下载文档原格式
实验二： 微分方程模型Matlab 求解与分析一、实验目的[1] 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析； [2] 熟悉MATLAB 软件关于微分方程求解的各种命令；[3] 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程； [4] 熟悉离散 Logistic 模型的求解与混沌的产生过程。
二、实验原理1. 微分方程模型与MATLAB 求解解析解用MATLAB 命令dsolve(‘eqn1’,’eqn2’, ...) 求常微分方程（组）的解析解。
其中‘eqni'表示第i 个微分方程，Dny 表示y 的n 阶导数,默认的自变量为t 。
（1） 微分方程 例1 求解一阶微分方程 21y dxdy+= (1) 求通解 输入：dsolve('Dy=1+y^2')输出：ans =tan(t+C1)（2）求特解 输入：dsolve('Dy=1+y^2','y(0)=1','x')指定初值为1，自变量为x 输出：ans =tan(x+1/4*pi)例2 求解二阶微分方程 221()04(/2)2(/2)2/x y xy x y y y πππ'''++-=='=-原方程两边都除以2x ，得211(1)04y y y x x'''++-= 输入:dsolve('D2y+(1/x)*Dy+(1-1/4/x^2)*y=0','y(pi/2)=2,Dy(pi/2)=-2/pi','x')ans =- (exp(x*i)*(pi/2)^(1/2)*i)/x^(1/2) +(exp(x*i)*exp(-x*2*i)*(pi/2)^(3/2)*2*i)/(pi*x^(1/2))试试能不用用simplify 函数化简 输入: simplify(ans)ans =2^(1/2)*pi^(1/2)/x^(1/2)*sin(x) （2）微分方程组例3 求解 d f /d x =3f +4g ; d g /d x =-4f +3g 。
中国人口增长预测数学建模引言中国作为世界上人口最多的国家之一，人口增长一直是一个备受关注的问题。
人口数量的增长对于国家的经济、社会、环境等方面都有着重要的影响。
因此，预测中国人口的增长趋势对于未来的发展规划具有重要意义。
本文将介绍一种基于数学建模的方法，用于预测中国人口的增长情况。
方法数据收集为了进行人口增长预测的数学建模，我们需要收集一系列历史人口数据。
这些数据可以从各种统计年鉴、人口普查、政府发布的数据等渠道获取。
通常，我们需要收集的数据包括中国的总人口数量、出生率、死亡率、迁入率和迁出率等。
建立数学模型基于收集到的数据，我们可以建立一个数学模型来描述中国人口的增长情况。
常用的数学模型包括指数增长模型、Logistic增长模型等。
在本文中，我们以Logistic增长模型为例。
Logistic增长模型基于以下假设： 1. 人口增长率与当前人口数量成正比； 2. 当人口数量接近一定的上限时，人口增长率会逐渐减小。
Logistic增长模型的公式可以表示为：dP/dt = r*P*(1-P/K)其中，P表示人口数量，t表示时间，r表示人口增长率，K表示人口的上限。
参数估计为了应用Logistic增长模型进行人口预测，我们需要估计模型中的参数。
参数估计可以通过拟合历史数据来完成。
常用的参数估计方法包括最小二乘法、最大似然估计等。
模型验证一旦完成参数估计，我们可以使用模型预测未来的人口变化情况。
为了验证模型的准确性，我们可以将预测结果与实际观测数据进行比较。
如果预测结果与实际观测数据较为接近，说明模型具有较好的预测能力。
预测未来人口增长利用建立的数学模型和参数估计，我们可以进行未来人口增长的预测。
通过不同的假设和参数值，我们可以探讨不同因素对人口增长的影响。
例如，我们可以考虑不同的出生率和死亡率情况下的人口增长，或者研究不同人口政策下的人口增长趋势。
结论本文介绍了一种基于数学建模的方法，用于预测中国人口的增长情况。
数学建模模型解题法引言数学建模是一种通过建立数学模型描述和解决实际问题的方法。
