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排列与组合的生成函数与应用生成函数是组合数学中的一种重要工具，主要用于描述排列和组合问题中的序列生成规律，并在实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍排列与组合的生成函数的概念、性质以及在实际问题中的应用。
一、生成函数的概念与定义生成函数是一种形式幂级数，用于把序列的每个项与其对应的项的位置联系起来。
对于一个序列{an}，其生成函数可以表示为：G(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + ...其中，ai表示第i个项的系数，x表示变量。
生成函数的特点是将序列的每个项与其对应的项的位置组合在一起，从而可以对序列的各项进行运算和分析，解决排列与组合问题。
二、排列与组合问题的生成函数1. 排列问题排列是指从一组元素中挑选出一部分元素按照一定的顺序进行排列的方式。
对于n个元素的排列问题，可以使用生成函数来描述。
设P(n)表示n个元素的全排列数，那么P(x)的生成函数可以表示为：P(x) = 1 + x + x^2 / 2! + x^3 / 3! + ...其中，x^k / k!表示取k个元素进行排列的系数。
通过P(x)的展开式，可以获取不同长度的排列数，从而解决排列问题。
2. 组合问题组合是指从一组元素中挑选出一部分元素，而不考虑其排列顺序的方式。
对于n个元素中挑选r个元素的组合问题，可以使用生成函数来描述。
设C(n, r)表示从n个元素中挑选r个元素的组合数，那么C(x)的生成函数可以表示为：C(x) = 1 + C(1, 1)x + C(2, 1)x^2 + C(3, 1)x^3 + ...其中，C(k, 1)x^k表示从k个元素中挑选1个元素的系数。
通过C(x)的展开式，可以获取不同挑选元素个数的组合数，从而解决组合问题。
三、生成函数与应用举例生成函数在实际问题中有着广泛的应用，下面以几个典型的例子来说明生成函数的具体应用。
1. 斐波那契数列斐波那契数列是一个非常经典的排列问题，其定义为：F(0) = 0, F(1) = 1, F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n ≥ 2)。
母函数（⽣成函数）介绍母函数是组合数学中相当重要的⼀个知识点，可以⽤来解决⼀些排列组合问题，还有所有的常系数线性齐次递推问题。
如果系数不是常数，需要根据具体情况进⾏处理。
具体的内容可以看组合数学相关书籍或者，由于⼤佬总是想当然地把别⼈当成⼤佬，⼀些内容对（像我这种）蒟蒻来说不是很友好，在这⾥讲⼀下母函数的基础。
（研究母函数时，钦定|x|<1）,这样，由等⽐数列求和公式有：11−x=∑∞i=0x i=1+x+ (x)11−kx=∑∞i=0k i x i=1+kx+...+k∞x∞1.普通型母函数。
假设有⼀个数列a,那么它的母函数其实就是⼀个关于x的多项式，x n的系数为a n，对于已知通项的数列，其母函数可以直接写出来。
⽽对于未知的数列，主要分为两类：递推型和组合型。
递推型就是利⽤错位相消，举个栗⼦：a n=3a n−1+10a n−2,a0=1,a1=2移项，得a n−3a n−1−10a n−2=0，设a n的母函数为G(x)G(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3...−3xG(x)=−3a0x+(−3)a1x2+(−3)a2x3...−10x2G(x)=−10a0x2+(−10)a1x3三⾏相加，可以发现等式右侧除了第⼀⾏的第1,2项和第⼆⾏的第1项外全消掉了。
所以我们可以得到(1−3x−10x2)G(x)=a0+a1x−3a0x=1−x，即G(x)=1−x1−3x−10x2，⽣成函数就求出来了，那如果我们还要求an的通项呢？对于这种东西，我们可以把他化成k1x−A+k2x−B这种形式，其中A和B由分母的因式分解唯⼀确定，然后k1,k2可由待定系数法解得。
