极坐标系下绕极轴旋转一周旋转体体积公式推导

极坐标系下绕极轴旋转一周旋转体体积公式推导要推导极坐标系下绕极轴旋转一周的旋转体体积公式，首先需要理解极坐标系的基本概念和旋转体的定义。

极坐标系是一种用极径和极角描述平面点的坐标系，极径表示点到原点的距离，极角表示点与极轴的夹角。

而旋转体是指平面中的曲线围绕其中一轴旋转所形成的立体，常见的例子是圆柱、圆锥和球等。

首先，我们来推导极坐标系下绕极轴旋转一周的旋转体的体积公式。

假设曲线的极坐标方程为$r=f(\theta)$，其中$r$表示极径，$\theta$表示极角，$f(\theta)$为曲线方程关于极角$\theta$的函数。

曲线围绕极轴旋转一周后，形成的旋转体体积可以通过求解该曲线在$0\leq\theta\leq 2\pi$上的弧长元素$dS$在$0\leq \theta\leq2\pi$范围上的积分来获得。

首先，我们来求解曲线的弧长元素$dS$。

由于我们在极坐标系下，弧长元素$dS$可以表示为半径$r$在极角$\theta$处的变化$d\theta$乘以弧长元素的长度$dS_0$。

那么我们可以得到$dS=r\,d\theta\,dS_0$。

接下来，我们需要确定弧长元素的长度$dS_0$。

由于旋转体是围绕极轴旋转一周，所以$dS_0$可以表示为极角相应的弧长$r\,d\theta$的公式。

因此，$dS_0=r\,d\theta$。

将其代入$dS=r\,d\theta\,dS_0$，可以得到$dS=r^2\,d\theta$。

接下来，我们需要确定旋转体的体积。

旋转体的体积可以表示为每个弧长元素$dS$在$0\leq \theta\leq 2\pi$范围上的积分。

即$V=\int_{0}^{2\pi}dS=\int_{0}^{2\pi}r^2\,d\theta$。

将$r$的表达式$r=f(\theta)$代入，可以得到：$V=\int_{0}^{2\pi}f^2(\theta)\,d\theta$。

第21卷第2期2018年3月高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVol. 21，No. 2Mar.，2018doi：10.3969/j.issn.1008-1399. 2018. 02.017极坐标下区域绕极轴旋转所成旋转体的体积公式毛诗莹，谢卓颖，莫国良(浙江大学城市学院，浙江杭州310015)摘要本文推导了在极坐标下，区域绕极轴旋转所成旋转体的体积的计算公式，该公式可解出一些直角坐标系 下难以计算旋转体的体积，用一些例子加以说明.关键词极坐标；旋转体"体积微元中图分类号 〇172 文献标识码 A文章编号 1008 - 1399(2018)02 - 0047 - 03A Formula for Finding the Volume of a Solid of Revolution Formed When a Region I s Rotated Around the Axis in Polar CoordinatesM AO Shiying，XIE Zhuoying，and MO Guoliang(Zhejiang University City College，Hangzhou 310015，China)Abstract T his paper presents a form u la and several illu s tra tin g examples fo r fin ding the volume of a solid of revo lu tion when a region is rotated about an axis in polar coordinates.Keywords polar coordinate，solid of re v o lu tio n，volume element常见的微积分教材中，大都有极坐标下计算平面图形面积的公式，但未有极坐标下计算空间旋转体体积的公式，本文试图在极坐标下，建立空间旋转体体积的计算公式.设曲线由极坐标方程/(0)0,卢给出，/(0)在区间[a，幻上连续，则由曲线/(0)，0<a<及射线所围的曲边扇形D的面积可由公式A c1#/2(0) d0来计算（如图1所示）收稿日期：2014 - 04 - 09 修改日期：2014 - 12 - 09作者简介：毛诗莹（993 —），女，浙江杭州人，本科生.Email:729324023@qq. com.谢卓颖（ 1993 ―)，女，浙江安吉人，本科生.Email:583206493@qq. com.莫国良（1962 —），男，浙江海宁人，教授，硕士，主要从事教育教学研究与数学教学.Email:mogl@.