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高一数学下册全册教案

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文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.普通高中课程标准实验教科书—数学第四册[人教版B]第一章 基本初等函数（II ）（第一课时）教学目标：1、 理解并掌握作正弦函数图象的方法2、 理解并熟练掌握用五点法作正弦函数简图的方法 教学重点：掌握作正弦函数图象的方法 教学过程一、复习引入： 1、 三角函数的概念 2、 三角函数线 3、 函数图像的做法二、讲解新课：1、最基本的方法：描点法（列表描点）；2、几何法：用单位圆中的正弦线——几何画法（多媒体演示）y=sinx x ∈[0,2π] (1).先作单位圆，把⊙O 1十二等分（当然分得越细，图象越精确）; (2).十二等分后得对应于0,6π, 3π,2π,…2π等角，并作出相应的正弦线; (3).将x 轴上从0到2π一段分成12等份(2π≈6.28)，若变动比例，今后图象将相应“变形”;(4).取点，平移正弦线，使起点与轴上的点重合; (5).描图（连接）得y=sinx x ∈[0,2π];(6).由于终边相同的三角函数性质知 y=sinx (x ∈[2k π,2(k+1)π],k ∈Z,k ≠0)与函数y=sinx (x ∈[0,2π])图象形状相同，只是位置不同——每次向左（右）平移2π单位长;3ππ 1π π π π234文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.介绍五点法: 五个关键点(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0)上面的五个点,在确定函数图象时起着关键作用.当这五个点描出后,正弦函数y=sinx x ∈[0,2π]的图象的形状就基本上确定了.需要注意的是，用五点法作图其优点是简便，但是得到的是函数的近似曲线，所以只有当精确度要求不高，并且比较熟练的情况下才能使用.4、例子：例1 作下列函数的简图(1)y=sinx ，x ∈[0，2π]， (2)y=1+sinx ，x ∈[0，2π]， 5、正弦函数的性质(1)定义域：R ，即（+∞∞-,） (2)值 域：[-1，1]（有界性） 最 值：ππk x 22+=时，1max =y ；ππk x 22+-=时，1min -=y ；(3)周期性：由诱导公式x k x sin )2sin(=+π知，当Z k o k ∈≠,时，πk 2的每一个值都是它的周期，1=k 时，使它的最小正周期； (4) 由sin(－x )＝－sin x可知：y ＝sin x 为奇函数 正弦曲线关于原点O 对称(5) 从y ＝sin x 的图象上可看出：当x ∈［－2π，2π］时，曲线逐渐上升，sin x 的值由－1增大到1 当x ∈［2π，23π］时，曲线逐渐下降，sin x 的值由1减小到－1结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间［－2π＋2k π，2π＋2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2π＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－16、例子例1 求使y ＝sin2x ，x ∈R x 的集合，并说出最大值是什么例2求y ＝1+xsin 1的定义域小结：本节课我们学习了用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象，用五点法作正弦函数的简图．和正弦函数的性质课堂练习：第45页练习A、B 课后作业：第65页习题1-3A（第二课时）教学目标：1、理解振幅的定义；理解振幅变换和周期变换的规律;2、会用“五点法”画y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象；会用图象变换的方法画y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象；教学重点：掌握函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)图象的作法和性质 教学过程一、复习引入： 正弦函数的图像和性质 二、讲解新课：例1画出函数y=2sinx x ∈R ；y=21sinx x ∈R 的图象 注：与y=sinx 的图象作比较，结论：1．y=Asinx ，x ∈R(A>0且A ≠1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍得到的2．它的值域[-A, A] 最大值是A, 最小值是-A3．若A<0 可先作y=-Asinx 的图象 ，再以x 轴为对称轴翻折例2 画出函数y=sin2x x ∈R ；y=sin21x x ∈R 的图象 注：1．函数y=sin ωx, x ∈R (ω>0且ω≠1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的ω1倍（纵坐标不变） 2．若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图例3 画出函数y ＝sin(x ＋3π)，x ∈R ；y ＝sin(x －4π)，x ∈R 的简图注：一般地，函数y ＝sin(x ＋ϕ)，x ∈R (其中ϕ≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当ϕ＞0时)或向右(当ϕ＜0时＝平行移动｜ϕ｜个单位长度而得到例4 画出函数y ＝3sin(2x ＋3π)，x ∈R 的简图注：由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0),再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象例子：1如图a 是周期为2π的三角函数y ＝f （x ）的图象，那么f （x ）可以写成( ) A sin （1＋x ) B sin （－1－x ） C sin （x －1） D sin （1－x ）2如图b 是函数y ＝A sin(ωx ＋φ）＋2的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是( )A A ＝3，Ｔ＝34π，φ＝－6π B A ＝1，Ｔ＝34π，φ＝－43πC A ＝1，Ｔ＝32π，φ＝－43πD A ＝1，Ｔ＝34π，φ＝－6π3如图c 是函数y ＝A sin （ωx ＋φ）的图象的一段，它的解析式为( )A )32sin(32π+=x yB )42sin(32π+=x yC )3sin(32π-=x yD )322sin(32π+=x y4函数y ＝A sin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）在同一周期内，当x ＝3π时，有y ｍa x ＝2，当x ＝0时，有y min ＝－2，则函数表达式是5如图d 是f （x ）＝A sin （ωx ＋φ），A ＞0，｜φ｜＜2π的一段图象，则函数f （x ）的表达式为6如图e ，是f （x ）＝A sin （ωx ＋φ），A ＞0，｜φ｜＜2π的一段图象，则f （x ）的表达式为 7如图f 所示的曲线是y ＝A sin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）的图象的一部分，求这个函数的解析式8函数y ＝A sin （ωx ＋φ）＋ｋ（A ＞0，ω＞0）在同一周期图c 图d图e图f内，当x ＝35π时，y 有最大值为37π，当x ＝311π时，y 有最小值－32，求此函数的解析式 9已知f （x ）＝sin （x ＋θ）＋3cos （x －θ）为偶函数，求θ的值10．由图g 所示函数图象，求y ＝A sin （ωx ＋φ）（｜φ｜＜π）的表达式11．函数y ＝Asin(ωx ＋φ)（｜φ｜＜π＝的图象如图h ，求函数的表达式小结：函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)图象的作法和性质课堂练习：第52页练习A 、B课后作业：第65页习题1-3A普通高中课程标准实验教科书—数学第四册[人教版B]第一章 基本初等函数（II ）教学目标：1、理解并掌握作余弦函数和正切函数图象的方法．