第二章 弗雷格：现代逻辑之父 - 复旦大学精品课程

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逻辑的类型
Susan Haack Philosophy of Logics 列出的逻辑的范围
Traditional Logic 三段论 Classical Logic 二值命题、谓词演算（狭义数理逻辑） Extended Logics 模态、时态、规范、认知、择优、祈使、问句逻辑 Deviate Logics 多值、直觉、量子、自由逻辑 Inductive Logics 归纳逻辑
奠定了基础。由此逻辑学发展进入黄金时代。
现代逻辑学已从单一学科逐步发展成为理论严密、分支众多、应 用
广泛的学科群，择其要者有数理逻辑、哲学逻辑、自然语言逻辑、概 率逻辑、人工智能逻辑、量子逻辑、价值逻辑以及逻辑学与计算 机 科学、认知科学的交叉研究。
联合国教科文组织把逻辑学与数学、天文学和天体物理学、地球科 学和空间科学、物理学、化学、生命科学并列为七大基础学科；
各种具体思维形式中所隐含的最一般的、共同的东西。
例如： ⑴所有的金属都是导电的。 ⑵所有的人都是会死的。 ⑶所有的犯罪行为都是有害社会的。
所有的S是P 再如： ⑴只有年满18岁，才有选举权。 ⑵该合同只有您亲自签字，才能生效。
只有p，才q
B
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又如：
⑴ 所有的金属都是导电的， 水银是金属； 所以，水银也是导电的。
第九章 形式逻辑的基本规律
第十章 论证∶证明与反驳
B
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第一章 绪论
“逻辑”最早可追溯到希腊词（λσγοε逻各斯）， 后英译为logos、其复数形式是logic。原为多义 词∶一般的规律和原则；说明、解释、论证；理 性、推理、抽象理论；尺度、关系、比率；价值 等等。古罗马的西塞罗正式使用“逻辑”一词表 示包括逻辑学和修辞学的科学。

本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==弗雷格简介篇一：弗雷格的分析哲学弗雷格的分析哲学摘要：弗雷格是上世纪著名的数学家，逻辑学家，人们经常会忽略掉他哲学家的身份。

作为分析哲学的奠基者和创始人，虽然它本身的研究最终没有走向分析哲学，但是，他的思想却整整影响了一代哲学家的思想。

他对语言的分析使得罗素、维特根斯坦和卡尔纳普的哲学家最终走向了分析哲学。

而他本身的分析哲学研究也成为了后世哲学家们首先研究的对象。

关键字：分析哲学、语言、指称第一部分：简单介绍分析哲学分析哲学是20世纪西方哲学中的主要思潮之一，发生于上世纪初的英国剑桥，上世纪中叶以后在美国等西方国家流传，在英语国家哲学界长期居主导地位，上世纪后半叶开始走向衰落。

分析哲学的共同特征：1、分析的方法。

分析哲学家都关心如何把符合的东西分解为它们的组成部分。

2、反心理主义。

分析哲学的一个重要成就就是把逻辑从心理学和认识论中分离出来。

3、抛弃形而上学。

分析哲学的一个显著特征就是反对形而上学，反对先天综合真理的可理解性，否认纯理智能单独获得关于实在的知识。

4、语言分析的重要性。

对语言表达式意义的描述和解释，是分析哲学的首要任务，也是分析哲学的标志，因而，“分析哲学”通常也被称做“语言分析哲学”。

形成于本世纪初的西方分析哲学，是与西方传统哲学的大决裂。

哲学的基础和开端不再是传统哲学的认识论，而是现代诞生的数理逻辑；哲学研究的方法不再是对个人感知的心理分析，而是具有客观性和形式特征的逻辑分析；逻辑不再被看作是人类理性思维的基本能力，而被奉为哲学发展的真正楷模。

分析哲学是所有注重语言问题的哲学学派中最大的也是最为连贯的流派。

这个流派的独特信念是：语言哲学是其他所有哲学的基础。

分析哲学总是以某种特殊的方式谈论语言，认为对语言的结构、形式和逻辑的研究，这在哲学上是根本的研究。

成的世界。主客、心物、灵肉的分裂使人要么沦落为一架没有血肉、更
没有灵魂的机器，要么成为形而上学体系中的一个环节，文艺复兴所倡
导的人的自由、尊严和全面发展消失不见了，近代西方哲学转到了它过 去所反对的东西方面。
•
近代西方哲学之走向终结既是一种根本性的变更，又是一种自然的发
展。从笛卡儿（在一定程度上可以推前到文艺复兴）到黑格尔的近代西
目录
• 第十三章 哲学人类学和人类文化哲学 • 第一节 哲学人类学概况 • 第二节 舍勒和哲学人类学的创立 • 第三节 哲学人类学的几种新形态 • 第四节 卡西尔的人类文化哲学
目录
• 第十四章 结构主义与后结构主义 • 第一节 结构主义与后结构主义概况 • 第二节 结构主义的语言学模式 • 第三节 列维－斯特劳斯的结构主义社会理论 • 第四节 阿尔都塞的“马克思主义”结构主义 • 第五节 拉康的结构主义精神分析学说 • 第六节 发生学结构主义 • 第七节 巴尔特结构消融论与本文批判论 • 第八节 德里达的结构主义 • 第九节 福柯的后结构主义
目录
• 第十八章 当代西方科学哲学 • 第一节 波普尔的朴素否证论 • 第二节 拉卡托斯的精致否证主义 • 第三节 历史主义学派的兴起 • 第四节 费耶阿本德的多元方法论和相对主义 • 第五节 劳丹与历史主义尾声 • 第六节 科学实在论 • 第七节 科学实在论与反实在论之争
目录
• 第十九章 现代西方宗教哲学 • 第一节 现代西方宗教哲学概况 • 第二节 马利坦与新托马斯主义 • 第三节 鲍恩与美国人格主义 • 第四节 穆尼埃与法国人格主义 • 第五节 蒂利希与新正统主义神学 • 第十二章 当代西方哲学的发展趋势与后现代主义 • 第一节 当前西方哲学发展的主要倾向 • 第二节 当代后现代主义思潮的兴起及其基本倾向 • 第三节 利奥塔对“后现代状况”的描述 • 第四节 罗蒂的新实用主义与后现代文化 • 第五节 当代后现代主义对现代西方哲学的继承和超越 • 第六节 后现代主义与当代哲学的走向

排中律（Law of Excluded Middle ）：在同一个思维过程中，不能
同时否定两个相互反对的命题。 形式： A或非A p∨﹁p
普通逻辑学基本知识
逻辑基本规律
1. 析取定义律： (p∨q ) ↔ ﹁(﹁ p∧﹁ q ) 2. 合取定义律： (p∧q ) ↔ ﹁(﹁ p∨﹁ q ) 3. 德摩根律： ﹁ (p∧q ) ↔ (﹁ p∨﹁ q ) ﹁ (p∨ q ) ↔ (﹁ p∧ ﹁ q ) 4. 蕴涵定义律： (p →q ) ↔ (﹁p∨q) 5. 否定蕴涵律： ﹁ (p →q ) ↔ (p∧﹁q) 6. 逆蕴涵定义律： (p ←q ) ↔ (p∨﹁q) 7. 否定逆蕴涵律： ﹁ (p ←q ) ↔ (﹁p∧q) 8. 蕴涵逆蕴涵交换律： (p →q ) ↔ (q ← p ) (p ←q ) ↔ (﹁ p → ﹁ q ) 9. 等值定义律： (p ↔q ) ↔ ((p∧q )∨(﹁p∧﹁q)) (p ↔q ) ↔ ( p →q )∧(p ←q) 10. 否定等值律： ﹁ (p ↔q ) ↔ ((p∧﹁ q )∨(﹁p∧q))
无效式
联言推理
组合式： p，q├ p∧q
选言推理
否定肯定式： p∨q , ﹁p├ q p ∨ q ∨ r, ﹁ q ├ p ∨ r
附加律：p├ p∨q p∨ q├ p∨ q∨ r
肯定否定式
普通逻辑学基本知识
复合命题推理的有效式
类 型
充分条件假言推理
有效式
肯定前件式： p→q , p├ q 否定后件式： p→q , ﹁q├ ﹁p
普通逻辑学基本知识
逻辑基本规律
检验： 4. 蕴涵定义律：
5. 否定蕴涵律：
(p →q ) ↔ (﹁p∨q)