在数学建模中，模型的构建是一个关键的步骤，而解题则是将模型应用于具体问题并得出有意义结论的过程。
本文将介绍一些常用的数学建模模型解题方法。
一、数值解法数值解法是一种基于数值计算的解决方法，适用于无法用解析方法求解的问题。
常见的数值解法有以下几种：1. 近似解法近似解法是通过对原方程进行近似处理，得到一个近似解的方法。
常见的近似解法有牛顿法、二分法和割线法等。
牛顿法牛顿法是一种通过迭代计算逼近方程根的方法。
它利用泰勒级数展开对函数进行逼近，并使用切线与x轴的交点作为下一个近似解。
具体步骤如下： 1. 选取初始近似解x0； 2. 计算函数f(x)在x0处的导数f′(x0)； 3. 计算切线方程，即f(x0)+f′(x0)(x−x0)=0； 4. 解得x1为切线方程与x轴的交点，作为下一个近似解x1； 5. 若满足精度要求，则停止迭代；否则，返回第2步。
二分法二分法是一种通过将区间等分并缩小区间范围的方法求方程根。
具体步骤如下：1. 选取区间[a, b]，其中a和b分别是方程根的近似解； 2. 计算区间中间点c=(a+b)/2； 3. 判断c是方程根的左侧还是右侧； 4. 缩小区间范围： - 若c是方程根的左侧，则将c作为新的区间右端点，即令b=c； - 若c是方程根的右侧，则将c作为新的区间左端点，即令a=c； 5. 若满足精度要求，则停止迭代；否则，返回第2步。
割线法割线法是一种通过使用割线近似切线的方法求解方程根。
具体步骤如下： 1. 选取初始近似解x0和x1； 2. 计算割线方程，即通过(x0,f(x0))和(x1,f(x1))计算割线斜率，并与x轴求交； 3. 解得x2为割线方程与x轴的交点，作为下一个近似解x2；4. 若满足精度要求，则停止迭代；否则，返回第2步。
2. 插值法插值法是一种通过已知数据点构建一个拟合曲线，并使用该曲线来估算未知数据点的方法。
高速公路道路交通事故分析预测模型队伍名称：舞动青春作者：队长：陈玉兴110712303测绘113成员：王岳110712324测绘113韦璞琪090718227港口1122012/5/6问题的提出基本情况：随着道路交通事业的发展，高速公路交通事故也在不断增加。
高速公路交通事故往往造成人员伤亡，车辆损毁，道路阻塞等严重后果，为探索高速公路道路交通事故发生的规律，分析现有道路交通条件下未来高速公路交通事故的发展趋势，以便及早采取措施进行预防，减少事故发生次数及损失程度，必须进行高速公路交通事故预测。
为了解决此问题，现利用已收集到的A省的高速公路交通事故数据，建立针对该省具体情况的数学模型，预测该省未来的交通事故情况，需要解决的问题：1、从A省高速公路交通事故四项指标的历史统计数据出发，对该省公路交通事故进行聚类分析研究，一期该省获得该省高速公路交通事故基于四项指标的时间、空间分布规律。
2、根据高速公路交通事故的分布规律，构建高速公路交通事故发生次数、死亡人数、受伤人数、直接经济损失的预测模型。
相关信息五种因素引发交通事故具体如下：一、客观因素道路、气象等原因，也可引起事故发生。
二、车况不佳车辆技术状况不良，尤其是制动系统、转向系统、前桥、后桥有故障，没有及时检查、维修。
三、疏忽大意当事人由于心理或者生理方面的原因，没有正确观察和判断外界事物而造成精力分散、反应迟钝，表现为观望不周、措施不及或者不当。
还有当事人依靠自己的主观想象判断事务或者过高估计自己的技术，过分自信，对前方、左右车辆、行人形态、道路情况等，未判断清楚就盲目通行。
四、操作失误驾驶车辆的人员技术不熟练，经验不足，缺乏安全行车常识，未掌握复杂道路行车的特点，遇有突然情况惊慌失措，发生操作错误。
五、违反规定当事人由于不按交通法规和其他交通安全规定行车或者走路，致使交通事故发生。
如酒后开车、非驾驶人员开车、超速刑事、争道抢行、违章装载、行人不走人行横道等原因造成佛山事故的交通事故。