2、理解并掌握余弦函数、正切函数教学重点：掌握余弦函数和正切函数图象作法和性质 教学过程一、复习引入： 正弦函数的图像和性质二、讲解新课：1、用单位圆中的余弦线作余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．图h2、余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是 (0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 现在把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=cosx ，x ∈R 的图象，-11y x-6π-5π6π5π-4π-3π-2π-π4π3π2ππf x () = cos x ()3、正切函数x y tan =的图象： 我们可选择⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ的区间作出它的图象根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”4、余弦函数的性质：（1）、定义域：余弦函数的定义域是实数集R ［或(－∞，＋∞)］， （2）、值域余弦函数的值域是［－1，1］ y ＝cos x ，x ∈R①当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1②当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1（3）、周期性余弦函数是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π （4）、奇偶性 y ＝cos x 为偶函数余弦曲线关于y 轴对称 （5）、单调性余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1 5、正切函数的性质：(1)．定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ， (2)．值域：R(3)．观察：当x 从小于()z k k ∈+2ππ，2π+π−→−k x 时，∞−→−x tan 当x 从大于()z k k ∈+ππ2，ππk x +−→−2时，−→−x tan (4)．周期性：π=T(5)．奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数(6)．单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增6、例子：例1 求使y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么例2求y ＝x cos 的定义域 例3求函数y ＝－cos x 的单调区间 例4 求y ＝3cos x 的周期例5 判断cos(－523π)－cos(－417π)大于0还是小于0例6 求函数y ＝2cos 1cos 3++x x 的值域小结：本节课我们学习了余弦函数和正切函数图象作法和性质课堂练习：第60页练习A 、B课后作业：第65页习题1-3A普通高中课程标准实验教科书—数学第四册[人教版B]第一章 基本初等函数（II ）教学目标：1、掌握已知三角函数值求角的解题步骤2、要求学生初步（了解）理解反正弦，反余弦，反正切函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦、正切值求出[]π2,0范围内的角，并能用反正弦，反余弦，反正切的符号表示角或角的集合教学重点：掌握余弦函数和正切函数图象作法和性质 教学过程一、复习引入：1、 单位圆与三角函数线2、 诱导公式二、讲解新课：1、已知三角函数求角：首先应弄清：已知角求三角函数值是单值的;已知三角函数值求角是多值的 2、x arcsin 、x arccos 、x arctan 的含义要清楚 3、例子例1 (1)已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=2,222sin ππx x 且，求x (2)已知[]π2,0,22sin ∈=x x 且，求x (3)已知R x x ∈-=且,22sin ，求x 例2 (1)已知[]π,07660.0cos ∈=x x 且，求x(2)已知7660.0cos -=x ，且[]π2,0∈x ，求x 的值(3)已知R x x ∈-=且,7660.0cos ，求x 的值例3 （1）已知⎪⎭⎫⎝⎛-∈=2,231tan ππx x 且，求x （精确到π1.0） （2）已知31tan =x 且[]π2,0∈x ，求x 的取值集合 （3）已知R x x ∈=且31tan ，求x 的取值集合例4 直角ABC ∆锐角A ，B 满足：A A A B ∠+-=求,1sin tan 2cos 22 例5 1︒用反三角函数表示)23,(,65sin ππ∈-=x x 中的角x2︒用反三角函数表示)27,3(,5tan ππ∈=x x 中的角x例6已知21)32cos(-=π+x ，求角x 的集合例7求3arctan 2arctan 1arctan ++的值例8求y = arccos(sin x ), (323π≤≤π-x )的值域小结：本节课我们学习了已知三角函数值求角的解题步骤,要会由已知角的正弦值、余弦、正切值求出[]π2,0范围内的角，并能用反正弦，反余弦，反正切的符号表示角或角的集合课堂练习：第64页练习A 、B 课后作业：第65页习题1-3A普通高中课程标准实验教科书—数学第四册[人教版B]第二章 平面向量教学目标：1、要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已知向量相等；2、了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，根据图形判定向量是否平行、共线、相等.教学重点：掌握向量的意义、表示方法以及有关零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念教学过程一、复习引入：在物理中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们所学习的力、位移，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量.二、讲解新课：1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量注意：1︒数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小2︒从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质2.向量有固定向量，自由向量等，我们主要学习自由向量3.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB；④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.4.零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作00的方向是任意的注意0与0的区别②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.5.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.6.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起．．．．．．．点无关．．．.7.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.说明：1.有向线段是向量最好的模型2.向量不能比较大小3.实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.8．例：设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量小结：本节课我们学习了已知三角函数值求角的解题步骤,要会由已知角的正弦值、余弦、正切值求出[]π2,0范围内的角，并能用反正弦，反余弦，反正切的符号表示角或角的集合课堂练习：第84页练习A、B课后作业：略普通高中课程标准实验教科书—数学第四册[人教版B]第二章平面向量教学目标：要求学生掌握向量加法的意义，并能运用三角形法则和平行四边形法则作几个向量的和向量。