英国哲学家穆勒提出了探求因果联系的五种方法，也就 是“穆勒五法”。
2013年7月31日星期三 24
逻辑学的现代概况
17世纪末德国数学家、哲学家莱布尼 茨提出把逻辑推理变成数学演算的思想。 英国逻辑学家汉密尔顿创立了谓项量 化理论，使逻辑学向形式化迈出了新的 一步。 英国逻辑学家布尔建立了“逻辑代 数”，首先实现莱布尼兹的设想。 德国数学家、逻辑学家弗雷格较严格 的构建了一个逻辑演算系统。 英国著名的哲学家、逻辑学家罗素建立了谓词演算系统。 罗素和怀特海在《数学原理》中总结了前人的成果，使 数理逻辑成为一个新学科。
2、学习逻辑学，有助于培养与提高理论素养
在学习型社会，每个人都应提高其自身的理论素养， 理论素养首要的是哲学素养。学习逻辑学，可以培养我们 的哲学素养，完善我们的知识结构，提高我们的文化素质。
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逻辑学的作用
3、学习逻辑学，有助于培养和提高科学研究能力
科学研究需要理论素养，需要较强的认知能力，尤其需 要创新思维与创新能力，需要科学的方法和工具。逻辑学所 提供的一系列理论、规律、方法，可以提高我们的认知能力， 使我们的思维更加敏捷，也给我们提供了科学研究的工具， 促进知识创新能力的提高。
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传统逻辑的发展——西方逻辑学早期状况
英国哲学家培根系统地总结和 研究了实验科学方法，奠定了归 纳逻辑的基础并使之蓬勃发展。 其著作《新工具》主要内容：
1、提出了整理、分析、比较等科学归纳 的“三表法” ： “本质和具有表” 、 “差异表” 、“程度表”或“比较表”。 2、提出了确定现象因果联系的方法，初 步建立了归纳推理的理论体系。
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传统逻辑
现代逻辑

数学史话L.G.弗雷格(L.G.Frege)是德国数学家、逻辑学家和哲学家.早年他在耶拿大学、弗雷格哥丁根大学学习数学、物理、化学和哲学，1873年获博士学位后在母校耶拿大学任教，直至退休.他是数理逻辑和分析哲学的奠基人，主要著作有《算术基础》《涵义与指称》《概念语言》《算术的基本规律》1~2卷(以下简称《基本规律》)等.弗雷格弗雷格首先是作为一位数学家和逻辑学家而闻名于世的.他在数学上的主要成就是使自C.F.高斯(C.F.Gauss)以来所建立的数学体系更加精确和完善，确立了算术演算的基本规则.他第一个建立了初步自足的命词演算系统和量词理论，并且首次提供了现代意义下的数理逻辑的一个体系，因而成为数理逻辑的奠基人.他还提出数学可以化归为逻辑的思想，成为逻辑主义的创始人.弗雷格还是一位杰出的哲学家.他的绝大部分著作都具有明显的哲学特征.弗雷格对哲学的重新规定，标志着当代西方分析哲学的开端.一、建立了逻辑演算体系弗雷格主要从事纯逻辑的研究.他用数学方法研究逻辑问题，其研究成果总结在1879年出版的《概念语言》中.18世纪德国哲学家A.特伦德伦堡(A.Tren⁃delenburg)的著作对弗雷格有较大的影响.通过研究特伦德伦堡的工作，弗雷格了解到G.W.莱布尼茨(G.W.Leibniz)关于逻辑语言的观点，并追随特伦德伦堡，把他的逻辑符号系统称作“概念语言”.经过5年的精心研究，弗雷格完成了一部划时代的著作——《概念语言》.在这本书里，弗雷格把从R.H.洛采(R.H.Lotze)和特伦德伦堡，以及从莱布尼茨和I.康德（I.Kant ）那里得到的观点，变成了一种全新的逻辑.这本不足80页的书是弗雷格的不朽之作.弗雷格在此建立的逻辑有效地终结了亚里士多德逻辑两千多年来一直占据的统治地位，完成了始于几百年前G.伽利略(G.Galilei)破除亚里士多德物理学的进程.在《概念语言》中，弗雷格创造了一种表意的语言，即“纯粹思想的语言”.正如他在这本书的副标题中所说——它可以使我们完全精确地表达判断的概念内涵.他觉得日常语言是表达严密思想的障碍.当所表达的关系越复杂时，日常语言就越不能满足要求.因此他创造了这种概念语言.利用这种语言，弗雷格成功地构造了一个严格的逻辑演算体系.下面简要介绍一下弗雷格逻辑演算的内容.1.弗雷格严格区别了命题的表达和断定.他引进断定符号“├”.用“├┌”表示“┌是被断定的”，将垂直短线“｜”称为判断短线、水平短线“—”称为内容短线.“—┌”是一个整体，它只表达可断定的内容，即命题的表达.而“├┌”才表示命题的断定.如“├┌”表示“不同的磁极相互吸引”这一断言，而“—┌”只是表达了不同磁极相互吸引这一思想.2.弗雷格明确提出真值蕴涵的思想，并指出它与日常语言的区别.他采用否定和蕴涵作为基本的逻辑联结词，用“┬┌”表示“非┌”.符号“△”表示“△蕴含┌”.他列举了┌和△的四种可能的真值组合：(1)┌肯定，△肯定；(2)┌肯定，△否定；(3)┌否定，△肯定；(4)┌否定，△否定.弗雷格说，当┌为真时，△蕴含┌常可被断定，在此情形下，△可以是任一命题，其具体内容完全无所谓.┌和△不必有因果关系，与日常语言中的“如果……则”……不同.数理逻辑的创始人杜瑞芝56数学史话数学史话2是属于概念“同于0或同于1”的数；3是属于概念“同于0或同于1或同于2……可见，1在自然数序列中是0然数序列中是1的直接后继，等等.事实上，弗雷格所用到的“一一对应”尔所谓的集合的“等价”意义是一样的，他的数与康托尔理论中集合的“势”或的.两个概念同数，就是两个集合等价.概念等数”的外延，就是与集合F集合.类的类.(1)合.(2)0=df·｛^｝(空集合的单元集)1=df·｛0｝，2=df·｛0，1｝，3=df·｛0，1，2｝.把等价集合的集合m(m)(即n)，Φ(m)中的每一个集合是由在m个集合加上一个新分子而得到.由此可见，自然序列中的每一个数，后继的数.这样，自然数就由0康托尔在1884年也给出数的定义，义比康托尔的更为精确.认为，借助于上述定义，逻辑的概念；逻辑得到建立，这样，算术理论就被三、进一步完善逻辑演算系统《基本规律》是弗雷格的另一部著作.逻辑的原则是完全可靠的，学“就被固定在一个永恒的基础上了.”1893年，他出版了《基本规律》第一卷，的基础》的理论的严谨发展，书中改进了符号系统，提出了不同的公理，从《概念语言》到《基本规律》，个主要变化：(1)这一概念；(2)区分了意义的两个方面，即义”；(3)明确提出了“第一层函项”和一层函项就是以前所定义的函项，其变目是对象，第二层函项就是函项的函项，其变目是函项，例如在Mβ(F(β))中，Mβ就是第二层函项，其变目是F.弗雷格还把概念分为第一层概念和第二层概念.这些逻辑上的变化在《基本规律》第一卷之前的5篇文章中就已经提出并作了解释.弗雷格在《基本规律》第一卷中建立了另一个逻辑系统——二阶谓词演算，并提出了新的公理.他用‘xF(x)代表F(x)的值域，例如，若F(x)表达“x是人”，则它的值域‘xF(x)就表达“人类”.他还引进代表定冠词的函项符号\x.如\xF(x)，读为“那个具有性质F的x”.在这个新系统中，除分离规则和代入规则之外，弗雷格还把原来系统的一些公理和定理作为新的推理规则.在这一系统中处理了命题演算、谓词演算、类理论和关系理论，更重要的是进行了推导算术的工作.《基本规律》第一卷出版后，再次受到冷遇.然而，弗雷格并没有放弃自己的目标，他继续撰写《基本规律》第二卷，其中主要论述实数的理论，并用较多的篇幅批评当时流行的观点.但是，弗雷格并没有完成他的计划.因为要理解数学科学的性质，除了算术以外，还必须考虑无穷集合的理论——集合论.弗雷格没有深入研究集合论，没有接触到关于无穷集合的各种问题，特别是悖论问题.弗雷格在极度消沉中度过了长达十几年的时间.最初，他相信能有补救的办法使他的系统避免矛盾.他首先提出一种设想：可能有一些概念没有相应的类.然后他用修改第Ⅴ公理的办法来阻止罗素悖论的衍生.但是，后来逻辑学家的工作证明，他所做的努力并不足以使他的系统避免不一致.他还打算论述集合论的逻辑悖论(1906).经过几年的努力之后，弗雷格似乎不那么相信能够找到解决矛盾的办法.虽然他没有公开放弃自己的主张，但也不再做进一步的努力.直到1918年，弗雷格才彻底放弃把算术化归为逻辑的一切希望，放弃了《基本规律》第三卷的写作计划.从此以后，他的研究兴趣仍在数学基础上，并很自然地转向几何学，提出了几何学是整个数学的基础的主张.弗雷格在1903年以后就很少再发表论著了.虽然弗雷格的逻辑主义纲领没有实现，但是他的独创性工作对数学和哲学的发展都产生了重要影响.他的成就在有生之年没有得到广泛的承认，在通过少数几位有洞察力的人的努力下，他的思想才逐渐得到理解，并最终得到了发展.58。

