高等教育出版社-袁德美主编的概率论与数理统计习题一的答案.

概率论与数理统计课后习题问案之阳早格格创做下等培养出版社1.将一枚匀称的硬币扔二次，事变C B A ,,分别表示“第一次出现正里”，“二次出现共部分”，“起码有一次出现正里”.试写出样原空间及事变C B A ,,中的样原面. 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）}{=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）}{=C (正，正)，（正，反），（反，正）}2.正在掷二颗骰子的考查中，事变D C B A ,,,分别表示“面数之战为奇数”，“面数之战小于5”，“面数相等”，“起码有一颗骰子的面数为3”.试写出样原空间及事变D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样原面. 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω；{})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ；{})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ；Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ；{})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A C B A ,,分别表示某皆会住户订阅日报、早报战体育报.试用C B A ,,表示以下事变：（1）只订阅日报； （2）只订日报战早报；（3）只订一种报； （4）正佳订二种报；（5）起码订阅一种报； （6）不订阅所有报；（7）至多订阅一种报； （8）三种报纸皆订阅；（9）三种报纸不齐订阅.解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++；（4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++；（6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或者C B C A B A ++（8）ABC ； （9）C B A ++4.甲、乙、丙三人各射打一次，事变321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中.试道明下列事变所表示的截止：2A ,32A A +,21A A ,21A A +,321A A A ,313221A A A A A A ++.解：甲已打中；乙战丙起码一人打中；甲战乙至多有一人打中或者甲战乙起码有一人已打中；甲战乙皆已打中；甲战乙打中而丙已打中；甲、乙、丙三人起码有二人打中.C B A ,,谦脚Φ≠ABC ，试把下列事变表示为一些互不相容的事变的战：C B A ++，C AB +，AC B -.解：如图：C B A ,,谦脚C B C A +=+，试问B A =是可创造？举例道明. 解：纷歧定创造.比圆：{}5,4,3=A ，{}3=B ，{}5,4=C ，那么，C B C A +=+，然而B A ≠.C B A ,,，试问C B A C B A +-=--)()(是可创造？举例道明. 解：纷歧定创造. 比圆：{}5,4,3=A ，{}6,5,4=B ，{}7,6=C ，那么{}3)(=--C B A ，然而是{}7,6,3)(=+-C B A .8. 设31)(=A P ，21)(=B P ，试便以下三种情况分别供)(A B P ： （1）Φ=AB ，（2）B A ⊂，（3）81)(=AB P .解：（1）21)()()()(=-=-=AB P B P AB B P A B P ；（2）61)()()()(=-=-=A P B P A B P A B P ；（3）838121)()()()(=-=-=-=AB P B P AB B P A B P . 9. 已知41)()()(===C P B P A P ，161)()(==BC P AC P ，0)(=AB P 供事变C B A ,,齐不爆收的概率. 解：())(1)(C B A P C B A P C B A P ++-=++==[])()()()()()()(1ABC P BC P AC P AB P C P B P A P +---++-83016116104141411=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---++-= 10.每个路心有黑、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的启关是等大概的.一部分骑车通过三个路心，试供下列事变的概率：=A “三个皆是黑灯”=“齐黑”；=B “齐绿”；=C “齐黄”；=D “无黑”；=E “无绿”；=F “三次颜色相共”；=G “颜色齐不相共”；=H “颜色不齐相共”. 解：271333111)()()(=⨯⨯⨯⨯===C P B P A P ；278333222)()(=⨯⨯⨯⨯==E P D P ；91271271271)(=++=F P ；92333!3)(=⨯⨯=G P ；98911)(1)(=-=-=F P H P . 11.设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任性抽与3件（分三种情况：一次拿3件；屡屡拿1件，与后搁回拿3次；屡屡拿1件，与后不搁回拿3次），试供：（1） 与出的3件中恰有1件是次品的概率；（2） 与出的3件中起码有1件是次品的概率. 解：一次拿3件：（1）0588.0310012298==C C C P ； （2）0594.031001982229812=+=C C C C C P ；屡屡拿一件，与后搁回，拿3次：（1）0576.0310098232=⨯⨯=P ； （2）0588.010098133=-=P ；屡屡拿一件，与后不搁回，拿3次：（1）0588.03989910097982=⨯⨯⨯⨯⨯=P ； （2）0594.098991009697981=⨯⨯⨯⨯-=P 9,,2,1,0 中任性选出3个分歧的数字，试供下列事变的概率： {}501与三个数字中不含=A ，{}502或三个数字中不含=A . 解：157)(310381==C C A P ；15142)(31038392=-=C C C A P 或者15141)(310182=-=C C A P 9,,2,1,0 中任性选出4个分歧的数字，估计它们能组成一个4位奇数的概率. 解：9041454102839=-=P P P P 14.一个宿舍中住有6位共教，估计下列事变的概率：（1）6人中起码有1人死日正在10月份；（2）6人中恰有4人死日正在10月份；（3）6人中恰有4人死日正在共一月份；解：（1）41.01211166=-= P ； （2）00061.012116246=⨯= C P ；（3）0073.012116246112== C C P 15.从一副扑克牌（52弛）任与3弛（不沉复），估计与出的3弛牌中起码有2弛花色相共的概率. 解：602.03521392131431314=+= C C C C C C P 或者602.0135211311311334=-= C C C C C P1.假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%、10%，从中任与一件，截止不是三等品，供与到的是一等品的概率.解：令=i A “与到的是i 等品”，3,2,1=i 329.06.0)()()()()(3133131====A P A P A P A A P A A P . 2.设10件产品中有4件分歧格品，从中任与2件，已知所与2件产品中有1件分歧格品，供另一件也是分歧格品的概率.解：令=A “二件中起码有一件分歧格”，=B “二件皆分歧格”511)(1)()()()|(2102621024=-=-==C C C C A P B P A P AB P A B P 3.为了预防不料，正在矿内共时拆有二种报警系统I 战II.二种报警系统单独使用时，系统I 战II 灵验的概率分别0.92战0.93，正在系统I 得灵的条件下，系统II 仍灵验的概率为0.85，供（1） 二种报警系统I 战II 皆灵验的概率；（2） 系统II 得灵而系统I 灵验的概率；（3） 正在系统II 得灵的条件下，系统I 仍灵验的概率.解：令=A “系统（Ⅰ）灵验”，=B “系统（Ⅱ）灵验”则85.0)|(,93.0)(,92.0)(===A B P B P A P （1）)()()()(B A P B P B A B P AB P -=-=862.085.0)92.01(93.0)|()()(=⨯--=-=A B P A P B P （2）058.0862.092.0)()()()(=-=-=-=AB P A P AB A P A B P （3）8286.093.01058.0)()()|(=-== B P B A P B A P4. 设1)(0<<A P ，道明事变A 与B 独力的充要条件是 证：⇒：A 与B 独力，A ∴与B 也独力.)()|(),()|(B P A B P B P A B P ==∴)|()|(A B P A B P =∴⇐： 1)(01)(0<<∴<<A P A P 又)()()|(,)()()|(A P B A P A B P A P AB P A B P == 而由题设)()()()()|()|(A P B A P A P AB P A B P A B P =∴=即)]()()[()()](1[AB P B P A P AB P A P -=-)()()(B P A P AB P =∴，故A 与B 独力.5. 设事变A 与B 相互独力，二个事变惟有A 爆收的概率与惟有B 爆收的概率皆是41，供)(A P 战)(B P . 解：41)()(==B A P B A P ，又 A 与B 独力∴41)()](1[)()()(=-==B P A P B P A P B A P 41)](1)[()()()(=-==B P A P B P A P B A P 41)()(),()(2=-=∴A P A P B P A P 即21)()(==B P A P . 6. 道明 若)(A P >0，)(B P >0，则有（1） 当A 与B 独力时，A 与B 相容；（2） 当A 与B 不相容时，A 与B 不独力.道明：0)(,0)(>>B P A P （1）果为A 与B 独力，所以0)()()(>=B P A P AB P ，A 与B 相容.（2）果为0)(=AB P ，而0)()(>B P A P ，)()()(B P A P AB P ≠∴，A 与B 不独力.7. 已知事变C B A ,,相互独力，供证B A 与C 也独力. 道明：果为A 、B 、C 相互独力，∴)(])[(BC AC P C B A P =)()()()]()()([)()()()()()()()()()(C P B A P C P AB P B P A P C P B P A P C P B P C P A P ABC P BC P AC P =-+=-+=-+=B A ∴与C 独力.8. 甲、乙、丙三机床独力处事，正在共一段时间内它们不需要工人照应的概率分别为0.7，0.8战0.9，供正在那段时间内，最多惟有一台机床需要工人照应的概率.解：令321,,A A A 分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照应，那么9.0)(,8.0)(,7.0)(321===A P A P A P 令B 表示最多有一台机床需要工人照应，那么)()(321321321321A A A A A A A A A A A A P B P +++=902.01.08.07.08.02.07.09.08.03.09.08.07.0)()()()(321321321321=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+++=A A A P A A A P A A A P A A A P 9. 如果形成系统的每个元件能平常处事的概率为)10(<<p p ，（称为元件的稳当性），假设各元件是可平常处事是相互独力的，估计底下各系统的稳当性.解：令A 常处事”i A n i 2,,2,1 =n i A A A P A P 221,,,,)( =相互独力.那么[])()()(22121n n n n A A A A A A P A P +++=][[])2(2)()()()()()(22121122122121n n n n ni i n n i i n i i n n n n n P P P P A P A P A P A A A P A A A P A A A P -=-=-+=-+=∏∏∏=+==++ )]())([()(22211n n n n A A A A A A P B P +⨯⨯++=++ n nni n i i n i i n i ni i n i P P P P A P A P A P A P A A P )2(]2[)]()()()([)(1211-=-=-+=+=∏∏∏==++=+注：利用第7题的要领不妨证 明)(i n i A A ++与)(j n j A A ++j i ≠时独力.系统I 系统II10. 10弛奖券中含有4弛中奖的奖券，每人买买1弛，供（1） 前三人中恰有一人中奖的概率；（2） 第二人中奖的概率.解：令=i A “第i 部分中奖”，3,2,1=i (1))(321321321A A A A A A A A A P ++)()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=)|()|()()|()|()()|()|()(213121213121213121A A A P A A P A P A A A P A A P A P A A A P A A P A P ++=21859410684951068596104=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=或者213102614==C C C P （2）)|()()|()()(1211212A A P A P A A P A P A P +=529410693104=⨯+⨯= 11. 正在肝癌诊疗中，有一种甲胎蛋黑法，用那种要领不妨查看出95%的真正在患者，然而也有大概将10%的人误诊.根据往常的记录，每10 000人中有4人患有肝癌，试供：（1）某人经此考验法诊疗患有肝癌的概率；（2）已知某人经此考验法考验患有肝癌，而他真真是肝癌患者的概率.解：令=B “被考验者患有肝癌”，=A “用该考验法诊疗被考验者患有肝癌”那么，0004.0)(,10.0)|(,95.0)|(===B P B A P B A P （1）)|()()|()()(B A P B P B A P B P A P +=10034.01.09996.095.00004.0=⨯+⨯=（2）)|()()|()()|()()|(B A P B P B A P B P B A P B P A B P +=0038.01.09996.095.00004.095.00004.0=⨯+⨯⨯= 12. 一大批产品的劣量品率为30%，屡屡任与1件，连绝抽与5次，估计下列事变的概率：（1）与到的5件产品中恰有2件是劣量品；（2） 正在与到的5件产品中已创造有1件是劣量品，那5件中恰有2件是劣量品.解：令=i B “5件中有i 件劣量品”，5,4,3,2,1,0=i （1）3087.0)7.0()3.0()(32252== C B P （2）)()()|()|(00202512B P B B P B B P B B P i i === 371.0)7.0(13087.0)(1)(502=-=-= B P B P 13. 每箱产品有10件，其次品数从0到2是等大概的.启箱考验时，从中任与1件，如果考验是次品，则认为该箱产品分歧格而拒支.假设由于考验有误，1件正品被误检是次品的概率是2%，1件次品被误判是正品的概率是5%，试估计：（1）抽与的1件产品为正品的概率；（2）该箱产品通过查支的概率.解：令=A “抽与一件产品为正品”=i A “箱中有i 件次品”，2,1,0=i =B “该箱产品通过查支”（1）9.0101031)|()()(2020=-⨯==∑∑==i i i i i A A P A P A P （2）)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=887.005.01.098.09.0=⨯+⨯=14. 