然后对于kx−A,总可以化成k′∗11−Nx，就是k′∑∞i=0N i x i，找出x k的系数就是a n，如果母函数拆开成多个该类分式的话各部分相加就好。
具体计算就不算了。
PS:⼀部分⾮齐次线性递推其实也可以这样解，⽐如a n−3a n−1−10a n−2=f(n)，按照上述⽅法错项后会剩下⼀个等⽐数列和前⼏项余项。
总结：⽣成函数（斐波那契通项公式推导）⽣成函数总结前⾔形式幂级数先讲讲什么是幂级数叭幂级数是指级数的每⼀项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的 (x−a) 的n(n∈N) 次⽅。
⽐如A(x)=∑i≥0a i(x−x0)i它与多项式不同的⼀点在于多项式只有有限项的系数是⾮零的。
接着讲形式幂级数其意思就是：对于我们⽣成的这个多项式来说，其中的变量x只是作为⼀个符号⽽已，只是⼀个形式，它的取值并不重要，我们关⼼的只是它所携带的信息⽽已。
好惨⼀变量……就⽐如在最简单的⽣成函数⽅案统计问题中，其指数就是我们要求的⽅案，⽽其系数就是答案。
后⾯讲⽣成函数的时候会细讲。
⽣成函数⽣成函数可以分为很多种，但是⽤的最⼴泛的还是普通⽣成函数和指数⽣成函数。
普通⽣成函数Ordinary Generating Function,OGF：普通⽣成函数。
定义为形式幂级数：F(x)=∑n≥0a n x n封闭形式每次计算都要写⼀长串的多项式或者写⼀个 ∑，太⿇烦了，有没有更好的⽅法？⾃然是有的，我们发现：对于序列<1,1,1,…>的普通⽣成函数F(x)=∑n≥0x n，有F(x)⋅x+1=F(x)解得F(x)=11−x，所以我们可以⽤这个来代替原来琐碎的 ∑并简化运算。
真是天⾐⽆缝⼜⼗分扯淡这种⽅法⽤的⾮常多，尤其是在求通项公式的时候，⽐如求斐波那契和卡特兰数的通项公式时就会⽤到。
⼆项式定理但是我们将⼀个多项式变成封闭形式之后就⽆法得到第n项的系数了啊。
但是没有关系，我们可以⽤⼆项式定理将其展开。
Generalized Binomial Theorem:⼴义⼆项式定理：(x+y)α=∞∑k=0αk xα−k y k ()() Processing math: 100%其中αk为⼴义⼆项式系数（其实就是实数域下的组合数）αk=αk_k !=α(α−1)…(α−k +1)k !,α∈R,k ∈Nαk_ 表⽰ α 的 k 次下降幂，即 α(α−1)…(α−k +1)。
《离散数学》课程标准英文名称：Discrete Mathematics 适用专业：数学与应用数学学分数：4一、课程性质《离散数学》是研究离散量的结构及其相互关系的应用数学学科，是随着计算机科学的发展而逐步建立的，它形成于七十年代初期，是一门新兴的工具性学科。
《离散数学》是应用数学专业以及计算机专业的一门重要专业必修课。
二、课程理念1、课程所属学科分析离散与连续是现实世界中物质运动的对立统一的两个方面，离散数学与连续数学是描述、刻画和表达现实世界物质运动的两个重要工具。
计算机的高速发展与广泛应用，促进了信息数字化、符号化和离散化。
从目前的发展趋势来看，离散数学在现代应用科学中的作用已经超过了连续数学。
离散数学已成为计算机科学与技术的重要理论基础之一，在计算机科学与技术等领域有着广泛的应用。
2、课程授课对象分析离散数学课程是应计算机科学和技术发展的需要，综合了高等数学的多个分支而形成的。
其特点是以离散量为研究对象，内容丰富，涉及面较宽。
因此概念多、定理多、推理多，但它研究的内容均比较基础，难度不大。
本课程面对的是计算机科学与技术专业一年级的学生，。
通过本课程的学习，培养学生的抽象思维和严密的逻辑推理能力，为进一步学习专业课打好基础，并为学生今后处理离散信息，提高专业理论水平，从事计算机的实际工作提供必备的数学工具。
3、课程内容选择分析本课程研究离散型的量的结构及其相互间的关系，因而特别体现了计算机科学的离散性这一重要特征。
其内容极为广泛，不同的教材或专著在选材上通常会有较大的差异。
但都至少包含了以下四个方面内容：数理逻辑、集合论、代数系统、图论。