"* 文字 ) 中# 弗雷格曾用带 二 阶 量 词 的 公 式 代 换 函 数 或 谓 词 变 元 " 根 据 U 读 概 念 文 字) 第十 ? ? 0 ? 5在 (
章+ 一文中的详细论证 # 这种做法 等 价 于 使 用 了 完 整 的 二 阶 存 在 概 括 规 则 " 由 此 # 我 们 可 以 说# 弗雷格 ( 概念文字 ) 中的逻辑本质上是完整的二阶逻辑 # " 考虑到弗雷格对依赖于直观理由的 证 明 与 纯 粹 的 逻 辑 证 明 的 明 确 区 分 # 要 把 算 术 还 原 为 逻 辑# 除 了构造明晰的逻辑系统之外 # 数学归纳法也是不可避免的一个麻烦 # 因为它的成立似乎依赖于我们对自 然数序列的某种直观 # 而不仅仅依赖于逻辑推理 " 为了处理这个麻烦 # 弗雷格创造性地给出了一系列定 义# 使用这些定义 # 加上普通的逻辑规则 # 足以保证数学归纳法成立 # 而这正是他在 ( 概念文字 ) 第三部分 我们用现代的语言来简单地讨论弗雷格的这个想法 " 讨论的主要想法 " 下面 # 假设 V 是集合 K 上的一个二元关 系 # 我 们 可 直 观 上 确 定 一 个 新 的 二 元 关 系 V, # 使任给3 # /;K# 6# # 使V 且3 # * 我们把 V,3 / 当且仅当存在有穷多的 3 3 3 48&+ 3 3 #5 1 3 548#+ ## &# 4;K* 1 1 k# * # M3 4 M/ " V,3 / 成立的条件简称为 D 直观条件 + 通常 # 我们称关系 V, 是 V 的传递闭包 # 当 V,3 我们也说3 是 / 的 V 祖先 " 直观上 # / 成立时 # V,3 / 成立当且仅当有一条经过 3 且只通过有穷多点到达 / 的通路 " 考虑到 D 条件中有关键的 有穷 这个限制 条件 # 而一阶语言不能区分有穷与无穷 # 从而 D 条件 无 法 用一 阶 语 言 来 定 义 " 为 此 # 弗 雷 格 给 出 D条 件 * 进而也是 V,3 + 的一个二阶定义 ! / * * + * + + * 我们把定义式右边简称为 F形式条件+ " F Q F ; V,3 / MI ; ; FV F V 3 F; F / Q; Q S 其中 # * + 是说性质 ; 相对于关系 V 是一 个遗传 性质 " 这个 定义是 说 ! F Q ; F V F V,3 /当 Q ; Q 且仅当对任何的遗传性质 # 如果 3 的每一后继具有它 # 那么 / 就具有 " 也许我们会问 F 形式条件是否准确地刻画了 这 个 D 直 观 条 件 " 用 数 学 归 纳 法 # 我 们 可 以 论 证 D条 件 蕴含 F 条件 " 当 4M& 时 # 即V 那么显然有 F 条件成立 " 假设 4M6 时 # 3 /# D 条件蕴含 F 条件 " 当 4M 设有 3 使得 V 且3 # # 由归纳假设 # 对任何的遗传 6k# 时 # 3 3 3 3 3 #5 1 3 56+ ## &# 6# 6k# ;K# 1 1 k# * # M3 6k# M/ 性质 ;# 如果 3 的任意后继具有它 # 那么 3 而V 由 于考虑 的是遗 传性 质 # 那么自然3 3 3 6 就具有 # 6 6k# # 6k# * 即/ + 也具有 ;# 从而 F 条件也成立 " 注意 # 这里对遗 传性 质的条 件的 应用是 不可或缺的 # 或者说 # 我们 不能从 D 条件得到 ! * # 再 进 而 得 到 F条 件 " 再 考 虑 从 F条 件 是 否 蕴 含 D 条 件 " ;* F ; V 3 F ; F+ /+ 假设不存在有穷多的 3 + # 使得 V 且3 # " 考 虑 V,3 3 3 48& 3 3 #5 1 3 F 是一 548#+ ## &# 4;K* 1 1 k# * # M3 4 M/ 带有一个自由变元的二阶公式 # 由完整的概括规则有性质 ; 使得 * + # 可 以用简单 的逻辑 规则 ; F<V,3 F 来验证此性质也是遗传的 # 即! * + # 也 可 以 验 证 F* # 为此要得 Q G V,3 G V,3 G V 3 F V,3 F+ Q V,Q 到结论 # 我们只需要能够得到 V,3 那 么 我 们 显 然 是 循 环 论 证"为 F" 而如果说 V,3 F是 假 设 保 证 的# 了避免循环论证 # 我们似乎只能求助一些非形式的 说明或 含 糊 的 直 观 论 证 " 比 如 # 考虑& 从 3可 有 穷 步