假设一厂家死产的仪器，以概率0.70不妨间接出厂，以概率0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80不妨出厂，并以概率0.20定为分歧格品不克不迭出厂.现该厂新死产了)2(≥n n 台仪器（假设各台仪器的死产历程相互独力），供：（1）局部能出厂的概率；（2）其中恰有2件不克不迭出厂的概率；（3）其中起码有2件不克不迭出厂的概率.解：令=A “仪器需进一步调试”；=B “仪器能出厂”=A “仪器能间接出厂”；=AB “仪器经调试后能出厂”隐然AB A B +=，那么8.0)|(,3.0)(==A B P A P 24.08.03.0)|())(=⨯==A B P PA AB P 所以94.024.07.0)()()(=+=+=AB P A P B P 令=i B “n 件中恰有i 件仪器能出厂”，n i ,,1,0 =（1）nn B P )94.0()(=（2）2222222)06.0()94.0()06.0()94.0()(----==n n n n n n C C B P （3）n n nn n n k k C B P B P B P )94.0()94.0(06.01)()(1)(11120--=--=---=∑15. 举止一系列独力考查，屡屡考查乐成的概率均为p ，试供以下事变的概率：（1）直到第r 次才乐成；（2）第r 次乐成之前恰波折k 次；（3）正在n 次中博得)1(n r r ≤≤次乐成；（4）直到第n 次才博得)1(n r r ≤≤次乐成.解：（1）1)1(--=r p p P （2）k r r k r p p C P )1(11-=--+（3）r n r r n p p C P --=)1(（4）r n r r n p p C P ----=)1(11 16. 对于飞机举止3次独力射打，第一次射打掷中率为0.4，第二次为0.5，第三次为0.7. 打中飞机一次而飞机被打降的概率为0.2，打中飞机二次而飞机被打降的概率为0.6，若被打中三次，则飞机必被打降.供射打三次飞机已被打降的概率.解：令=i A “恰有i 次打中飞机”，3,2,1,0=i =B “飞机被打降”隐然：09.0)7.01)(5.01)(4.01()(0=---=A P 36.07.0)5.01()4.01()7.01(5.0)4.01()7.01()5.01(4.0)(1=⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=A P 41.07.05.0)4.01(7.0)5.01(4.0)7.01(5.04.0)(2=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=A P 14.07.05.04.0)(3=⨯⨯=A P 而0)|(0=A B P ，2.0)|(1=A B P ，6.0)|(2=A B P ，1)|(3=A B P 所以458.0)|()()(30==∑=i i i A B P A P B P ；542.0458.01)(1)(=-=-=B P B P1. 设X 为随机变量，且k k X P 21)(==( ,2,1=k ), 则 （1） 推断上头的式子是可为X 的概率分散；（2） 假如，试供）为偶数X P (战)5(≥X P .解：令 ,2,1,21)(====k p k XP kk （1）隐然10≤≤k p ，且1121212111=-==∑∑∞=∞=k k k k p 所以,2,1,21)(===k k X P k 为一致率分散.（2）X P (为奇数31121)41411212=-===∑∑∞=∞=k k k k p 161121)5(2121555=-===≥∑∑∞=∞=k k k k p X Pλλ-==e k C k X P k!)(( ,2,1=k ), 且0>λ，供常数C . 解：1!1=-∞=∑λλe k c k k ，而1!0=-∞=∑λλe k k k 1!010=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∴-λλe c ，即1)1(---=λe c)10(<<p p ，不竭举止沉复考查，直到尾次乐成为止.用随机变量X 表示考查的次数，供X 的概率分散.解： ,2,1,)1()(1=-==-k p p k X P k4.设自动死产线正在安排以来出现成品的概率为p=0.1，当死产历程中出现成品时坐时举止安排，X 代表正在二次安排之间死产的合格品数，试供（1）X 的概率分散； （2）)5(≥X P .解：（1） ,2,1,0,1.0)9.0()1()(=⨯=-==k p p k X P k k （2）555)9.0(1.0)9.0()()5(=⨯===≥∑∑∞=∞=k k k k X P X P5.一弛考卷上有5讲采用题，每讲题列出4个大概问案，其中有1个问案是精确的.供某教死靠预测能问对于起码4讲题的概率是几？解：果为教死靠预测问对于每讲题的概率为41=p ，所以那是一个5=n ,41=p 的独力沉复考查.641)43()41(43)41()4(0555445=+⨯=≥C C XP6.为了包管设备平常处事，需要配备适合数量的维建人员.根据体味每台设备爆收障碍的概率为0.01，各台设备处事情况相互独力.（1）若由1人控制维建20台设备，供设备爆收障碍后不克不迭即时维建的概率；（2）设有设备100台，1台爆收障碍由1人处理，问起码需配备几维建人员，才搞包管设备爆收障碍而不克不迭即时维建的概率不超出0.01？解：（1）0175.0)99.0(01.020)99.0(11920≈⨯⨯--（按Poisson (泊紧)分散近似）（2）λ==⨯==101.0100,100np n （按Poisson (泊紧)分散近似）01.0!1)99.0()01.0()1(100111001100100≤⨯≈=+≥∑∑+=-+=-N k k N k kk k k e CN X P 查表得4=NX遵循参数为λ的Poisson(泊紧)分散，且21)0(==X P ，供（1）λ； （2）)1(>X P . 解：2ln ,21!0)0(0=∴===-λλλe X P )]1()0([1)1(1)1(=+=-=≤-=>X P X P X P X P )2ln 1(21]2ln 2121[1-=+-=8.设书籍籍上每页的印刷过得的个数X 遵循Poisson(泊紧)分散.经统计收当前某原书籍上，有一个印刷过得与有二个印刷过得的页数相共，供任性考验4页，每页上皆不印刷过得的概率.解：)2()1(===X P X P ，即2,!2!121==--λλλλλe e20-==∴e X P ）（842)(--==∴e e P9.正在少度为的时间隔断内，某慢救核心支到慢迫呼救的次数遵循参数为的Poisson 分散，而与时间隔断的起面无关（时间以小时计），供（1）某一天从中午12时至下午3时不支到慢迫呼救的概率；（2）某一天从中午12时至下午5时支到1次慢迫呼救的概率；9.正在少度为t 的时间隔断内，某慢救核心支到慢迫呼救的次数X 遵循参数为2t 的Poisson(泊紧)分散，而与时间隔断的起面无关（时间以小时计）. 供（1）某一天从中午12时至下午3时不支到慢迫呼救的概率；（2）某一天从中午12时至下午5时支到1次慢迫呼救的概率；解：（1）23)0(23,3-====e X P t λ（2）251)0(1)1(25,5--==-=≥==e X P X P t λX试供（1）a ； （2）12-=X Y 的概率分散.解：（1）12312=+++++a a a a a 101=∴a .（2）X的概率稀度直线如图1.3.8所示.试供:（（3）2(<-X P ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈+-=其它，0)3,0[,216121)(x x x f （3）1211)2161()2121()22012=+-++=≤<-⎰⎰-dx x dx x X P （ X的概率稀度为试决定常数a 并供)6(π>X P .解：令1)(=⎰+∞∞-dx x f ，即1sin 0=⎰dx x a 1cos 0=-∴ax ，即2,0cos π==a a 23|cos sin )6(2626=-==>⎰πππππx xdx X P xx e+-2形成概率稀度函数?解：令 12=⎰+∞∞-+-dx ce x x 即141)21(2=⎰+∞∞---dx e ec x 即141=πce411-=∴e c π),(~2σμN X ，其概率稀度函数为644261)(+--=x x e x f π(+∞<<∞-x )试供2,σμ；若已知⎰⎰∞-+∞=C Cdx x f dx x f )()(，供C .解：222)3(2)2(64432161)(--+--==x x x eex f ππ2=∴μ ,32=σ若⎰⎰∞-+∞=ccdx x f dx x f )()(，由正态分散的对于称性可知2==μc .X的概率稀度为以Y 表示对于X 的三次独力沉复考查中“21≤X ”出现的次数，试供概率)2(=Y P .解：412)21(21==≤⎰xdx XP 649)43()41()2(223===C Y P . X遵循[1,5]上的匀称分散，试供)(21x X x P <<. 如果 （1）5121<<<x x ； （2）2151x x <<<. 解：X 的概率稀度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,051,41)(x x f （1）⎰-==<<21221)1(4141)(x x dx x X x P （2）⎰-==<<51211)5(4141)(x x dx x X x P X（以分计）遵循51=λ的指数分散.某主瞅等待服务，若超出10分钟，他便离启.他一个月要来等待服务5次，以Y 表示一个月内他已等到服务而离启的次数，试供Y 的概率分散战)1(≥Y P .解：21051]1[1)10(1)10(-⨯-=--=<-=≥e e X P X P 5,4,3,2,1,0,)1()()(5225=-==∴---k e e C k Y P k k k5167.0)1(1)1(52≈--=≥-e Y PX的概率分散为2.0)1(==X P ，3.0)2(==X P ，5.0)3(==X P ，试供X 的分散函数；)25.0(≤≤X P ；绘出)(x F 的直线.解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=3,132,5.021,2.01,0)(x x x x x F ； 5.0)25.0(=≤≤X P )(x F 直线：2.试供:)1|2≠X .（2 3.从家到书籍院的途中有3个接通岗，假设正在各个接通岗逢到黑灯的概率是相互独力的，且概率均是0.4，设X 为途中逢到黑灯的次数，试供（1）X 的概率分散；（2）X 的分散函数.解：（1）3,2,1,0,)3()2()(33===-k C k X P k k k 列成表格（2）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<=3,132,12511721,1258110,125270,0)(x x x x x x F X的分散函数，并绘出)(x F 的直线.解：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤++-<≤-++-<=313041211210141214110)(22x x x x x x x x x F5. 设连绝型随机变量X 的分散函数为试供:（1）B A ,的值；（2）)11(<<-X P ；（3）概率稀度函数)(x f .解：（1）11)(lim )(2=∴=+=+∞-+∞→A Be A F x x 又10)0()(lim 20-=-=∴==+-→+A B F Be A x x （2）21)1()1()11(--=--=<<-e F F X P （3）⎩⎨⎧≤>==-0,0,2)(')(2x x e x F x f x 6. 设X 为连绝型随机变量，其分散函数为试决定)(x F 中的d c b a ,,,的值.解： 10)(=∴=-∞a F 又11)(=∴=+∞d F 又10)1ln (lim 1-=∴==++-→c a cx x bx x 又111)1ln (lim =+-∴==+--→e be d x x bx ex 即1=bX的概率稀度函数为)1()(2x a x f +=π，试决定a 的值并供)(x F 战)1(<X P .解：1)1(2=+⎰+∞∞-dx x aπ 即 11|arctan =∴=∞+∞-a x aπ+∞<<∞-+=+=⎰∞-x x dt t a x F x,arctan 121)1()(2ππ5.0)]1arctan(121[)1arctan 121()1()1()1|(|=-+-+=--=<ππF F X Pt (年)的时间隔断内爆收天震的次数)(t N 遵循参数为1.0=λ的Poisson(泊紧)分散，X 表示连绝二次天震之间相隔的时间（单位：年），试供:（1）道明X 遵循指数分散并供出X 的分散函数； （2）以后3年内再次爆收天震的概率；（3）以后3年到5年内再次爆收天震的概率.解：（1） 当0≥t 时，t e t N P t X P 1.0)0)(()(-===>t e t X P t X P t F 1.01)(1)()(--=>-=≤=∴当0<t 时，0)(=t F ⎩⎨⎧<≥-=∴-01)(1.0x x e x F xX 遵循指数分散（1.0=λ）（2）26.01)3(31.0≈-=⨯-e F （3）13.0)3()5(≈-F F 9. 设)16,1(~-N X ，试估计（1）)44.2(<X P ；（2）)5.1(->X P ；（3）)4(<X P ；（4）)11(>-X P .解：（1）8051.0)444.3()4)1(44.2()44.2(=Φ=--Φ=< X P （2）)5.1(1)5.1(-≤-=->X P X P 5498.0)81(1)415.1(1=-Φ-=+-Φ-= （3）)414()414()4|(|+-Φ-+Φ=<X P )43()45(-Φ-Φ=6678.01)43()45(=-Φ+Φ= （4）[])2()0()2()0()1|1(|>+<=><=>-X P X P X X P X P )412(1)410(+Φ-++Φ=8253.0)43(1)41(=Φ-+Φ=X近似遵循正态分散)10,70(2N ，第100名的结果为60分，问第20名的结果约为几分？解：10020)60|(=≥≥X x X P 而[])60()()60()60()()60|(≥≥=≥≥≥=≥≥X P x X P X P X x X P X x X P 又8413.0)1(1070601)60(=Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=≥ X P 16826.08413.02.0)(=⨯=≥∴x X P 即16826.0)1(10701)(=Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=≥x x X P 83174.01070=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ∴x ，96.01070≈-x ，6.79≈x 11. 设随机变量X 战Y 均遵循正态分散，)4,(~2μN X ，)5,(~2μN Y ，而)4(1-≤=μX P p ，)5(2+≥=μY P p ，试道明 21p p =. 道明：)1(44)4(1-Φ=⎪⎭⎫⎝⎛--Φ=-≤=μμμX P p )1()1(1551)5(2-Φ=Φ-=⎪⎭⎫⎝⎛-+Φ-=+≥=μμμY P p 21p p =∴.12. 设随机变量X 遵循[a,b]上的匀称分散，令d cX Y +=()0≠c ，试供随机变量Y 的稀度函数.解：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=其它,0,||1)(b cdy a c c d y f y f X Y 当0>c 时，⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤+-=其他,0,)(1)(d cb y d a c a b c y f Y 当0<c 时，⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤+--=其他,0,)(1)(d ca y d b c a b c y f Y。