现设V是由上述D绕极轴Q r旋转一周所得的旋转体，则V的体积该如何求呢？设e>0是充分小的正数，先假定我们用微元法来求解这一问题，设[a，,]，并设由射线0c6，c d+d d及曲线p=/(0) 所围成的小扇形区域为d D(如图2所示），该小扇 形区域d D绕极轴Q^r旋转所得的旋转体近似为一48高等数学研究2018年3月个小锥壳，该小锥壳的体积用d V表示，图2中的F 是射线0 =^+必与曲线p=/(们的交点，A点是射 线与曲线p c/W)的交点，分别过F点与A点 作极轴O x的垂线，并分别交极轴于D点和C点，O A交D F于£点，延长C A交射线W=d+d^于 B点.记A V〇a b T由三角形截面A O A B绕极轴旋转一周所得的“锥壳”的体积.现 C'C/(1)cos1ta n(1+d1)，CA=/(1)sin1, 它们的公共高是〇C=/(1)c〇S1,由此得A V o a b c%$ (/(D c o s1ta n(1+d1))2/(1)cos1—3$ (/(D s in1)2/(D c o s1C3$/3(1)cos1 (cos21 tan2(1+d1)) —sin21)4%$/3(1)cos1[cos21(tan1+s e c21d1B o(d1))2—sin21].故 A V o a b4%$/3(1)cos1 • 2tan1d1c y$/3(D s i n ld l.记A V〇ef T由三角形截面A O E F绕极轴旋转一 周所得的“锥壳”的体积.现 D F c/(1十 d1) sin(1+d1)，D E=/(1+d D cos(1+d D tan1，它们的公共高是OD=/(1+d1)cos(1+d l)，此A V o e f c3$ (/(1+d D s in(1 +d D)2/(1 +d l) •cos(1+d1) —3$ (/(1+d1)cos(1+d1)tanW)2 •/(1+d l) •cos(1+d l)43$/3(1+d l)c o s(1+d l)[s in2(1+d l)—cos2(1+d l)(tan(1+d1) +sec2(1+d l)d1+〇(d1))2].故A V o e f43$/3(1+d1)cos(1+d l) • 2tan(1+d1)d1c%$/3(1+d l)sin(1 +d l)d l4吾$/3(D s in(l)d l又因为 A V〇ef,dV,A V〇a b，故#d1*0 时，d V=3$/3(D s in(1)d1于是 V % 3$ [ /3(D s in(l)d l.(1)a这就是曲线p c/(w)及射线0 =a，沒=外0<«<^<^,$—e)所围的曲边扇形D绕极轴O x旋转一周所得的旋转体的体积.如果$+e,a,W,$，此时，曲边扇形D是由曲线p c/(们及射线0=^^所围的平面区域，V 是由曲边扇形D绕极轴O x—周所得的旋转体的体积，重复上述步骤，仍得V% 2$ /3(1)s in(1)d1.a最后，当0<a<(<^<$，仍用D表示由曲线p=/(()及射线（=a，（=0所围的曲边扇形区域，V 是由曲边扇形D绕极轴O x旋转一周所得的旋转体的体积，此时，我们可用射线（=$—e，（=$+e将扇形D分成三个区域.记由（=a，=$—e及p=/(()所围区域绕极 轴O x旋转一周所得的旋转体的体积V a，2 —£，记由 (=2—e，（=2+e及p=/(()所围区域绕极轴O x旋转一周所得的旋转体的体积V2—£，f+£，记由（=2+e，(=夕及p=/(()所围区域绕极轴O x旋转一周所得 的旋转体的体积V f+ e，，则显然lim V f—£，f+ e=〇.e*022此时，据体积的可加性，得V%V a，f—e"V f—e^e+V^W%lit? (V a，2—e+V f—e，2+e"V2+e，）e*0+%lim(V a，2—e +V2+e，P +lim V2—e，f+ee*第21卷第2期毛诗莹，谢卓颖，莫国良：极坐标下区域绕极轴旋转所成旋转体的体积公式49=lim (2$ # /3 (1) s in (D d 1£*〇" % a"县 $「/3(D s in (1)d 1)3 J -$+e % 夸[/3 (1)S n (1)d 1.a因此公式（1)仍然成立.现给出该公式的几个应用.例1 设D 是平面区域x 2 + (：y —幻2<圮求 该区域绕Q r 旋转一周所得的旋转体的体积.解在直角坐标系下，常见的解决方法是用由区域0,^，只+槡R 2 —r 2，一绕Q x 轴方宠转一周所得的旋转体的体积（大体积）减去由区域〇 ,y ,R —槡R 2 —r 2，—R ,r ,R 绕0工轴旋转一'周 所得的旋转体的体积(小体积)得到.现用公式（1)来计算.