2021学年新教材高中数学4.4对数函数4.4.1对数函数的概念课时作业含解析人教A版必修一

第四章 指数函数与对数函数4.4对数函数 第1课时对数函数的概念【课程标准】1. 理解对数函数的概念、图像及性质。

2. 会解与对数函数有关的定义域、值域、比较大小等问题【知识要点归纳】1. 对数函数的概念一般地，把函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是(0，＋∞) 2.对数函数的图像和性质定义 形如log a y x =（a 0>且1a ≠）的函数叫做对数函数定义域 ()0,+∞ 值域(),-∞+∞图像【经典例题】()()()()242213log 2log 3log 4log (1).(5)log 1x y x y x y y x y x =+＝；＝；＝5；＝＋[跟踪训练]1（1）对数函数的图象过点M (16,4)，则此对数函数的解析式为 。

（2）若对数函数y ＝f(x)满足f(4)＝2，则该对数函数的解析式为( ) A ．y ＝log 2xB ．y ＝2log 4xC ．y ＝log 2x 或y ＝2log 4xD ．不确定注意：判断一个函数是对数函数必须是形如y ＝log a x(a>0且a≠1)的形式，即必须严格满足以下条件： (1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x.例2求下列函数的定义域.(1)y＝log a(3－x)＋log a(3＋x)；(2)y＝log2(16－4x).[跟踪训练]2 求下列函数的定义域．(1)y＝3log2x；(2)y＝log0.5(4x－3)；(3)y＝log0.5(4x－3)－1；(4)y＝log(x＋1)(2－x)．注意：求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等于1.例3画出函数y＝lg|x－1|的图象.例4 （1）函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象只可能是下图中的( )(2)函数y ＝log a (x ＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．[跟踪训练] 3 （1） 已知a>0，且a≠1，则函数y ＝a x 与y ＝log a (－x)的图象只能是( )(2)221log 21x y x -=+-图象恒过定点坐标是________．注意：(1)明确图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x 趋近于0时，函数图象会越来越靠近y 轴，但永远不会与y 轴相交．(2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a 的取值范围是a>1，还是0<a<1.(3)牢记特殊点．对数函数y ＝log a x(a>0，且a≠1)的图象经过点：(1,0)，(a,1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1. 【当堂检测】一．选择题（共5小题）1．下列函数是对数函数的是( ) A ．3log (1)y x =+B ．log (2)(0a y x a =>，且1)a ≠C ．y lnx =D ．2(0,1)a y log x a a =>≠且2．函数2()(5)log a f x a a x =+-为对数函数，则1()8f 等于( )A ．3B ．3-C ．3log 6-D ．3log 8-3．函数1()(2)3f x lg x x =-+-的定义域是( ) A ．(2,3) B ．(3,)+∞C ．[2，3)(3⋃，)+∞D ．(2，3)(3⋃，)+∞4．函数()(24)x f x ln =-的定义域是( ) A ．(0,2)x ∈B ．(0x ∈，2]C ．[2x ∈，)+∞D ．(2,)x ∈+∞5．已知132a =，21()3b =，21log 2c =，则( )A ．c a b <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<二．填空题（共3小题）6．已知45a ln =，22()3b =，0.15c =，将a 、b 、c 由小到大的顺序排列为 ．7．已知log 2(0a y x a =+>且1)a ≠的图象过定点P ，点P 在指数函数()y f x =的图象上，则()f x = ．8．已知函数()||f x lgx =，实数a ，()b a b ≠满足f （a ）f =（b ），则ab 的值为 ． 三．解答题（共1小题） 9．设函数2()(2)f x lg x x a =-+． （1）求函数()f x 的定义域A ；（2）若对任意实数m ，关于x 的方程()f x m =总有解，求实数a 的取值范围．当堂检测答案一．选择题（共5小题）1．下列函数是对数函数的是( )A ．3log (1)y x =+B ．log (2)(0a y x a =>，且1)a ≠C ．y lnx =D ．2(0,1)a y log x a a =>≠且【分析】根据对数函数的定义即可得出．【解答】解：根据对数函数的定义可得：只有y lnx =为对数函数． 故选：C ．【点评】本题考查了对数函数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2．函数2()(5)log a f x a a x =+-为对数函数，则1()8f 等于( )A ．3B ．3-C ．3log 6-D ．