判定，分代数法和几何法。三种情况分别各有研究重点。相交时,研究弦长,中点弦,最长最短弦;相切时,研究切线方程,切线段长，切点所在直线方程；相离时，研究圆上动点到直线距离的最值（其它两种位置关系也可研究）;直线和圆系方程及圆系方程。 2、圆与圆位置关系的判定,连心线性质(平分公共弦）,公切线条数判断(实质及两圆位置关系判断),公共弦所在直线方程及公共弦长,两圆上动点距离的最值，圆系方程。 注:关注各种利用几何意义求最值 求圆的方程 一、已知圆上三点，求圆的方程 例1 、(1,0),1,1),(3,2). A B C -- 解法一：待定系数法，设出圆的标准方程或一般方程,求出a,b,ｒ,或者Ｄ，Ｅ,F 解法二：垂直平方线的焦点为圆心，两点间距离求半 径。 二、已知两点和圆心所在直线 解法一:待定系数法,设出标准或一般方程。 解法二:垂直平分线与圆心所在直线的交点求圆心,两 点间距离求半径。 三、已知弦长求圆的方程 (2,4)Q3-1 P- 例2、过及（，）两点，且在x轴上 截得的弦长为6的圆的方程。 例３、圆心在直线30 x y -=上,与 x轴相切,且 被直线0 x y -=截得的弦长为，求圆的方程。（课 本1３２A６) 例4、求与x轴切于(５，０），并在y轴上截得 的弦长为10的圆的方程。 例5、已知圆C过点(１,0),且圆心在x轴的 正半轴上，直线被圆C所截得的弦长为 求过圆心且与直线l垂直的直线方程。 四、已知切点，求圆的方程 例６、直线43350 x y +-=与圆心在原点的圆C相 切，求圆的方程。 例7、圆心在y轴上，半径为５，且与直线6 y= 相切的圆的方程。（课本1３2A2(2）） 例8、圆心在直线2 y x =-上，且过点A（2,-1）， 与直线1 x y +=相切的圆的方程。 五、过直线和圆的交点 直线与圆系方程 六、过两圆交点的圆的方程 圆系方程 例11、圆心在直线40 x y --=上,并且经过圆 22640 x y x ++-=与226280 x y y ++-=的交点的圆的 方程。 例12、经过点M(3，-1）,且与圆Ｃ: 222650 x y x y ++-+=相切于N（1,2)的圆的方程。 例１3、求过两圆222880 x y x y +++-=和 224420 x y x y +---=的交点且面积最小的圆的 方程。 解法一：解出两个交点 解法二 :连心线过圆心且圆心在某直线上，由此得出圆 心，然后设出一般方程，再利用三圆有公共 弦,直线重合求出ｍ 解法三、圆系方程 七、最值问题 (1)点和圆
高三数学第一轮复习计划 王旭丽 高考数学命题近年来经历了由“知识立意”向“能力立意”的转变，体现了对能力和潜能的考察，使知识考查服务于能力考查。针对这一命题走向，怎样在短暂的时间内搞好总复习，提高效率，减轻负担是我的核心理念。 一、夯实基础。 今年高考数学试题的一个显著特点是注重基础。扎实的数学基础是成功解题的关键，从学生反馈来看，平时学习成绩不错但得分不高的主要原因不在于难题没做好，而在于基本概念不清，基本运算不准，基本方法不熟，解题过程不规范，结果“难题做不了，基础题又没做好”，因此在第一轮复习中，我们将格外突出基本概念、基础运算、基本方法，具体做法如下：1.注重课本的基础作用和考试说明的导向作用；2.加强主干知识的生成，重视知识的交汇点；3.培养逻辑思维能力、直觉思维、规范解题习惯；4.加强反思，完善复习方法。 二、解决好课内课外关系。 课内：（1）例题讲解前，留给学生思考时间；讲解中，让学生陈述不同解题思路，对于解题过程中的闪光之处或不足之处进行褒扬或纠正；讲解后，对解法进行总结。对题目尽量做到一题多解，一题多用。一题多解的题目让学生领会不同方法的优劣，一题多用的题目
让学生领会知识间的联系。（2）学生作业和考试中出现的错误，不但指出错误之处，更要引导学生寻根问底，使学生找出错误的真正原因。（3）每节课留10分钟让学生疏理本节知识，理解本节内容。 课外：除了正常每天布置适量作业外，另外布置一两道中档偏上的题目，判作业时面批面改，指出知识的疏漏。 三、注重师生互动 1.多让学生思考回答问题，对于有些章节知识，按难易程度选择六至八道，尽量独自完成，无法独立解决的可以提示思路。 2.让学生自我小结，每一章复习完后，让学生自己建立知识网络结构，包括典型题目、思想方法、解题技巧，易错易做之题； 3.每次考试结束后，让学生自己总结：①试题考查了哪些知识点； ②怎样审题，怎样打开解题思路；③试题主要运用了哪些方法，技巧，关键步在哪里；④答题中有哪些典型错误，哪些是知识、逻辑心理因素造成，哪些是属于思路上的。 四、精选习题。 1．把握好题目的难度，增强题目针对性，所选题目以小题、中档题为主，且应突出知识重点，体现思想方法、兼顾学生易错之处。 2.减少题目数量，加强质量。
《圆的方程》专题 2019年（ ）月（ ）日 班级 姓名 1．圆的定义及方程 ?标准方程强调圆心坐标为(a ，b )，半径为r . ?(1)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点????－D 2，－E 2； (2)当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程不表示任何图形． 2．点与圆的位置关系 点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2. 二、常用结论汇总——规律多一点 (1)二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是???? ? A ＝C ≠0， B ＝0，D 2＋E 2－4AF ＞0. (2)以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直径端点的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.