第一章 思 考 题1．事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？2．医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活. ”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病，所以你不会死” ，医生的说法对吗？为什么？３．圆周率 1415926.3=π是一个无限不循环小数, 我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位, 这个记录保持了1000多年! 以后有人不断把它算得更精确. 1873年, 英国学者沈克士公布了一个π的数值, 它的数目在小数点后一共有707位之多! 但几十年后, 曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑. 他统计了π的608位小数, 得到了下表:675844625664686762609876543210出现次数数字你能说出他产生怀疑的理由吗?答：因为π是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，或它们出现的频率应都接近于0.1，但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由.4．你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗？５．两事件A 、B 相互独立与A 、B 互不相容这两个概念有何关系？对立事件与互不相容事件又有何区别和联系？６．条件概率是否是概率？为什么？习 题1．写出下列试验下的样本空间： （1）将一枚硬币抛掷两次答：样本空间由如下4个样本点组成{(,)(,)(,)(,)}Ω=正正，正反，反正，反反 （2）将两枚骰子抛掷一次答：样本空间由如下36个样本点组成{(,),1,2,3,4,5,6}i j i j Ω==（3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出答：结果可以用（x ，y ）表示，x ，y 分别是烟、酒年支出的元数.这时，样本空间由坐标平面第一象限内一切点构成 .{(,)0,0}x y x y Ω=≥≥2．甲，乙，丙三人各射一次靶，记-A “甲中靶” -B “乙中靶” -C “丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件： (1) “甲未中靶”： ;A (2) “甲中靶而乙未中靶”： ;B A (3) “三人中只有丙未中靶”： ;C AB(4) “三人中恰好有一人中靶”： ;C B A C B A C B A (5)“ 三人中至少有一人中靶”： ;C B A(6)“三人中至少有一人未中靶”： ;C B A 或;ABC (7)“三人中恰有两人中靶”： ;BC A C B A C AB(8)“三人中至少两人中靶”： ;BC AC AB (9)“三人均未中靶”： ;C B A (10)“三人中至多一人中靶”： ;C B A C B A C B A C B A(11)“三人中至多两人中靶”： ;ABC 或;C B A 3 .设,A B 是两随机事件，化简事件 (1)()()AB A B (2) ()()A B A B解:(1)()()AB A B AB AB B B ==,(2) ()()AB AB ()A BA B B A A B B ==Ω=.4．某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率.解：51050.302410P P ==.5．n 张奖券中含有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。