弗雷格的语言哲学弗雷格是德国著名数学家、逻辑学家和哲学家，也是现代数理逻辑的创始人，同时也是语言哲学和分析哲学的奠基人。

弗雷格语言哲学的核心是意义理论，他的意义理论是由两部分组成的：关于意义的理论；关于指称的理论。

弗雷格明确地对两者进行了区别，这是他对语言哲学的一大贡献。

弗雷格希望他的理论主要服务于自然语言中的那些适于表达真或假的思想的语句。

这样的语句有两类：陈述句，以及某些以“是”或“不”为答案的疑问句。

这些语句不同于祈使句、感叹句以及不指望求得关于真相的信息的疑问句。

弗雷格的语言哲学不仅不是独立于他对数学基础的探索，而且完全可以说是这种探索的延伸。

弗雷格对日常语言的考察同样遵守他在探讨数学基础时使用的原则。

在《算学基础》中，弗雷格提出了三条基本原则。

一：“始终把心里的东西和逻辑的东西、主观的东西和客观的东西严格区分开来；二、绝不孤立地寻问一个词的意义，而只是在一个命题的上下文中寻问词的意义；三、绝不忘记概念和对象的区别。

”1、意义与指称理论1）意义理论概述弗雷格在研究日常语言的缺陷的同时创造了形式化的语言，使逻辑研究摆脱了束缚，并且作为语言哲学的奠基人，他为语言转向提供了许多基本概念，使得后来的研究能够自然而然的转向语言哲学。

弗雷格职业生涯可以1890年为界，将弗雷格的意义理论划分为早晚两个时期。

早期的理论主要是关于形式语言的，并没有太多探讨语言的意义。

晚期的理论才更多地是研究语言的意义，探讨指称和意义的差别，是对早期意义理论的继承与发展。

传统逻辑形式的日常语言存在含混性、多义性的问题，无法满足人们进行正确思维时要求的准确性条件，并且弗雷格认为“没有严格确定的推理形式的范围，以至无法将语言形式方面完美无误的进展与省略了中间步骤区别开来。

”因此，弗雷格产生了构造一种人工语言的想法，他希望这种语言“必然有逻辑关系的简单表达式，这些表达式限制在必要的数量之内，必然能够被人们简便而可靠地掌握。

这些形式必须适合于与内容最密切地结合在一起，同时必须力求简明，以便能都充分利用书写平面的二维广延达到描述的清晰。

．１一
弗雷格求真思想的宿迪
一、亚里士多德的逻辑观和逻辑真思想
１．１亚里士多德的逻辑观一一必然地得出
亚里士磐德是逻辑的刨始人，他的逻辑思想主要攘中体现在他的《工具论》中。 该书主要毅浆了《蓬踌籀》、《舞器簇》、《藏分辑篱》、《意分辑藉》、《诡辩篝》、《辩 谬篇》等六部名篇。在遮越著作中，姓熙士多德并没有使用“逻辑”这个词，渐使 用的术语是“分析”、“推理”或“三段论”。由于逻辑主要是与必然性的推理礴荧， 溺鼗我囊蓠惫讨论委墨士多德对“燕瑗”酌定义。德在毽篷《谂辫籀》耪《蓠努辑 篇》两部著作中有过明确的寝达。
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ａｒｉｓｔｏｔｌｅ：Ｆｒｅｇｅ；ｔｒｕｔｈ
引言
引言
无论是在哲学起源的古希腊，还是在各学科独立门庭的现代，从亚里士多德直 至弗雷格，哲学大师们都在重复着一个问题，即求真——这一哲学的永恒追求。求 真不仅是西方哲学史的主线，也是理性与智慧的集中体现。然而在现代逻辑哲学的 研究中，经常会见到“逻辑真”和“逻辑真理”两种不同的表述。因此在研究真理 问题方面，有必要对“真”和“真理”这两个概念做一个简要的表明。
首先，本文从介绍亚里士多德的真理观入手。他作为真理符合论的 代表，从传统认识论出发对于真理的定义和检验标准给出了明确的回答。 然而他提出的四谓词理论和建立的三段论演绎系统体现了现代逻辑的思 想，孕育了现代形式公理体系的萌芽。
其次，本文详细阐述了弗雷格的真理观。弗雷格继承了亚里士多德 传统逻辑的公理化思想，摒弃传统认识沦的内容，从语言出发，运用逻 辑分析方法对句子进行分析，在较完全的意义上建构了逻辑演算的理论 体系——一阶谓词演算系统和量词论，真正实现了逻辑数学化，迈出 了数理逻辑发展至关重要的一步。
“推理是一种论证，其中有些被设定为前提，另处的判断则必然她出它们发生。”

现代西方哲学课件
二、从《纯粹理性批判》到《概念文字》
1、康德《纯粹理性批判》的意义 2、康德之后到弗雷格之前的一些 关于康德问题的进一步讨论 3、弗雷格的《概念文字》 4、现代分析哲学
现代西方哲学课件
三、弗雷格的奠基性工作
1、《概念文字》和《算数基础》中 的思想
（1）意义和意谓 （2）三个原则 （3）概念和对象
现代西方哲学课件
分析哲学的起源及 弗雷格思想简介
第一小组：方晨阳 俸晓玲 杨长友 赵懿璇 曾瑜（按姓氏音序排序）
现代西方哲学课件
导言 分析哲学（Analynitic Philosophy）是20世纪西方哲学的 主要思潮之一，产生于19世纪末20世纪初的德国、英国 和奥地利，随后在美国及其他一些北美国家流传开来， 在英语国家哲学界占据主导地位达一个世纪之久，弗雷 格（Frege）罗素（Bertrand Rusell）等分析哲学的先驱 用现代逻辑为现代分析哲学的兴起奠定了基础，而讲求 分析与证明的方式来论述哲学，在西方哲学史上由来已 久，因此，要了解现代分析哲学的兴起，很有必要从分 析的源头说起。。。
2、弗雷格的奠基性地位的认识
现代西方哲学课件
结语

Bye
谢谢观看
现代西方哲学课件
今天我要讲的三个主题
一
从《逻辑学》到《纯粹理性批判》
二
三
从《纯粹理性批判》到《概念文字》 弗雷格的奠基性工作
现代西方哲学课件
一、从《逻辑学》到《纯粹理性批判》
1、亚里士多德和《逻辑学》 2、中世纪时期传统逻辑的进一步发展 3、唯名论和唯实论的争论 4、康德《纯粹理性批判》要解决的一 个问题 5、总结

《算术的基本规律》 （l卷 1893，2卷1903）

一 始终把心理的东西和逻辑的东西、主观 的东西和客观的东西严格区别开来 二 绝不孤立地寻问一个词的意义，而只在 一个命题的上下文中寻问词的意义


三 绝不忘记概念和对象的区别。
）
《论意义和指称》（1892）
赫尔曼· 卡尔· 朱利叶斯· 语法化理论检视谢弗 科目 解析几何，应用物理，代数分析，电报 及其他电子设备 久野菲舍尔康德（著名的哲学家）的批判哲学



