八数上BS 74 平行线的性质 习题课件

如图所示是一条街道的路线图.
(2)求证:DM∥BC.
(3)如图2,若移动点M,使∠MFG=n∠DFG,请直接写出∠BEG与∠MFD的数量关系.
(滨州中考)如图,AB∥CD,∠FGB=154°,FG平分∠EFD,则∠AEF的度数等于( B )
所以∠GFC=90°+35°=125°.
(贺州中考)如图,已知直线a∥b,∠1=60°,则∠2的度数是( C )
拓展探究突破练
2.如图,EF⊥AB于点H,EF⊥CD于点F,HI∥FG,FG与AB交于点
G,∠GFD=40°,则∠EHI的度数为( C )
A.40°
C.50°
B.45°
D.55°
-3-
7.4 平行线的性质
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
知识点2 两直线平行,内错角相等
3.(岳阳中考)如图,已知BE平分∠ABC,且BE∥DC.若
AC∥EF.求证:BC=DF.
证明:因为AD=EB,所以AD-BD=EB-BD,
即AB=ED.
因为AC∥EF,所以∠A=∠E.
= ,
在△ABC 和△EDF 中, ∠ = ∠,
= ,
所以△ABC≌△EDF,所以BC=DF.
-13-
7.4 平行线的性质
知识要点基础练
综合能力提升练
所以GF∥BC.
因为∠AMD=∠AGF,所以DM∥GF,所以DM∥BC.
-14-
7.4 平行线的性质
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-15-
14.如图1,点E在直线AB上,点F在直线CD上,EG⊥FG.
(1)若∠BEG+∠DFG=90°,请判断AB与CD的位置关系,并说明

又因为AB//CD,这样经过点M就有两条直线ABGH都与
CD平行。
这与“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直
线平行”矛盾。
这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以 ∠1=∠2。
性质发现 a
结论 平行线的性质1 b
两条平行线被第三条直线所截， 同位角相等.
1 2
c
简写为：两直线平行，同位角相等.
符号语言: ∵a∥b,
例1：已知：直线a∥b,a∥c,∠1， ∠2和∠3是直线 a,b，c被直线d截 出的同位角. 求证：b∥c.
证明：∵a∥b
（已知）.
∴∠1=∠2 （两直线平行，同位角相等）.
∵a∥ c （已知）.
∴∠1=∠3 （两直线平行，同位角相等）.
∴ ∠2=∠3 （等量代换）.
∴ b∥c （同位角相等，两直线平行）.
二、合作交流，发现性质
G
如果两条平行线被第三条直线所截，A
那么截得的同位角相等。
已知：直线AB∥CD，∠1和∠2是直线 C
E
1 B
M
HH
2 D
AB ,CD 被直线EF所截出的同位角。
求证：∠1=∠2
F
证明：假设∠1≠∠2 ，那么我们可以过点M作直线GH， 使∠EMH=∠2。
“根据同位角相等，两直线平行，”可知GH//CD.
AD∥BC.
A
D
B
C
五、总结归纳，颗粒归仓
这节课你学到了什么知识？
∴∠1=∠2.
如果两条平行线被第三条直线所截，那么截得的
内错角相等吗？
已知：如图，a//b,2与3是直线a,b截出的 内错角。 求证：2=3
证明： ∵a∥b (已知), ∴∠1=∠2(两直线平行,

A. ∠1+∠2-∠3=90°
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B. ∠2+∠3-∠1=180°
C. ∠1-∠2+∠3=180°
D. ∠1+∠2+∠3=180°
4. 如图，已知AB∥CD，∠BAD=∠BCD，那么AD∥BC吗？在下面横线上填空或
填写理由.
解： 因 为AB∥CD,所 以 ∠1 = ∠2 （ 两直线平行 ，内错角相等 ）.又因为
5. 如图，一束平行光线AB与DE射向一个平面镜后被反 射，它们的反射光线依次为BC，EF.求证：BC∥EF.（提示： 根据光的反射定理,可得∠1=∠2,∠3=∠4）
∵AB∥DE(已知), ∴∠1=∠3(两直线平行，同位角相等). ∵∠1=∠2,∠3=∠4(光的反射原理), ∴∠2=∠4(等量代换). ∴BC∥EF(同位角相等，两直线平行).
4. 定理：平行于同一条直线的两条直线 平行 .
1. 如图,∠B=70°,∠DEC=100°,∠EDB=110°,则∠C等于（ C ）
A. 70°
B. 110° C. 80°
D. 100°
2. 如图，AB∥CD，FH平分∠BFG，∠EFB＝58°，则下列说法错误的是( D )
A. ∠EGD＝58°
B. GF＝GH
C. ∠FHG＝61°
D. FG＝FH
3. 如图，AD平分∠BDF,∠3=∠4，若∠1=50°,∠2=130°，则∠CBD= 65 °．
4. 看图填空：已知如图，直线a,b,c被直线l所截. ∵a∥b,b∥c, ∴a∥c（平行于同一条直线的两条直线平行）. ∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）.
∠ BAD=∠BCD( 已 知 ), 所 以 ∠ BAD-∠1=∠BCD-∠2( 等 量 代 换 ). 即 ∠ 3=∠4 ， 所 以