1 随机事件及其概率·样本空间·事件的关系及运算一、任意抛掷一颗骰子，观察出现的点数。

设事件A 表示“出现偶数点”，事件B 表示“出现的点数能被3整除”．（1）写出试验的样本点及样本空间；（2）把事件A 及B 分别表示为样本点的集合；（3）事件B A AB B A B A ,,,,分别表示什么事件？并把它们表示为样本点的集合．解：设i ω表示“出现i 点”)6,,2,1( =i ，则（1）样本点为654321,,,,,ωωωωωω；样本空间为}.,,,,,{654321ωωωωωω=Ω （2）},,{642ωωωA =； }.,{63ωωB =（3）},,{531ωωωA =，表示“出现奇数点”；},,,{5421ωωωωB =，表示“出现的点数不能被3整除”；},,,{6432ωωωωB A =⋃，表示“出现的点数能被2或3整除”；}{6ωAB =，表示“出现的点数能被2整除且能被3整除”；},{B A 51ωω= ，表示“出现的点数既不能被2整除也不能被3整除”二、写出下列随机试验的样本空间及各个事件中的样本点：（1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和．A —“点数之和大于10”，B —“点数之和小于15”．（2）一盒中有5只外形相同的电子元件，分别标有号码1，2，3，4，5．从中任取3只，A —“最小号码为1”．解：(1) 设i ω表示“点数之和等于i ”)18,,4,3( =i ，则},,,{1843ωωω =Ω；},,,{181211ωωωA =；}.,,,{1443ωωωB =(2) 设ijk ω表示“出现号码为k j i ,,”);5,,2,1,,(k j i k j i ≠≠= ，则},,,,,,,,,{345245235234145135134125124123ωωωωωωωωωω=Ω }.,,,,,{145135134125124123ωωωωωωA =三、设C B A ,,为三个事件，用事件之间的运算表示下列事件： (1) A 发生, B 与C 都不发生； (2) C B A ,,都发生；(3) C B A ,,中至少有两个发生； (4) C B A ,,中至多有两个发生． 解：(1) C B A ；(2) ABC ；(3) ABC C AB C B A BC A ⋃⋃⋃或CA BC AB ⋃⋃(4) BC A C B A C AB C B A C B A C B A C B A ⋃⋃⋃⋃⋃⋃或C B A ⋃⋃或.ABC四、一个工人生产了n 个零件，以i A 表示他生产的第 i 个零件是合格品（n i ≤≤1）．用i A 表示下列事件：（1）没有一个零件是不合格品； （2）至少有一个零件是不合格品； （3）仅有一个零件是不合格品；（4）至少有一个零件不是不合格品． 解：(1) n A A A 21；(2) n A A A 21或n A A A ⋃⋃⋃ 21； (3) n n n A A A A A A A A A 212121⋃⋃⋃ (4) n A A A ⋃⋃⋃ 21或.21n A A A2 概率的古典定义·概率加法定理一、电话号码由七个数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9中的任一个数（但第一个数字不能为0），求电话号码是由完全不同的数字组成的概率．解：基本事件总数为611011011011011011019109⨯=C C C C C C C有利事件总数为456789214151617181919⨯⨯⨯⨯⨯=C C C C C C C 设A 表示“电话号码是由完全不同的数字组成”，则0605.0109456789)(62≈⨯⨯⨯⨯⨯⨯=A P 二、把十本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率．解：基本事件总数为!101010=A指定的三本书按某确定顺序排在书架上的所有可能为!777=A 种；这三本书按确定的顺序放在书架上的所以可能的位置共818=C 种；这三本书的排列顺序数为!333=A ；故有利事件总数为!3!8!38!7⨯=⨯⨯(亦可理解为)3388P P 设A 表示“指定的三本书放在一起”，则067.0151!10!3!8)(≈=⨯=A P三、为了减少比赛场次，把二十个队任意分成两组（每组十队）进行比赛，求最强的两个队被分在不同组内的概率．解：20个队任意分成两组（每组10队）的所以排法，构成基本事件总数1020C ；两个最强的队不被分在一组的所有排法，构成有利事件总数91812C C 设A 表示“最强的两队被分在不同组”，则526.01910)(102091812≈==C C C A P四、某工厂生产的产品共有100个，其中有5个次品．从这批产品中任取一半来检查，求发现次品不多于1个的概率．解：设i A 表示“出现的次品为i 件”)5,4,3,2,1,0(=i ，A 表示“取出的产品中次品不多于 1个”，则 .10A A A ⋃=因为V A A =10，所以).()()(10A P A P A P +=而0281.0979942347)(5010050950≈⨯⨯⨯==C C A P 1529.09799447255)(501004995151≈⨯⨯⨯⨯==C C C A P 故 181.01529.00281.0)(=+≈A P五、一批产品共有200件, 其中有6件废品．求 (1) 任取3件产品恰有1件是废品的概率; (2) 任取3件产品没有废品的概率; (3) 任取3件产品中废品不少于2件的概率．解：设A 表示“取出的3件产品中恰有1件废品”；B 表示“取出的3件产品中没有废品”；C 表示“取出的3件产品中废品不少于2件”，则(1) 0855.019819920019319418)(3200219416≈⨯⨯⨯⨯==C C C A P (2) 912.0198199200192193194)(32003194≈⨯⨯⨯⨯==C C B P(3) 00223.019819920012019490)(3200019436119426≈⨯⨯⨯⨯=+=C C C C C C P六、设41)( ,0 ,31)()()(======BC P P(AC)P(AB)C P B P A P ．求A , B , C 至少有一事件发生的 概率．解：因为0==P(AC)P(AB)，所以V AC V AB ==,，从而V C AB =)(可推出0)(=ABC P设D 表示“A , B , C 至少有一事件发生”，则C B A D ⋃⋃=，于是有)()()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P +---++=⋃⋃= 75.04341313131==-++=3 条件概率与概率乘法定理·全概率公式与贝叶斯公式一、设,6.0)|(,4.0)(,5.0)(===B A P B P A P 求)|(,)(B A A P AB P ． 解：因为B A AB B B A A +=+=)(，所以)()()(B A P AB P A P +=，即14.06.0)4.01(5.0)()()()()()(=⨯--=-=-=B A P B P A P B A P A P AB P68.074.05.036.0)4.01(5.05.0)()()()()()]([)|(≈=--+=-+==A PB P A P A P B A P B A A P B A A P二、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过两次而接通所需电话的概率．若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？ 解：设A 表示“第一次拨通”，B 表示“第二次拨通”，C 表示“拨号不超过两次而拨通”（1）2.0101101)()()(19111101911011=+=⋅+=+=C C C C C C A B P A P C P（2）4.05151)()()(2511141511=+=+=+=A A A A A A B P A P C P三、两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多 一倍．（1）求任意取出的零件是合格品的概率；（2）如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率． 解：设i A 表示“第i 台机床加工的零件”)2,1(=i ；B 表示“出现废品”；C 表示“出现合格品”（1）)()()()()()()()(22112121A C P A P A C P A P C A P C A P C A C A P C P +=+=+= 973.0)02.01(31)03.01(32≈-⨯+-⨯=（2）25.002.03103.03202.031)()()()()()()()()(22112222=⨯+⨯⨯=+==A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P四、猎人在距离100米处射击一动物，击中的概率为0.6；如果第一次未击中，则进行第二次射击，但由于动物逃跑而使距离变为150米；如果第二次又未击中，则进行第三次射击，这时距离变为200米．假定击中的概率与距离成反比，求猎人三次之内击中动物的概率．解：设i A 表示“第i 次击中”)3,2,1(=i ，则由题设，有1006.0)(1kA P ==，得60=k ，从而有4.015060150)(2===k A P ，.3.020060200)(3===k A P设A 表示“三次之内击中”，则321211A A A A A A A ++=，故有)()()()()()()(321211A P A P A P A P A P A P A P ++=832.03.0)4.01()6.01(4.0)6.01(6.0=⨯-⨯-+⨯-+= （另解）设B 表示“猎人三次均未击中”，则168.0)3.01)(4.01)(6.01()(=---=B P故所求为 832.0)(1)(=-=B P B P五、盒中放有12个乒乓球，其中有9个是新的．第一次比赛时从其中任取3个来用，比赛后仍放回盒中．第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的都是新球的概率． 解：设i A 表示“第一次取得i 个新球”)3,2,1,0(=i ，则2201)(312330==C C A P 22027)(31219231==C C C A P 220108)(31229132==C C C A P 22084)(31239033==C C C A P 设B 表示“第二次取出的都是新球”，则312363123731238312393022084220108220272201)()()(C C C C C C C C A B P A P B P i i i ⋅+⋅+⋅+⋅==∑=146.0532400776161112208444722010855142202755212201≈=⋅+⋅+⋅+⋅=4 随机事件的独立性·独立试验序列一、一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人照管的概率：第一台等于0.9，第二台等于0.8，第三台等于0.7．求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率． 解：设i A 表示“第i 台机床不需要照管”)3,2,1(=i ，则9.0)(1=A P 8.0)(2=A P 7.0)(3=A P再设B 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则321321321321A A A A A A A A A A A A B +++=于是有)()()()()()()()()()()()()(321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P B P +++= )7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.08.0)9.01(7.08.09.0-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-+⨯⨯=902.0=．（另解）设i B 表示“有i 台机床需要照管”)1,0(=i ，B 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则10B B B +=且0B 、1B 互斥，另外有504.07.08.09.0)(0=⨯⨯=B P398.0)7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.08.0)9.01()(1=-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-=B P 故902.0398.0504.0)()()()(1010=+=+=+=B P B P B B P B P ．二、电路由电池a 与两个并联的电池b 及c 串联而成．设电池c b a ,,损坏的概率分别是0.3、0.2、0.2，求电路发生间断的概率． 解：设1A 表示“a 损坏”；2A 表示“b 损坏”；3A 表示“c 损坏”；则3.0)(1=A P 2.0)()(32==A P A P又设B 表示“电路发生间断”，则321A A A B +=于是有)()()()()(321321321A A A P A A P A P A A A P B P -+=+=)()()()()()(321321A P A P A P A P A P A P -+= 328.02.02.03.02.02.03.0=⨯⨯-⨯+=．三、三个人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为51、31、41，求能将此密码译出的概率．解：设A 表示“甲能译出”；B 表示“乙能译出”；C 表示“丙能译出”，则51)(=A P 31)(=B P 41)(=C P设D 表示“此密码能被译出”，则C B A D ⋃⋃=，从而有)()()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P +---++=⋃⋃=)()()()()()()()()()()()(C P B P A P A P C P C P B P B P A P C P B P A P +---++= 6.0413151415141513151413151=⨯⨯+⨯-⨯-⨯-++=． （另解）52)411)(311)(511()()()()()(=---===C P B P A P C B A P D P ，从而有6.053521)(1)(==-=-=D P D P四、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人的命中概率分别为7.0,5.0,4.0．飞机被一人击中而被击落的概率为2.0，被两人击中而被击落的概率为6.0，若三人都击中，则 飞机必被击落．求飞机被击落的概率． 解：设1A 表示“甲命中”；2A 表示“乙命中”；3A 表示“丙命中”；则4.0)(1=A P5.0)(2=A P 7.0)(3=A P 设i B 表示“i 人击中飞机” )3,2,1,0(=i ，则09.0)7.01)(5.01)(4.01()())(()()(3213210=---===A P A P A P A A A P B P)()(3213213211A A A A A A A A A P B P ++= )()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=36.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0=⨯--+-⨯⨯-+--⨯=)()(3213213212A A A A A A A A A P B P ++= )()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=41.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0=⨯--+-⨯⨯-+--⨯=14.07.05.04.0)()()()()(3213213=⨯⨯===A P A P A P A A A P B P 设A 表示“飞机被击落”，则由题设有0)(0=B A P 2.0)(1=B A P 6.0)(2=B A P 1)(3=B A P故有458.0114.06.041.02.036.0009.0)()()(30=⨯+⨯+⨯+⨯==∑=i i i B A P B P A P ．五、某机构有一个9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的概率都是0.7，现在该机构内就某事可行与否个别征求每个顾问的意见，并按多数人意见作出决策，求作 出正确决策的概率．解：设i A 表示“第i 人贡献正确意见”，则7.0)(=i A P )9,,2,1( =i ．又设m 为作出正确意见的人数，A 表示“作出正确决策”，则 )9()8()7()6()5()5()(99999P P P P P m P A P ++++=≥=+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=277936694559)3.0()7.0()3.0()7.0()3.0()7.0(C C C9991889)7.0()3.0()7.0(⋅+⋅⋅+C C+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=273645)3.0()7.0(36)3.0()7.0(84)3.0()7.0(126918)7.0()3.0()7.0(9+⋅⋅+ 0403.01556.02668.02668.01715.0++++= 901.0=．六、每次试验中事件A 发生的概率为p ，为了使事件A 在独立试验序列中至少发生一次的概率不小于p ，问至少需要进行多少次试验？ 解：设做n 次试验，则n p A P A P )1(1}{1}{--=-=一次都不发生至少发生一次要p p n ≥--)1(1，即要p p n -≤-1)1(，从而有.1)1(log )1(=-≥-p n p 答：至少需要进行一次试验．5 离散随机变量的概率分布·超几何分布·二项分布·泊松分布一、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的概率分布． 解：设X 表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则X 的概率分布为即亦即二、自动生产线在调整以后出现废品的概率为p ．生产过程中出现废品时立即进行调整．求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布．解：设X 表示“在两次调整之间生产的合格品数”，且设p q -=1，则ξ的概率分布为三、已知一批产品共20个，其中有４个次品．（１）不放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布； （２）放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布． 解：（1）设X 表示“取出的样本中的次品数”，则X 服从超几何分布，即X 的概率函数为)4,3,2,0()(6206164===-x C C C x X P xx从而X 的概率分布为即（2）设X 表示“取出的样本中的次品数”，则X 服从超几何分布，即X 的概率函数为)6,5,4,3,2,0()2.01()2.0()(66=-==-x C x X P xx x从而X即四、电话总机为300个电话用户服务．在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01，求在一小时内有4个用户使用电话的概率（先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算，并求相对误差）． 