在极坐标系下，曲线r 2 + (# —R )2<R 2的方程 为p =2R sin 1(0<1<$)，利用公式（1)，所求旋转体 的体积为? % 夸[(2R sin 1)3sin 1d 13 J 032R 3$ 3 1 $------------• ---- •--34 22% 2$2R 3.例2设D 是由p = a E (0<^<^：)与Q i 轴所围成的平面区域.试求该区域绕Q r 旋转一周所得的 旋转体的体积（如图3所示）.解由公式（），所求旋转体的体积V %[ e 31sin 1d 1.30Je 31 s in ld l % -"-e 31 sin 1 - # -"-e 31co s 1d 1% "e 31 sin 1— (9e 31cos 1"# "e 31 sin 1d 1)，Je 31 s i n 1d 1 % Y 〇e 31 s i n 1 +Y^e 31co s i ，V %^^a3 (3e 31 s in i — "e ^c o s l )3 10 10 0% 1$a 3 ( e 3$ " 1).15例3设D 是由心形线p = a (1 —cos ^)所围成的平面区域，试求该区域绕Q r 轴旋转一周所得的 旋转体的体积.（如图4所示）图 4 p =a (1 —c o s W 图形解由公式（），所求旋转体的体积V %\ a3 ( 1 — c o s i )3sin 1d i30%—^^a 3 [ ( 1 — c o s i )3dcosi30%—^a 3 [ (1 — t )3 dt3 J i%— -7$a 3 [ (1 — 3t " 3t 2 — t 3) dt3 J i %—2$a 3( 1"t 3) —13 i注由于心形线的直角坐标方程为r 2+#2 +ax = a槡x 2B y 2，因此，在直角坐标系下计算该旋转 的 积是的图3 p =a E 的图形（取a =1)(下转第52页）52高等数学研究2018年3月如图1，直线s =f将正方形区域D分成两部分.记D" ={$s，* \"s，a,s,b，a, *,b}，D2 ={(w,*) *,w，a,s,b，a,t,b}，设 H(s，\) % \^1\[/() —/()]，则函数 H(s，\)在区域D z( % 1，2)上连续且)d %H(s,t)dsdt %H D i +H D?，D"JD212其中)D,%||d H(S\)d#, )d2%J d H(5,t)d#由于A与32关于直线s%t对称，将）d2中的 两个积分变量互换，即得因为在区域D:内部恒有t>s，所以1\ —1m>〇,/() —/() >〇•由此可见，只要；足〇:a:b，就有）D > 〇,从而函数F(X)是增函数.（证毕）令%F(n)，由定理2立即得到下面的推论.推论设函数/()在[a，b]H U"上连续且单#t n/(t)dt调递增，% ^^(n% 0，1，2,3,…），则数列t ndta{^}单调递增，即对V m，n /{0!，2,3，一}，只要 m:n，就有)d!%%s!t!l m[/()—/()]d s d^以，)d %%txsx1n t^/(t) +/(5)]d s d^"%s!t!lm[/() —/(t)]dsd/：%%d t!s!(ln t—lm)[/()—/()]dsd^特别地，当m % 0，n % 1时即得不等式（2).参考文献[1]陆全、林伟.考研竞赛试题中的积分上限函数相关问题[J].高等数学研究，2016年！9(6): 9-11[]华东师范大学数学系.数学分析：下册[M].第二版.北 京：高等教育出版社，1994:282 - 283.[]刘海峰.对一道积分不等式题的再思考[\]高等数学 研究，2011 年！4(2): 20-21.(上接第49页）例4设D是由四叶玫瑰线p=asin20所围成 的平面区域，试求该区域绕O x轴旋转一周所得的旋转体的体积.（如图5的三维图所示）图5 p=asin2^绕O x轴旋转一周的旋转体解由公式（1)，所求旋转体的体积为y % 2 •f*a3sin32^sin^d^3 J0% 2 •^^a3f*23sin4^ cos3^d^30%%l$a3f*sin4^ (1 —sin2^)dsin^30% %-|$a3f*(s in41—sin61)dsin130% %|$a3(1s i n51 +1s i n71)3 57 〇%<$a3105从以上数个例子可以看到，极坐标下曲线所围区域绕极轴旋转所成旋转体的体积公式（1)有时可 以快速方便地解决某些旋转体的体积，而这些旋转 体的体积在直角坐标系下是较难求得的，因此有它 的优越性.参考文献[1]同济大学数学系.高等数学：上册[M].6版.北京：高等教北京：高等教育出版社，2007: 276 - 277.。