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下学期高一数学第一章解三角形全章教案 必修5

下学期高一数学第一章解三角形全章教案 必修5

下学期高一数学第一章解三角形全章教案1.1第1课时 正弦定理(1)教学目标（1）要求学生掌握正弦定理及其证明；（2）会初步应用正弦定理解斜三角形，培养数学应用意识； （3）在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力． 教学重点，难点正弦定理的推导及其证明过程． 教学过程 一．问题情境在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角．那么斜三角形怎么办？我们能不能发现在三角形中还蕴涵着其他的边与角关系呢？探索1 我们前面学习过直角三角形中的边角关系，在Rt ABC ∆中，设90C =︒，则sin a A c =， sin b B c =， sin 1C =， 即：sin a c A =， sin b c B =， sin c c C =， sin sin sin a b cA B C==． 探索2 对于任意三角形，这个结论还成立吗？ 二．学生活动学生通过画三角形、测量边长及角度，再进行计算，初步得出该结论对于锐角三角形和钝角三角形成立．教师再通过几何画板进行验证．引出课题——正弦定理． 三．建构数学探索3 这个结论对于任意三角形可以证明是成立的．不妨设C 为最大角，若C 为直角，我们已经证得结论成立，如何证明C 为锐角、钝角时结论也成立？ 证法1 若C 为锐角（图（1）），过点A 作AD BC ⊥于D ，此时有sin AD B c =，sin ADC b=，所以sin sin c B b C =，即sin sin b c B C =．同理可得sin sin a cA C=， 所以sin sin sin a b cA B C ==． 若C 为钝角（图（2）），过点A 作AD BC ⊥，交BC 的延长线于D ，此时也有sin AD B c =，且sin sin(180)AD C C b =︒-=．同样可得sin sin sin a b cA B C==．综上可知，结论成立．证法 2 利用三角形的面积转换，先作出三边上的高AD 、BE 、CF ，则sin AD c B =，sin BE a C =，sin CF b A =．所以111sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ∆===，每项同除以12abc 即得：sin sin sin a b cA B C==．探索4 充分挖掘三角形中的等量关系，可以探索出不同的证明方法．我们知道向量也是解决问题的重要工具，因此能否从向量的角度来证明这个结论呢？在ABC ∆中，有BC BA AC =+．设C 为最大角，过点A 作AD BC ⊥于D （图（3）），于是BC AD BA AD AC AD ⋅=⋅+⋅．设AC 与AD 的夹角为α，则0||||cos(90)||||cos BA AD B AC AD α=⋅⋅︒++⋅，其中 ，当C ∠为锐角或直角时，90C α=︒-； 当C ∠为钝角时，90C α=-︒． 故可得sin sin 0c B b C -=，即sin sin b cB C=． 同理可得sin sin a cA C =． 因此sin sin sin a b c A B C==． 四．数学运用 1．例题：例1．在ABC ∆中，30A =︒，105C =︒，10a =，求b ，c ．解：因为30A =︒，105C =︒，所以45B =︒．因为sin sin sin a b cA B C==， 所以sin 10sin 45102sin sin 30a B b A ︒===︒，sin 10sin1055256sin sin 30a C c A ︒===+︒．因此， b ，c 的长分别为102和5256+．例2．根据下列条件解三角形： （1）3,60,1b B c ==︒=； （2）6,45,2c A a ==︒=．解：（1）sin sin b cB C =，∴sin 1sin 601sin 23c B C b ⨯︒===， ,60b c B >=，∴C B <，∴C 为锐角， ∴30,90C A ==，∴222a b c =+=．（2）sin sin a cA C=，∴sin 6sin 453sin 22c A C a ⨯===，∴60120C =或， ∴当sin 6sin 756075,31sin sin 60c B C B b C =====+时，； ∴当sin 6sin1512015,31sin sin 60c B C B b C =====-时，； 所以，31,75,60b B C =+==或31,15,120b B C =-==．说明：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题． 练习：在ABC ∆中，30a =，26b =，30A =︒，求c 和,B C ．说明：正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题． 2．练习： （1）在ABC ∆中，已知8b c +=，30B ∠=︒，45C ∠=︒，则b = ，c = ． （2）在ABC ∆中，如果30A ∠=︒，120B ∠=︒，12b =，那么a = ，ABC ∆的面积是 ．（3）在ABC ∆中，30bc =，1532ABC S ∆=，则A ∠= ． （4）课本第9页练习第1题． 五．回顾小结：1．用两种方法证明了正弦定理：（1）转化为直角三角形中的边角关系；（2）利用向量的数量积．2．初步应用正弦定理解斜三角形． 六．课外作业：课本第9页练习第2题；课本第11页习题1.1第1、6题§1.1.1第2课时 正弦定理(2)教学目标（1）掌握正弦定理和三角形面积公式，并能运用这两组公式求解斜三角形； （2）熟记正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆的外接圆的半径）及其变形形式．教学重点，难点利用三角函数的定义和外接圆法证明正弦定理． 教学过程 一．问题情境上节课我们已经运用两种方法证明了正弦定理，还有没有其他方法可以证明正弦定理呢？ 二．学生活动学生根据第5页的途径（2），（3）去思考． 三．建构数学证法1 建立如图（1）所示的平面直角坐标系，则有(cos ,sin )A c B c B ，(,0)C a ，所以ABC ∆的面积为1sin 2ABC S ac B ∆=．同理ABC ∆的面积还可以表示为1sin 2ABC S ab C ∆=及1sin 2ABC S bc A ∆=，所以111sin sin sin 222ab C ac B bc A ==． 所以sin sin sin a b c A B C==． 证法2 如下图，设O 是ABC ∆的外接圆，直径2BD R =．（1）如图（2），当A 为锐角时，连CD ，则90BCD ∠=︒，2sin a R D =．又D A ∠=∠，所以2sin a R A =．（2）如图（3），当A 为钝角时，连CD ，则90BCD ∠=︒，2sin a R D =．又180A D ∠+∠=︒，可得sin sin(180)sin D A A =︒-=，所以2sin a R A =．（3）当A 为直角时，2a R =，显然有2sin a R A =．