高等数学中常用的不等式证明方法

重要前提。二、如何指导学生开展自主探究式学习古诗意象1.指导学生理解自主探究式的学习。自主探究式的学习是指学生在一定的教学情境下，根据教师的指导，自主利用选择适合的学习策略，运用相关学习放学，主动获取知识的学习过程。这种学习方式让学生在学习过程中不断地自我调整，对学习效率、效果进行恰当的自我评价和反馈。自主学习环境下如何选择学习目标、安排学习进度，如何运用科学有效的学习方法，如何评价和判断学习的总目标和阶段性目标的完成情况，都需要学生自主独立地完成，而这种学习能力是在不断摸索、探讨、总结中逐步形成的，因此，它不仅是一个认识问题，更重要的是一种能力问题、习惯问题。如何在古诗教学中开展自主探究式学习，让学生捕捉意象是激活中学古诗教学的关键。2.指导学生设立学习目标。学习目标一般从知识目标、能力目标和情感目标等三个方面设立。知识目标是让学生探究古诗意象的起源，认识意象，了解意象之于诗歌的重要性；积累古典诗词中的常见意象。能力目标是让学生掌握意象分析的基本方法，通过意象分析把握诗歌的思想情感；把握意象的组合方式，基本感受意象组合营造的诗歌意境；培养提高学生诗歌鉴赏的能力。情感目标是培养学生热爱中国文化的情感，展现中国诗歌的意蕴和魅力。3.设立活动让学生探究意象。第一步，合作讨论，制定活动计划。把分成若干小组，了解本项目学习的基本情况，开展讨论，制定相关活动具体实施方案。教师介绍本项目学习的背景和基本内容，并指导学生活动，把学生分成若干小组。第二步，调查“意象”，学生通过查阅图书资料、网络搜索追溯“意象”的来龙去脉，了解意象的起源与发展。各小组通过不同途径查找，最后讨论交流，看哪一小组做得最好。第三步，总结古诗意象的种类。学生归纳古诗意象，从某个角度进行分类，如年代、诗词等。教师对学生的活动进行全程指导。第四步，黑板报、宣传栏或班级报刊展示。将“意象”演变和古诗意象种类归纳等知识以宣传栏或班级报刊形式进行展示和设计。教师对学生小组进行分工。第五步，班级总结汇报评比。以小组为单位对参加学习进行心得总结汇报。教师组织对个小组表现进行点评。最后，在教师指导下，让学生完成古诗意象的演变、古诗意象的家族、古诗意象板报、古诗意象报刊等。通过活动，学生自主探究古诗意象，理解把握古诗意象。意象之间似离实合、似断实叙，给读者留下了许多相象的空间和再创造的余地，这也正是中国古典诗歌被世人喜爱的重要原因之一。学生在教师的指导下，系统归纳古诗意象，是对古诗意象深刻把握的重要方式。三、指导学生开展自主探究古诗意象的体会针对古诗教学与学习的实际，在教学中采用多种学习方式。把教师指导与学生自主学习有机结合，在不同学习阶段、不同学习内容、不同学习环节切实落实学生学习的主体地位，才能真正实现学生自主探究式学习。通过自主探究学习，让学生自己适合的方式理解和体会诗人的心理活动，理解古诗的思想内涵。使学生很快把握诗歌形象的塑造以及理解诗歌语言的深层意义。借助学生已有的生活验，在理解诗句意思的基础上，调用个性化的语言，用自己生活的感受描绘西湖美景，让学生对诗的意思更为明晰，读写结合，表达与感悟结合。既深化了对诗句的理解和记忆，又能入情入境，更好地体验诗句所描绘的意象，与诗人产生情感上的共鸣。因此，灵活运用自主探究学习方式，抓住古诗的灵魂———意象，并把古诗与学生语言及生活体验的有效契合，恰当地运用想象写话，读写结合的，不失为古诗教学中帮助学生感悟诗歌意象非常有效的方法。参考文献：[1]李小平.中西方诗歌意象比较研究[J].中州学刊，2010，（01）.[2]朱林.意象派诗与中国古典诗歌差异及原因探源[J].西安社会科学，2009，（04）.[3]范景兰.论意象派诗歌对中国古典诗歌的“误读”[J].