三、基础小题强化——功底牢一点 (一)判一判(对的打“√”，错的打“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( ) (2)方程(x －a )2＋(y －b )2＝t 2(t ∈R )表示圆心为(a ，b )，半径为t 的一个圆．( ) (3)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＝0不一定表示圆．( ) (4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 2 0＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (二)选一选 1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A ．(2,3) B ．(－2,3) C ．(－2，－3) D ．(2，－3) 解析：选D 因为圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)． 2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 解析：选D 因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r ＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，选D. 3．若坐标原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－3，3) C ．(－2，2) D.?? ? ? － 22， 22 解析：选C ∵点(0,0)在(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，∴(0－m )2＋(0＋m )2＜4，解得－2＜m ＜ 2.故选C. (三)填一填 4．(2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．
教案 学生姓名 _______ 科目______ 年级_______ 编号_____ 授课老师______ 授课时间___________上课日期__________ 总课时 ______ 本次课时_____ 剩余课时______ 教学重难点： 1、圆的定义及方程 （1）圆的定义 （2）圆的标准方程 （3）圆的一般方程 2、点与圆的位置与关系 教学过程(内容)： 1、课前基础知识梳理，（问答式、填空式、回顾式）； 2、学生自行完成基础自测环节，旨在检验基础知识应用情况； 3、教师进行课堂考点讲解，使学生明确考点，有的放矢； 4、考题演练，难度系数较第二环节高，可检验本次课教学情况； 作业： 1、本节所学课后务必再多加练习以期全部掌握； 2、重在熟练解题思路、掌握解题模式、体会相关思想方法、习得突破口技能。 3、课时作业（四十五） 课堂反馈： 家长反馈意见： 学生签字：家长签字： 人的一生会经历风风雨雨，不是每一件事都由我们所控制，有些事的结果甚至会出乎我们的意料。无论结果怎样，这对我们都不是最重要的，重要的是我们曾为它而经历过、拼搏过，只要有这个过程，我们就不会后悔。
第四节 圆的方程 知识梳理 1、圆的定义及方程 ⑴标准方程：()()22 2r b y a x =-+- 其中圆心为(,)a b ，半径为r . ⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x . 其中圆心为(,)22D E --，半径为221 42r D E F =+-. 2、点与圆的位置与关系 第一部分 基础自测 1、方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则a 的取值范围是（） A.2a <-或23a > B. 203a -<< C. 20a -<< D. 223 a -<< 2、当a 为任意实数时，直线(1)10a x y a --++=恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为（） A. 22240x y x y +-+= B. 22240x y x y +++= C. 22240x y x y ++-= D. 22240x y x y +--= 3、过点(1,1)A -，(1,1)B -，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程( ) A. 22(3)(1)4x y -++= B. 22(3)(1)4x y ++-= C. 22(1)(1)4x y -+-= D. 22(1)(1)4x y +++= 4、圆22410x y x ++-=关于原点(0,0)对称的圆的标准方程为_________. 5、已知直线:40l x y -+=与圆22:(1)(1)2C x y -+-=,则C 上各点到l 的距离的最小值为_________.