区分逻辑的东西与心理的东西，客观的 东西与主观的东西。真理是客观的，非心 理主义的。概念、关系是抽象实体，作为 逻辑与数学的对象，保证了二者的客观性。 逻辑探讨证明的恰当性，由此数学才得以 成立。故两门科学应紧密结合，为哲学提 供起点。
弗雷格在在维斯马学习，研究，并于1869年毕业。 他的老师古斯塔夫阿道夫利奥也是一个诗人，在确 定弗雷格的未来科学事业扮演最重要的角色，鼓励 他继续他在耶拿大学的研究。

一八六九年弗雷格进入耶拿大学学习 一八七一转至哥廷根大学
一八七三年在哥廷根大学得到了他在数学 领域的哲学博士学位 一八七五年，他回到耶拿担任讲师，并于 一八七九成为助理教授 一八九六成为教授

在其生前近乎默默无闻没有在有生之年得 到广泛的赞誉只受到伯特兰· 罗素和路德维 希· 维特根斯坦和卡尔纳普的称赞。 二战后他的工作才在英语世界广为人知， 部分原因是一些哲学家和逻辑学家移居到 了美国——例如卡尔纳普，塔尔斯基，和哥 德尔那些了解尊敬弗雷格工作并将他的主 要著作翻译成英文的人


1879年，他被提升为该校有薪的特殊教授（相 当于副教授，但薪水很低）。
1896年，他被提升为该校荣誉普通教授（正教 授，但只是一个荣誉职位）。弗雷格从来没有 得到一个正常的有薪水的大学教授职位，而依 赖于从卡尔•泽司（Carl Zeiss）基金会获得的 资助过活，该基金是由艾比于1889年设立的。 艾比和泽司在耶拿的光学工业上密切合作，正 是这一工业的成功使弗雷格得以从事他的研究 工作。

《读书》新刊蔡天新：弗雷格、逻辑和真理编者按哥根廷大学是德国的数学圣地，先后诞生了高斯、黎曼和以希尔伯特为首的哥根廷数学学派，与这一传统相联系的还有哲学家胡塞尔，他在哥廷根担任了十六年的编外教授。

本文介绍另一位哥根廷数学博士弗雷格，他是逻辑学家、哲学家，享有“现代逻辑之父”“分析哲学之父”的美誉，也是语言哲学的奠基人，影响了罗素、维特根斯坦和卡纳普等人。

“一个好的数学家，至少是半个哲学家；一个好的哲学家，至少是半个数学家。

”弗雷格、逻辑和真理文 | 蔡天新（《读书》2022年7期新刊）岁月的流逝是最关键的评判师。

——大卫·休谟一、波罗的海的维斯马十九世纪以来，德国哥廷根大学便是一处数学圣地，那里产生了数学王子高斯和黎曼等彪炳史册的数学巨匠。

二十世纪初，菲利斯·克莱因和希尔伯特创建了哥廷根数学学派，使得世界数学中心从巴黎转移到了哥廷根。

在哥廷根成长的众多数学博士中，还有一位成为哲学大师，那便是弗雷德里希·路德维希·戈特洛布·弗雷格，他是逻辑学家、哲学家、数学家，被广泛认为是亚里士多德以来最伟大的逻辑学家，享有“现代逻辑之父”“分析哲学之父”的美誉，也是语言哲学的奠基人，对二十世纪哲学有着广泛而深刻的影响，甚至影响了胡塞尔、罗素、维特根斯坦等大哲学家以及卡纳普、奥斯汀、安斯康姆、维金斯等富有原创性的哲学家。

维斯马俯瞰（来源：namu.moe）一八四八年十一月八日，弗雷格出生在波罗的海港口城市维斯马（Wismar），比克莱因年长一岁。

维斯马的对岸是丹麦的哥本哈根和瑞典的马尔默，这座城市于一二六六年加入著名的“汉萨同盟”，十九世纪曾通过航运贸易繁荣一时。

如今，维斯马依旧是德国重要的货运港和渔港，同时拥有波罗的海沿岸最具哥特式风光的建筑群。

弗雷格的双亲都是教师，父亲亚历山大还在故乡与人合伙创办了一所女子高中，并担任校长。

亚历山大擅长数学，这一点对儿子有绝对的影响。

阅读书目
弗雷格：《算术基础》，商务印书馆，2019 弗雷格：《弗雷格哲学论著选辑》，商务印书馆 ，1994 王路：《弗雷格思想研究》，社会科学文献出版 社，2019 Anthony Kenny, Frege: an Introduction to the Founder of Modern Analytic Philosophy, Blackwell Publishers, 2000 Richard L. Mendelsohn, The Philosophy of Gottlob Frege, Cambridge University Press, 2019
晨星是行星 即“（）是行星”
情形二：“专名”是“专名”—— R (a, b)
晨星是金星 即“（）（）是相等的” 维特根斯坦《逻辑哲学论》3.323：在日常语言中 ，同一语词以不同方式进行指称，因而属于不同的 符号，或者两个以不同方式进行指称的语词在命题 中表面上却以相同的方式被使用，这些情况是极为 常见的。于是，“ist”（是）一词可用做系词，等 号和存在词。
义，意指或表示它的意谓；我们用一个符号表达它的意义
，表示它的意谓。 广义的专名（亚里士多德的老师，摹状词）；狭义的专名 （柏拉图）；定冠词引导的表达式就是专名 A的表象
A的意义：“‘A’这个表达的意义”
A的意谓：对象本身。存在论承诺：如果这样的意谓存
在。
问题：究竟什么是A的意义？
See you next week
忘学居
第五时期 1918 and 1923
第四时期 1893-1903
第三时期 1891-2
第二时期 1884
算术源于逻辑
《算术基础》 现代逻辑体系 《概念文字》 Funktion und Begriff Begriff und Gegenstand Sinn und Bedeutung