数学建模作业(实验2微分方程实验)基本实验1．微分方程稳定性分析绘出下列自治系统相应的轨线，并标出随t 增加的运动方向，确定平衡点，并按稳定的、渐近稳定的、或不稳定的进行分类：,,,+1,(1)(2)(3)(4);2;2;2.dx dx dx dxx x y x dt dt dt dt dy dy dy dy y y x y dt dt dt dt ⎧⎧⎧⎧==-==-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪===-=-⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩解答解：（1）由平衡点的定义可得，f （x ）=x=0，f （y ）=y=0，因此平衡点为（0,0），微分方程组的系数矩阵为1001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，显然其特征值为12=1=1λλ，；由根与系数的关系可得：1212()2010p q λλλλ=-+=-<==>，且24p q >，由平衡点与稳定性的各种情况可知，平衡点（0，0）是不稳定的。
自治系统相应轨线为：（2）由平衡点的定义可得，f （x）=-x=0，f （y ）=2y=0，因此平衡点为（0,0），微分方程组的系数矩阵为-1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，显然其特征值为12=-1=2λλ，；由根与系数的关系可得：121210-(2<0)p q λλλλ=-+=-<==，，平衡点（0，0）是不稳定的。
自治系统相应轨线为：（3）由平衡点的定义可得，f （x ）=y=0，f （y ）=-2x=0，因此平衡点为（0,0），微分方程组的系数矩阵为0120A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，显然其特征值为121.4142=4142=-1.i i λλ，；由根与系数的关系可得：12120 1.41420()p q λλλλ=-+===>，，由平衡点与稳定性的各种情况可知，平衡点（0，0）是不稳定的。
自治系统相应轨线为：（4）由平衡点的定义可得，f （x ）=-x=0，f （y ）=-2y=0，因此平衡点为（0,0），微分方程组的系数矩阵为-100-2A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，显然其特征值为12==-12-λλ，；由根与系数的关系可得：1212()3020p q λλλλ=-+=>==>，且24p q >，由平衡点与稳定性的各种情况可知，平衡点（0，0）是稳定的。
数学建模论文题目：一个医药公司的新药研究部门为了掌握一种新止痛剂的疗效，设计了一个药物试验，给患有同种疾病的病人使用这种新止痛剂的以下4个剂量中的某一个：2 g，5 g，7 g和10 g，并记录每个病人病痛明显减轻的时间（以分钟计）. 为了解新药的疗效与病人性别和血压有什么关系，试验过程中研究人员把病人按性别及血压的低、中、高三档平均分配来进行测试. 通过比较每个病人血压的历史数据，从低到高分成3组，分别记作0.25，0.50和0.75. 实验结束后，公司的记录结果见下表（性别以0表示女，1表示男）.请你为该公司建立一个数学模型，根据病人用药的剂量、性别和血压组别，预测出服药后病痛明显减轻的时间.病人序号病痛减轻时间／min用药剂量／g性别血压组别1 352 0 0.252 43 2 0 0.503 55 2 0 0.754 47 2 1 0.255 43 2 1 0.506 57 2 1 0.757 26 5 0 0.258 27 5 0 0.509 28 5 0 0.7510 29 5 1 0.2511 22 5 1 0.5012 29 5 1 0.7513 19 7 0 0.2514 11 7 0 0.5015 14 7 0 0.7516 23 7 1 0.2517 20 7 1 0.5018 22 7 1 0.7519 13 10 0 0.2520 8 10 0 0.5021 3 10 0 0.7522 27 10 1 0.2523 26 10 1 0.5024 5 10 1 0.75一、摘要在农某医药公司为了掌握一种新止痛药的疗效，设计了一个药物实验，通过观测病人性别、血压和用药剂量与病痛时间的关系，预测服药后病痛明显减轻的时间。