解：（1）用二项分布计算)01.0(=p168877.0)01.01()01.0()1()4(2964430029644300≈-=-==C p p C ξP（2）用泊松分布计算)301.0300(=⨯==np λ168031355.0!43)4(34≈==-e ξP相对误差为.5168877.0168031355.0168877.0000≈-=δ五、设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生次数不少于3次时，指示灯发出信号．现进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率． 解：设X 表示“事件A 发生的次数”，则3.0)(==p A P ，5=n ，).3.0,5(~B X 于是有)5()4()3()3(=+=+==≥X P X P X P X P5554452335)1()1(p C p p C p p C +-+-=16308.000243.002835.01323.0≈++≈（另解） )2()1()0(1)3(1)3(=-=-=-=<-=≥X P X P X P X P X P322541155005)1()1()1(11p p C p p C p p C ------=16308.0≈六、设随机变量X 的概率分布为2, 1, ,0 , !)(===k k ak X P kλ；其中λ>0为常数，试确定常数a ．解：因为∑∞===01)(k k X P ，即∑∞==01!k kk λa ，亦即1=λae ，所以.λe a -=6 随机变量的分布函数·连续随机变量的概率密度一、函数211x +可否是连续随机变量X 的分布函数？为什么？如果X 的可能值充满区间： （1）（∞+∞- ,）；（2）（0,∞-）．解：（1）设211)(x x F +=，则1)(0<<x F因为0)(lim =-∞→x F x ，0)(lim =+∞→x F x ，所以)(x F 不能是X 的分布函数．（2）设211)(x x F +=，则1)(0<<x F 且0)(lim =-∞→x F x ，1)(lim 0=-→x F x 因为)0( 0)1(2)('22<>+-=x x xx F ，所以)(x F 在（0,∞-）上单增． 综上述，故)(x F 可作为X 的分布函数．二、函数x x f sin )(=可否是连续随机变量X 的概率密度？为什么？如果X 的可能值充满区间：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π； （2）[]π,0； （3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,0π． 解：（1）因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，所以0sin )(≥=x x f ；又因为1cos )(2020=-=⎰ππx dx x f ，所以当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，函数x x f sin )(=可作为某随机变量X 的概率密度．（2）因为[]πx ,0∈，所以0sin )(≥=x x f ；但12cos )(00≠=-=⎰ππx dx x f ，所以当[]πx ,0∈时，函数x x f sin )(=不可能是某随机变量X 的概率密度． （3）因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,0πx ，所以x x f sin )(=不是非负函数，从而它不可能是随机变量X 的概率密度．二、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的分布函数，并作出分布函数的图形． 解：设X 表示“取出的废品数”，则X 的分布律为于是，⎪⎩>3,1x四、（柯西分布）设连续随机变量X 的分布函数为+∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(．求：（1）系数A 及B ；（2）随机变量X 落在区间)1 ,1(-内的概率；(3) X 的概率密度．解：(1) 由0)2()(lim =-⋅+=-∞→πB A x F x ，12)(lim =⋅+=-∞→πB A x F x ，解得.1,21πB A ==即)( ,arctan 121)(+∞<<-∞+=x x πx F ．(2) .21)]1arctan(121[]1arctan 121[)1()1()11(=-+-+=--=<<-ππF F X P(3) X 的概率密度为)1(1)()(2x x F x f +='=π． 五、（拉普拉斯分布）设随机变量X 的概率密度为+∞<<∞-=-x Aex f x,)(．求：（1）系数A ；（2）随机变量X 落在区间)1,0(内的概率；（3）随机变量X 的分布函数．解：(1) 由1)(⎰+∞∞-=dx x f ，得1220⎰⎰+∞∞-+∞--===A dx e A dx Ae xx ，解得21=A ，即有).( ,21)(+∞<<-∞=-x e x f x(2) ).11(21)(2121)()10(101010ee dx e dx xf X P x x -=-===<<--⎰⎰(3) 随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>-≤===-∞--∞-⎰⎰21102121)()(x e x e dx e dx x f x F x xx xx．7 均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布一、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过．乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的．求乘客候车时间不超过3分钟的概率．解：设随机变量X 表示“乘客的候车时间”，则X 服从]5,0[上的均匀分布，其密度函数为⎩⎨⎧∉∈=]5,0[,0]5,0[,1)(x x x f 于是有.6.053)()30(3===≤≤⎰dx x f X P二、已知某种电子元件的使用寿命X (单位:h)服从指数分布，概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0;0,8001)(800x x e x f x任取３个这种电子元件，求至少有１个能使用1000h 以上的概率．解：设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”；321A 、A 、A 分别表示“元件甲、乙、丙能使用1000h 以上”．则287.08001)1000()()()(4510008001000800321≈=-==>===-∞+-∞+-⎰e e dx e X P A P A P A P xx)()()()()()()()()(321313221321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P A P +---++=⋃⋃=638.0287.0287.03287.0332≈+⨯-⨯=（另解）设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”．则287.08001)1000(4510008001000800≈=-==>-∞+-∞+-⎰ee dx e X P xx从而有713.01)1000(1)1000(45≈-=>-=≤-eX P X P ，进一步有638.0713.01)]1000([1)(33≈-≈≤-=X P A P三、(1) 设随机变量X 服从指数分布)(λe ．证明：对于任意非负实数s 及t ，有).()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥这个性质叫做指数分布的无记忆性．(2) 设电视机的使用年数X 服从指数分布)10(．e ．某人买了一台旧电视机，求还能使用５年以上 的概率．解：（１）因为)(~λe X ，所以R x ∈∀，有xe x F λ--=1)(，其中)(x F 为X 的分布函数．设t s X A +≥=，t X B ≥=．因为s 及t 都是非负实数，所以B A ⊂，从而A AB =．根据条件概率公式，我们有)(1)(1)()()()()()()()(s X P t s X P s X P t s X P B P A P B P AB P B A P s X t s X P <-+<-=≥+≥====≥+≥tst s e e e λλλ--+-=----=]1[1]1[1)(． 另一方面，我们有t t e e t F t X P t X P t X P λλ--=--=-=≤-=<-=≥)1(1)(1)(1)(1)(．综上所述，故有)()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥．（２）由题设，知X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-．，；，0001.0)(1.0x x e x f x 设某人购买的这台旧电视机已经使用了s 年，则根据上述证明的（１）的结论，该电视机还能使用5年以上的概率为6065.01.0)()5()5(5.051.051.05≈=-===≥=≥+≥-∞+-∞+-∞+⎰⎰e e dx e dx xf X P s X s X P xx ．答：该电视机还能使用5年以上的概率约为6065.0．四、设随机变量X 服从二项分布)4.0 ,3(B ，求下列随机变量函数的概率分布： （1）X Y 211-=；（2）2)3(2X X Y -=． 解：X 的分布律为（1）X Y 211-=的分布律为（2）2)3(2X XY -=的分布律为即五、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=.0,0;0,)1(2)(2x x x x f π求随机变量函数X Y ln =的概率密度．解：因为)()()(ln )()(yX yY e F e X P y X P y Y P y F =<=<=<= 所以随机变量函数X Y ln =的概率密度为)( )1(2)()()()(2''+∞<<-∞+====y e e e e f e e F y F y f yyyyyyXYY π，即 )( )1(2)(2+∞<<-∞+=y e e y f y yY π．８ 二维随机变量的联合分布与边缘分布一、把一颗均匀的骰子随机地掷两次．设随机变量X 表示第一次出现的点数，随机变量Y 表示两次出现点数的最大值，求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布及Y 的边缘概率分布． 解：二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为Y 的边缘概率分布为二、设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数)3arctan )(2arctan(),(y C x B A y x F ++=． 求：（1）系数A 、B 及C ；（2）（X ，Y ）的联合概率密度：（3）边缘分布函数及边缘概率密度．解：（1）由0)0,(,0),0(,1),(=-∞=∞-=∞+-∞F F F ，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=++0)2(0)2)(0(1)2)(2(πB AC πC B A πC πB A 解得2πC B ==，.12πA =（2）因为)3arctan 2)(2arctan 2(1),(2yx y x F ++=πππ，所以（X ，Y ）的联合概率密度为.)9)(4(6),(),(222"y x y x F y x f xy ++==π（3）X 及Y 的边缘分布函数分别为xx x X x dx x dy y x f dx x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==⎰⎰⎰2arctan 1)4(2),()(2ππ 2arctan 121xπ+=yx y Y y dy y dx y x f dy x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==⎰⎰⎰3arctan 1)9(3),()(2ππ 3arctan 121yπ+=X 及Y 的边缘概率密度分别为⎰⎰⎰+∞+∞∞-+∞∞-++⋅=++==0222222)9(1)4(112)9)(4(6),()(dy y x dy y x dy y x f x f X ππ )4(2)3arctan 31()4(1122022x y x +=+⋅=∞+ππ ⎰⎰⎰+∞+∞∞-+∞∞-++=++==022222241)9(12)9)(4(6),()(dx x y dx y x dx y x f y f Y ππ)9(3)2arctan 21()9(122022y x y +=+=∞+ππ三、设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧>>=+-.,00;0,,Ae ),(3y)(2x 其它y x y x f 求：（1）系数A ；（2）),(Y X 的联合分布函数；（3）X 及Y 的边缘概率密度；（4）),(Y X落在区域R ：632 ,0 ,0<+>>y x y x 内的概率． 解：（1）由1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dy dx y x f ，有16132==⎰⎰∞+∞+--A dy e dx e A y x ，解得.6=A （2）),(Y X 的联合分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>>==⎰⎰⎰⎰--∞-∞-其它0,06),(),(0032y x dy e dx e dy y x f dx y x F x y y x xy⎩⎨⎧>>--=--其它0,0)1)(1(32y x e e y x （3）X 及Y 的边缘概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰00020006),()(2032x x ex x dy e e dy y x f x f x y x X⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰0030006),()(3032y y e x x dx e e dx y x f y f y y x Y（4）⎰⎰⎰⎰---==∈x y xR dy e dx edxdy y x f R Y X P 32203326),(}),{(6306271)(2---⎰-=-=e dx e e x四、设二维随机变量),(Y X 在抛物线2x y =与直线2+=x y 所围成的区域R 上服从均匀分布．求：(1) ),(Y X 的联合概率密度；(2) 概率)2(≥+Y X P ． 解：(1) 设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧∉∈=.),(, 0;),(,),(R y x R y x C y x f 则由129)322()2(21322122212==-+=-+==--+-⎰⎰⎰⎰⎰Cx x x C dx x x C dy dx C Cdxdy x x R解得92=C ．故有⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(, 0;),(,92),(R y x R y x y x f(2) ⎰⎰⎰⎰⎰⎰++-≥++==≥+x x x x y x dy dx dy dx dxdy y x f Y X P 2212210229292),()2(⎰⎰-++=21210)2(92292dx x x xdx481.02713)322(92922132102≈=-++=x x x x ． ９ 随机变量的独立性·二维随机变量函数的分布一、设X 与Y 是两个相互独立的随机变量，X 在]1,0[上服从均匀分布，Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0;0,21)(2y y e y f yY求 (1) ),(Y X 的联合概率密度; (2) 概率)(X Y P ≥．解: (1)X 的概率密度为⎩⎨⎧∉∈=)1,0(,0)1,0(,1)(x x x f X ，),(Y X 的联合概率密度为（注意Y X ,相互独立）⎪⎩⎪⎨⎧><<==-其它,00,10,21)()(),(2y x e y f x f y x f yY X（2）dx edx e dy e dx dxdy y x f X Y P x xy xy xy ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-∞+-∞+-≥=-===≥1021022102)(21),()(7869.0)1(2221122≈-=-=--e ex二、设随机变量X 与Y 独立，并且都服从二项分布：.,,2 ,1 ,0 ,)(; ,,2 ,1 ,0 ,)(212211n j qp C j p n i q p C i p jn jj n Y in i i n X ====--证明它们的和Y X Z +=也服从二项分布．证明: 设j i k +=, 则ik n i k i k n ki i n i i n k i Y X Z q p C q p C i k P i P k Z P k P +---=-=∑∑=-===22110)()()()( ∑=-+=ki kn n k i n in q p C C2121)( 由knm ki ik n k m C C C +=-=∑, 有kn n ki in i n C C C21210+==∑. 于是有 ),,2,1,0( )(212121n n k q p C k P kn n k i n n Z +==-++ 由此知Y X Z +=也服从二项分布.三、设随机变量X 与Y 独立，并且X 在区间[0，1]内服从均匀分布，Y 在区间[0，2]内服从辛普森分布：⎪⎩⎪⎨⎧><≤<-≤≤=.20 0,; 2 1 ,2;10 ,)(y y y y y y y f Y 或求随机变量Y X Z +=的概率密度．解: X 的概率密度为 ⎩⎨⎧∉∈=]1,0[,0]1,0[,1)(x x y f ξ . 于是),(Y X 的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤-≤≤≤≤=. 0, 2 1,10 ,210,10,),(其它当当y x y y x y y x fY X Z +=的联合分布函数为}),{(}{}{)(D y x P z Y X P z Z P z F Z ∈=≤+=≤=，其中D 是z y x ≤+与),(y x f 的定义域的公共部分.故有 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<+-≤<-+-≤≤><=3229321212331023,00)(222z z z z z z z z z z z F Z 从而随机变量Y X Z +=的概率密度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤<+-≤≤><=3232132103,00)(z z z z z z z z z f Z三、电子仪器由六个相互独立的部件ij L （3,2,1;2,1==j i ）组成，联接方式如右图所示．设各个部件的使用寿命ij X 服从相同的指数分布)(λe ，求仪器使用寿命的概率密度．解: 由题设，知ij X 的分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1x x e F x X ij λ先求各个并联组的使用寿命)3,2,1( =i Y i 的分布函数.因为当并联的两个部件都损坏时,第i个并联组才停止工作,所以有)3,2,1(),max(21==i Y i i i ξξ从而有)3,2,1( =i Y i 的分布函数为⎩⎨⎧≤>-==-0,00,)1()(221y y e F F y F y X X Y i i i λ 设Z "仪器使用寿命".因为当三个并联组中任一个损坏时,仪器停止工作.所以有),,min(321Y Y Y Z =.