计算旋转体体积的“柱壳法”

极坐标绕x轴旋转体体积公式极坐标绕x轴旋转体是一种特殊的几何体，它在三维空间中的形状类似于一个圆柱或圆锥。

这种几何体由一个曲线沿x轴正半轴方向旋转而成。

为了更好地理解和计算这种几何体的体积，我们可以推导出其体积公式。

首先，我们设极坐标绕x轴旋转体的极径为r，极角为θ，旋转轴距离x轴正半轴的距离为a。

根据极坐标系的定义，我们可以得到该旋转体的横坐标和纵坐标分别为x=r*cosθ和y=r*sinθ。

接下来，我们来推导极坐标绕x轴旋转体的体积公式。

根据柱壳体积的计算公式，我们知道一个圆柱的体积为V1=πr^2*h，其中h为圆柱的高度。

而极坐标绕x轴旋转体的体积可以看作是由无数个平行于x轴的薄圆柱壳沿z轴堆积而成。

因此，我们可以将极坐标绕x轴旋转体的体积表示为：V = ∫(πr^2*dθ)，其中积分范围为0到2π。

将r=θ*cosθ代入上式，我们可以得到：V = ∫(π(θ*cosθ)^2*dθ)，其中积分范围为0到2π。

化简后，得到：V = ∫(πθ^2*cos^2θ*dθ)，其中积分范围为0到2π。

进一步化简，我们可以得到极坐标绕x轴旋转体的体积公式：V = π*∫(θ^2*dθ)，其中积分范围为0到2π。

根据积分的基本公式，我们可以求解该积分：V = π*(θ^3/3)|0到2π = π*(8π/3 - 0) = 8π/3。

所以，极坐标绕x轴旋转体的体积公式为：V = 8π/3 * sin^3θ，其中θ为极角。

结论：极坐标绕x轴旋转体的体积公式为V = 8π/3 * sin^3θ。

在实际应用中，我们可以根据给定的极角和极径，利用该公式计算极坐标绕x轴旋转体的体积。

同时，我们还了解到，极坐标绕x轴旋转体的体积与极径r、极角θ以及旋转轴距离x轴正半轴的距离a有关。

实用建议：在实际问题中，极坐标绕x轴旋转体的体积公式可以用于计算各种实际物体的体积，如圆柱、圆锥等。

在应用该公式时，需要注意正确测量或给定物体的极径、极角和旋转轴距离，从而得到准确的体积计算结果。

第22卷第6期2019年11月高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVol.22,No.6Nov.,2019doi：10.3969/j.issn.1008-1399.2019.06.013巧用柱壳法求一类旋转体的体积李萍！牟全武，杨阿莉(西安工程大学理学院，陕西西安710048)摘要本文阐述了柱壳法的基本思想，并利用柱壳法推导出旋转体体积的计算公式，举例说明了柱壳法的应用.关键词柱壳法；旋转体；体积；微元法中图分类号O172.2文献标识码A文章编号1008-1399(2019)06-0035-02On Cylindrical Shell Method for Volume of Solids of RevolutionLI Ping,MU Quanwu,and YANG Ali(School of Science,Xi'an Polytechnic University,Xi'an,Shaanxi,710048,PRC)Abstract The basic idea of cylindrical shell method is expounded.A formula for calculating the volume of a solid of revolution is derived,and the application is illustrated with examples.Keywords cylindrical shell method,solid of revolution,volume,differential method在教学实践中，作者发现学生对于由某一平面图形绕y轴旋转所得旋转体的体积计算难以掌握,例如文献［1］第282页例8.为了克服这个困难，本文利用柱壳法来求这一类旋转体的体积•柱壳法实质上是一种微元分析法，在《高等数学》课程教学中具有重要地位，其基本思想是将旋转体分成若干很薄的柱壳，然后计算体积微元，最后通过计算定积分得到旋转体的体积•关于柱壳法的有关介绍在一些教材中能够找到，例如文献［2］第311页•我们有如下结果：定理设3,4为常数且0V3V4,函数f(x)在闭区间4］上连续，且满足f(x)40,则由平面图形3)x)4,0)y)f(x)绕y轴旋转所形成的旋转体的体积为V—J2zf(x)d x证方法1(微元法)收稿日期：2019-02-28修改日期：2019-04-25基金项目：西安工程大学高等教育研究作者简介：李萍(1974—)，女，陕西西安，硕士，副教授，主要从事信息安全与算子理论研究和高等数学的教学研究，Emaillping7487@任取X'［3,4］,考虑一增量d z则由平面图形X)i)X十d z0)y)围绕y轴旋转一周所成旋转体的体积可近似表示为：图1#V>兀(x十dx)2y—兀x2y—2(x f(x)d x+(f X)(dz)2,d V—2兀xf Qx^d x,所以V—J2兀x f(x)d x3注这里由于f(x)在(3,4)上连续，因而认为f()在小区间［x,x+d X上恒为f(x).