标题：旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的公式概述旋转体体积公式是数学中的重要概念，它用于计算由曲线或曲面旋转产生的立体图形的体积。

在这篇文章中，我们将重点讨论旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的具体公式及推导过程。

一、绕x轴旋转体积公式当曲线y=f(x)在x轴的区间[a,b]上绕x轴旋转一周时，所形成的旋转体的体积Vx可由以下公式计算：Vx = π∫[a,b] f(x)² dx其中，π为圆周率。

推导过程：为了推导该公式，我们可以将曲线y=f(x)绕x轴旋转一周后，得到不同x处的截面面积πf(x)²。

然后利用定积分的性质，将这些截面面积相加，即得到旋转体的体积公式。

举例说明：假设我们有曲线y=x²，要计算其在区间[0,1]上绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积。

根据公式，我们可以得到Vx = π∫[0,1] x^4 dx = π/5二、绕y轴旋转体积公式当曲线x=g(y)在y轴的区间[c,d]上绕y轴旋转一周时，所形成的旋转体的体积Vy可由以下公式计算：Vy = π∫[c,d] g(y)² d y推导过程：同样地，为了推导该公式，我们可以将曲线x=g(y)绕y轴旋转一周后，得到不同y处的截面面积πg(y)²。

然后利用定积分的性质，将这些截面面积相加，即得到旋转体的体积公式。

举例说明：假设我们有曲线x=y²，要计算其在区间[0,1]上绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积。

根据公式，我们可以得到Vy = π∫[0,1] y^4 dy = π/5总结通过本文的讨论，我们可以得出绕x轴和绕y轴旋转体积的计算公式，并了解到其推导过程。

这些公式在数学和工程领域有着广泛的应用，能够帮助我们计算由曲线旋转产生的立体图形的体积，具有重要的理论和实际意义。

为了更深入地理解旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的推导过程，我们可以进一步探讨不同类型曲线的旋转体积公式，并应用这些公式解决实际问题。

绕极轴旋转体体积公式
嘿，朋友们！今天咱就来讲讲绕极轴旋转体体积公式。

那公式是啥呢？就是V=∫πy²dx 呀！比如说，有个图形，它的方程是 y=f(x)，从 a 到 b 这一段绕极轴旋转，那我们就可以用这个公式来算算它形成的旋转体的体积啦！
咱举个例子哈，就像一个圆锥，底面半径是 3，高是 4，那我们就可以根据圆锥的方程算出 y 的表达式，然后代入公式里去计算呀！这多有趣啊，就好像我们在探索一个神秘的数学宝藏一样！你难道不想试试用这个公式去解开更多的谜题吗？是不是突然觉得数学也没那么枯燥啦！
哎呀呀，了解了这个公式，我们就能打开很多奇妙大门呢，真的超赞的！大家一起去用它玩转数学世界吧！。

极坐标系下旋转体体积和表面积的计算
极坐标系是一种二维坐标系，它的一个特征是，坐标变换出来的体积和表面积计算是比较复杂的问题。

本文将介绍用于计算极坐标系下旋转体体积和表面积的方法。

极坐标系体积和表面积的计算可以分为以下三个步骤：首先，对被转模型实行极坐标变换，即把三维模型变成极坐标系下的模型；其次，将极坐标系下的模型分别朝x、y、z方向旋转，求出旋转体的体积和表面积；最后，将旋转体体积和表面积的计算结果应用到实际应用中去。

极坐标系下，旋转体体积和表面积的计算有其比较复杂的特点。

首先，需要考虑旋转体在极坐标系下变形的问题，以此来改变旋转体的表面面积；其次，需要考虑极坐标系下的体积和表面积的计算方法，才能正确的计算出旋转体的体积和表面积。

所以，正确的极坐标系下旋转体体积和表面积的计算，要综合运用极坐标变换和旋转体的特性，按照该坐标系下的公式和方法来解决。

本文介绍了极坐标系下旋转体体积和表面积的计算方法，希望能帮助大家深入理解极坐标系旋转体的表面积和体积的计算。

旋转体体积公式推导
已知旋转体体积公式为 V = πr²h，其中 r 为旋转体底面半径，h 为旋转体高度。

现在我们要推导绕 y 轴旋转的旋转体体积公式。

假设旋转体底面半径为 r，高度为 h，绕 y 轴旋转角为θ。

首先，将旋转体底面半径 r 和高度 h 分别展开成 x 和 y 的函数。

底面半径 r 可以表示为 r(x) = √(x² + y²)，而高度 h 可以表示为 h(y) = f(y)。

旋转体的体积 V 可以表示为对 x 和 y 的积分：
V = ∫(πr²h) dx dy
其中，r² = x² + y²，h = f(y)。

将 r²和 h 的表达式代入体积公式中，得到：
V = ∫(π(x² + y²)) f(y) dx dy
为了计算这个积分，我们采用极坐标系。

设 x = ρcosθ，y = ρsin θ。

代入上述积分中，得到：
V = ∫(π(ρcos²θ + ρsin²θ)) f(ρsinθ) ρcosθ dρ dθ
其中，dρ = dx dy，dθ = dx/ρ。