从而有Z 的分布函数为⎩⎨⎧≤>---=⎩⎨⎧≤>----=-0,00,])1(1[10,00)],(1)][(1)][(1[1)(32321z z e z z z F z F z F z F z Y Y Y Z λ 故Z 的概率密度为⎩⎨⎧≤>--=---0,00,)2)(1(6)(23z z e e e z f z z z Z λλλλ10 随机变量的数学期望与方差一、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取一个．如果取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望、方差与标准差． 解：设X 表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则X 的概率分布为即1103322013220924491430=⨯+⨯+⨯+⨯=EX 即3.0004.03041.02205.0175.00≈⨯+⨯+⨯+⨯=EX2X 的分布为即于是有229220192209444914302=⨯+⨯+⨯+⨯=EX 即4091.0004.09041.04205.0175.002≈⨯+⨯+⨯+⨯=EX从而有3191.013310042471)11033(229)(222≈=-=-=EX EX DX 565.03191.0≈==DX Xσ二、对某一目标进行射击，直至击中为止．如果每次射击命中率为p ，求射击次数的数学期望及方差． 解：设X 表示“第i 次击中”),2,1( =i ，则X 的分布为X1 2 3 …… n ……p q p q q p q p iqp ipqEX i i i i i i 1)1()1()(211111=-='-='===∑∑∑∞=∞=-∞=- 2Xpp p p q q p q p q q p pqi EX i i i ii i 122)1()1()(])([223111122-=-=-+='=''==∑∑∑∞=∞=∞=-进一步有pp p p p EX EX DX 11)1(12)(22222-=--=-=三、设离散型随机变量X 的概率函数为,,2,1,21]2)1([ ==-=k k X P k k k问X 的数学期望是否存在？若存在，请计算)(X E ；若不存在，请解释为什么．解：因为∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=-=⋅-=-=-==1111)1(212)1(]2)1([2)1()(k k k k k k k k k k ki i i k k k X P k x X P x 不绝对收敛，所以ξ没有数学期望．四、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=.1, 0;1,11)(2x x x x f π 求数学期望)(X E 及方差)(X D ．解：011)()(112=-⋅==⎰⎰-+∞∞-dx xx dx x xf X E πdx x x dx xx dx x f x X D ⎰⎰⎰-=-⋅==-∞+∞-1022112221211)()(πππ21]arcsin 2112[2102=+--=x x x π五、（拉普拉斯分布）设随机变量X 的概率密度为 )( ,21)(+∞<<-∞=-x e x f x．求数学期望)(X E 及方差)(X D ． 解：021)(===⎰⎰+∞∞--+∞∞-dx xe dx x xf EX x2!2)3(21)(0222==Γ====⎰⎰⎰+∞-+∞∞--+∞∞-dx e x dx e x dx x f x DX x x（分部积分亦可）11 随机变量函数的数学期望·关于数学期望与方差的定理一、设随机变量X 服从二项分布)4.0,3(B ，求2)3(X X Y -=的数学期望及方差． 解：X 的概率分布为Y 的概率分布为2Y 的分布为72.072.0128.00=⨯+⨯=EY 72.072.0128.002=⨯+⨯=EY2016.0)72.0(72.0)(222=-=-=EY EY DY二、过半径为R 的圆周上一点任意作这圆的弦，求所有这些弦的平均长度．解：在圆周上任取一点O ，并通过该点作圆得直径OA ．建立平面直角坐标系，以O 为原点，且让OA 在x 轴的正半轴上．通过O 任作圆的一条弦OB ，使OB 与x 轴的夹角为θ，则θ服从]2,2[ππ-上的均匀分布，其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧-∉-∈=]2,2[,0]2,2[,1)(ππθππθπθf ． 弦OB 的长为 ]2,2[cos 2)(ππθθθ-∈=R L ，故所有弦的平均长度为⎰⎰-∞+∞-⋅==22cos 21)()()]([ππθθπθθθθd R d L f L EπθπθθπππRRd R4sin 4cos 4202===⎰．三、一工厂生产的某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-. 0, 0 ;0 ,41)(4x x e x f x工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换．若工厂售出一台设备赢利100元， 调换一台设备厂方需花费300元．试求厂方出售一台设备的平均净赢利． 解：由题设，有⎰⎰---∞--=-===<104110441141)()1(e e dx e dx x f X P x x进而有 41)1(1)1(-=<-=≥e X P X P设Y 表示“厂方出售一台设备获得的净赢利”，则Y 的概率分布为从而有64.33200300100)1(200414141≈-⨯=⨯+-⨯-=---ee e EY答：厂方出售一台设备获得的平均净赢利约为64.33元．四、设随机变量n X X X ,,21相互独立，并且服从同一分布，数学期望为μ，方差为2σ．求这些随机变量的算术平均值∑==ni i X n X 11的数学期望与方差．解：因为μ=)(i X E ，2)(σ=i X D ，且随机变量n X X X ,,21相互独立．所以有μμ=====∑∑∑∑====ni n i i ni i n i i n X E n X E n X n E X E 11111)(1)(1)1()(，nn X D n X D n X n D X D ni ni i n i i n i i 2122121211)(1)(1)1()(σσ=====∑∑∑∑====．五、一民航送客车载有20位旅客自机场开出，沿途有10个车站可以下车，到达一个车站时如没有旅客下车就不停车．假设每位旅客在各车站下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立．求该车停车次数的数学期望．解: 设i X 表示"第i 站的停车次数" (10,,2,1 =i ). 则i X 服从"10-"分布. 其中⎩⎨⎧=站有人下车若在第站无人下车若在第i i X i ,1,0 于是i X 的概率分布为设∑==ni iXX 1, 则X 表示沿途停车次数, 故有]})10110(1[1)10110(0{10)(2020101101--⨯+-⨯===∑∑==i i i i EX X E EX748.8)9.01(1020≈-= 即停车次数的数学期望为748.8.12 二维随机变量的数字特征·切比雪夫不等式与大数定律一、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为()(). 1,222++=y xAy x f求：（1）系数A ；（2）数学期望)(X E 及)(Y E ，方差)(X D 及)(Y D ，协方差),cov(Y X ．解: (1) 由⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x f . 有()()⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+==+=++1112022222A dr rrd A dxdy y xAπθπ解得, π1=A .(2) ()011),()(222⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞-=++==dx y xxdy dxdy y x xf X E π.由对称性, 知 0)(=Y E .⎰⎰+∞∞-+∞∞-==-=dxdy y x f x EX EX X E X D ),(])[()(222()⎰⎰∞+∞-∞+∞-++=dx y xx dy 222211π()()+∞=+++=+-+=+=∞+∞+∞+⎰⎰⎰22022220223]11)1ln([1)1(211rr dr r rr r dr rr d πθπ同理, 有 +∞=)(Y D .)()])([(),cov(XY E EY Y Ex X E Y X =--=⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x xyf ),(()011),(222⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞-=++==dx y xxydy dxdy y x xyf π.二、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<<=其它．,0;10,,1),(x x y y x f 求(1) ),cov(Y X ；(2) X 与Y 是否独立，是否相关，为什么？ 解: (1) 因为 ⎰⎰⎰⎰⎰====-∞+∞-∞+∞-1210322),(dx x dy xdx dxdy y x xf EX x x0),(10===⎰⎰⎰⎰-+∞∞-+∞∞-xx ydy dx dxdy y x yf EY0),()(1===⎰⎰⎰⎰-+∞∞-+∞∞-xxydy xdx dxdy y x xyf XY E所以有])32[()])([(),cov(Y X E EY Y EX X E Y X -=--=⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x xyf ),(010==⎰⎰-xxydy xdx ．(2) 当)1,0(∈x 时,有 ⎰⎰+∞∞--===x dy dy y x f x f xxX 2),()(; 当)1,0(∉x 时, 有0)(=x f X .即⎩⎨⎧∉∈=)1,0(0)1,0(2)(X x x x x f 同理有 ⎩⎨⎧∉+∈-=⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=⎰⎰-)1,0(1)1,0(1)1,0()1,0()(11Y x y x y x dx x dx y f y y因为 ),()()(y x f y f x f Y X ≠, 所以X 与Y 不是独立的．又因为0),cov(=Y X , 所以X 与Y 是不相关的．三、利用切比雪夫不等式估计随机变量X 与其数学期望)(X E 的差的绝对值大于三倍标准差)(X σ的概率．解：91)3()3(2=≤>-ξξξξξD D D E P ．四、为了确定事件A 的概率，进行10000次重复独立试验．利用切比雪夫不等式估计：用事件A在10000次试验中发生的频率作为事件A 的概率的近似值时，误差小于0.01的概率． 解：设ξ表示“在10000次试验中事件A 的次数”，则)5.0,10000(~B ξ且有50005.010000=⨯==np E ξ 2500)5.01(5.010000=-⨯⨯==n p q D ξ 于是有npqp npq p np m P p n m P 22)01.0(1)01.0(1)01.0()01.0(-=-≥<-=<- 75.025.011=-=-=pq五、样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则认为这批产品不能接受．应该检查多少个产品，可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9？ 解：设ξ表示“发现的次品件数”，则)1.0,(~n B ξ，现要求.nn ξE 1.0= n ξD 09.0=要使得9.0)10(=>ξP ，即9.0)10(=≤<n ξP ，因为9.0)10(=≤<n ξP ，所以 )3.01.03.01.03.01.010()10(nn n n n ξn n P ξD ξE n ξD ξE ξξD ξE P -≤-<-=-≤-<-)3.01.010()3()33.01.03.01.010(1,01,0nn n n n n ξn n P --≈≤-<-=ΦΦ1)3.0101.0()3(1,01,0--+nn n ΦΦ （德莫威尔—Laplace 定理）因为10>n ，所以53>n ，从而有1)3(1,0≈n Φ，故9.0)3.0101.0(1,0≈-nn Φ． 查表有8997.0)28.1(1,0=Φ，故有28.13.0101.0≈-nn ，解得.146≈n 答：应该检查约146个产品，方可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9．13 正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差一、设随机变量X 服从正态分布)2,1(2N ，求（1）)8.56.1(<≤-X P ；（2）)56.4(≥X P ．解：(1) )4.2213.1()8.416.2()8.56.1(<-≤-=<-≤-=<≤-X P X P X P 8950.09032.019918.0)]3.1(1[)4.2()3.1()4.2(1,01,01,01,0=+-=--=--=ΦΦΦΦ (2) )78.12178.2(1)56.4(1)56.4(<-<--=<-=≥X P X P X P )]78.2(1)78.1(1)]78.2()78.1([11,01,01,01,0ΦΦΦΦ-+-=---= .0402.09973.09625.02=--二、已知某种机械零件的直径X （mm ）服从正态分布)6.0,100(2N ．规定直径在2.1100±（mm ）之间为合格品，求这种机械零件的不合格品率． 解：设p 表示这种机械零件的不合格品率，则)2.1100(1)2.1100(≤--=>-=X P X P p ．而)26.01002()6.02.16.01006.02.1()2.1100(≤-≤-=≤-≤-=≤-X P X P X P 1)2(2)]2(1[)2()2()2(-Φ=Φ--Φ=-Φ-Φ= 9544.019772.02=-⨯=故0456.09544.01=-=p ．三、测量到某一目标的距离时发生的误差X (m)具有概率密度3200)20(22401)(--=x ex f π求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m 的概率．解：三次测量中每次误差绝对值都超过30米可表为}30{}30{}30{>⋃>⋃>=ξξξD 第三次第二次第一次因为)40,20(~2N ξ，所以由事件的相互独立性，有31,01,033)]25.0(1)25.1([})3030{(})30{()(ΦΦ-+-=>+-<=>=ξξP ξP D P 13025.05069.0)8944.05987.02(33≈=--= 于是有86975.013025.01)(1}30{=-=-=<D P P 米至少有一次绝对值三次测量中ξ．四、设随机变量),(~2σμN X ，求随机变量函数Xe Y =的概率密度（所得的概率分布称为对数正态分布）．解：由题设，知X 的概率密度为)(21)(222)(+∞<<-∞=--x ex f x X σμσπ从而可得随机变量Y 的分布函数为)()()(y e P y Y P y F X Y ≤=≤=．当0≤y 时，有0)(=y F Y ；此时亦有0)(='y F Y ． 当0>y 时，有dx ey X P y F yx Y ⎰∞---=≤=ln 2)(221)ln ()(σμσπ．此时亦有222)(ln 21)(σμσπ--='y Y eyy F ．从而可得随机变量Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=--.0,21;0,0)(222)(ln y e yy y f y Y σμσπ五、设随机变量X 与Y 独立，),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ，求： (1) 随机变量函数bY aX Z +=1的数学期望与方差，其中a 及b 为常数； (2) 随机变量函数XY Z =2的数学期望与方差．解：由题设，有211)(,)(σμ==X D X E ；222)(,)(σμ==Y D Y E ．从而有(1)211)()()()()()(μμb a Y bE X aE bY E aX E bY aX E Z E +=+=+=+=； 222212221)()()()()()(σσb a Y D b X D a bY D aX D bY aX D Z D +=+=+=+=． (2)212)()()()(μμ===Y E X E XY E Z E ；)()()()()()()()(22222222Y E X E Y E X E XY E Y X E XY D Z D -=-== )()()]()()][()([2222Y E X E Y E Y D X E X D -++= )()()()()()(22X E Y D Y E X D Y D X D ++=212222212221μσμσσσ++=．1４ 二维正态分布·正态随机变量线性函数的分布·中心极限定理四、 设二维随机变量),(Y X 服从二维正态分布，已知0)()(==Y E X E ，16)(=X D ，25)(=Y D ，并且12),cov(=Y X ，求),(Y X 的联合概率密度．解：已知0==y x μμ，416==x σ，525==y σ，53),cov(),(===y x Y X Y X r σσ．从而2516)53(1122=-=-r ，5412=-r ．进一步按公式])())((2)([)1(21222121),(yy y x y x x x y y x r x r y x ery x f σμσσμμσμσπσ-+-------=，可得),(Y X 的联合概率密度为)2550316((322522321),(y xy x ey x f +--=π．二、设随机变量X 与Y 独立，并且)1,0(~N X ，)2,1(~2N Y ．求随机变量32+-=Y X Z 的概率密度． 解：由题设，有0)(=X E ，1)(=X D ，1)(=Y E ，4)(=Y D ．又根据关于数学期望的定理和方差的定理以及独立正态随机变量线性组合的分布，我们有2)3()()(2)32()(=+-=+-=E Y E X E Y X E Z E ． 8)3()()(4)32()(=++=+-=D Y D X D Y X D Z D ．且)8,2())(,)((~N Z D Z E N Z =，故随机变量32+-=Y X Z 的概率密度为16)2(82)2(2241821)(--⨯--==z z Z eez f ππ )(+∞<<-∞z ．三、 台机床分别加工生产轴与轴衬．设随机变量X (mm)表示轴的直径，随机变量Y (mm)表示轴衬的内径，已知)3.0,50(~2N X ，)4.0,52(~2N Y ，显然X 与Y 是独立的．如果轴衬的内径与轴的直径之差在3~1(mm)之间，则轴与轴衬可以配套使用．求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率． 解：由题设，知随机变量X 与Y 是独立的，且)3.0,50(~2N X ，)4.0,52(~2N Y ．设X Y Z -=根据独立正态随机变量线性组合的分布，我们有)5.0,2()3.0)1(4.0,50)1(52(~2222N N Z =⨯-+⨯-+．根据题目假设，我们知道当31≤-=≤X Y Z 时，轴与轴衬可以配套使用．于是所求概率为1)2(2)2()2()25.022()5.0235.025.021()31(-Φ=-Φ-Φ=≤-≤-=-≤-≤-=≤≤Z P Z P Z P9544.019772.02=-⨯=．四、100台车床彼此独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%，求： （1） 任一时刻有70至86台车床在工作的概率；。

