线线垂直、线面垂直、面面垂直的习题与答案解析

线线，线面，面面垂直的证明一、线面垂直（共9题；共85分）1.（2021高一下·岑溪期末）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面.（1）求证：平面；2.（2021高一下·和平期末）如图，斜三棱柱中，侧面是菱形，与交于点，E是AB的中点．求证：（2）若，求证：．3.（2021高一下·宁波期末）已知三棱锥，平面，是以为斜边的等腰直角三角形，是以为斜边的直角三角形，为上一点，为上一点，且．（Ⅰ）现给出两个条件：① ；② 为中点．从中任意选一个条件为已知条件，求证：平面；4.（2021高一下·怀化期末）如图，在正方体中.（1）求证：面；5.（2021高一下·绍兴期末）如图，四棱台的底面是矩形，，，，．（Ⅰ）证明：平面；6.（2021高二下·二道期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面ABCD，M是PD的中点.（1）求证：平面PCD；7.（2021高一下·长春期末）如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点.8.（2021高一下·河北期末）如图，在正四棱锥中，点E，F分别在棱PB，PD上，且．（1）证明：平面PAC．9.（2021高一下·天津期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，（2）求证：直线平面二、线线垂直（共7题；共70分）10.（2021高一下·海南期末）如图所示，三棱柱中，，，，．（1）证明：；11.（2021·全国甲卷）已知直三棱柱ABC-A1B1C1.中，侧面AA1B1B为正方形，AB= BC = 2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF丄A1B1.（1）证明：BF⊥DE；12.（2021·全国甲卷）已知直三棱柱中，侧面为正方形．分别为和的中点，．（2）已知为棱上的点，证明：．13.（2021·新高考Ⅰ）如图，在三棱锥A-BCD中.平面ABD丄平面BCD，AB=AD.O为BD的中点.（1）证明：OA⊥CD：14.（2021高一下·广东期末）如图，在三棱锥中，，点是线段的中点，平面平面.（2）求证：.15.（2021高二下·湖北期末）中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥，其中于，，，平面．（1）求证：；16.（2021·浙江）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.（1）证明：；三、面面垂直（共9题；共105分）17.（2021·新高考Ⅱ卷）在四棱锥中，底面是正方形，若．（1）证明：平面平面；18.（2021高一下·滨海新期末）如图，在三棱柱中，平面，，是的中点.（2）求证：平面平面；19.（2021高一下·和平期末）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，，，为的中点．（2）求证：平面平面；20.（2021高一下·龙岩期末）如图，是圆锥的顶点，是底面圆的直径，为底面圆周上异于的点，为的中点．（1）求证：平面平面21.（2021高一下·东丽期末）如图，三棱柱，底面，且为正三角形，，为中点．（2）求证：平面平面．22.（2021高一下·湖北期末）如图，在三棱台中，上底面为等腰直角三角形，，，，在上，.（1）证明：平面平面；23.（2021高一下·重庆期末）如图1，在平行四边形ABCD中，，，，将沿折起，使得平面平面，如图2．（1）证明：平面平面BCD；24.（2021高一下·河北期末）如图，在三棱柱中，，点为的中点，，．（1）证明：平面平面ABC．25.（2021·全国乙卷）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD 底面ABCD，M为BC的中点，且PB AM.（1）证明：平面PAM 平面PBD；线线，线面，面面垂直的证明参考答案一、线面垂直（共9题；共85分）1.（2021高一下·岑溪期末）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面.（1）求证：平面；【答案】（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PD⊥AC，又，AC⊥平面PBD2.（2021高一下·和平期末）如图，斜三棱柱中，侧面是菱形，与交于点，E是AB的中点．求证：（2）若，求证：．（2）∵侧面是菱形∴∵，，平面，平面∴平面∵平面∴．3.（2021高一下·宁波期末）已知三棱锥，平面，是以为斜边的等腰直角三角形，是以为斜边的直角三角形，为上一点，为上一点，且．（Ⅰ）现给出两个条件：① ；② 为中点．从中任意选一个条件为已知条件，求证：平面；【答案】解：（Ⅰ）若选①证明：∵平面，平面，∴，又，，∴平面．又平面，∴．又，，∴平面．又平面，∴．又，，∴平面．若选② 为中点证明：∵平面，平面，∴．又，，∴平面．又平面，∴．又，，∴平面．又平面，∴．又为等腰直角三角形斜边中点，则，，∴平面．4.（2021高一下·怀化期末）如图，在正方体中.（1）求证：面；【答案】（1）证明：因为为正方体，所以ABCD为正方形,所以，又因为平面ABCD，平面ABCD，故，又，平面，所以平面．5.（2021高一下·绍兴期末）如图，四棱台的底面是矩形，，，，．（Ⅰ）证明：平面；【答案】解：（Ⅰ）证明：因为底面是矩形，所以，又，，所以平面，又因为，所以平面．6.（2021高二下·二道期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面ABCD，M是PD的中点.（1）求证：平面PCD；【答案】（1）在正方形ABCD中，，又侧面底面ABCD，侧面底面，所以平面PAD，平面PAD，所以，是正三角形，M是PD的中点，所以，又，所以平面PCD.7.