3log 8-【分析】由对数函数定义推导出2()log f x x =，由此能求出1()8f ．【解答】解：函数2()(5)log a f x a a x =+-为对数函数，∴25101a a a a ⎧+-=⎪>⎨⎪≠⎩，解得2a =， 2()log f x x ∴=，211()388f log ∴==-．故选：B ．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质的合理运用．3．函数1()(2)3f x lg x x =-+-的定义域是( ) A ．(2,3) B ．(3,)+∞C ．[2，3)(3⋃，)+∞D ．(2，3)(3⋃，)+∞【分析】令对数的真数2x -大于0；分母3x -非0，列出不等式组，求出函数的定义域． 【解答】解：要使函数有意义，需满足 2030x x ->⎧⎨-≠⎩解得2x >且3x ≠ 故选：D ．【点评】求函数的定义域：常需考虑开偶次方根的被开方数大于等于0；对数的真数大于0底数大于0且不等于1；分母不为0等．注意函数的定义域一定以集合形式或区间形式表示． 4．函数()(24)x f x ln =-的定义域是( ) A ．(0,2)x ∈B ．(0x ∈，2]C ．[2x ∈，)+∞D ．(2,)x ∈+∞【分析】可看出，要使得函数()f x 有意义，则需满足240x ->，解出x 的范围即可．【解答】解：要使()f x 有意义，则：240x ->； 2x ∴>；()f x ∴的定义域为(2,)+∞．故选：D ．【点评】考查函数定义域的定义及求法，指数函数的单调性． 5．已知132a =，21()3b =，21log 2c =，则( )A ．c a b <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<【分析】利用指数式和对数式的性质，比较三个数与0或1的大小得答案． 【解答】解：10231221()03a b =>=>=>，21log 102c ==-<， c b a ∴<<．故选：C ．【点评】本题考查对数值的大小比较，关键是注意利用0和1为媒介，是基础题． 二．填空题（共3小题）6．已知45a ln =，22()3b =，0.15c =，将a 、b 、c 由小到大的顺序排列为 a b c << ．【分析】由20.1420,0()1,5153ln <<<>，即可得出a ，b ，c 的大小关系．【解答】解：4105ln ln <=，220()13<<，0.10551>=， a b c ∴<<．故答案为：a b c <<．【点评】本题考查了对数函数、指数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题． 7．已知log 2(0a y x a =+>且1)a ≠的图象过定点P ，点P 在指数函数()y f x =的图象上，则()f x = 2x ．【分析】求出定点(1,2)P ，代入指数函数中，求出a ，得到()f x ．【解答】解：由a 的任意性，1x =时，2y =，故log 2(0a y x a =+>且1)a ≠的图象过定点(1,2)P ，把(1,2)P 代入指数函数()x f x a =，0a >且1a ≠，得2a =，所以()2x f x =， 故答案为：2x ．【点评】考查对数函数的定点问题，和求指数函数的解析式，基础题．8．已知函数()||f x lgx =，实数a ，()b a b ≠满足f （a ）f =（b ），则ab 的值为 1 ． 【分析】由已知条件a b ≠，不妨令a b <，又y lgx =是一个增函数，且f （a ）f =（b ），故可01a b <<<，则lga lgb =-，由此可得ab 的值． 【解答】解：f （a ）f =（b ）， ||||lga lgb ∴=．不妨设0a b <<，则由题意可得01a b <<<， lga lgb ∴=-，0lga lgb +=， ()0lg ab ∴=， 1ab ∴=，故答案为：1．【点评】本题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考查对数函数单调性的应用，属于基础题． 三．解答题（共1小题） 9．设函数2()(2)f x lg x x a =-+． （1）求函数()f x 的定义域A ；（2）若对任意实数m ，关于x 的方程()f x m =总有解，求实数a 的取值范围．【分析】（1）由真数大于0，可得222(1)10x x a x a -+=-+->，对a 分类讨论即可求得定义域；11 （2）对任意实数m R ∈，方程()f x m =总有解，等价于函数2()(2)f x lg x x a =-+的值域为R ，由△0即可求得a 的取值范围．【解答】解：（1）由2()(2)f x lg x x a =-+有意义，可得222(1)10x x a x a -+=-+->，当1a >时，()f x 的定义域为A R =；当1a =时，()f x 的定义域为{|1}A x x =≠；当1a <时，()f x的定义域为{11A x x x =+<．（2）对任意实数m R ∈，方程()f x m =总有解，等价于函数2()(2)f x lg x x a =-+的值域为R ，即22t x x a =-+能取遍所有正数即可，所以△440a =-，1a ，实数a 的取值范围(-∞，1]．【点评】本题主要考查函数的定义域与值域，考查对数函数的性质，属于中档题，。

1．若函数 f(x)＝xlg2＋x，1，x>x1≤，1， 则 f(f(10))＝( B )
A．lg 101 B．2 C．1
D．0 f(f(10))＝f(1)＝12＋1＝ 2.