西南交通大学学报（社会科学版），2008，（03）.[4]武新玉.从主体性意象叠加到客体性意象并置———论威廉斯对美国意象派诗歌的发展[J].外国文学研究，2010，（01）.[5]张洁.忽如一夜春风来，千树万树梨花开———论中国古典诗歌对美国意象派的影响[J].牡丹江师范学院学报（哲学社会科学版），2010，（03）.[6]严蓉.歌赏析切入点探析[J].科教文汇（上旬刊），2007，（12）.[7]李小平.论古诗教学中的意象和意境[J].安徽文学（下半月），2011，（06）.作者简介：曹蓝田（1980-），女，安徽省芜湖第三中学语文教师

。不等式证明是高等数学中常见的题型，证明方法灵活多样，具有较强的技巧性和综合性。同时由于知识结构不同，高等数学中不等式证明方法和高中时应用的证明方法也有所不同。下面我们介绍高等数学中常用的几种不等式证明方法，以帮助刚踏入大学的同学转变证明思路，快速掌握高等数学中的不等式证明方法。一、利用导数知识证明不等式（一）利用函数单调性此方法关键是根据题设条件构造合理的辅助函数，将不等式证明转化为比较两个函数值的大小。高等数学中常用的不等式证明方法李胜宏（江苏科技大学数理学院，江苏镇江212003）摘要：本文介绍了高等数学中常用的不等式证明方法，并分析了这些方法的应用规律和技巧，以帮助刚进入大学的同学们快速掌握高等数学中的不等式证明方法。关键词：不等式；导数；定积分；证明中图分类号：G642.41文献标志码：A文章编号：1674-9324（2013）17-0110-02【学法指导】

110--.com.cn. All Rights Reserved.例1 证明不等式ex＞1+x，x≠0证明：设f（x）=ex-1-x，则f'（x）=ex-1.故当x＞0时，f'（x）＞0，f（x）严格递增；当x＜0，f'（x）＜0，f（x）严格递减.又因为在x=0处连续，则当x≠0时，f（x）＞f（0）=0从而得到ex＞1+x，x≠0（二）利用函数的极值和最值当给定的不等式是具体的函数，且又给出自变量的变化范围，欲证明它大于或是小于某个定数，这时往往利用函数的极值和最值来证明不等式。例2当x≥0时，证明nxn-1-（n-1）xn-1≤0（n＞0，n∈N）.证明：令f（x）=nxn-1-（n-1）xn-1，则f'（x）=n（n-1）xn-2-n（n-1）xn-1=n（n-1）xn-2（1-x）.令f'（x）=0，得驻点x=1（因为x=0是x≥0的端点，所以x=0不是驻点）且当x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0，所以f（1）=0是极大值也是最大值.从而得f（x）≤f（1）=0（x≥0），即nxn-1-（n-1）xn-1≤0（x≥0）。（三）利用函数的凹凸性当所求证的不等式中出现了形如fx1+…+xnn蓸蔀，f（x1）+…f（xn）n的式子时，我们可以考虑根据函数凹凸性的一些性质来证明。例3己知：α＜0，β＜0，α3+β3≤2求证：α+β≤2。证明：设函数f（x）=x3，x∈（0，+∞），则f'（x）=3x2。f''（x）=6x＞0.由引理可知：函数f（x）=x3，x∈（0，+∞）是凹函数。设a1=a2=12，x1=α，x2=β，则f（a1x1+a2x2）=f（12α+12β）=fα+β2蓸蔀≤a1f（x1）+a2f（x2）=f（α）+f（β）2，而fα+β2蓸蔀=α+β2蓸蔀3，且由已知得到f（α）+f（β）2=α3+β32≤1，所以（α+β）38=fα+β2蓸蔀≤f（α）+f（β）2≤1.故有α+β≤2.（四）利用微分中值定理微分中值定理将函数与导数有机地联系起来，如果所求证不等式经过简单变形后，与微分中值公式的结构有相似性，就可以考虑利用微分中值定理来证明，其关键是构造一个辅助函数，然后通过微分中值定理的公式证明。