概论论与数理统计习题参考解答习题一8.掷3枚硬币,求出现3个正面的概率.解:设事件A ={出现3个正面}基本事件总数n =23,有利于A 的基本事件数n A =1,即A 为一基本事件,则.125.08121)(3====n n A P A 9.10把钥匙中有3把能打开门,今任取两把,求能打开门的概率.解:设事件A ={能打开门},则为不能打开门A 基本事件总数,有利于的基本事件数,210C n =A 27C n A =467.0157910212167)(21027==××⋅××==C C A P 因此,.533.0467.01(1)(=−=−=A P A P 10.一部四卷的文集随便放在书架上,问恰好各卷自左向右或自右向左的卷号为1,2,3,4的概率是多少?解:设A ={能打开门},基本事件总数,2412344=×××==P n 有利于A 的基本事件数为,2=A n 因此,.0833.0121)(===n n A P A 11.100个产品中有3个次品,任取5个,求其次品数分别为0,1,2,3的概率.解:设A i 为取到i 个次品,i =0,1,2,3,基本事件总数,有利于A i 的基本事件数为5100C n =3,2,1,0,5973==−i C C n ii i 则w w w .k h da w .c o m 课后答案网00006.09833512196979697989910054321)(006.0983359532195969739697989910054321)(138.09833209495432194959697396979899100543213)(856.0334920314719969798991009394959697)(51002973351003972322510049711510059700=××==××⋅××××××××====××=×××××⋅××××××××====×××=×××××××⋅××××××××=×===××××=××××××××===C C n n A P C C C n n A P C C n n A P C C n n A P 12.N 个产品中有N 1个次品,从中任取n 个(1≤n ≤N 1≤N ),求其中有k (k ≤n )个次品的概率.解:设A k 为有k 个次品的概率,k =0,1,2,…,n ,基本事件总数,有利于事件A k 的基本事件数,k =0,1,2,…,n ,n N C m =k n N N k N k C C m −−=11因此,n k C C C m m A P n N k n N N k N k k ,,1,0,)(11⋯===−−13.一个袋内有5个红球,3个白球,2个黑球,计算任取3个球恰为一红,一白,一黑的概率.解:设A 为任取三个球恰为一红一白一黑的事件,则基本事件总数,有利于A 的基本事件数为,310C n =121315C C C n A =则25.0412358910321)(310121315==×××××××===C C C C n n A P A 14.两封信随机地投入四个邮筒,求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率.解:设A 为前两个邮筒没有信的事件,B 为第一个邮筒内只有一封信的事件,则基本事件总数,1644=×=n 有利于A 的基本事件数,422=×=A n 有利于B 的基本事件数,632=×=B n 则25.041164)(====n n A P A .375.083166)(====n n B P B w ww .k h d a w .c o m 课后答案网15.一批产品中,一,二,三等品率分别为0.8,0.16,0.04,若规定一,二等品为合格品,求产品的合格率.解:设事件A 1为一等品,A 2为二等品,B 为合格品,则P (A 1)=0.8,P (A 2)=0.16,B =A 1+A 2,且A 1与A 2互不相容,根据加法法则有P (B )=P (A 1)+P (A 2)=0.8+0.16=0.9616.袋内装有两个5分,三个2分,五个一分的硬币,任意取出5个,求总数超过一角的概率.解:假设B 为总数超过一角,A 1为5个中有两个5分,A 2为5个中有一个5分三个2分一个1分,A 3为5个中有一个5分两个2分两个1分,则B =A 1+A 2+A 3,而A 1,A 2,A 3互不相容,基本事件总数252762354321678910510=×××=××××××××==C n 设有利于A 1,A 2,A 3的基本事件数为n 1,n 2,n 3,则5.0252126252601056)(,60214532,1052,563216782523123153312238221==++==××××===×===××××==B P C C C n C C C n C C n 17.求习题11中次品数不超过一个的概率.解:设A i 为取到i 个次品,i =0,1,2,3,B 为次品数不超过一个,则B =A 0+A 1,A 0与A 1互不相容,则根据11题的计算结果有P (B )=P (A 0)+P (A 1)=0.856+0.138=0.99419.由长期统计资料得知,某一地区在4月份下雨(记作事件A )的概率为4/15,刮风(用B 表示)的概率为7/15,既刮风又下雨的概率为1/10,求P (A |B ),P (B |A ),P (A +B ).解:根据题意有P (A )=4/15,P (B )=7/15,P (AB )=1/10,则633.03019303814101154157)()()()(275.08315/410/1)())|(214.014315/710/1)()()|(==−+=−+=−+=+========AB P B P A P B A P A P PAB A B P B P AB P B A P 20.为防止意外,在矿内同时设有两种报警系统A 与B ,每种系统单独使用时,其有效的概率系统A 为0.92,系统B 为0.93,在A 失灵的条件下,B 有效的概率为0.85,求(1)发生意外时,这两个报警系统至少有一个有效的概率(2)B 失灵的条件下,A 有效的概率解:设A 为系统A 有效,B 为系统B 有效,则根据题意有P (A )=0.92,P (B )=0.93,85.0)|(=A B P w w w .k h d a w .c o m 课后答案网(1)两个系统至少一个有效的事件为A +B ,其对立事件为两个系统都失效,即,而,则B A B A =+15.085.01)|(1)|(=−=−=A B P A B P 988.0012.01(1)(012.015.008.015.0)92.01(|(()(=−=−=+=×=×−==B A P B A P A B P A P B A P (2)B 失灵条件下A 有效的概率为,则)|(B A P 829.093.01012.01)()(1)|(1)|(=−−=−=−=B P B A P B A P B A P 21.10个考签中有4个难签,3人参加抽签考试,不重复地抽取,每人一次,甲先,乙次,丙最后,证明3人抽到难签的概率相等.证:设事件A ,B ,C 表示甲,乙,丙各抽到难签,显然P (A )=4/10,而由903095106)|(()(902496104)|()()(902494106)|()()(901293104)|()()(=×===×===×===×==A B P A P B A P A B P A P B A P A B P A P B A P A B P A P AB P 由于A 与互不相容,且构成完备事件组,因此可分解为两个互不相容事件A B A AB B +=的并,则有1049036902412)()()(==+=+=A P AB P B P 又因之间两两互不相容且构成完备事件组,因此有B A B A B A AB ,,,分解为四个互不相容的事件的并,C B A C B A BC A ABC C +++=且720120849030)|()()(72072839024)|(()(72072839024)|()()(72024829012)|()()(=×===×===×===×==B A C P B A P C B A P B A C P B A P C B A P B A C P B A P BC A P AB C P AB P ABC P w w w .k h d a w .c o m 课后答案网则104720288720120727224()()()()(==+++=+++=B A P C B A P BC A P ABC P C P 因此有P (A )=P (B )=P (C ),证毕.22.用3个机床加工同一种零件,零件由各机床加工的概率分别为0.5,0.3,0.2,各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94,0.9,0.95,求全部产品中的合格率.解:设A 1,A 2,A 3零件由第1,2,3个机床加工,B 为产品合格,A 1,A 2,A 3构成完备事件组.则根据题意有P (A 1)=0.5,P (A 2)=0.3,P (A 3)=0.2,P (B |A 1)=0.94,P (B |A 2)=0.9,P (B |A 3)=0.95,由全概率公式得全部产品的合格率P (B )为93.095.02.09.03.094.05.0)|()()(31=×+×+×==∑=i i i A B P A P B P 23.12个乒乓球中有9个新的3个旧的,第一次比赛取出了3个,用完后放回去,第二次比赛又取出3个,求第二次取到的3个球中有2个新球的概率.解:设A 0,A 1,A 2,A 3为第一次比赛取到了0,1,2,3个新球,A 0,A 1,A 2,A 3构成完备事件组.设B 为第二次取到的3个球中有2个新球.则有22962156101112321)|(,552132101112789321)(,442152167101112321)|(,55272101112389321)(,552842178101112321)|(,2202710111239321)(,552732189101112321)|(,2201101112321)(3121626331239331215272312132923121428131223191312132********=⋅××⋅××××===×××××××××===⋅××⋅××××===××××××××===⋅××⋅××××===××××××===⋅××⋅××××===××××==C C C A B P C C A P C C C A B P C C C A P C C C A B P C C C A P C C C A B P C C A P 根据全概率公式有w w w .k h d a w .c o m 课后答案网455.01562.02341.00625.00022.022955214421552755282202755272201)|()()(30=+++=⋅+⋅+⋅+⋅==∑=i i i A B P A P B P 24.某商店收进甲厂生产的产品30箱,乙厂生产的同种产品20箱,甲厂每箱100个,废品率为0.06,乙厂每箱装120个,废品率是0.05,求:(1)任取一箱,从中任取一个为废品的概率;(2)若将所有产品开箱混放,求任取一个为废品的概率.解:(1)设B 为任取一箱,从中任取一个为废品的事件.设A 为取到甲厂的箱,则A 与构成完备事件组A 056.005.04.006.06.0)|()()|()()(05.0|(,06.0)|(4.05020)(,6.05030)(=×+×=+=======A B P A P A B P A P B P A B P A B P A P A P (2)设B 为开箱混放后任取一个为废品的事件.则甲厂产品的总数为30×100=3000个,其中废品总数为3000×0.06=180个,乙厂产品的总数为20×120=2400个,其中废品总数为2400×0.05=120个,因此...055555555.0540030024003000120180)(==++=B P 25.一个机床有1/3的时间加工零件A ,其余时间加工零件B ,加工零件A 时,停机的概率是0.3,加工零件B 时,停机的概率是0.4,求这个机床停机的概率.解:设C 为加工零件A 的事件,则为加工零件B 的事件,C 与构成完备事件组.C C 设D 为停机事件,则根据题意有P (C )=1/3,P ()=2/3,C P (D |C )=0.3,P (D |)=0.4,C 根据全概率公司有367.04.0323.031|()()|()()(=×+×=+=C D P C P C D P C P D P 26.甲,乙两部机器制造大量的同一种机器零件,根据长期资料总结,甲机器制造出的零件废品率为1%,乙机器制造出的废品率为2%,现有同一机器制造的一批零件,估计这一批零件是乙机器制造的可能性比它们是甲机器制造的可能性大一倍,今从该批零件中任意取出一件,经检查恰好是废品,试由此检查结果计算这批零件为甲机器制造的概率.w w w .k h d a w .c o m 课后答案网解:设A 为零件由甲机器制造,则为零件由乙机器制造,A 与构成完备事件组.A A 由P (A +)=P (A )+P ()=1并由题意知P ()=2P (A ),A A A 得P (A )=1/3,P ()=2/3.A 设B 为零件为废品,则由题意知P (B |A )=0.01,P (B |)=0.02,A 则根据贝叶斯公式,任抽一件检查为废品条件下零件由甲机器制造的概率为2.005.001.002.03201.03101.031)|()()|()()|()()|(==×+××==+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P 27.有两个口袋,甲袋中盛有两个白球,一个黑球,乙袋中盛有一个白球两个黑球.由甲袋中任取一个球放入乙袋,再从乙袋中取出一个球,求取到白球的概率.解:设事件A 为从甲袋中取出的是白球,则为从甲袋中取出的是黑球,A 与构成完备事A A 件组.设事件B 为从乙袋中取到的是白球.则P (A )=2/3,P ()=1/3,A P (B |A )=2/4=1/2,P (B |)=1/4,A 则根据全概率公式有417.012541312132)|()()|()()(==×+×=+=A B P A P A B P A P B P 28.上题中若发现从乙袋中取出的是白球,问从甲袋中取出放入乙袋的球,黑白哪种颜色可能性大?解:事件假设如上题,而现在要求的是在事件B 已经发生条件下,事件A 和发生的条件概A 率P (A |B )和P (|B )哪个大,可以套用贝叶斯公式进行计算,而计算时分母为P (B )已上题算A 出为0.417,因此2.0417.04131)()|()()|(8.0417.02132)()|()()|(=×===×==B P A B P A P B A P B P A B P A P B A P w w w .k h d a w .c o m 课后答案网P (A |B )>P (|B ),因此在乙袋取出的是白球的情况下,甲袋放入乙袋的球是白球的可能性大.A 29.假设有3箱同种型号的零件,里面分别装有50件,30件和40件,而一等品分别有20件,12件及24件.现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件(第一次取到的零件不放回).试求先取出的零件是一等品的概率;并计算两次都取出一等品的概率.解:称这三箱分别为甲,乙,丙箱,假设A 1,A 2,A 3分别为取到甲,乙,丙箱的事件,则A 1,A 2,A 3构成完备事件组.易知P (A 1)=P (A 2)=P (A 3)=1/3.设B 为先取出的是一等品的事件.则6.04024)|(,4.03012)|(,4.05020)|(321======A B P A B P A B P 根据全概率公式有467.036.04.04.0)|()()(31=++==∑=i i i A B P A P B P 设C 为两次都取到一等品的事件,则38.039402324)|(1517.029301112)|(1551.049501920)|(240224323021222502201=××===××===××==C C A C P C C A C P C C A C P 根据全概率公式有22.033538.01517.01551.0)|()()(31=++==∑=i i i A C P A P C P 30.发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“·”和“—”。