化简得到：
V = ∫(πρ²cos²θ) f(ρsinθ) dρ dθ
这个公式就是绕 y 轴旋转的旋转体体积公式。

极坐标旋转体积公式极坐标旋转体积公式是我们在学习数学时会遇到的一个重要知识点。

它看起来可能有点复杂，但其实只要我们耐心琢磨，就能发现其中的趣味和奥秘。

我记得有一次，在给学生们讲解极坐标旋转体积公式的时候，有个学生一脸困惑地问我：“老师，这公式到底有啥用啊？感觉好抽象！”我笑了笑，没有直接回答他，而是拿出了一个圆柱形的水杯和一个圆锥形的漏斗。

我先把水杯装满水，然后将水慢慢倒入漏斗中，问同学们：“大家想想，水杯里水的体积和漏斗里水的体积是一样的吗？” 同学们都摇头。

我接着说：“那如果我们要计算漏斗能装多少水，是不是就得用特定的方法呀？这就和我们今天要学的极坐标旋转体积公式有关系啦。

”极坐标旋转体积公式，简单来说，就是用于计算由极坐标曲线绕着某个轴旋转所形成的立体图形的体积。

比如说，有一条极坐标曲线 r =f(θ) ，我们让它绕着极轴或者垂直于极轴的直线旋转一定的角度，形成的立体图形的体积就可以用这个公式来计算。

这个公式的形式可能会让一些同学感到头疼，但是我们来仔细拆解一下。

它通常涉及到积分的运算，积分嘛，就像是把一个大的东西切成无数个小的部分，然后把这些小部分的体积加起来。

想象一下，我们把那个旋转体切成了无数个薄薄的圆盘，每个圆盘的体积都可以近似地计算出来，然后把这些圆盘的体积加起来，就得到了整个旋转体的体积。

而极坐标旋转体积公式就是帮助我们准确地计算每个圆盘的体积，并把它们累加起来的工具。

在实际应用中，极坐标旋转体积公式可是非常有用的。

比如在工程领域，设计一些旋转的零件时，就需要准确计算其体积，以确保零件的性能和质量。

回到我们最初的例子，如果我们要精确地计算那个圆锥形漏斗能容纳多少水，就可以通过极坐标旋转体积公式来实现。

先写出漏斗对应的极坐标方程，然后代入公式进行计算，就能得出准确的体积值。

再比如，在建筑设计中，如果要设计一个旋转形状的楼梯，也需要用到这个公式来计算其占用的空间体积。

学习极坐标旋转体积公式，就像是掌握了一把打开神秘数学世界大门的钥匙。

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旋转体体积的探讨
作者：张平
来源：《新教育时代·教师版》2018年第18期
摘要：本文探讨了运用元素法求任意旋转轴下的旋转体体积，还研究了极坐标系下绕极
轴旋转的旋转体体积，推导了相应的旋转体积公式，并给出了一题多解的计算思路。

关键词：旋转体体积元素法任意旋转轴极轴
引言
许多微积分[1]～[5]教材只给出了绕轴或绕轴旋转的旋转体体积，这具有局限性。

本文研究了绕任意直线和绕极轴旋转的旋转体体积，推导出对应的旋转体积公式。

一、直角坐标系下的旋转体体积
定理1：光滑曲线段绕直线旋转一周所得的旋转体体积为：
参考文献
[1]贾晓峰，孙洪波，贾云涛.微积分与数学模型（第三版）[M].高等教育出版社，2015.9.
[2]韩云瑞，扈志明.微积分教程[M].清华大学出版社，1999.9.
[3]同济大学数学系.高等数学（第7版）[M].北京：高等教育出版社，2014.7
[4]GerogeBThomas.Thomas’Calculus.（11thEdition）.PearsonEducation，2004.
[5]JamesStewart.Calculus（8thEdition）.McMasterUniversityandUniversityofToronto，2015.。

极坐标下区域绕极轴旋转所成旋转体的体积公式
：
极坐标旋转体体积公式是指在极坐标系中，将一个区域绕极轴经过一定角度旋转所形成的
新体积关系。

它可以用来计算旋转体的体积，例如球体、圆柱体和圆锥体等体积。

其具体
公式为：
V = ∫∫ρ^2sinαdrdθ，
其中ρ表示区域距离极轴原点的距离，α是极坐标单位的角度，drdθ表示区域的量积元。

此外，还有一种改进的极坐标旋转体体积公式，即：
V =∫∫ρ^2sinαdρdz，
其中ρ表示区域距离极轴原点的距离，α为极坐标的角度，dρdz表示区域的量积元。