所以不论A 是锐角、钝角、直角，总有2sin a R A =．同理可证2sin b R B =，2sin c R C =．所以2sin sin sin a b cR A B C===． 由此可知，三角形的各边与其所对角的正弦之比是一个定值，这个定值就是三角形外接圆的直径． 由此可得到正弦定理的变形形式：（1）2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===； （2）sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===；（3）sin sin sin ::::A B C a b c =． 四．数学运用1．例题：例1．根据下列条件，判断ABC ∆有没有解？若有解，判断解的个数． （1）5a =，4b =，120A =︒，求B ； （2）5a =，4b =，90A =︒，求B ；（3）106a =，203b =45A =︒，求B ； （4）202a =203b =45A =︒，求B ；（5）4a =，33b =，60A =︒，求B ． 解：（1）∵120A =︒，∴B 只能是锐角，因此仅有一解． （2）∵90A =︒，∴B 只能是锐角，因此仅有一解．（3）由于A 为锐角，而210632=，即A b a sin =，因此仅有一解90B =︒．（4）由于A 为锐角，而22032022031062>>=，即sin b a b A >>，因此有两解，易解得60120B =︒︒或．（5）由于A 为锐角，又1034sin 605<︒=，即sin a b A <，∴B 无解． 例2．在ABC ∆中,已知,cos cos cos a b cA B C==判断ABC ∆的形状．解：令sin ak A=，由正弦定理，得sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =．代入已知条件，得sin sin sin cos cos cos A B C A B C==，即tan tan tan A B C ==．又A ，B ，C (0,)π∈，所以A B C ==，从而ABC ∆为正三角形．说明：（1）判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？还要研究角与角的大小关系：是否两角相等？是否三角相等？有无直角？有无钝角？ （2）此类问题常用正弦定理（或将学习的余弦定理）进行代换、转化、化简、运算，揭示出边与边，或角与角的关系，或求出角的大小，从而作出正确的判断．例3．某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35︒，沿倾斜角为20︒的斜坡前进1000米后到达D 处，又测得山顶的仰角为65︒，求山的高度(精确到1米)． 分析：要求BC ，只要求AB ，为此考虑解ABD ∆． 解：过点D 作//DE AC 交BC 于E ，因为20DAC ∠=︒， 所以160ADE ∠=︒，于是36016065135ADB ∠=︒-︒-︒=︒． 又352015BAD ∠=︒-︒=︒，所以30ABD ∠=︒． 在ABD ∆中，由正弦定理，得sin 1000sin13510002()sin sin 30AD ADB AB m ABD ∠︒===∠︒．在Rt ABC ∆中，sin 35235811()BC AB m =︒=︒≈． 答：山的高度约为811m ．例4．如图所示，在等边三角形中，,AB a =O 为三角形的中心，过O 的直线交AB 于M ，交AC 于N ，求2211OM ON +的最大值和最小值． 解：由于O 为正三角形ABC 的中心，∴3AO =， 6MAO NAO π∠=∠=，设MOA α∠=，则233ππα≤≤，αβπβ-αACBD在AOM ∆中，由正弦定理得：sin sin[()]6OM OAMAO ππα=∠-+， ∴6sin()6OM πα=+，在AON ∆中，由正弦定理得：6sin()6ON πα=-，∴2211OM ON +22212[sin ()sin ()]66a ππαα=++-22121(sin )2a α=+， ∵233ππα≤≤，∴3sin 14α≤≤，故当2πα=时2211OM ON +取得最大值218a， 所以，当α=2,33or ππ时23sin 4α=，此时2211OM ON +取得最小值215a ． 例5．在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，用正弦定理证明：AB BDAC DC=． 证明：设BAD α∠=，BDA β∠=，则CAD α∠=，180CDA β∠=︒-．在ABD ∆和ACD ∆中分别运用正弦定理，得sin sin AB BD βα=，sin(180)sin AC DC βα︒-=， 又sin(180)sin ββ︒-=，所以AB AC BD DC =，即AB BDAC DC=． 2．练习：（1）在ABC ∆中，::4:1:1A B C =，则::a b c = ( D )A ．4:1:1 B ．2:1:1 CD（2）在ABC ∆中，若sin :sin :sin 4:5:6A B C =，且15a b c ++=，则a = ， b = ，c = ． 五．回顾小结：1．了解用三角函数的定义和外接圆证明正弦定理的方法； 2．理论上正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角． 六．课外作业：课本第9页练习第3题；课本第11页习题1.1第2、8题．§1.1.2 第3课时 余弦定理(1)教学目标（1）掌握余弦定理及其证明；（2）使学生能初步运用余弦定理解斜三角形． 教学重点，难点（1）余弦定理的证明及其运用；（2）能灵活运用余弦定理解斜三角形． 教学过程 一．问题情境 1．情境：复习正弦定理及正弦定理能够解决的两类问题． 2．问题：在上节中，我们通过等式BC BA AC =+的两边与AD （AD 为ABC ∆中BC 边上的高）作数量积，将向量等式转化为数量关系，进而推出了正弦定理，还有其他途径将向量等式BC BA AC =+数量化吗？二．学生活动如图，在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ． ∵BC AB AC +=∴()()AC AC AB BC AB BC ⋅=+⋅+22cos 2a B ac c +-=， 即B ac a c b cos 2222-+=；同理可证：A bc c b a cos 2222-+=， C ab b a c cos 2222-+=． 三．建构数学 1． 余弦定理上述等式表明，三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．这样，我们得到余弦定理． 2．思考：回顾正弦定理的证明，尝试用其他方法证明余弦定理．方法1：如图1建立直角坐标系，则(0,0),(cos ,sin ),(,0)A B c A c A C b ．所以2222222222(cos )(sin )cos sin 2cos 2cos a c A b c A c A c A bc A b b c bc A=-+=+-+=+-同理可证B ac a c b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=注：此法的优点在于不必对A 是锐角、直角、钝角进行分类讨论．