2．已知函数 f(x)＝log2(x2＋a)，若 f(3)＝－1，则 a＝ －127 . 解析：f(3)＝log2(9＋a)＝－1，所以 9＋a＝12，所以 a＝－127.
解析：设 f(x)＝logax，则 loga9＝2，解得 a＝3， 所以 f(x)＝log3x，所以 f31＝log331＝－1.
确定对数函数解析式的步骤 (1)设：用待定系数法先设出对数函数的解析式 y＝logax(a>0，且 a≠1)； (2)列：通过已知条件建立关于参数 a 的方程； (3)求：求出 a 的值，代入解析式即可．
D．(0，＋∞)
解析：由二次根式及分式有意义的条件，结合对数函数定义域可得
x－2>0， x>0，
解不等式组可得 x>2，即 x∈(2，＋∞)．
(x∈[0，＋∞))．
二、提出问题 1．上述函数式是指数函数吗？ 2．根据指数式与对数式的互化，你能化成对数式吗？ 3．化成对数式后式子有什么特点？ 4．x 是 y 的函数吗？
1．理解对数函数的概念，会求对数函数的定义域．
2．了解对数函数与指数函数之间的联系，提升学生观察问题、分析 问题和归纳问题的能力以及数学交流能力.
2．若 f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则 a＝ 5 .
a2－4a－5＝0，
解析：由对数函数的定义可知，a＞0， a≠1，
解得 a＝5.
题型 2◆对数函数的解析式及应用 典例 1 已知函数 y＝ax－2＋1(a>0 且 a≠1)的图象过定点 A，函数 y ＝logmx(m>0，且 m≠1)也经过点 A，则 m 的值为 2 .

解析：对数函数的曲线在第一象限部分， 随着 a 的增大而顺 时针旋转．或者取 y＝1 知 a＝x，直线 y＝1 与四条曲线交点的横 坐标满足 x1>x2>x3>x4 得 a1>a2>a3>a4.
12/13/2021
5．函数 y＝log2(x＋1)的图象大致是( C )
解析：y＝log2(x＋1)是由 y＝log2x 的图象向左平移一个单位长 度得到的，图象过(0,0)点，定义域为(－1，＋∞)，且在定义域上 为增函数，故选 C.
3
12/13/2021
(2)∵f(3x－1)>f(－x＋5)，
∴log1 (3x－1)>log1 (－x＋5)，
3
3
3x－1>0， 则－x＋5>0，
3x－1<－x＋5，
解得13<x<32，即 x 的取值范围为(13，32)．
12/13/2021
13．(13 分)已知 f(x)＝lg11－ ＋xx的定义域为(－1,1)，
3．已知 loga13>logb13>0，则 a，b 的取值范围是( C )
A．1<b<a
B．1<a<b
C．0<b<a<1 D．0<a<b<1
解析：由
loga
1 3
>logb
1 3
>0
，
得
－
loga3>
－
logb3>0
，
得
loga3<logb3<0，得log13a<log13b<0，得 log3b<log3a<0，得 0<b<a<1.