极坐标旋转体体积公式可以用来解决旋转体体积问题，特别是针对复杂的旋转体。

这一公
式能有效地提升旋转体体积计算的精度，进而拓宽几何类体积计算的应用范围。

总之，极坐标旋转体体积公式是一种复杂体积计算中非常有用的工具，它能够帮助我们解决复杂的体积问题，使精确体积计算变得更容易。

旋转体体积公式介绍在几何中，旋转体是由将某个曲线围绕某条轴旋转一周形成的一种立体图形。

计算旋转体的体积是在数学和物理学中非常常见的问题，而旋转体体积公式正是用于计算这种图形体积的数学公式。

旋转体体积公式旋转体体积公式是基于计算旋转曲线面积的基础上推导出来的。

需要先确定旋转轴和旋转曲线的方程，然后通过积分计算出体积。

旋转体体积公式可以根据旋转轴的位置和旋转曲线的形状表达出不同的形式。

以下是一些常见的旋转体体积公式：1. 垂直旋转轴当旋转轴是垂直于曲线的情况下，旋转体体积公式可以简化为以下形式：V = π * ∫[a, b] f(x)² dx其中，V表示的是旋转体的体积，f(x)表示旋转曲线在x轴上的函数方程，[a, b]表示旋转曲线在x轴上所对应的区间。

2. 平行于坐标轴的旋转轴当旋转轴平行于坐标轴时，旋转体体积公式也可以具体表达为以下形式：a.平行于x轴的旋转轴：V = π * ∫[a, b] f(y)² dy其中，V表示的是旋转体的体积，f(y)表示旋转曲线在y轴上的函数方程，[a, b]表示旋转曲线在y轴上所对应的区间。

b.平行于y轴的旋转轴：V = π * ∫[c, d] f(x)² dx其中，V表示的是旋转体的体积，f(x)表示旋转曲线在x轴上的函数方程，[c, d]表示旋转曲线在x轴上所对应的区间。

应用举例圆柱体的体积一个最典型的旋转体就是圆柱体。

我们可以使用旋转体体积公式来计算圆柱体的体积。

圆柱体是由一个在x轴上变化的常量函数（例如f(x) = r，r为半径）围绕x轴旋转形成的。

根据垂直旋转轴的公式，可以得到圆柱体的体积公式为：V = π * ∫[a, b] r² dx其中，r表示圆的半径，[a, b]为圆的高度所对应的区间。

圆锥的体积圆锥也是常见的旋转体。

与圆柱体不同的是，圆锥的半径是随着高度线性变化的。

考虑一个圆锥的高度为h，它的半径在x轴上从0到h线性变化。

用极坐标求旋转体体积公式一、极坐标下旋转体体积公式的推导。

（一）绕极轴旋转。

1. 推导过程。

- 设平面曲线的极坐标方程为r = r(θ)，α≤slantθ≤slantβ。

- 我们取[θ,θ + dθ]这一小区间，在这个小区间内的曲线段绕极轴旋转所得到的旋转体体积近似于一个圆台的体积。

- 由极坐标与直角坐标的转换关系x = rcosθ，y = rsinθ。

- 在极坐标下，对于曲线r = r(θ)上的一小段弧长ds=√(r^2)+((dr)/(dθ))^{2}dθ。

- 这一小段曲线绕极轴旋转所形成的旋转体的体积微元dV，可近似看作是一个圆台的体积。

- 圆台的体积公式为V=(1)/(3)π h(R^2+Rr + r^2)（这里h是圆台的高，R和r 是上下底面半径）。

- 对于我们的旋转体体积微元，h = rsinθ，R = rsinθ，r=(r + dr)sinθ（这里dr是r的微小增量），当dr→0时，dV=π y^2dx。

- 又因为x = rcosθ，y = rsinθ且dx = cosθ dr - rsinθ dθ，将y = rsinθ代入dV=π y^2dx可得：- dV=π(rsinθ)^2(cosθ dr - rsinθ dθ)。

