直线、平面垂直的判定与性质
【考纲说明】
1、能够认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理。
2、能够运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。
【知识梳理】
一、直线与平面垂直的判定与性质 1、 直线与平面垂直
（1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α，直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P 叫做垂足。 （2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，记作.//a b b a αα⎫
⇒⊥⎬⊥⎭
（3）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。即,//a b a b αα⊥⊥⇒.
由定义知：直线垂直于平面内的任意直线。 2、 直线与平面所成的角
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面，该直线与平面所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，则此直线与平面所成的角是0
0的角。
3、 二面角的平面角
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。如果记棱为l ，那么两个面分别为αβ、的二面角记作l αβ--.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则两射线所构成的角叫做叫做二面角的平面角。其作用是衡量二面角的大小；范围：0
0180θ<<.
二、平面与平面垂直的判定与性质
1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.
2、判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。简述为“线面垂直，则面面垂直”，记作
l l βαβα⊥⎫
⇒⊥⎬⊂⎭
.
3、性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，记作l m m m l
αβαββα⊥⎫⎪=⎪
⇒⊥⎬⊂⎪
⎪⊥⎭
.
【经典例题】
【例1】（2012浙江文）设l 是直线,a,β是两个不同的平面
（ ）
A ．若l ∥a,l ∥β,则a ∥β
B ．若l ∥a,l ⊥β,则a ⊥β
C ．若a ⊥β,l ⊥a,则l ⊥β
D ．若a ⊥β, l ∥a,则l ⊥β 【答案】B
【解析】利用排除法可得选项B 是正确的,∵l ∥a,l ⊥β,则a ⊥β.如选项A:l ∥a,l ∥β时, a ⊥β或a ∥β;选项C:若
a ⊥β,l ⊥a,l ∥β或l β⊂;选项D:若若a ⊥β, l ⊥a,l ∥β或l ⊥β.
【例2】（2012四川文）下列命题正确的是 （ ）
A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
C ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
D ．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 【答案】C
【解析】若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可能相交,所以A 错;一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行,故B 错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故D 错;故选项C 正确. 【例3】（2012山东）已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集．其中正确的是 （ ）
A ．①②③
B ．①④
C ．①②④
D ．②④ 【答案】C
【解析】如图1，当直线m 或直线n 在平面α内时有可能没有符合题意的点；如图2，直线m 、n 到已知平面α的距离相等且所在平面与已知平面α垂直，则已知平面α为符合题意的点；如图3，直线m 、n 所在平面与已知平面α平行，则符合题意的点为一条直线，从而选C.
【例4】（2012四川理）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的
中点，则异面直线1A M 与DN 所成的角的大小是____________. 【答案】90º
N M
B 1
A 1
C 1
D 1
B
D C
【解析】方法一:连接D 1M,易得DN ⊥A 1D 1 ,DN ⊥D 1M,
所以,DN ⊥平面A 1MD 1,
又A 1M ⊂平面A 1MD 1,所以,DN ⊥A 1D 1,故夹角为90º
方法二:以D 为原点,分别以DA, DC, DD 1为x, y, z 轴,建立空间直角坐标系D —xyz.设正方体边长为2,则D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A 1(2,0,2)
故,），（），（2,121,2,01-=
=MA DN 所以,cos<|
MA ||DN |11
1MA DN MA DN •=〉〈，
= 0,故DN ⊥D 1M,所以夹角为90º
【例5】（2012大纲理）三棱柱111ABC A B C -中,底面边长和侧棱长都相等,1160BAA CAA ∠=∠=︒,则异面直线1
AB 与1BC 所成角的余弦值为_____________.
【答案】
6
6
【解析】设该三棱柱的边长为1,依题意有1111,AB AB AA BC AC AA AB =+=+-,
则2
2
2
2
1111||()222cos603AB AB AA AB AB AA AA =+=+⋅+=+︒=
222
22
11111||()2222BC AC AA AB AC AA AB AC AA AC AB AA AB =+-=+++⋅-⋅-⋅=
而1111()()AB BC AB AA AC AA AB ⋅=+⋅+-
111111111
1112222
AB AC AB AA AB AB AA AC AA AA AA AB =⋅+⋅-⋅+⋅+⋅-⋅=+-++-=
11111116
cos ,6||||23
AB BC AB BC AB BC ⋅∴<>=
==⋅ 【例6】（2011·福建）如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平
面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．
【答案】 2
【解析】∵EF ∥面AB 1C ，∴EF ∥AC .
又E 是AD 的中点，∴F 是DC 的中点．