方法2：若A 是锐角，如图2，由B 作BD AC ⊥，垂足为D ，则cos AD c A =，所以即A bc c b a cos 2222-+=，类似地，可以证明当A 是钝角时，结论也成立，而当A 是直角时，结论显 然成立．同理可证B ac a c b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=．图1 图2 3．余弦定理也可以写成如下形式：bc a c b A 2cos 222-+= ， ac b c a B 2cos 222-+=， acc b a C 2cos 222-+=．4．余弦定理的应用范围：利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． 四．数学运用 1．例题：例1．在ABC ∆中，（1） 已知3b =，1c =，060A =，求a ；A BCcab（2） 已知4a =，5b =，6=c ，求A （精确到00.1）．解：（1）由余弦定理，得2222202cos 31231cos607a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以 a =（2）由余弦定理，得222222564cos 0.752256b c a A bc +-+-===⨯⨯， 所以，041.4A ≈．例2． ,A B 两地之间隔着一个水塘，现选择另一点C ，测得182,CA m =126,CB m =063ACB ∠=，求,A B 两地之间的距离（精确到1m ）． 解：由余弦定理，得所以，168()AB m ≈答：,A B 两地之间的距离约为168m ．例3．用余弦定理证明：在ABC ∆中，当C 为锐角时，222a b c +>；当C 为钝角时，222a b c +<．证：当C 为锐角时，cos 0C >，由余弦定理，得222222cos c a b ab C a b =+-<+，即 222a b c +>．同理可证，当C 为钝角时，222a b c +<．2．练习：书第15页 练习１，２，３，４ 五．回顾小结：1．余弦定理及其应用2．正弦定理和余弦定理是解三角形的两个有力工具，要区别两个定理的不同作用，在解题时正确选用；六．课外作业：书第16页１，2，3，4，6，7题§1.1.2 第4课时 余弦定理(2)教学目标（1）能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题；（2）能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题． 教学重点，难点能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题，牢固掌握两个定理，应用自如． 教学过程 一．问题情境1．正弦定理及其解决的三角形问题（1）已知两角和任一边，求其它两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步其它的边和角． 2．余弦定理及其解决的三角形问题 （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两个角． 四．数学运用 1．例题：例1．在长江某渡口处，江水以5/km h 的速度向东流，一渡船在江南岸的A 码头出发，预定要在0.1h 后到达江北岸B 码头，设AN 为正北方向，已知B 码头在A 码头的北偏东015，并与A 码头相距1.2km ．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到00.1，速度精确到0.1/km h ）？解：如图，船按AD 方向开出，AC 方向为水流方向，以AC 为一边、AB 为对角线作平行四边形ABCD ，其中 1.2(),50.10.5()AB km AC km ==⨯=．在ABC ∆中，由余弦定理，得2221.20.52 1.20.5cos(9015) 1.38BC =+-⨯⨯-≈， 所以 1.17()AD BC km =≈． 因此，船的航行速度为1.170.111.7(/)km h ÷=．在ABC ∆中，由正弦定理，得 0sin 0.5sin 75sin 0.41281.17AC BAC ABC BC ∠∠==≈， 所以 024.4ABC ∠≈所以 00159.4DAN DAB NAB ABC ∠=∠-∠=∠-≈．答：渡船应按北偏西09.4的方向，并以11.7/km h 的速度航行．例2． 在ABC ∆中，已知sin 2sin cos A B C =，试判断该三角形的形状．解：由正弦定理及余弦定理，得222sin ,cos sin 2A a a b c C B b ab+-==， 所以 22222a a b c b ab+-=，整理得 22b c =因为0,0b c >>，所以b c =．因此，ABC ∆为等腰三角形．例3．如图，AM 是ABC ∆中BC 边上的中线，求证：22212()2AM AB AC BC =+-．证：设AMB α∠=，则0180AMC α∠=-．在ABM ∆中，由余弦定理，得2222cos AB AM BM AM BM α=+-．在ACM ∆中，由余弦定理，得22202cos(180)AC AM MC AM MC α=+--．因为01cos(180)cos ,2BM MC BC αα-=-==， 所以2222122AB AC AM BC +=+，因此， 22212()2AM AB AC BC =+-． 例4．在ABC ∆中，BC a =，AC b =，,a b 是方程02322=+-x x 的两个根，且2cos()1A B +=，求：①角C 的度数； ②AB 的长度； ③ABC S ∆．解：①1cos cos(())cos()2C A B A B π=-+=-+=- ∴120C =；②由题设：232a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，∴2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅120cos 222ab b a -+=ab b a ++=22102)32()(22=-=-+=ab b a ， 即10AB =；③ABC S ∆11133sin sin120222222ab C ab ===⋅⋅=．2．练习：（1）书第16页 练习１，２，３，４DCBA（2）如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥,10AD =，14AB =, 60BDA ∠=, 135BCD ∠=， 求BC 的长．（3）在ABC ∆中，已知()()()456::::b c c a a b +++=，求ABC ∆的最大内角；（4）已知ABC ∆的两边,b c 是方程2400x kx -+=的两个根，的面积是2cm ，周长是20cm ，试求A 及k 的值； 五．回顾小结：1．正弦、余弦定理是解三角形的有力工具，要区别两个定理的不同作用，在解题时正确选用；2．应用正弦、余弦定理可以实现将“边、角相混合”的等式转化为“边和角的单一”形式； 3．应用余弦定理不仅可以进行三角形中边、角间的计算，还可以判断三角形的形状． 六．