4.4.1 对数函数的概念必备知识基础练知识点一 对数函数的概念1.下列函数表达式中，是对数函数的有( )①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R )；③y ＝log 8x ；④y ＝ln x ；⑤y ＝log 12(－x )(x <0)；⑥y＝2log 4(x －1)(x >1)．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知f (x )为对数函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2，则f (34)＝________.知识点二对数型函数的定义域3.函数f (x )＝log 2(x 2＋3x －4)的定义域是( ) A ．[－4,1] B ．(－4,1)C ．(－∞，－4]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－4)∪(1，＋∞) 4．函数f (x )＝1log 122x ＋1的定义域为________.知识点三对数函数模型的实际应用5.某种动物的数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的函数关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为( )A ．300只B ．400只C ．500只D ．600只6．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为x 万元时，奖励y 万元．若公司拟定的奖励方案为y ＝2log 4x －2，某业务员要得到5万元奖励，则他的销售额应为________万元.关键能力综合练 一、选择题 1．给出下列函数：①y ＝log 23x 2；②y ＝log 3(x －1)；③y ＝log (x ＋1)x ；④y ＝log πx .其中是对数函数的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．已知函数f (x )＝11－x的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N 等于( )A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C ．{x |－1<x <1}D ．∅3．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)，若f (1)＝1，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．函数y ＝1log 2x －2的定义域为( ) A ．(－∞，2) B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)5．函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为( ) A ．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C ．(1，＋∞) D．[1，＋∞)6．(探究题)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，lg x ，x >1，则f (f (10))的值为( )A ．lg 101B ．1C ．2D ．0 二、填空题7．若f (x )＝log a x ＋a 2－4a －5是对数函数，则a ＝________.8．若f (x )是对数函数且f (9)＝2，当x ∈[1,3]时，f (x )的值域是________．9．(易错题)函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫2kx 2－kx ＋38的定义域为R ，则实数k 的取值X 围是________．三、解答题10．求下列函数的定义域：(1)y＝1log2x＋1－3；(2)y＝log(2x－1)(3x－2)；(3)已知函数y＝f[lg(x＋1)]的定义域为(0,99]，求函数y＝f[log2(x＋2)]的定义域．学科素养升级练1．(多选题)已知函数f(x)＝log a(x＋1)，g(x)＝log a(1－x)(a>0，a≠1)，则( ) A．函数f(x)＋g(x)的定义域为(－1,1)B．函数f(x)＋g(x)的图象关于y轴对称C．函数f(x)＋g(x)在定义域上有最小值0D．函数f(x)－g(x)在区间(0,1)上是减函数2．设函数f(x)＝log a x(a>0且a≠1)，若f(x1x2…x2 017)＝8，则f(x21)＋f(x22)＋…＋f(x22 017)＝________.3．(情境命题—生活情境)国际视力表值(又叫小数视力值，用V表示，X围是[0.1,1.5])和我国现行视力表值(又叫对数视力值，由缪天容创立，用L表示，X围是[4.0，5.2])的换算关系式为L＝5.0＋lg V.(1)请根据此关系式将下面视力对照表补充完整；V 1.5②0.4④L ① 5.0③ 4.0(2)甲、乙两位同学检查视力，其中甲的对数视力值为 4.5，乙的小数视力值是甲的2倍，求乙的对数视力值．(所求值均精确到小数点后面一位数，参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)4．4 对数函数4．4.1 对数函数的概念必备知识基础练1．解析：符合对数函数的定义的只有③④. 答案：B2．解析：设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，则log a 12＝－2，∴1a 2＝12，即a ＝2，∴f (x )＝，∴f (34)＝34＝log 2(34)2＝log 2243＝43.答案：433．解析：一是利用函数y ＝x 2＋3x －4的图象观察得到，要求图象正确、严谨；二是利用符号法则，即x 2＋3x －4>0可因式分解为(x ＋4)(x －1)>0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4>0，x －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4<0，x －1<0，解得x >1或x <－4，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－4)∪(1，＋∞)．答案：D4．解析：由题意有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，2x ＋1≠1，解得x ＞－12且x ≠0，则f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞)5．