（2021高一下·长春期末）如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点.（1）证明：BC⊥面PAC；【答案】（1）证明见解析PA垂直于所在的平面PA⊥BCAB是的直径AC⊥BCBC⊥面PAC8.（2021高一下·河北期末）如图，在正四棱锥中，点E，F分别在棱PB，PD上，且．（1）证明：平面PAC．【答案】（1）证明：如图，连接，记，连接PO，由题意可得四边形ABCD是正方形，，则O为AC的中点，且，因为，所以，因为平面，面，且，所以平面，因为，所以，则平面PAC；9.（2021高一下·天津期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，（2）求证：直线平面【答案】（2）因为四边形是菱形，所以又因为平面平面所以又因为所以平面二、线线垂直（共7题；共70分）10.（2021高一下·海南期末）如图所示，三棱柱中，，，，．（1）证明：；【答案】（1）∵，，．∴，∴．∵，，∴．又∵，平面，∴平面．∵平面，∴．11.（2021·全国甲卷）已知直三棱柱ABC-A1B1C1.中，侧面AA1B1B为正方形，AB= BC = 2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF丄A1B1.（1）证明：BF⊥DE；【答案】法一法2（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以因为，，所以，又，所以平面．所以两两垂直．以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．所以，．由题设（）．因为，所以，所以．12.（2021·全国甲卷）已知直三棱柱中，侧面为正方形．分别为和的中点，．（2）已知为棱上的点，证明：．（2）由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体，如图所示，取棱的中点，连结，正方形中，为中点，则，又，故平面，而平面，从而.13.（2021·新高考Ⅰ）如图，在三棱锥A-BCD中.平面ABD丄平面BCD，AB=AD.O为BD的中点.（1）证明：OA⊥CD：【答案】（1），为中点，，面，面面且面面，面，．14.（2021高一下·广东期末）如图，在三棱锥中，，点是线段的中点，平面平面.（2）求证：.【答案】（2）证明：∵，∴，∴，∵平面平面，且平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴.15.（2021高二下·湖北期末）中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥，其中于，，，平面．（1）求证：；【答案】（1）证明：∵平面，平面，∴，又，，平面，平面，∴平面，又平面．∴．16.（2021·浙江）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.（1）证明：；【答案】（1）证明：在中，，，，由余弦定理可得，所以，．由题意且，平面，而平面，所以，又，所以三、面面垂直（共9题；共105分）17.（2021·新高考Ⅱ卷）在四棱锥中，底面是正方形，若．（1）证明：平面平面；【答案】（1）取的中点为，连接.因为，，则，而，故.在正方形中，因为，故，故，因为，故，故为直角三角形且，因为，故平面，因为平面，故平面平面.18.（2021高一下·滨海新期末）如图，在三棱柱中，平面，，是的中点.（2）求证：平面平面；【答案】（2）∵，是的中点，∴，∵三棱柱中，平面，∴平面∵AD 平面，∴，又､BC是平面内的两条相交直线∴平面∵AD 平面∴平面平面19.（2021高一下·和平期末）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，，，为的中点．（2）求证：平面平面；【答案】（2）因为平面平面，平面平面，,所以平面，因为平面，所以,又, 平面,所以平面,又平面，所以,又,所以,又平面,所以平面,又平面,所以平面平面；20.（2021高一下·龙岩期末）如图，是圆锥的顶点，是底面圆的直径，为底面圆周上异于的点，为的中点．（1）求证：平面平面【答案】（1）由圆锥的性质可知，底面圆∵在底面圆上，∴，∵在圆上，为直径，∴，又点分别为的中点，∴∴又，且平面，∴平面，又平面，∴平面平面．21.（2021高一下·东丽期末）如图，三棱柱，底面，且为正三角形，，为中点．（2）求证：平面平面．【答案】（2）∵面，面，∴．又，，∴，面，∴面．又面，∴面面．22.（2021高一下·湖北期末）如图，在三棱台中，上底面为等腰直角三角形，，，，在上，.（1）证明：平面平面；【答案】（1）因为三棱台中，因为，所以，由，所以，所以，又由，所以，因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.23.（2021高一下·重庆期末）如图1，在平行四边形ABCD中，，，，将沿折起，使得平面平面，如图2．（1）证明：平面平面BCD；【答案】（1）在中，因为，，，由余弦定理得，所以，所以，所以如图所示：作于点，因为平面平面，平面平面，所以平面，所以，又因为，所以平面，因为平面，所以，又由，所以平面.所以平面平面BCD；24.（2021高一下·河北期末）如图，在三棱柱中，，点为的中点，，．（1）证明：平面平面ABC．【答案】（1）证明：因为，所以，，在三棱柱中，，所以，又因为，所以平面ABC，又因为平面，所以平面平面ABC；25.（2021·全国乙卷）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD 底面ABCD，M为BC的中点，且PB AM.（1）证明：平面PAM 平面PBD；【答案】（1）因为底面，平面，所以，又，，所以平面，而平面，所以平面平面．。