作为一门数学课，《离散数学》特别能体现数学的三大特性——严密的逻辑性、高度的抽象性以及广泛的应用性。
4、课程学习要求的分析在本课程的教学过程中，要坚持学生为主体、教师为主导、以人为本的教学理念，将研究性学习运用于教学中，课堂讲授、课堂讨论、课外扩展学习相结合，鼓励创新，充分体现素质教育、个性化教育等现代教育思想和观念，构建以学习者为中心，以学生实践性的自主活动为基础的动态、开放的教学过程。
生成函数的应用摘要生成函数方法是一种简单而又重要的方法，本文介绍了生成函数的定义，同时给出了生成函数在概率论、证明恒等式、求解递推关系及求递归数列的通项公式等方面的应用。
关键字：生成函数；递推关系；恒等式；生成函数应用一、 生成函数的定义生成函数又叫做母函数。
生成函数方法是离散数学的重要方法，是连接离散数学与连续数学的桥梁。
在组合数学中，生成函数的典型作用主要体现在组合计数方面，是解决组合计数问题的强有力工具之一，其基本思想为：为了获得一个序列{}k k 0a ≥的有关知识，我们引用一个幂级数来整体表示这个k 2k 012k 0x a x a a x a x G ∞===+++∑（）序列，x G （）为序列{}k k 0a ≥的生成函数。
这样，一个序列和它的生成函数一一对应，我们可以通过对生成函数的运算和分析得到这个序列的很多性质。
18世纪，欧拉在研究正整数分拆时首先使用了母函数，19世纪初拉普拉斯在研究概率问题时得到进一步发展。
母函数的一种自然推广，导致概率论中引进强有力的工具—特征函数，它把随机变量的分布函数变换为它的特征函数，从而把对分布函数的研究转化为对对应的特征函数的研究，大大地推动了相互独立随机变量的和的极限理论的研究。
一、 生成函数的应用2．1 生成函数在概率论中的应用例：在做抽样调查时，采访的男士有教师，医生，律师等不同的q 个行业，女士也有不同的p 个行业，假设我们在每一行业中至多选取2位男士和至多选取1位女士，问有多少种不同的方法取k 个人的样本？解：要区分相同性别的人，当且仅当他们属于不同的范畴，现以选择k 个人的方法数量做生成函数。
在q 种范畴的每一个中，我们或者选择0，1，2位男士做样本，因此每个范畴给出2(x+x )1+项，另外选择0或1位女士，所以p 种范畴中的每一个给出(1+x)项。
所以，2q p (x)(x+x )(x)G =1+1+因此选择k 个人的方法数量是(x)G 中k x 的系数。
22.5 指数生成函数定义 设{an}为序列，称xn Ge ( x ) = an n! n=0∑∞为{an}的指数生成函数. 例 1 给定正整数 m, an = P(m,n), {an}的指数生成函数为∞ ∞ ⎛m⎞ xn m! n Ge ( x ) = ∑ P ( m , n ) x = ∑ ⎜ ⎟ x n = (1 + x ) m = ∑ ⎜ n⎟ n! n= 0 n!( m − n)! n= 0 n = 0⎝ ⎠ ∞例 2 bn=1, 则{ bn}的指数生成函数为xn Ge ( x ) = ∑ = ex n = 0 n!∞1指数生成函数的性质设数列{an},{bn}的指数生成函数分别为 Ae(x)和 Be(x), 则x Ae ( x ) ⋅ Be ( x ) = ∑ cn n! n= 0证：∞∞n⎛ n⎞ ,其中 c n = ∑ ⎜ ⎟a k bn − k ⎜k⎟ k = 0⎝ ⎠n∞ ∞ xn xk xl ∑ cn n! = Ae ( x ) ⋅ Be ( x ) = ( ∑ ak k! ) ⋅ ( ∑ bl l! ) n= 0 k =0 l =0 ∞ xn a k bn− k = ∑ xn ∑ ⋅ = ∑ n= 0 k = 0 k ! ( n − k )! n = 0 n! n ∞a k n! bn− k ∑ k! ⋅ ( n − k )! k =02nxn = ∑ n = 0 n!