解析：由题意，知100＝a log 2(1＋1)，得a ＝100，则当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝100×3＝300.答案：A6．解析：由题意得5＝2log 4x －2，即7＝log 2x ，得x ＝128. 答案：128关键能力综合练1．解析：①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x ；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．答案：A2．解析：∵M ＝{x |1－x >0}＝{x |x <1}，N ＝{x |1＋x >0}＝{x |x >－1}，∴M ∩N ＝{x |－1<x <1}．答案：C3．解析：∵f (1)＝log a (1＋1)＝1，∴a 1＝2，则a ＝2，故选C. 答案：C4．解析：要使原函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，log 2x －2≠0，解得2<x <3或x >3，所以原函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)，故选C.答案：C5．解析：∵3x >0，∴3x ＋1>1.∴log 2(3x＋1)>0.∴函数f (x )的值域为(0，＋∞)． 答案：A6．解析：由题 f (f (10))＝f (lg 10)＝f (1)＝12＋1＝2.故选C. 答案：C7．解析：由对数函数的定义可知，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a －5＝0，a >0，a ≠1，解得a ＝5.答案：58．解析：设f (x )＝log a x ，∵f (9)＝2，∴log a 9＝2，∴a ＝3，∴f (x )＝log 3x 在[1,3]递增，∴y ∈[0,1]．答案：[0,1]9．解析：依题意，2kx 2－kx ＋38>0的解集为R ，即不等式2kx 2－kx ＋38>0恒成立，当k ＝0时，38>0恒成立，∴k ＝0满足条件．当k ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝k 2－4×2k ×38<0，解得0<k <3.综上，k 的取值X 围是[0,3)． 答案：[0,3)10．解析：(1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，log 2x ＋1－3≠0，即x >－1且x ≠7，故该函数的定义域为(－1,7)∪(7，＋∞)． (2)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x －2>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得x >23且x ≠1，故该函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1∪(1，＋∞)． (3)∵0<x ≤99，∴1<x ＋1≤100. ∴0<lg(x ＋1)≤2， ∴0<log 2(x ＋2)≤2， 即1<x ＋2≤4，即－1<x ≤2. 故该函数的定义域为(－1,2]．学科素养升级练1．解析：f (x )＋g (x )＝log a (x ＋1)＋log a (1－x )所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>01－x >0，解得－1<x <1，函数f (x )＋g (x )的定义域为(－1,1)，故A 正确；f (－x )＋g (－x )＝log a (－x ＋1)＋log a (1＋x )，所以f (x )＋g (x )＝f (－x )＋g (－x )，所以函数f (x )＋g (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，故B 正确；f (x )＋g (x )＝log a (x ＋1)＋log a (1－x )＝log a (x ＋1)(1－x )＝log a (－x 2＋1)，令t ＝－x 2＋1，则y ＝log a t ，在x ∈(－1,0)上，t ＝－x 2＋1单调递增，在x ∈(0,1)上，t ＝－x 2＋1单调递减，当a >1时，y ＝log a t 单调递增，所以在x ∈(－1,0)上，f (x )＋g (x )单调递增，在x ∈(0,1)上，f (x )＋g (x )单调递减，所以函数f (x )＋g (x )没有最小值，当0<a <1时，y ＝log a t 单调递减，所以在x ∈(－1,0)上，f (x )＋g (x )单调递减，在x ∈(0,1)上，f (x )＋g (x )单调递增，所以函数f (x )＋g (x )有最小值为f (0)＋g (0)＝0，故C 错；f (x )－g (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )＝log ax ＋11－x＝log a ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋21－x ，令t ＝－1＋21－x ，y ＝log a t .在x ∈(－1,1)上，t ＝－1＋21－x 单调递增，当a >1时，f (x )＋g (x )在(－1,1)单调递增，当0<a <1时，f (x )＋g (x )在(－1,1)单调递减，故D错．故选AB.答案：AB2．解析：∵f (x 21)＋f (x 22)＋f (x 23)＋…＋f (x 22 017) ＝log a x 21＋log a x 22＋log a x 23＋…＋log a x 22 017 ＝log a (x 1x 2x 3…x 2 017)2＝2log a (x 1x 2x 3…x 2 017) ＝2f (x 1x 2x 3…x 2 017)， ∴原式＝2×8＝16. 答案：163．解析：(1)因为5.0＋lg 1.5＝5.0＋lg 1510＝5.0＋lg 32＝5.0＋lg 3－lg 2≈5.0＋0.477 1－0.301 0≈5.2， 所以①应填5.2； 因为5.0＝5.0＋lg V ， 所以V ＝1，②处应填1.0；因为5.0＋lg 0.4＝5.0＋lg 410＝5.0＋lg 4－1＝5.0＋2lg 2－1≈5.0＋2×0.301 0－1≈4.6， 所以③处应填4.6；因为4.0＝5.0＋lg V ，所以lg V ＝－1.所以V＝0.1.所以④处应填0.1.对照表补充完整如下：(2)则有4.5＝5.0＋lg V甲，所以V甲＝10－0.5，则V乙＝2×10－0.5.所以乙的对数视力值L乙＝5.0＋lg(2×10－0.5) ＝5.0＋lg 2－0.5≈5.0＋0.301 0－0.5≈4.8.。