线线垂直、线面垂直、面面垂直局部习及答案1．在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．(1)求证：BC⊥AD；2如图，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．(第1题)〔1〕求证：AB⊥BC；3.如图，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的形，PA⊥底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB．〔1〕求证：平面PCE⊥平面PCD；〔2〕求点A到平面PCE的距离．4. 如下列图2-4-2，三棱锥S—ABC中，SB=AB，SC=AC，作AD ⊥BC于D，SH⊥AD于H，求证：SH⊥平面ABC.5. 如下列图，Rt△ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)假设AB=BC，求证：BD⊥平面SAC.6. 证明：在体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D11A1B1D CB7. 如下列图，直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=1，，侧棱，侧面的两条对角线交点为D，的中点为M.求证：CD⊥平面BDM.8.在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．9. 如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC．10.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB．(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；(2)求二面角E－DB－C的正切值.11：直线PA垂直于圆O所在的平面，A为垂足，AB为圆O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。

求证：平面PAC^平面PBC。

12..如下列图1-10-3，过点S引三条不共面的直线，使∠BSC=90°，∠ASB=∠ASC=60°，假设截取SA=SB=SC.求证：平面ABC⊥平面BSC13.如下列图1-10-5，在四面体ABCD中，BD= a,2AB=AD=BC=CD=AC=a.求证：平面ABD⊥平面BCD.14.如下列图，△ABC 为正三角形，CE ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE=AC=2BD ，M 是AE 的中点，求证：(1)DE=DA ；(2)平面BDM ⊥平面ECA ；(3)平面DEA ⊥平面ECA ．15.如下列图，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面PAD ；(2)求证：MN ⊥CD ；(3)假设∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD ．16.如图1，在体1111ABCD A BC D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1AO ⊥平面MBD答案与提示：1. 证明：(1)取BC 中点O ，连结AO ，DO ．∵△ABC ，△BCD 都是边长为4的正三角形， ∴AO ⊥BC ，DO ⊥BC ，且AO ∩DO ＝O ， ∴BC ⊥平面AOD ．又AD ⊂平面AOD ， ∴BC ⊥AD ．2. 【证明】作AH ⊥SB 于H ，∵平面SAB ⊥平面SBC ．平面SAB ∩平面SBC=SB ，∴AH ⊥平面SBC ，又SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥BC ，而SA 在平面SBC 上的射影为SB ，∴BC ⊥SB ，又SA ∩SB=S ，∴BC ⊥平面SAB ．∴BC ⊥AB ．3. 【证明】PA ⊥平面ABCD ，AD 是PD 在底面上的射影，又∵四边形ABCD 为矩形，∴CD ⊥AD ，∴CD ⊥PD ，∵AD ∩PD=D ∴CD ⊥面PAD ，∴∠PDA 为二面角P —CD —B 的平面角，∵PA=PB=AD ，PA ⊥AD ∴∠PDA=45°，取Rt △PAD 斜边PD 的中点F ，那么AF ⊥PD ，∵AF ⊂面PAD ∴CD ⊥AF ，又PD ∩CD=D ∴AF ⊥平面PCD ，取PC 的中点G ，连GF 、AG 、EG ，那么GF 21CD 又AE 21CD ，∴GF AE ∴四边形AGEF 为平行四边形∴AF ∥EG ，∴EG ⊥平面PDC 又EG ⊂平面PEC ，∴平面PEC ⊥平面PCD ． 〔2〕【解】由〔1〕知AF ∥平面PEC ，平面PCD ⊥平面PEC ，过F 作FH ⊥PC 于H ，那么FH ⊥平面PEC∴FH 为F 到平面PEC 的距离，即为A 到平面PEC 的距离．在△PFH 与△PCD 中，∠P 为公共角，而∠FHP=∠CDP=90°，∴△PFH ∽△PCD ．∴PC PFCD FH =，设AD=2，∴PF=2，PC=324822=+=+CD PD ，∴FH=362322=⋅∴A 到平面PEC 的距离为36．4.【证明】取SA 的中点E ，连接EC ，EB. ∵SB=AB,SC=AC, ∴SA ⊥BE,SA ⊥CE. 又∵CE ∩BE=E, ∴SA ⊥平面BCE.∵BC平面BCE5. 证明：(1)因为SA=SC ，D 为AC 的中点， 所以SD ⊥AC.连接BD. 在Rt △ABC 中，有AD=DC=DB ， 所以△SDB ≌△SDA ， 所以∠SDB=∠SDA ， 所以SD ⊥BD.又AC ∩BD=D ， 所以SD ⊥平面ABC. (2)因为AB=BC ，D 是AC 的中点， 所以BD ⊥AC. 又由(1)知SD ⊥BD ， 所以BD 垂直于平面SAC 的两条相交直线，所以BD⊥平面SAC.6.证明：连结ACBD AC⊥AC为A1C在平面AC上的射影∴⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥BD A CA C BC A C BC D11111同理可证平面7.证明：如右图，连接、、，那么.∵，∴为等腰三角形.又知D为其底边的中点，∴.∵，，∴.又，∴. ∵为直角三角形，D为的中点，∴，.又，，∴..即CD⊥DM.∵、为平面BDM两条相交直线，∴CD⊥平面BDM.8.证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．∵AC BC=，∴CF AB⊥．∵AD BD=，∴DF AB⊥．又CF DF F=，∴AB⊥平面CDF．∵CD⊂平面CDF，∴⊥．CD AB又CD BE⊥，BE AB B=，∴CD⊥平面ABE，CD AH⊥．∵AH CD⊥，AH BE=，⊥，CD BE E∴AH⊥平面BCD．9.证明：如图，PA=PB=PC=a，由∠APB=∠APC=60°，△PAC，△PAB为正三角形，那么有：PA=PB=PC=AB=AC=a，取BC中点为E直角△BPC中，，，由AB=AC，AE⊥BC，直角△ABE中，，，，在△PEA中，，，∴，平面ABC⊥平面BPC.10. 证明：(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E 为D 1C 1的中点．∴△DD 1E 为等腰直角三角形，∠D 1ED ＝45°．同理∠C 1EC ＝45°．∴︒=∠90DEC ，即DE ⊥EC ．在长方体ABCD －1111D C B A 中，BC ⊥平面11DCC D ，又DE ⊂平面11DCC D ，∴BC ⊥DE ．又C BC EC = ，∴DE ⊥平面EBC ．∵平面DEB 过DE ，∴平面DEB ⊥平面EBC ．(2)解：如图，过E 在平面11DCC D 中作EO ⊥DC 于O ．在长方体ABCD －1111D C B A 中，∵面ABCD⊥面11DCC D ，∴EO ⊥面ABCD ．过O 在平面DBC 中作OF ⊥DB于F ，连结EF ，∴EF ⊥BD ．∠EFO 为二面角E －DB －C 的平面角．利用平面几何知识可得OF ＝51，(第10题)又OE ＝1，所以，tan ∠EFO ＝5．11.〔1〕【证明】∵C 是AB 为直径的圆O 的圆周上一点，AB 是圆O 的直径∴BC ⊥AC ；又PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴BC ⊥PA ，从而BC ⊥平面PAC ． ∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PAC ⊥平面PBC ．. 12.证明：如下列图1-10-4,取BC 的中点D ，连接AD ，SD. 由题意知△ASB 与△ASC 是等边三角形，那么AB=AC ， ∴AD ⊥BC,SD ⊥BC.令SA=a,在△SBC中，SD= a,又AD= = a,∴AD2+SD2=SA2,即AD⊥SD.又∵AD⊥BC，∴AD⊥平面SBC.∵AD平面ABC，∴平面ABC⊥平面SBC.13.证明：取BD的中点E，连接AE，CE.那么AE⊥BD,BD⊥CE. 在△ABD中，AB=a,BE= BD= ,∴AE= ,同理,CE= .在△AEC中，AE=EC= ,AC=a,∴AC2=AE2+EC2，即AE⊥EC.∵BD∩EC=E,∴AE⊥平面BCD.又∵AE平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD14.证明：((1)取EC的中点F，连接DF．∵CE⊥平面ABC，∴CE⊥BC．易知DF∥BC，CE⊥DF．∵BD∥CE，∴BD⊥平面ABC．在Rt△EFD和Rt△DBA中，∵，，∴Rt△EFD≌Rt△DBA．故DE=AD．(2)取AC的中点N，连接MN、BN，MNCF．∵BDCF，∴MNBD．N平面BDM．∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN．又∵AC⊥BN，∴BN⊥平面ECA．又∵BN平面MNBD，∴平面BDM⊥平面ECA．(3)∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA．又∵DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA．15.证明：(1)取PD的中点E，连接AE、EN，那么，故AMNE为平行四边形，∴MN∥AE．∵AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD．(2)要证MN⊥CD，可证MN⊥AB．由(1)知，需证AE⊥AB．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB．又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD．∴AB⊥AE．即AB⊥MN．又CD∥AB，∴MN⊥CD．(3)由(2)知，MN⊥CD，即AE⊥CD，再证AE⊥PD即可．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD．又∠PDA=45°，E为PD的中点．∴AE⊥PD，即MN⊥PD．又MN⊥CD，∴MN⊥平面PCD．16.证明：连结MO ，1A M ，∵DB ⊥1A A ，DB ⊥AC ，1A A AC A =，∴DB ⊥平面11A ACC ，而1AO ⊂平面11A ACC ∴DB ⊥1AO ．设体棱长为a ，那么22132A O a =，2234MO a =． 在Rt △11AC M 中，22194A M a =．∵22211AO MO AM +=，∴1AO OM ⊥．∵OM ∩DB =O ，∴1AO ⊥平面MBD ．。