微分中值定理包括费马引理，罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理等。其中比较重要的是罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。例4证明：对一切h＞-1，h≠0成立不等式h1+h＜ln（1+h）＜h.证明：设f（x）=ln（1+x），则由微分中值定理得到ln（1+h）=ln（1+h）-ln1=h1+θh，0＜θ＜1.当h＞0时，由0＜θ＜1可推知1＜1+θh＜1+h，h1+h＜h1+θh＜h；当-1＜h＜0时，由0＜θ＜1可得1＞1+θh＞1+h＞0，即h1+h＜h1+θh＜h从而得到所要证明的结论。（五）利用泰勒公式当所涉及命题中出现二阶或更高阶导数时，我们可以考虑使用泰勒公式证明，其关键是选择恰当的特殊点展开。例5设f（x）在[0，1]上的二阶导数连续，f（0）=f（1）=0，并且当x∈（0，1）时，f''（x）≤A．求证：f''（x）≤A2，x∈（0，1）．证明：因为f（x）在[0，1]上有二阶连续导数，所以f（x）可以展开为一阶泰勒公式f（x）=f（x0）+f'（x0）（x-x0）+f''（ξ）（x-x0）22！，其中ξ在x与x0之间.取x=0，x0=x，则泰勒公式为：，f（0）=f（x）+f'（x）（0-x）+f''（ξ）（0-x0）22！，其中0＜ξ＜x≤1．因为f（1）=f（0）=0，上面两式相减得f'（x）=f（1）-f（0）+12！f''（ξ1）x2-f''（ξ2）（1-x）2蓘蓡，又f（x）≤A，x∈（0，1），所以f'（x）≤A2[x2+（1-x）2]=A2（2x2-2x+1），而0≤x≤1，（2x2-2x+1）≤1，故f''（x）≤A2.二、定积分不等式的证明方法（一）利用定积分的性质性质：设函数f（x）和g（x）在区间[a，b]可积，且f（x）≤g（x），则ba乙f（x）dx≤ba乙g（x）dx.例6设f（x）在区间[0，1]上连续且单调减少，试证：对任何a∈（0，1），有a0乙f（x）dx≥al0乙f（x）dx.证明：构造变上限的积分函数，令F（t）=t0乙f（x）dx-tl0乙f（x）dx，t∈（0，1），则有F（0）=0，且由上式可以看出t≥x≥0，所以f（t）≤f（x），故有定积分的性质得到F'（t）=f（t）-l0乙f（x）dx=l0乙f（t）dx-l0乙f（x）dx=l0乙[f（t）-f（x）]dx≤0.因此由拉格朗日中值定理得到F（a）-F（0）=F'（ξ）a≤0，ξ∈（0，a），即F（a）≤0，原式得证。（二）利用积分中值定理积分中值定理：设函数f（x）在[a，b]连续，则至少存在一点ξ∈（a，b），使得ba乙f（x）dx=f（ξ）（b-a）。例7设f（x）≥0在[0，1]上连续，且单调下降，0＜α＜β＜1，求证α0乙f（x）dx≥αββα乙f（x）dx。证明：因为f（x）在[0，1]上连续，则由积分中值定理知埚ξ∈[0，α]，使得α0乙f（x）dx=αf（ξ），埚η∈[α，β]，使得βα乙f（x）dx=（β-α）f（η）.又f（x）在[0，1]单调下降，ξ＜η，故f（ξ）≥f（η），从而有1αα0乙f（x）dx≥1β-αβα乙f（x）dx，又因为α＞0，所以α0乙f（x）dx≥αβ-αβα乙f（x）dx≥αββα乙f（x）dx.不等式的证明方法灵活多样，又有一定的技巧性，难以掌握。关键是要根据不等式的特点，找到合适的证明方法。【学法指导】

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