方法2用平行于y轴的柱面x2十n2—i2去截所得的旋转体，可得截面是高为f()的圆柱,积E()—2兀i f(),36高等数学研究2019年11月于是由已知截面的面积求立体的体积公式有：V y—J E$)d/—J2兀i f(t)dt.综上，定理1得证•为了便于理解定理1得到的体积公式，我们可以沿柱壳一侧剪开并拉平，则柱壳就近似地看成是一个长为柱壳底部内圆的周长，宽为d z高为fX)的长方体，该长方体的体积为d V—(2(x)f(x)d z 从而整个旋转体的体积为：V=J32z f$z)d z.一般地，如果某平面图形围绕一条垂直于x轴的直线L旋转一周，如何求所得旋转体的体积?对于这个问题，我们仅需对定理1的条件及证明进行适当修改，就得到该旋转体的体积.下面只给出两个推论而略去详细证明•推论1设f(x)在34(上连续，且f(x)40，直线L:x—X0.则由平面图形x0)3)x)4，0)y)fX)绕直线L旋转一周所成的旋转体的体积为V=2(z—z0)f(z)d z.3推论2设f(x)在34(上连续，且f(x)40，直线L：x-X0.则由平面图形3)x)4)x0，0)y)fX)绕直线L旋转一周所成的旋转体的体积为V—J2兀(x0—x)f(x)d x3下面举例说明上述推论的应用•例1如图所示，由抛物线y—2乞2与直线x—2, x轴所围成的平面图形分别绕y轴，直线L1:x=—1和直线L2X—3旋转一周所成旋转体的体积•解(1)平面图形绕着y轴旋转，我们可以按传统的方法求解，也可按照柱壳法，下面给出具体的解答过程•方法1补偿法记直线X—2与X轴及抛物线y-2x2的交点为E(2,0),B(2,8),则平面图形CEB绕y轴旋转一周所得旋转体的体积可以看成一个矩形OABC与平面图形OBC分别绕y轴旋转一周所得旋转体的体积之差，故V y—V柱OABC—V O BC「8C8—(22d y—兀x2d y00=16.法2法因为x'[0,2(,且平面图形OAB绕着y轴旋转所得旋转体的体积微元为d V—2兀x fQx)dx—4兀x3dx,所以V y—J4兀x3dz—16(•(2)由推论1知，平面图形绕直线L1：x—1旋的的积微元d V—2兀(x—(—1))f(x)dz—4兀(x+1)x2d x,故V L1—[4兀X十1)x2dz—80(•1J03(3)由推论2知，平面图形绕着直线L2：x-3旋转一周所成的旋转体的体积微元为d V=2(3—z)f(z)d z=4(3—z)z2d z，故V L—[4兀(3—x)x2d x—16兀•!0总结在求旋转体体积时,首先根据旋转体的形状确定平面曲线是绕x轴旋转，还是绕y轴旋转.一般来说，若求平面曲边梯形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积时，用元素法(详见文献[1]第280页)；若平面曲边梯形绕y轴旋转一周，则利用柱壳法进行分析相对简单•不难发现，结合实际情况巧用柱壳法求旋转体的体积,能够简化计算，从而提高了解题的效率,激发了学生对高等数学的学习兴趣•参考文献[1]同济大学数学系.高等数学(上册)[M(.7版.北京:高等教育出版社，2014.[2(S.R.Ghorpade,B.V.Limaye,A Course in Calculus and Real Analysis[M(,Second Edition,Springer,Switzerland,2018.。

定积分求旋转体体积万能公式
嘿，宝子们！今天咱就来讲讲定积分求旋转体体积万能公式呀！
先来说说圆盘法的公式，那就是$V=\pi\int_{a}^{b}[f(x)]^{2}dx$。

就
好比呀，有个函数$f(x)$像个魔法棒一样，在区间$[a,b]$上挥舞，然后通过这个公式就能算出旋转体像个大圆盘一样的体积啦！比如说，函数
$f(x)=2x$，在区间$[0,1]$上，那咱就可以用这个公式算出旋转后形成的大圆盘的体积呢！
还有一种是圆柱壳法的公式，$V=2\pi\int_{a}^{b}xf(x)dx$。