总结
求证两角相等，首先观察两角的位置（是否 为同位角、内错角等），然后选择合适的性质定 理.若无法直接证得两角相等，则分析由已知条 件可得到哪些结论，再探寻这些结论与所求角的 关系，关系找到后，问题即可解答.
1 (中考·东莞)如图，直线a∥b，∠1＝75°，∠2＝ 35°，则∠3的度数是( C ) A．75° B．55° C．40° D．35°
才有内错角相等．
例2 如图，已知AE∥BC，∠B＝∠C， AE是∠DAC 的平分线吗？若是，请写出证明过程；若不是， 请说明理由.
导引：紧扣平行线的性质定理得出角的数量关系， 进而证明角相等．
解： AE是∠DAC 的平分线． 证明如下：∵AE∥BC(已知)， ∴∠DAE＝∠B(两直线平行，同位角相等)， ∠CAE＝∠C(两直线平行，内错角相等)， 又∵∠B＝∠C(已知)，∴∠DAE＝∠CAE (等量代换)， ∴AE是∠DAC 的平分线（角平分线的定义）．
4.定理：平行于同一条直线的两条直线平行. （1）已知：如图，b//a，c//a，∠1，∠2，∠3是直线a，b，
c被直线d截出的同位角. 求证：b//c. 证明：∵b//a (已知），
∴∠2=∠1(两直线平行，同位角 相等）.
∵c//a（已知）, ∴∠3=∠1（两直线平行，同位角相等）. ∴∠2 = ∠ 3（等量代换）. ∴b//c（同位角相等，两直线平行）.
总结
1．求角的度数的基本思路：根据平行线的判定由角的 数量关系得到直线的位置关系，根据平行线的性质 由直线的位置关系得到角的数量关系，通过上述相 互转化，从而找到所求角与已知角之间的关系．
2．两直线平行时，应联想到平行线的三个性质，由两 条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系， 由角的关系求相应角的度数．

感悟新知
知识点 2 平行线的判定与性质
平行线的判定
图示
因为 ∠ 1= ∠ 2， 所以l1 ∥ l2(同位 角 相 等 ，两直 线平行)
因为 ∠ 2= ∠ 3， 所以l 1 ∥ l2(内错 角相等 ，两直线 平行)
知2－讲
平行线的性质
因为 l1 ∥ l2，所 以∠ 1=∠ 2(两直 线平行 ， 同位角 相等) 因为 l1 ∥ l2， 所 以∠ 2=∠ 3(两直 线平行 ，内错角 相等)
平行线 互逆 平行线
的判定
的性质
性质定理 证明的一般步骤
感悟新知
续表
平行线的判定与性质
平行线的判定
图示
知2－讲
平行线的性质
因为∠ 3+ ∠ 4=180° ，所以
l1 ∥ l2(同旁内 角互补，两直线
平行)
因为 l1 ∥ l2，所 以∠ 3+ ∠ 4=180°(两直线 平行 ，同旁内
角互补)
感悟新知
知2－讲
特别提醒 平行线的判定与平行线的性质的区别：
平行线的判定是根据两角的数量关系得到两条直线的 位置关系，而平行线的性质是根据两条直线的位置关系 得到两角的数量关系.
感悟新知
知2－练
例2 如图 7-4-2，在△ ABC 中，已知 AD ⊥ BC 于点 D， EF ⊥ BC 于点 F，∠ 1= ∠ 2，试判断 DG 和 BA 的 位置关系，并证明你的结论 .
感悟新知
知2－练
解题秘方：通过 观察图形猜测这两条直线平行， 然后利用已知条件、平行线的性质定 理和判定定理进行证明 .
∵BE 平分∠ABC(已知)， ∴∠CBE＝12∠ABC＝50°(角平分线的定义)， ∵AD∥BC(已知)，