线面垂直练习题及答案线面垂直是几何学中的一项基本概念，用于描述线段、射线、直线和平面之间的垂直关系。

理解线面垂直的概念对于解决几何问题至关重要。

本文将为读者提供一些线面垂直练习题及答案，帮助读者巩固对该概念的理解。

练习题一：1. AB为一条线段，m是一平面。

如果AB与m垂直，判断下列命题的真假：a) 线段AB垂直于平面mb) 平面m垂直于线段ABc) 线段AB平行于平面m2. P是平面XYZ的内点，AP的延长线与平面XYZ有几个交点？练习题二：1. 给出下列命题的定义：a) 垂线b) 垂直平分线c) 垂直平面2. 在平面上画一条线段AB和一条直线l，求证：若线段AB与直线l垂直，则直线l过点A和点B的垂直平分线。

1. 已知直线l与平面P垂直，直线m过l上一点，那么直线m与平面P的关系是什么？2. 在长方形ABCD中，线段AC和线段BD相交于点O。

求证：线段AC与平面ABCD垂直。

答案及解析：练习题一：1. a) 假，线段AB无法垂直于平面m，因为线段只有两个端点而不是无限延伸。

b) 真，平面m可以垂直于线段AB。

c) 假，线段和平面不可能平行。

2. AP的延长线与平面XYZ有且只有一个交点。

练习题二：1. a) 垂线是与给定线段或直线垂直的线段或直线。

b) 垂直平分线是将给定线段或直线垂直平分的线段或直线。

c) 垂直平面是与给定平面垂直的平面。

2. 假设直线l过点A和点B的垂直平分线交线段AB于点M，则根据垂直平分线的定义，我们可以得出线段AM和线段BM的长度相等，且直线l与线段AM和线段BM都垂直。

1. 直线m与平面P平行。

2. 连接线段AC的中点和线段BD的中点，设为点O'。

根据长方形的性质，线段OO'相等且垂直于两个平行线段AC和BD。

因此，线段OO'垂直于平面ABCD，而线段OO'与线段AC相等，所以线段AC与平面ABCD垂直。

通过以上练习题及答案，我们可以加深对线面垂直概念的理解。

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质线面垂直→线线垂直：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α。