课外作业：书第17页5，8，9，10，11题§1.3正弦定理、余弦定理的应用(1)教学目标（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题；（2）体会数学建摸的基本思想，掌握求解实际问题的一般步骤；（3）能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力． 教学重点，难点（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题； （2）掌握求解实际问题的一般步骤． 教学过程 一．问题情境 1．复习引入复习：正弦定理、余弦定理及其变形形式， （1）正弦定理、三角形面积公式：R CcB b A a 2sin sin sin ===； B acC ab A bc S ABC sin 21sin 21sin 21===∆．（2）正弦定理的变形：①C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；②RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===； ③sin sin sin ::::A B C a b c =．（3）余弦定理：bca cb A A bc c b a 2cos ,cos 2222222-+=-+=．二．学生活动引导学生复习回顾上两节所学内容，然后思考生活中有那些问题会用到这两个定理，举例说明.三．建构数学正弦定理、余弦定理体现了三角形中边角之间的相互关系，在测量学、运动学、力学、电学等许多领域有着广泛的应用.1．下面给出测量问题中的一些术语的解释：（1）朝上看时，视线与水平面夹角为仰角；朝下看时，视线与水平面夹角为俯角. （2）从某点的指北方向线起,依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角,叫方位角.（3）坡度是指路线纵断面上同一坡段两点间的高度差与其水平距离的比值的百分率.道路坡度100%所表示的可以这样理解：坡面与水平面的夹角为45度.45度几乎跟墙壁一样的感觉了. （4）科学家为了精确地表明各地在地球上的位置，给地球表面假设了一个坐标系，这就是经纬度线.2．应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤：①根据题意作出示意图；②确定所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案. 四．数学运用 1．例题：例1．如图1-3-1，为了测量河对岸两点,A B 之间的距离，在河岸这边取点,C D ，测得85ADC ∠=，60BDC ∠=，47ACD ∠=，72BCD ∠=，100CD m =.设,,,A B C D 在同一平面内，试求,A B 之间的距离（精确到1m ）.解：在ADC ∆中，85ADC ∠=，47ACD ∠=，则48DAC ∠=.又100DC =，由正弦定理，得()sin 100sin 85134.05sin sin 48DC ADC AC m DAC ∠==≈∠.在BDC ∆中，60BDC ∠=，72BCD ∠=， 则48DBC ∠=.又100DC =， 由正弦定理，得()sin 100sin 60116.54sin sin 48DC BDC BC m DBC ∠==≈∠.在ABC ∆中， 由余弦定理，得3233.95≈， 所以 ()57AB m ≈答,A B 两点之间的距离约为57m .本例中AB 看成ABC ∆或ABD ∆的一边，为此需求出AC ，BC 或AD ，BD ，所以可考察ADC ∆和BDC ∆，根据已知条件和正弦定理来求AC ，BC ，再由余弦定理求AB .引申：如果A ，B 两点在河的两岸（不可到达），试设计一种测量A ，B 两点间距离的方法.可见习题1.3 探究拓展 第8题.例2．如图1-3-2，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，测出该渔轮在方位角为45，距离为10n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以9/n mile h 的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21/n mile h 的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1，时间精确到1min ）. 解：设舰艇收到信号后x h 在B 处靠拢渔轮，则21AB x =，9BC x =，又10AC =，()45180105120ACB ∠=+-=.由余弦定理，得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠，即()()222211092109cos 120x x x =+-⨯⨯∠.化简，得2369100x x --=，解得()()240min 3x h ==（负值舍去）.由正弦定理，得图1-3-1图1-3-2sin 9sin12033sin 2114BC ACB x BAC AB x ∠∠===， 所以21.8BAC ∠≈，方位角为4521.866.8+=.答 舰艇应沿着方向角66.8的方向航行，经过40min 就可靠近渔轮.本例是正弦定理、余弦定理在航海问题中的综合应用.因为舰艇从A 到B 与渔轮从C 到B 的时间相同，所以根据余弦定理可求出该时间，从而求出AB 和BC ；再根据正弦定理求出BAC ∠. 例3．如图，某海岛上一观察哨A 在上午11时测得一轮船在海岛北偏东3π的C 处，12时20分测得轮船在海岛北偏西3π的B 处，12时40分轮船到达海岛正西方5km 的E 港口.如果轮船始终匀速前进，求船速. 解：设ABE θ∠=，船的速度为/km h υ，则43BC υ=，13BE υ=. 在ABE ∆中，153sin sin 30υθ=，15sin 2θυ∴=. 在ABC ∆中，()43sin120sin 180AC υθ=-， 4415sin 2033233322AC υθυυ⋅⋅∴===. 在ACE ∆中，22520202525cos150333υ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 22540077525100933υ=++=，293υ∴=， ∴船的速度93/km h υ=. 2．练习：书上P20 练习1，3，4题.五．回顾小结：1．测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题.2．解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再用数学语言（符号语言、图形语言）表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决.六．课外作业： 书上P21页习题1.3 第2，3，4题.§1.3 正弦定理、余弦定理的应用(2)教学目标（1）能熟练应用正弦定理、余弦定理解决三角形等一些几何中的问题和物理问题；（2）能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；（3）通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，应用自如.教学重点，难点能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题。