∞⎛ n⎞ ∑ ⎜ k ⎟ak bn− k ⎜ ⎟ k = 0⎝ ⎠n应用-多重集排列计数设 S={ n1⋅a1, n2⋅a2, … , nk⋅ak }为多重集， 则 S 的 r 排列数{ ar }的指数生成函数为Ge ( x ) = f n1 ( x ) f n2 ( x ) ... f nk ( x ) x2 x ni f ni ( x ) = 1 + x + + ... + 2! ni ! i = 1, 2, ... , k3证明考察指数生成函数展开式中 xr 的项，x m1 x m2 x mk ... ， m1 ! m 2 ! m k !其中 m 1 + m2 + … + m k = r 0 ≤ mi ≤ ni, i = 1, 2, … , k （*）x m1 + m 2 + ...+ m k xr r! r! = 即 m1 ! m 2! ... m k ! r ! m1 ! m 2 ! ... m k ! ，ar = ∑ m1 ! m 2 ! ... m k !其中求和是对满足方程（*）的一切非负整数解来求. 一个非负整数解对应了{ m1⋅a1, m2⋅a2, … , mk⋅ak }，即 S 的 r 组合r! 而该组合的全排列数是 ，因此 ar 代表了 S 的 r 排列数. m1 ! m 2 ! ... m k !4实例例 3 由 1,2,3,4 组成的五位数中，要求 1 出现不超过 2 次，但不能不出现，2 出现不超过 1 次， 3 出现可达 3 次，4 出现偶数次.求这样的五位数个数. 解：x2 x2 x3 x2 x4 )(1 + x )(1 + x + + )(1 + + ) Ge ( x ) = ( x + 2! 2! 3! 2! 4! x2 x3 x4 x5 = x+5 + 18 + 64 + 215 + ... 2! 3! 4! 5!N = 2155应用（生成函数求法）例 4 红、白、兰涂色 1×n 的方格，要求偶数个为白色， 问有多少方案？ 解 设方案数为 anx2 x2 Ge ( x ) = (1 + + ...)(1 + x + + ...) 2 2! 2! 1 x 1 3x 1 x 2x −x = (e + e ) e = e + e 2 2 2 ∞ 1 ∞ n xn 1 ∞ xn 3n + 1 x n 3 = + = 2 n= 0 2 n! n! 2 n = 0 n! n= 0∑∑∑an =3n + 1 26递推方程的求法解法 2 递推方程 an = 2an-1 + (3n-1− an-1) a1 = 2 an = an-1 + 3n-1 a n = P3 , 解得 P = 3/2, a*n = 3n/2 通解 an = C + 3n/2 代入初值得 C = 1/2 解为 an = (3n+1)/27*n-122.6 高级计数高级计数Catalan数 第一类Stirling数 第二类Stirling数讨论要点定义 递推方程 恒等式 对应的组合问题 生成函数8Catalan数定义定义 一个凸 n+1 边形，通过不相交于n+1边形内 部的对角线把 n +1边形拆分成的三角形个数，记 作hn，称为Catalan数. 实例：h2=1, h3=2, h4=59递推方程考虑 n+1 条边的多边形，端点 A1, An+1 的边记为 a, 以 Ak+1（k=1, 2,…, n-1）A1 为边，An+1Ak+1 为另一 边，构成三角形 T, T 将多边形划分成 R1 和 R2 两个 部分，分别为 k+1 边形和 n-k+1 边形.hn =n −1k =1∑ hk hn− k ,n≥ 2h1 = 11 ⎛ 2n − 2 ⎞ hn = ⎜ ⎜ n−1 ⎟ ⎟ n⎝ ⎠10。
生成函数在求解递推关系中的应用研究作者：饶艳来源：《科教导刊》2010年第33期摘要生成函数在组合问题中的应用既灵活又非常广泛,利用生成函数来求解递推关系是一种有效而特别的方法。
中图分类号:0174文献标识码:A很多组合计数问题往往归结为求某个数列{an}的通项公式,而直接求某些数列的通项公式比较难,但可以建立数列所满足的递推关系,生成函数是求解数列递推关系的一种重要而有效的方法,本文主要讨论生成函数在求解递推关系中的应用,进而求出数列递推关系的一般项的表示公式。