【线面垂直定义】线线垂直→线面垂直：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

【判定】线面垂直→线线平行：如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

【性质】线面垂直→面面垂直：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

【判定】面面垂直→线面垂直：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

【性质】三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

一、选择题1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【解析】直线l与平面α内两条相交直线都垂直，是线面垂直判定定理的条件，故为充要条件．【答案】 C2．空间四边形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是( ) A．面ABD⊥面BDC B．面ABC⊥面ABDC．面ABC⊥面ADC D．面ABC⊥面BED【解析】在等腰三角形ABC、ADC中，E为底边AC的中点，则BE⊥AC，DE⊥AC.又∵BE∩DE＝E，∴AC⊥面BDE，故面ABC⊥面BDE，面ADC⊥面BDE.【答案】 D3．对两条不相交的空间直线a和b，必定存在平面α，使得 ( )A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α【解析】当a，b异面时，A不成立；当a，b不平行时，C不成立；当a，b不垂直时，D不成立．故选B.【答案】 B4．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是( )A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直【解析】在平面α内有无数条彼此平行的直线与直线m垂直，与直线m垂直的直线可能与平面α平行，与直线m平行的平面可能与平面α垂直．故A，C，D错误．【答案】 B5．设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立．．．的是( )A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bC．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c【解析】α⊥β，b⊂α，b不一定垂直于β.故C错误．【答案】 C6．命题p：若平面α⊥β，平面β⊥γ，则必有α∥γ；命题q：若平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则必有α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是( ) A．命题“p且q”为真 B．命题“p或綈q”为假C．命题“p或q”为假 D．命题“綈p且綈q”为假【解析】命题p，命题q皆为假，所以命题C正确．【答案】 C7．如图，已知△ABC 为直角三角形，其中∠ACB ＝90°，M 为AB 的中点，PM 垂直于△ABC 所在的平面，那么( )A ．PA ＝PB >PCB ．PA ＝PB <PCC ．PA ＝PB ＝PCD ．PA ≠PB ≠PC【解析】 ∵M 为AB 的中点，△ACB 为直角三角形，∴BM ＝AM ＝CM ，又PM ⊥平面ABC ，∴Rt △PMB ≌Rt △PMA ≌Rt △PMC ，故PA ＝PB ＝PC .【答案】 C二、填空题8．m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ；②若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β；③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β；④若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α.其中真命题的序号是________．【解析】 由平面平行的传递性知①正确，由面面垂直的判定定理知③正确．【答案】 ①③9．P 为△ABC 所在平面外一点，AC ＝2a ，连接PA 、PB 、PC ，得△PAB 和△PBC 都是边长为a 的等边三角形，则平面ABC 和平面PAC 的位置关系为________．【解析】如图所示，由题意知PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝BC ＝a ，取AC 中点D ，连接PD 、BD ，则PD ⊥AC ，BD ⊥AC ，则∠BDP 为二面角P －AC －B 的平面角，又∵AC ＝2a ，∴PD ＝BD ＝22a ， 在△PBD 中，PB 2＝BD 2＋PD 2，∴∠PDB ＝90°.【答案】 垂直10．(精选考题·四川高考)如图所示，二面角α－l －β的大小是60°，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是________________________________________________________________________．【解析】 如图，过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在β内过C 作l 的垂线，垂足为D ，连接AD ，由线面垂直关系可知AD ⊥l ，故∠ADC 为二面角α－l －β的平面角，∴∠ADC ＝60°.连接CB ，则∠ABC 为AB 与平面β所成的角．设AD ＝2，则AC ＝3，CD ＝1，AB ＝AD sin30°＝4，∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝34. 【答案】34 三、解答题11．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．求证：(1)CD ⊥AE ；(2)PD ⊥平面ABE .【证明】 (1)在四棱锥P －ABCD 中，∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD .∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC .而AE ⊂平面PAC ，∴CD ⊥AE .(2)由PA ＝AB ＝BC, ∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA .∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .由(1)知，AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，∴AE ⊥平面PCD ，而PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PD .∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AB .又∵AB ⊥AD 且PA ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面PAD ，而PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD .又∵AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .12．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°.(1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离．【解析】 (1)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC .由∠BCD ＝90°，得BC ⊥DC .又PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PCD .∵PC ⊂平面PCD ，∴PC ⊥BC .(2)如图，连接AC .设点A 到平面PBC 的距离为h .∵AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴∠ABC ＝90°.从而由AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1.由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·PD ＝13.∵PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥DC .又PD ＝DC ＝1，∴PC ＝PD 2＋DC 2＝ 2.由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝22.由V ＝13S △PBC h ＝13×22h ＝13，得h ＝ 2.因此点A 到平面PBC 的距离为 2.。