弗雷格杜瑞芝(大连理工大学)弗雷格，F．L．G．(Frege，Friedrich Ludwig Go-ttlob)1848年11月8日生于德国维斯马(Wismar)；1925年7月26日卒于巴德克莱茵(Bad Kleinen)．数学、逻辑学、哲学．弗雷格出生的年代正值德国民主革命开始．维斯马是一个远离德国政治中心的小商业城镇，革命风潮对这里影响很小．弗雷格出生在一个信奉路德教的中产阶级家庭，在血统上是混杂的(部分是德国的，部分是波兰的)．其父亚历山大·弗雷格(AlexanderFrege)开办了一所女子学校．他去世后这所学校就由他妻子来管理．1869年，母亲奥古斯特·弗雷格(Auguste Frege)送弗雷格到耶拿大学就读．当时弗雷格就把数学作为自己的主要兴趣，但也选修了化学、物理和哲学．他的老师——数学家、物理学家E．阿贝(Abbe)及时发现了他的才能，成为他毕生信念的支持者．在阿贝的帮助下，他离开耶拿，来到格丁根大学继续深造．1873年，在数学家E．谢林(Schering)的指导下，弗雷格以论文“论平面上虚影的几何图形”(Ueber eine geometrische Darstellung derim ginaren Gebilde in der Ebene)获得哲学博士学位．该论文通过对平面上虚影图形性质的讨论，阐明了几何学基于直觉的观点．他在格丁根还参加了著名哲学家R．H．洛采(Lotze)的讲座．洛采的逻辑观念，特别是他对纯逻辑的看法，对弗雷格逻辑思想的形成有着重要的影响．弗雷格在格丁根大学获得博士学位之后，又回到耶拿大学．在阿贝的帮助下，他于1874年以论文“基于量值概念外延的演算方法”(Rechungsmethoden，die sich auf eine Erweitung desGr ssenbegriffesgr nden)获得了无薪大学讲师的资格①．在这篇论文中，弗雷格提出了用于运算的量值概念，并断言算术真理产生于量值概念．1879年，弗雷格的《概念语言》问世之后，他又一次在阿贝的推荐下成为耶拿大学的编外教授．1896年成为荣誉教授．弗雷格在耶拿大学执教40余年，讲授过数学的各分支学科及有关的逻辑系统，举办过“概念符号”讲座，他一直致力于数学基础、数学哲学和逻辑理论的研究．1918年退休．弗雷格首先是作为一位数学家和逻辑学家而闻名于世的．他在数学上的主要成就，是使自C．F．高斯(Gauss)以来所建立的数学体系更精确和完善，确立了算术演算的基本规则．他第一个建立了初步自足的命词演算系统和量词理论，首次提供了现代意义下的数理逻辑的一个体系，因而成为数理逻辑的奠基人．他提出数学可以化归为逻辑的思想，成为逻辑主义的创始人．弗雷格还是一位杰出的哲学家．他的绝大部分著作都具有明显的哲学特征．他认为：“一个好的数学家，至少是半个哲学家；一个好的哲学家，至少是半个数学家．”他直接把传统哲学对思维内容和认识能力的探讨，转向对语言表达形式和语言内部框架的考虑．他认为对语言意义的分析，是哲学研究的主要任务．弗雷格对哲学任务的重新规定，标志着当代西方分析哲学的开端．因此他被誉为当代分析哲学的真正奠基者．弗雷格的主要著作有：《概念语言》、《算术的基础》、《函项与概念》(Function und Begriff，1891)、《论意义和所指》(ber Sinn und Bedeutung，1892)、《论概念和对象》(berBegriff und Gegenstand，1892)、《算术的基本规律》1—2卷(以下简称《基本规律》)．弗雷格的科学生涯大致可以分为五个时．在第一个时期，弗雷格主要从事纯逻辑的研究．其研究成果总结在1879年出版的《概念语言》中．用数学方法研究逻辑问题，一般认为是由G．W．莱布尼茨(Leibniz)提出的文字学设想开始．他提出过有关思维演算的思想．莱布尼茨的这种先驱性想法没有及时得到应有的发展．在淹没了一个世纪之后，19世纪英国的两位数学家A．德摩根(De Morgen)和G．布尔(Boole)用代数的方法建立了逻辑代数．但这种逻辑代数与亚里士多德(Ar-istotle)的形式逻辑本质上是相似的．在1874—1879年间，弗雷格攻读了布尔学派和一些哲学逻辑学家的著作．除上文提到的洛采外，18世纪德国哲学家A．特伦德伦堡(Trendelenburg)的著作对弗雷格也有较大的影响．通过特伦德伦堡的工作使弗雷格了解到莱布尼茨关于逻辑语言的观点．弗雷格还追随特伦德伦堡，把他的逻辑符号系统称作“概念语言”．弗雷格用心研究莱布尼茨和I．康德(Kant)的逻辑学和数学哲学方面的著作，有选择地接受了两位哲学家的思想．在弗雷格晚年，他是这样描述自己的研究动机的：“我开始是搞数学．在我看来，这门科学急需更好的基础：……语言逻辑的不完善对这种研究是一种障碍．我在《概念语言》中寻求弥补．所以，我就从数学转向了逻辑．”经过5年的沉思，弗雷格完成了一部划时代的著作——《概念语言》．在这本书里，弗雷格把从洛采和特伦德伦堡，以及从莱布尼茨和康德那里得到的观点，变成一种全新的逻辑．这本不足80页的小书是弗雷格的不朽之作．弗雷格在此建立的逻辑有效地终结了亚里士多德逻辑两千多年来一直占据的统治地位，完成了始于几百年前G．伽利略(Galilei)破除亚里士多德物理学的进程．在《概念语言》中，弗雷格创造了一种表意的语言，即“纯粹思想的语言”．正如他在这本书的副标题中所说——它可以使我们完全精确地表达判断的概念内涵．弗雷格认为，真理分为两种，一种真理的证明必须以经验事实为根据，例如物理学中的定理．另一种真理的证明似乎可以纯粹从逻辑规律出发．他认为算术命题就是属于后一种的．在探讨如何根据思维的逻辑规律经过推理以得到算术命题时，必须绝对严格，要防止未被查觉的直观因素渗入，因此必须使推理过程没有漏洞．他觉得日常语言是表达严密思想的障碍．当所表达的关系越复杂时，日常语言就越不能满足要求．因此他创造了这种概念语言．他说，用这种语言进行推理，最有利于觉察隐含的前提和有漏洞的步骤．这种语言和日常语言相比，就好像机械手和人手相比，或者像显微镜和肉眼相比一样．利用这种语言，弗雷格成功地构造了一个严格的逻辑演算体系．下面简要介绍一下弗雷格逻辑演算的内容．1．弗雷格严格区别了命题的表达和断定．他认为，我们只有能够表达一个思想，理解一个思想，才能对它加以断定．他引进断定符号“├”．“├┌”表示“┌是被断定的”．其中垂直短线“｜”称为判断短线，水平短线“—”称为内容短线．“—┌”是一个整体，它只表达可断定的内容，即命题的表达．而“├┌”才表示命题的断定．如“├┌”表示“不同的磁极相互吸引”这一断言，而“—┌”只是表达了不同磁极相互吸引这一思想，而对这一思想的正确性没有任何判断．2．弗雷格明确提出真值蕴涵的思想并指出它与日常语言的区别．他采用否定和蕴涵作为基本的逻辑联结词．他用小竖线“”放在内容短线下面表示否定．“┬┌”表示“非┌”．符号表示“△蕴涵┌”．他列举了┌和△的四种可能的真值组合：(1)┌肯定，△肯定；(2)┌肯定，△否定；(3)┌否定，△肯定；(4)┌否定，△否定．用符号“”表示以上第三种可能不实现而其余三个可能性中的每一个都可实现．弗雷格说，当┌为真时，△蕴含┌常可被断定，在此情形下，△可以是任一命题，其具体内容完全无所谓．