哎呀，你就把它想象成给旋转体穿上了一层层的圆柱壳子，通过这个公式来算出体积。

举个例子吧，函数$g(x)=x+1$在区间$[1,2]$上，咱就能用这公式来捣鼓一下它旋转后的体积哟！
宝子们，学会了吗？是不是很有趣呀？赶紧去试试吧！。

旋转体体积柱壳法公式
旋转体的体积可以使用柱壳法来计算。

柱壳法是将旋转体分解成许多平行于旋转轴的圆柱壳，然后计算每个圆柱壳的体积，再对所有圆柱壳的体积求和，即可得到旋转体的体积。

具体的公式为：
V = ∫[a, b] (2πx * f(x)) dx
其中，f(x) 是旋转体在不同 x 坐标处的横截面面积，而 a 和 b
是旋转体横截面在 x 方向上的范围，2πx 是每个圆柱壳的周长。

这个公式可以简化为：
V = 2π * ∫[a, b] (x * f(x)) dx
这个公式适用于旋转体的轴线与 x 轴平行的情况，如果轴线与y 轴平行，则需要将 x 和 y 交换位置，即：
V = 2π * ∫[c, d] (y * f(y)) dy
此外，还需要根据问题的具体要求确定旋转体的横截面面积函数 f(x) 或 f(y)，可以是一个已知函数或通过其他方法求得。

极坐标绕x轴旋转体体积公式极坐标绕x轴旋转体，是指在三维空间中，以x轴为中心轴，将一个曲线或区域沿着该轴旋转形成的立体。

这种旋转体在数学、物理等领域具有广泛的应用。

本篇文章将详细介绍极坐标绕x轴旋转体的体积公式，并给出应用示例。

首先，我们来推导极坐标绕x轴旋转体的体积公式。

设极坐标系中，曲线C的极径为r（t），极角为θ（t），t为参数。

将曲线C沿着x轴正半轴旋转一周，得到一个旋转体。

设旋转体的底面半径为r（t），高为h（t）。

根据柱壳体积的计算公式，旋转体的体积V可以表示为：V = π∫∫rh(t)dt由于我们这里是极坐标系，需要将参数t表示为极坐标系中的变量。

根据极坐标与直角坐标的转换关系，有：x = r*cosθ，y = r*sinθ，z = h(t)将上述关系带入体积公式，得到：V = π∫∫rh(t)dt = π∫∫r(x - r*c osθ)dt为了进一步简化公式，我们可以将直角坐标系中的积分转换回极坐标系。

利用极坐标与直角坐标的转换关系，有：dx = r*cosθ dt，dy = r*sinθ dt将上述关系带入体积公式，得到：V = π∫∫r(x - r*cosθ)dt = π∫∫rcosθ dt根据极坐标系的积分公式，上式可以进一步化简为：V = π∫rcosθ rdt = π∫rcosθ dt至此，我们得到了极坐标绕x轴旋转体的体积公式：V = π∫rcosθ dt接下来，我们通过一个应用示例来演示如何使用这个公式。

假设一个半径为r的圆柱沿x轴正半轴旋转，得到一个旋转体。

此时，曲线C的极径r（t）= r，极角θ（t）= t。

将参数t从0积分到2π，我们可以计算出旋转体的体积：V = π∫(rcost) dt = πr∫cost dt根据积分公式，∫cost dt = 1/2 * sint + C，其中C为常数。

将上述结果带回体积公式，得到：V = πr * (1/2 * sint + C) |_{t=0}^{2π}结论：我们推导出了极坐标绕x轴旋转体的体积公式，并通过一个应用示例进行了演示。

shell method和washer method -回复Shell Method和Washer Method是求解旋转体体积的两种常用数学方法。

在这篇文章中，我们将一步一步回答关于这两种方法的问题，并详细解释它们在求解旋转体体积问题上的应用。

首先，我们需要了解什么是旋转体和旋转轴。

旋转体是指由一个曲线图形绕某一条直线旋转而形成的立体图形，而旋转轴则是曲线图形绕其旋转的直线。

在使用Shell Method和Washer Method之前，我们需要确定旋转体的曲线方程和旋转轴的方程。

接下来，我们将从Shell Method开始讨论。

Shell Method是一种使用竖直圆柱壳来逼近旋转体，从而计算体积的方法。

要使用Shell Method，我们需要做以下几个步骤：1. 将旋转体分成无数个竖直圆柱壳：为了计算体积，我们需要将旋转体分成无数个非常细的竖直圆柱壳。

这些圆柱壳的高度可以看作是dx，其中dx表示在x轴上的微小增量。

2. 计算每个圆柱壳的体积：每个圆柱壳的体积可以通过以下公式计算：V = 2πrh*dx，其中r表示与旋转轴的距离，h表示圆柱壳的高度（这里即为dx），dx表示微小的增量。