空间中的垂直关系专题训练知识梳理一、线线垂直：如果两条直线于一点或经过后相交于一点，并且交角为，则称这两条直线互相垂直.二、线面垂直：1.定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的_________________，则称这条直线和这个平面垂直. 也就是说，如果一条直线垂直于一个平面，那么他就和平面内任意一条直线都 .直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α.2.判定定理：如果一条直线与平面内的直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.推论①：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也于这个平面.推论②：如果两条直线同一个平面，那么这两条直线平行.3.点到平面的距离：长度叫做点到平面的距离.三、面面垂直：1.定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线，就称这两个平面互相垂直.平面α，β互相垂直，记作α⊥β.2.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的___________，则这两个平面互相垂直.3.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于直线垂直于另一个平面.四、求点面距离的常用方法：1.直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个三角形.2.转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解.3.体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解.题型一线线垂直、线面垂直的判定及性质例1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.【变式1】已知：正方体ABCD﹣A1B1C1D1 ，AA1=2，E为棱CC1的中点．（Ⅰ）求证：B1D1⊥AE；（Ⅱ）求证：AC∥平面B1DE．【解答】（Ⅰ）连接BD，则BD∥B1D1，∵ABCD是正方形，∴AC⊥ BD．∵CE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴CE⊥BD．又∵AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．∵AE⊂面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE．﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）证明：取BB1的中点F，连接AF、CF、EF．∵ E、F是C1C、B1B的中点，∴ CE∥B1F且CE=B1F，∴ 四边形B1FCE是平行四边形，∴ CF∥ B1E．∵ 正方形BB1C1C 中，E、F是CC、BB的中点，∴ EF∥BC且EF=BC又∵ BC∥AD且BC=AD，∴ E F∥AD且EF=AD．∴ 四边形ADEF是平行四边形，可得AF∥ED，∵ AF∩CF=C，BE∩ED=E，∴ 平面ACF∥平面B1DE．又∵ AC⊂平面ACF，∴AC∥面B1DE．【变式2】如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，点E、G分别是CD、PC的中点，点F在PD上，且PF：FD=2：1．（Ⅰ）证明：EA⊥PB；（Ⅱ）证明：BG∥面AFC．【解答】（Ⅰ）证明：因为面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，所以△ ACD为等边三角形，又因为E是CD的中点，所以EA⊥AB．又PA⊥平面ABCD，所以EA⊥PA．而AB∩PA=A所以EA⊥面PAB，所以EA⊥PB．（Ⅱ）取PF中点M，所以PM=MF=FD．连接MG，MG∥CF，所以MG∥面AFC．连接BM，BD，设AC∩BD=O，连接OF，所以BM∥OF，所以BM∥面AFC．而BM∩MG=M所以面BGM∥面AFC，所以BG∥面AFC．【变式3】如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=，AA1=2．（1）证明：AA1⊥BD（2）证明：平面A1BD∥平面CD1B1；（3）求三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积．【解答】（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，又∵ A1O⊥平面ABCD且BD⊂面ABCD，∴ A1O⊥BD，又∵ A1O∩AC=O，A1O⊂面A1AC，AC⊂面A1AC，∴BD⊥面A1AC，AA1⊂面A1AC，∴ AA1⊥BD．（2）∵ A1B1∥AB，AB∥CD，∴ A1B1∥CD，又A1B1=CD，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴ A1D∥B1C，同理A1B∥CD1，∵ A1B⊂平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，CD1⊂平面CD1B1，B1C⊂平面CD1B，且A1B∩A1D=A1，CD1∩B1C=C，∴平面A1BD∥平面CD1B1．（3）∵ A1O⊥面ABCD，∴ A1O是三棱柱A1B1D1﹣ABD的高，在正方形ABCD中，AO=1．在Rt△A1OA中，AA1=2，AO=1，∴ A1O=，∴ V三棱柱ABD﹣A1B1D1=S△ABD•A1O=•（）2•=∴三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积为．【变式4】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=BC=AC=AA1=4，点F在CC1上，且C1F=3FC，E是BC的中点．（1）求证：AE⊥平面BCC1B1（2）求四棱锥A﹣B1C1FE的体积；（3）证明：B1E⊥AF．【解答】（1）∵ AB=AC，E是BC的中点，∴AE⊥ BC．在三棱柱ABC﹣A1B1C1，中，BB1∥ AA1，∴ BB1⊥平面ABC，∵ AE⊂平面ABC，∴ BB1⊥ AE，…．（2分）又∵ BB1∩BC=B，…．（3分）BB1，BC⊂平面BB1C1C，∴AE⊥平面BB1C1C，…．（4分）（2）由（1）知，即AE为四棱锥A﹣B1C1FE的高，在正三角形ABC中，AE=AB=2，…在正方形BB1C1C，中，CE=BE=2，CF=1，∴=﹣﹣S△CFE=4×=11．…（6分）∴=•AE==…（7分）（3）证明：连结B1F，由（1）得AE⊥平面BB1C1C，∵ B1E⊂平面BB1C1C，∴AE⊥B1E，…．（8分）在正方形BB1C1C，中，B1F==5，B1E==2，EF==，∵ B1F2=B1E2+EF2，∴ B1E⊥EF…．（9分）又∵AE∩EF=E，…．（10分）AE，EF⊂平面AEF，∴ B1E⊥平面AEF，…．（11分）∵ AF⊂平面AEF，∴ B1E⊥AF．…．（12分）【变式5】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，G在BC上，且CG=CB（1）求证：PC⊥BC；（2）求三棱锥C﹣DEG的体积；（3）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG？若存在，求AM的长；否则，说明理由．【解答】（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC．又∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD．又∵PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD．又∵PC⊂平面PCD，∴PC⊥BC．（2）∵BC⊥平面PCD，∴ GC是三棱锥G﹣DEC的高．∵ E是PC的中点，∴ S△EDC=S△PDC==×（×2×2）=1．V C﹣DEG=V G=GC•S△DEC=××1=．﹣DEC（3）连结AC，取AC中点O，连结EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG．证明：∵E为PC的中点，O是AC的中点，∴EO∥PA．又∵EO⊂平面MEG，PA⊄平面MEG，∴PA∥平面MEG．在正方形ABCD中，∵O是AC的中点，BC=PD=2，CG=CB．∴△OCG≌△OAM，∴AM=CG=，∴所求AM的长为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【变式6】如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥底面A1B1C1，A1B1⊥B1C1且A1B1=BB1=B1C1，D为AC的中点．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1（Ⅱ）在直线CC1上是否存在一点E，使得A1E⊥平面A1BD，若存在，试确定E 点的位置；若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：连接AB1∵ BB1⊥平面A1B1C1∴ B1C1⊥BB1∵ B1C1⊥A1B1且A1B1∩BB1=B1∴ B1C1⊥平面A1B1BA∴ A1B⊥B1C1 . 又∵ A1B⊥AB1且AB1∩B1C1=B1∴A1B⊥平面AB1C1∴A1B⊥AC1（Ⅱ）存在点E在CC1的延长线上且CE=2CC1时，A1E⊥平面A1BD．设AB=a，CE=2a，∴，∴，，DE=，∴，∴A1E⊥A1D…∵BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1=C，∴BD⊥平面ACC1A1，又A1E⊂平面ACC1A1∴ A1E⊥BD. 又BD∩A1D=D ，∴ A1E⊥平面A1BD【变式7】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥ BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1．【解答】证明：（1）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以C1C⊥平面ABC，所以C1C⊥AC．又因为AC=3，BC=4，AB=5，所以AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC．又C1C∩BC=C，所以AC⊥平面CC1B1B，所以AC⊥ BC1．（2）连结C1B交CB1于E，再连结DE，由已知可得E为C1B的中点，又∵D为AB的中点，∴DE 为△BAC1的中位线．∴AC1∥DE。