所以梯形的另外两个角的度数分别是 80°、65°.
3、如图，由AB//CD，可以得到（C）易错
（A）∠1=∠2
（B）∠2=∠3
（C）∠1=∠4
（D）∠3=∠4
4、如图，已知A、B、C同在一条直线上，D、E、F同在一 条直线上，且∠A=∠F，∠C=∠D，判断AE与BF的位置关 系，并说明理由.
解： ∵∠C=∠D
∴∠1 = ∠D（两直线平行，内错角相等）
∵∠B = ∠D（已知）
∴∠1 = ∠B（等量代换）
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）
D C
例2 已知：如图，AB∥CD，∠B =∠D.
求证：AD∥BC. 证法三： 如图，连接 BD (构造两组内错角). ∵ AB∥CD (已知)，
A
12
B
D
3 4
C
∴∠1 =∠4 (两直线平行，内错角相等).
条直线与这条直线平行”相矛盾. 这说明∠1 ≠ ∠2 的假设不成立，所以 ∠1 =∠2.
总结归纳
一般地，平行线具有如下性质： 性质1 （定理） 两条平行线被第三条直线所截，同位角
简单说成：两直线平行，同位角相等.
c
应用格式：
1
∵ a∥b（已知），
a
∴∠1 =∠2
2
（两直线平行，同位角相等）. b
议一议
(1) 从∠1 = 110° 可以知道∠2 是多少度？为什么？
(2) 从∠1 = 110° 可以知道∠3 是多少度？为什么？
(3) 从∠1 = 110° 可以知道∠4 是多少度？为什么？
解：(1) ∠2 = 110°，
两直线平行，内错角相等. （2）∠3 = 110°，
两直线平行，同位角相等. （3）∠4 = 70°，

探索新知
利用“两直线平行，同位角相等”这个基本事实，证 明以下命题. （1）两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 简述为：两直线平行，内错角相等. （2）两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简述为：两直线平行，同旁内角互补.
探索新知
例1 如图，已知直线AB，CD 被直线EF 所截，AB与CD平行，那么 ∠1+∠2 =180°吗？请说明理由.
北师版 数学 八年级上册 第七章 平行线的证明
7.4平行线的性质
学习目标
1.掌握平行线的性质定理，会证明“两直线平行， 内错角相等（或同旁内角互补）”；了解平行于 同一条直线的两条直线平行. 2.了解性质定理与判定定理的联系，感受互逆的 思维过程. 3.进一步理解证明的步骤、格式和方法，发展演绎 推理能力.
证明：∵ AD∥BC(已知)， ∴ ∠D=∠DBC (两直线平行，内错角相等). 又∵ ∠ABD=∠D(已知)， ∴ ∠ABD=∠DBC (等量代换). ∴ BD平分∠ABC(角平分线的定义).
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4、如图，已知 AE∥BC，∠B＝∠C，AE 是 ∠DAC 的平分线吗？ 若是，请写出证明过程；若不是，请说明理由. 解：AE是∠DAC 的平分线． 证明：∵AE∥BC(已知)，
使∠EMH=∠2，如图所示.
E
根据“同位角相等，两直线平行”可知 GH//CD.
G A
1 M
CN 2
B H D
又因为A与直线CD平行. 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这
条直线平行”相矛盾. 这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1=∠2.
探索新知
证明：∵ b∥a(已知)， ∴∠2=∠1( 两直线平行，同位角相等). ∵c∥a(已知)， ∴∠3=∠1( 两直线平行，同位角相等). ∴∠2=∠3(等量代换). ∴b∥c(同位角相等，两直线平行). 一般地，我们有如下的定理： 定理 平行于同一条直线的两条直线平行.

7.4 平行线的性质
初中数学 八年级上册 BSD
知识回顾
根据右图，填空：
E
A
41 32
B
① 如果∠1＝∠C，
CD
那么 AB∥ CD .（同位角相等，两直线平行）
② 如果∠1＝∠B ，
那么 EC ∥ BD .（内错角相等，两直线平行）
③ 如果∠2＋∠B＝180°，
那么 EC∥ BD .（ 同旁内角互补，两直线平行）
2.如图，如果∠1=∠3，∠2= 60°，那么，∠4的度数
为( C ) A.60°
a//b ∠5=∠2=60° B.100°
C.120°
D.130°
∠4与∠5互补
3.如图，AB//CD，∠ABD 的平分线与∠BDC 的平分线 交于点 E，则∠1+∠2= 90°.
∠ABD+∠CDB=180° ∠1= 12∠ABD， ∠2= 12∠CDB
证明：∵ l1∥l2（已知）， ∴ ∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）. 又∵ ∠2=∠3（对顶角相等）， ∴ ∠1=∠2（等量代换）.
定理2，3 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 简述为：两直线平行，内错角相等.
类似地，还可以证明：
定理3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角 互补. 简述为：两直线平行，同旁内角互补.
这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1=∠2.
定理1
两条平行直线被第三条直线所截，同位角 相等.
简述为：两直线平行，同位角相等.
证明：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.
（1）你能作出相关的图形吗？ （2）你能根据所作的图形写出已知、求证吗？ （3）你能说说证明的思路吗？
已知：如图，直线 l1∥l2，∠1和∠2是直线 l1 ， l2 被直线 l 截出的内错角. 求证：∠1=∠2.