┌和△不必有因果关系，与日常语言中的“如果……则”不同．3．弗雷格引进一个内容同一的符号．设┌和△为任意名称，即不一定是命题记号，他规定，“├(┌≡△)”的意思是“名称┌和名称△有相同的概念内容，使得┌总是能由△替换，反之亦然”．他还指出，由他的新符号所联结的名称不仅代表它们的内容而且代表名称自身．后来，他改用符号“=”，“=”不被看成两个名字之间的关系，而是看成名字的指称之间的关系．“=”用于专门的指称，相当于等词；用于命题的指称(真值)，则相当于现在的等值符号．4．弗雷格把数学中的函数概念引入逻辑演算，从而建立了量词的理论．他采用变目和函项两个术语，┌表示变目，记号Φ(┌)表达变目┌的一个不确定的函项．记号Ψ(┌，△)表达按顺序所取的两个变目┌和△的一个函项．假定如下一种函项：当它由变目填满时，它表达可能的判断内容．于是，“├Φ(┌)”读作“┌有性质Φ”，“├Ψ(┌，△)”读作“┌与△有关系Ψ”．弗雷格使用这种符号的主要优点是，它能够比普通语言所提供的方式更令人满意地表达一般性．在此基础上，弗雷格引进了全称量词和存在量词表示“不管怎样取函项的变目，函项总是一个事实”．即“凡a都是Φ．在这里，全称量词是基本概念，存在量词则通过全称量词而表达为它表达“至少有一个a是Φ”．5．弗雷格建立了9条公理，用现代的符号表示为：(1)├a→(b→a)，(2)├(c→(b→a))→((c→b)→(c→a))，(3)├(d→(b→a))→(b→(d→a))，(4)├(b→a)→(┐a→┐b)，(5)├┐┐a→a，(6)├a→┐┐a，(7)├(c=d)→(f(c)→f(d))，(8)├c=c，公理以外有四条变形规则：(2)代入规则，弗雷格使用了但没有严格地陈述．假定a并不在表达式Г中出现，而且a仅处于Φ(a)的变目空位中．a不在┌和△中出现，Φ(a)中的a只处于变目空位中．事实上，这条规则是第三条规则的推广．弗雷格在上述公理和规则的基础上，进行了大量的推演，成功地构造了一种基本自足的逻辑演算，从而给出了历史上第一个严格的关于逻辑规律的公理系统——现代的逻辑系统．它实质上包含了作为现代数理逻辑基础的两个演算系统——命题演算系统和一阶谓词演算系统．不幸的是，弗雷格这本划时代的小册子被数学家和哲学家们忽视了．他在《概念语言》中建立的新逻辑没有马上被人理解．其中使用复杂而陌生的符号来表达新奇的概念，确使读者望而生畏．德国数学家E．施罗德(Schrder)发表长篇文章，对该书进行全面批评．事实上，直到B．A．W．罗素(Russell)1901年开始发现弗雷格著作的价值之前，《概念语言》几乎没有读者．《概念语言》出版之后，弗雷格的创造生涯进入第二时期．在这一时期，弗雷格开始形成逻辑主义的观点．在最初几年，他由于自己的著作没有受到重视而大受挫折，没有发表任何作品．但他仍然在重新思考和深刻挖掘自己的哲学和数学观点，并逐渐形成了他的数学哲学的三个主要原则：第一，他反对在数学基础问题上的经验主义，否认数学来源的经验基础，强调数学真理的先天性；第二，他认为数学真理是客观的，这种客观性基于数学的非经验的基础．在他看来，客观性是思想的必要条件；第三，他主张一切数学最终都可化归为逻辑，数学概念可以定义为逻辑普遍要求的概念，数学公理可以从逻辑原则中得到证明．这第三条原则后来被罗素作为逻辑主义的基本主张而广为传播，弗雷格因此成为逻辑主义的创始人之一．弗雷格在《算术的基础》中力图作为逻辑的延展去建立数学．为此，首先要从逻辑推出算术．为使大家能够理解他的著作，他对自己的观点及关于数和算术所流行的各种哲学观点作了非形式的说明．然后他指出，要从逻辑推出算术，首先必须给出数和自然数的定义．弗雷格接受他的前辈的观点：所有大于1的自然数可由指出它们的前趋即用“2=1+1”，“3=2+1”一类等式来定义．但他认为，这些定义是不完全的，因为使用了“数1”和“加1”这两个未定义的概念．他考察了从欧几里得(Euclid)到G．康托尔(Cantor)以来的许多数学家的著作，发现关于数的定义是相当混乱的．他指出在此之前所见到的一切关于数的定义都含有基本的逻辑错误．他说：“数是什么？这是一个最根本的问题．如果我们对这个问题都不能做清楚的回答，岂不是一个笑话？”又说：“数学的本质就在于，一切能证明的都要证明，而不是通过归纳法来验证．因此，我们也应考虑如何来证明关于正整数的命题．”弗雷格发展了《概念语言》中关于数学序列的理论．在那里他用“遗传性”定义了“y属于从x开始的f-序列”和“y是x的f-后裔”，为自然数的定义和说明数学归纳法作了理论和技术上的准备．弗雷格给出的自然数的定义的核心在于使用了“一一对应”的概念：属于两个概念F和G 的对象借助于关系Φ一一对应，如果(1)每一个属于概念F的对象对于属于概念G的一个对象，有关系Φ；(2)对于属于概念G的每一个对象，存在一个属于概念F并与前者有关系Φ的对象；(3)对所有x，y和z而言，如果x对y和z有关系Φ，那么y和z就是同样的；(4)对所有x，y和z 而言，如果x和y对z有关系Φ，那么x和y就是同样的．弗雷格在此基础上构造了以下三个定义：(1)“概念F与概念G是等数的”与“存在一个关系Φ，使得属于概念F的对象与属于概念G的对象一一对应”其意义是相同的．(2)属于概念F的数是“与概念F等数”这一概念的外延．(3)“n是一个数”与“存在一个概念使得n是属于它的数”其意义是相同的．接着他又定义了“n在自然数序列中是m的直接后继”：“存在一个概念F和一个归于它的对象x，使得属于概念F的数是n，属于概念‘归于F但不同于x’的数是m”．这实质上是后继函数的定义．在这些工作的基础上，弗雷格取0作为数列的起点，提出如下定义：0是属于概念“不同于自身”的数，1是属于概念“同于0”的数，2是属于概念“同于0或同于1”的数，3是属于概念“同于0或同于1或同于2”的数，……可见，1在自然数序列中是0的直接后继，2在自然数序列中是1的直接后继，等等．事实上，弗雷格所用到的“一一对应”概念与康托尔所谓的集合的“等价”意义是一样的，弗雷格指出，他的数与康托尔理论中集合的“势”或“基数”是相同的．两个概念同数，就是两个集合等价．概念“与概念F 等数”的外延，就是与集合F等价的一切集合构成的集合．所以弗雷格实际上是把数定义为集合的集合，或类的类．利用康托尔的语言，概括弗雷格关于数的定义：(1)一个集合的基数是所有等价于它的集合的集合．(2)0=df·｛^｝(空集合的单元集)1=df·｛0｝2=df·｛0，1｝3=df·｛0，1，2｝弗雷格的后续函数的定义实际上是说：后续函数把等价集合的集合m 映射到一个新的集合的集合Φ(m)(即n)，Φ(m)中的每一个集合是由在m 中的某一个集合加上一个新分子而得到．由此可见，自然序列中的每一个数，有一个直接后继的数．这样，自然数就由0和后继函数而确定下来．有逻辑学家评论，弗雷格的这个定义系统是哲学技巧中极其卓越的成就．人们也很容易理解，为什么弗雷格认为他至少使得算术化归为逻辑是可能的．在《算术的基础》的最后几页，弗雷格指出，其他类型的数，也可以用类似的方式加以定义．实数和复数同样可以刻画为概念的外延．在《基本规律》的第二卷中，他阐明了这个方案是如何实施于实数的．康托尔在1884年也给出数的定义，但弗雷格的定义比康托尔的更为精确．