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大学文科数学教案第二章

第二章微积分的直接基础——极限

教学目的和要求：

1.理解极限的概念（对极限定义中“ε—N ”、“ε—δ”、“ε—M ”等形式的描述不作要求），理解函数左、右极限的概念以及极限存在与左、右极限之间的关系，了解自变量趋向于无穷大时函数极限存在的充分必要条件。

2. 了解极限的性质，掌握极限的四则运算法则。

3. 理解无穷小、无穷大以及无穷小的比较（高阶、低阶、同阶和等阶）的概念，会应用无穷小与无穷大的关系、有界变量与无穷小的乘积、等价无穷小代换求极限。

4. 掌握应用两个重要极限求极限的方法。

5. 理解函数连续性概念会判断分段函数在分段点的连续性。

6. 会求函数的间断点。

7. 了解闭区间上连续函数的性质（最大值与最小值定理、零点存在定理），会用零点存在定理推正一些简单的命题。

8. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解函数在一点连续和极限存在的关系，会应用函数的连续性求极限。教学难点和重点：

重点：

1．极限的性质。 2．极限的四则运算法则。 3. 两个重要极限求极限的方法。 4. 分段函数在分段点的连续性。 5. 连续函数的性质和初等函数的连续性难点：

1．极限的概念。 2．无穷小的性质。

3. 两个重要极限求极限的方法。

4. 闭区间上连续函数的性质。

§1数列极限

1.1从分形几何中Koch 雪花的周长谈起——数列极限

以正整数为自变量的函数)(n f y =，当n 依次取1，2，3，…所得到的一列函数值 ),(,),3(),2(),1(321n f a f a f a f a n ====

称为无穷数列，简称数列。数列中的各个数称为数列的项，)(n f a n =称为数列的通项。数

列常简记为{}n a 。下面举几个数列的例子。例1

;,2

,,161,81,41,21 n 例2 ;,)1(1,,54,45,32,23,0 n

例3 ;,1,,1,1,1 例4 ;,)1(,,1,1,1 n --- 例5 ,2,,6,4,2n .

在理论研究或实践探索中，常常需要判断数列{}n a 当n 趋于无穷大时通项n a 的变化趋势。

下面我们来研究一个有趣的问题——分形几何中的柯契（Koch ）雪花问题。

设有边长为1的正三角形，则周长为31=a 。对各边三等分，以中间的三分之一段为边向外作正三角形，则每一边生成四条新边，原三角形生成12边形；再三等分12边形的各边，同法向外作正三角形，仿此无限作下去，便可递归生成美丽的Koch 雪花！给我们直觉：无论n 有多大，Koch 雪花的面积总是有限值，然而它的周长是否也为有限值呢？这是直觉难以回答的问题。现在我们来求Koch 雪花的周长。

正三角形的周长为31=a ；三等分正三角形各边，新边长为

，所以12边形的周长为1234a a =

。仿此可知， ,)3

(,,)34(34111223a a a a a n n -=== 究竟当∞→n 时，Koch 雪花的周长是有限还是无限，这涉及数列极限问题。

1.2数列极限的定性描述

公元前四世纪，我国春秋战国时期的哲学家庄子（约公元前369——前286）在《庄子?天下篇》一书中有一段富有哲理的名句：“一尺之锤，日取其半，万世不竭。”我们把逐日取下的锤的长度顺次列出来，便得到例1所示的数列?

?n 21，这是一个无穷递缩等比数列。当n 越来越大时，通项n n a 2

越来越接近于常数0，并且想让它有多接近它就会有多接近，则称该书列以0位极限。

例2中的数列?