线面垂直练习题及答案线面垂直是几何学中一个重要的概念，它涉及到直线和平面之间的关系。

在几何学中，我们经常需要判断线和平面是否垂直，以及如何确定它们的垂直关系。

为了帮助大家更好地理解和掌握线面垂直的概念，本文将介绍一些线面垂直的练习题及答案。

1. 练习题：判断线段和平面是否垂直题目：已知线段AB的两个端点分别为A(1, 2, 3)和B(4, 5, 6)，平面P的法向量为(2, -1, 3)，判断线段AB是否垂直于平面P。

解答：要判断线段AB是否垂直于平面P，只需判断线段AB的方向向量是否与平面P的法向量垂直。

线段AB的方向向量为AB = B - A = (4, 5, 6) - (1, 2, 3) = (3, 3, 3)。

两个向量的点积为3*2 + 3*(-1) + 3*3 = 9，不等于0。

因此，线段AB不垂直于平面P。

2. 练习题：确定两平面之间的垂直关系题目：已知平面P1的法向量为(1, 2, -1)，平面P2的法向量为(2, -1, 3)，判断平面P1和平面P2之间的垂直关系。

解答：两个平面垂直的条件是它们的法向量垂直，即两个法向量的点积为0。

计算两个法向量的点积为1*2 + 2*(-1) + (-1)*3 = 0，等于0。

因此，平面P1和平面P2垂直。

3. 练习题：求垂直平面上的直线题目：已知平面P的方程为2x + 3y - z = 6，求过点A(1, 2, 3)且垂直于平面P的直线的方程。

解答：垂直于平面P的直线的方向向量应该与平面P的法向量垂直。

由平面P的方程可知，平面P的法向量为(2, 3, -1)。

因此，过点A(1, 2, 3)且垂直于平面P 的直线的方向向量为(2, 3, -1)。

直线的方程可以表示为x = 1 + 2t，y = 2 + 3t，z = 3 - t，其中t为参数。

4. 练习题：判断直线和平面是否垂直题目：已知直线L的方程为x = 1 + 2t，y = 2 + 3t，z = 3 - t，平面P的方程为2x + 3y - z = 6，判断直线L是否垂直于平面P。

线线垂直、线面垂直、面面垂直部分习及答案1．在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．(1)求证：BC⊥AD；2如图，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．(第1题)（1）求证：AB⊥BC；3.如图，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PA⊥底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB．4. 如图2-4-2所示，三棱锥S—ABC中，SB=AB，SC=AC，作AD⊥BC于D，SH⊥AD于H，求证：SH⊥平面ABC.5. 如图所示，已知Rt△ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC.6. 证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1DD1C1A1B1D CA B7. 如图所示，直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=1，，侧棱，侧面的两条对角线交点为D，的中点为M.求证：CD⊥平面BDM.8.在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．9. 如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC．10.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB．(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；(2)求二面角E－DB－C的正切值.11：已知直线PA垂直于圆O所在的平面，A为垂足，AB为圆O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。