弗雷格从逻辑出发定义了数和自然数，他对自然数的归纳定义也是对数学归纳法的最好说明．他认为，借助于上述定义，自然数的概念就被化归成了逻辑的概念；自然数的理论则可以借助于上述定义和逻辑得到建立，这样，算术理论就被“逻辑化”了．弗雷格在他的第三时期集中精力写作《基本规律》．原计划写三卷，实际上只完成两卷(1893，1903)．弗雷格准备在这部专著中，从逻辑出发去展开除了几何学以外的全部数学．他认为，逻辑的原则是完全可靠的，一旦完成了上述工作，数学“就被固定在一个永恒的基础上了．”1893年，出版了《基本规律》第一卷，它是《算术的基础》的理论的严谨发展，书中改进了《概念语言》符号系统，提出了不同的公理，阐述了高阶谓词演算．从《概念语言》到《基本规律》，弗雷格的逻辑发生了三个主要变化：(1)他在自己的系统中加上了函项的值域这一概念；(2)区分了意义的两个方面，即“所指”和“意义”；(3)更为严格地规定了与对象相对的函项的性质，明确提出了“第一层函项”和“第二层函项”的区别．第一层函项就是以前所定义的函项，其变目是对象，第二层函项就是函项的函项，其变目是函项，例如在Mβ(F(β))中，Mβ就是第二层函项，其变目是F．弗雷格还把概念分为第一层概念和第二层概念．这些逻辑上的变化在《基本规律》第一卷之前的5篇文章①中就已经提出并作了解释．弗雷格在《基本规律》第一卷中建立了另一个逻辑系统——二阶谓词演算，提出了新的公理．他用‘xF(x)代表F(x)的值域，例如，若F(x)表达“x是人”，则它的值域‘xF(x)就表达“人类”．他还引进代表定冠词的函项符号＼x．如＼’xF(x)读为“那个具有性质F的x”．用现在的符号表示弗雷格的新公理如下：在这个新系统中，除分离规则和代入规则之外，弗雷格还把原来系统的一些公理和定理作为新的推理规则．在这一系统中处理了命题演算，谓词演算，类理论和关系理论，更重要的是进行了推导算术的工作．《基本规律》第一卷出版后，再次受到冷遇．只有G．皮亚诺(Peano)在1895年作了评述，但他对这本书的内容没有足够的理解．这再一次使弗雷格深感痛苦．然而，弗雷格并没有放弃自己的目标，他继续撰写《基本规律》第二卷，其中主要论述实数的理论，并用较多的篇幅批评当时流行的观点．但是，弗雷格并没有完成他的计划．因为要理解数学科学的性质，除了算术以外，还必须考虑无穷集合的理论——集合论．弗雷格没有深入研究集合论，没有接触到关于无穷集合的各种问题，特别是悖论问题．1902年，正当弗雷格等待《基本规律》第二卷付印的时候，他收到了罗素6月16日写给他的信．信中首先称颂他的工作：“就我所知，您的工作是我们时代中最好的．”“在许多具体问题上，我发现您的著作都进行了讨论、区分和定义，这使其他逻辑学家的工作黯然失色．”具有讽刺意味的是，罗素的来信既标志着弗雷格的工作开始得到承认，也宣告了他的独创性工作的终结．因为罗素在他的信中接着写道：“只有在一点上我遇到了困难①，……由于下述矛盾：令W为不能论断自身的谓词的谓词，W可以论断自身吗？每种回答都隐含着它的否定①，因而人们必须得出，W不是一个谓词．同理，没有不包含自身的作为整体的类的类．由此我得到，在某种条件下，一个可定义的集合没有构成一个整体．”罗素当时并没有完全认识到他的发现是怎样严重地威协着弗雷格的逻辑主义纲领．但是，弗雷格本人毫无疑问地认识到这个矛盾的潜在致命力．他对罗素来信的反映迅速而强烈，他马上复信[15]：“您发现的矛盾引起了我极大的震惊，我几乎可以说是惊愕不已，因为它动摇了我建立算术基础的企图，……我的《基本规则》第二卷看来是有缺陷的．我无疑要补充一个附录，对您的发现作出论述．”在1903年，弗雷格出版了带有一个后记(写于1902年10月)的《基本规则》的第二卷．他在后记中不无悲哀地写道：“对于一个科学工作者来说，最不幸的事情莫过于：当他完成他的工作时，发现他的知识大厦的一块基石突然动摇了．正当本书的印刷接近完成之际，伯伦特·罗素先生给我的一封信使我陷入这种境地．这封信是关于我的公理V的问题．我本人从来没有掩盖这条公理缺乏其他公理所具有的并必为逻辑规律所正当要求的自明性．……成为问题的恰恰不是我建立算术的特殊方式，而是算术是否完全可能有一个逻辑基础．”弗雷格的第四时期是在极度消沉中度过的．这一时期长达十几年．最初，他相信能有补救的办法使他的系统避免矛盾．他首先提出一种设想：可能有一些概念没有相应的类．然后他用修改第Ⅴ公理的办法来阻止罗素悖论的衍生．但是，后来逻辑学家的工作证明，他所做的努力并不足以使他的系统避免不一致．他还打算论述集合论的逻辑悖论(1906)．经过几年的努力之后，弗雷格似乎不那么相信能够找到解决矛盾的办法．虽然他没有公开放弃自己的主张，但也不再做进一步的努力．至到1918年，弗雷格才彻底放弃把算术化归为逻辑的一切希望，放弃了《基本规律》第三卷的写作计划．从此以后，他又进入了新的研究时期．他的研究兴趣仍在数学基础上，并很自然地转向几何学，提出了几何学是整个数学的基础的主张．弗雷格在1903年以后发表的论著很少．虽然弗雷格的逻辑主义纲领没有实现，但是他的独创性工作对数学和哲学的发展都产生了重要影响．他的成就在有生之年没有得到广泛的承认，只是通过少数几位有洞察力的人的努力，他的思想才逐渐得到理解，并通过他们的工作得到发展．首先认识到弗雷格工作重要性的是罗素．罗素在他的《数学原理》(Principles of mathematics，1903)的附录中，对弗雷格的逻辑进行了深入细致的研究，对弗雷格的从《概念语言》到《基本规律》第一卷等论著作了广泛详尽的评论．罗素发展了弗雷格的思想，他和A．N．怀特海(Whitehead)在《数学原理》(Principia mathematica，1910)中精详论证，充分展开了逻辑主义纲领．书中可以看出弗雷格的明显影响，甚至罗素与弗雷格不同的观点也是受到弗雷格著作中难点的启示而提出的．罗素表示：“在逻辑分析问题上，我们主要是从弗雷格获得教益．”稍后，罗素的学生和朋友L．维特根斯坦(Wittgenstein)成为弗雷格的崇拜者．这位20世纪的著名思想家明确指出，他的哲学工作的两个来源是“弗雷格的巨著和我的朋友罗索的著作”．30年代末期，由弗雷格本人的学生L．卡尔纳普(Carnap)以及美国逻辑学家A．丘奇(Church)的倡导，弗雷格的逻辑理论，特别是关于意义和所指的学说重新引起人们的研究兴趣[27]．1950年，《算术的基础》英译本出版，在使用英语的数学家中产生很大影响．1918年以前，弗雷格一直安静地生活在耶拿这座小小的大学城内．他身材矮小，性格胆怯羞涩．弗雷格的工作长期得不到理解和承认．一般认为，他的著作对于大多数数学家来说是过于哲学化了，而对大多数哲学家来说又过于数学化了．弗雷格的著作长期受到冷遇，在相当长一段时间内，哲学杂志和数学杂志都拒绝发表他的论文．由于得不到专业上的承认，他在耶拿大学当了好多年的编外教授．弗雷格还经受了长远计划失败的体验．所有这一切使他变得比较内向．他长期远离自己的数学和哲学同事．但是，弗雷格全心全意追求真理，从不追求个人名声；他屡受拙折而不放弃自己的奋斗目标；他勇于承认自己的失败并另辟蹊径提出新的主张．弗雷格这种追求真理的执著精神和科学态度值得后人学习．。