?????-+n n )1(1，当n 无限增大时，通项n a n

n )1(1-+

=无限接近于常数1，则称该数列以1为极限。

定义1 如果n 无限增大时，数列{}n a 的通项n a 无限趋近于常数a ，则称该数列以a 为极限，

记作

a a n n =∞

→lim 或)(∞→→n a a n 。

其中∞→n 表示n 无限增大，此时也称该数列收敛。

如果∞→n 时，n a 不以任何常数为极限，则称数列{}n a 发散。数列的收敛或发散的性质统称为数列的敛散性。例1和例2中的数列都是收敛的，分别记作

1])1(1[lim ,021lim =-+=∞→∞→n

n n n . 以零为极限的变量成为无穷小量。

n 2

就是∞→n 时的无穷小量。例3中的数列{}1各项均为相同的常数，这样的数列称为常数列。显然数列{}1以1为极限，记作11lim =∞

→n 。可见，常数列的极限仍是该常数。

例5中的数列{}n 2，当n 无限增大时，通项n a n 2=也无限增大，不以任何常数为极限，因而是发散的。不过为了叙述方便，对于这种特殊情形，我们称它收敛于∞，记作

-∞=-∞

→)2(lim n n 。

绝对值无限变大的变量称为无穷大量。n n 2,2-都是∞→n 时的无穷大量。

前面谈到的Koch 雪花的周长无论它的形状如何变化，它总包含在以原三角形为内接三角形的圆内，因而它的面积的极限只能是有限数。此例给我们揭示了这样一个事实：有限图形的面积可以是有限量，然而它的周长可以是无穷大量！例4中的数列{

)

1(-在∞→n 的过程中，通项n n

)1(-=反复取1-和1两个数值，显然

该数列是发散的。

定义1给出的数列极限概念，是在运动观点的基础上凭借几何图像产生的直觉用自然语言作出的定性描述。对于变量n a 的变化过程（n 无限增大），以及n a 的变化趋势（无限趋近于常数a ），都借助于形容词“无限”加以修饰。从文学的角度来审视，它明显地带有直观的模糊性。直观在数学的发展和创造中扮演着充满活力的积极角色，但数学不能停留在直观的认识阶段。耶鲁大学的皮尔庞特教授，于1899年在美国数学学会的一次演讲中，举例驳斥了由几何直观得出的连续曲线的8条性质，阐明了数学中仅凭几何直观的危险性。作为微积分逻辑演绎基础的极限概念，必须将凭借直观产生的定性描述转化为用形式化的数学语言表达的超越现实原型的理想化的定量描述。

1.3数列极限的定量描述

n 充分大反映了变量n a 在其变化过程中的某一时刻，差值n

a a n 1

-充分小，反映了变量n a 与常量a 的差值变小的程度。为对充分大与充分小作出确切的

量的估计，我们来寻求能表示n 充分大的时刻N 和能表示差值n

a a n 1

=-小到何种程度的常数ε，即ε<=

-n

a a n 1

. 比如，要使n

a n 1

-小到不超过1.01=ε的程度，只要10>n 就可以了.我们就取时刻101=N ，数列从第11项起的所有项余1之差的绝对值都不会超过1.01=ε.可用数学语言定量的叙述为

当101=>N n 时，11.01

1ε=<=-n

a n 恒成立。要使201.01

1ε=<=

-n

a n ，只要100>n 就可以了，就取1002=N 。数列从第101项起的所有项与1之差的绝对值都不会超过0.01，即

当1002=>N n 时，201.01

1ε=<=-n

a n 恒成立。

类似地，依次取,,0001.0,001.043 ==εε都能找到相应的时刻

,,00010,100043 ==N N 使得

当i N n >时，i n n

a ε<=

-1

1恒成立),2,1( =i . 因为i ε可以取任意小的正数，所以n a 与1可以任意接近。这就完全准确

地反映了在n 无限大的过程中，n

a n

n )1(1-+=无限趋近于常数1的变化趋势。

定义2 如果对于任意正数ε（无论它有多霄），总存在相应的正整数N ，使得

N n >的一切n ，能使不等式ε<-a a n 恒成立，则称数列{}n a 以a 为极限，记作

,lim a a n n =∞

→或 )(∞→→n a a n

数列极限的N -ε定义2远不如建立在运动和直观基础上的描述性定义1易于理解。数学概念的抽象性就是这样，越抽象越远离原型，然而越能精确地反映原型的本质。“N -ε”定义时刻化数列极限的抽象模型，这一模型主要依据正数ε和从属于ε的正整数N 来构件。现在再返回到即和原型，分析一下“N -ε”模型是如何精确刻画数列n a 无限趋近于极限a 的。