2019届高三第一轮复习《原创与经典》（苏教版） （理科） 第一章集合常用逻辑用语推理与证明 第1课时集合的概念、集合间的基本关系 第2课时集合的基本运算 第3课时命题及其关系、充分条件与必要条件 第4课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 第5课时合情推理与演泽推理 第6课时直接证明与间接证明 第7课时数学归纳法 第二章不等式 第8课时不等关系与不等式 第9课时一元二次不等式及其解法 第10课时二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 第11课时基本不等式及其应用 第12课时不等式的综合应用 第三章函数的概念与基本初等函数 第13课时函数的概念及其表示 第14课时函数的定义域与值域 第15课时函数的单调性与最值 第16课时函数的奇偶性与周期性9 第17课时二次函数与幂函数 第18课时指数与指数函数 第19课时对数与对数函数 第20课时函数的图象 第21课时函数与方程 第22课时函数模型及其应用
第四章 导数 第23课时 导数的概念及其运算（含复合函数的导数） 第24课时 利用导数研究函数的单调性与极值 第25课时 函数的最值、导数在实际问题中的应用 第五章 三角函数 第26课时 任意角、弧度制及任意角的三角函数 第27课时 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 第28课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第29课时 二倍角的三角函数 第30课时 三角函数的图象和性质 第31课时 函数sin()y A x ω?=+的图象及其应用 第32课时 正弦定理、余弦定理 第33课时 解三角形的综合应用 第六章 平面向量 第34课时 平面向量的概念及其线性运算 第35课时 平面向量的基本定理及坐标表示 第36课时 平面向量的数量积 第37课时 平面向量的综合应用 第七章 数 列 第38课时 数列的概念及其简单表示法 第39课时 等差数列 第40课时 等比数列 第41课时 数列的求和 第42课时 等差数列与等比数列的综合应用 第八章 立体几何初步 第43课时 平面的基本性质及空间两条直线的位置关系
课时作业23 圆的一般方程 (限时：10分钟) 1．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为2 2，则a 的值为( ) A ．－2或2 或32 C ．2或0 D ．－2或0 解析：圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心为(1,2)，圆心到 直线的距离|1－2＋a |12＋－1 2＝22，解得a ＝0或2. 答案：C 2．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：圆心为? ?? ??a ，－32b ，则有a <0，b >0.直线x ＋ay ＋b ＝0变为y ＝－1a x －b a .由于斜率－1a >0，在y 轴上截距－b a >0，故直线不经过第四象限． 答案：D 3．直线y ＝2x ＋b 恰好平分圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0，则b 的值为 ( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．1 解析：由题意可知，直线y ＝2x ＋b 过圆心(－1,2)， ∴2＝2×(－1)＋b ，b ＝4. 答案：C 4．M (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0内一点，过M 点最长的弦所在的直线方程为________，最短的弦所在的直线方程是________． 解析：由圆的几何性质可知，过圆内一点M 的最长的弦是直径，最短的弦是与该点和圆心的连线CM 垂直的弦．易求出圆心为C (4,1)， k CM ＝1－04－3＝1，∴最短的弦所在的直线的斜率为－1，由点斜式，分
别得到方程：y＝x－3和y＝－(x－3)，即x－y－3＝0和x＋y－3＝0. 答案：x－y－3＝0x＋y－3＝0 5．求经过两点A(4,7)，B(－3,6)，且圆心在直线2x＋y－5＝0上的圆的方程． 解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其圆心为? ? ? ? ? － D 2，－ E 2， 由题意得 ?? ? ??42＋72＋4D＋7E＋F＝0， －32＋62－3D＋6E＋F＝0， 2· ? ? ? ? ? － D 2＋? ? ? ? ? － E 2－5＝0. 即 ?? ? ??4D＋7E＋F＝－65， 3D－6E－F＝45， 2D＋E＝－10， 解得 ?? ? ??D＝－2， E＝－6， F＝－15. 所以，所求的圆的方程为x2＋y2－2x－6y－15＝0. (限时：30分钟) 1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为() A．(2，－3)；16B．(－2,3)；4 C．(4，－6)；16 D．(2，－3)；4 解析：配方，得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，所以，圆心为(－2,3)，半径为4. 答案：B 2．方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是()
圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(22 4D E F +-＞0). （3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ =+?? =+?. （4）圆的直径式方程 1212()()()()0 x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ). 87. 圆系方程 (1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是 1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----= 1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ?--+--+++=,其中0a x b y c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数． (2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数． (3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交 点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的 系数． 88.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种 若2200()()d a x b y =-+-，则 d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 90.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ; 条公切线相交22121??+<<-r r d r r ; 条公切线内切121??-=r r d ; 无公切线内含??-<<210r r d . 91.圆的切线方程 (1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=． ①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是 0000()()022 D x x E y y x x y y F ++++++=.