- 对dV在α到β上积分，得到绕极轴旋转的旋转体体积公式V=π∫_α^βr^2sin^2θ(cosθ dr - rsinθ dθ)。

- 如果r = r(θ)是已知函数，我们可以进一步化简这个积分。

通常我们可以将r 看作关于θ的函数进行积分。

2. 最终公式。

- 绕极轴旋转的旋转体体积公式为V=π∫_α^βr^2sin^2θ dθ（二）绕y轴（垂直于极轴）旋转。

1. 推导过程。

- 同样取[θ,θ + dθ]这一小区间，在这个小区间内的曲线段绕y轴（垂直于极轴）旋转所得到的旋转体体积近似于一个圆环柱体的体积。

- 对于曲线r = r(θ)，在直角坐标下x = rcosθ，y = rsinθ。

极坐标旋转体的体积公式推导### 极坐标旋转体：从“点”到“面”的奇妙旅程想象一下，你手中握着一个神秘的盒子，它里面装着无数个小小的点。

这些点就像是散落在宇宙中的星星，它们围绕着一个中心旋转，形成了一个令人着迷的形状。

这个形状，就是我们今天要聊的主角——极坐标旋转体。

#### 1. 极坐标旋转体是什么？极坐标旋转体，听起来是不是有点像是在玩“找不同”的游戏？没错，它的神奇之处在于，无论你从哪个角度看它，它都能让你眼前一亮。

就像我们小时候玩的拼图，有时候你拼了半天，还是觉得不够完美。

但当你换个角度再看时，突然发现，原来整个画面已经焕然一新！#### 2. 如何理解极坐标旋转体？极坐标旋转体，简单来说，就是由一系列同心圆组成的。

这些圆的半径各不相同，而且它们的位置也是可以变化的。

就像是一个大大的蛋糕，上面撒满了五颜六色的糖果，而你最喜欢的那颗糖，可能就藏在了某个不显眼的地方。

#### 3. 极坐标旋转体的体积怎么算？说到体积，你可能就会想到那些硬邦邦、沉甸甸的东西。

但在极坐标旋转体的世界里，体积可就大不相同了。

你知道吗？极坐标旋转体的体积，其实和我们平时玩的“积木”差不多。

只不过，这里的“积木”是一圈圈的，而且每一块“积木”都有自己的位置和方向。

#### 4. 举个例子来说明吧！想象一下，你有一个超级大的蛋糕，上面有各种各样的糖果。

你想把这些糖果分给不同的小朋友吃，但是又不能让任何一个小朋友吃不到。

这时候，你可以把蛋糕切成很多小块，然后让每个小朋友拿一块。

这样，虽然每个小朋友得到的只是一小片蛋糕，但是加起来，他们就能享受到整个蛋糕的味道啦！#### 5. 总结一下，极坐标旋转体有什么特点？极坐标旋转体的特点就是，无论我们从哪个角度看它，都能看到不一样的美。

它的体积计算起来也挺有趣的，就像是在玩“积木”游戏一样。

不过呢，要想真正理解它的魅力，还需要我们多观察、多思考哦！。

极坐标绕极轴旋转体积公式
极坐标绕极轴旋转体积公式
极坐标绕极轴旋转体积公式，也称为绕轴旋转体积的转换公式，它指的是利用三维空间中的极坐标系对曲面积进行旋转，使其成为体积的计算公式。

例如：试求等径的半径两端的半圆柱的体积 V，将其变换为以绕z轴旋转的等径半圆扁平面的体积。

以下为极坐标绕极轴旋转体积公式：
在三维空间中，绕某一极轴旋转角θ，则由极坐标系旋转得到的体积定义为：
V＝2π∫ρ2dρcosθ
下面以等径半圆柱为示例来说明极坐标绕极轴旋转体积公式。