由不等式ε<-a a n 联想到点a 的ε邻域),(εa U ，我们把该邻域看作能容纳装纳点列n a 的宽度为ε2的袋子。

首先固定一个常数ε，比如1ε.由1ε<-a a n 求得相应的时刻1N ，因为满足1N n >的一切n a 都满足1ε<-a a n ，

所以点列{}n a 中从11+N 开始的所有点n a （有无穷多个）全部装在以a 为中心，宽度为12ε的袋子),(1εa U 中，至多有1N 个点落在袋子外。

其次，固定一个更小的ε，比如取12εε<，仍可通过2ε<-a a n 求得相应的时刻2N 。因为满足2N n >的一切n a 都满足2ε<-a a n ，所以点列{}n a 中从12+N 开始的所有点n a （有无穷多个）全部装在以a 为中心，宽度为22ε的袋子),(2εa U 中，至多有2N 个点落在这个更小的袋子外。

因为ε可以任意小，总可以通过ε<-a a n 求得更靠后的时刻N ，使得从

1+N 开始的一切点n a 全部落在任意小的袋子),(εa U 中。虽然落在袋子外的点可

能更多，但他们毕竟是有限个，而落在袋子中的点仍是无穷多个。这样在点a 的任意小的邻域内总凝聚着数列{}n a 的无穷多个点，于是点列{}n a 必以点a 为极限，即数列{}n a 以常数a 为极限。

有以上分析可知：

（1）定义中的常数ε具有二重性:即具有很小正数的固定性，又具有随意小的任意性。

（2）ε是首先给定的，N 是由ε确定的。关键是反映变化过程时刻的N 的存在性，而不是它的唯一性。

1.4数列极限中蕴含的辩证思想

（1）极限a 的取得是变量n a 的变化过程与变化结果的对立统一。

（2）极限是利用有限来认识无限的一种数学方法，同时也说明极限是有限与无限的对立统一。

（3）近似与精确的对立统一。

作业/课后反思

§2函数极限

前面研究过数列极限，现研究函数极限。 2.1自变量x 无限趋近于有限数0x 的情形

例8考察函数)(1)(R x x x f y ∈+==当x 无限趋近于常数0x （记作1→x ）时的变化趋势。

研究方式：列表、画图

当x 从点10=x 的左右近旁越来越接近于1时，函数)(x f 的值就越来越接近于常数2，并且要多接近就会有多接近。也就是当x 与10=x 之差的绝对值10-=-x x x 无限变小时，函数)(x f 与常数2=A 之差的绝对值2)()(-=-x f A x f 也无限变小。显然，当1→x 时函数)(x f 以2为极限。

例9 考察函数)1(1

)(2≠∈--=

=x R x x x x g y 且当1→x 时的变化趋势。该函数与例8中函数)(x f 不同，它在点10=x 处无定义，但当1≠x 时，由于01≠-x ，

所以.11

)(2+=--=

x x x x g 如果列出点10=x 左右近旁的自变量x 与函数)(x g 的对应表，则比例8中的表少一个点（1，2），其余完全相同。结合图可知，当1→x 时函数)(x g 也以2为极限。

函数)(x f 与)(x g 的差别仅在于在点10=x 处是否有定义，但这一差别并不影响它们的极限。一般说来，当讨论0x x →时，函数)(x f y =在点0x 处是否有极限，与函数在点0x 是否有定义并无关系。

由以上两例可得0x x →时函数极限的定量描述。

定义1 设函数)(x f y =在点0x 的近旁有定义（在点0x 处可以无定义）。如果对于任意正数ε（不管它有多小），总存在相应的正数δ，使得满足δ<-<00x x 的一切x 能使 ε<-A x f )(

恒成立，则称函数)(x f 当0x x →时以A 为极限，或称函数)(x f 在点0x 有极限，记作 )()()(lim 00

x x A x f A

x f x x →→=→或