我们运用数学统计工具m i n i t a b软件，对用药剂量，性别和血压组别与病痛减轻时间之间的数据进行深层次地处理并加以讨论概率值P （是否<0.05）和拟合度R -S q 的值是否更大（越大，说明模型越好）。
湖水温度变化问题1摘要夏季湖水温度有明显的正温层现象，8月份最高达22．3℃，平均为16℃；水的下层温度较低，平均水温为9．5℃，最低为6℃．秋季因湖区多风而发生湖水搅动，使水温分层温度现象基本消失，冬季湖面结冰，湖水温度出现逆温层现象。
特别近几年来全球变暖越来越严重，这对夏季时湖水的温度的变化也照成了一定的影响，使得湖水照成水文变化异常的现象，影响了河中生物的生存与繁衍。
使得水层上下循环不畅，造成下层水域缺氧，导致水生鱼类的死亡。
论文利用数学建模理念和MATLAB软件对水温的变化与分布进行了分析和评论。
关键词：分层，多项式拟合，湖水温度，求导。
2 概述2.1 问题重述湖水在夏天会出现分层现象，其特点为接近湖面的水温度较高，越往下温度越低。
这种上热下冷的现象影响了水的对流和混合过程，使得下层水域缺氧，导致水生鱼类的死亡。
下面是某个湖的观测数据。
表1-1 湖水观测数据深度，m 0 2.3 4.9 9.1 13.7 18.3 22.9 27.2温度，°C 22.8 22.8 22.8 20.6 13.9 11.7 11.1 11.1求解:1．湖水在10m处的温度是多少？2．湖水在什么深度温度变化最大？2.2 基本假设针对以上问题，对于湖水温度的模型可以做出如下的假设：1.取同一时刻不同温度的水温，所以假设湖的温度不随时间变化。
2.水层之间的温度不相互影响。
3.湖水的温度与湖水内部的流动状态无关。
4.湖水地步平坦，无沟壑、无起伏。
5.湖水的深度决定了湖水的温度状况。
2.3 分析与建立模型这道湖水温度变化模型问题主要研究的是湖水的温度会随这深度的不同而呈现出一定的规律。
但模型中只给出了温度与深度相关的有限时间数据，由此想到可能要用到插值和多项拟合的方法来求解该模型。
假设湖水深度是温度的连续函数，其中一组统计数据为表所示：表3—1为湖水观测数据深度，m 0 2.3 4.9 9.1 13.7 18.3 22.9 27.2温度，°C22.8 22.8 22.8 20.6 13.9 11.7 11.1 11.12.4 符号说明h: 湖水深度,单位为m；T: 在h下的湖水温度,单位为°C；T=T(h)：湖水深度的函数； e ：温度的相对误差 2.5 模型求解遇到这种数据表格问题，如果我们仅凭眼睛观察，很难看到其中的规律，也就更难写出有效的数学表达式从而建立数学模型。
将所给数据作图，运用MATLAB 软件做出图形，分别用x,h 代表湖水的深度，用y 代表湖水温度，操作的命令为：x=[0,2.3,4.9,9.1,13.7,18.3,22.9,27.2]y=[22.8,22.8,22.8,20.6,13.9,11.7,11.1,11.1] A=polyfit(x,y,2) Z=polyval(A,x) plot(x,Z)此时拟合出 T=0.0091x2-0.7803x+24.5390 ， 图表如下：图5—1 二次拟合曲线05101520253010152025xZ二次拟合曲线表5—1深度，h 0 2.3 4.9 9.1 13.7 18.7 22.9 27.2 真实值，T 22.8 22.8 22.8 20.6 13.9 11.7 11.1 11.1 模拟值，z 24.5390 22.7924 20.9339 18.1914 15.5558 13.3051 11.4393 10.0431相对误差，e0.07630.00030.08180.11690.11910.13720.03060.0952这个二次拟合的结果与实际情况差距较大所以用三次拟合 h=[0,2.3,4.9,9.1,13.7,18.3,22.9,27.2];y=[22.8,22.8,22.8,20.6,13.9,11.7,11.1,11.1]; A=polyfit(h,y,3) Z=polyval(A,h)plot(h,Z)此时拟合出 T=0.0027h3-0.1000h2+0.3277h+22.8764 