高一下册数学必修二教案

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【导语】⾼⼀新⽣要根据⾃⼰的条件，以及⾼中阶段学科知识交叉多、综合性强，以及考查的知识和思维触点⼴的特点，找寻⼀套⾏之有效的学习⽅法。

今天⽆忧考为各位同学整理了《⾼⼀下册数学必修⼆教案》，希望对您的学习有所帮助！【篇⼀】⾼⼀下册数学必修⼆教案 ⼀、教学⽬标: 1.通过⾼速公路上的实际例⼦，引起积极的思考和交流，从⽽认识到⽣活中处处可以遇到变量间的依赖关系.能够利⽤初中对函数的认识，了解依赖关系中有的是函数关系，有的则不是函数关系. 2.培养⼴泛联想的能⼒和热爱数学的态度. ⼆、教学重点： 在于让学⽣领悟⽣活中处处有变量，变量之间充满了关系 教学难点：培养⼴泛联想的能⼒和热爱数学的态度 三、教学⽅法： 探究交流法 四、教学过程 (⼀)、知识探索： 阅读课⽂P25页。

实例分析：书上在⾼速公路情境下的问题。

在⾼速公路情景下，你能发现哪些函数关系? 2.对问题3，储油量v对油⾯⾼度h、油⾯宽度w都存在依赖关系，两种依赖关系都有函数关系吗? 问题⼩结： 1.⽣活中变量及变量之间的依赖关系随处可见，并⾮有依赖关系的两个变量都有函数关系，只有满⾜对于⼀个变量的每⼀个值，另⼀个变量都有确定的值与之对应，才称它们之间有函数关系。