求证：平面PAC 平面PBC。

12..如图1-10-3所示，过点S引三条不共面的直线，使∠BSC=90°，∠ASB=∠ASC=60°，若截取SA=SB=SC.求证：平面ABC⊥平面BSC13.如图1-10-5所示，在四面体ABCD中，BD= a,2AB=AD=BC=CD=AC=a.求证：平面ABD⊥平面BCD.14.如图所示，△ABC 为正三角形，CE ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE=AC=2BD ，M 是AE 的中点，求证：(1)DE=DA ；(2)平面BDM ⊥平面ECA ；(3)平面DEA ⊥平面ECA ．15.如图所示，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面PAD ；(2)求证：MN ⊥CD ；(3)若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD ．16. 如图1，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1A O ⊥平面MBD答案与提示：1. 证明：(1)取BC 中点O ，连结AO ，DO ．∵△ABC ，△BCD 都是边长为4的正三角形， ∴AO ⊥BC ，DO ⊥BC ，且AO ∩DO ＝O ， ∴BC ⊥平面AOD ．又AD ⊂平面AOD ， ∴BC ⊥AD ．2. 【证明】作AH ⊥SB 于H ，∵平面SAB ⊥平面SBC ．平面SAB ∩平面SBC=SB ，∴AH ⊥平面SBC ，又SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥BC ，而SA 在平面SBC 上的射影为SB ，∴BC ⊥SB ，又SA ∩SB=S ，∴BC ⊥平面SAB ．∴BC ⊥AB ．3. 【证明】PA ⊥平面ABCD ，AD 是PD 在底面上的射影，又∵四边形ABCD 为矩形，∴CD ⊥AD ，∴CD ⊥PD ，∵AD ∩PD=D ∴CD ⊥面PAD ，∴∠PDA 为二面角P —CD —B 的平面角，∵PA=PB=AD ，PA ⊥AD ∴∠PDA=45°，取Rt △PAD 斜边PD 的中点F ，则AF ⊥PD ，∵AF ⊂面PAD ∴CD ⊥AF ，又PD ∩CD=D ∴AF ⊥平面PCD ，取PC 的中点G ，连GF 、AG 、EG ，则GF21CD 又AE21CD ，∴GF AE ∴四边形AGEF 为平行四边形∴AF ∥EG ，∴EG ⊥平面PDC 又EG ⊂平面PEC ，∴平面PEC ⊥平面PCD ．（2）【解】由（1）知AF ∥平面PEC ，平面PCD ⊥平面PEC ，过F 作FH ⊥PC 于H ，则FH ⊥平面PEC∴FH 为F 到平面PEC 的距离，即为A 到平面PEC 的距离．在△PFH 与 △PCD 中，∠P 为公共角，而∠FHP=∠CDP=90°，∴△PFH ∽△PCD ．∴PC PFCD FH =，设AD=2，∴PF=2，PC=324822=+=+CD PD ，∴FH=362322=⋅∴A 到平面PEC 的距离为36． 4.【证明】取SA的中点E，连接EC ，EB. ∵SB=AB,SC=AC, ∴SA ⊥BE,SA ⊥CE. 又∵CE ∩BE=E, ∴SA ⊥平面BCE.∵BC平面BCE5. 证明：(1)因为SA=SC ，D 为AC 的中点， 所以SD ⊥AC.连接BD. 在Rt △ABC 中，有AD=DC=DB ， 所以△SDB ≌△SDA ， 所以∠SDB=∠SDA ， 所以SD ⊥BD.又AC ∩BD=D ， 所以SD ⊥平面ABC. (2)因为AB=BC ，D 是AC 的中点， 所以BD ⊥AC. 又由(1)知SD ⊥BD ， 所以BD 垂直于平面SAC 内的两条相交直线，所以BD⊥平面SAC.6.证明：连结ACBD AC⊥AC为A1C在平面AC上的射影∴⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥BD A CA C BC A C BC D11111同理可证平面7.证明：如右图，连接、、，则.∵，∴为等腰三角形.又知D 为其底边的中点，∴.∵，，∴.又，∴.∵为直角三角形，D 为的中点，∴，.又，，∴..即CD⊥DM.∵、为平面BDM内两条相交直线，∴CD ⊥平面BDM.8.证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．∵AC BC=，∴CF AB⊥．∵AD BD=，∴DF AB⊥．又CF DF F=，∴AB⊥平面CDF．∵CD⊂平面CDF，∴⊥．CD AB又CD BE⊥，BE AB B=，∴CD⊥平面ABE，CD AH⊥．∵AH CD⊥，AH BE=，⊥，CD BE E∴AH⊥平面BCD．9.证明：如图，已知PA=PB=PC=a，由∠APB=∠APC=60°，△PAC，△PAB为正三角形，则有：PA=PB=PC=AB=AC=a，取BC中点为E直角△BPC中，，，由AB=AC ，AE ⊥BC ， 直角△ABE 中，，，， 在△PEA 中，，，∴，平面ABC ⊥平面BPC.10. 证明：(1)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝BC ＝1，E 为D 1C 1的中点．∴△DD 1E 为等腰直角三角形，∠D 1ED ＝45°．同理∠C 1EC ＝45°．∴︒=∠90DEC ，即DE ⊥EC ．在长方体ABC D －1111D C B A 中，BC ⊥平面11DCC D ，又DE ⊂平面11DCC D ，∴BC ⊥DE ．又C BC EC = ，∴DE ⊥平面EBC ．∵平面DEB 过DE ，∴平面DEB ⊥平面EBC ．(2)解：如图，过E 在平面11DCC D 中作EO ⊥DC 于O ．在长方体ABCD －1111D C B A 中，∵面ABCD ⊥面11DCC D ，∴EO ⊥面ABCD．过O在平面DBC中作OF⊥DB于F，连结EF，∴EF⊥BD．∠EFO为二面角E－D B－C的平面角．利用平面几何知1，(第10题)识可得OF＝5又OE＝1，所以，tan∠EFO＝5．11.（1）【证明】∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径∴BC⊥AC；又PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA，从而BC⊥平面PAC．∵BC ⊂平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．.12.证明：如图1-10-4所示,取BC的中点D，连接AD，SD.由题意知△ASB与△ASC是等边三角形，则AB=AC，∴AD⊥BC,SD⊥BC.令SA=a,在△SBC中，SD= a,又AD= = a,∴AD2+SD2=SA2,即AD⊥SD.又∵AD⊥BC，∴AD⊥平面SBC.∵AD平面ABC，∴平面ABC⊥平面SBC.13.证明：取BD的中点E，连接AE，CE.则AE⊥BD,BD⊥CE.在△ABD中，AB=a,BE= BD= ,∴AE= ,同理,CE= .在△AEC中，AE=EC= ,AC=a,∴AC2=AE2+EC2，即AE⊥EC.∵BD∩EC=E,∴AE⊥平面BCD.又∵AE平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD14.证明：((1)取EC的中点F，连接DF．∵CE⊥平面ABC，∴CE⊥BC．易知DF∥BC，CE⊥DF．∵BD∥CE，∴BD⊥平面ABC．在Rt△EFD和Rt△DBA中，∵，，∴Rt△EFD≌Rt△DBA．故DE=AD．(2)取AC的中点N，连接MN、BN，MN CF．∵BD CF，∴MN BD．N平面BDM．∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN．又∵AC⊥BN，∴BN⊥平面ECA．又∵BN平面MNBD，∴平面BDM⊥平面ECA．(3)∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA．又∵DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA．15.证明：(1)取PD的中点E，连接AE、EN，则，故AMNE为平行四边形，∴MN∥AE．∵AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD．(2)要证MN⊥CD，可证MN⊥AB．由(1)知，需证AE⊥AB．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB．又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD．∴AB⊥AE．即AB⊥MN．又CD∥AB，∴MN⊥CD．(3)由(2)知，MN⊥CD，即AE⊥CD，再证AE⊥PD即可．∵ PA ⊥平面ABCD ，∴ PA ⊥AD ． 又∠PDA=45°，E 为PD 的中点． ∴ AE ⊥PD ，即MN ⊥PD ． 又MN ⊥CD ，∴ MN ⊥平面PCD ．16.证明：连结MO ，1A M ，∵DB ⊥1A A ，DB ⊥AC ，1A A AC A =，∴DB ⊥平面11A ACC ，而1AO ⊂平面11A ACC ∴DB ⊥1A O ． 设正方体棱长为a ，则22132A O a =，2234MO a =．在Rt △11A C M 中，22194A M a =．∵22211A O MO A M +=，∴1AO OM ⊥．∵OM ∩DB =O ，∴ 1A O ⊥平面MBD ．。