图表如下：图5—2三次拟合曲线510152025301012141618202224hZ三次拟合曲线表5—2深度，h 0 2.3 4.9 9.1 13.7 18.7 22.9 27.2 真实值，T22.822.8 22.8 20.6 13.9 11.7 11.1 11.1 模拟值，z 22.8764 23.1335 22.3949 19.5891 15.4637 11.7538 10.0204 11.5681 相对误差，e0.0034 0.01460.01780.04910.11250.00460.09730.0422通过比较这时的模拟值与真实值相差不大 1）当h=10时，T=18.85342）当导数处在最大值时温度变化最大 h=12.34时温度变化最大 3 结论3.1 应用与推广湖泊热量平衡 指在一定时段内，湖水收入的热量与支出热量之差等于湖水蓄热变化量。
一般可用下列热量平衡方程式表示：Sc+Sa-Sl±Sk±Sz±Sd+Sy -Sy'±Sx±Sz±Su -Su'+Sg±△S=0式中：Sc 为湖水吸收的太阳短波辐射；Sa 为湖水吸收的大气逆辐射；Sl 为湖水长波辐射耗热量；Sk 为湖水与大气交换的热量；Sz 为蒸发耗热或凝结吸热；Sd 为湖底与湖水的热交换量；Sy 为支流或从水源带来的热量；S'y 为地面径流和地下径流带走的热量；Sx 为降雨带来的热量或降雪融化消耗的热量；S'z 为被蒸发的水带走的热量或随水汽凝结而带入的热量；Su 为湖水结冰放出的热量或融冰吸收的热量；S'u 是随水流流进的冰块融化的耗热量；Sg 为因机械能消耗而损失的热量；△S 为湖水蓄热变量。
而由生物化学过程发生的热量；由地球内部传给湖水的热量，以及由湖岸反射的总太阳辐射等由于数值太小，通常不予考虑。
式中各项对不同时期各种类型湖泊所起的作用差别很大，有的完全没有必要计算，根据对湖泊具体情况的分析研究，可使热量平衡方程式进一步简化。
热平衡要素的单位，一般热量以卡、千卡计、热通量以卡/厘米2²日、或卡/厘米2²年计。
采用水文气象学有关方法或经验公式可推求热量平衡各要素的数值。
湖温指湖水温度。
是湖水和周围地理环境之间热交换的综合反映。
太阳辐射、长波有效辐射、水面与大气的热交换、水面蒸发、湖底状况、补给水源、涡动、对流混合作用、湖泊的形态及其测量特征以及湖泊所在地理纬度等都是影响湖温及其变化的重要因素。
湖水逆温层指湖温随水深增加而升高的分布形式。
即湖水温度的垂直梯度为正值，上层温度低，下层水温高，但不高于4℃，这种分布，称为逆温层。
呈逆温分布的湖水，稳定性较差，一旦增温即能引起涡动和混合。
其分布多出现在寒带或高山、高原地区的湖泊。
温带湖唯冬季时才呈逆温分布。
湖水同温层湖温随水深增加而不发生升降的分布形式。
即湖水水温垂直梯度等于零，上下层水温完全相同，称为同温层。
在温带和寒温带的湖泊，这种分布多发生在春秋时期；寒带和高山地区的湖泊有的春夏两季也可出现短期的同温层。
同温层的温度和出现时间，取决于气象条件、湖水下层的温度和水深。
如果气象条件相同，湖水下层温度越高、水深越小，同温层就出现得越早，且温度较高。
3.2 模型优缺点（1）运用统计学方法对湖水温度问题进行了模型的建立和求解，解决了一个实际问题，也是人们对水温有了进一步的了解。
（2）使用 Matlab软件对本问题进行了进一步的解答，使得所得结论方便快捷，又有很高准确度。
（3）由于天气变化早晚温差对水温的变化影响较大，而且各层水温之间也有相互影响，所以我们所得出的结果也有一定的局限性，但由于本人能力见识和知识有限，只能得出这一个结果，有一定的局限性。
3.3 心得体会这学期学习了数学建模训练，使我感触良多：它所教给我们的不单是一些数学方面的知识，更多的其实是综合能力的培养、锻炼与提高。
它培养了我们全面、多角度考虑问题的能力，使我们的逻辑推理能力和量化分析能力得到很好的锻炼和提高。
它还让我了解了多种数学软件，以及运用数学软件对模型进行求解。
数学模型主要是将现实对象的信息加以翻译，归纳的产物。
通过对数学模型的假设、求解、验证，得到数学上的解答，再经过翻译回到现实对象，给出分析、决策的结果。
其实，数学建模对我们来说并不陌生，在我们的日常生活和工作中，经常会用到有关建模的概念。