2.构成函数关系的两个变量，必须是对于⾃变量的每⼀个值，因变量都有确定的y值与之对应。

3.确定变量的依赖关系，需分清谁是⾃变量，谁是因变量，如果⼀个变量随着另⼀个变量的变化⽽变化，那么这个变量是因变量，另⼀个变量是⾃变量。

(⼆)、新课探究——函数概念 1.初中关于函数的定义： 2.从集合的观点出发，函数定义： 给定两个⾮空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于A中的任何⼀个数x，在集合B中都存在确定的数f(x)与之对应，那么就把这种对应关系f叫做定义在A上的函数，记作或f：A→B，或y=f(x),x∈A.; 此时x叫做⾃变量，集合A叫做函数的定义域，集合{f(x)︱x∈A}叫作函数的值域。

高一数学教案设计模板下册

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一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解函数的概念，掌握函数的定义域、值域、对应关系等基本要素。

（2）了解函数的性质，包括奇偶性、单调性、周期性等。

（3）学会利用函数的性质解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过实例引导学生探究函数的概念，培养学生的观察能力和抽象思维能力。

（2）通过小组合作，让学生学会交流与合作，提高团队解决问题的能力。

（3）通过实际问题，让学生学会将数学知识应用于实际生活。

3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨、求实的科学态度。

（2）培养学生独立思考、勇于创新的精神。

（3）使学生认识到数学在生活中的重要性，树立正确的价值观。

二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）函数的概念及性质。

（2）函数在实际问题中的应用。

2. 教学难点：（1）函数概念的理解与掌握。

（2）函数性质的灵活运用。

三、教学过程（一）导入新课1. 提问：同学们，在日常生活中，我们经常接触到各种各样的规律，比如温度随时间的变化、身高随年龄的增长等。

这些规律有什么共同点呢？2. 引导学生思考：这些规律都可以用数学语言来描述，即函数。

3. 引入新课：今天我们将学习函数的概念与性质。

（二）新课讲授1. 函数的概念（1）介绍函数的定义，通过实例让学生理解函数的概念。

（2）讲解函数的定义域、值域、对应关系等基本要素。

（3）让学生举例说明自己生活中的函数。

2. 函数的性质（1）讲解函数的奇偶性、单调性、周期性等性质。

（2）通过实例让学生掌握函数性质的应用。

（三）课堂练习1. 让学生完成教材中的练习题，巩固所学知识。

2. 教师巡视指导，及时解答学生的问题。

（四）课堂小结1. 回顾本节课所学内容，总结函数的概念与性质。

2. 强调函数在实际问题中的应用。

（五）布置作业1. 完成教材中的课后习题。

2. 搜集生活中的函数实例，进行分析。

四、教学反思1. 本节课通过实例引入函数的概念，使学生更容易理解。

2. 注重培养学生的观察能力和抽象思维能力，提高学生的数学素养。

高一下册数学教案通用5篇

高一下册数学教案通用5篇

高一下册数学教案通用5篇高一下册数学教案1一、教学目标1.学问与技能：把握画三视图的根本技能，丰富学生的空间想象力。

2.过程与方法：通过学生自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用。

3.情感态度与价值观：提高学生空间想象力，体会三视图的作用。

二、教学重点：画出简洁几何体、简洁组合体的三视图;难点：识别三视图所表示的空间几何体。

三、学法指导：观看、动手实践、争论、类比。

四、教学过程(一)创设情景，揭开课题展现庐山的风景图——“横看成岭侧看成峰，远近凹凸各不同”，这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比拟真实反映出物体，我们可从多角度观看物体。

(二)讲授新课1、中心投影与平行投影：中心投影：光由一点向外散射形成的投影;平行投影：在一束平行光线照耀下形成的投影。

正投影：在平行投影中，投影线正对着投影面。

2、三视图：正视图：光线从几何体的前面对后面正投影，得到的投影图;侧视图：光线从几何体的左面对右面正投影，得到的投影图;俯视图：光线从几何体的上面对下面正投影，得到的投影图。

三视图：几何体的.正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。

三视图的画法规章：长对正，高平齐，宽相等。

长对正：正视图与俯视图的长相等，且相互对正;高平齐：正视图与侧视图的高度相等，且相互对齐;宽相等：俯视图与侧视图的宽度相等。

3、画长方体的三视图：正视图、侧视图和俯视图分别是从几何体的正前方、正左方和正上方观看到有几何体的正投影图，它们都是平面图形。

长方体的三视图都是长方形，正视图和侧视图、侧视图和俯视图、俯视图和正视图都各有一条边长相等。

4、画圆柱、圆锥的三视图：5、探究：画出底面是正方形，侧面是全等的三角形的棱锥的三视图。

(三)稳固练习课本P15练习1、2;P20习题1.2[A组]2。

(四)归纳整理请学生回忆发表如何作好空间几何体的三视图(五)布置作业课本P20习题1.2[A组]1。

高一下册数学教案2一、指导思想:(1)随着素养教育的深入绽开，《课程方案》提出了教育要面对世界，面对将来，面对现代化和教育必需为社会主义现代化建立效劳，必需与生产劳动相结合，培育德、智、体等方面全面进展的社会主义事业的建立者和接班人的指导思想和课程理念和改革要点。