概率论与数理统计第一版答案【篇一：《概率论与数理统计》课后习题答案第一章】xt>习题1.1解答1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件a,b,c分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。

试写出样本空间及事件a,b,c中的样本点。

解：(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）?a??(正，正)，（正，反）?；b??（正，正），（反，反）?c??(正，正)，（正，反），（反，正）?2. 在掷两颗骰子的试验中，事件a,b,c,d分别表示“点数之和为偶数偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。

试写出样本空间及事件ab,a?b,c,bc,a?b?c?d中的样本点。

解：(1,1),(1,2),?,(1,6),(2,1),(2,2),?,(2,6),?,(6,1),(6,2),?,(6,6)?； ab??(1,1),(1,3),(2,2),(3,1)?；a?b??(1,1),(1,3),(1,5),?,(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1)?； c??；bc??(1,1),(2,2)?；a?b?c?d??(1,5),(2,4),(2,6),(4,2),(4,6),(5,1),(6,2),(6,4)?3. 以a,b,c分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。

试用a,b,c表示以下事件：（1）只订阅日报；（2）只订日报和晚报；（3）只订一种报；（4）正好订两种报；（5）至少订阅一种报；（6）不订阅任何报；（7）至多订阅一种报；（8）三种报纸都订阅；（9）三种报纸不全订阅。

解：（1）a；（2）ab；（4）ab?ac?bc; （8）abc；（9）??（3）a?b?c；（5）a?b?c；（6）；（7）?c?b?a或??4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件a1,a2,a3分别表示甲、乙、丙射中。

试说明下列事件所表示的结果：a2, a2a3, a1a2, a1a2, a1a2a3,a1a2?a2a3?a1a3.解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。

概率论与数理统计课后习题参考答案高等教育习题1.1解答1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。

试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。

解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）}{=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）}2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。

试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。

解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω；{})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ；{})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ；Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ；{})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。

试用C B A ,,表示以下事件：（1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。

解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++；（4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++；（6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++（8）ABC ； （9）C B A ++4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。

第一章 思 考 题1．事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？2．医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活. ”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病，所以你不会死” ，医生的说法对吗？为什么？３．圆周率 1415926.3=π是一个无限不循环小数, 我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位, 这个记录保持了1000多年! 以后有人不断把它算得更精确. 1873年, 英国学者沈克士公布了一个π的数值, 它的数目在小数点后一共有707位之多! 但几十年后, 曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑. 他统计了π的608位小数, 得到了下表:675844625664686762609876543210出现次数数字你能说出他产生怀疑的理由吗?答：因为π是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，或它们出现的频率应都接近于0.1，但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由.4．你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗？５．两事件A 、B 相互独立与A 、B 互不相容这两个概念有何关系？对立事件与互不相容事件又有何区别和联系？６．条件概率是否是概率？为什么？习 题1．写出下列试验下的样本空间： （1）将一枚硬币抛掷两次答：样本空间由如下4个样本点组成{(,)(,)(,)(,)}Ω=正正，正反，反正，反反 （2）将两枚骰子抛掷一次答：样本空间由如下36个样本点组成{(,),1,2,3,4,5,6}i j i j Ω==（3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出答：结果可以用（x ，y ）表示，x ，y 分别是烟、酒年支出的元数.这时，样本空间由坐标平面第一象限内一切点构成 .{(,)0,0}x y x y Ω=≥≥2．甲，乙，丙三人各射一次靶，记-A “甲中靶” -B “乙中靶” -C “丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件： (1) “甲未中靶”： ;A (2) “甲中靶而乙未中靶”： ;B A (3) “三人中只有丙未中靶”： ;C AB(4) “三人中恰好有一人中靶”： ;C B A C B A C B A (5)“ 三人中至少有一人中靶”： ;C B A(6)“三人中至少有一人未中靶”： ;C B A 或;ABC (7)“三人中恰有两人中靶”： ;BC A C B A C AB(8)“三人中至少两人中靶”： ;BC AC AB (9)“三人均未中靶”： ;C B A (10)“三人中至多一人中靶”： ;C B A C B A C B A C B A(11)“三人中至多两人中靶”： ;ABC 或;C B A 3 .设,A B 是两随机事件，化简事件 (1)()()AB A B (2) ()()A B A B解:(1)()()AB A B AB AB B B ==,(2) ()()AB AB ()A BA B B A A B B ==Ω=.4．某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率.解：51050.302410P P ==.5．n 张奖券中含有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。

概率论与数理统计作业习题解答（高教第四版）第一章第一章概率的基本概念概率的基本概念习题解析习题解析第第11、、22题题随机试验随机试验、样本空间、样本空间、随机事件、随机事件-------------------------------------------------------------------------------1．写出下列随机试验的样本空间：（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。

（2）生产产品直到有10 件正品为止，记录生产产品的总件数。

（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2 个次品就停止检查，或检查4 个产品就停止检查，记录检查的结果。

（4 ）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。

解解（1）高该小班有n 个人，每个人数学考试的分数的可能取值为0，1，2， (100)n解解0 1 100n个人分数这和的可能取值为0，1，2，…，100n，平均分数的可能取值为, ,..., , 则n n n样本空间为kS= k = 0,1,2,⋯,100nn（2）样本空间S={10，11，…}，S 中含有可数无限多个样本点。

（3）设1 表示正品，0 有示次品，则样本空间为S={ （0，0），（1，0，0），（0，1，0，0），（0，1，0，1），（0，1，1，0），（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，1，1），（0，1，1，1），（1，1，0，1），（1，1，1，0），（1，1，1，1）}例如（1，1，0，0）表示第一次与第二次检查到正品，而第三次与第四次检查到次品。

（4 ）设任取一点的坐标为（x，y），则样本空间为2 2S (x, y) x + y ≤1{ }-------------------------------------------------------------------------------2．设A，B，C 为三个事件，用A，B，C 的运算关系表示下列事件。