而在学习数学建模训练以前，我们面对这些问题时，解决它的方法往往是一种习惯性的思维方式，只知道该这样做，却不很清楚为什么会这样做，现在，我们这种陈旧的思考方式己经在被数学建模训练中培养出的多角度、层次分明、从本质上区分问题的新颖多维的思考方式所替代。
这种凝聚了许多优秀方法为一体的思考方式一旦被你把握，它就转化成了你自身的素质，不仅在你以后的学习工作中继续发挥作用，也为你的成长道路印下了闪亮的一页。
通过学习数学建模训练，对我的收益不逊于以前所学的文化知识，使我终生难忘。
而且，我觉得数学建模活动本身就是教学方法改革的一种探索，它打破常规的那种老师台上讲，学生听，一味钻研课本的传统模式，而采取提出问题，课堂讨论，带着问题去学习、不固定于基本教材，不拘泥于某种方法，激发学生的多种思维，增强其学习主动性，培养学生独立思考，积极思维的特性，这样有利于学生根据自己的特点把握所学知识，形成自己的学习机制，逐步培养很强的自学能力和分析、解决新问题的能力。
这对于我们以后所从事的教育工作也是一个很好的启发。
总之，“一份耕耘，一份收获”。
作为一名数学专业的学生，我深刻地感到了自己在程序的编制和软件应用以及自学能力，有了很大的提高，并将对我今后的专业学习有很大的帮助。
想到这里，我不由得被老师的良苦用心所感动，为我们创造了如此优越的学习条件，处处为学子着想。
因此，在今后的学习中，我会保持这种学习的劲头，刻苦努力，争取以更优异的成绩。
4 参考文献[1] 符号计算系统Mathematica教程张韵华编著北京：科学出版社，2001[2] 数学建模实验周义仓，赫孝良编西安：西安交通大学出版社，1999[3]数学建模案例分析白其峥主编北京：海洋出版社，2000[4]数学建模案例精选朱道元等编著北京：科学出版社，2003[5]数学建模导论陈理荣主编北京：北京邮电大学出版社，1999[6]数学建模：原理与方法蔡锁章主编北京：海洋出版社，2000[7]数学建模的理论与实践吴翊，吴孟达，成礼智编著长沙：国防科技大学出版社，1999附录：附录A 水深与温度二次拟合程序x=[0,2.3,4.9,9.1,13.7,18.3,22.9,27.2];y=[22.8,22.8,22.8,20.6,13.9,11.7,11.1,11.1] ;A=polyfit(x,y,2);AZ=polyval(A,x);Zplot(x,Z) ;xlabel('x'),ylabel('Z'),title('二次拟合曲线');e=((abs(y)>1e-3).*abs(Z-y))./(y+eps) ;eA =0.0091 -0.7803 24.5390Z =24.5390 22.7924 20.9339 18.1914 15.5558 13.3051 11.439310.0431e =0.0763 0.0003 0.0818 0.1169 0.1191 0.1372 0.03060.095205101520253010152025xZ二次拟合曲线附录B 水深与温度三次拟合程序h=[0,2.3,4.9,9.1,13.7,18.3,22.9,27.2];y=[22.8,22.8,22.8,20.6,13.9,11.7,11.1,11.1]; A=polyfit(h,y,3) ; AZ=polyval(A,h) ; Zplot(h,Z) ; tle('三次拟合曲线');e=((abs(y)>1e-3).*abs(Z-y))./(y+eps) ; xlabel('h'),ylabel('Z'),ti e A =0.0027 -0.1000 0.3277 22.8764 Z =22.8764 23.1335 22.3949 19.5891 15.4637 11.7538 10.0204 11.5681 e =0.0034 0.0146 0.0178 0.0491 0.1125 0.0046 0.0973 0.0422510152025301012141618202224hZ三次拟合曲线附录C 当h=10时，温度TA =[0.0027 -0.1000 0.3277 22.8764]; h=10;T=polyval(A,h); T T =18.8534。