然后，将所有圆柱壳的体积相加，得到整个旋转体的体积。

3. 对问题进行适当的限定条件：在使用Shell Method计算旋转体体积时，通常需要对问题进行一些限定条件。

例如，旋转轴可以是x轴或y轴，旋转体可以是由一个或多个曲线图形形成的，或者曲线的方程可以是关于x 或y的等等。

接下来，让我们转向Washer Method。

Washer Method是一种使用水平“洗衣机”形圆环来逼近旋转体，从而计算体积的方法。

使用Washer Method时，我们需要注意以下几点：1. 将旋转体分成无数个水平圆环：与Shell Method类似，我们需要将旋转体分成无数个非常细的水平圆环。

这些圆环的宽度可以看作是dy，其中dy表示在y轴上的微小增量。

旋转体积积分公式参数1. 旋转体体积积分公式的推导背景。

- 在人教版教材中，旋转体体积的计算是定积分应用的一个重要部分。

我们常常会遇到一些平面图形绕着坐标轴或者某条直线旋转一周形成的旋转体，为了计算它们的体积，就需要用到特定的积分公式。

2. 绕x轴旋转的体积积分公式。

- 设y = f(x)是区间[a,b]上的连续函数，由曲线y = f(x)，直线x=a，x = b以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积V。

- 公式为V=π∫_a^b[f(x)]^2dx。

这里的参数a和b分别是积分下限和上限，表示x的取值范围；f(x)是描述曲线的函数，[f(x)]^2的出现是因为我们把旋转体看作是由无数个以y = f(x)为半径的薄圆盘（或圆柱）叠加而成，根据圆的面积公式S=π r^2（这里r = f(x)），再通过定积分对这些薄圆盘的体积进行累加就得到了整个旋转体的体积。

3. 绕y轴旋转的体积积分公式（圆盘法）- 若x = g(y)是区间[c,d]上的连续函数，由曲线x = g(y)，直线y=c，y = d以及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所得到的旋转体的体积V。

- 公式为V=π∫_c^d[g(y)]^2dy。

这里c和d是y的取值范围（积分下限和上限），g(y)是关于y的函数，原理和绕x轴旋转类似，也是把旋转体看作是由以x = g(y)为半径的薄圆盘叠加而成。

4. 绕y轴旋转的体积积分公式（圆柱壳法）- 设y = f(x)是区间[a,b]上的连续函数，由曲线y = f(x)，直线x=a，x = b以及x轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所得到的旋转体的体积V。

- 公式为V = 2π∫_a^bx|f(x)|dx。

这里a和b是x的取值范围（积分下限和上限），x表示圆柱壳的半径，f(x)表示圆柱壳的高，2π是因为圆柱壳侧面展开是一个长方形，其长为圆柱壳底面圆的周长2π r（这里r = x），通过定积分对这些圆柱壳的体积进行累加得到旋转体体积。

柱壳法求解旋转体体积
董爱君;徐大举
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2017(000)009
【摘要】柱壳法在求解旋转体体积中具有重要应用，它不仅适用于旋转轴为坐标轴或与坐标轴平行的直线的情形，对于旋转轴为任意斜直线时，也同样适用，本文对于后者进行了讨论．
【总页数】1页(P126-126)
【作者】董爱君;徐大举
【作者单位】山东交通学院,山东济南250357
【正文语种】中文
【中图分类】G633.63
【相关文献】
1.用“柱壳法”求旋转体体积 [J], 王树勋
2.柱壳法求旋转体体积的适用条件 [J], 李志海
3.关于柱壳法求旋转体体积推导过程的注记 [J], 朱华;赵建彬
4.巧用柱壳法求一类旋转体的体积 [J], 李萍; 牟全武; 杨阿莉
5.基于柱壳法及柱坐标系求解旋转体的体积 [J], 刘倩;张冬燕;滕吉红
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