1 生成函数的概念及性质1.1 定义设a0,a1,a2,…,an,…, 是一个数列,做形式幂级数f (x) = a0 + a1x + a2x2 +…+ anxn +…然后通过研究函数f (x) = aixi导出数列a0,a1,a2,…,an,…,的性质,则称f (x) = aixi为数列a0,a1,a2,…,an,…,的生成函数。
例如:数列1,,,,,…,,…对应的生成函数是f (x) = ln= x + x2 + x3 + … +xn+…;数列1,2,3,4,5,…,n,…对应的生成函数是f (x) == 1+ 2x + 3x2 + … +nxn-1 +…。
可见数列和它的生成函数是一一对应的,求得了生成函数,数列的通项就可以知道了,因此,可以用生成函数来求解递推数列的通项。
1.2 下面给出生成函数的一些性质设数列{an},{bn},{cn}的生成函数分别是A(x),B(x),C(x)。
性质1若bn = an,为常数,则B(x) =A(x)性质2若cn = an + bn,则C(x) = A(x) + B(x)性质3若bn = an+1,则B(x) =性质4若bn = nan,为常数,则B(x) = A(x)性质5若bn = nan, 则B(x) = xA'(x)性质6若bn = ,则B(x) = ∫x0 A(x)dx这些性质可以求某些递推数列的生成函数,在此就不证明,接下来主要讨论生成函数在求解递推关系的应用。
中科⼤-组合数学复习知识点⼀、鸽巢原理定理：n+1个物品放⼊n个盒⼦中，那⾄少有 1 个盒⼦中⾄少有 2 个物品。
解题思路：构造部分和序列正整数a i=2s i×r i,s i为⾮负整数,r i为奇数加强形式：m个物品放⼊n个盒⼦中，⾄少有 1 个盒⼦中⾄少有mn个物品。
若物品数与盒⼦数相等，则⾄少 1 个盒⼦中⾄少有 1 个物品。
若m=n+1，则⾄少 1 ⼀个盒⼦中⾄少有 2 个物品。
解题思路：递增⼦序列问题：构造{m k},m k表⽰从a k开始的最长递增⼦序列长度将集合分成 n 部分，使⽤加强形式取余⼆、排列与组合2.1 集合的排列组合r排列=P(n,r)=A rn =n! (n−r)!r圆排列=1r P(n,r)=1r A rn=n!r(n−r)!r组合数=nr=C rn=n!r!(n−r)!定理：(n0)+(n1)+⋯+(nn)=2n解题思路：能被 3 整除的数，各位数字之和也要能被 3 整除2.2 多重集合定理：多重集合M={∞⋅a1,∞⋅a2,⋯,∞⋅a k}的r排列数为k r.定理：多重集合M={k1⋅a1,k2⋅a2,⋯,k n⋅a n}的全排列数为(k1+k2+⋯+k n)!k1!k2!⋯k n!.只适⽤全排列，如果 k 排列，则⽤指数型⽣成函数。
定理：多重集合M={∞⋅a1,∞⋅a2,⋯,∞⋅a k}的r组合数为(k+r−1r)=C rk+r−1.证明⽅法：对应求⾮负整数解⽅案数x1+x2+⋯+x k=r =>r 个相同的球放⼊ k 个不同的盒⼦中定理：多重集合M={∞⋅a1,∞⋅a2,⋯,∞⋅a k}，要求各元素⾄少出现⼀次的r组合数为(r−1k−1)=C k−1r−1.证明⽅法：对应求满⾜⼀定条件的整数解⽅案数x1+x2+⋯+x k=r,x i≥1例题：求⽅程x1+x2+x3+x4=18满⾜条件x1≥3,x2≥1,x3≥4,x4≥2的整数解数⽬。
解：令y1=x1−3,y2=x2−1,y3=x3−4.y4=x4−2，则原⽅程变为y1+y2+y3+y4=8的⾮负整数解数⽬，(8+4−1 8)⌈⌉()课后习题 13，不穿过直线y=x课后习题 13，不穿过直线y=x的⾮降路径数？