根据极坐标系定义，单位半径两端的半圆柱的体积V，它的体积公式为：
V＝πρ2h＝2π∫ρ2dρcosθ
其中，ρ表示圆的半径，h表示圆柱的高。

将半圆柱以z轴为旋转轴，以θ表示与z轴正向夹角，这时绕轴旋转后得到等径半圆扁平面体积即：
上式即为极坐标绕极轴旋转体积的转换公式了。

综上所述，极坐标绕极轴旋转体积公式是一种利用三维空间中的极坐标系对曲面积进行旋转，使其成为体积的计算公式。

它涉及到一些基本几何概念，如极坐标系、圆柱、圆弧等，是日常工程计算的重要工具。

绕极轴旋转体积公式
轴向螺旋体是指将一种曲面沿着一个极轴旋转，以形成一种叫做极轴旋转体的几何图形。

绕极轴旋转体的体积公式为V = 2πh∫a^2√(1+α^2)da, 其中α是曲面曲率，h是极轴的高度，a为曲面的参数，范围从a1到a2。

在推导绕极轴旋转体的体积公式时，首先考虑的是一种拉伸的法向量
（向量指向活动的空间的方向），它的方向取决于曲率和沿极轴移动的距离。

每当穿过曲面时，曲面中有一个拉伸的法向量，它制定了穿过曲面的方向。

拉伸的法向量与圆心方向(极轴方向)之和，即拉伸法向量沿极轴移动的距离。

之后，使用梯度积分法分析拉伸法向量沿极轴移动的一小段距离，这是
关于曲率αá2 a,以igôy–1为单位的函数。

然后，将曲率提取到h上，得
到绕极轴旋转体的体积公式。

绕极轴旋转体的体积公式的应用很广泛，它可以用来计算曲线的体积、
卷积的体积、柱体的体积等。

例如，绕极轴旋转体的体积公式可以用来计算
一个柱体的体积，其计算过程是，先把柱体投射到某个平面上，如果投射到
正负曲率相同的曲面上，其体积便可被定义为绕极轴旋转体的体积。

绕极轴旋转体的体积公式是一种十分有用的方法，可以提供快速、精确
的结果。

它具有广泛的应用，许多几何图形的体积，都可以用该公式来计算。

对数螺线绕极轴旋转一周的体积对数螺线，又称阿基米德螺线，是一个经典的数学曲线。

它的参数方程可以表示为：x = a * e^(b * θ) * cos(θ)y = a * e^(b * θ) * sin(θ)其中，a和b是任意常数，θ是参数。

对数螺线是由极坐标中的极角θ和极径r的关系而成的曲线。

当a=1，b=1时，对数螺线的方程变为：x = e^θ * cos(θ)y = e^θ * sin(θ)我们来研究对数螺线的性质。

对数螺线的形状取决于常数a和b的取值。

当b=1时，对数螺线的极径随着极角的增加而指数级增长，螺线趋于无穷远；当b<1时，极径的增长速度减缓，螺线逐渐趋于原点；当b>1时，极径的增长速度加快，螺线趋于无穷大。

当a=1时，对数螺线以原点为起点，向外螺旋；当a<1时，螺线向内收缩；当a>1时，螺线向外扩展。

接下来，我们来计算对数螺线绕极轴旋转一周所形成的体积。

对数螺线绕极轴旋转一周所形成的体积可以使用旋转体积公式来计算。

旋转体积公式为：V = π * ∫[a, b] f(x)^2 dx对于对数螺线来说，由于其参数方程中的x和y都是θ的函数，我们需要将f(x)表示为θ的函数。

由x = e^θ * cos(θ)，我们可以得到θ = ln(x/cos(θ))，进而得到f(x) = e^θ = x / cos(θ)。

因此，旋转体积公式可以重写为：V = π * ∫[a, b] (x / cos(θ))^2 dθ为了计算上述积分，我们需要找到对应的积分上下限。

当对数螺线绕极轴旋转一周时，极角θ从0变化到2π。

因此，积分的上下限可以设置为0和2π。

于是，旋转体积公式可以简化为：V = π * ∫[0, 2π] (x / cos(θ))^2 dθ接下来，我们可以根据上述公式，计算对数螺线绕极轴旋转一周所形成的体积。

首先，我们需要确定常数a的取值范围。

由于对数螺线是由极坐标中的极径r的关系而成的曲线，我们需要保证r的值始终大于等于0。

极坐标绕极轴旋转体积公式怎么写?
极坐标绕极轴旋转体积公式：用一般函数图形绕x轴旋转的旋转体体积公式，换元x=rcosθ,y=rsinθ即可得到此公式。

对极坐标表示的面积绕轴旋转的体积计算问题分别从积分元素法P.Guldin定理及球坐标下三重积分计算，给出三种计算方法。

一般高等数学教材中均给出了由直角坐标表出面积的旋转体体积计算公式，即面积a≤x≤b, 0≤у≤y(x)。

绕o x轴旋转所成旋转体的体积为如下图：
常见圆的极坐标方程：(1)、圆心在极点，半径为r的圆：p=r；(2)、圆心为M (a，0)，半径为a的圆：p=2acosθ；(3)圆心为M（a，2/π），半径为a的圆：p=2asinθ.
极坐标，属于二维坐标系统，创始人是牛顿，主要应用于数学领域。

极坐标是指在平面内取一个顶点O，叫极点，引一条射线Ox，叫作极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。

对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度（有时也用r表示），θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫作点M的极径，θ叫作点M的极角，有序数对(ρ,θ)就叫点M的极坐标，这样建立的坐标系叫作极坐标系。