三、⼆项式系数⼆项式定理：(x+y)n=x n+(n1)x n−1y+(n2)x n−1y2+⋯+y n=∑ni=0(ni)x n−i y i⽜顿⼆项式定理：(1+x)α=∑∞r=0(αr)x r,(αr)=α(α−1)⋯(α−r+1)r!,α为⼀切实数,|x|<1α=−n 时，有(αr)=(−1)r(n+r−1r)(1+x)−n=∑∞r=0(−1)r(n+r−1 r)x r(1−x)−n=∑∞r=0(n+r−1 r)x r(1+x)−1=1−x+x2−x3+⋯(1−x)−1=1+x+x2+x3+⋯α=12时，有(αr)=(−1)r−11r22r−1(2r−2r−1)(1+x)12=∑∞r=1(−1)r−11r22r−1(2r−2r−1)x r,Catalan数基本性质：对称关系：(nr)=(nn−r)递推关系：(nr)=(n−1r)+(n−1r−1)=C rn−1+C r−1n−1组合恒等式：C1 n +2C2n+3C3n+⋯+nC nn=n2n−1C k 0+C k1+C k2+⋯+C kn=C k+1n+1∑n i=0(C in)2=C n2n∑r i=0C imC r−in=C rm+n,Vandermonde恒等式∑m i=0C imC r+in=C m+rm+n多项式定理：(x1+x2+⋯+x t)n=∑(nn1n2⋯n t)x n11x n22⋯x n tt,(nn1n2⋯n t)=n!n1!n2!⋯n t!例题：展开 (2x1−3x2+5x3)6，则 x31x2x23系数为解：6!3!1!2!23(−3)52多项式定理性质：展开式项数为n1+n2+⋯+n t=n的⾮负整数解个数，为(n+t−1 n)∑(nn1n2⋯n t)=t n,令所有xi都为1四、容斥原理定理：|¯A1∩¯A2∩⋯∩¯A m|=|S|−∑|Ai|+∑|A i∩A j|+⋯+(−1)m|A1∩A2∩⋯∩A m|推论：|A1∪A2∪⋯∪A m|=|S|−|¯A1∩¯A2∩⋯∩¯A m|欧拉函数的证明欧拉函数表⽰⼩于 n 且与 n 互素的整数的个数n =p i 11p i 12⋯p iq q 记 A i ={x |x ≤n 且p i |x} ，表⽰与 p i 成倍数的那些数那么 φ(n)=|¯A 1∩¯A 2∩⋯∩¯A q |=n ∏q i=1(1−1p i )定义：N (P i 1,P i 2,⋯,P i k ) 表⽰ S 中具有性质 P i 1,P i 2,⋯,P i k的元素个数ω(k )=∑N (P i 1,P i 2,⋯,P i k) 表⽰具备 k 个性质的元素计数，其中⼀个元素会被多次计数。
求数列递推表达式常用的八种方法1. 通项公式法（Explicit Formula Method）通项公式法是一种使用列中已知项的数值来构建一个递推表达式的方法。
根据数列的性质和规律，可以通过观察和找到一个数学模型来表示数列的通项公式。
该公式可以直接给出任意项的值，无需依赖于前面的项。
2. 递推关系法（Recurrence Relation Method）递推关系法是通过关系式来定义后一项与前面一项之间的关系。
可以根据已知项之间的关系来构建递推关系，从而求得数列的递推表达式。
递推关系可以是线性或非线性的，具体要根据数列的性质来确定。
3. 线性代数法（Linear Algebra Method）线性代数法是将数列看作一个向量，通过矩阵运算来求得数列的递推表达式。
可以利用矩阵的特征值和特征向量等性质来求解。
这种方法适用于一些特殊的线性数列，但对于非线性数列则不适用。
4. 拟合法（Curve Fitting Method）拟合法是通过数学函数来逼近数列的变化趋势，从而得到递推表达式。
可以选择不同的函数模型，如多项式、指数函数、对数函数等，并使用最小二乘法来拟合数列的数据点。
这种方法适用于不规律和随机的数列。
5. 差分法（Difference Method）差分法是通过数列中相邻项之间的差值来构建递推表达式。
可以通过一次差分、二次差分等方法来获得递推关系，进而求解数列的递推表达式。
这种方法适用于差分规律明显的数列。
6. 特殊性质法（Special Property Method）特殊性质法是根据数列的特殊性质来求解递推表达式。
可以利用数列的对称性、周期性、递增性、递减性等特点来构建递推关系。
该方法需要对数列的性质特别敏感，适用性较为有限。
7. 生成函数法（Generating Function Method）生成函数法是将数列看作一个形式幂级数，通过对生成函数进行操作来求解递推表达式。
可以利用生成函数的性质和运算法则来求得数列的递推关系，进而得到递推表达式。
